Izračunajte duljinu stranice. Kako pronaći stranice pravokutnog trokuta? Osnove geometrije

U geometriji, kut je lik kojeg čine dvije zrake koje izlaze iz jedne točke (vrh kuta). Najčešće se kutovi mjere u stupnjevima. puni kut, ili revolucija, jednaka je 360 stupnjeva. Kut poligona možete izračunati ako znate vrstu poligona i veličinu njegovih drugih kutova, ili, u slučaju pravokutni trokut, duljina dviju njegovih stranica.

Koraci

Izračunavanje uglova poligona

Izbrojite broj uglova u poligonu.

Pronađite zbroj svih kutova poligona. Formula za pronalaženje zbroja svih unutarnji uglovi Poligon izgleda kao (n - 2) x 180, gdje je n broj strana i uglova poligona. Ovdje su zbrojevi kutova nekih uobičajenih poligona:

Zbroj kutova trokuta (trostranog mnogokuta) je 180 stupnjeva.
Zbroj kutova četverokuta (četverostranog mnogokuta) je 360 stupnjeva.
Zbroj kutova peterokuta (petostranog poligona) je 540 stupnjeva.
Zbroj kutova šesterokuta (šestostranog poligona) je 720 stupnjeva.
Zbroj kutova osmerokuta (osmerokutnog poligona) je 1080 stupnjeva.

Odrediti je li poligon pravilan. Pravilan mnogokut je onaj u kojem su sve strane i svi kutovi međusobno jednaki. Primjeri pravilni poligoni može poslužiti kao jednakostranični trokut i kvadrat, dok je zgrada Pentagona u Washingtonu izgrađena u obliku pravilnog peterokuta, a cestovni znak"stop" ima oblik pravilnog osmerokuta.

Zbrojite poznate kutove poligona, a zatim oduzmite taj zbroj ukupan iznos sve njegove kutove. Većina geometrijskih problema ove vrste odnosi se na trokute ili četverokute, budući da zahtijevaju manje unosa, pa ćemo i mi učiniti isto.
- Ako su dva kuta trokuta 60 stupnjeva, odnosno 80 stupnjeva, zbrojite te brojeve. Dobiti 140 stupnjeva. Zatim oduzmite ovaj zbroj od ukupnog zbroja svih kutova trokuta, tj. od 180 stupnjeva: 180 - 140 = 40 stupnjeva. (Trokut, čiji su svi kutovi međusobno nejednaki, naziva se nejednakostraničan.)
- Ovo rješenje možete napisati kao a = 180 - (b + c), gdje je a kut koji želite pronaći, b i c su poznati kutovi. Za poligone s više od tri strane zamijenite 180 zbrojem kutova zadane vrste poligona i dodajte jedan član zbroju u zagradama za svaki poznati kut.
- Neki poligoni imaju svoje "trikove" koji će vam pomoći da izračunate nepoznati kut. Na primjer, jednakokračni trokut je trokut s dva ravnopravne stranke i dva jednaka kuta. Paralelogram je četverokut suprotne strane a čiji su suprotni kutovi jednaki.
Izračunavanje kutova pravokutnog trokuta
1. Odredite koje podatke znate. Pravokutni trokut naziva se tako jer mu je jedan od kutova pravi. Možete pronaći vrijednost jednog od dva preostala kuta ako znate jednu od sljedećih vrijednosti:
  
  Odredite koju trigonometrijsku funkciju koristiti. Trigonometrijske funkcije izražavaju omjere dviju od tri strane trokuta. Postoji šest trigonometrijskih funkcija, ali sljedeće su najčešće korištene:

Prvi su segmenti koji su uz pravi kut, a hipotenuza je najduži dio figure i nalazi se nasuprot kuta od 90 stupnjeva. Pitagorin trokut je trokut čije su stranice jednake prirodni brojevi; njihove se duljine u ovom slučaju nazivaju "pitagorina trojka".

egipatski trokut

Kako bi sadašnja generacija naučila geometriju u obliku u kojem se sada uči u školi, ona se razvijala nekoliko stoljeća. Temeljna točka je Pitagorin teorem. Stranice pravokutnika poznate su cijelom svijetu) su 3, 4, 5.

Malo ljudi nije upoznato s frazom "Pitagorejske hlače su jednake u svim smjerovima". Međutim, u stvari, teorem zvuči ovako: c 2 (kvadrat hipotenuze) \u003d a 2 + b 2 (zbroj kvadrata nogu).

Među matematičarima se trokut sa stranicama 3, 4, 5 (cm, m itd.) naziva "egipatskim". Zanimljivo je da je ono što je upisano na slici jednako jedan. Ime je nastalo oko 5. stoljeća prije Krista, kada su grčki filozofi putovali u Egipat.

Prilikom gradnje piramida, arhitekti i geodeti koristili su omjer 3:4:5. Ispostavilo se da su takve strukture proporcionalne, ugodne na pogled i prostrane, a također su se rijetko srušile.

Kako bi izgradili pravi kut, graditelji su koristili uže na kojem je bilo vezano 12 čvorova. U ovom slučaju, vjerojatnost izgradnje pravokutnog trokuta porasla je na 95%.

Znakovi jednakosti figura

Oštar kut u pravokutnom trokutu i velika stranica, koji su jednaki istim elementima u drugom trokutu, neosporan je znak jednakosti likova. Uzimajući u obzir zbroj kutova, lako je dokazati da su i drugi oštri kutovi jednaki. Dakle, trokuti su identični u drugom kriteriju.
Kada se dva lika nalože jedan na drugi, okrećemo ih na način da, kada se spoje, postanu jedan jednakokračni trokut. Stranice, odnosno hipotenuze su po svom svojstvu jednake, kao i kutovi na bazi, što znači da su ti brojevi isti.

Po prvom znaku vrlo je lako dokazati da su trokuti stvarno jednaki, glavna stvar je da su dvije manje stranice (tj. noge) jedna drugoj.

Trokuti će biti isti prema II znaku, čija je bit jednakost noge i oštrog kuta.

Svojstva pravokutnog trokuta

Visina spuštena od pravi kut, dijeli lik na dva jednaka dijela.

Stranice pravokutnog trokuta i njegov medijan lako se prepoznaju po pravilu: medijan, koji je spušten na hipotenuzu, jednak je njegovoj polovici. može se pronaći i Heronovom formulom i tvrdnjom da je jednak polovici umnoška nogu.

U pravokutnom trokutu vrijede svojstva kutova od 30 o, 45 o i 60 o.

Pod kutom od 30 °, treba imati na umu da će suprotna noga biti jednaka 1/2 najveće strane.
Ako je kut 45 o, onda drugi oštar kut također 45 o. To sugerira da je trokut jednakokračan i da su mu kraci isti.
Svojstvo kuta od 60 stupnjeva je da treći kut ima mjeru od 30 stupnjeva.

Područje je lako pronaći pomoću jedne od tri formule:

kroz visinu i stranu na koju se spušta;
prema Heronovoj formuli;
uz strane i kut između njih.

Stranice pravokutnog trokuta, odnosno noge, konvergiraju se s dvije visine. Da bismo pronašli treći, potrebno je razmotriti dobiveni trokut, a zatim, koristeći Pitagorin teorem, izračunati potrebnu duljinu. Osim ove formule, postoji i omjer dvostruke površine i duljine hipotenuze. Najčešći izraz među studentima je prvi, jer zahtijeva manje izračunavanja.

Teoremi koji vrijede za pravokutni trokut

Geometrija pravokutnog trokuta uključuje korištenje teorema kao što su:

U njega upisana kružnica (r). Da biste to učinili, povećajte ga šest puta i podijelite sa Korijen od tri: A \u003d r * 6 / √3.

Poznavajući polumjer (R), možete izračunati i duljinu strane(A) točno trokut. Ovaj polumjer je dvostruko veći od onog korištenog u prethodnoj formuli, pa ga utrostručite i također podijelite s kvadratnim korijenom od tri: A = R*3/√3.

Po (P) jednakostranični trokut izračunati njegovu dužinu strane(A) je još jednostavnije, budući da su duljine stranica na ovoj slici iste. Samo podijelite perimetar na tri: A = P / 3.

NA jednakokračan trokut izračun duljine strane duž poznatog perimetra je malo teže - također morate znati duljinu barem jedne od stranica. Ako je poznata duljina strane I, ležeći u podnožju figure, pronađite duljinu bilo koje strane (B) u pola razlike između opsega (P) i veličine baze: B \u003d (P-A) / 2. A ako je bočna strana poznata, tada odredite duljinu baze oduzimanjem dvostruke duljine bočne strane od perimetra: A \u003d P-2 * B.

Poznavanje površine (S) koju u ravnini zauzima pravilan trokut također je dovoljno da se pronađe njegova duljina strane(ALI). Uzmite kvadratni korijen omjera površine i korijena trojke i udvostručite rezultat: A \u003d 2 * √ (S / √ 3).

U , u bilo kojem drugom, za izračunavanje duljine jedne od stranica, dovoljno je znati duljine druge dvije. Ako je željena strana (C), da biste to učinili, pronađite kvadratni korijen duljina poznatih stranica (A i B) na kvadrat: C \u003d √ (A² + B²). A ako trebate izračunati duljinu jedne od nogu, kvadratni korijen treba uzeti iz duljine hipotenuze i druge noge: A \u003d √ (C²-B²).

Izvori:

kako izračunati stranu jednakostraničnog trokuta

U općem slučaju, tj. kada nema podataka o tome je li trokut jednakostraničan, jednakokračan, pravokutan, potrebno je koristiti trigonometrijske funkcije za izračunavanje duljina njegovih stranica. Pravila za njihovu primjenu određena su teoremima, koji se tako nazivaju - teorem sinusa, kosinusa i tangenta.

Uputa

Jedan od načina izračunavanja duljina stranica proizvoljnog trokut pretpostavlja sinusni teorem. Prema njemu, omjer duljina stranica suprotnih kutova trokut su jednaki. To nam omogućuje da izvedemo formulu za duljinu stranice za one slučajeve u kojima su iz uvjeta problema poznati barem jedna stranica i dva kuta na vrhovima figure. Ako nijedan od ova dva kuta (α i β) ne leži između poznata stranka A i izračunati B, zatim pomnožite duljinu poznate strane sa sinusom poznatog kuta β koji je uz nju i podijelite sa sinusom drugog poznatog kuta a: B \u003d A * sin (β) / sin (α).

Ako se formira jedan (γ) od dva (α i γ) poznata kuta, od kojih je duljina jednog (A) dana u , a drugog (B) treba izračunati, tada primijenite isti teorem. Rješenje se može svesti na formulu dobivenu u prethodnom koraku, ako se prisjetimo i teorema o zbroju kutova u trokutu - ova vrijednost je uvijek 180 °. U formuli je nepoznat kut β, koji se prema ovom teoremu može izračunati ako od 180° oduzmemo vrijednosti dva poznata kuta. Zamijenite ovu vrijednost u jednakosti i dobit ćete formulu B \u003d A * sin (180 ° - α - γ) / sin (α).

U geometriji se često javljaju problemi vezani uz stranice trokuta. Na primjer, često je potrebno pronaći stranicu trokuta ako su druge dvije poznate.

Trokuti su jednakokračni, jednakostranični i jednakostranični. Od sve raznolikosti, za prvi primjer, odabrat ćemo pravokutni (u takvom trokutu jedan od kutova je 90 °, stranice koje su uz njega zovu se noge, a treći hipotenuza).

Brza navigacija po članku

Duljina stranica pravokutnog trokuta

Rješenje problema proizlazi iz teorema velikog matematičara Pitagore. Kaže da je zbroj kvadrata kateta pravokutnog trokuta jednak kvadratu njegove hipotenuze: a²+b²=c²

Pronađite kvadrat duljine noge a;
Nađi kvadrat kateta b;
Sastavili smo ih;
Iz dobivenog rezultata izvlačimo korijen drugog stupnja.

Primjer: a=4, b=3, c=?

a²=4²=16;
b²=3²=9;
16+9=25;
√25=5. To jest, duljina hipotenuze ovog trokuta je 5.

Ako trokut nema pravi kut, tada duljine dviju stranica nisu dovoljne. Za to je potreban treći parametar: to može biti kut, visina, površina trokuta, polumjer upisane kružnice itd.

Ako je poznat opseg

U ovom slučaju zadatak je još lakši. Opseg (P) je zbroj svih strana trokuta: P=a+b+c. Dakle, rješavanjem jednostavne matematičke jednadžbe dobivamo rezultat.

Primjer: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Rješavamo jednadžbu prenoseći sve poznate parametre na jednu stranu znaka jednakosti:

2) Zamijenite vrijednosti umjesto njih i izračunajte treću stranu:

c=18-7-6=5, ukupno: treća stranica trokuta je 5.

Ako je kut poznat

Za izračunavanje treće strane trokuta s obzirom na kut i druge dvije stranice, rješenje se svodi na izračunavanje trigonometrijske jednadžbe. Poznavajući odnos stranica trokuta i sinusa kuta, lako je izračunati treću stranu. Da biste to učinili, morate kvadrirati obje strane i zbrojiti njihove rezultate. Zatim oduzmite od dobivenog proizvoda stranica, pomnoženog s kosinusom kuta: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Ako je područje poznato

U ovom slučaju, jedna formula nije dovoljna.

1) Prvo izračunamo sin γ izražavajući ga iz formule za površinu trokuta:

sin γ= 2S/(a*b)

2) Koristeći sljedeću formulu, izračunavamo kosinus istog kuta:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 - sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) I opet koristimo sinusni teorem:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Zamjenom vrijednosti varijabli u ovu jednadžbu dobivamo odgovor na problem.

Trokut je primitivni poligon omeđen na ravnini s tri točke i tri segmenta koji povezuju te točke u parovima. Kutovi u trokutu su oštar, tupi i pravi. Zbroj kutova u trokutu je kontinuiran i jednak je 180 stupnjeva.

Trebat će vam

Osnovna znanja iz geometrije i trigonometrije.

Uputa

1. Označimo duljine stranica trokuta a=2, b=3, c=4 i njegovih kutova u, v, w, od kojih svaki leži na suprotnoj strani jedne strane. Prema zakonu kosinusa, kvadrat duljine stranice trokuta jednak je zbroju kvadrata duljina 2 druge strane minus dvostruki umnožak ovih stranica za kosinus kuta između njih. To jest, a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(u). Zamjenjujemo duljine stranica u ovaj izraz i dobivamo: 4 \u003d 9 + 16 - 24cos (u).

2. Izrazimo cos(u) iz dobivene jednakosti. Dobivamo sljedeće: cos(u) = 7/8. Zatim nalazimo stvarni kut u. Da bismo to učinili, izračunavamo arccos(7/8). To jest, kut u = arccos(7/8).

3. Slično, izražavajući druge strane u terminima ostatka, nalazimo preostale kutove.

Bilješka!
Vrijednost jednog kuta ne može biti veća od 180 stupnjeva. Znak arccos() ne može sadržavati broj veći od 1 i manji od -1.

Koristan savjet
Da bi se otkrila sva tri kuta, nije potrebno izraziti sve tri strane, dopušteno je detektirati samo 2 kuta, a treći se može dobiti oduzimanjem vrijednosti preostalih 2 od 180 stupnjeva. To proizlazi iz činjenice da je zbroj svih kutova trokuta kontinuiran i jednak 180 stupnjeva.