Al resolver, es necesario tener en cuenta que resolver el problema de encontrar el área de un rectángulo solo a partir de la longitud de sus lados esta prohibido.
Esto es fácil de verificar. Sea el perímetro del rectángulo 20 cm. Esto será cierto si sus lados son 1 y 9, 2 y 8, 3 y 7 cm. Todos estos tres rectángulos tendrán el mismo perímetro, igual a veinte centímetros. (1 + 9) * 2 = 20 al igual que (2 + 8) * 2 = 20 cm.
Como puede ver, podemos elegir una infinidad de opciones las dimensiones de los lados del rectángulo, cuyo perímetro será igual al valor dado.
El área de los rectángulos con un perímetro dado de 20 cm, pero con diferentes lados será diferente. Para el ejemplo dado - 9, 16 y 21 centímetros cuadrados, respectivamente.
S 1 \u003d 1 * 9 \u003d 9 cm 2
S 2 \u003d 2 * 8 \u003d 16 cm 2
S 3 \u003d 3 * 7 \u003d 21 cm 2
Como puedes ver, hay una infinidad de opciones para el área de una figura con un perímetro dado.
Así, para calcular el área de un rectángulo a partir de su perímetro, es necesario conocer o bien la razón de sus lados o bien la longitud de uno de ellos. La única figura que tiene una dependencia inequívoca de su área con el perímetro es un círculo. Solo para circulo y posiblemente una solución.
En esta lección:
- Tarea 4. Cambia la longitud de los lados manteniendo el área del rectángulo.
Tarea 1. Encuentra los lados de un rectángulo desde el área
El perímetro de un rectángulo es de 32 centímetros, y la suma de las áreas de los cuadrados construidos en cada uno de sus lados es de 260 centímetros cuadrados. Encuentra los lados del rectángulo.Decisión.
2(x+y)=32
Según la condición del problema, la suma de las áreas de los cuadrados construidos en cada uno de sus lados (cuadrados, respectivamente, cuatro) será igual a
2x2+2y2=260
x+y=16
x=16-y
2(16 años) 2 +2años 2 =260
2(256-32y+y2)+2y2=260
512-64y+4y 2 -260=0
4y2 -64y+252=0
D=4096-16x252=64
x1=9
x2=7
Ahora tomemos en cuenta que en base al hecho de que x+y=16 (ver arriba) en x=9, entonces y=7 y viceversa, si x=7, entonces y=9
Responder: Los lados de un rectángulo miden 7 y 9 centímetros
Tarea 2. Encuentra los lados de un rectángulo desde el perímetro.
El perímetro de un rectángulo es de 26 cm, y la suma de las áreas de los cuadrados construidos en sus dos lados adyacentes es de 89 metros cuadrados. ver Hallar los lados del rectángulo.
Decisión.
Denotemos los lados del rectángulo como x e y.
Entonces el perímetro del rectángulo es:
2(x+y)=26
La suma de las áreas de los cuadrados construidos en cada uno de sus lados (hay dos cuadrados, respectivamente, y estos son los cuadrados del ancho y la altura, ya que los lados son adyacentes) será igual a
x2+y2=89
Resolvemos el sistema de ecuaciones resultante. De la primera ecuación deducimos que
x+y=13
y=13-y
Ahora realizamos una sustitución en la segunda ecuación, reemplazando x con su equivalente.
(13) 2 + y 2 = 89
169-26y+y 2 +y 2 -89=0
2y2 -26y+80=0
Resolvemos la ecuación cuadrática resultante.
D=676-640=36
x1=5
x2=8
Ahora tomemos en cuenta que en base al hecho de que x+y=13 (ver arriba) en x=5, entonces y=8 y viceversa, si x=8, entonces y=5
Respuesta: 5 y 8 cm
Tarea 3. Encuentra el área de un rectángulo a partir de la proporción de sus lados.
Calcula el área de un rectángulo si su perímetro es de 26 cm y los lados son proporcionales de 2 a 3.
Decisión.
Denotemos los lados del rectángulo por el coeficiente de proporcionalidad x.
Desde donde la longitud de un lado será igual a 2x, el otro - 3x.
Entonces:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Ahora, en base a los datos obtenidos, determinamos el área del rectángulo:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 cm2
Tarea 4. Cambiar la longitud de los lados manteniendo el área de un rectángulo
La longitud del rectángulo aumentó en un 25%. ¿En qué porcentaje debe reducirse el ancho para que su área no cambie?Decisión.
el area del rectangulo es
S = ab
En nuestro caso, uno de los factores aumentó un 25%, lo que significa a 2 = 1.25a. Por lo tanto, plaza nueva el rectángulo debe ser igual
S 2 \u003d 1.25ab
Entonces, para devolver el área del rectángulo a su valor inicial, entonces
S2 = S/ 1.25
S 2 \u003d 1.25ab / 1.25
Dado que el nuevo tamaño a no se puede cambiar, entonces
S 2 \u003d (1.25a) b / 1.25
1 / 1,25 = 0,8
Por lo tanto, el valor del segundo lado debe reducirse en (1 - 0,8) * 100% = 20%
Responder: El ancho debe reducirse en un 20%.
En el proximo tareas de prueba Encuentra el perímetro de la figura que se muestra en la figura.
Puedes encontrar el perímetro de una figura. diferentes caminos. Puede transformar la forma original de tal manera que el perímetro de la nueva forma se pueda calcular fácilmente (por ejemplo, cambiar a un rectángulo).
Otra solución es buscar el perímetro de la figura directamente (como la suma de las longitudes de todos sus lados). Pero en este caso, uno no puede confiar solo en el dibujo, sino encontrar las longitudes de los segmentos en función de los datos del problema.
Quiero advertirte: en una de las tareas, entre las respuestas propuestas, no encontré la que me resultó.
C) .
Muevamos los lados de los pequeños rectángulos desde el área interior hacia la exterior. Como resultado, el rectángulo grande está cerrado. Fórmula para encontrar el perímetro de un rectángulo
En este caso, a=9a, b=3a+a=4a. Así P=2(9a+4a)=26a. Al perímetro del rectángulo grande le sumamos la suma de las longitudes de cuatro segmentos, cada uno de los cuales es igual a 3a. Como resultado, P=26a+4∙3a= 38a .
C) .
Después de transferir los lados internos de los rectángulos pequeños al área exterior, obtenemos un rectángulo grande, cuyo perímetro es P=2(10x+6x)=32x, y cuatro segmentos, dos de longitud x, dos de longitud 2x.
Total, P=32x+2∙2x+2∙x= 38x .
?) .
Avancemos 6 "pasos" horizontales desde el interior hacia el exterior. El perímetro del rectángulo grande resultante es P=2(6y+8y)=28y. Queda por encontrar la suma de las longitudes de los segmentos dentro del rectángulo 4y+6∙y=10y. Por tanto, el perímetro de la figura es P=28y+10y= 38 años .
D) .
Desplacemos los segmentos verticales desde la zona interior de la figura hacia la izquierda, hacia la zona exterior. Para obtener un rectángulo grande, mueva una de las longitudes 4x a la esquina inferior izquierda.
Encontramos el perímetro de la figura original como la suma del perímetro de este gran rectángulo y las longitudes de los tres segmentos restantes P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .
mi) .
Transferencia lados interiores pequeños rectángulos al área exterior, obtenemos un gran cuadrado. Su perímetro es P=4∙10x=40x. Para obtener el perímetro de la figura original, debes sumar la suma de las longitudes de ocho segmentos, cada uno de 3x de largo, al perímetro del cuadrado. Total, P=40x+8∙3x= 64x .
b) .
Muevamos todos los "pasos" horizontales y los segmentos superiores verticales al área exterior. El perímetro del rectángulo resultante es P=2(7y+4y)=22y. Para encontrar el perímetro de la figura original, necesitas sumar al perímetro del rectángulo la suma de las longitudes de cuatro segmentos, cada uno con una longitud de y: P=22y+4∙y= 26 años .
D) .
Mueva todas las líneas horizontales del área interior al área exterior y mueva las dos líneas exteriores verticales en las esquinas izquierda y derecha, respectivamente, z a la izquierda y a la derecha. Como resultado, obtenemos un gran rectángulo cuyo perímetro es P=2(11z+3z)=28z.
El perímetro de la figura original es igual a la suma del perímetro del rectángulo grande y las longitudes de seis segmentos en z: P=28z+6∙z= 34z .
b) .
La solución es completamente similar a la solución del ejemplo anterior. Después de transformar la figura, encontramos el perímetro del rectángulo grande:
P=2(5z+3z)=16z. Al perímetro del rectángulo le sumamos la suma de las longitudes de los seis segmentos restantes, cada uno de los cuales es igual a z: P=16z+6∙z= 22z .
La geometría, si no me equivoco, en mi época se estudiaba desde el quinto grado y el perímetro era y es uno de los conceptos clave. Asi que, el perímetro es la suma de las longitudes de todos los lados (indicado por la letra latina P). En general, este término se interpreta de diferentes maneras, por ejemplo,
- la longitud total del borde de la figura,
- la longitud de todos sus lados,
- la suma de las longitudes de sus caras,
- la longitud de la línea delimitadora,
- la suma de todas las longitudes de los lados de un polígono
Las diferentes formas tienen sus propias fórmulas para determinar el perímetro. Para comprender el significado en sí, propongo deducir de forma independiente algunas fórmulas simples:
- por un cuadrado
- por un rectángulo
- para un paralelogramo
- para cubo
- por una caja
perímetro de un cuadrado
Por ejemplo, tomemos el más simple: el perímetro de un cuadrado.
Todos los lados de un cuadrado son iguales. Deje que un lado se llame "a" (así como los otros tres), luego
P = un + un + un + un
o notación más compacta
perímetro de un rectángulo
Compliquemos la tarea y tomemos un rectángulo. En este caso, ya no es posible decir que todos los lados son iguales, así que las longitudes de los lados del rectángulo sean iguales a a y b.
Entonces la fórmula se verá así:
PAG = un + segundo + un + segundo
perímetro del paralelogramo
Una situación similar será con un paralelogramo (ver el perímetro del rectángulo)
perímetro del cubo
¿Qué hacer si estamos ante una figura tridimensional? Por ejemplo, toma un cubo. Un cubo tiene 12 lados y todos son iguales. En consecuencia, el perímetro de un cubo se puede calcular de la siguiente manera:
perímetro de la caja
Bueno, para fijar el material, calculamos el perímetro del paralelepípedo. Aquí es necesario pensar un poco. Hagámoslo juntos. Como sabemos, un paralelepípedo es una figura cuyos lados son rectángulos. Cada paralelepípedo tiene dos bases. Tomemos una de las bases y miremos sus lados: tienen longitudes a y b. En consecuencia, el perímetro de la base es P = 2a + 2b. Entonces el perímetro de las dos bases es
(2a + 2b) * 2 = 4a + 4b
Pero también tenemos un lado "c". Entonces, la fórmula para calcular el perímetro de un paralelepípedo se verá así:
PAG = 4a + 4b + 4c
Como puede ver en los ejemplos anteriores, todo lo que se necesita hacer para determinar el perímetro de una forma es encontrar la longitud de cada uno de los lados y luego sumarlos.
En conclusión, me gustaría señalar que no todas las figuras tienen un perímetro. Por ejemplo, Una esfera no tiene perímetro.
¿Cómo calcular el perímetro?
A menudo escuchamos de los maestros: "Estudia diligentemente, el conocimiento te será muy útil en la vida" y, de hecho, esto sucede. Por ejemplo, cuando hacemos reparaciones, es absolutamente necesario que sepamos calcular el perímetro de una figura en particular para determinar la cantidad requerida. material de construcción. En este artículo, para aquellos que han olvidado el curso escolar, hablaremos sobre cómo calcular el perímetro de varias formas.
¿Qué es un perímetro?
El perímetro es la longitud de la línea que delimita figura geometrica; la longitud de todos los lados de una figura plana. Así, para hallar el perímetro de una figura, basta con medir la longitud de cada lado y sumar todos los resultados. Sin embargo, a veces es posible calcular más de una manera sencilla utilizando fórmulas especiales. A continuación, analizaremos formas de encontrar el perímetro de varias formas utilizando ambos métodos.
Perímetro de un triángulo
Antes de calcular el perímetro de un triángulo, debes medir la longitud de cada lado. Después de eso, simplemente dóblelos, este será el perímetro.
Sin embargo, si estamos ante triángulo isósceles, puedes medir uno de lados iguales y multiplique el valor resultante por dos, y luego súmele la longitud de la base.
Para calcular el perímetro de un triángulo equilátero, basta con medir solo un lado y multiplicar el valor resultante por tres.
Perímetro de un cuadrilátero
Analizaremos en esta sección cómo calcular el perímetro de un cuadrado, rombo, rectángulo, paralelepípedo y trapezoide.
cuadrado y rombo
Como sabes, un cuadrado tiene cuatro lados y todos son iguales, lo que significa que para calcular el perímetro de un cuadrado, debes medir uno de sus lados y luego multiplicar el valor resultante por 4. En sentido estricto, el perímetro de un rombo es exactamente igual, porque un rombo tiene todos los lados iguales.
rectángulo y paralelogramo
Los lados de un rectángulo son iguales por pares, por lo que para calcular el perímetro deberás medir los lados mayor y menor, multiplicar por dos cada uno de los valores obtenidos y sumar los valores resultantes. Del mismo modo, encuentra el perímetro de un paralelogramo.
Trapecio
Otro tipo de cuadrilátero es un trapezoide. Esta figura, por regla general, tiene todos los lados de diferentes longitudes y, por lo tanto, para encontrar el perímetro, deberá medir cada lado y sumarlos. Sin embargo, un trapezoide puede ser isósceles. En este caso, para calcular el perímetro, puede usar la siguiente fórmula: P \u003d a + b + 2c, donde c es la longitud de uno de los lados iguales.
Por cierto, hay otra forma de determinar el perímetro. trapecio isósceles el llamado método línea media". Primero necesitas gastar esto muy línea media(se dibuja a través de dos puntos: los puntos medios de los lados iguales), luego debe medirlo, multiplicar el valor resultante por dos y agregar dos longitudes de lados iguales.
Perímetro del polígono
Para encontrar el perímetro de un polígono, como regla general, se aplica la regla: mida todos los lados y súmelos. Sin embargo, algunos casos especiales hacen que sea más fácil hacer frente a la tarea. Por ejemplo, si tienes un llamado hexágono regular frente a ti, su perímetro se puede calcular multiplicando la longitud del lado por 6.
Para calcular el perímetro de un círculo o, como suele decirse, la circunferencia de un círculo, existe una fórmula especial: P=2πr, donde π es un valor constante igual a 3,14; r es el radio del círculo. La fórmula también puede verse así: P=πd, donde d es el diámetro del círculo.
Por cierto, de hecho, π es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Se demuestra que este valor es el mismo para todos los círculos y es igual a 3,14.
Dibuja un plano de coordenadas con los ejes x e y. En el plano de coordenadas, necesitas poner puntos con coordenadas dadas. Para dibujar un plano de coordenadas, tome una cuadrícula de papel o use una regla para dibujar una cuadrícula en una hoja de papel en blanco. Ahora dibuje una línea horizontal (eje X) y perpendicular a ella en el medio dibuje una línea vertical (eje Y). Marque el punto donde las dos líneas se cruzan como "0".
- Cuando marque fiduciales, los números arriba ya la derecha del "0" serán positivos, y los números abajo ya la izquierda del "0" serán negativos.
Recuerde: el primer número en un par de coordenadas (la coordenada "x") se traza a lo largo del eje X, y el segundo número (la coordenada "y") se traza a lo largo del eje Y. Por ejemplo, para trazar un punto con coordenadas (2,4), cuente 2 marcas a lo largo del eje X y 4 marcas en el eje Y, y luego marque el punto de intersección.
Encuentra los valores de los lados vertical y horizontal. Necesitas saber la longitud de cada lado del polígono para determinar su perímetro. En el caso de un lado vertical u horizontal, simplemente cuente el número de marcas fiduciales entre los puntos laterales. Luego escribe el número cerca de ese lado.
- Por ejemplo, para encontrar la longitud de un lado horizontal, comience en un extremo del lado y cuente el número de marcas de referencia hasta el otro extremo del lado. Si contaste 6 marcas, la longitud de este lado es de 6 unidades.
Usa la fórmula de la distancia para encontrar la longitud de los lados inclinados. La longitud del lado inclinado no se puede encontrar simplemente contando las marcas de referencia entre sus extremos. Así que usa la fórmula: re = (x 2 − x 1) 2 + (y 2 − y 1) 2 (\displaystyle d=(\sqrt ((x_(2)-x_(1))^(2)+(y_(2)- y_(1))^(2)))). Sustituye los valores de las coordenadas x e y de los dos puntos en los extremos del lado cuya longitud quieres encontrar en la fórmula.
- Por ejemplo, para encontrar la distancia (longitud del lado) entre dos puntos con coordenadas (4.7) y (1.3), sustituya estas coordenadas en la fórmula y obtenga: re = (4 2 − 1 1) 2 + (7 2 − 3 1) 2 (\displaystyle d=(\sqrt ((4_(2)-1_(1))^(2)+(7_(2)- 3_(1))^(2))))
- Simplifique la ecuación y obtenga .
- Calcular: d = 25 (\displaystyle d=(\sqrt (25)))= 5. Por lo tanto, la longitud del lado es de 5 unidades.
Suma las longitudes de todos los lados del polígono para encontrar su perímetro. El perímetro de un polígono es igual a la suma de todos sus lados. Cuando calcules los valores de cada lado del polígono dadas las coordenadas de sus puntos de vértice, simplemente suma estos valores.
- Por ejemplo, si dibujas un triángulo en el plano de coordenadas y calculas que sus lados son 3, 2 y 5, suma esos números para obtener 10. Entonces, el perímetro del triángulo es 10 unidades.
