Un polígono se llama regular si todos sus lados y todos sus ángulos son iguales. Entre triángulos, un triángulo equilátero y solo él será correcto. Un cuadrado (y sólo un cuadrado) es un cuadrilátero regular. Demostremos que hay polígonos regulares con cualquier número de lados, donde . Para hacer esto, presentamos dos métodos para construir tales polígonos.
Método 1. Toma un círculo arbitrario y divídelo en partes iguales. Tal construcción no es de ninguna manera factible con una regla y un compás, pero supondremos aquí que tal construcción se ha hecho. Tomamos los puntos de división en su posición secuencial en el círculo como los vértices de un -gon inscrito en este círculo. Probemos que el -gon construido es regular. Efectivamente, los lados de nuestro polígono (Fig. 312) son cuerdas restadas por arcos iguales, y por lo tanto son iguales entre sí.
Todos los ángulos se basan en arcos iguales y, por lo tanto, también son iguales. Entonces el polígono es correcto.
Método 2. Nuevamente, divida el círculo en partes iguales y dibuje tangentes al círculo en los puntos de división; restringimos cada una de las tangentes por los puntos de su intersección con las tangentes dibujadas en los puntos de división adyacentes. Obtenemos un polígono regular circunscrito a un círculo (Fig. 313). En efecto, sus ángulos son todos iguales, ya que cada uno de ellos, como el ángulo entre tangentes, se mide por la semidiferencia de los arcos, de los cuales el menor es siempre igual a una parte del círculo, y el mayor es siempre igual al círculo completo menos la parte. La igualdad de los lados se puede ver al menos a partir de la igualdad de los triángulos formados por pares de semitangentes y cuerdas (por ejemplo, triángulos, etc.). Todos ellos son isósceles, tienen ángulos iguales en los vértices y bases iguales.
Dos -gons regulares con el mismo numero los lados son similares.
De hecho, sus lados ciertamente están en una relación constante, igual a la razón de cualquier par de lados. Además, por el teorema de la suma de los ángulos de un -gon, todo -gon regular tiene los mismos ángulos iguales a 1. Se cumplen las condiciones del criterio del ítem 224, y los -gons son semejantes.
Entonces, para todos los -gons regulares son similares. De esto obtenemos inmediatamente una serie de corolarios:
1. Dos -gons regulares con lados iguales son iguales.
2. Un círculo se puede circunscribir alrededor de cualquier -gon regular.
Prueba. Tómese cualquier polígono regular con el mismo número de lados que el dado, construido según el primer método, es decir, inscrito en un círculo. Transformémoslo de manera similar para que sea igual al dado. Luego, el círculo circunscrito alrededor de él se transforma de manera similar en un círculo circunscrito alrededor del polígono dado.
3. En todo polígono regular se puede inscribir un círculo.
La prueba es similar. Es útil, sin embargo, llevar a cabo el razonamiento algo diferente. Ya sabemos que un círculo se puede circunscribir alrededor de un polígono dado. Tomemos su centro. Los lados de un polígono sirven como sus cuerdas; siendo iguales entre sí, deben estar igualmente separados del centro. Por lo tanto, un círculo con el mismo centro y radio, igual a la distancia desde el centro hacia los lados del polígono, tocará todos los lados del polígono, es decir, será un círculo inscrito.
Entonces, las circunferencias inscritas y circunscritas de un polígono regular tienen un centro común. Se llama el centro del polígono regular dado. El radio de la circunferencia circunscrita se llama radio del polígono, el radio de la circunferencia inscrita se llama apotema. Está claro que la apotema siempre es menor que el radio.
tu su polígono. Por ejemplo, si necesita encontrar esquinas correcto polígono con 15 lados, introduce n=15 en la ecuación. Obtendrá S=180⁰(15-2), S=180⁰x13, S=2340⁰.
Luego, divide la suma resultante de los ángulos interiores por su número. Por ejemplo, en un polígono, el número de vértices es el número de lados, es decir, 15. Así obtendrás que el ángulo es 2340⁰/15=156⁰. Todo el mundo Esquina interior polígono es igual a 156⁰.
Si prefiere calcular esquinas polígono en radianes, proceda de la siguiente manera. Resta el número 2 al número de lados y multiplica la diferencia resultante por el número P (Pi). Luego divide el producto por el número de esquinas del polígono. Por ejemplo, si necesita calcular esquinas 15-gon regular, actúe así: P * (15-2) / 15 \u003d 13 / 15P, o 0.87P, o 2.72 (pero, como, el número P permanece sin cambios). O simplemente divida el tamaño del ángulo en grados por 57,3: esa es la cantidad contenida en un radián.
También puedes intentar calcular esquinas correcto polígono en ciudades. Para hacer esto, reste el número 2 al número de lados, divida el número resultante por el número de lados y multiplique el resultado por 200. Este ángulo casi nunca se usa, pero si decide esquinas en grados, no olvide que los grados se dividen en segundos y minutos métricos (100 segundos cada uno).
Es posible que deba calcular el ángulo exterior del ángulo correcto. polígono, en este caso hazlo. Reste el ángulo interno de 180⁰; como resultado, obtendrá el valor del ángulo adyacente, es decir, el ángulo externo. Puede variar de -180⁰ a +180⁰.
Si lograste averiguar los ángulos de un polígono regular, puedes construirlo fácilmente. Dibuja un lado de cierta longitud y de él, usando un transportador, aparta ángulo deseado. Mida exactamente la misma distancia (todos los lados de un polígono regular son iguales) y vuelva a reservar el ángulo deseado. Continúe hasta que los lados se junten.
Fuentes:
- ángulo en un polígono regular
Un polígono consta de varios segmentos conectados entre sí y formando una línea cerrada. Todas las figuras de esta clase se dividen en simples y complejas. Los simples son triángulo y cuadrilátero, y los complejos son polígonos con gran cantidad fiestas, así como polígonos en estrella.
Instrucción
La mayoría de las veces en los problemas hay un triángulo regular con fiestas oh un. Como el polígono es regular, entonces los tres fiestas son iguales. Por lo tanto, conociendo la mediana y la altura del triángulo, puedes encontrar todas sus fiestas s. Para hacer esto, use el método de encontrar fiestas s : a=x/cosα. fiestas s, es decir a=b=c=a, a=b=c=x/cosα, donde x es la altura, la mediana o la bisectriz. De manera similar, encuentre las tres incógnitas fiestas s en un triángulo isósceles, pero bajo una condición: una altura dada. Debe proyectarse sobre la base del triángulo. Conociendo la altura de la base x, encuentre fiestas a:a=x/cosα Dado que a=b, dado que el triángulo es isósceles, encuéntrelo fiestas s como sigue: a=b=x/cosα Después de haber encontrado el lado fiestas s triángulo, calcula la longitud de la base del triángulo usando el teorema de Pitágoras para encontrar la mitad de la base: c/2=√(x/cosα)^2-(x^2)=√x^2 (1-cos^ 2α)/ cos^2α =xtgα A partir de aquí encuentra la base: c=2xtgα.
El cuadrado representa fiestas que se calculan de varias maneras. Cada uno de ellos se discute a continuación. El primer método sugiere encontrar fiestas cuadrado Como todos los vértices del cuadrado son ángulos rectos, sepáralos de tal manera que se formen dos triángulos rectángulos con ángulos de 45 grados a. Respectivamente, fiestas y el cuadrado es: a=b=c=f=d*cosα=d√2/2, donde d es el cuadrado.Si el cuadrado está inscrito en un círculo, entonces conociendo el radio de este círculo, encuéntrelo fiestas y:a4=R√2, donde R es el radio del círculo.
Triángulo, cuadrado, hexágono: estas figuras son conocidas por casi todos. Pero no todo el mundo sabe qué es un polígono regular. Pero todo esto es lo mismo Se llama polígono regular al que tiene ángulos y lados iguales. Hay muchas de estas figuras, pero todas tienen las mismas propiedades y se les aplican las mismas fórmulas.
Propiedades de los polígonos regulares
Cualquier polígono regular, ya sea un cuadrado o un octágono, se puede inscribir en un círculo. Esta propiedad básica se usa a menudo cuando se construye una figura. Además, un círculo también se puede inscribir en un polígono. En este caso, el número de puntos de contacto será igual al número de sus lados. Es importante que una circunferencia inscrita en un polígono regular tenga un centro común con ella. Estos figuras geometricas sujeto a los mismos teoremas. Cualquier lado de un n-ágono regular está asociado al radio R de la circunferencia circunscrita a su alrededor, por lo que se puede calcular con la siguiente fórmula: a = 2R ∙ sen180°. A través de usted puede encontrar no solo los lados, sino también el perímetro del polígono.
Cómo encontrar el número de lados de un polígono regular
Cualquiera consta de un cierto número de segmentos iguales entre sí, que, cuando se conectan, forman una línea cerrada. En este caso, todas las esquinas de la figura formada tienen mismo valor. Los polígonos se dividen en simples y complejos. El primer grupo incluye un triángulo y un cuadrado. Los polígonos complejos tienen más lados También incluyen figuras en forma de estrella. Para polígonos regulares complejos, los lados se encuentran inscribiéndolos en un círculo. Demos una prueba. Dibuja un polígono regular con un número arbitrario de lados n. Describe un círculo a su alrededor. Especifique el radio R. Ahora imagine que se da algún n-ágono. Si los puntos de sus ángulos se encuentran en un círculo y son iguales entre sí, entonces los lados se pueden encontrar mediante la fórmula: a = 2R ∙ sinα: 2.
Encontrar el número de lados de un triángulo rectángulo inscrito
Un triángulo equilátero es un polígono regular. Se le aplican las mismas fórmulas que al cuadrado y al n-ágono. Un triángulo se considerará correcto si tiene lados de la misma longitud. En este caso, los ángulos son 60⁰. Construya un triángulo con una longitud de lado dada a. Conociendo su mediana y su altura, puedes hallar el valor de sus lados. Para ello, utilizaremos el método de hallar mediante la fórmula a \u003d x: cosα, donde x es la mediana o altura. Como todos los lados del triángulo son iguales, obtenemos a = b = c. Entonces el siguiente enunciado es verdadero: a = b = c = x: cosα. De manera similar, puedes encontrar el valor de los lados en un triángulo isósceles, pero x será la altura dada. Al mismo tiempo, debe proyectarse estrictamente sobre la base de la figura. Entonces, conociendo la altura x, encontramos el lado a triángulo isósceles según la fórmula a \u003d b \u003d x: cosα. Después de encontrar el valor de a, puedes calcular la longitud de la base c. Apliquemos el teorema de Pitágoras. Buscaremos el valor de la mitad de la base c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Entonces c = 2xtanα. Me gusta esto de una forma fácil encontrar el número de lados de cualquier polígono inscrito.
Cálculo de los lados de un cuadrado inscrito en una circunferencia
Como cualquier otro polígono regular inscrito, un cuadrado tiene lados iguales y esquinas Se le aplican las mismas fórmulas que al triángulo. Puedes calcular los lados de un cuadrado usando el valor de la diagonal. Consideremos este método con más detalle. Se sabe que la diagonal biseca al ángulo. Inicialmente, su valor era de 90 grados. Así, después de la división, se forman dos cuyos ángulos en la base serán iguales a 45 grados. En consecuencia, cada lado del cuadrado será igual, es decir: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, donde e es la diagonal del cuadrado, o la base de el triángulo rectángulo formado después de la división. No es la única forma encontrar los lados de un cuadrado. Inscribamos esta figura en un círculo. Conociendo el radio de este círculo R, encontramos el lado del cuadrado. Lo calcularemos de la siguiente manera a4 = R√2. Los radios de los polígonos regulares se calculan mediante la fórmula R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), donde a es la longitud del lado.
Cómo calcular el perímetro de un n-ágono
El perímetro de un n-ágono es la suma de todos sus lados. Es fácil calcularlo. Para hacer esto, necesita conocer los valores de todos los lados. Para algunos tipos de polígonos, existen fórmulas especiales. Te permiten encontrar el perímetro mucho más rápido. Se sabe que todo polígono regular tiene lados iguales. Por tanto, para calcular su perímetro basta con conocer al menos uno de ellos. La fórmula dependerá del número de lados de la figura. En general, se ve así: P \u003d an, donde a es el valor del lado y n es el número de ángulos. Por ejemplo, para hallar el perímetro de un octógono regular de 3 cm de lado, hay que multiplicarlo por 8, es decir, P = 3 ∙ 8 = 24 cm, para un hexágono de 5 cm de lado calculamos de la siguiente manera: P = 5 ∙ 6 = 30 cm Y así para cada polígono.
Encontrar el perímetro de un paralelogramo, cuadrado y rombo
Según cuantos lados tiene un polígono regular se calcula su perímetro. Esto hace que la tarea sea mucho más fácil. Efectivamente, a diferencia de otras figuras, en este caso no es necesario buscar todos sus lados, basta con uno. Por el mismo principio, encontramos el perímetro de los cuadriláteros, es decir, un cuadrado y un rombo. A pesar de que este diferentes figuras, la fórmula para ellos es uno P \u003d 4a, donde a es el lado. Tomemos un ejemplo. Si el lado de un rombo o cuadrado es de 6 cm, entonces encontramos el perímetro de la siguiente manera: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm Un paralelogramo tiene solo lados opuestos. Por lo tanto, su perímetro se encuentra usando un método diferente. Entonces, necesitamos saber la longitud a y el ancho b de la figura. Luego aplicamos la fórmula P \u003d (a + c) ∙ 2. Un paralelogramo, en el que todos los lados y ángulos entre ellos son iguales, se llama rombo.
Encontrar el perímetro de un triángulo equilátero y rectángulo
El perímetro del correcto se puede encontrar mediante la fórmula P \u003d 3a, donde a es la longitud del lado. Si se desconoce, se puede encontrar a través de la mediana. EN triángulo rectángulo solo dos lados son iguales. La base se puede encontrar a través del teorema de Pitágoras. Después de conocer los valores de los tres lados, calculamos el perímetro. Se puede encontrar aplicando la fórmula P \u003d a + b + c, donde a y b son lados iguales, y c es la base. Recuerde que en un triángulo isósceles a \u003d b \u003d a, por lo tanto, a + b \u003d 2a, luego P \u003d 2a + c. Por ejemplo, el lado de un triángulo isósceles mide 4 cm, encuentra su base y perímetro. Calculamos el valor de la hipotenusa según el teorema de Pitágoras c \u003d √a 2 + in 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 cm Ahora calculamos el perímetro P \u003d 2 ∙ 4 + 5,65 \ u003d 13,65 cm.
Cómo encontrar los ángulos de un polígono regular
polígono regular ocurre en nuestras vidas todos los días, por ejemplo, un cuadrado ordinario, un triángulo, un octágono. Parecería que no hay nada más fácil que construir esta figura usted mismo. Pero esto es solo a primera vista. Para construir cualquier n-ágono, necesitas saber el valor de sus ángulos. Pero cómo los encuentras? Incluso los científicos de la antigüedad intentaron construir polígonos regulares. Supusieron encajarlos en círculos. Y luego se marcaron los puntos necesarios, conectados por líneas rectas. Para figuras simples el problema de construcción ha sido resuelto. Se han obtenido fórmulas y teoremas. Por ejemplo, Euclides en su famoso trabajo "El comienzo" se comprometió a resolver problemas de 3, 4, 5, 6 y 15 gons. Encontró maneras de construirlos y encontrar ángulos. Veamos cómo hacer esto para un 15-gon. Primero necesitas calcular la suma de sus ángulos internos. Es necesario utilizar la fórmula S = 180⁰(n-2). Entonces, tenemos un 15-gon, lo que significa que el número n es 15. Sustituimos los datos que conocemos en la fórmula y obtenemos S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Hemos encontrado la suma de todos los ángulos interiores de un 15-ágono. Ahora necesitamos obtener el valor de cada uno de ellos. Hay 15 ángulos en total, hacemos el cálculo de 2340⁰: 15 = 156⁰. Esto significa que cada ángulo interno es 156⁰, ahora usando una regla y un compás, puedes construir un 15-ágono regular. Pero, ¿qué pasa con los n-ágonos más complejos? Durante siglos, los científicos han luchado para resolver este problema. Solo fue encontrado en el siglo XVIII por Carl Friedrich Gauss. Pudo construir un 65537-gon. Desde entonces, el problema se ha considerado oficialmente resuelto por completo.
Cálculo de ángulos de n-gons en radianes
Por supuesto, hay varias formas de encontrar las esquinas de los polígonos. La mayoría de las veces se calculan en grados. Pero también puedes expresarlos en radianes. ¿Cómo hacerlo? Es necesario proceder de la siguiente manera. Primero, encontramos el número de lados de un polígono regular, luego le restamos 2. Entonces, obtenemos el valor: n - 2. Multiplique la diferencia encontrada por el número n ("pi" \u003d 3.14). Ahora solo queda dividir el producto resultante por el número de ángulos en el n-ágono. Considere estos cálculos usando el ejemplo de los mismos quince lados. Entonces, el número n es 15. Apliquemos la fórmula S = p(n - 2) : n = 3.14(15 - 2) : 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72. Por supuesto, esta no es la única forma de calcular un ángulo en radianes. Simplemente puede dividir el tamaño del ángulo en grados por el número 57,3. Después de todo, esa cantidad de grados equivale a un radián.
Cálculo del valor de los ángulos en grados
Además de grados y radianes, puedes intentar encontrar el valor de los ángulos de un polígono regular en grados. Esto se hace de la siguiente manera. Resta 2 del número total de ángulos, divide la diferencia resultante por el número de lados de un polígono regular. Multiplicamos el resultado encontrado por 200. Por cierto, prácticamente no se usa una unidad de medida de ángulos como grados.
Cálculo de esquinas exteriores de n-ágonos
Para cualquier polígono regular, además del interior, también puedes calcular el ángulo exterior. Su valor se encuentra de la misma manera que para otras figuras. Entonces, para encontrar la esquina exterior de un polígono regular, necesitas saber el valor de la interior. Además, sabemos que la suma de estos dos ángulos es siempre 180 grados. Por lo tanto, hacemos los cálculos de la siguiente manera: 180⁰ menos el valor del ángulo interno. Encontramos la diferencia. Será igual al valor del ángulo adyacente a él. Por ejemplo, la esquina interior de un cuadrado mide 90 grados, por lo que el ángulo exterior será 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Como vemos, no es difícil encontrarlo. esquina exterior puede tomar un valor de +180⁰ a, respectivamente, -180⁰.
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Definición polígono regular puede depender de la definición de un polígono: si se define como una polilínea plana cerrada, entonces aparece la definición polígono estrella regular como no convexo un polígono en el que todos los lados son iguales y todos los ángulos son iguales.
Propiedades
Coordenadas
Permitir x C (\displaystyle x_(C)) y y C (\displaystyle y_(C)) son las coordenadas del centro y R (\ estilo de visualización R)- radio del círculo, ϕ 0 (\displaystyle (\phi )_(0))- la coordenada angular del primer vértice, luego las coordenadas cartesianas de los vértices de un n-ágono regular están determinadas por las fórmulas:
x yo = x C + R porque (ϕ 0 + 2 π yo norte) (\displaystyle x_(i)=x_(C)+R\cos \left((\phi )_(0)+(\frac (2\ pi i)(n))\derecha)) y yo = y C + R pecado (ϕ 0 + 2 π yo norte) (\displaystyle y_(i)=y_(C)+R\sin \left((\phi )_(0)+(\frac (2\ pi i)(n))\derecha))donde i = 0 … n − 1 (\displaystyle i=0\dots n-1)
Dimensiones
Permitir R (\ estilo de visualización R)- el radio del círculo circunscrito alrededor de un polígono regular, entonces el radio del círculo inscrito es igual a
r = R porque π norte (\displaystyle r=R\cos (\frac (\pi )(n))),y la longitud del lado del polígono es
a = 2 R pecado π norte = 2 r t gramo π norte (\displaystyle a=2R\sin (\frac (\pi )(n))=2r\mathop (\mathrm (tg) ) \,(\frac (\ clavo)))Cuadrado
norte (\ estilo de visualización n) y longitud del lado a (\ estilo de visualización a) es:
S = norte 4 a 2 ctg π norte (\displaystyle S=(\frac (n)(4))\ a^(2)\mahop (\mathrm () ) \,\operatorname (ctg) (\frac ( \clavo))).Área de un polígono regular con número de lados n (\ estilo de visualización n), inscrito en una circunferencia de radio R (\ estilo de visualización R), es:
S = norte 2 R 2 pecado 2 π norte (\displaystyle S=(\frac (n)(2))R^(2)\sin (\frac (2\pi )(n))).Área de un polígono regular con número de lados n (\ estilo de visualización n) circunscrito alrededor de un círculo de radio r (\ estilo de visualización r), es:
S = norte r 2 t gramo π norte (\displaystyle S=nr^(2)\mathop (\mathrm (tg) ) \,(\frac (\pi )(n)))(área base de n-gonal prisma recto)Área de un polígono regular con número de lados n (\ estilo de visualización n) es igual a
S = norte r un 2 (\displaystyle S=(\frac (nra)(2))),donde r (\ estilo de visualización r)- distancia desde la mitad del lado al centro, a (\ estilo de visualización a)- largo de lado.
El área de un polígono regular en términos del perímetro ( P (\ estilo de visualización P)) y el radio de la circunferencia inscrita ( r (\ estilo de visualización r)) es:
S = 1 2 PAGS r (\displaystyle S=(\frac (1)(2))Pr).Perímetro
Si necesitas calcular la longitud del lado de un n-ágono regular inscrito en un círculo, conociendo la circunferencia del círculo L (\ estilo de visualización L) puedes calcular la longitud de un lado del polígono:
un norte (\displaystyle a_(n)) es la longitud del lado de un n-ágono regular. un norte = pecado 180 norte ⋅ L π (\displaystyle a_(n)=\sin (\frac (180)(n))\cdot (\frac (L)(\pi )))Perímetro PAGS norte (\displaystyle P_(n)) es igual
PAGS norte = un norte ⋅ norte (\displaystyle P_(n)=a_(n)\cdot n)donde n (\ estilo de visualización n) es el número de lados del polígono.
Solicitud
Los polígonos regulares son, por definición, las caras de los poliedros regulares.
Los antiguos matemáticos griegos (Antiphon, Bryson of Heracles, Archimedes, etc.) usaban polígonos regulares para calcular un número. Calcularon las áreas de los polígonos inscritos en un círculo y circunscritos a él, aumentando gradualmente el número de sus lados y obteniendo así una estimación del área del círculo.
Historia
Construcción de un polígono regular con norte lados siguió siendo un problema para los matemáticos hasta bien entrado el siglo XIX. Tal construcción es idéntica a la división del círculo en norte partes iguales, ya que al unir los puntos dividiendo el círculo en partes, se puede obtener el polígono deseado.
Desde entonces, el problema se ha considerado completamente resuelto.
