Negativna projekcija vektora na os. Projekcije vektora na koordinatne osi

Sada smo spremni uvesti najvažniji koncept projekcije vektora na os. Stalno se koristi u rješavanju fizičkih problema.

7.5.1 Kolika je projekcija vektora na os?

Neka su zadani vektor ~a i os X. Pretpostavlja se da os X ima mjerilo koje vam omogućuje mjerenje duljina segmenata i dodijelite im dimenziju vektora ~a.

S početka i kraja vektora ~a ispuštamo okomice na os X; neka su A i B osnovice ovih okomica (slika 7.26). Duljinu odsječka AB označimo s jABj.

Riža. 7.26. Projekcija vektora na os

Definicija. Os projekcije vektora ~a na os X jednaka je duljini segmenta AB, uzetog sa predznakom plus ako je kut " između vektora ~a i osi X oštar, i uzet sa predznakom minus, odnosno, ako je " tup (ili nesavijen). Ako je kut pravi, tada je ax = 0.

Ukratko, imamo sljedeću formulu:

Slika 7.27 ilustrira sve ove mogućnosti.

Ovdje je, kao i obično, a = j~aj modul vektora ~a.

Doista, ako "< 90 , то формула (7.10 ) даёт длину левого красного отрезка на рис.7.27 .

Ako je "\u003e 90, onda, krećući se u središnjem dijelu slike 7.27 do kuta koji je susjedan kutu ", vidimo da formula (7.10) daje duljinu srednjeg crvenog segmenta sa predznakom minus (zbog negativnosti kosinusa), što je upravo ono što nam treba.

Konačno, ako je " = 90 , tada formula (7.10) daje ax = 0, budući da je kosinus pravi kut jednaka nuli. Upravo tako i treba biti (desna strana slike).

Pretpostavimo sada da je os x dobila dodatno ishodište, tako da je to uobičajena koordinatna os. Zatim imamo još jednu formulu za projekcijsku os, koja također sadrži sva tri slučaja sa slike 7.27 u ¾arhiviranom¿ obliku.

Korolar 2. Neka su x1 i x2 koordinate pocetka i kraja vektora ~a, redom. Tada se os projekcije izračunava po formuli:

Doista, pogledajmo Sl. 7.28. Ovo je slučaj pozitivne projekcije. Iz slike je očito da je razlika x2 x1 jednaka duljini crvenog segmenta, a ta duljina u ovom slučaju je upravo os projekcije.

Riža. 7.28. Projekcija vektora na os. Na zaključak 2

Što će se dogoditi u preostala dva slučaja (ax< 0 и ax = 0)? Убедитесь, пожалуйста, самостоятельно, что формула (7.11 ) и для них остаётся справедливой.

7.5.2 Svojstva projekcije od vektora do osi

Operacija projiciranja vektora na os se izvanredno dobro slaže s operacijama zbrajanja vektora i množenja skalarnog vektora. Naime, kakva god bila os x, vrijede sljedeća dva svojstva dizajna.

1. Projekcija vektora ~a + b na os X je ax + bx .

Kratka verbalna formulacija: projekcija zbroja vektora jednaka je zbroju njihovih projekcija. To vrijedi za zbroj bilo kojeg broja vektora, a ne samo dva.

Prije svega, ovu izjavu ilustriramo na slici. Smjestimo početak stoljeća-

torusa b do kraja vektora ~a, i neka ~c = ~a + b (slika 7.29).

Na ovu brojku jasno se vidi da je projekcija cx jednaka zbroju duljina crvenog i zelenog segmenta, odnosno samo ax + bx.

Istina, sl. 7.29 je napravljeno za slučaj ax > 0 i bx > 0. Da bismo dokazali našu tvrdnju za sve odjednom moguće vrijednosti projekcije ax i bx , izvršit ćemo sljedeće univerzalno razmišljanje na temelju formule (7.11).

Ove oznake su također prisutne na sl. 7.29.

Formulom (7.11) imamo: ax = x2 x1 , bx = x3 x2 , cx = x3 x1 . Sada je lako vidjeti da:

ax + bx = (x2 x1) + (x3 x2) = x3 x1 = cx:

Time je dokazano naše prvo svojstvo projekcije.

2. Projekcija vektora ~a na os X je a x .

Verbalna formulacija: projekcija umnoška skalara i vektora jednaka je umnošku skalara i projekcije vektora.

Počnimo ponovno s ilustracijom. Lijeva strana slike 7.30 prikazuje vektor ~a s pozitivnom osi projekcije.

Riža. 7.30. Projekcija vektora ~a jednaka je ax

Ako pomnožite vektor ~a s 2, tada će se njegova duljina udvostručiti, projekcija vektora će se također udvostručiti (sačuvajući predznak) i postati jednaka 2ax .

Pomnožimo li vektor ~a s 2, tada će se njegova duljina opet udvostručiti, ali će smjer biti obrnut. Projekcija će promijeniti predznak i postati jednaka 2ax.

Dakle, bit drugog svojstva je jasna i sada možemo dati rigorozan dokaz.

Pa neka ~ . Idemo dokazati da je x x . b = ~a b = a

Za to upotrijebimo formulu (7.10). Imamo:

ax = a cos "; bx = b cos ;

gdje je kut između vektora i osi, a kut između vektora ~ i osi. Osim

Štoviše, na temelju definicije množenja skalara vektorom:

Tako:

bx = j ja cos:

Ako je onda j j ; u ovom slučaju vektor ~ je ko-usmjeren s vektorom, i stoga.

> 0 = b~a = "

bx = a cos" = ax:

Ako je onda j j ; u ovom slučaju vektor ~ je suprotan u smjeru vektora

ru ~a. Lako je shvatiti da je = " (na primjer, ako je " oštar, to jest, uz njega je tup, i obrnuto). tada imamo:

bx = ()a cos(") = ()a(cos ") = a cos " = ax :

Tako se u svim slučajevima dobiva željena relacija, a time je i drugo svojstvo projekcije potpuno dokazano.

7.5.3 Projektna operacija u fizici

Provjerena svojstva projektiranja vrlo su nam važna. U mehanici ćemo ih, primjerice, koristiti na svakom koraku.

Dakle, rješavanje mnogih problema u dinamici počinje pisanjem Newtonovog drugog zakona u vektorskom obliku. Uzmimo, na primjer, njihalo mase m obješeno na niti. Za njihalo, Newtonov drugi zakon bit će:

Nakon što smo napisali drugi Newtonov zakon u vektorskom obliku, prelazimo na njegovu projekciju na

Prilikom prijelaza s vektorske jednakosti (7.12) na skalarnu jednakost (7.13), koriste se oba projektna svojstva! Naime, zbog svojstva 1 projekciju zbroja vektora zapisali smo kao zbroj njihovih projekcija; svojstvo 2 omogućuje nam da zapišemo projekcije vektora m~a i m~g kao max i mgx .

Dakle, oba svojstva operacije projekcije osiguravaju prijelaz s vektorskih na skalarne jednakosti, a taj se prijelaz može izvesti formalno i bez razmišljanja: u zapisu vektora odbacujemo strelice i umjesto njih stavljamo projekcijske indekse. Upravo tako izgleda prijelaz iz jednadžbe (7.12) u jednadžbu (7.13).

Desno a b = |b|cos(a,b) ili

Gdje je a b skalarni umnožak vektora, |a| - modul vektora a .

Uputa. Da bismo pronašli projekciju vektora Pp a b in online način rada morate odrediti koordinate vektora a i b . U tom slučaju vektor se može dati u ravnini (dvije koordinate) iu prostoru (tri koordinate). Dobiveno rješenje sprema se u Word datoteku. Ako su vektori dati kroz koordinate točaka, onda morate koristiti ovaj kalkulator.

Klasifikacija vektorskih projekcija

Vrste projekcija po definiciji vektorska projekcija

Vrste projekcija po koordinatnom sustavu

Svojstva vektorske projekcije

1. Geometrijska projekcija vektora je vektor (ima smjer).
2. Algebarska projekcija vektora je broj.

Teoremi vektorske projekcije

Desno a b = |b|cos(a,b)

Vrste vektorskih projekcija

1. projekcija na os OX.
2. projekcija na os OY.
3. projekcija na vektor.

Projekcija na os OX	Projekcija na os OY	Projekcija u vektor
Ako se smjer vektora A'B' podudara sa smjerom osi OX, tada projekcija vektora A'B' ima pozitivan predznak.	Ako se smjer vektora A'B' podudara sa smjerom osi OY, tada projekcija vektora A'B' ima pozitivan predznak.	Ako se smjer vektora A'B' podudara sa smjerom vektora NM, tada projekcija vektora A'B' ima pozitivan predznak.
Ako je smjer vektora suprotan smjeru osi OX, tada projekcija vektora A'B' ima negativan predznak.	Ako je smjer vektora A'B' suprotan smjeru osi OY, tada projekcija vektora A'B' ima negativan predznak.	Ako je smjer vektora A'B' suprotan smjeru vektora NM, tada projekcija vektora A'B' ima negativan predznak.
Ako je vektor AB paralelan s osi OX, tada je projekcija vektora A'B' jednaka modulu vektora AB.	Ako je vektor AB paralelan s osi OY, tada je projekcija vektora A'B' jednaka modulu vektora AB.	Ako je vektor AB paralelan vektoru NM, tada je projekcija vektora A'B' jednaka modulu vektora AB.
Ako je vektor AB okomit na os OX, tada je projekcija A'B' jednaka nuli (nulti vektor).	Ako je vektor AB okomit na os OY, tada je projekcija A'B' jednaka nuli (nulti vektor).	Ako je vektor AB okomit na vektor NM, tada je projekcija A'B' jednaka nuli (nulti vektor).

1. Pitanje: Može li projekcija vektora imati negativan predznak. Odgovor: Da, vektorske projekcije mogu biti negativne. U ovom slučaju, vektor ima suprotan smjer (pogledajte kako su os OX i AB vektor usmjereni)
2. Pitanje: Može li se projekcija vektora podudarati s modulom vektora. Odgovor: Da, može. U ovom slučaju, vektori su paralelni (ili leže na istoj liniji).
3. Pitanje: Može li projekcija vektora biti jednaka nuli (nulti vektor). Odgovor: Da, može. U ovom slučaju vektor je okomit na odgovarajuću os (vektor).

Primjer 1 . Vektor (slika 1) tvori kut od 60 o s osi OX (daje ga vektor a). Ako je OE jedinica mjerila, onda je |b|=4, dakle .

Doista, duljina vektora ( geometrijska projekcija b) jednak je 2, a smjer je isti kao i smjer osi OX.

Primjer 2 . Vektor (slika 2) tvori kut s osi OX (s vektorom a) (a,b) = 120 o . Duljina |b| vektor b jednak je 4, pa je pr a b=4 cos120 o = -2.

Doista, duljina vektora je jednaka 2, a smjer je suprotan smjeru osi.

projekcija vektor na osi naziva se vektor, koji se dobiva množenjem skalarne projekcije vektora na ovu os i jediničnog vektora ove osi. Na primjer, ako je x skalarna projekcija vektor a na osi x, zatim a x i- njegova vektorska projekcija na ovu os.

Označiti vektorska projekcija baš kao i sam vektor, ali s indeksom osi na koju se vektor projicira. Dakle, vektorska projekcija vektora a na osi x označavaju a x ( masna slovo koje označava vektor i indeks imena osi) ili (nepodebljano slovo koje označava vektor, ali sa strelicom na vrhu (!) i indeksom naziva osi).

Skalarna projekcija vektor po osi naziva se broj, čija je apsolutna vrijednost jednaka duljini segmenta osi (u odabranom mjerilu) zatvorenog između projekcija početne i krajnje točke vektora. Obično umjesto izraza skalarna projekcija jednostavno reci - projekcija. Projekcija je označena istim slovom kao i projicirani vektor (normalnim, ne podebljanim slovima), s indeksom (obično) naziva osi na koju se ovaj vektor projicira. Na primjer, ako se vektor projicira na x-os a, tada se njegova projekcija označava a x . Prilikom projiciranja istog vektora na drugu os, ako je os Y, njegova projekcija će biti označena kao y.

Za izračunavanje projekcije vektor na osi (npr. osi X) potrebno je oduzeti koordinatu početne točke od koordinate njezine krajnje točke, tj.
i x \u003d x k - x n.
Projekcija vektora na os je broj.Štoviše, projekcija može biti pozitivna ako je vrijednost x k veća od vrijednosti x n,

negativan ako je vrijednost x k manja od vrijednosti x n

i jednako nuli ako je x k jednako x n.

Projekcija vektora na os se također može naći ako znamo modul vektora i kut koji čini s tom osi.

Iz slike se vidi da je a x = a Cos α

odnosno projekcija vektora na os jednaka je umnošku modula vektora i kosinusa kuta između smjera osi i vektorski smjer. Ako je kut oštar, onda
Cos α > 0 i a x > 0, a ako je tupo, onda kosinus tup kut negativna, a projekcija vektora na os će također biti negativna.

Kutovi koji se računaju od osi u smjeru suprotnom od kazaljke na satu smatraju se pozitivnim, au smjeru negativnim. Međutim, budući da je kosinus parna funkcija, odnosno Cos α = Cos (− α), pri izračunavanju projekcija kutovi se mogu brojati i u smjeru kazaljke na satu i u suprotnom smjeru.

Da bismo pronašli projekciju vektora na os, modul ovog vektora treba pomnožiti s kosinusom kuta između smjera osi i smjera vektora.

Vektorske koordinate su koeficijenti jedine moguće linearne kombinacije baznih vektora u odabranom koordinatnom sustavu jednaki zadanom vektoru.

Os je pravac. Stoga se projekcija na os ili na usmjerenu liniju smatra istom. Projekcija može biti algebarska ili geometrijska. U geometrijskom smislu, projekcija vektora na os shvaća se kao vektor, a u algebarskom smislu to je broj. Odnosno, koriste se koncepti projekcije vektora na os i numeričke projekcije vektora na os.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ako imamo os L i vektor različit od nule A B → , tada možemo konstruirati vektor A 1 B 1 ⇀ , označavajući projekcije njegovih točaka A 1 i B 1 .

A 1 B → 1 bit će projekcija vektora A B → na L .

Definicija 1

Projekcija vektora na os naziva se vektor čiji su početak i kraj projekcije početka i kraja zadanog vektora. n p L A B → → uobičajeno je označavati projekciju A B → na L . Da biste konstruirali projekciju na L, ispustite okomice na L.

Primjer 1

Primjer projekcije vektora na os.

Na koordinatnoj ravnini O x y određena je točka M 1 (x 1, y 1). Potrebno je izgraditi projekcije na O x i O y za sliku radijus vektora točke M 1 . Uzmimo koordinate vektora (x 1 , 0) i (0 , y 1) .

Ako govorimo o projekciji a → na b → različit od nule ili projekciji a → na smjer b → , tada mislimo na projekciju a → na os s kojom se poklapa smjer b →. Projekcija a → na pravac definirana s b → označava se n p b → a → → . Poznato je da kada je kut između a → i b → , možemo smatrati n p b → a → → i b → kosmjernim. U slučaju kada je kut tup, n p b → a → → i b → su suprotno usmjereni. U situaciji okomitosti a → i b → , a a → je nula, projekcija a → duž smjera b → je nulti vektor.

Numerička karakteristika projekcije vektora na os je numerička projekcija vektora na zadanu os.

Definicija 2

Numerička projekcija vektora na os nazovimo broj koji je jednak umnošku duljine zadanog vektora i kosinusa kuta između zadanog vektora i vektora koji određuje smjer osi.

Numerička projekcija A B → na L označava se n p L A B → , a a → na b → - n p b → a → .

Na temelju formule dobivamo n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , odakle je a → duljina vektora a → , a ⇀ , b → ^ kut između vektora a → i b → .

Dobivamo formulu za izračun numeričke projekcije: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Primjenjivo je za poznate duljine a → i b → i kut između njih. Formula je primjenjiva za poznate koordinate a → i b → , ali postoji njezina pojednostavljena verzija.

Primjer 2

Doznajte brojčanu projekciju a → na ravnu u smjeru b → duljine a → jednake 8, a kut između njih je 60 stupnjeva. Prema uvjetu imamo a ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° . Dakle, zamjenjujemo numeričke vrijednosti u formulu n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Odgovor: 4.

Uz poznati cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → b → , imamo a → , b → kao skalarni proizvod a → i b → . Slijedeći formulu n p b → a → = a → · cos a ⇀, b → ^, možemo pronaći numeričku projekciju a → usmjerenu duž vektora b → i dobiti n p b → a → = a →, b → b → . Formula je ekvivalentna definiciji danoj na početku klauzule.

Definicija 3

Numerička projekcija vektora a → na os koja se poklapa u smjeru s b → je omjer skalarnog umnoška vektora a → i b → prema duljini b → . Formula n p b → a → = a → , b → b → primjenjiva je za pronalaženje numeričke projekcije a → na ravnu liniju koja se podudara u smjeru s b → , s poznatim a → i b → koordinatama.

Primjer 3

Zadano je b → = (- 3 , 4) . Pronađite numeričku projekciju a → = (1, 7) na L.

Odluka

Na koordinatnoj ravnini n p b → a → = a → , b → b → ima oblik n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , s a → = (a x , a y ) i b → = b x , b y . Da biste pronašli numeričku projekciju vektora a → na os L, trebate: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 = 1 (- 3) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5 .

Odgovor: 5.

Primjer 4

Pronađite projekciju a → na L , koja se podudara sa smjerom b → , gdje postoje a → = - 2 , 3 , 1 i b → = (3 , - 2 , 6) . Zadan je trodimenzionalni prostor.

Odluka

Zadane su a → = a x , a y , a z i b → = b x , b y , b z izračunaj skalarni umnožak: a ⇀ , b → = a x b x + a y b y + a z b z . Duljinu b → nalazimo po formuli b → = b x 2 + b y 2 + b z 2. Iz toga slijedi da će formula za određivanje numeričke projekcije a → biti: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Zamjenjujemo numeričke vrijednosti: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Odgovor: - 6 7 .

Pogledajmo vezu između a → na L i duljine projekcije a → na L . Nacrtajte os L dodavanjem a → i b → iz točke u L , nakon čega povlačimo okomitu liniju s kraja a → na L i projiciramo na L . Postoji 5 varijacija slike:

Prvi slučaj kada a → = n p b → a → → znači a → = n p b → a → → , dakle n p b → a → = a → cos (a , → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Drugi slučaj podrazumijeva upotrebu n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , dakle n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Treći slučaj objašnjava da kada n p b → a → → = 0 → dobivamo n p b ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0, tada je n p b → a → → = 0 i n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Četvrta slučaj pokazuje n p b → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^) , slijedi n p b → a → = a → cos (a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Peti slučaj pokazuje a → = n p b → a → → , što znači a → = n p b → a → → , dakle imamo n p b → a → = a → cos a → , b → ^ = a → cos 180 ° = - a → = - n p b → a → .

Definicija 4

Numerička projekcija vektora a → na os L , koja je usmjerena kao b → , ima značenje:

• duljina projekcije vektora a → na L pod uvjetom da je kut između a → i b → manji od 90 stupnjeva ili jednak 0: n p b → a → = n p b → a → → uz uvjet 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• nula pod uvjetom okomitosti a → i b → : n p b → a → = 0 kada je (a → , b → ^) = 90 ° ;
• duljina projekcije a → na L, puta -1 kada postoji tupi ili spljošteni kut vektora a → i b → : n p b → a → = - n p b → a → → s uvjetom od 90°< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Primjer 5

Zadana je duljina projekcije a → na L , jednaka 2 . Pronađite numeričku projekciju a → s obzirom da je kut 5 π 6 radijana.

Odluka

Iz uvjeta se vidi da je ovaj kut tup: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Odgovor: - 2.

Primjer 6

Zadana je ravnina O x y z s duljinom vektora a → jednakom 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) s kutom od 30 stupnjeva. Pronađite koordinate projekcije a → na os L.

Odluka

Prvo izračunamo numeričku projekciju vektora a → : n p L a → = n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9 .

Po uvjetu je kut oštar, tada je numerička projekcija a → = duljina projekcije vektora a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Ovaj slučaj pokazuje da su vektori n p L a → → i b → kousmjereni, što znači da postoji broj t za koji vrijedi jednakost: n p L a → → = t · b → . Odavde vidimo da je n p L a → → = t b → , pa možemo pronaći vrijednost parametra t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Tada su n p L a → → = 3 b → s koordinatama projekcije vektora a → na os L b → = (- 2 , 1 , 2) , gdje je potrebno vrijednosti pomnožiti s 3 Imamo n p L a → → = (- 6 , 3 , 6). Odgovor: (- 6 , 3 , 6) .

Potrebno je ponoviti prethodno proučavane podatke o stanju kolinearnosti vektora.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Projiciranje različitih linija i površina na ravninu omogućuje vam izgradnju vizualnog prikaza objekata u obliku crteža. Razmotrit ćemo pravokutnu projekciju, u kojoj su zrake koje se projiciraju okomite na ravninu projekcije. PROJEKCIJA VEKTORA NA RAVNINU razmotrimo vektor \u003d (slika 3.22), zatvoren između okomica spuštenih s početka i kraja.

Riža. 3.23. Vektorska projekcija vektora na os.

U vektorskoj algebri često je potrebno projicirati vektor na OS, odnosno na ravnu liniju koja ima određenu orijentaciju. Takav dizajn je jednostavan ako vektor i os L leže u istoj ravnini (slika 3.23). Međutim, zadatak postaje teži kada ovaj uvjet nije ispunjen. Konstruirajmo projekciju vektora na os, kada vektor i os ne leže u istoj ravnini (slika 3.24).

Riža. 3.24. Projiciranje vektora na os
općenito.

Kroz krajeve vektora povlačimo ravnine okomite na pravac L. Na sjecištu s ovim pravcem te ravnine definiraju dvije točke A1 i B1 - vektor, koji ćemo nazvati vektorskom projekcijom ovog vektora. Problem nalaženja vektorske projekcije može se jednostavnije riješiti ako se vektor dovede u istu ravninu s osi, što je moguće, budući da se slobodni vektori razmatraju u vektorskoj algebri.

Uz vektorsku projekciju postoji i SKALARNA PROJEKCIJA, koja je jednaka modulu vektorske projekcije ako se vektorska projekcija poklapa s orijentacijom osi L, a jednaka je vrijednosti suprotnoj njoj ako vektorska projekcija i os L ima suprotnu orijentaciju. Skalarna projekcija će biti označena sa:

Vektorske i skalarne projekcije nisu uvijek terminološki odvojene u praksi. Obično se koristi izraz "vektorska projekcija", što znači skalarnu projekciju vektora. Prilikom odlučivanja potrebno je jasno razlikovati ove pojmove. Slijedeći ustaljenu tradiciju, koristit ćemo izraze "vektorska projekcija", što podrazumijeva skalarnu projekciju, i "vektorska projekcija" - u skladu s utvrđenim značenjem.

Dokažimo teorem koji nam omogućuje izračunavanje skalarne projekcije zadanog vektora.

TEOREM 5. Projekcija vektora na os L jednaka je umnošku njegovog modula i kosinusa kuta između vektora i osi, tj.

(3.5)

Riža. 3.25. Pronalaženje vektora i skalara
Vektorske projekcije na os L
(i os L su jednako orijentirane).

DOKAZ. Napravimo preliminarne konstrukcije koje nam omogućuju da pronađemo kut G Između vektora i osi L. Da bismo to učinili, konstruiramo pravu liniju MN paralelnu s osi L i koja prolazi kroz točku O - početak vektora (slika 3.25). Kut će biti željeni kut. Povučemo kroz točke A i O dvije ravnine okomite na os L. Dobivamo:

Budući da su os L i pravac MN paralelne.

Izdvajamo dva slučaja međusobnog rasporeda vektora i osi L.

1. Neka su vektorska projekcija i os L jednako orijentirane (slika 3.25). Zatim odgovarajuća skalarna projekcija .

2. Neka su i L orijentirani u različite strane(slika 3.26).

Riža. 3.26. Pronalaženje vektorske i skalarne projekcije vektora na os L (a os L su orijentirane u suprotnim smjerovima).

Dakle, tvrdnja teorema vrijedi u oba slučaja.

TEOREM 6. Ako se početak vektora svede na određenu točku osi L, a ta se os nalazi u ravnini s, vektor tvori kut s vektorskom projekcijom na ravninu s, a kut s vektorom projekcija na os L, osim toga, vektorske projekcije same tvore kut između sebe, tada