Prisjetimo se školskog tečaja matematike i razgovarajmo o tome što je tangenta i kako pronaći tangentu kuta. Prvo, definirajmo što se zove tangenta. NA pravokutni trokut tangens oštar kut je omjer suprotne noge i susjedne. Susjedna noga je ona koja sudjeluje u formiranju kuta, suprotna je ona koja se nalazi nasuprot kuta.

Također, tangent akutnog kuta je omjer sinusa ovog kuta i njegovog kosinusa. Radi razumijevanja, prisjetimo se što je sinus i kosinus kuta. Sinus oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotnog kraka i hipotenuze, kosinus je omjer susjednog kraka i hipotenuze.

Postoji i kotangens, suprotan je tangenti. Kotangens je omjer susjednog kraka prema suprotnom i, sukladno tome, omjer kosinusa kuta i njegovog sinusa.

Sinus, kosinus, tangent i kotangens su trigonometrijske funkcije kuta, pokazuju odnos između kutova i stranica trokuta, pomažu u izračunavanju stranica trokuta.

Izračunajte tangentu oštrog kuta

Kako pronaći tangentu u trokutu? Kako ne biste gubili vrijeme na traženje tangente, možete pronaći posebne tablice u kojima su naznačene trigonometrijske funkcije mnogih kutova. U školskim zagonetkama iz geometrije, određeni kutovi su vrlo česti, a od nastavnika se traži da upamte vrijednosti svojih sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Nudimo vam malu ploču sa željenim vrijednostima za ove kutove.

Ako kut čiju tangentu treba pronaći nije prikazan u ovoj tablici, tada možete koristiti dvije formule koje smo gore predstavili u verbalnom obliku.

Prvi način izračunavanja tangente kuta je dijeljenje duljine suprotne noge s duljinom susjedne. Recimo da je suprotni krak 4, a susjedni 8. Da biste pronašli tangentu, trebate 4:8. Tangens kuta bit će ½ ili 0,5.

Drugi način izračunavanja tangente je dijeljenje vrijednosti sinusa zadanog kuta s vrijednošću njegovog kosinusa. Na primjer, zadan nam je kut od 45 stupnjeva. Njegov grijeh = kvadratni korijen od dva podijeljen s dva; njegov cos je isti broj. Sada dijelimo sinus s kosinusom i dobivamo tangentu jednaku jedan.

Događa se da trebate koristiti ovu konkretnu formulu, ali poznat je samo jedan element - sinus ili kosinus. U ovom slučaju bit će korisno prisjetiti se formule

sin2 α + cos2 α = 1. Ovo je osnovni trigonometrijski identitet. Izražavajući nepoznati element u terminima poznatog, može se saznati njegovo značenje. A poznavajući sinus i kosinus, nije teško pronaći tangentu.

A ako geometrija očito nije vaš poziv, već napraviti domaća zadaća još uvijek trebate, tada možete koristiti online kalkulator za izračun tangente kuta.

Rekli smo vam o jednostavni primjeri kako pronaći tangentu. Međutim, uvjeti zadataka su teži i nije uvijek moguće brzo saznati sve potrebne podatke. U ovom slučaju pomoći će vam Pitagorin teorem i razne trigonometrijske funkcije.

Trigonometrija je grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu upotrebu u geometriji. Razvoj trigonometrije započeo je u danima stare Grčke. Tijekom srednjeg vijeka znanstvenici s Bliskog istoka i Indije dali su važan doprinos razvoju ove znanosti.

Ovaj je članak posvećen osnovnim pojmovima i definicijama trigonometrije. Raspravlja o definicijama glavnih trigonometrijskih funkcija: sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Objašnjeno je i ilustrirano njihovo značenje u kontekstu geometrije.

Yandex.RTB R-A-339285-1

U početku su definicije trigonometrijskih funkcija, čiji je argument kut, izražene kroz omjer stranica pravokutnog trokuta.

Definicije trigonometrijskih funkcija

Sinus kuta (sin α) je omjer katete nasuprot ovom kutu i hipotenuze.

Kosinus kuta (cos α) je omjer susjednog kraka i hipotenuze.

Tangent kuta (t g α) je omjer suprotnog kraka i susjednog.

Kotangens kuta (c t g α) je omjer susjednog kraka prema suprotnom.

Ove definicije dane su za oštar kut pravokutnog trokuta!

Dajemo ilustraciju.

U trokutu ABC s pravim kutom C, sinus kuta A jednak je omjeru kraka BC i hipotenuze AB.

Definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa omogućuju izračunavanje vrijednosti ovih funkcija iz poznatih duljina stranica trokuta.

Važno je zapamtiti!

Raspon vrijednosti sinusa i kosinusa: od -1 do 1. Drugim riječima, sinus i kosinus imaju vrijednosti od -1 do 1. Raspon vrijednosti tangenta i kotangensa je cijela brojevna prava, tj. funkcije mogu imati bilo koju vrijednost.

Gore navedene definicije odnose se na oštre kutove. U trigonometriji se uvodi pojam kuta rotacije čija vrijednost, za razliku od oštrog kuta, nije ograničena okvirima od 0 do 90 stupnjeva.. Kut rotacije u stupnjevima ili radijanima izražava se bilo kojim realnim brojem od - ∞ do + ∞.

U tom kontekstu, može se definirati sinus, kosinus, tangent i kotangens kuta proizvoljne veličine. Zamislite jediničnu kružnicu sa središtem u ishodištu kartezijanskog koordinatnog sustava.

Početna točka A s koordinatama (1 , 0) rotira oko središta jedinične kružnice za neki kut α i ide u točku A 1 . Definicija je dana kroz koordinate točke A 1 (x, y).

Sinus (sin) kuta rotacije

Sinus kuta rotacije α je ordinata točke A 1 (x, y). sinα = y

Kosinus (cos) kuta rotacije

Kosinus kuta rotacije α je apscisa točke A 1 (x, y). cos α = x

Tangent (tg) kuta rotacije

Tangenta kuta rotacije α je omjer ordinate točke A 1 (x, y) i njezine apscise. t g α = y x

Kotangens (ctg) kuta rotacije

Kotangens kuta rotacije α je omjer apscise točke A 1 (x, y) i njezine ordinate. c t g α = x y

Sinus i kosinus definirani su za bilo koji kut rotacije. To je logično, jer se apscisa i ordinata točke nakon rotacije mogu odrediti pod bilo kojim kutom. Drugačija je situacija s tangentom i kotangensom. Tangenta nije definirana kada točka nakon rotacije ide u točku s nultom apscisom (0 , 1) i (0 , - 1). U takvim slučajevima izraz za tangentu t g α = y x jednostavno nema smisla, jer sadrži dijeljenje s nulom. Slična je situacija i s kotangensom. Razlika je u tome što kotangens nije definiran u slučajevima kada ordinata točke nestaje.

Važno je zapamtiti!

Sinus i kosinus definirani su za sve kutove α.

Tangenta je definirana za sve kutove osim α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Kotangens je definiran za sve kutove osim α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Prilikom odlučivanja praktični primjeri nemojte reći "sinus kuta rotacije α". Riječi "kut rotacije" jednostavno su izostavljene, što implicira da je iz konteksta već jasno o čemu je riječ.

Brojevi

Što je s definicijom sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja, a ne kuta rotacije?

Sinus, kosinus, tangent, kotangens broja

Sinus, kosinus, tangent i kotangens broja t naziva se broj koji je, redom, jednak sinusu, kosinusu, tangentu i kotangensu u t radijan.

Na primjer, sinus od 10 π jednaka sinusu kut rotacije od 10 π rad.

Postoji još jedan pristup definiciji sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa broja. Razmotrimo ga detaljnije.

Bilo koji pravi broj t točka na jediničnoj kružnici stavlja se u korespondenciju sa središtem u ishodištu pravokutnog kartezijanskog koordinatnog sustava. Sinus, kosinus, tangent i kotangens definirani su u smislu koordinata ove točke.

Početna točka na kružnici je točka A s koordinatama (1 , 0).

pozitivan broj t

Negativan broj t odgovara točki do koje će se početna točka pomaknuti ako se kreće u smjeru suprotnom od kazaljke na satu oko kružnice i prođe put t .

Sada kada je veza između broja i točke na kružnici uspostavljena, prelazimo na definiciju sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa.

Sinus (sin) broja t

Sinus broja t- ordinata točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. sin t = y

Kosinus (cos) od t

Kosinus broja t- apscisa točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. cos t = x

Tangenta (tg) od t

Tangent broja t- omjer ordinate i apscise točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. t g t = y x = sin t cos t

Potonje definicije su u skladu s definicijom danom na početku ovog odjeljka i ne proturječe. Točka na kružnici koja odgovara broju t, podudara se s točkom do koje prolazi početna točka nakon okretanja kroz kut t radijan.

Trigonometrijske funkcije kutnog i numeričkog argumenta

Svaka vrijednost kuta α odgovara određenoj vrijednosti sinusa i kosinusa tog kuta. Kao i svi kutovi α osim α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) odgovara određenoj vrijednosti tangente. Kotangens, kao što je gore spomenuto, definiran je za sve α, osim za α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Možemo reći da su sin α , cos α , t g α , c t g α funkcije kuta alfa ili funkcije kutnog argumenta.

Slično, može se govoriti o sinusima, kosinusima, tangentima i kotangensima kao funkcijama numeričkog argumenta. Svaki pravi broj t odgovara određenoj vrijednosti sinusa ili kosinusa broja t. Svi brojevi osim π 2 + π · k , k ∈ Z, odgovaraju vrijednosti tangente. Kotangens je slično definiran za sve brojeve osim π · k , k ∈ Z.

Osnovne funkcije trigonometrije

Sinus, kosinus, tangent i kotangens su osnovne trigonometrijske funkcije.

Obično je iz konteksta jasno s kojim argumentom trigonometrijske funkcije (kutnim argumentom ili numeričkim argumentom) imamo posla.

Vratimo se podacima na samom početku definicija i kutu alfa koji se nalazi u rasponu od 0 do 90 stupnjeva. Trigonometrijske definicije sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa u potpunosti su u skladu s geometrijskim definicijama danim omjerima stranica pravokutnog trokuta. Pokažimo to.

Uzmite jediničnu kružnicu sa središtem na pravokutnom kartezijanskom koordinatnom sustavu. okrenimo se Polazna točka A (1, 0) pod kutom do 90 stupnjeva i povucite iz rezultirajuće točke A 1 (x, y) okomito na os x. U rezultirajućem pravokutnom trokutu kut A 1 O H jednak je kutu rotacije α, duljina kraka O H jednaka je apscisi točke A 1 (x, y) . Duljina kateta nasuprot kutu jednaka je ordinati točke A 1 (x, y), a duljina hipotenuze jednaka je jedan, budući da je to polumjer jedinične kružnice.

U skladu s definicijom iz geometrije, sinus kuta α jednak je omjeru suprotnog kraka i hipotenuze.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

To znači da je definicija sinusa oštrog kuta u pravokutnom trokutu kroz omjer stranica ekvivalentna definiciji sinusa kuta rotacije α, pri čemu alfa leži u rasponu od 0 do 90 stupnjeva.

Slično se može prikazati kosinus, tangens i kotangens, podudarnost definicija.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Zove se omjer suprotnog kraka i hipotenuze sinus oštrog kuta pravokutni trokut.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Kosinus oštrog kuta pravokutnog trokuta

Zove se omjer najbližeg kraka i hipotenuze kosinus oštrog kuta pravokutni trokut.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangenta oštrog kuta pravokutnog trokuta

Zove se omjer suprotne noge i susjedne noge tangenta oštrog kuta pravokutni trokut.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Kotangens oštrog kuta pravokutnog trokuta

Omjer susjedne noge i suprotne noge naziva se kotangens oštrog kuta pravokutni trokut.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sinus proizvoljnog kuta

Naziva se ordinata točke na jediničnoj kružnici kojoj odgovara kut \alpha sinus proizvoljnog kuta rotacija \alfa .

\sin \alpha=y

Kosinus proizvoljnog kuta

Apscisa točke na jediničnoj kružnici kojoj odgovara kut \alpha naziva se kosinus proizvoljnog kuta rotacija \alfa .

\cos \alpha=x

Tangenta proizvoljnog kuta

Omjer sinusa proizvoljnog kuta rotacije \alpha i njegovog kosinusa naziva se tangenta proizvoljnog kuta rotacija \alfa .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Kotangens proizvoljnog kuta

Omjer kosinusa proizvoljnog kuta rotacije \alpha i njegovog sinusa naziva se kotangens proizvoljnog kuta rotacija \alfa .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Primjer pronalaženja proizvoljnog kuta

Ako je \alpha neki kut AOM , gdje je M točka na jediničnoj kružnici, onda

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Na primjer, ako \kut AOM = -\frac(\pi)(4), tada: ordinata točke M je -\frac(\sqrt(2))(2), apscisa je \frac(\sqrt(2))(2) i zato

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \lijevo (\frac(\pi)(4) \desno)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \lijevo (-\frac(\pi)(4) \desno)=-1.

Tablica vrijednosti sinusa kosinusa tangenta kotangensa

Vrijednosti glavnih često susrećenih kutova dane su u tablici:

Započinjemo naše proučavanje trigonometrije s pravokutnim trokutom. Definirajmo što su sinus i kosinus, kao i tangenta i kotangensa oštrog kuta. Ovo su osnove trigonometrije.

Prisjetite se toga pravi kut je kut jednak 90 stupnjeva. Drugim riječima, polovica rasklopljenog kuta.

Oštar kut- manje od 90 stupnjeva.

Tup kut- veći od 90 stupnjeva. U odnosu na takav kut, "tupi" nije uvreda, već matematički pojam :-)

Nacrtajmo pravokutni trokut. Obično se označava pravi kut. Imajte na umu da je strana nasuprot kutu označena istim slovom, samo malim. Dakle, označena je strana koja leži nasuprot kuta A.

Kut je označen odgovarajućim grčko pismo.

Hipotenuza pravokutni trokut je suprotna strana pravi kut.

Noge- strane suprotne oštrim kutovima.

Noga nasuprot kutu zove se suprotan(u odnosu na kut). Druga noga, koja leži na jednoj strani ugla, zove se susjedni.

Sinus Oštar kut u pravokutnom trokutu je omjer suprotne katete i hipotenuze:

Kosinus oštar kut u pravokutnom trokutu - omjer susjednog kraka i hipotenuze:

Tangens oštar kut u pravokutnom trokutu - omjer suprotne noge i susjedne:

Druga (ekvivalentna) definicija: tangent oštrog kuta je omjer sinusa kuta i njegovog kosinusa:

Kotangens oštar kut u pravokutnom trokutu - omjer susjednog kraka prema suprotnom (ili, ekvivalentno, omjer kosinusa i sinusa):

Obratite pažnju na osnovne omjere za sinus, kosinus, tangent i kotangens, koji su navedeni u nastavku. Oni će nam biti korisni u rješavanju problema.

Dokažimo neke od njih.

U redu, dali smo definicije i zapisane formule. Ali zašto su nam potrebni sinus, kosinus, tangent i kotangens?

Mi to znamo zbroj kutova bilo kojeg trokuta je.

Znamo odnos između stranke pravokutni trokut. Ovo je Pitagorin teorem: .

Ispada da znajući dva kuta u trokutu, možete pronaći treći. Poznavajući dvije strane u pravokutnom trokutu, možete pronaći treću. Dakle, za kutove - njihov omjer, za strane - svoj. Ali što učiniti ako su u pravokutnom trokutu poznati jedan kut (osim pravog) i jedna strana, ali morate pronaći druge strane?

S tim su se ljudi suočavali u prošlosti, praveći karte područja i zvjezdanog neba. Uostalom, nije uvijek moguće izravno izmjeriti sve strane trokuta.

Sinus, kosinus i tangenta - također se nazivaju trigonometrijske funkcije kuta- dati omjer između stranke i uglovima trokut. Poznavajući kut, možete pronaći sve njegove trigonometrijske funkcije pomoću posebnih tablica. A znajući sinuse, kosinuse i tangente kutova trokuta i jedne od njegovih stranica, možete pronaći ostatak.

Također ćemo nacrtati tablicu vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za "dobre" kutove od do.

Obratite pažnju na dvije crvene crtice u tablici. Za odgovarajuće vrijednosti kutova, tangenta i kotangens ne postoje.

Analizirajmo nekoliko problema u trigonometriji iz zadataka Banke FIPI.

1. U trokutu, kut je , . Pronaći .

Problem je riješen za četiri sekunde.

Ukoliko , .

2. U trokutu, kut je , , . Pronaći .

Pronađimo po Pitagorinom teoremu.

Problem riješen.

Često u problemima postoje trokuti s kutovima i ili s kutovima i . Zapamtite osnovne omjere za njih napamet!

Za trokut s kutovima i krak nasuprot kutu u jednak je polovica hipotenuze.

Trokut s kutovima i jednakokračan je. U njemu je hipotenuza puta veća od kateta.

Razmatrali smo probleme za rješavanje pravokutnih trokuta – odnosno za pronalaženje nepoznatih stranica ili kutova. Ali to nije sve! U varijantama ispita iz matematike postoji mnogo zadataka gdje se pojavljuje sinus, kosinus, tangent ili kotangens vanjskog kuta trokuta. Više o tome u sljedećem članku.

Srednja razina

Pravokutni trokut. Potpuni ilustrirani vodič (2019.)

PRAVI TROKUT. PRVA RAZINA.

U problemima pravi kut uopće nije potreban - donji lijevi, pa morate naučiti prepoznati pravokutni trokut u ovom obliku,

i u takvim

i u takvim

Što je dobro u pravokutnom trokutu? Pa... prije svega, postoje posebni lijepa imena za njegove strane.

Pažnja na crtež!

Zapamtite i nemojte brkati: noge - dvije, a hipotenuza - samo jedna(jedini, jedinstveni i najduži)!

Pa, razgovarali smo o imenima, sada o najvažnijoj stvari: Pitagorinoj teoremi.

Pitagorin poučak.

Ovaj teorem je ključ za rješavanje mnogih problema koji uključuju pravokutni trokut. Dokazao ju je Pitagora još u davnim vremenima i od tada je donio mnoge koristi onima koji to poznaju. A najbolja stvar kod nje je to što je jednostavna.

Tako, Pitagorin poučak:

Sjećate li se vica: “Pitagorejske hlače su jednake na sve strane!”?

Nacrtajmo baš te pitagorejske hlače i pogledajmo ih.

Izgleda li stvarno kao kratke hlačice? Pa na kojim su stranama i gdje su jednaki? Zašto i odakle je došla šala? A ova je šala povezana upravo s Pitagorinim teoremom, točnije s načinom na koji je sam Pitagora formulirao svoj teorem. I formulirao ga je ovako:

"Iznos površina kvadrata, izgrađen na nogama, jednak je kvadratna površina izgrađena na hipotenuzi.

Ne zvuči li malo drugačije, zar ne? I tako, kada je Pitagora nacrtao tvrdnju svog teorema, ispala je upravo takva slika.

Na ovoj slici, zbroj površina malih kvadrata jednak je površini velikog kvadrata. A kako bi djeca bolje zapamtila da je zbroj kvadrata nogu jednak kvadratu hipotenuze, netko je duhovit izmislio ovaj vic o pitagorejskim hlačama.

Zašto sada formuliramo Pitagorin teorem

Je li Pitagora patio i govorio o kvadratima?

Vidite, u davna vremena nije postojala ... algebra! Nije bilo znakova i tako dalje. Nije bilo natpisa. Možete li zamisliti kako je bilo strašno jadnim antičkim studentima sve napamet riječima??! I može nam biti drago da imamo jednostavnu formulaciju Pitagorinog teorema. Ponovimo to još jednom da bolje zapamtimo:

Sada bi trebalo biti lako:

Pa, raspravljalo se o najvažnijem teoremu o pravokutnom trokutu. Ako vas zanima kako se to dokazuje, pročitajte sljedeće razine teorije, a sada idemo dalje ... u mračnu šumu ... trigonometrije! Na strašne riječi sinus, kosinus, tangenta i kotangens.

Sinus, kosinus, tangenta, kotangens u pravokutnom trokutu.

Zapravo, sve uopće nije tako strašno. Naravno, u članku treba pogledati "pravu" definiciju sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Ali ti stvarno ne želiš, zar ne? Možemo se radovati: da biste riješili probleme o pravokutnom trokutu, jednostavno možete ispuniti sljedeće jednostavne stvari:

Zašto se sve vrti oko kuta? Gdje je kut? Da biste to razumjeli, morate znati kako se tvrdnje 1 - 4 pišu riječima. Gledajte, razumite i zapamtite!

1.
Zapravo zvuči ovako:

Što je s kutom? Postoji li noga koja je nasuprot kutu, odnosno suprotna noga (za kut)? Naravno da ima! Ovo je kateta!

Ali što je s kutom? Pogledaj bolje. Koja je noga uz kut? Naravno, mačka. Dakle, za kut, noga je susjedna, i

A sada, pažnja! Pogledajte što imamo:

Pogledajte kako je super:

Sada prijeđimo na tangentu i kotangens.

Kako to sada izraziti riječima? Što je noga u odnosu na kut? Nasuprot, naravno - "leži" nasuprot kutu. A katet? Uz ugao. Pa što smo dobili?

Vidite kako su brojnik i nazivnik obrnuti?

A sada opet uglovi i razmjena:

Sažetak

Zapišimo ukratko što smo naučili.

Pitagorin poučak:

Glavni teorem pravokutnog trokuta je Pitagorin teorem.

Pitagorin poučak

Usput, sjećate li se dobro što su noge i hipotenuza? Ako ne, onda pogledajte sliku - osvježite svoje znanje

Moguće je da ste Pitagorin teorem već koristili mnogo puta, ali jeste li se ikada zapitali zašto je takav teorem istinit. Kako biste to dokazali? Postupimo kao stari Grci. Nacrtajmo kvadrat sa stranom.

Vidite kako smo lukavo podijelili njegove stranice na segmente duljina i!

Sada spojimo označene točke

Ovdje smo, međutim, primijetili nešto drugo, ali vi sami pogledate sliku i razmislite zašto.

Kolika je površina većeg kvadrata? Ispravno, . Što je s manjim područjem? Sigurno, . Ukupna površina četiri kuta ostaje. Zamislite da smo uzeli dva od njih i naslonili se jedno na drugo hipotenuzama. Što se dogodilo? Dva pravokutnika. Dakle, površina "reznica" je jednaka.

Idemo sada sve zajedno.

transformirajmo:

Tako smo posjetili Pitagoru – dokazali smo njegov teorem na drevni način.

Pravokutni trokut i trigonometrija

Za pravokutni trokut vrijede sljedeće relacije:

Sinus oštrog kuta jednak je omjeru suprotnog kraka i hipotenuze

Kosinus oštrog kuta jednak je omjeru susjednog kraka i hipotenuze.

Tangens oštrog kuta jednak je omjeru suprotne noge i susjedne noge.

Kotangens oštrog kuta jednak je omjeru susjednog kraka i suprotnog kraka.

I još jednom, sve to u obliku ploče:

Vrlo je udobno!

Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta

I. Na dvije noge

II. Po kraku i hipotenuzi

III. Po hipotenuzi i oštrom kutu

IV. Uz nogu i oštar kut

a)

b)

Pažnja! Ovdje je vrlo važno da noge “odgovaraju”. Na primjer, ako ide ovako:

ONDA TROKUTI NISU JEDNAKI, unatoč činjenici da imaju jedan identičan akutni kut.

Moram u oba trokuta noga je bila susjedna, ili u oba - suprotna.

Jeste li primijetili kako se znakovi jednakosti pravokutnih trokuta razlikuju od uobičajenih znakova jednakosti trokuta? Pogledajte temu „i obratite pažnju na činjenicu da je za jednakost „običnih“ trokuta potrebna jednakost njihova tri elementa: dvije stranice i kut između njih, dva kuta i stranica između njih ili tri stranice. Ali za jednakost pravokutnih trokuta dovoljna su samo dva odgovarajuća elementa. Super je, zar ne?

Približno ista situacija sa znakovima sličnosti pravokutnih trokuta.

Znakovi sličnosti pravokutnih trokuta

I. Akutni kut

II. Na dvije noge

III. Po kraku i hipotenuzi

Medijan u pravokutnom trokutu

Zašto je to tako?

Razmotrite cijeli pravokutnik umjesto pravokutnog trokuta.

Nacrtajmo dijagonalu i razmotrimo točku – točku presjeka dijagonala. Što znaš o dijagonalama pravokutnika?

I što iz ovoga slijedi?

Tako se dogodilo da

1. - srednja vrijednost:

Zapamtite ovu činjenicu! Pomaže puno!

Ono što je još više iznenađujuće je da je istina i obrnuto.

Što se može dobiti od činjenice da je medijan povučen hipotenuzi jednak polovici hipotenuze? Pogledajmo sliku

Pogledaj bolje. Imamo: , to jest, udaljenosti od točke do sva tri vrha trokuta su se pokazale jednakima. Ali u trokutu postoji samo jedna točka, udaljenosti od koje su otprilike sva tri vrha trokuta jednake, a to je SREDIŠTE opisane KRUŽNICE. Dakle, što se dogodilo?

Pa krenimo s ovim "osim...".

Pogledajmo i.

Ali u sličnim trokutima svi su kutovi jednaki!

Isto se može reći i za i

Sada ga nacrtajmo zajedno:

Kakvu korist može izvući ova "trostruka" sličnost.

Pa, na primjer - dvije formule za visinu pravokutnog trokuta.

Zapisujemo odnose odgovarajućih strana:

Da bismo pronašli visinu, rješavamo proporciju i dobivamo prva formula "Visina u pravokutnom trokutu":

Dakle, primijenimo sličnost: .

Što će se sada dogoditi?

Opet rješavamo proporciju i dobivamo drugu formulu:

Obje ove formule moraju se jako dobro zapamtiti i ona koja je prikladnija za primjenu. Zapišimo ih opet.

Pitagorin poučak:

U pravokutnom trokutu kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta:.

Znakovi jednakosti pravokutnih trokuta:

• na dvije noge:
• uz krak i hipotenuzu: ili
• duž kraka i susjednog oštrog kuta: ili
• duž kraka i suprotnog oštrog kuta: ili
• hipotenuzom i oštrim kutom: ili.

Znakovi sličnosti pravokutnih trokuta:

• jedan oštar kut: ili
• iz proporcionalnosti dviju nogu:
• iz proporcionalnosti kateta i hipotenuze: ili.

Sinus, kosinus, tangenta, kotangens u pravokutnom trokutu

• Sinus oštrog kuta pravokutnog trokuta je omjer suprotne katete i hipotenuze:
• Kosinus oštrog kuta pravokutnog trokuta je omjer susjednog kraka i hipotenuze:
• Tangens oštrog kuta pravokutnog trokuta je omjer suprotne katete i susjedne:
• Kotangens oštrog kuta pravokutnog trokuta je omjer susjednog kraka i suprotnog:.

Visina pravokutnog trokuta: ili.

U pravokutnom trokutu medijan povučen iz vrha pravog kuta jednak je polovici hipotenuze: .

Površina pravokutnog trokuta:

• kroz katetere: