Al construir un punto de acuerdo con las coordenadas dadas, debe recordarse que, de acuerdo con las reglas de dibujo, la escala a lo largo del eje Vaya disminuye en 2 veces en comparación con la escala a lo largo de los ejes UNED y Onz.

1. Puntos de construcción: A(2; 1; 3) x A = 2; y A = 1; zA = 3

un) por lo general, en primer lugar, construyen la proyección de un punto sobre un plano Ohu. Marcar puntos x A = 2 y yA=1 y dibujar líneas rectas a través de ellos paralelas a los ejes Vaya y UNED. El punto de su intersección tiene coordenadas (2;1; 0) punto construido Un 1 (2; 1; 0.)

UN(2; 1; 3)

0 yA=1

x A = 2 en

Un 1 (2; 1; 0) 0 yA=1en

X x A \u003d 2 A 1 (2; 1; 0)

X

b) más lejos del punto Un 1 (2; 1; 0) restauración perpendicular al plano Ohu (dibuje una línea paralela al eje Onz ) y coloque un segmento igual a tres en él: z A = 3.

2. Puntos de construcción: B(3; - 2; 1) x B = 3; y B = -2; Z B = 1

z

y B = - 2

B(3; -2; 1) O en

segundo 1 (3;-2) x segundo \u003d 3

X

3. Construye un punto C(-2; 1; 3 ) z C (-2; 1; 3)

X A \u003d -2; YA = 1; Z A = 3

x C \u003d - 2 C 1 (-2; 1; 0)

y A = 1 año

4.Dan cubo. A ... D 1, cuyo borde es 1 . El origen es el mismo que el punto. EN, costillas VA, dom y BB 1 coincidir con los rayos positivos de los ejes de coordenadas. Nombra las coordenadas de todos los demás vértices del cubo. Calcular la diagonal de un cubo.

z

AB = BC = BB 1 BD 1 = =

B 1 (0; 0; 1) C 1 (0; 1; 1) = =

A 1 (1; 0; 1) D 1 (1; 1; 1)

В(0;0;0) С(0;1;0)

A(1;0;0) D(1;1;0)

5. Trazar puntos UN(1;1;-1) y B(1; -1; 1). ¿El segmento interseca el eje de coordenadas? ¿Plano coordinado? ¿El segmento de recta pasa por el origen? Encuentre las coordenadas de los puntos de intersección, si los hay. z Los puntos se encuentran en un plano perpendicular al eje. Vaya.

El segmento interseca al eje. Vaya y avion hoy en el punto

B(1; -1; 1)

0(0;0;0)

C(1;0;0)

UN(1;1;-1)

6. Encuentra la distancia entre dos puntos: A(1;2;3) y B(-1;1;1).

un)AB = = = =3

b)C(3;4;0) y D(3;-1;2).

CD = = =

En el espacio, para determinar las coordenadas del medio del segmento, se introduce una tercera coordenada.

segundo (x segundo; y segundo; z segundo)

Con( ; ; )

A(x A; y A; z A)

7.Buscar coordenadas Con puntos medios de los segmentos: un)AB, Si A(3; - 2; - 7), B(11; - 8; 5),

x M = = 7; y M = = - 5; z M = = - 1; C(7; - 5; - 1)

8. Coordenadas del punto A(x; y; z). Escribe las coordenadas de los puntos que son simétricos al dado con respecto a:

un) planos de coordenadas

b) líneas de coordenadas

en) origen

un) si el punto un 1 simétrica a la dada con respecto al plano de coordenadas Ho, entonces la diferencia en
las coordenadas de los puntos solo estarán en el signo de la coordenada z: A 1 (x; y; -z).

punto un 2 Oh, entonces A 2 (x; -y; z).

punto un 3 simétrica a la dada con respecto al plano Ouz, entonces A 2 (-x; y; z).

b) si el punto un 4 simétrica a la dada con respecto a la línea de coordenadas Vaya, entonces la diferencia en
las coordenadas de los puntos estarán solo en signos de coordenadas en y z: A 4 (x; -y; -z).

punto un 5 UNED, entonces A 5 (-x; y; -z).

punto un 6 simétrico a uno dado con respecto a una línea recta Onz, entonces A 6 (-x; -y; z).

en) si el punto un 7 es simétrica a la dada con respecto al origen, entonces A 6 (-x; -y; -z).

CONVERSIÓN DE COORDENADAS

La transición de un sistema de coordenadas a otro se llama transformación del sistema de coordenadas.

Nosotros lo consideraremos dos casos de conversión sistemas de coordenadas y derivar fórmulas para la dependencia entre las coordenadas de un punto arbitrario del plano en diferentes sistemas coordenadas (La técnica de transformar el sistema de coordenadas es similar a la de transformar gráficos).

1.transferencia paralela. En este caso, la posición del origen de coordenadas cambia, mientras que la dirección de los ejes y la escala permanecen sin cambios.

Si el origen de coordenadas va al punto 0 1 con coordenadas 0 1 (x 0; y 0), entonces por el punto M(x; y) relación entre las coordenadas del sistema x0y y x 0 0y 0 expresada por las fórmulas:

x \u003d x 0 + x "

y = y 0 + y"

Las fórmulas resultantes nos permiten encontrar coordenadas antiguas a partir de otras nuevas conocidas. X" y en" y viceversa.

y M(x; y) M(x"; y")

0 1 (x 0; y 0), x "

x0x"

2.Rotación de ejes de coordenadas. En este caso, ambos ejes giran el mismo ángulo, mientras que el origen y la escala permanecen sin cambios.

M(x; y)

y 1 x 1

Coordenadas del punto METRO en el antiguo sistema M(x; y) y M(x"; y") - en el nuevo. Entonces el radio polar en ambos sistemas es el mismo, y los ángulos polares son respectivamente iguales + y , donde - ángulo polar en nuevo sistema coordenadas

Según las fórmulas para el paso de coordenadas polares a rectangulares, tenemos:

x = rcos( + ) x = rcos porque - resina pecado

y = resina( + ) y = rcos pecado + resina porque

Pero rcos = x" y resina = y", Es por eso

x \u003d x " porque - y "pecado

y \u003d x "pecado + y" porque

Responda las siguientes preguntas por escrito:

1. ¿Qué es un sistema de coordenadas rectangulares en un plano? ¿en el espacio?
2. ¿Cuál es el eje de aplicación? ordenada? ¿Abscisa?
3. ¿Cuál es la notación de los vectores unitarios en los ejes de coordenadas?
4. ¿Qué es un orto?
5. ¿Cómo se calcula la longitud de un segmento dada por las coordenadas de sus extremos en un sistema de coordenadas rectangulares?
6. ¿Cómo se calculan las coordenadas de la mitad de un segmento dadas por las coordenadas de sus extremos?
7. ¿Qué es un sistema de coordenadas polares?
8. ¿Cuál es la relación entre las coordenadas de un punto en los sistemas de coordenadas rectangulares y polares?

Completa las tareas:

1. ¿A qué distancia de los planos de coordenadas está el punto? UN(1; -2; 3)

2. ¿Qué tan lejos está el punto? UN(1; -2; 3) de líneas de coordenadas un)UNED; b) UNED; en)Onz;

3. ¿Qué condición cumplen las coordenadas de puntos en el espacio que están equidistantes:

un) desde dos planos de coordenadas Ohu y Оуz; AB

b) de los tres planos de coordenadas

4. Encuentra las coordenadas de un punto METRO medio del segmento AB, A(-2; -4; 1); B(0; -1; 2) y nombra el punto simétrico al punto METRO, relativamente un) hachas Vaya

b) hachas UNED

en) hachas Onz.

5. dado un punto B(4; - 3; - 4). Encuentre las coordenadas de las bases de las perpendiculares que se dejan caer desde un punto en los ejes de coordenadas y los planos de coordenadas.

6. En el eje UNED encontrar un punto equidistante de dos puntos A(1; 2; - 1) y B(-2; 3; 1).

7. plano Ohz encontrar el punto equidistante de tres puntos A(2; 1; 0); segundo(-1; 2; 3) y C(0;3;1).

8. Encuentra las longitudes de los lados del triángulo. A B C y su area , si el vértice coordina : A (-2; 0; 1), B (8; - 4; 9), C (-1; 2; 3).

9. Encuentra las coordenadas de las proyecciones de puntos A(2; -3; 5); En (3;-5; ); CON(- ; - ; - ).

10. Se dan puntos UN(1; -1; 0) y B(-3; -1; 2). Calcular la distancia desde el origen hasta los puntos dados.

VECTORES EN EL ESPACIO. CONCEPTOS BÁSICOS

Todas las cantidades que se tratan en la física, la tecnología, la vida cotidiana se dividen en dos grupos. Los primeros están totalmente caracterizados por su valor numérico: temperatura, longitud, masa, área, trabajo. Tales cantidades se llaman escalar.

Otras cantidades como la fuerza, la velocidad, el desplazamiento, la aceleración, etc. determinado no sólo por su valor numérico, sino también por su dirección. Estas cantidades se llaman vector, o vectores Una cantidad vectorial se representa geométricamente como un vector.

Vector-este es un segmento de línea recta dirigida, es decir segmento que tiene
longitud y dirección específicas.

Construya trazas del plano dado por ∆BCD y determine la distancia del punto A al plano dado por el método triángulo rectángulo (coordenadas de los puntos A, B, C y D ver Tabla 1 de la sección Tareas);

1.2. Un ejemplo de completar la tarea número 1

La primera tarea es un conjunto de tareas sobre los temas:

1. Proyección ortográfica, diagrama de Monge, punto, línea, plano: por coordenadas conocidas de tres puntos B, C, D construir proyecciones horizontales y frontales del plano dado por ∆ BCD;

2. Trazas de una recta, trazas de un plano, propiedades de pertenencia a un plano recto: construir trazas del plano dadas por ∆ BCD;

3. Planos generales y particulares, intersección de una recta y un plano, perpendicularidad de una recta y un plano, intersección de planos, método del triángulo rectángulo: determinar la distancia desde un punto PERO al plano ∆ BCD.

1.2.1. Coordenadas conocidas de tres puntos B, C, D construir las proyecciones horizontal y frontal del plano dadas por ∆ BCD(Figura 1.1), para lo cual es necesario construir proyecciones horizontales y frontales de los vértices ∆ BCD, y luego conecte las proyecciones de los vértices del mismo nombre.

Se sabe que plano de traza se denomina recta a la que se obtiene como resultado de la intersección de un plano dado con el plano de proyecciones .

cerca del avion posición general 3 pistas: horizontal, frontal y de perfil.

Para construir trazos de un plano, basta con construir trazos (horizontales y frontales) de dos líneas cualesquiera que se encuentran en este plano y conectarlas entre sí. Así, la traza del plano (horizontal o frontal) estará determinada de manera única, ya que a través de dos puntos del plano (en este caso, estos puntos serán trazas de líneas) es posible trazar una línea recta, y además, solo uno.

La base de esta construcción es propiedad de pertenecer a un plano recto: si una línea pertenece a un plano dado, entonces sus trazos se encuentran en los trazos del mismo nombre de este plano .

La traza de una recta es el punto de intersección de esta recta con el plano de proyecciones .

El trazo horizontal de la línea recta se encuentra en el plano horizontal de las proyecciones, el trazo frontal se encuentra en el plano frontal de las proyecciones.

Considere la construcción pista horizontal derecho DB para lo cual necesitas:

1. Continúe la proyección frontal en línea recta DB a la intersección con el eje X, punto de intersección M 2 es la proyección frontal de la traza horizontal;

2. Desde un punto M 2 restaurar la perpendicular (línea de conexión de proyección) a su intersección con la proyección horizontal de la línea recta DB METRO 1 y será una proyección horizontal de la traza horizontal (Figura 1.1), que coincide con la traza misma METRO.

De manera similar, la construcción de una traza horizontal del segmento SUDOESTE recto: punto METRO'.

Para construir huella frontal segmento CB directo, necesitas:

1. Continuar la proyección horizontal de la línea recta CB a la intersección con el eje X, punto de intersección N 1 es una proyección horizontal de la traza frontal;

2. Desde un punto N 1 restaurar la perpendicular (línea de conexión proyectiva) hasta que se cruce con la proyección frontal de la línea recta CB o su continuación. Punto de intersección N 2 y será la proyección frontal del trazo frontal, que coincide con el trazo mismo norte.

Al conectar los puntos M′ 1 y M1 segmento de recta, obtenemos la traza horizontal del plano απ 1 . Punto α x de intersección απ 1 con el eje X llamado punto de fuga . Para construir la traza frontal del plano απ 2, es necesario conectar la traza frontal N 2 con traza punto de fuga α x

Figura 1.1 - Construcción de trazas planas

El algoritmo para resolver este problema se puede representar de la siguiente manera:

1. (D 2 B 2 ∩ BUEY) = METRO 2 ;
2. (milímetro 1 ∩ D 1 B 1) = METRO 1 = METRO;
3. (C 2 B 2 ∩ BUEY) = METRO' 2 ;
4. (METRO' 2 METRO' 1 ∩ C 1 B 1) = METRO' 1 = METRO';
5. (CB∩ π 2) = norte 2 = norte;
6. (mm') ≡ απ 1 ;
7. (a x norte) ≡ απ 2 .

1.2.2. Para resolver la segunda parte de la primera tarea, necesitas saber que:

• distancia desde el punto PERO al plano ∆ BCD está determinada por la longitud de la perpendicular restaurada desde este punto al plano;
• toda recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a dos rectas que se cortan y que se encuentran en este plano;
• en el diagrama, las proyecciones de una recta perpendicular al plano son perpendiculares a las proyecciones oblicuas de la horizontal y frontal de este plano o las trazas del plano del mismo nombre (Fig. 1.2) (ver el Teorema sobre la perpendicular al avión en las conferencias).

Para encontrar la base de la perpendicular, es necesario resolver el problema de la intersección de una recta (en este problema, dicha recta es la perpendicular al plano) con el plano:

1. Encerrar la perpendicular en un plano auxiliar, que debe tomarse como plano privado (horizontalmente saliente o frontalmente saliente, en el ejemplo, horizontalmente saliente γ se toma como plano auxiliar, es decir, perpendicular a π 1, su traza horizontal γ 1 coincide con una proyección horizontal de la perpendicular);

2. Encuentra la línea de intersección del plano dado ∆ BCD con auxiliar γ ( Minnesota en la Fig. 1.2);

3. Encuentra el punto de intersección de la línea de intersección de los planos Minnesota con una perpendicular (punto Para en la Fig. 1.2).

4. Para determinar el verdadero valor de la distancia desde el punto PERO hasta un plano dado ∆ BCD debería aprovechar método del triángulo rectángulo: el verdadero valor del segmento es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, uno de cuyos catetos es una de las proyecciones del segmento, y el otro es la diferencia de distancias desde sus extremos al plano de proyección en el que se lleva a cabo la construcción afuera.

5. Determinar la visibilidad de los segmentos perpendiculares usando el método de puntos competitivos. Por ejemplo, puntos norte y 3 para determinar la visibilidad en π 1 , puntos 4 , 5 — para determinar la visibilidad en π 2 .

Figura 1.2 - Construcción de una perpendicular al plano

Figura 1.3 - Un ejemplo de registro de la tarea de control No. 1

Video de ejemplo de cómo completar la tarea No. 1

1.3. opciones de trabajo 1

3.2. Posición del punto relativa a los planos de proyección

La posición de un punto en el espacio con respecto a los planos de proyección está determinada por sus coordenadas. La coordenada X determina la distancia del punto desde el plano P 3 (proyección a P 2 o P 1), la coordenada Y - la distancia desde el plano P 2 (proyección a P 3 o P 1), la coordenada Z - la distancia desde el plano P 1 (proyección a P 3 o P 2). Dependiendo del valor de estas coordenadas, un punto puede ocupar tanto una posición general como particular en el espacio con respecto a los planos de proyección (Fig. 3.1).

Arroz. 3.1. Clasificación de puntos

Tpuntosgeneralprovisiones. Las coordenadas de un punto en posición general no son iguales a cero ( X≠0, y≠0, z≠0 ), y dependiendo del signo de la coordenada, el punto puede ubicarse en uno de los ocho octantes (Tabla 2.1).

En la fig. 3.2 Se dan dibujos de puntos en posición general. Un análisis de sus imágenes nos permite concluir que se ubican en los siguientes octantes del espacio: A(+X;+Y; +Z(  Ioctante;B(+X;+Y;-Z(  IVoctante;C(-X;+Y; +Z(  Votante;D(+X;+Y; +Z(  IIoctante.

Puntos de posición privados. Una de las coordenadas del punto de posición particular es igual a cero, por lo que la proyección del punto se encuentra en el campo de proyecciones correspondiente, los otros dos, en los ejes de las proyecciones. En la fig. 3.3 dichos puntos son los puntos A, B, C, D, G.A  P 3, luego el punto X A \u003d 0; EN  P 3, luego el punto X B \u003d 0; Con  P 2, luego punto Y C \u003d 0; D  P 1, luego punto Z D \u003d 0.

Un punto puede pertenecer a dos planos de proyección a la vez, si se encuentra en la línea de intersección de estos planos: el eje de proyección. Para tales puntos, solo la coordenada en este eje no es igual a cero. En la fig. 3.3, tal punto es el punto G(G  OZ, luego punto X G =0, Y G =0).

3.3. Posición mutua de puntos en el espacio.

Consideremos tres opciones para la disposición mutua de puntos según la relación de las coordenadas que determinan su posición en el espacio.

En la fig. 3.4 Los puntos A y B tienen coordenadas diferentes.

Su posición relativa se puede estimar por la distancia a los planos de proyección: Y A > Y B, entonces el punto A está ubicado más lejos del plano P 2 y más cerca del observador que el punto B; Z A > Z B, entonces el punto A está ubicado más lejos del plano P 1 y más cerca del observador que el punto B; X A

En la fig. 3.5 muestra los puntos A, B, C, D, en los que una de las coordenadas es la misma y las otras dos son diferentes.

Su posición relativa se puede estimar por su distancia a los planos de proyección de la siguiente manera:

Y A \u003d Y B \u003d Y D, entonces los puntos A, B y D son equidistantes del plano P 2, y sus proyecciones horizontales y de perfil están ubicadas respectivamente en las líneas [A 1 B 1 ]llOX y [A 3 B 3 ]llOZ . El lugar geométrico de tales puntos es un plano paralelo a П 2 ;

Z A \u003d Z B \u003d Z C, entonces los puntos A, B y C son equidistantes del plano P 1, y sus proyecciones frontal y de perfil están ubicadas respectivamente en las líneas [A 2 B 2 ]llOX y [A 3 C 3 ]llOY . El lugar geométrico de tales puntos es un plano paralelo a П 1 ;

X A \u003d X C \u003d X D, entonces los puntos A, C y D son equidistantes del plano P 3 y sus proyecciones horizontal y frontal están ubicadas respectivamente en las líneas [A 1 C 1 ] llOY y [A 2 D 2 ] llOZ . El lugar geométrico de tales puntos es un plano paralelo a П 3 .

3. Si los puntos tienen dos coordenadas del mismo nombre, entonces se llaman compitiendo. Los puntos en competencia están ubicados en la misma línea de proyección. En la fig. 3.3 se dan tres pares de tales puntos, en los cuales: X A \u003d X D; Y A = Y D ; ZD > ZA; XA = XC; Z A = Z C ; Y C > Y A ; Y A = Y B ; Z A = Z B ; X B > X A .

Hay puntos A y D que compiten horizontalmente situados en la línea AD que se proyecta horizontalmente, puntos A y C que compiten frontalmente situados en la línea AC que se proyecta frontalmente, puntos A y B que compiten en el perfil situados en la línea AB que se proyecta del perfil.

Conclusiones sobre el tema

1. Un punto es una imagen geométrica lineal, uno de los conceptos básicos de la geometría descriptiva. La posición de un punto en el espacio puede ser determinada por sus coordenadas. Cada una de las tres proyecciones de un punto se caracteriza por dos coordenadas, su nombre corresponde a los nombres de los ejes que forman el plano de proyección correspondiente: horizontal - A 1 (XA; YA); frontal - A 2 (XA; ZA); perfil - A 3 (YA; ZA). La traducción de coordenadas entre proyecciones se realiza mediante líneas de comunicación. A partir de dos proyecciones, puede crear proyecciones de un punto utilizando coordenadas o gráficamente.

3. Un punto en relación con los planos de proyección puede ocupar tanto una posición general como particular en el espacio.

4. Un punto en posición general es un punto que no pertenece a ninguno de los planos de proyección, es decir, se encuentra en el espacio entre los planos de proyección. Las coordenadas de un punto en posición general no son iguales a cero (x≠0,y≠0,z≠0).

5. Un punto de posición privada es un punto perteneciente a uno o dos planos de proyección. Una de las coordenadas del punto de posición particular es igual a cero, por lo que la proyección del punto se encuentra en el campo correspondiente del plano de proyección, los otros dos, en los ejes de las proyecciones.

6. Los puntos en competencia son puntos cuyas coordenadas del mismo nombre son las mismas. Hay puntos que compiten horizontalmente, puntos que compiten frontalmente y puntos que compiten de perfil.

Palabras clave

Coordenadas del punto

Punto general

Punto de posición privado

puntos de competencia

Métodos de actividad necesarios para resolver problemas.

– construcción de un punto según las coordenadas dadas en el sistema de tres planos de proyección en el espacio;

– construcción de un punto según las coordenadas dadas en el sistema de tres planos de proyección sobre el dibujo complejo.

Preguntas para el autoexamen

1. ¿Cómo se establece la conexión de la ubicación de coordenadas en el dibujo complejo en el sistema de tres planos de proyección P 1 P 2 P 3 con las coordenadas de las proyecciones de puntos?

2. ¿Qué coordenadas determinan la distancia de los puntos a los planos de proyección horizontal, frontal y de perfil?

3. ¿Qué coordenadas y proyecciones del punto cambiarán si el punto se mueve en dirección perpendicular al plano del perfil de las proyecciones П 3 ?

4. ¿Qué coordenadas y proyecciones de un punto cambiarán si el punto se mueve en una dirección paralela al eje OZ?

5. ¿Qué coordenadas determinan la proyección horizontal (frontal, de perfil) de un punto?

7. ¿En qué caso la proyección de un punto coincide con el punto en el espacio mismo, y dónde se encuentran las otras dos proyecciones de este punto?

8. ¿Puede un punto pertenecer a tres planos de proyección al mismo tiempo y en qué caso?

9. ¿Cuáles son los nombres de los puntos cuyas proyecciones del mismo nombre coinciden?

10. ¿Cómo puedes determinar cuál de los dos puntos está más cerca del observador si sus proyecciones frontales coinciden?

Tareas para solución independiente

2. Construir proyecciones de los puntos A y B según sus coordenadas sobre una imagen visual y un dibujo complejo: A (13,5; 20), B (6,5; -20). Construya una proyección del punto C, ubicada simétricamente al punto A en relación con el plano frontal de las proyecciones П 2 .

3. Construir proyecciones de los puntos A, B, C según sus coordenadas sobre una imagen visual y un dibujo complejo: A (-20; 0; 0), B (-30; -20; 10), C (-10, -15, 0 ). Construya el punto D, ubicado simétricamente al punto C con respecto al eje OX.

Un ejemplo de resolución de un problema típico.

Tarea 1. Dadas las coordenadas X, Y, Z de los puntos A, B, C, D, E, F (Tabla 3.3)

Capítulo 6. PROYECCIONES DE UN PUNTO. DIBUJO INTEGRADO

§ 32. Dibujo complejo de un punto.

Para construir una imagen de un objeto, primero represente sus elementos individuales en forma de los elementos más simples del espacio. Entonces, al representar un cuerpo geométrico, se deben construir sus vértices, representados por puntos; bordes representados por líneas rectas y curvas; rostros representados por planos, etc.

Las reglas para construir imágenes en dibujos en gráficos de ingeniería se basan en el método de proyección. Una imagen (proyección) de un cuerpo geométrico no nos permite juzgar su forma geometrica o la forma de las imágenes geométricas más simples que componen esta imagen. Así, no se puede juzgar la posición de un punto en el espacio por una de sus proyecciones; su posición en el espacio está determinada por dos proyecciones.

Considere un ejemplo de construcción de una proyección de un punto PERO, situado en el espacio del ángulo diedro (Fig. 60). Coloquemos uno de los planos de proyección horizontalmente, llamémoslo plano horizontal proyecciones y denota por la letra pag 1 Proyecciones de elementos

los espacios en él se denotarán con el índice 1: Un 1 , un 1 , S 1... y llamar proyecciones horizontales(puntos, rectas, planos).

Colocamos el segundo plano verticalmente frente al observador, perpendicular al primero, llamémoslo plano vertical proyecciones y denota PAG 2 . Las proyecciones de elementos espaciales sobre él se denotarán con el índice 2: un 2, 2 y llama proyecciones frontales(puntos, rectas, planos). La línea de intersección de los planos de proyección se llama eje de proyección.