Logaritmy: príklady a riešenia. Logaritmické výrazy. príklady

Logaritmus čísla N podľa rozumu a sa nazýva exponent X , na ktorú potrebujete zvýšiť a získať číslo N

Za predpokladu, že
,
,

Z definície logaritmu vyplýva, že
, t.j.
- táto rovnosť je základnou logaritmickou identitou.

Logaritmy so základom 10 sa nazývajú desiatkové logaritmy. Namiesto
písať
.

základné logaritmy e sa nazývajú prirodzené a označované
.

Základné vlastnosti logaritmov.

Logaritmus jednoty pre akúkoľvek základňu je nula

Logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov faktorov.

3) Logaritmus kvocientu sa rovná rozdielu logaritmov

Faktor
sa nazýva modul prechodu z logaritmov na báze a na logaritmy na základni b .

Pomocou vlastností 2-5 je často možné zredukovať logaritmus zložitého výrazu na výsledok jednoduchých aritmetických operácií na logaritmoch.

Napríklad,

Takéto transformácie logaritmu sa nazývajú logaritmy. Transformácie recipročné voči logaritmom sa nazývajú potenciácia.

Kapitola 2. Prvky vyššej matematiky.

1. Limity

limit funkcie
je konečné číslo A, ak pri snažení xx 0 pre každú vopred určenú
, je tam číslo
že hneď ako
, potom
.

Funkcia, ktorá má limitu, sa od nej líši o nekonečne malé množstvo:
, kde - b.m.w., t.j.
.

Príklad. Zvážte funkciu
.

Pri snažení
, funkcia r ide na nulu:

1.1. Základné teorémy o limitách.

Hranica konštantnej hodnoty sa rovná tejto konštantnej hodnote

.

Limita súčtu (rozdielu) konečného počtu funkcií sa rovná súčtu (rozdielu) limitov týchto funkcií.

Limita súčinu konečného počtu funkcií sa rovná súčinu limity týchto funkcií.

Limita podielu dvoch funkcií sa rovná podielu limity týchto funkcií, ak sa limita menovateľa nerovná nule.

Pozoruhodné limity

,
, kde

1.2. Príklady výpočtu limitov

Nie všetky limity sa však vypočítajú tak jednoducho. Častejšie sa výpočet limitu redukuje na zverejnenie typovej neistoty: alebo .

.

2. Derivácia funkcie

Nech máme funkciu
, kontinuálne na segmente
.

Argumentovať dostal nejakú podporu
. Potom sa funkcia zvýši
.

Hodnota argumentu zodpovedá hodnote funkcie
.

Hodnota argumentu
zodpovedá hodnote funkcie .

Preto, .

Nájdime hranicu tohto vzťahu na
. Ak táto limita existuje, potom sa nazýva derivácia danej funkcie.

Definícia 3derivácie danej funkcie
argumentom sa nazýva hranica pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, keď prírastok argumentu svojvoľne smeruje k nule.

Derivácia funkcie
možno označiť takto:

; ; ; .

Definícia 4Operácia nájdenia derivácie funkcie sa nazýva diferenciácia.

2.1. Mechanický význam derivátu.

Zvážte priamočiary pohyb nejakého tuhého telesa alebo hmotného bodu.

Nech v určitom okamihu pohyblivý bod
bol na diaľku z východiskovej pozície
.

Po určitom čase
posunula sa na diaľku
. Postoj =- priemerná rýchlosť hmotný bod
. Nájdime hranicu tohto pomeru, ak to vezmeme do úvahy
.

V dôsledku toho sa určenie okamžitej rýchlosti hmotného bodu redukuje na nájdenie derivácie dráhy vzhľadom na čas.

2.2. Geometrická hodnota derivátu

Predpokladajme, že máme graficky definovanú nejakú funkciu
.

Ryža. 1. Geometrický význam derivácie

Ak
, potom bod
, sa bude pohybovať pozdĺž krivky a bude sa približovať k bodu
.

Preto
, t.j. hodnota derivátu daná hodnotou argumentu číselne sa rovná dotyčnici uhla vytvoreného dotyčnicou v danom bode s kladným smerom osi
.

2.3. Tabuľka základných diferenciačných vzorcov.

Funkcia napájania

Exponenciálna funkcia

logaritmická funkcia

goniometrická funkcia

Inverzná goniometrická funkcia

2.4. Pravidlá diferenciácie.

Derivát z

Derivácia súčtu (rozdielu) funkcií

Derivácia súčinu dvoch funkcií

Derivácia podielu dvoch funkcií

2.5. Derivát z komplexná funkcia.

Nechajte funkciu
tak, aby mohol byť reprezentovaný ako

a
, kde premenná je teda stredný argument

Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie danej funkcie vzhľadom na stredný argument deriváciou stredného argumentu vzhľadom na x.

Príklad 1.

Príklad2.

3. Funkčný diferenciál.

Nech je tam
, diferencovateľné na nejakom intervale
nechaj to tak pri táto funkcia má deriváciu

,

potom môžeš písať

(1),

kde - nekonečne malé množstvo,

pretože pri

Vynásobením všetkých podmienok rovnosti (1) o
máme:

Kde
- b.m.v. vyššia moc.

Hodnota
sa nazýva diferenciál funkcie
a označené

.

3.1. Geometrická hodnota diferenciálu.

Nechajte funkciu
.

Obr.2. Geometrický význam diferenciálu.

.

Je zrejmé, že diferenciál funkcie
sa rovná prírastku súradnice dotyčnice v danom bode.

3.2. Deriváty a diferenciály rôznych rádov.

Ak tu
, potom
sa nazýva prvá derivácia.

Derivácia prvej derivácie sa nazýva derivácia druhého rádu a zapisuje sa
.

Derivácia n-tého rádu funkcie
sa nazýva derivácia (n-1) rádu a píše sa:

.

Diferenciál diferenciálu funkcie sa nazýva druhý diferenciál alebo diferenciál druhého rádu.

.

.

3.3 Riešenie biologických problémov pomocou diferenciácie.

Úloha1. Štúdie ukázali, že rast kolónie mikroorganizmov je v súlade so zákonom
, kde N - počet mikroorganizmov (v tisícoch), t – čas (dni).

b) Bude sa populácia kolónie počas tohto obdobia zvyšovať alebo znižovať?

Odpoveď. Kolónia bude rásť vo veľkosti.

Úloha 2. Voda v jazere sa pravidelne testuje na kontrolu obsahu patogénnych baktérií. cez t dní po testovaní sa koncentrácia baktérií určí pomerom

.

Kedy bude v jazere minimálna koncentrácia baktérií a bude sa v ňom dať plávať?

Riešenie Funkcia dosiahne maximum alebo minimum, keď je jej derivácia nula.

,

Stanovme si, že maximum alebo minimum bude za 6 dní. Aby sme to dosiahli, vezmeme druhú deriváciu.

Odpoveď: Po 6 dňoch bude minimálna koncentrácia baktérií.

Ako viete, pri násobení výrazov mocninami sa ich exponenty vždy sčítajú (a b * a c = a b + c). Tento matematický zákon odvodil Archimedes a neskôr, v 8. storočí, vytvoril matematik Virasen tabuľku celočíselných ukazovateľov. Boli to oni, ktorí slúžili na ďalšie objavovanie logaritmov. Príklady použitia tejto funkcie nájdeme takmer všade tam, kde je potrebné zjednodušiť ťažkopádne násobenie na jednoduché sčítanie. Ak strávite 10 minút čítaním tohto článku, vysvetlíme vám, čo sú to logaritmy a ako s nimi pracovať. Jednoduchý a prístupný jazyk.

Definícia v matematike

Logaritmus je vyjadrením nasledujúceho tvaru: log a b=c, teda logaritmus ľubovoľného nezáporného čísla (t. j. akéhokoľvek kladného čísla) "b" jeho základom "a" sa považuje za mocninu "c" , na ktorý musí byť základ "a" zdvihnutý, aby nakoniec dostal hodnotu "b". Analyzujme logaritmus na príkladoch, povedzme, že existuje výraz log 2 8. Ako nájsť odpoveď? Je to veľmi jednoduché, musíte nájsť taký stupeň, aby ste od 2 do požadovaného stupňa dostali 8. Po vykonaní niekoľkých výpočtov vo vašej mysli dostaneme číslo 3! A je to tak správne, pretože 2 na mocninu 3 dáva v odpovedi číslo 8.

Odrody logaritmov

Pre mnohých žiakov a študentov sa táto téma zdá zložitá a nepochopiteľná, ale v skutočnosti logaritmy nie sú také strašidelné, hlavnou vecou je pochopiť ich všeobecný význam a zapamätať si ich vlastnosti a niektoré pravidlá. Sú tam tri určité typy logaritmické výrazy:

1. Prirodzený logaritmus ln a, kde základom je Eulerovo číslo (e = 2,7).
2. Desatinné a, kde základ je 10.
3. Logaritmus ľubovoľného čísla b so základom a>1.

Každý z nich je rozhodnutý štandardným spôsobom, ktorá zahŕňa zjednodušenie, redukciu a následnú redukciu na jeden logaritmus pomocou logaritmických viet. Aby ste získali správne hodnoty logaritmov, mali by ste si zapamätať ich vlastnosti a poradie akcií pri ich rozhodnutiach.

Pravidlá a určité obmedzenia

V matematike existuje niekoľko pravidiel-obmedzení, ktoré sú akceptované ako axióma, to znamená, že nie sú predmetom diskusie a sú pravdivé. Čísla napríklad nemôžete deliť nulou a nie je možné použiť ani párny koreň záporné čísla. Logaritmy majú tiež svoje pravidlá, podľa ktorých sa ľahko naučíte pracovať aj s dlhými a objemnými logaritmickými výrazmi:

• základ „a“ musí byť vždy väčší ako nula a zároveň sa nesmie rovnať 1, inak výraz stratí svoj význam, pretože „1“ a „0“ sa v akomkoľvek stupni vždy rovnajú svojim hodnotám;
• ak a > 0, potom a b > 0, ukáže sa, že "c" musí byť väčšie ako nula.

Ako vyriešiť logaritmy?

Napríklad vzhľadom na úlohu nájsť odpoveď na rovnicu 10 x \u003d 100. Je to veľmi jednoduché, musíte si vybrať takú silu zvýšením čísla desať, na ktoré dostaneme 100. Toto je, samozrejme, 10 2 \u003d 100.

Teraz si predstavme tento výraz ako logaritmický. Dostaneme log 10 100 = 2. Pri riešení logaritmov všetky akcie prakticky konvergujú k zisteniu miery, do akej je potrebné zadať základ logaritmu, aby sme získali dané číslo.

Ak chcete presne určiť hodnotu neznámeho stupňa, musíte sa naučiť pracovať s tabuľkou stupňov. Vyzerá to takto:

Ako vidíte, niektoré exponenty sa dajú uhádnuť intuitívne, ak máte technické myslenie a znalosti násobilky. Avšak, pre veľké hodnoty potrebujete tabuľku stupňov. Využiť ho môžu aj tí, ktorí v zložitých matematických témach nerozumejú vôbec ničomu. Čísla sú uvedené v ľavom stĺpci (základ a), horný rad čísel je hodnota mocniny c, na ktorú je číslo a umocnené. Na priesečníku buniek sa určia hodnoty čísel, ktoré sú odpoveďou (a c = b). Zoberme si napríklad úplne prvú bunku s číslom 10 a odmocnime ju, dostaneme hodnotu 100, ktorá je naznačená na priesečníku našich dvoch buniek. Všetko je také jednoduché a ľahké, že to pochopí aj ten najskutočnejší humanista!

Rovnice a nerovnice

Ukazuje sa, že za určitých podmienok je exponentom logaritmus. Preto akékoľvek matematické numerické výrazy možno zapísať ako logaritmickú rovnicu. Napríklad 3 4 = 81 možno zapísať ako logaritmus 81 k základu 3, čo je štyri (log 3 81 = 4). Pre záporné mocniny sú pravidlá rovnaké: 2 -5 = 1/32 zapíšeme ako logaritmus, dostaneme log 2 (1/32) = -5. Jednou z najfascinujúcejších častí matematiky je téma „logaritmov“. Príklady a riešenia rovníc zvážime o niečo nižšie, hneď po preštudovaní ich vlastností. Teraz sa pozrime na to, ako vyzerajú nerovnosti a ako ich odlíšiť od rovníc.

Je daný výraz v nasledujúcom tvare: log 2 (x-1) > 3 - ide o logaritmickú nerovnosť, keďže neznáma hodnota "x" je pod znamienkom logaritmu. A tiež vo výraze sa porovnávajú dve veličiny: logaritmus požadovaného čísla v základe dva je väčší ako číslo tri.

Najdôležitejší rozdiel medzi logaritmickými rovnicami a nerovnosťami je v tom, že rovnice s logaritmami (napríklad logaritmus 2 x = √9) zahŕňajú jednu alebo viac špecifických číselných hodnôt v odpovedi, zatiaľ čo pri riešení nerovností sú definované ako plocha. povolené hodnoty a body diskontinuity tejto funkcie. V dôsledku toho odpoveď nie je jednoduchá množina jednotlivých čísel ako v odpovedi rovnice, ale súvislý rad alebo množina čísel.

Základné vety o logaritmoch

Pri riešení primitívnych úloh pri hľadaní hodnôt logaritmu nemusia byť jeho vlastnosti známe. Pokiaľ však ide o logaritmické rovnice alebo nerovnice, v prvom rade je potrebné jasne pochopiť a prakticky aplikovať všetky základné vlastnosti logaritmov. S príkladmi rovníc sa zoznámime neskôr, najprv si každú vlastnosť podrobnejšie rozoberieme.

1. Základná identita vyzerá takto: a logaB =B. Platí len vtedy, ak a je väčšie ako 0, nerovná sa jednej a B je väčšie ako nula.
2. Logaritmus súčinu môže byť vyjadrený v nasledujúcom vzorci: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. predpokladom je: d, s1 a s2 > 0; a≠1. Môžete poskytnúť dôkaz pre tento vzorec logaritmov s príkladmi a riešením. Nech log a s 1 = f 1 a log a s 2 = f 2, potom a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dostaneme, že s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vlastnosti stupňov ), a ďalej podľa definície: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, čo sa malo dokázať.
3. Logaritmus kvocientu vyzerá takto: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Veta vo forme vzorca má tento tvar: log a q b n = n/q log a b.

Tento vzorec sa nazýva "vlastnosť stupňa logaritmu". Pripomína vlastnosti bežných stupňov a nie je to prekvapujúce, pretože celá matematika spočíva na pravidelných postulátoch. Pozrime sa na dôkaz.

Nechaj log a b \u003d t, ukáže sa t \u003d b. Ak zdvihnete obe časti na mocninu m: a tn = b n ;

ale keďže a tn = (a q) nt/q = b n , teda log a q b n = (n*t)/t, potom log a q b n = n/q log a b. Veta bola dokázaná.

Príklady problémov a nerovností

Najbežnejšími typmi logaritmických problémov sú príklady rovníc a nerovníc. Nachádzajú sa takmer vo všetkých problémových knihách a sú zahrnuté aj v povinnej časti skúšok z matematiky. Na vstup na univerzitu alebo absolvovanie vstupných testov z matematiky musíte vedieť, ako takéto úlohy správne riešiť.

Bohužiaľ neexistuje jednotný plán alebo schéma na riešenie a určenie neznámej hodnoty logaritmu, avšak na každú matematickú nerovnosť alebo logaritmickú rovnicu možno použiť určité pravidlá. Najprv by ste mali zistiť, či sa výraz dá zjednodušiť alebo zredukovať všeobecný pohľad. Zjednodušte dlho logaritmické výrazy Môžete, ak správne používate ich vlastnosti. Poďme sa s nimi čoskoro zoznámiť.

Pri rozhodovaní logaritmické rovnice, je potrebné určiť, aký typ logaritmu máme pred sebou: príklad výrazu môže obsahovať prirodzený logaritmus alebo desiatkový.

Tu sú príklady ln100, ln1026. Ich riešenie sa scvrkáva na skutočnosť, že musíte určiť, do akej miery sa základ 10 bude rovnať 100 a 1026. Pre riešenia prirodzené logaritmy treba použiť logaritmické identity alebo ich vlastnosti. Pozrime sa na príklady riešenia logaritmických problémov rôznych typov.

Ako používať logaritmické vzorce: s príkladmi a riešeniami

Pozrime sa teda na príklady použitia hlavných teorémov na logaritmy.

1. Vlastnosť logaritmu súčinu môže byť použitá v úlohách, kde je potrebné expandovať veľký významčísla b do jednoduchších faktorov. Napríklad log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpoveď je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - ako vidíte, pomocou štvrtej vlastnosti stupňa logaritmu sa nám podarilo vyriešiť na prvý pohľad zložitý a neriešiteľný výraz. Je potrebné iba faktorizovať základ a potom odobrať hodnoty exponentov zo znamienka logaritmu.

Úlohy zo skúšky

Logaritmy sa často vyskytujú pri prijímacích skúškach, najmä veľa logaritmických problémov pri Jednotnej štátnej skúške (štátna skúška pre všetkých absolventov škôl). Zvyčajne sa tieto úlohy nachádzajú nielen v časti A (najľahšia testovacia časť skúšky), ale aj v časti C (najťažšie a najobsiahlejšie úlohy). Skúška predpokladá presnú a dokonalú znalosť témy "Prirodzené logaritmy".

Príklady a riešenia problémov sú prevzaté z oficiálnych verzií skúšky. Pozrime sa, ako sa takéto úlohy riešia.

Dané log 2 (2x-1) = 4. Riešenie:
prepíšme výraz, trochu ho zjednodušíme log 2 (2x-1) = 2 2 , definíciou logaritmu dostaneme, že 2x-1 = 2 4 , teda 2x = 17; x = 8,5.

• Všetky logaritmy je najlepšie zredukovať na rovnaký základ, aby riešenie nebolo ťažkopádne a mätúce.
• Všetky výrazy pod znamienkom logaritmu sú označené ako kladné, preto pri vyberaní exponentu exponentu výrazu, ktorý je pod znamienkom logaritmu a ako jeho základu, musí byť výraz zostávajúci pod logaritmom kladný.

S rozvojom spoločnosti, zložitosťou výroby sa rozvíjala aj matematika. Pohyb od jednoduchého k zložitému. Od zaužívaného účtovného spôsobu sčítania a odčítania sa ich opakovaným opakovaním dostali k pojmu násobenie a delenie. Zníženie viacnásobne opakovanej operácie sa stalo pojmom umocňovanie. Prvé tabuľky závislosti čísel od základne a počtu umocnení zostavil už v 8. storočí indický matematik Varasena. Z nich môžete spočítať čas výskytu logaritmov.

Historický náčrt

Oživenie Európy v 16. storočí podnietilo aj rozvoj mechaniky. T vyžadovalo veľké množstvo výpočtov súvisí s násobením a delením viacciferné čísla. Staroveké stoly urobili skvelú službu. Dovolili vymeniť zložité operácie na jednoduchšie - sčítanie a odčítanie. veľký krok vpred bola práca matematika Michaela Stiefela, publikovaná v roku 1544, v ktorej realizoval myšlienku mnohých matematikov. To umožnilo použiť tabuľky nielen pre stupne vo formulári základné čísla, ale aj pre svojvoľné racionálne.

V roku 1614 prvýkrát predstavil tieto myšlienky Škót John Napier, ktorý rozvíjal tieto myšlienky nový termín„logaritmus čísla“. Boli zostavené nové komplexné tabuľky na výpočet logaritmov sínusov a kosínusov, ako aj tangens. To značne znížilo prácu astronómov.

Začali sa objavovať nové tabuľky, ktoré vedci úspešne používali už tri storočia. Predtým to trvalo dlho nová prevádzka v algebre nadobudol svoju hotovú podobu. Bol definovaný logaritmus a boli študované jeho vlastnosti.

Až v 20. storočí, s príchodom kalkulačky a počítača, ľudstvo opustilo staroveké tabuľky, ktoré úspešne fungovali počas 13. storočia.

Dnes nazývame logaritmus b na základe čísla x, čo je mocnina a, aby sme dostali číslo b. Toto je napísané ako vzorec: x = log a(b).

Napríklad log 3(9) sa bude rovnať 2. To je zrejmé, ak budete postupovať podľa definície. Ak zvýšime 3 na 2, dostaneme 9.

Formulovaná definícia teda kladie len jedno obmedzenie, čísla a a b musia byť reálne.

Odrody logaritmov

Klasická definícia sa nazýva reálny logaritmus a je vlastne riešením rovnice a x = b. Možnosť a = 1 je hraničná a nie je zaujímavá. Poznámka: 1 ku ktorejkoľvek mocnine je 1.

Skutočná hodnota logaritmu definované iba v prípade, že základ a argument sú väčšie ako 0 a základ sa nesmie rovnať 1.

Osobitné miesto v oblasti matematiky hrať logaritmy, ktoré budú pomenované v závislosti od hodnoty ich základne:

Pravidlá a obmedzenia

Základnou vlastnosťou logaritmov je pravidlo: logaritmus súčinu sa rovná logaritmickému súčtu. log abp = log a(b) + log a(p).

Ako variant tohto tvrdenia to bude: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), kvocientová funkcia sa rovná rozdielu funkcií.

Z predchádzajúcich dvoch pravidiel je ľahké vidieť, že: log a(b p) = p * log a(b).

Medzi ďalšie vlastnosti patrí:

Komentujte. Nerobte bežnú chybu - logaritmus súčtu sa nerovná súčtu logaritmov.

Po mnoho storočí bola operácia hľadania logaritmu pomerne časovo náročná úloha. Matematici použili dobre známy vzorec logaritmickej teórie expanzie do polynómu:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* ((x^n)/n), kde n je prirodzené číslo väčší ako 1, čo určuje presnosť výpočtu.

Logaritmy s inými bázami boli vypočítané pomocou vety o prechode z jednej bázy na druhú a vlastnosti logaritmu súčinu.

Keďže táto metóda je veľmi prácna a pri riešení praktických problémov náročné na implementáciu, použili vopred zostavené tabuľky logaritmov, čo značne urýchlilo celú prácu.

V niektorých prípadoch boli použité špeciálne zostavené grafy logaritmov, ktoré poskytli menšiu presnosť, ale výrazne urýchlili hľadanie požadovanej hodnoty. Krivka funkcie y = log a(x), postavená na niekoľkých bodoch, umožňuje pomocou obvyklého pravítka nájsť hodnoty funkcie v akomkoľvek inom bode. Inžinieri na tieto účely dlho používali takzvaný milimetrový papier.

V 17. storočí sa objavili prvé pomocné analógové výpočtové podmienky, ktoré k XIX storočia získal hotový vzhľad. Najúspešnejšie zariadenie sa nazývalo posuvné pravítko. Napriek jednoduchosti zariadenia jeho vzhľad výrazne urýchlil proces všetkých inžinierskych výpočtov, čo je ťažké preceňovať. V súčasnosti pozná toto zariadenie len málo ľudí.

Nástup kalkulačiek a počítačov spôsobil, že používanie akýchkoľvek iných zariadení bolo zbytočné.

Rovnice a nerovnice

Nasledujúce vzorce sa používajú na riešenie rôznych rovníc a nerovníc pomocou logaritmov:

• Prechod z jednej bázy na druhú: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• V dôsledku predchádzajúcej verzie: log a(b) = 1 / log b(a).

Na riešenie nerovností je užitočné vedieť:

• Hodnota logaritmu bude kladná iba vtedy, ak základ aj argument sú väčšie ako alebo menej ako jeden; ak je porušená aspoň jedna podmienka, hodnota logaritmu bude záporná.
• Ak je logaritmická funkcia aplikovaná na pravú a ľavú stranu nerovnosti a základňa logaritmu je väčšia ako jedna, potom sa znamienko nerovnosti zachová; inak sa to zmení.

Príklady úloh

Zvážte niekoľko možností použitia logaritmov a ich vlastností. Príklady s riešením rovníc:

Zvážte možnosť umiestniť logaritmus do stupňa:

• Úloha 3. Vypočítajte 25^log 5(3). Riešenie: v podmienkach úlohy je zápis podobný nasledujúcim (5^2)^log5(3) alebo 5^(2 * log 5(3)). Napíšme to inak: 5^log 5(3*2), alebo druhú mocninu čísla ako argument funkcie možno zapísať ako druhú mocninu samotnej funkcie (5^log 5(3))^2. Použitím vlastností logaritmov je tento výraz 3^2. Odpoveď: ako výsledok výpočtu dostaneme 9.

Praktické využitie

Zdá sa, že ide o čisto matematický nástroj skutočný životže logaritmus zrazu nadobudol veľký význam pri opise predmetov reálny svet. Je ťažké nájsť vedu, kde sa nepoužíva. V plnej miere to platí nielen pre prírodné, ale aj humanitné oblasti poznania.

Logaritmické závislosti

Tu je niekoľko príkladov numerických závislostí:

Mechanika a fyzika

Historicky sa mechanika a fyzika vždy rozvíjali pomocou matematických výskumných metód a zároveň slúžili ako stimul pre rozvoj matematiky, vrátane logaritmov. Teória väčšiny fyzikálnych zákonov je napísaná v jazyku matematiky. Uvádzame len dva príklady opisu fyzikálnych zákonov pomocou logaritmu.

Problém výpočtu takého zložitého množstva, ako je rýchlosť rakety, je možné vyriešiť pomocou vzorca Tsiolkovského, ktorý položil základ pre teóriu prieskumu vesmíru:

V = I * ln(M1/M2), kde

• V je konečná rýchlosť lietadla.
• I je špecifický impulz motora.
• M 1 je počiatočná hmotnosť rakety.
• M 2 - výsledná hmotnosť.

Ďalší dôležitý príklad- to je použitie vo vzorci ďalšieho veľkého vedca Maxa Plancka, ktorý slúži na vyhodnotenie rovnovážneho stavu v termodynamike.

S = k * ln (Ω), kde

• S je termodynamická vlastnosť.
• k je Boltzmannova konštanta.
• Ω je štatistická váha rôznych stavov.

Chémia

Menej zrejmé by bolo použitie vzorcov v chémii obsahujúcich pomer logaritmov. Tu sú len dva príklady:

• Nernstova rovnica, stav redoxného potenciálu prostredia vo vzťahu k aktivite látok a rovnovážnej konštante.
• Výpočet takých konštánt, ako je index autoprolýzy a kyslosť roztoku, tiež nie je úplný bez našej funkcie.

Psychológia a biológia

A je úplne nepochopiteľné, čo s tým má psychológia spoločné. Ukazuje sa, že silu vnemu táto funkcia dobre popisuje ako inverzný pomer hodnoty intenzity stimulu k nižšej hodnote intenzity.

Po vyššie uvedených príkladoch už nie je prekvapujúce, že téma logaritmov je široko používaná aj v biológii. O biologických formách zodpovedajúcich logaritmickým špirálam možno písať celé zväzky.

Ostatné oblasti

Zdá sa, že bez spojenia s touto funkciou je existencia sveta nemožná a riadi sa ňou všetky zákony. Najmä vtedy, keď sú prírodné zákony spojené s geometrický postup. Stojí za to odkázať na webovú stránku MatProfi a existuje veľa takýchto príkladov v nasledujúcich oblastiach činnosti:

Zoznam by mohol byť nekonečný. Po zvládnutí základných zákonov tejto funkcie sa môžete ponoriť do sveta nekonečnej múdrosti.

Pokračujeme v štúdiu logaritmov. V tomto článku budeme hovoriť o výpočet logaritmov, tento proces sa nazýva logaritmus. Najprv sa budeme zaoberať výpočtom logaritmov podľa definície. Ďalej zvážte, ako sa nachádzajú hodnoty logaritmov pomocou ich vlastností. Potom sa budeme zaoberať výpočtom logaritmov prostredníctvom pôvodne zadaných hodnôt iných logaritmov. Nakoniec sa naučíme používať tabuľky logaritmov. Celá teória je vybavená príkladmi s podrobným riešením.

Navigácia na stránke.

Výpočet logaritmov podľa definície

V najjednoduchších prípadoch je možné rýchlo a jednoducho vykonať nájdenie logaritmu podľa definície. Pozrime sa bližšie na to, ako tento proces prebieha.

Jeho podstatou je reprezentovať číslo b v tvare a c , odkiaľ je podľa definície logaritmu číslo c hodnotou logaritmu. To znamená, že nájdenie logaritmu podľa definície zodpovedá nasledujúcemu reťazcu rovnosti: log a b=log a a c =c .

Výpočet logaritmu teda podľa definície vedie k nájdeniu takého čísla c, že ​​a c \u003d b a samotné číslo c je požadovaná hodnota logaritmu.

Vzhľadom na informácie z predchádzajúcich odsekov, keď je číslo pod znamienkom logaritmu dané určitým stupňom základne logaritmu, môžete okamžite uviesť, čomu sa logaritmus rovná - rovná sa exponentu. Ukážme si príklady.

Príklad.

Nájdite log 2 2 −3 a tiež vypočítajte prirodzený logaritmus e 5,3.

rozhodnutie.

Definícia logaritmu nám umožňuje hneď povedať, že log 2 2 −3 = −3 . V skutočnosti sa číslo pod znamienkom logaritmu rovná základu 2 až -3.

Podobne nájdeme druhý logaritmus: lne 5,3 = 5,3.

odpoveď:

log 2 2 −3 = −3 a lne 5.3 = 5.3.

Ak číslo b pod znamienkom logaritmu nie je uvedené ako mocnina základu logaritmu, potom musíte dôkladne zvážiť, či je možné prísť so zobrazením čísla b v tvare a c . Toto znázornenie je často celkom zrejmé, najmä ak sa číslo pod znamienkom logaritmu rovná základu s mocninou 1, alebo 2, alebo 3, ...

Príklad.

Vypočítajte logaritmy log 5 25 a .

rozhodnutie.

Je ľahké vidieť, že 25=5 2 , to vám umožňuje vypočítať prvý logaritmus: log 5 25 = log 5 5 2 = 2 .

Prejdeme k výpočtu druhého logaritmu. Číslo môže byť vyjadrené ako mocnina 7: (pozri v prípade potreby). teda .

Prepíšme tretí logaritmus nasledujúci formulár. Teraz to môžete vidieť , z čoho sme dospeli k záveru, že . Preto podľa definície logaritmu .

Stručne povedané, riešenie by sa dalo napísať takto:

odpoveď:

log 5 25=2 , a .

Keď je dostatočne veľké prirodzené číslo pod znamienkom logaritmu, nezaškodí ho rozložiť na hlavné faktory. Často pomáha reprezentovať také číslo ako nejakú mocninu základu logaritmu, a preto tento logaritmus vypočítať podľa definície.

Príklad.

Nájdite hodnotu logaritmu.

rozhodnutie.

Niektoré vlastnosti logaritmov umožňujú okamžite určiť hodnotu logaritmov. Tieto vlastnosti zahŕňajú vlastnosť logaritmu jednotky a vlastnosť logaritmu čísla rovného základu: log 1 1=log a a 0 =0 a log a a=log a a 1 =1 . To znamená, že keď číslo 1 alebo číslo a je pod znamienkom logaritmu, rovná sa základu logaritmu, potom sú v týchto prípadoch logaritmy 0 a 1.

Príklad.

Aké sú logaritmy a lg10?

rozhodnutie.

Od , to vyplýva z definície logaritmu .

V druhom príklade sa číslo 10 pod znamienkom logaritmu zhoduje so základom, takže desiatkový logaritmus desiatich sa rovná jednej, teda lg10=lg10 1 =1 .

odpoveď:

A lg10=1.

Všimnite si, že výpočet logaritmov podľa definície (o ktorej sme hovorili v predchádzajúcom odseku) predpokladá použitie logaritmu rovnosti a a p =p , čo je jedna z vlastností logaritmov.

V praxi, keď je číslo pod znamienkom logaritmu a základ logaritmu ľahko reprezentované ako mocnina nejakého čísla, je veľmi vhodné použiť vzorec , čo zodpovedá jednej z vlastností logaritmov. Zvážte príklad nájdenia logaritmu, ktorý ilustruje použitie tohto vzorca.

Príklad.

Vypočítajte logaritmus .

rozhodnutie.

odpoveď:

.

Pri výpočte sa využívajú aj vyššie neuvedené vlastnosti logaritmov, ale o tom si povieme v nasledujúcich odstavcoch.

Hľadanie logaritmov z hľadiska iných známych logaritmov

Informácie v tomto odseku pokračujú v téme využitia vlastností logaritmov pri ich výpočte. Ale tu je hlavný rozdiel v tom, že vlastnosti logaritmov sa používajú na vyjadrenie pôvodného logaritmu pomocou iného logaritmu, ktorého hodnota je známa. Pre objasnenie si uveďme príklad. Povedzme, že vieme, že log 2 3≈1,584963 , potom môžeme nájsť napríklad log 2 6 vykonaním malej transformácie pomocou vlastností logaritmu: log 2 6 = log 2 (2 3) = log 2 2 + log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Vo vyššie uvedenom príklade nám stačilo použiť vlastnosť logaritmu súčinu. Oveľa častejšie však musíte použiť širší arzenál vlastností logaritmov, aby ste vypočítali pôvodný logaritmus z hľadiska daných.

Príklad.

Vypočítajte logaritmus 27 k základu 60, ak je známe, že log 60 2=a a log 60 5=b .

rozhodnutie.

Musíme teda nájsť log 60 27 . Je ľahké vidieť, že 27=3 3 a pôvodný logaritmus možno vďaka vlastnosti logaritmu stupňa prepísať ako 3·log 60 3 .

Teraz sa pozrime, ako možno log 60 3 vyjadriť pomocou známych logaritmov. Vlastnosť logaritmu čísla rovného základu vám umožňuje zapísať logaritmus rovnosti 60 60=1 . Na druhej strane log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 + log 60 3+ log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . teda 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. teda log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Nakoniec vypočítame pôvodný logaritmus: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1-2 a-b) = 3-6 a-3 b.

odpoveď:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Samostatne stojí za zmienku o význame vzorca pre prechod na nový základ logaritmu formulára . Umožňuje vám prejsť od logaritmov s ľubovoľným základom k logaritmom s konkrétnym základom, ktorých hodnoty sú známe alebo je možné ich nájsť. Zvyčajne z pôvodného logaritmu podľa prechodového vzorca prechádzajú na logaritmy v jednej zo základov 2, e alebo 10, pretože pre tieto základy existujú tabuľky logaritmov, ktoré umožňujú vypočítať ich hodnoty s určitým stupňom presnosti. V ďalšej časti si ukážeme, ako sa to robí.

Logaritmické tabuľky, ich použitie

Na približný výpočet hodnôt logaritmov je možné použiť logaritmické tabuľky. Najčastejšie sa používa základná 2 logaritmická tabuľka, prirodzená logaritmická tabuľka a desiatková logaritmická tabuľka. Pri práci v desiatkovej číselnej sústave je vhodné použiť tabuľku logaritmov so základom desať. S jeho pomocou sa naučíme nájsť hodnoty logaritmov.

Predložená tabuľka umožňuje s presnosťou na jednu desaťtisícinu nájsť hodnoty dekadických logaritmov čísel od 1,000 do 9,999 (s tromi desatinnými miestami). Princíp hľadania hodnoty logaritmu pomocou tabuľky desiatkových logaritmov bude analyzovaný v konkrétny príklad- oveľa jasnejšie. Poďme nájsť lg1,256 .

V ľavom stĺpci tabuľky desiatkových logaritmov nájdeme prvé dve číslice čísla 1,256, teda nájdeme 1,2 (toto číslo je kvôli prehľadnosti zakrúžkované modrou farbou). Tretia číslica čísla 1,256 (číslo 5) sa nachádza v prvom alebo poslednom riadku naľavo od dvojitého riadku (toto číslo je zakrúžkované červenou farbou). Štvrtá číslica pôvodného čísla 1,256 (číslo 6) sa nachádza v prvom alebo poslednom riadku napravo od dvojitého riadku (toto číslo je zakrúžkované zelenou farbou). Teraz nájdeme čísla v bunkách tabuľky logaritmov na priesečníku označeného riadku a označených stĺpcov (tieto čísla sú zvýraznené oranžová). Súčet označených čísel dáva požadovanú hodnotu desiatkového logaritmu až do štvrtý znak za čiarkou, tzn. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Je možné pomocou vyššie uvedenej tabuľky nájsť hodnoty desiatkových logaritmov čísel, ktoré majú viac ako tri číslice za desatinnou čiarkou, a tiež prekročiť limity od 1 do 9,999? Áno môžeš. Ukážme si, ako sa to robí na príklade.

Vypočítajme lg102,76332 . Najprv musíte napísať číslo v štandardná forma : 102,76332=1,0276332 10 2 . Potom by sa mantisa mala zaokrúhliť na tretie desatinné miesto, máme 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, pričom pôvodný dekadický logaritmus sa približne rovná logaritmu výsledného čísla, to znamená, že vezmeme lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Teraz použite vlastnosti logaritmu: lg1,028 10 2 = lg1,028+lg102 = lg1,028+2. Nakoniec zistíme hodnotu logaritmu lg1,028 podľa tabuľky desiatkových logaritmov lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Výsledkom je, že celý proces výpočtu logaritmu vyzerá takto: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg102 = lg1,028+2≈0,012+2=2,012.

Na záver stojí za zmienku, že pomocou tabuľky desiatkových logaritmov môžete vypočítať približnú hodnotu ľubovoľného logaritmu. Na to stačí použiť prechodový vzorec na prechod na desiatkové logaritmy, nájsť ich hodnoty v tabuľke a vykonať zostávajúce výpočty.

Napríklad vypočítajme log 2 3 . Podľa vzorca na prechod na nový základ logaritmu máme . Z tabuľky desiatkových logaritmov nájdeme lg3≈0,4771 a lg2≈0,3010. teda .

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre 10. – 11. ročník všeobecných vzdelávacích inštitúcií.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách).

Začnime s vlastnosti logaritmu jednoty. Jeho formulácia je nasledovná: logaritmus jednoty sa rovná nule, tj. log a 1=0 pre ľubovoľné a>0, a≠1. Dôkaz je jednoduchý: keďže a 0 = 1 pre akékoľvek a, ktoré spĺňa vyššie uvedené podmienky a>0 a a≠1 , potom z definície logaritmu okamžite vyplýva dokázaná rovnosť log a 1=0.

Uveďme príklady aplikácie uvažovanej vlastnosti: log 3 1=0 , lg1=0 a .

Prejdime k ďalšej vlastnosti: logaritmus čísla rovného základu sa rovná jednej, t.j. log a a=1 pre a>0, a≠1. V skutočnosti, keďže a 1 =a pre ľubovoľné a , potom podľa definície logaritmu log a a=1 .

Príklady použitia tejto vlastnosti logaritmov sú log 5 5=1 , log 5.6 5.6 a lne=1 .

Napríklad log 2 2 7 =7, log10-4 =-4 a .

Logaritmus súčinu dvoch kladné čísla x a y sa rovná súčinu logaritmov týchto čísel: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Dokážme vlastnosť logaritmu súčinu. Vzhľadom na vlastnosti stupňa a log a x+log a y =a log a x a log a y a keďže podľa hlavnej logaritmickej identity log a x =x a log a y = y , potom log a x a log a y =x y . Teda log a x + log a y = x y , z čoho vyplýva požadovaná rovnosť podľa definície logaritmu.

Ukážme si príklady použitia vlastnosti logaritmu súčinu: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 a .

Vlastnosť logaritmu súčinu možno zovšeobecniť na súčin konečného počtu n kladných čísel x 1 , x 2 , …, x n ako log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Táto rovnosť sa dá ľahko dokázať.

Napríklad prirodzený logaritmus súčinu možno nahradiť súčtom troch prirodzených logaritmov čísel 4 , e a .

Logaritmus podielu dvoch kladných čísel x a y sa rovná rozdielu medzi logaritmami týchto čísel. Vlastnosť logaritmu kvocientu zodpovedá vzorcu v tvare , kde a>0 , a≠1 , x a y sú nejaké kladné čísla. Platnosť tohto vzorca je dokázaná ako vzorec pre logaritmus súčinu: od , potom podľa definície logaritmu .

Tu je príklad použitia tejto vlastnosti logaritmu: .

Prejdime k vlastnosť logaritmu stupňa. Logaritmus stupňa sa rovná súčinu exponentu a logaritmu modulu bázy tohto stupňa. Túto vlastnosť logaritmu stupňa zapíšeme vo forme vzorca: log a b p =p log a |b|, kde a>0 , a≠1 , b a p sú čísla také, že stupeň b p dáva zmysel a b p > 0 .

Najprv dokážeme túto vlastnosť pre kladné b . Základná logaritmická identita nám umožňuje reprezentovať číslo b ako log a b , potom b p = (a log a b) p a výsledný výraz sa vzhľadom na mocninu rovná a p log a b . Dostaneme sa teda k rovnosti b p =a p log a b , z ktorej podľa definície logaritmu usúdime, že log a b p = p log a b .

Zostáva dokázať túto vlastnosť pre záporné b . Tu si všimneme, že výraz log a b p pre záporné b má zmysel len pre párne exponenty p (keďže hodnota stupňa b p musí byť väčšia ako nula, inak logaritmus nebude dávať zmysel) a v tomto prípade b p =|b| p . Potom b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, odkiaľ log a b p =p log a |b| .

Napríklad, a ln(-3)4=4ln|-3|=4ln3.

Vyplýva to z predchádzajúcej vlastnosti vlastnosť logaritmu od koreňa: logaritmus odmocniny n-tého stupňa sa rovná súčinu zlomku 1/n a logaritmu koreňového výrazu, tj. , kde a>0 , a≠1 , n je prirodzené číslo väčšie ako jedna, b>0 .

Dôkaz je založený na rovnosti (pozri ), ktorá platí pre každé kladné b , a na vlastnosti logaritmu stupňa: .

Tu je príklad použitia tejto vlastnosti: .

Teraz dokážme prevodný vzorec na nový základ logaritmu milý . Na to stačí dokázať platnosť log c b=log a b log c a . Základná logaritmická identita nám umožňuje reprezentovať číslo b ako log a b , potom log c b = log c a log a b . Zostáva použiť vlastnosť logaritmu stupňa: log c a log a b = log a b log c a. Tým je dokázaná rovnosť log c b=log a b log c a, čo znamená, že je dokázaný aj vzorec pre prechod na nový základ logaritmu.

Ukážme niekoľko príkladov použitia tejto vlastnosti logaritmov: a .

Vzorec na prechod na novú základňu vám umožňuje prejsť na prácu s logaritmami, ktoré majú „pohodlnú“ základňu. Napríklad sa dá použiť na prechod na prirodzené alebo desiatkové logaritmy, aby ste mohli vypočítať hodnotu logaritmu z tabuľky logaritmov. Vzorec na prechod na nový základ logaritmu tiež umožňuje v niektorých prípadoch nájsť hodnotu daného logaritmu, keď sú známe hodnoty niektorých logaritmov s inými základmi.

Často používané špeciálny prípad vzorce na prechod na nový základ logaritmu pre c=b formulára . To ukazuje, že log a b a log b a – . Napríklad, .

Často sa používa aj vzorec , čo je užitočné pri hľadaní logaritmických hodnôt. Na potvrdenie našich slov si ukážeme, ako sa pomocou neho vypočíta hodnota logaritmu formulára. Máme . Na dôkaz vzorca stačí použiť prechodový vzorec na nový základ logaritmu a: .

Zostáva dokázať porovnávacie vlastnosti logaritmov.

Dokážme, že pre akékoľvek kladné čísla b 1 a b 2 platí b 1 log a b 2 a pre a> 1 nerovnosť log a b 1

Nakoniec zostáva dokázať poslednú z uvedených vlastností logaritmov. Obmedzíme sa na dokázanie jeho prvej časti, teda dokážeme, že ak a 1 >1 , a 2 >1 a a 1 1 je pravda log a 1 b>log a 2 b . Ostatné tvrdenia tejto vlastnosti logaritmov sú dokázané podobným princípom.

Použime opačnú metódu. Predpokladajme, že pre 1 >1 , a 2 >1 a a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b je pravda. Pomocou vlastností logaritmov možno tieto nerovnosti prepísať ako a v uvedenom poradí a z nich vyplýva, že log b a 1 ≤ log b a 2 a log b a 1 ≥ log b a 2, v tomto poradí. Potom musia byť vlastnosťami mocnín s rovnakými základmi splnené rovnosti b log b a 1 ≥ b log b a 2 a b log b a 1 ≥ b log b a 2, teda a 1 ≥a 2 . Dospeli sme teda k rozporu s podmienkou a 1

Bibliografia.