La estereometría es una rama de la geometría que estudia figuras que no se encuentran en el mismo plano. Uno de los objetos de estudio de la estereometría son los prismas. En el artículo daremos una definición de un prisma desde un punto de vista geométrico, y también enumeraremos brevemente las propiedades que lo caracterizan.
figura geometrica
La definición de un prisma en geometría es la siguiente: es figura espacial, que consiste en dos n-ágonos idénticos ubicados en planos paralelos, conectados entre sí por sus vértices.
Conseguir un prisma no es difícil. Imagina que hay dos n-ágonos idénticos, donde n es el número de lados o vértices. Vamos a colocarlos de manera que queden paralelos entre sí. Después de eso, los vértices de un polígono deben conectarse a los vértices correspondientes de otro. La figura formada constará de dos lados n-gonales, que se denominan bases, y n lados cuadrangulares, que en el caso general son paralelogramos. El conjunto de paralelogramos forma la superficie lateral de la figura.
Existe otra forma de obtener geométricamente la figura en cuestión. Entonces, si tomamos un n-ágono y lo transferimos a otro plano usando segmentos paralelos de igual longitud, entonces en el nuevo plano obtendremos el polígono original. Tanto los polígonos como todos los segmentos paralelos extraídos de sus vértices forman un prisma.
La imagen de arriba lo muestra así llamado porque sus bases son triángulos.
Los elementos que forman una figura.
La definición de prisma se dio anteriormente, de la cual se desprende que los elementos principales de una figura son sus caras o lados, limitando todos los puntos internos del prisma desde el espacio externo. Cualquier cara de la figura bajo consideración pertenece a uno de dos tipos:
- lateral;
- jardines.
Hay n piezas laterales, y son paralelogramos o sus tipos particulares (rectángulos, cuadrados). En general, las caras laterales difieren entre sí. Solo hay dos caras de la base, son n-ágonos y son iguales entre sí. Por tanto, todo prisma tiene n+2 lados.
Además de los lados, la figura se caracteriza por sus vértices. Son puntos donde tres caras se tocan al mismo tiempo. Además, dos de las tres caras siempre pertenecen a la superficie lateral y una, a la base. Por lo tanto, en un prisma no hay un vértice especialmente seleccionado, como, por ejemplo, en una pirámide, todos ellos son iguales. El número de vértices de la figura es 2*n (n piezas por cada base).
Finalmente, el tercer elemento importante del prisma son sus aristas. Estos son segmentos de cierta longitud, que se forman como resultado de la intersección de los lados de la figura. Al igual que las caras, las aristas también tienen dos diferentes tipos:
- o formado sólo por los lados;
- o surgen en la unión del paralelogramo y el lado de la base n-gonal.
El número de aristas es, por tanto, 3*n, y 2*n de ellas pertenecen al segundo de los tipos mencionados.
Tipos de prismas
Hay varias formas de clasificar los prismas. Sin embargo, todos se basan en dos características de la figura:
- del tipo de base n-carbón;
- tipo lateral.
Para empezar, pasemos a la segunda singularidad y demos una definición de línea recta. Si al menos un lado es un paralelogramo tipo general, entonces la figura se llama oblicua u oblicua. Si todos los paralelogramos son rectángulos o cuadrados, entonces el prisma será recto.
También puedes dar una definición un poco diferente: una figura recta es un prisma en el que los lados y las caras son perpendiculares a sus bases. La figura muestra dos figuras cuadrangulares. El izquierdo es recto, el derecho es oblicuo.
Ahora pasemos a la clasificación según el tipo de n-ágono que se encuentra en las bases. Puede tener los mismos lados y ángulos o diferentes. En el primer caso, el polígono se llama regular. Si la figura bajo consideración contiene un polígono con lados y ángulos iguales en la base y es una línea recta, entonces se llama regular. Según esta definición, un prisma regular en su base puede tener un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono regular o un hexágono, etc. Las cifras correctas enumeradas se muestran en la figura.
Parámetros lineales de prismas
Para describir las dimensiones de las figuras bajo consideración, use siguientes parámetros:
- altura;
- lados de la base;
- longitudes de las costillas laterales;
- diagonales volumétricas;
- lados y bases diagonales.
Para prismas regulares, todas las cantidades nombradas están relacionadas entre sí. Por ejemplo, las longitudes de las nervaduras laterales son iguales e iguales a la altura. Para una n-gonal específica figura correcta hay fórmulas que nos permiten determinar todo lo demás a partir de dos parámetros lineales cualesquiera.
superficie de la figura
Si recurrimos a la definición de un prisma dada anteriormente, entonces no será difícil entender qué representa la superficie de la figura. La superficie es el área de todas las caras. Para un prisma recto, se calcula mediante la fórmula:
S = 2*S o + P o *h
donde S o es el área de la base, P o es el perímetro del n-ágono en la base, h es la altura (distancia entre las bases).
volumen de la figura
Junto con la superficie para la práctica, es importante conocer el volumen del prisma. Se puede determinar mediante la siguiente fórmula:
Esta expresión es válida para absolutamente cualquier tipo de prisma, incluidos los oblicuos y formados por polígonos irregulares.
Para correcto, es una función de la longitud del lado de la base y la altura de la figura. Para el prisma n-gonal correspondiente, la fórmula para V tiene una forma específica.
Definición 1. Superficie prismática
Teorema 1. Sobre secciones paralelas de una superficie prismática
Definición 2. Sección perpendicular de una superficie prismática
Definición 3. Prisma
Definición 4. Altura del prisma
Definición 5. Prisma directo
Teorema 2. El área de la superficie lateral del prisma.
Paralelepípedo:
Definición 6. Paralelepípedo
Teorema 3. Sobre la intersección de las diagonales de un paralelepípedo
Definición 7. Paralelepípedo recto
Definición 8. Paralelepípedo rectangular
Definición 9. Dimensiones de un paralelepípedo
Definición 10. Cubo
Definición 11. Romboedro
Teorema 4. Sobre las diagonales de un paralelepípedo rectangular
Teorema 5. Volumen de un prisma
Teorema 6. Volumen de un prisma recto
Teorema 7. Volumen de un paralelepípedo rectangular
prisma se llama poliedro, en el que dos caras (bases) se encuentran en planos paralelos, y las aristas que no se encuentran en estas caras son paralelas entre sí.
Las caras distintas de las bases se llaman lateral.
Los lados de las caras laterales y las bases se llaman bordes del prisma, los extremos de las aristas se llaman la parte superior del prisma. costillas laterales llamadas aristas que no pertenecen a las bases. La unión de las caras laterales se llama superficie lateral del prisma, y la unión de todas las caras se llama toda la superficie del prisma. Altura del prisma se llama la perpendicular que cae desde el punto de la base superior al plano de la base inferior o la longitud de esta perpendicular. 
prisma recto llamado prisma, en el que las aristas laterales son perpendiculares a los planos de las bases. 
correcto llamado prisma recto (Fig. 3), en cuya base se encuentra un polígono regular.
Designaciones:
l - costilla lateral;
P - perímetro de la base;
S o - área de la base;
H - altura;
P ^ - perímetro de la sección perpendicular;
S b - superficie lateral;
V - volumen;
S p - área superficie completa prismas
|
V = SH |
*Se supone que cada dos planos consecutivos se cortan y que el último plano corta al primero.
Teorema 1 . Las secciones de una superficie prismática por planos paralelos entre sí (pero no paralelos a sus bordes) son polígonos iguales.
Sean ABCDE y A"B"C"D"E" secciones de una superficie prismática por dos planos paralelos. Para comprobar que estos dos polígonos son iguales, basta demostrar que los triángulos ABC y A"B"C" son iguales y tienen el mismo sentido de rotación y que lo mismo vale para los triángulos ABD y A"B"D", ABE y A"B"E". Pero los lados correspondientes de estos triángulos son paralelos (por ejemplo, AC es paralelo a A "C") como las líneas de intersección de un cierto plano con dos planos paralelos; se deduce que estos lados son iguales (por ejemplo, AC es igual a A"C") como lados opuestos paralelogramo y que los ángulos formados por estos lados son iguales y tienen la misma dirección.
Definición 2 . Una sección perpendicular de una superficie prismática es una sección de esta superficie por un plano perpendicular a sus bordes. En base al teorema anterior, todas las secciones perpendiculares de una misma superficie prismática serán polígonos iguales.
Definición 3
. Un prisma es un poliedro delimitado por una superficie prismática y dos planos paralelos entre sí (pero no paralelos a los bordes de la superficie prismática)
Los rostros que se encuentran en estos últimos planos se llaman bases de prisma; caras pertenecientes a una superficie prismática - caras laterales; bordes de la superficie prismática - bordes laterales del prisma. En virtud del teorema anterior, las bases del prisma son polígonos iguales. Todas las caras laterales del prisma paralelogramos; todos los bordes laterales son iguales entre sí.
Es obvio que si la base del prisma ABCDE y una de las aristas AA" se dan en magnitud y dirección, entonces es posible construir un prisma trazando las aristas BB", CC", .., iguales y paralelas a el borde AA".
Definición 4 . La altura de un prisma es la distancia entre los planos de sus bases (HH").
Definición 5
. Un prisma se llama línea recta si sus bases son secciones perpendiculares de una superficie prismática. En este caso, la altura del prisma es, por supuesto, su costilla lateral; los bordes laterales se rectángulos.
Los prismas se pueden clasificar por el número de caras laterales, igual al número de lados del polígono que le sirve de base. Así, los prismas pueden ser triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc.
Teorema 2
. El área de la superficie lateral del prisma es igual al producto costilla lateral en el perímetro de una sección perpendicular.
Sea ABCDEA"B"C"D"E" el prisma dado y sea abcde su sección perpendicular, de modo que los segmentos ab, bc, .. sean perpendiculares a sus aristas laterales. La cara ABA"B" es un paralelogramo; su área es igual al producto de la base AA” a una altura que corresponde a ab; el área de la cara BB"C" es igual al producto de la base BB" por la altura bc, etc. Por lo tanto, superficie lateral(es decir, la suma de las áreas de las caras laterales) es igual al producto de la arista lateral, es decir, la longitud total de los segmentos AA", BB", .., por la suma ab + bc + cd + de + ea.
Definición. Prisma- este es un poliedro, cuyos vértices están ubicados en dos planos paralelos, y en los mismos dos planos hay dos caras del prisma, que son polígonos iguales con lados respectivamente paralelos, y todos los bordes que no se encuentran en estos los planos son paralelos
Dos caras iguales se llaman bases de prisma(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Todas las demás caras del prisma se llaman caras laterales(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Todas las caras laterales se forman superficie lateral del prisma .
Todas las caras laterales de un prisma son paralelogramos .
Las aristas que no se encuentran en las bases se denominan aristas laterales del prisma ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).
prisma diagonal se llama segmento cuyos extremos son dos vértices del prisma que no descansan sobre una de sus caras (AD 1).
La longitud del segmento que une las bases del prisma y es perpendicular a ambas bases al mismo tiempo se llama altura del prisma .
Designacion:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Primero, en el orden de la derivación, se indican los vértices de una base, y luego, en el mismo orden, los vértices de la otra; los extremos de cada borde lateral se designan con las mismas letras, solo los vértices que se encuentran en una base se indica con letras sin índice, y en la otra, con un índice)
El nombre del prisma está asociado con el número de ángulos en la figura que se encuentra en su base, por ejemplo, en la Figura 1, la base es un pentágono, por lo que el prisma se llama prisma pentagonal. Pero desde tal prisma tiene 7 caras, entonces heptaedro(2 caras son las bases del prisma, 5 caras son paralelogramos, son sus caras laterales)
Entre los prismas rectos destaca vista privada: prismas regulares.
Un prisma recto se llama correcto, si sus bases son polígonos regulares.
Paralelepípedo
Paralelepípedo- Este es un prisma cuadrangular, en cuya base se encuentra un paralelogramo (paralelepípedo oblicuo). paralelepípedo derecho- un paralelepípedo cuyos bordes laterales son perpendiculares a los planos de la base.cuboides- un paralelepípedo recto cuya base es un rectángulo.
Propiedades y teoremas:
Algunas propiedades de un paralelepípedo son similares a las conocidas propiedades de un paralelogramo.Un paralelepípedo rectangular que tiene las mismas dimensiones se llama cubo
.Un cubo tiene todas las caras cuadrados iguales.El cuadrado de una diagonal es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones 
,
donde d es la diagonal del cuadrado;
a - lado del cuadrado.
La idea de prisma viene dada por:
- diversas estructuras arquitectónicas;
- Juguetes de los niños;
- cajas de embalaje;
- artículos de diseño, etc
Superficie total y lateral del prisma
Superficie total del prisma es la suma de las areas de todas sus caras Superficie lateral se llama la suma de las áreas de sus caras laterales. las bases del prisma son polígonos iguales, luego sus áreas son iguales. Asi queS completo \u003d S lateral + 2S principal,
donde S lleno- superficie total, lado S- superficie lateral, S principal- área de la base
El área de la superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base por la altura del prisma.
lado S\u003d P principal * h,
donde lado S es el área de la superficie lateral de un prisma recto,
P principal - el perímetro de la base de un prisma recto,
h es la altura del prisma recto, igual a la arista lateral.
Volumen de prisma
El volumen de un prisma es igual al producto del área de la base por la altura.
En el plan de estudios escolar para el curso de geometría sólida, el estudio de figuras tridimensionales generalmente comienza con un cuerpo geométrico simple: un poliedro prismático. El papel de sus bases lo realizan 2 polígonos iguales que se encuentran en planos paralelos. Un caso especial es un prisma cuadrangular regular. Sus bases son 2 cuadriláteros regulares idénticos, a los cuales los lados son perpendiculares, teniendo forma de paralelogramos (o rectángulos si el prisma no está inclinado).
¿Cómo se ve un prisma?
Un prisma cuadrangular regular es un hexaedro, en cuyas bases hay 2 cuadrados, y las caras laterales están representadas por rectángulos. Otro nombre para esto figura geometrica- un paralelepípedo recto.
La figura, que representa un prisma cuadrangular, se muestra a continuación.
También se puede ver en la imagen los elementos más importantes que componen un cuerpo geométrico. Se les conoce comúnmente como:
A veces en problemas de geometría puedes encontrar el concepto de sección. La definición sonará así: una sección son todos los puntos de un cuerpo volumétrico que pertenecen al plano de corte. La sección es perpendicular (cruza los bordes de la figura en un ángulo de 90 grados). Para un prisma rectangular se considera también una sección diagonal (el número máximo de secciones que se pueden construir es 2), pasando por 2 aristas y las diagonales de la base.
Si la sección se dibuja de forma que el plano de corte no sea paralelo ni a las bases ni a las caras laterales, el resultado es un prisma truncado.
Se utilizan varias proporciones y fórmulas para encontrar los elementos prismáticos reducidos. Algunos de ellos se conocen del curso de planimetría (por ejemplo, para encontrar el área de la base de un prisma, basta con recordar la fórmula del área de un cuadrado).
superficie y volumen
Para determinar el volumen de un prisma usando la fórmula, necesita saber el área de su base y altura:
V = Esprim h
Como la base de un prisma tetraédrico regular es un cuadrado de lado un, Puedes escribir la fórmula en una forma más detallada:
V = a²h
Si estamos hablando de un cubo, un prisma regular con misma longitud, ancho y alto, el volumen se calcula de la siguiente manera:
Para comprender cómo encontrar el área de la superficie lateral de un prisma, debe imaginar su barrido.
Puede verse en el dibujo que la superficie lateral se compone de 4 rectángulos iguales. Su área se calcula como el producto del perímetro de la base y la altura de la figura:
Lado S = Pos h
Como el perímetro de un cuadrado es P = 4a, la fórmula toma la forma:
Slado = 4a h
Para cubo:
Lado S = 4a²
Para calcular el área de la superficie total de un prisma, agregue 2 áreas base al área lateral:
Slleno = Slado + 2Sbase
Aplicada a un prisma regular cuadrangular, la fórmula tiene la forma:
Slleno = 4a h + 2a²
Para el área de superficie de un cubo:
Slleno = 6a²
Conociendo el volumen o área superficial, se puede calcular elementos individuales cuerpo geométrico.
Encontrar elementos de prisma
A menudo hay problemas en los que se da el volumen o se conoce el valor de la superficie lateral, donde es necesario determinar la longitud del lado de la base o la altura. En tales casos, se pueden derivar fórmulas:
- longitud del lado base: a = Slado / 4h = √(V / h);
- altura o longitud de la costilla lateral: h = Slado / 4a = V / a²;
- área de la base: Sprim = V/h;
- área de la cara lateral: Lado gr = Slado / 4.
Para determinar cuánta área tiene una sección diagonal, necesitas saber la longitud de la diagonal y la altura de la figura. por un cuadrado d = a√2. Por lo tanto:
Sdiag = ah√2
Para calcular la diagonal del prisma, se utiliza la fórmula:
dpremio = √(2a² + h²)
Para comprender cómo aplicar las proporciones anteriores, puede practicar y resolver algunas tareas simples.
Ejemplos de problemas con soluciones.
Estas son algunas de las tareas que aparecen en los exámenes finales estatales de matemáticas.
Ejercicio 1.
Se vierte arena en una caja con forma de prisma cuadrangular regular. La altura de su nivel es de 10 cm ¿Cuál será el nivel de arena si la mueves a un recipiente de la misma forma, pero con una longitud de base 2 veces mayor?
Debe argumentarse de la siguiente manera. La cantidad de arena en el primer y segundo contenedor no cambió, es decir, su volumen en ellos es el mismo. Puede definir la longitud de la base como un. En este caso, para la primera casilla, el volumen de la sustancia será:
V₁ = ha² = 10a²
Para la segunda caja, la longitud de la base es 2a, pero se desconoce la altura del nivel de arena:
V₂ = h(2a)² = 4ha²
En la medida en V₁ = V₂, las expresiones se pueden equiparar:
10a² = 4ha²
Después de reducir ambos lados de la ecuación por a², obtenemos:
Como resultado nuevo nivel arena será h = 10 / 4 = 2,5 cm.
Tarea 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ es un prisma regular. Se sabe que BD = AB₁ = 6√2. Encuentra el área de superficie total del cuerpo.
Para que sea más fácil comprender qué elementos se conocen, puede dibujar una figura.
Como estamos hablando de un prisma regular, podemos concluir que la base es un cuadrado con una diagonal de 6√2. La diagonal de la cara lateral tiene el mismo valor, por lo tanto, la cara lateral también tiene la forma de un cuadrado igual a la base. Resulta que las tres dimensiones (largo, ancho y alto) son iguales. Podemos concluir que ABCDA₁B₁C₁D₁ es un cubo.
La longitud de cualquier borde se determina a través de la diagonal conocida:
un = re / √2 = 6√2 / √2 = 6
El área de superficie total se encuentra mediante la fórmula para el cubo:
Slleno = 6a² = 6 6² = 216
Tarea 3.
La habitación está siendo renovada. Se sabe que su piso tiene forma de cuadrado con un área de 9 m². La altura de la habitación es de 2,5 m ¿Cuál es el costo más bajo de empapelar una habitación si 1 m² cuesta 50 rublos?
Como el suelo y el techo son cuadrados, es decir, cuadriláteros regulares, y sus paredes son perpendiculares a superficies horizontales, podemos concluir que es un prisma regular. Es necesario determinar el área de su superficie lateral.
La longitud de la habitación es un = √9 = 3 metro.
La plaza se cubrirá con papel pintado. Lado = 4 3 2,5 = 30 m².
El costo más bajo de papel tapiz para esta habitación será 50 30 = 1500 rublos
Así, para resolver problemas de un prisma rectangular basta con saber calcular el área y el perímetro de un cuadrado y un rectángulo, así como conocer las fórmulas para hallar el volumen y el área de la superficie.
Cómo encontrar el área de un cubo
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