Linearna ovisnost i linearna neovisnost vektora.
Osnova vektora. Afini koordinatni sustav

U publici su kolica s čokoladama, a danas će svaki posjetitelj dobiti slatki par – analitičku geometriju s linearnom algebrom. Ovaj članak će se dotaknuti dva dijela više matematike odjednom, a vidjet ćemo kako se slažu u jednom omotu. Odmorite se, jedite Twix! ... kvragu, pa, svađaju se gluposti. Iako u redu, neću bodovati, na kraju treba biti pozitivan stav prema učenju.

Linearna ovisnost vektora, linearna neovisnost vektora, vektorsku osnovu a drugi pojmovi nemaju samo geometrijsko tumačenje, nego, prije svega, algebarsko značenje. Sam koncept "vektora" sa stajališta linearne algebre daleko je od uvijek "običan" vektor koji možemo prikazati na ravnini ili u prostoru. Ne morate daleko tražiti dokaz, pokušajte nacrtati vektor petodimenzionalnog prostora . Ili vremenski vektor zbog kojeg sam upravo otišao u Gismeteo: - temperatura i Atmosferski tlak odnosno. Primjer je, naravno, netočan s gledišta svojstava vektorskog prostora, ali, ipak, nitko ne zabranjuje formaliziranje ovih parametara kao vektora. Dah jeseni...

Ne, neću vas zamarati teorijom, linearnim vektorskim prostorima, zadatak je da razumjeti definicije i teoreme. Novi pojmovi (linearna ovisnost, neovisnost, linearna kombinacija, baza itd.) primjenjivi su na sve vektore s algebarskog stajališta, ali će primjeri biti dati geometrijski. Dakle, sve je jednostavno, dostupno i vizualno. Uz probleme analitičke geometrije, razmotrit ćemo i neke tipične zadatke algebre. Da biste svladali gradivo, preporučljivo je upoznati se s lekcijama Vektori za lutke i Kako izračunati determinantu?

Linearna ovisnost i neovisnost ravninskih vektora.
Ravninska baza i afini koordinatni sustav

Uzmite u obzir vaš avion stol za računalo(samo stol, noćni ormarić, pod, strop, što god želite). Zadatak će se sastojati od sljedećih radnji:

1) Odaberite bazu ravnine. Grubo govoreći, ploča stola ima duljinu i širinu, pa je intuitivno jasno da su za izgradnju osnove potrebna dva vektora. Jedan vektor očito nije dovoljan, tri vektora su previše.

2) Na temelju odabrane osnove postaviti koordinatni sustav(koordinatna mreža) za dodjelu koordinata svim stavkama na tablici.

Nemojte se iznenaditi, u početku će objašnjenja biti na prstima. Štoviše, na vašem. Molimo stavite kažiprst lijeva ruka na rubu stola tako da gleda u monitor. Ovo će biti vektor. Sada mjesto mali prst desna ruka na rubu stola na isti način - tako da je usmjeren prema ekranu monitora. Ovo će biti vektor. Nasmiješi se, super izgledaš! Što se može reći o vektorima? Vektori podataka kolinearna, što znači linearno izraženi jedno kroz drugo:
, pa, ili obrnuto: , gdje je broj različit od nule.

Sliku ove akcije možete vidjeti u lekciji. Vektori za lutke, gdje sam objasnio pravilo za množenje vektora brojem.

Hoće li vaši prsti postaviti osnovu na ravninu računalnog stola? Očito ne. Kolinearni vektori putuju naprijed i natrag sama smjer, dok ravnina ima duljinu i širinu.

Takvi vektori se nazivaju linearno ovisan.

Referenca: Riječi "linearno", "linearno" označavaju činjenicu da u matematičkim jednadžbama, izrazima nema kvadrata, kocke, drugih potencija, logaritma, sinusa itd. Postoje samo linearni (1. stupanj) izrazi i ovisnosti.

Dva ravna vektora linearno ovisan ako i samo ako su kolinearni.

Prekrižite prste na stolu tako da između njih postoji bilo koji kut osim 0 ili 180 stupnjeva. Dva ravna vektoralinearno ne su ovisni ako i samo ako nisu kolinearni. Dakle, osnova je primljena. Ne treba se sramiti što je baza ispala "kosa" s neokomitim vektorima različitih duljina. Vrlo brzo ćemo vidjeti da za njegovu konstrukciju nije prikladan samo kut od 90 stupnjeva, a ne samo jedinični vektori jednake duljine

Bilo koji ravan vektor jedini način prošireno u smislu osnove:
, gdje su realni brojevi . Zovu se brojevi vektorske koordinate u ovoj osnovi.

Kažu i to vektorpredstavljen u obliku linearna kombinacija baznih vektora. To jest, izraz se zove vektorska dekompozicijaosnovu ili linearna kombinacija baznih vektora.

Na primjer, može se reći da je vektor proširen u ortonormalnoj bazi ravnine, ili se može reći da je predstavljen kao linearna kombinacija vektora.

Formulirajmo definicija osnove formalno: ravninska osnova je par linearno neovisnih (nekolinearnih) vektora, , pri čemu bilo koji ravan vektor je linearna kombinacija baznih vektora.

Bitna točka definicije je činjenica da su vektori uzeti određenim redoslijedom. baze To su dvije potpuno različite baze! Kako kažu, mali prst lijeve ruke ne može se pomaknuti na mjesto malog prsta desne ruke.

Shvatili smo osnovu, ali nije dovoljno postaviti koordinatnu mrežu i dodijeliti koordinate svakoj stavci na vašem stolu. Zašto ne dovoljno? Vektori su slobodni i lutaju po cijeloj ravnini. Kako onda dodijeliti koordinate onim malim prljavim točkicama na stolu koje su ostale od divljeg vikenda? Potrebna je polazna točka. A takva referentna točka je svima poznata točka - ishodište koordinata. Razumijevanje koordinatnog sustava:

Krenut ću od "školskog" sustava. Već u uvodnom satu Vektori za lutke Istaknuo sam neke od razlika između pravokutnog koordinatnog sustava i ortonormalne baze. Evo standardne slike:

Kad se govori o pravokutni koordinatni sustav, tada najčešće znače ishodište koordinata, koordinatne osi i mjerilo duž osi. Pokušajte u tražilicu upisati "pravokutni koordinatni sustav" i vidjet ćete da će vam mnogi izvori reći o koordinatnim osima poznatim iz 5.-6. razreda i kako crtati točke na ravnini.

S druge strane, stječe se dojam da se pravokutni koordinatni sustav može dobro definirati u terminima ortonormalne baze. I gotovo je. Formulacija glasi ovako:

podrijetlo, i ortonormalno osnovni set Kartezijanski koordinatni sustav ravnine . To jest, pravokutni koordinatni sustav definitivno definiran je jednom točkom i dva jedinična ortogonalna vektora. Zato, vidite crtež koji sam dao gore - u geometrijskim problemima često se (ali daleko od uvijek) crtaju i vektori i koordinatne osi.

Mislim da svi to razumiju uz pomoć točke (podrijetla) i ortonormalne osnove BILO KOJA TOČKA ravnine i BILO KOJI VEKTOR ravnine mogu se dodijeliti koordinate. Slikovito rečeno, "sve se u avionu može numerirati".

Moraju li koordinatni vektori biti jedinični? Ne, mogu imati proizvoljnu duljinu različitu od nule. Razmotrimo točku i dva ortogonalna vektora proizvoljne duljine različite od nule:

Takva osnova se zove ortogonalni. Podrijetlo koordinata s vektorima definira koordinatnu mrežu, a svaka točka ravnine, svaki vektor ima svoje koordinate u zadanoj bazi. Na primjer, ili. Očigledna neugodnost je što su koordinatni vektori općenito imati razne duljine, različito od jedinstva. Ako su duljine jednake jedan, tada se dobiva uobičajena ortonormalna baza.

! Bilješka : u ortogonalnoj bazi, kao i ispod u afinim bazama ravnine i prostora, razmatraju se jedinice duž osi UVJETNO. Na primjer, jedna jedinica duž apscise sadrži 4 cm, jedna jedinica duž ordinate sadrži 2 cm. Ova informacija je dovoljna za pretvaranje "nestandardnih" koordinata u "naše uobičajene centimetre" ako je potrebno.

I drugo pitanje, na koje je zapravo već odgovoreno - je li kut između baznih vektora nužno jednak 90 stupnjeva? Ne! Kao što definicija kaže, bazni vektori moraju biti samo nekolinearna. Sukladno tome, kut može biti bilo što osim 0 i 180 stupnjeva.

Točka na ravnini zove se podrijetlo, i nekolinearna vektori, , postavljeno afini koordinatni sustav ravnine :

Ponekad se ovaj koordinatni sustav naziva koso sustav. Točke i vektori prikazani su kao primjeri na crtežu:

Kao što razumijete, afini koordinatni sustav je još manje prikladan, formule za duljine vektora i segmenata, koje smo razmotrili u drugom dijelu lekcije, ne rade u njemu. Vektori za lutke, mnoge ukusne formule vezane uz skalarni proizvod vektora. Ali vrijede pravila za zbrajanje vektora i množenje vektora brojem, formule za dijeljenje segmenta u tom pogledu, kao i neke druge vrste problema koje ćemo uskoro razmotriti.

I zaključak je da je najpogodniji poseban slučaj afinoga koordinatnog sustava kartezijanski pravokutni sustav. Stoga se ona, njena, najčešće mora vidjeti. ... Međutim, sve je u ovom životu relativno - postoje mnoge situacije u kojima je prikladno imati oblique (ili neku drugu, npr. polarni) koordinatni sustav. Da, i humanoidi takvi sustavi mogu pasti na ukus =)

Prijeđimo na praktični dio. Svi problemi u ovoj lekciji vrijede i za pravokutni koordinatni sustav i za opći afini slučaj. Ovdje nema ništa komplicirano, sav materijal je dostupan čak i školarcu.

Kako odrediti kolinearnost ravnih vektora?

Tipična stvar. Da bi dva ravna vektora su kolinearni, potrebno je i dovoljno da njihove odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.U suštini, ovo je koordinata po koordinata pročišćavanje očitog odnosa.

Primjer 1

a) Provjerite jesu li vektori kolinearni .
b) Da li vektori čine osnovu? ?

Odluka:
a) Saznajte postoji li vektor koeficijent proporcionalnosti, takav da su jednakosti ispunjene:

Svakako ću vam reći o “foppish” verziji primjene ovog pravila, koja u praksi dobro funkcionira. Ideja je odmah sastaviti omjer i vidjeti je li točan:

Napravimo proporciju iz omjera odgovarajućih koordinata vektora:

skraćujemo:
, stoga su odgovarajuće koordinate proporcionalne, dakle,

Relacija se može napraviti i obrnuto, ovo je ekvivalentna opcija:

Za samotestiranje može se koristiti činjenica da su kolinearni vektori linearno izraženi jedan kroz drugi. U ovom slučaju postoje jednakosti . Njihova valjanost može se lako provjeriti kroz elementarne operacije s vektorima:

b) Dva ravna vektora čine bazu ako nisu kolinearni (linearno neovisni). Ispitujemo kolinearnost vektora . Kreirajmo sustav:

Iz prve jednadžbe slijedi da , iz druge jednadžbe slijedi da , što znači, sustav je nedosljedan(nema rješenja). Dakle, odgovarajuće koordinate vektora nisu proporcionalne.

Zaključak: vektori su linearno neovisni i čine bazu.

Pojednostavljena verzija rješenja izgleda ovako:

Sastavite omjer iz odgovarajućih koordinata vektora :
, dakle, ovi vektori su linearno neovisni i čine bazu.

Obično recenzenti ne odbijaju ovu opciju, ali problem nastaje u slučajevima kada su neke koordinate jednake nuli. Kao ovo: . ili ovako: . ili ovako: . Kako ovdje raditi kroz proporciju? (Zaista, ne možete podijeliti s nulom). Iz tog razloga sam pojednostavljeno rješenje nazvao "foppish".

Odgovor: a) , b) oblik.

Mali kreativni primjer za samostalno rješenje:

Primjer 2

Pri kojoj vrijednosti vektora parametara će biti kolinearna?

U otopini uzorka, parametar se pronalazi kroz omjer.

Postoji elegantan algebarski način za provjeru kolinearnosti vektora. Sistematizirajmo naše znanje i samo ga dodajmo kao petu točku:

Za dva ravna vektora, sljedeće izjave su ekvivalentne:

2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu kolinearni;

+ 5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, nije nula.

Odnosno, sljedeće suprotne izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno ovisni;
2) vektori ne čine osnovu;
3) vektori su kolinearni;
4) vektori se mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
+ 5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, jednaka je nuli.

Stvarno se tome nadam ovaj trenutak već razumijete sve ispunjene uvjete i izjave.

Pogledajmo pobliže novu, petu točku: dva ravna vektora su kolinearni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata zadanih vektora jednaka nuli:. Da biste koristili ovu značajku, naravno, morate biti u mogućnosti pronaći odrednice.

Mi ćemo odlučiti Primjer 1 na drugi način:

a) Izračunaj determinantu sastavljenu od koordinata vektora :
, pa su ovi vektori kolinearni.

b) Dva ravna vektora čine bazu ako nisu kolinearni (linearno neovisni). Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata vektora :
, stoga su vektori linearno neovisni i čine bazu.

Odgovor: a) , b) oblik.

Izgleda puno kompaktnije i ljepše od rješenja s proporcijama.

Uz pomoć razmatranog materijala moguće je utvrditi ne samo kolinearnost vektora, već i dokazati paralelnost segmenata, ravnih linija. Razmotrimo nekoliko problema s određenim geometrijskim oblicima.

Primjer 3

Zadani su vrhovi četverokuta. Dokaži da je četverokut paralelogram.

Dokaz: Nema potrebe graditi crtež u problemu, jer će rješenje biti isključivo analitičko. Zapamtite definiciju paralelograma:
Paralelogram Četverokut se naziva, u kojem su suprotne strane parno paralelne.

Dakle, potrebno je dokazati:
1) paralelizam suprotne strane i ;
2) paralelizam suprotnih strana i .

Dokazujemo:

1) Pronađite vektore:

2) Pronađite vektore:

Rezultat je isti vektor („prema školi” - jednaki vektori). Kolinearnost je sasvim očita, ali bolje je donijeti odluku kako treba, s dogovorom. Izračunajte determinantu, sastavljenu od koordinata vektora:
, pa su ti vektori kolinearni, i .

Zaključak: Suprotne strane četverokuta su parno paralelne, pa je po definiciji paralelogram. Q.E.D.

Više dobrih i drugačijih brojki:

Primjer 4

Zadani su vrhovi četverokuta. Dokaži da je četverokut trapez.

Za rigorozniju formulaciju dokaza bolje je, naravno, dobiti definiciju trapeza, ali dovoljno je samo zapamtiti kako on izgleda.

Ovo je zadatak za samostalnu odluku. Kompletno rješenje na kraju lekcije.

A sada je vrijeme da iz aviona polako krenemo u svemir:

Kako odrediti kolinearnost vektora prostora?

Pravilo je vrlo slično. Da bi dva vektora prostora bila kolinearna, potrebno je i dovoljno da im odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.

Primjer 5

Saznajte jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:

a) ;
b)
u)

Odluka:
a) Provjerite postoji li koeficijent proporcionalnosti za odgovarajuće koordinate vektora:

Sustav nema rješenja, što znači da vektori nisu kolinearni.

"Pojednostavljeno" se utvrđuje provjerom omjera. U ovom slučaju:
– odgovarajuće koordinate nisu proporcionalne, što znači da vektori nisu kolinearni.

Odgovor: vektori nisu kolinearni.

b-c) Ovo su bodovi za samostalnu odluku. Isprobajte na dva načina.

Postoji metoda za provjeru kolinearnosti prostornih vektora i putem determinante trećeg reda ova metoda je obrađena u članku Unakrsni proizvod vektora.

Slično kao u slučaju ravnine, razmatrani alati mogu se koristiti za proučavanje paralelizma prostornih segmenata i linija.

Dobrodošli u drugi odjeljak:

Linearna ovisnost i neovisnost vektora trodimenzionalnog prostora.
Prostorna osnova i afini koordinatni sustav

Mnoge od pravilnosti koje smo razmatrali u avionu vrijedit će i za prostor. Pokušao sam minimalizirati sažetak teorije, budući da je lavovski dio informacija već prožvakan. Ipak, preporučam da pažljivo pročitate uvodni dio jer će se pojaviti novi pojmovi i pojmovi.

Sada, umjesto ravnine računalnog stola, ispitajmo trodimenzionalni prostor. Prvo, stvorimo njegovu osnovu. Netko je sada u zatvorenom, netko na otvorenom, ali u svakom slučaju ne možemo pobjeći od tri dimenzije: širine, dužine i visine. Stoga su za konstruiranje baze potrebna tri prostorna vektora. Jedan ili dva vektora nisu dovoljni, četvrti je suvišan.

I opet se zagrijavamo na prstima. Molimo podignite ruku i raširite je različite strane palac, kažiprst i srednji prst. To će biti vektori, oni gledaju u različitim smjerovima, imaju različite duljine i imaju različite kutove između sebe. Čestitamo, osnova trodimenzionalnog prostora je spremna! Usput, ne trebate to demonstrirati učiteljima, ma kako prstima zavrtjeli, ali ne možete pobjeći od definicija =)

Zatim postavljamo važno pitanje, da li bilo koja tri vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora? Čvrsto pritisnite tri prsta na ploču stola računala. Što se dogodilo? Tri vektora nalaze se u istoj ravnini, i, grubo govoreći, izgubili smo jedno od mjerenja - visinu. Takvi vektori su komplanarna i, sasvim očito, da osnova trodimenzionalnog prostora nije stvorena.

Treba napomenuti da koplanarni vektori ne moraju ležati u istoj ravnini, mogu biti u paralelnim ravninama (samo nemojte to raditi prstima, samo je Salvador Dali tako otpao =)).

Definicija: vektori se nazivaju komplanarna ako postoji ravnina s kojom su oni paralelni. Ovdje je logično dodati da ako takva ravnina ne postoji, onda vektori neće biti komplanarni.

Tri koplanarna vektora su uvijek linearno ovisna, odnosno linearno se izražavaju jedno kroz drugo. Radi jednostavnosti, opet zamislite da leže u istoj ravnini. Prvo, vektori nisu samo komplanarni, već mogu biti i kolinearni, a zatim se svaki vektor može izraziti kroz bilo koji vektor. U drugom slučaju, ako, na primjer, vektori nisu kolinearni, tada se treći vektor izražava kroz njih na jedinstven način: (a zašto je lako pogoditi iz materijala prethodnog odjeljka).

Vrijedi i obrnuto: tri nekoplanarna vektora su uvijek linearno neovisna, odnosno nikako se ne izražavaju jedno kroz drugo. I, očito, samo takvi vektori mogu činiti osnovu trodimenzionalnog prostora.

Definicija: Osnova trodimenzionalnog prostora naziva se trojka linearno neovisnih (nekomplanarnih) vektora, uzeti određenim redoslijedom, dok je bilo koji vektor prostora jedini način proširuje se u zadanoj bazi , gdje su koordinate vektora u danoj bazi

Podsjetimo, također možete reći da je vektor predstavljen kao linearna kombinacija baznih vektora.

Koncept koordinatnog sustava uvodi se na potpuno isti način kao i za slučaj ravnine, dovoljna je jedna točka i bilo koja tri linearno neovisna vektora:

podrijetlo, i nekoplanarni vektori, uzeti određenim redoslijedom, postavljeno afini koordinatni sustav trodimenzionalnog prostora :

Naravno, koordinatna mreža je "kosa" i nezgodna, ali, ipak, konstruirani koordinatni sustav omogućuje nam definitivno odrediti koordinate bilo kojeg vektora i koordinate bilo koje točke u prostoru. Slično ravnini, u afinom koordinatnom sustavu prostora neke formule koje sam već spomenuo neće raditi.

Najpoznatiji i najprikladniji poseban slučaj afinog koordinatnog sustava, kao što svi mogu pretpostaviti, jest pravokutni prostorni koordinatni sustav:

točka u prostoru tzv podrijetlo, i ortonormalno osnovni set Kartezijanski koordinatni sustav prostora . poznata slika:

Prije nego što pređemo na praktične zadatke, ponovno sistematiziramo informacije:

Za tri vektora prostora, sljedeće izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno neovisni;
2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu komplanarni;
4) vektori se ne mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, različita je od nule.

Suprotne izjave su, mislim, razumljive.

Linearna ovisnost / neovisnost vektora prostora tradicionalno se provjerava pomoću determinante (točka 5). Preostali praktični zadaci bit će izražene algebarske prirode. Vrijeme je da objesite geometrijski štap na čavao i rukujete bejzbol palicom za linearnu algebru:

Tri vektora prostora su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata zadanih vektora jednaka nuli: .

Skrećem pažnju na malu tehnička nijansa: vektorske koordinate mogu se pisati ne samo u stupce, već i u retke (vrijednost determinante se neće promijeniti od ovoga - vidi svojstva determinanti). Ali puno je bolje u stupcima, jer je korisnije za rješavanje nekih praktičnih problema.

Za one čitatelje koji su malo zaboravili metode računanja determinanti, ili su možda uopće loše orijentirani, preporučam jednu od mojih najstarijih lekcija: Kako izračunati determinantu?

Primjer 6

Provjerite čine li sljedeći vektori osnovu trodimenzionalnog prostora:

Odluka: Zapravo se cijelo rješenje svodi na izračunavanje determinante.

a) Izračunaj determinantu sastavljenu od koordinata vektora (determinanta je proširena u prvom retku):

, što znači da su vektori linearno neovisni (ne komplanarni) i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

Odgovor: ovi vektori čine osnovu

b) Ovo je točka za neovisnu odluku. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Tu su i kreativni zadaci:

Primjer 7

Pri kojoj vrijednosti parametra će vektori biti komplanarni?

Odluka: Vektori su koplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata zadanih vektora jednaka nuli:

U suštini, potrebno je riješiti jednadžbu s determinantom. Letimo u nule kao zmajevi u jerboe - najisplativije je otvoriti determinantu u drugom retku i odmah se riješiti minusa:

Provodimo daljnja pojednostavljenja i stvar svedemo na najjednostavniju linearnu jednadžbu:

Odgovor: kod

Ovdje je lako provjeriti, za to trebate zamijeniti rezultirajuću vrijednost u izvornu determinantu i osigurati da ponovnim otvaranjem.

U zaključku, razmotrimo još jedan tipičan problem, koji je više algebarske prirode i tradicionalno je uključen u tečaj linearne algebre. Toliko je uobičajeno da zaslužuje posebnu temu:

Dokažite da 3 vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora
i pronađi koordinate 4. vektora u zadanoj bazi

Primjer 8

Dani su vektori. Pokažite da vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora i pronađite koordinate vektora u toj bazi.

Odluka: Pozabavimo se prvo stanjem. Po uvjetu su dana četiri vektora i, kao što vidite, već imaju koordinate u nekoj bazi. Što je osnova – ne zanima nas. I sljedeća stvar je zanimljiva: tri vektora mogu tvoriti novu osnovu. A prvi korak je potpuno isti kao rješenje iz primjera 6, potrebno je provjeriti jesu li vektori stvarno linearno neovisni:

Izračunajte determinantu, sastavljenu od koordinata vektora:

, stoga su vektori linearno neovisni i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

! Važno : vektorske koordinate nužno Zapiši u kolone odrednica, a ne nizovi. Inače će doći do zabune u daljnjem algoritmu rješenja.

Primjer 8

Dani su vektori. Pokažite da vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora i pronađite koordinate vektora u toj bazi.

Odluka: Prvo se pozabavimo stanjem. Po uvjetu su dana četiri vektora i, kao što vidite, već imaju koordinate u nekoj bazi. Što je osnova – ne zanima nas. I sljedeća stvar je zanimljiva: tri vektora mogu tvoriti novu osnovu. A prvi korak je potpuno isti kao rješenje iz primjera 6, potrebno je provjeriti jesu li vektori stvarno linearno neovisni:

Izračunajte determinantu, sastavljenu od koordinata vektora:

, stoga su vektori linearno neovisni i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

! Važno: vektorske koordinate nužno Zapiši u kolone odrednica, a ne nizovi. Inače će doći do zabune u daljnjem algoritmu rješenja.

Prisjetimo se sada teoretskog dijela: ako vektori tvore osnovu, onda svaki vektor može biti jedini način proširiti preko zadane baze: , gdje su koordinate vektora u bazi .

Budući da naši vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora (to je već dokazano), vektor se može proširiti na jedinstven način u ovoj bazi:
, gdje su koordinate vektora u bazi .

Po uvjetu i potrebno je pronaći koordinate.

Radi lakšeg objašnjenja, zamijenit ću dijelove: . Da bismo je pronašli, ovu jednakost treba zapisati koordinatno:

Na temelju čega su raspoređeni koeficijenti? Svi koeficijenti lijeve strane točno se prenose iz determinante , koordinate vektora su zapisane na desnoj strani.

Sustav se pokazao tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice. Obično o tome odlučuje Cramerove formule, često čak iu stanju problema postoji takav zahtjev.

Glavna odrednica sustava je već pronađena:
, pa sustav ima jedinstveno rješenje.

Sljedeće je pitanje tehnologije:

Tako:
je ekspanzija vektora u smislu baze .

Odgovor:

Kao što sam već primijetio, problem je algebarske prirode. Vektori koji su razmatrani nisu nužno oni vektori koji se mogu crtati u prostoru, već, prije svega, apstraktni vektori tečaja linearne algebre. Za slučaj dvodimenzionalnih vektora može se formulirati i riješiti sličan problem, rješenje će biti puno jednostavnije. Međutim, u praksi se nikada nisam susreo s takvim zadatkom, zbog čega sam ga u prethodnom dijelu preskočio.

Isti zadatak sa 3D vektori za samostalno rješenje:

Primjer 9

Dani su vektori. Pokažite da vektori čine bazu i pronađite koordinate vektora u toj bazi. sustav linearne jednadžbe riješiti Cramerovom metodom.

cjelovito rješenje i ogledni uzorak dorade na kraju lekcije.

Slično, može se smatrati četverodimenzionalnim, petodimenzionalnim itd. vektorski prostori, gdje vektori imaju 4, 5 ili više koordinata. Za ove vektorske prostore postoji i koncept linearne ovisnosti, linearne neovisnosti vektora, postoji osnova, uključujući i ortonormiranu, proširenje vektora u smislu baze. Da, takvi se prostori ne mogu crtati geometrijski, ali u njima djeluju sva pravila, svojstva i teoremi dvodimenzionalnih i trodimenzionalnih slučajeva – čista algebra. Zapravo, već sam bio prisiljen govoriti o filozofskim pitanjima u članku Parcijalne derivacije funkcija triju varijabli, koji se pojavio prije ove lekcije.

Ljubavni vektori i vektori će vas voljeti!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Odluka: sastaviti omjer iz odgovarajućih koordinata vektora:

Odgovor: na

Primjer 4: Dokaz: TrapezČetverokut se naziva četverokut u kojem su dvije stranice paralelne, a druge dvije stranice nisu paralelne.
1) Provjerite paralelnost suprotnih strana i .
Nađimo vektore:


, pa ti vektori nisu kolinearni i stranice nisu paralelne.
2) Provjerite paralelnost suprotnih strana i .
Nađimo vektore:

Izračunajte determinantu, sastavljenu od koordinata vektora:
, pa su ti vektori kolinearni, i .
Zaključak: Dvije stranice četverokuta su paralelne, ali druge dvije stranice nisu paralelne, pa je po definiciji trapez. Q.E.D.

Primjer 5: Odluka:
b) Provjerite postoji li koeficijent proporcionalnosti za odgovarajuće koordinate vektora:

Sustav nema rješenja, što znači da vektori nisu kolinearni.
Jednostavniji dizajn:
- druga i treća koordinata nisu proporcionalne, što znači da vektori nisu kolinearni.
Odgovor: vektori nisu kolinearni.
c) Ispitujemo kolinearnost vektora . Kreirajmo sustav:

Odgovarajuće koordinate vektora su proporcionalne, dakle
Ovdje "foppish" metoda dizajna jednostavno ne funkcionira.
Odgovor:

Primjer 6: Odluka: b) Izračunaj determinantu sastavljenu od koordinata vektora (determinanta je proširena u prvom retku):

, što znači da su vektori linearno ovisni i ne čine osnovu trodimenzionalnog prostora.
Odgovor : ovi vektori ne čine osnovu

Primjer 9: Odluka: Izračunajte determinantu, sastavljenu od koordinata vektora:


Dakle, vektori su linearno neovisni i čine bazu.
Predstavimo vektor kao linearnu kombinaciju baznih vektora:

Koordinirati:

Sustav rješavamo korištenjem Cramerovih formula:
, pa sustav ima jedinstveno rješenje.

Odgovor:Vektori čine osnovu,

Viša matematika za dopisne studente i ne samo >>>

(Idi na glavnu stranicu)

Vektorski proizvod vektora.
Mješoviti proizvod vektora

U ovoj lekciji ćemo pogledati još dvije operacije s vektorima: križni proizvod vektora i mješoviti produkt vektora. U redu je, ponekad se dogodi da za potpunu sreću, pored točkasti proizvod vektora, potrebno je sve više i više. Takva je vektorska ovisnost. Može se steći dojam da ulazimo u džunglu analitičke geometrije. Ovo nije istina. U ovom dijelu više matematike općenito ima malo drva za ogrjev, osim možda dovoljno za Pinocchia. Zapravo, materijal je vrlo uobičajen i jednostavan - jedva teži od istog skalarni proizvod , čak će biti i manje tipičnih zadataka. Glavna stvar u analitičkoj geometriji, kao što će mnogi vidjeti ili su već vidjeli, je NE POGREŠITI U IZRAČUNIMA. Ponovite kao čaroliju i bit ćete sretni =)

Ako vektori svjetlucaju negdje daleko, poput munje na horizontu, nema veze, počnite s lekcijom Vektori za lutke obnoviti ili ponovno steći osnovno znanje o vektorima. Pripremljeniji čitatelji mogu se selektivno upoznati s informacijama, pokušao sam prikupiti što je više moguće kompletna zbirka primjeri koji se često nalaze u praktični rad

Što će vas usrećiti? Kad sam bio mali, znao sam žonglirati s dvije, pa čak i s tri loptice. Dobro je ispalo. Sada uopće nema potrebe žonglirati, jer ćemo razmotriti samo svemirski vektori, a ravni vektori s dvije koordinate bit će izostavljeni. Zašto? Tako su se te radnje rodile - vektor i mješoviti produkt vektora definirani su i djeluju u trodimenzionalnom prostoru. Već lakše!

Zadaci za kontrolni rad

Zadatak 1 - 10. Dani su vektori. Pokažite da vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora i pronađite koordinate vektora u ovoj bazi:

Dani su vektori ε1 (3;1;6), ε2 (-2;2;-3), ε3 (-4;5;-1), X(3;0;1). Pokažite da vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora i pronađite koordinate vektora X u toj bazi.

Ovaj zadatak se sastoji od dva dijela. Prvo morate provjeriti čine li vektori osnovu. Vektori čine bazu ako je determinanta sastavljena od koordinata ovih vektora različita od nule, inače vektori nisu osnovni i vektor X se ne može proširiti u ovu bazu.

Izračunajte determinantu matrice:

∆ = 3*(2*(-1) - 5*(-3)) - -2*(1*(-1) - 5*6) + -4*(1*(-3) - 2*6) = 37

Determinanta matrice je ∆ =37

Budući da je determinanta različita od nule, vektori čine bazu, stoga se vektor X može proširiti u ovu bazu. Oni. postoje takvi brojevi α 1 , α 2 , α 3 da dolazi do jednakosti:

X = α 1 ε 1 + α 2 ε 2 + α 3 ε 3

Ovu jednakost zapisujemo u koordinatnom obliku:

(3;0;1) = α(3;1;6) + α(-2;2;-3) + α(-4;5;-1)

Koristeći svojstva vektora, dobivamo sljedeću jednakost:

(3;0;1) = (3α 1 ;1α 1 ;6α 1 ;) + (-2α 2 ;2α 2 ;-3α 2 ;) + (-4α 3 ;5α 3 ;-1α 3 ;)

(3;0;1) = (3α 1 -2α 2 -4α 3 ;1α 1 + 2α 2 + 5α 3 ;6α 1 -3α 2 -1α 3)

Po svojstvu jednakosti vektora imamo:

3α 1 -2α 2 -4α 3 = 3

1α 1 + 2α 2 + 5α 3 = 0

6α 1 -3α 2 -1α 3 = 1

Rezultirajući sustav jednadžbi rješavamo Gaussova metoda ili Cramerova metoda.

X \u003d ε 1 + 2ε 2 -ε 3

Rješenje je primljeno i izvršeno pomoću usluge:

Vektorske koordinate u bazi

Zajedno s ovim zadatkom rješavaju i:

Rješenje matričnih jednadžbi

Cramerova metoda

Gaussova metoda

Inverzna matrica Jordan-Gaussovom metodom

Inverzna matrica putem algebarskih komplemenata

Množenje matrice online

Osnova prostora nazvati takav sustav vektora u kojem se svi ostali vektori prostora mogu predstaviti kao linearna kombinacija vektora uključenih u bazu.
U praksi je sve ovo prilično jednostavno. Osnova se u pravilu provjerava na ravnini ili u prostoru, a za to je potrebno pronaći determinantu matrice drugog, trećeg reda, sastavljenu od koordinata vektora. Shematski napisano u nastavku uvjeti pod kojima vektori čine osnovu

Do proširiti vektor b u smislu baznih vektora
e,e...,e[n] potrebno je pronaći koeficijente x, ..., x[n] za koje je linearna kombinacija vektora e,e...,e[n] jednaka vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Da biste to učinili, vektorsku jednadžbu treba pretvoriti u sustav linearnih jednadžbi i pronaći rješenja. Također je prilično jednostavan za implementaciju.
Pronađeni koeficijenti x, ..., x[n] se zovu koordinate vektora b u bazi e,e...,e[n].
Prijeđimo na praktičnu stranu teme.

Dekompozicija vektora u bazne vektore

Zadatak 1. Provjerite čine li vektori a1, a2 bazu na ravnini

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Rješenje: Sastavite determinantu iz koordinata vektora i izračunajte je

Determinanta nije jednaka nuli, stoga vektori su linearno neovisni, što znači da čine osnovu.

2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
Rješenje: Izračunavamo determinantu sastavljenu od vektora

Determinanta je jednaka 13 (nije jednaka nuli) - iz ovoga slijedi da su vektori a1, a2 baza na ravnini.

---=================---

Smatrati tipični primjeri iz programa IAPM u disciplini "Viša matematika".

Zadatak 2. Pokazati da vektori a1, a2, a3 tvore bazu trodimenzionalnog vektorskog prostora i proširiti vektor b u toj bazi (koristite Cramerovu metodu kada rješavate sustav linearnih algebarskih jednadžbi).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Rješenje: Prvo razmotrite sustav vektora a1, a2, a3 i provjerite determinantu matrice A

izgrađen na vektorima drugačijim od nule. Matrica sadrži jedan nulti element, pa je svrsishodnije izračunati determinantu kao raspored za prvi stupac ili treći redak.

Kao rezultat izračuna, ustanovili smo da je determinanta različita od nule, dakle vektori a1, a2, a3 su linearno neovisni.
Po definiciji, vektori čine osnovu u R3. Zapišimo raspored vektora b u terminima baze

Vektori su jednaki kada su njihove odgovarajuće koordinate jednake.
Stoga iz vektorske jednadžbe dobivamo sustav linearnih jednadžbi

Riješite SLAE Cramerova metoda. Da bismo to učinili, zapisujemo sustav jednadžbi u obliku

Glavna determinanta SLAE uvijek je jednaka determinanti sastavljenoj od baznih vektora

Stoga se u praksi ne računa dvaput. Da bismo pronašli pomoćne determinante, na mjesto svakog stupca glavne determinante stavljamo stupac slobodnih pojmova. Odrednice se računaju prema pravilu trokuta



Pronađene determinante zamijenite u Cramerovu formulu



Dakle, proširenje vektora b u smislu baze ima oblik b=-4a1+3a2-a3 . Koordinate vektora b u bazi a1, a2, a3 bit će (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Rješenje: Provjeravamo vektore za bazu - sastavimo determinantu iz koordinata vektora i izračunamo je

Dakle, determinanta nije jednaka nuli vektori čine osnovu u prostoru. Ostaje pronaći raspored vektora b u smislu zadane baze. Da bismo to učinili, pišemo vektorsku jednadžbu

i transformirati u sustav linearnih jednadžbi

Zapišite matričnu jednadžbu

Zatim, za Cramerove formule nalazimo pomoćne determinante



Primjena Cramerovih formula



Dakle, zadani vektor b ima raspored kroz dva bazna vektora b=-2a1+5a3, a njegove koordinate u bazi su jednake b(-2,0, 5).