Sadələşdirilmiş vurma üçün düsturlar. Onlayn kalkulyator Polinomların sadələşdirilməsi Polinomların çoxaldılması

Riyazi ifadələr (düsturlar) qısaldılmış vurma(cəm və fərqin kvadratı, cəmi və fərqin kubu, kvadratların fərqi, kubların cəmi və fərqi) dəqiq elmlərin bir çox sahələrində son dərəcə əvəzolunmazdır. İfadələri sadələşdirərkən, tənlikləri həll edərkən, çoxhədliləri vurarkən, kəsrləri azaldarkən, inteqralları həll edərkən və daha çox şey üçün bu 7 simvol qeydləri əvəzolunmazdır. Beləliklə, onların necə əldə edildiyini, nə üçün olduğunu və ən əsası, onları necə xatırlamaq və sonra tətbiq etmək çox faydalı olacaq. Sonra müraciət qısaldılmış vurma düsturları praktikada ən çətin şey nə olduğunu görmək olacaq X və nə var. Aydındır ki, heç bir məhdudiyyət yoxdur a və b yox, bu o deməkdir ki, hər hansı rəqəm və ya hərfi ifadə ola bilər.

Beləliklə, onlar burada:

Birinci x 2 - 2-də = (x - y) (x + y).Hesablamaq üçün kvadratlar fərqi iki ifadə, bu ifadələrin fərqlərini onların cəminə vurmaq lazımdır.

İkinci (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Tapmaq məbləğin kvadratı iki ifadə üçün birinci ifadənin kvadratına birinci ifadənin hasilini ikinciyə üstəgəl ikinci ifadənin kvadratına iki dəfə əlavə etməlisiniz.

üçüncü (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Hesablamaq üçün fərq kvadratdır iki ifadə üçün birinci ifadənin kvadratından birinci ifadənin hasilini ikinciyə üstəgəl ikinci ifadənin kvadratına iki dəfə çıxarmaq lazımdır.

Dördüncü (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3x 2 + 3-də. Hesablamaq üçün cəmi kub iki ifadə üçün birinci ifadənin kubuna birinci ifadənin kvadratının hasili ilə ikincinin üç qatını, üstəgəl birinci ifadənin və ikincinin kvadratının hasilinin üç qatını, üstəgəl ifadənin kubunu əlavə etməlisiniz. ikinci ifadə.

Beşinci (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 y + 3x 2 - 3-də. Hesablamaq üçün fərq kubu iki ifadə üçün birinci ifadənin kubundan birinci ifadənin kvadratının hasilinin üçqatını ikinciyə üstəgəl birinci ifadənin hasilinin üç mislini və ikincinin kvadratından ikincinin kubunu çıxarmaq lazımdır. ifadə.

altıncı x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Hesablamaq üçün kubların cəmi iki ifadə üçün birinci və ikinci ifadələrin cəmini bu ifadələrin fərqinin natamam kvadratına vurmaq lazımdır.

yeddinci x 3 - 3-də \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2) Hesablama aparmaq üçün kub fərqləri iki ifadə, birinci və ikinci ifadələrin fərqini bu ifadələrin cəminin natamam kvadratına vurmaq lazımdır.

Bütün formulların əks istiqamətdə (sağdan sola) hesablamalar aparmaq üçün istifadə edildiyini xatırlamaq çətin deyil.

Bu qanunauyğunluqların mövcudluğu təxminən 4 min il əvvəl məlum idi. Onlardan qədim Babil və Misir sakinləri geniş istifadə edirdilər. Lakin o dövrlərdə onlar nə şifahi, nə də həndəsi şəkildə ifadə olunurdu və hesablamalarda hərflərdən istifadə etmirdilər.

Gəlin təhlil edək cəmi kvadrat sübut(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Bu riyazi qanunauyğunluq eramızdan əvvəl 3-cü əsrdə İsgəndəriyyədə işləmiş qədim yunan alimi Evklid sübut etdi ki, o, bunun düsturunu sübut etmək üçün həndəsi üsuldan istifadə etdi, çünki qədim Hellas alimləri rəqəmləri işarələmək üçün hərflərdən istifadə etmirdilər. Onlar hər yerdə “a 2” deyil, “a seqmentindəki kvadrat”, “ab” deyil, “a və b seqmentləri arasında yerləşən düzbucaqlı” istifadə edirdilər.

>>Riyaziyyat: Azaldılmış vurma düsturları

Qısaldılmış vurma düsturları

Bir çoxhədmin digərinə vurulmasının yığcam, yaddaqalan nəticəyə gətirib çıxardığı bir neçə hal var. Bu hallarda, hər dəfə bir dəfə çoxalmamaq daha yaxşıdır polinom digər tərəfdən və bitmiş nəticədən istifadə edin. Gəlin bu halları nəzərdən keçirək.

1. Cəmin kvadratı və fərqin kvadratı:

Misal 1İfadədə mötərizələri açın:

a) (3x + 2) 2 ;

b) (5a 2 - 4b 3) 2

a) Biz (1) düsturundan istifadə edirik, a-nın rolunu 3x, b-nin rolunu isə 2-nin oynadığını nəzərə alsaq.
Biz əldə edirik:

(Zx + 2) 2 = (3x) 2 + 2 Zx 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.

b) Biz (2) düsturundan istifadə edirik, rolda olduğunu nəzərə alsaq a danışır 5a 2, və rolda b danışır 4b 3. Biz əldə edirik:

(5a 2 -4b 3) 2 \u003d (5a 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 \u003d 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6.

Cəmin kvadratı və ya fərqin kvadratı üçün düsturlardan istifadə edərkən bunu unutmayın
(- a - b) 2 \u003d (a + b) 2;
(b-a) 2 = (a-b) 2 .

Bu, (- a) 2 = a 2 olmasından irəli gəlir.

Diqqət yetirin ki, bəzi riyazi fəndlər (1) və (2) düsturlara əsaslanır və bu, başınızda hesablamalar aparmağa imkan verir.

Məsələn, 1 və 9 ilə bitən ədədləri praktik olaraq şifahi olaraq kvadratlaşdırmaq olar. Həqiqətən

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 \u003d (70 - I) 2 \u003d 70 2 - 2 70 1 + 1 2 \u003d 4900 - 140 + 1 \u003d 4761.

Bəzən siz həmçinin 2 və ya 8 ilə bitən ədədi tez kvadrata çevirə bilərsiniz. Məsələn,

102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

Ancaq ən zərif hiylə 5 ilə bitən ədədlərin kvadratlaşdırılmasını əhatə edir.
85 2 üçün müvafiq mülahizəni həyata keçirək.

Bizdə:

85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

Qeyd edək ki, 85 2-ni hesablamaq üçün 8-i 9-a vurmaq və alınan nəticənin sağına 25 əlavə etmək kifayət idi.Eyni şəkildə digər hallarda da eyni şeyi edə bilərsiniz. Məsələn, 35 2 \u003d 1225 (sağdakı nəticəyə 3 4 \u003d 12 və 25 əlavə edildi);

65 2 = 4225; 1252 \u003d 15625 (sağdakı nəticəyə 12 18 \u003d 156 və 25 əlavə edildi).

Darıxdırıcı (ilk baxışda) düsturlar (1) və (2) ilə əlaqəli müxtəlif maraqlı hallardan danışdığımız üçün bu söhbəti aşağıdakı həndəsi əsaslandırma ilə tamamlayacağıq. Qoy a və b olsun müsbət ədədlər. Tərəfi a + b olan kvadratı nəzərdən keçirək və onun iki küncündə müvafiq olaraq a və b-yə bərabər olan kvadratları kəsin (şəkil 4).

Tərəfi a + b olan kvadratın sahəsi (a + b) 2-dir. Ancaq bu kvadratı dörd hissəyə kəsdik: tərəfi a olan kvadrat (sahəsi 2-dir), b tərəfi olan kvadrat (sahəsi b 2), a və b tərəfləri olan iki düzbucaqlı (hər birinin sahəsi). düzbucaqlı ab). Beləliklə, (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, yəni (1) düsturunu əldə etdik.

a + b binomunu a - b binomuna vurun. Biz əldə edirik:
(a + b) (a - b) \u003d a 2 - ab + ba - b 2 \u003d a 2 - b 2.
Belə ki

Riyaziyyatda istənilən bərabərlik həm soldan sağa (yəni bərabərliyin sol tərəfi onun sağ tərəfi ilə əvəz olunur), həm də sağdan sola (yəni bərabərliyin sağ tərəfi sol tərəfi ilə əvəz olunur) istifadə olunur. Əgər düstur C) soldan sağa istifadə edilirsə, o zaman məhsulu (a + b) (a - b) bitmiş nəticə ilə əvəz etməyə imkan verir a 2 - b 2 . Eyni düstur sağdan sola istifadə edilə bilər, sonra a 2 - b 2 kvadratlarının fərqini (a + b) (a - b) məhsulu ilə əvəz etməyə imkan verir. Riyaziyyatda düstur (3)-ə xüsusi ad verilir - kvadratlar fərqi.

Şərh. "Kvadratların fərqi" və "kvadrat fərqi" terminlərini qarışdırmayın. Kvadratların fərqi 2 - b 2-dir, yəni biz (3) düsturundan danışırıq; fərqin kvadratı (a-b) 2-dir, ona görə də söhbət (2) düsturundan gedir. Adi dildə düstur (3) “sağdan sola” aşağıdakı kimi oxunur:

iki ədədin (ifadələrin) kvadratlarının fərqi bu ədədlərin (ifadələrin) cəminin və onların fərqinin hasilinə bərabərdir;

Misal 2Çoxalmanı həyata keçirin

(3x-2y)(3x+2y)
Qərar. Bizdə:
(3x - 2y) (3x + 2y) \u003d (3x) 2 - (2y) 2 \u003d 9x 2 - 4y 2.

Misal 3 16x 4 - 9 binomunu binomların hasili kimi ifadə edin.

Qərar. Bizdə: 16x 4 \u003d (4x 2) 2, 9 \u003d Z 2, yəni verilmiş binomial kvadratların fərqidir, yəni. düstur (3), sağdan sola oxunur, ona tətbiq edilə bilər. Sonra alırıq:

16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - W 2 = (4x 2 + 3)(4x 2 - 3)

Formula (3), düsturlar (1) və (2) kimi riyazi fəndlər üçün istifadə olunur. Görmək:

79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.

Kvadratların fərqinin düsturu haqqında söhbəti maraqlı həndəsi mülahizə ilə yekunlaşdıraq. a və b müsbət ədədlər olsun, burada a > b. Tərəfləri a + b və a - b olan düzbucaqlı düşünün (şək. 5). Onun sahəsi (a + b) (a - b). B və a - b tərəfləri olan düzbucaqlı kəsin və Şəkil 6-da göstərildiyi kimi qalan hissəyə yapışdırın. Nəticədə fiqurun eyni sahəyə malik olduğu aydındır, yəni (a + b) (a - b). Amma bu rəqəm ola bilər
belə qurun: tərəfi a olan kvadratdan b tərəfi olan kvadratı kəsin (bu, şək. 6-da aydın görünür). Beləliklə, yeni fiqurun sahəsi 2 - b 2-dir. Beləliklə, (a + b) (a - b) \u003d a 2 - b 2, yəni (3) düsturunu aldıq.

3. Kubların fərqi və kubların cəmi

a - b binomunu a 2 + ab + b 2 trinomialına vurun.
Biz əldə edirik:
(a - b) (a 2 + ab + b 2) \u003d a a 2 + a ab + a b 2 - b a 2 - b ab -b b 2 \u003d a 3 + a 2 b + ab 2 -a 2 b- ab 2 -b 3 \u003d a 3 -b 3.

oxşar

(a + b) (a 2 - ab + b 2) = a 3 + b 3

(özünüz yoxlayın). Belə ki,

Formula (4) adətən adlanır kubların fərqi, düstur (5) - kubların cəmi. Gəlin (4) və (5) düsturlarını adi dilə çevirməyə çalışaq. Bunu etməzdən əvvəl nəzərə alın ki, a 2 + ab + b 2 ifadəsi (1) düsturunda görünən və (a + b) 2 verən a 2 + 2ab + b 2 ifadəsinə bənzəyir; a 2 - ab + b 2 ifadəsi (2) düsturunda görünən və (a - b) 2 verən a 2 - 2ab + b 2 ifadəsinə bənzəyir.

Bu ifadə cütlərini (dildə) bir-birindən fərqləndirmək üçün a 2 + 2ab + b 2 və a 2 - 2ab + b 2 ifadələrinin hər biri mükəmməl kvadrat (cəm və ya fərq) adlanır və ifadələrin hər biri a 2 + ab + b 2 və a 2 - ab + b 2 natamam kvadrat adlanır (cəm və ya fərq). Sonra (4) və (5) düsturlarının ("sağdan sola" oxuyun) adi dilə aşağıdakı tərcüməsini alırıq:

iki ədədin (ifadələrin) kublarının fərqi bu ədədlərin (ifadələrin) fərqinin onların cəminin natamam kvadratına hasilinə bərabərdir; iki ədədin (ifadələrin) kublarının cəmi bu ədədlərin (ifadələrin) cəminin onların fərqinin natamam kvadratına hasilinə bərabərdir.

Şərh. Bu bölmədə alınan bütün düsturlar (1)-(5) həm soldan sağa, həm də sağdan sola istifadə olunur, yalnız birinci halda (soldan sağa) deyirlər ki, (1)-(5) qısaldılmış vurmadır. düsturlar, ikinci halda (sağdan sola) deyirlər ki, (1)-(5) faktorlara ayırma düsturlarıdır.

Misal 4Çoxaldın (2x-1)(4x2 + 2x+1).

Qərar. Birinci amil 2x və 1 monomiallar arasındakı fərq, ikinci amil isə onların cəminin natamam kvadratı olduğundan (4) düsturundan istifadə etmək olar. Biz əldə edirik:

(2x - 1) (4x 2 + 2x + 1) \u003d (2x) 3 - I 3 \u003d 8x 3 - 1.

Misal 5 27a 6 + 8b 3 binomunu polinomların hasili kimi ifadə edin.

Qərar. Bizdə: 27а 6 = (2 üçün) 3 , 8b 3 = (2b) 3 . Bu o deməkdir ki, verilmiş binomial kubların cəmidir, yəni düstur 95) ona tətbiq oluna bilər, sağdan sola oxunur. Sonra alırıq:

27a 6 + 8b 3 = (2 üçün) 3 + (2b) 3 = (2 + 2b üçün) ((2 üçün) 2 - 2 üçün 2b + (2b) 2) = (2 + 2b üçün) (9a 4 - 6a 2 b + 4b 2).

Tələbəyə onlayn kömək edin, 7-ci sinif üçün Riyaziyyat download, təqvim-tematik planlaşdırma

A. V. Poqorelov, Həndəsə 7-11 siniflər üçün, Dərslik təhsil müəssisələri

Dərsin məzmunu dərsin xülasəsi dəstək çərçivə dərs təqdimatı sürətləndirici üsullar interaktiv texnologiyalar Təcrübə edin tapşırıqlar və məşğələlər özünü yoxlama seminarları, təlimlər, keyslər, kvestlər ev tapşırıqlarının müzakirəsi sualları ritorik suallar tələbələrdən İllüstrasiyalar audio, video kliplər və multimedia fotoşəkillər, şəkillər qrafikası, cədvəllər, sxemlər yumor, lətifələr, zarafatlar, komiks məsəllər, kəlamlar, krossvordlar, sitatlar Əlavələr referatlar məqalələr, maraqlanan fırıldaqçılar üçün çiplər dərsliklər əsas və əlavə terminlər lüğəti Dərsliklərin və dərslərin təkmilləşdirilməsidərslikdəki səhvlərin düzəldilməsi dərslikdəki fraqmentin yenilənməsi dərsdə innovasiya elementləri köhnəlmiş biliklərin yeniləri ilə əvəz edilməsi Yalnız müəllimlər üçün mükəmməl dərslər təqvim planı bir il üçün təlimatlar müzakirə proqramları İnteqrasiya edilmiş Dərslər

Məxfiliyiniz bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən, məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik siyasətimizi oxuyun və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz toplaya bilərik müxtəlif məlumatlar adınız, telefon nömrəniz, ünvanınız daxil olmaqla E-poçt və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

Bizim tərəfimizdən yığılmışdır Şəxsi məlumat sizinlə əlaqə saxlamağa və sizə məlumat verməyə imkan verir unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlər.
Zaman zaman şəxsi məlumatlarınızdan sizə vacib bildirişlər və mesajlar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlər, məlumatların təhlili və müxtəlif araşdırmalar aparmaq kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
Əgər siz uduş tirajı, müsabiqə və ya oxşar təşviqdə iştirak etsəniz, bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə açıqlama

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

Zəruri hallarda - qanuna uyğun olaraq, məhkəmə qaydasında, məhkəmə prosesində və/və ya ictimai sorğu və ya müraciətlər əsasında dövlət qurumları Rusiya Federasiyasının ərazisində - şəxsi məlumatlarınızı açıqlayın. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai maraq səbəbləri üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq üçüncü tərəfin varisinə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilmədən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.

Məxfiliyinizi şirkət səviyyəsində qorumaq

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz məxfilik və təhlükəsizlik təcrübələrini əməkdaşlarımıza çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

Qısaldılmış vurma düsturları (FSU) ədədləri və ifadələri eksponentləşdirmək və çoxaltmaq üçün istifadə olunur. Çox vaxt bu düsturlar hesablamaları daha yığcam və tez aparmağa imkan verir.

Bu yazıda biz qısaldılmış vurma üçün əsas düsturları sadalayacağıq, onları cədvəldə qruplaşdıracağıq, bu düsturlardan istifadə nümunələrini nəzərdən keçirəcəyik, həmçinin qısaldılmış vurma düsturlarının sübutu prinsipləri üzərində dayanacağıq.

Yandex.RTB R-A-339285-1

İlk dəfə olaraq 7-ci sinif üçün “Cəbr” kursu çərçivəsində FDU-nun mövzusuna baxılır. Aşağıda 7 əsas düstur var.

Qısaldılmış vurma düsturları

cəmi kvadrat düsturu: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
fərq kvadrat düsturu: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
cəmi kub düsturu: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
fərq kub düsturu: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
kvadratların fərqi düstur: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
kubların cəmi üçün düstur: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
kub fərqi düsturu: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Bu ifadələrdəki a, b, c hərfləri istənilən rəqəm, dəyişən və ya ifadə ola bilər. İstifadə rahatlığı üçün yeddi əsas düsturları əzbər öyrənmək daha yaxşıdır. Onları cədvəldə ümumiləşdiririk və qutu ilə dövrə vuraraq aşağıda veririk.

İlk dörd düstur müvafiq olaraq iki ifadənin cəminin və ya fərqinin kvadratını və ya kubunu hesablamağa imkan verir.

Beşinci düstur ifadələrin kvadratlarının cəmini və fərqini vurmaqla onların fərqini hesablayır.

Altıncı və yeddinci düsturlar müvafiq olaraq ifadələrin cəmi və fərqinin fərqin natamam kvadratına və cəminin natamam kvadratına vurulmasıdır.

Qısaldılmış vurma düsturu bəzən qısaldılmış vurma eynilikləri də adlanır. Bu təəccüblü deyil, çünki hər bərabərlik bir şəxsiyyətdir.

Qərar verərkən praktik nümunələr tez-tez sol və sağ hissələri yenidən düzəldilmiş qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə edin. Bu, çoxhədli faktorinq zamanı xüsusilə əlverişlidir.

Əlavə qısaldılmış vurma düsturları

Biz özümüzü cəbrin 7-ci sinif kursu ilə məhdudlaşdırmayacağıq və FSU cədvəlimizə bir neçə düstur əlavə edəcəyik.

Əvvəlcə Nyutonun binomial düsturunu nəzərdən keçirək.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

Burada C n k paskal üçbucağında n nömrəli sətirdə olan binomial əmsallardır. Binom əmsalları düsturla hesablanır:

C nk = n! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Gördüyünüz kimi, fərqin kvadratı və kubu üçün FSU və cəmidir xüsusi hal Nyutonun müvafiq olaraq n=2 və n=3 üçün binom düsturları.

Bəs bir gücə qaldırılacaq məbləğdə ikidən çox müddət varsa necə? Üç, dörd və ya daha çox şərtin cəminin kvadratı üçün formula faydalı olacaq.

a 1 + a 2 +. . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Faydalı ola biləcək başqa bir düstur, iki terminin n-ci dərəcələrinin fərqi üçün düsturdur.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Bu düstur adətən iki düstura bölünür - müvafiq olaraq cüt və tək dərəcələr üçün.

2m cüt göstəricilər üçün:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. . + b 2 m - 2

2m+1 tək göstəricilər üçün:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. . + b 2 m

Kvadratların fərqi və kubların fərqi üçün düsturlar, təxmin etdiniz, bu düsturun müvafiq olaraq n = 2 və n = 3 üçün xüsusi hallarıdır. Kubların fərqi üçün b də - b ilə əvəz olunur.

Qısaldılmış vurma düsturlarını necə oxumaq olar?

Hər bir düstur üçün müvafiq formulalar verəcəyik, lakin əvvəlcə düsturların oxunması prinsipi ilə məşğul olacağıq. Bunu etmək üçün ən asan yol bir nümunədir. İki ədədin cəminin kvadratının ilk düsturunu götürək.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Deyirlər: a və b iki ifadənin cəminin kvadratı birinci ifadənin kvadratının cəminə, ifadələrin hasilinin iki qatına və ikinci ifadənin kvadratına bərabərdir.

Bütün digər düsturlar eyni şəkildə oxunur. Kvadrat fərq üçün a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 yazırıq:

iki a və b ifadəsinin fərqinin kvadratı bu ifadələrin kvadratlarının cəminə birinci və ikinci ifadələrin hasilinin iki qatına bərabərdir.

a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 düsturunu oxuyaq. İki a və b ifadəsinin cəminin kubu bu ifadələrin kublarının cəminə, birinci ifadə ilə ikincinin kvadratının hasilinin üç qatına, ikinci ifadənin kvadratının hasilinin üç qatına bərabərdir. və ilk ifadə.

A - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 kublarının fərqi düsturu oxumağa davam edirik. İki a və b ifadəsinin fərqinin kubu birinci ifadənin kubunun mənfi birinci ifadənin və ikincinin kvadratının üç qatına, üstəgəl ikinci ifadənin və birinci ifadənin kvadratının üç qatına, minus kuba bərabərdir. ikinci ifadədən.

Beşinci düstur a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (kvadratların fərqi) aşağıdakı kimi oxunur: iki ifadənin kvadratlarının fərqi fərqin hasilinə və iki ifadənin cəminə bərabərdir.

Rahatlıq üçün a 2 + a b + b 2 və a 2 - a b + b 2 kimi ifadələr müvafiq olaraq cəminin natamam kvadratı və fərqin natamam kvadratı adlanır.

Bunu nəzərə alaraq, kubların cəmi və fərqi üçün düsturlar aşağıdakı kimi oxunur:

İki ifadənin kublarının cəmi bu ifadələrin cəmi ilə onların fərqinin natamam kvadratının hasilinə bərabərdir.

İki ifadənin kublarının fərqi bu ifadələrin fərqinin cəminin natamam kvadratına hasilinə bərabərdir.

FSU sübutu

FSU-nu sübut etmək olduqca sadədir. Vurmanın xassələrinə əsaslanaraq, düsturların hissələrinin mötərizədə vurulmasını həyata keçirəcəyik.

Məsələn, fərqin kvadratının düsturunu nəzərdən keçirək.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Bir ifadəni ikinci dərəcəyə qaldırmaq üçün ifadəni özünə vurmaq lazımdır.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Mötərizələri genişləndirək:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Formula sübut edilmişdir. Digər FSO-lar da eyni şəkildə sübut edilmişdir.

FSO-nun tətbiqi nümunələri

Azaldılmış vurma düsturlarından istifadənin məqsədi ifadələri tez və yığcam şəkildə vurmaq və eksponentləşdirməkdir. Ancaq bu, FSO-nun bütün əhatə dairəsi deyil. Onlardan ifadələrin ixtisarında, kəsrlərin azaldılmasında, çoxhədlilərin faktorinqində geniş istifadə olunur. Nümunələr verək.

Nümunə 1. FSO

9 y - (1 + 3 y) 2 ifadəsini sadələşdirək.

Kvadratların cəmi düsturunu tətbiq edin və əldə edin:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Nümunə 2. FSO

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 kəsrini azaldın.

Diqqət edirik ki, paylayıcıdakı ifadə kublar fərqi, məxrəcdə isə kvadratlar fərqidir.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Biz azaldırıq və alırıq:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU-lar həmçinin ifadələrin dəyərlərini hesablamağa kömək edir. Əsas odur ki, formulun harda tətbiq olunacağını görə biləsiniz. Bunu bir nümunə ilə göstərək.

79 rəqəminin kvadratını alaq. Çətin hesablamalar əvəzinə yazırıq:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Sadəcə qısaldılmış vurma düsturlarından və vurma cədvəlindən istifadə etməklə mürəkkəb hesablamanın sürətlə aparıldığı görünür.

Başqa vacib məqam- binomialın kvadratının seçilməsi. 4 x 2 + 4 x - 3 ifadəsini 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 -ə çevirmək olar. Bu cür çevrilmələrdən inteqrasiyada geniş istifadə olunur.

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın