Borde lateral de este prisma. Prisma cuadrangular regular

Conferencia: Prisma, sus bases, aristas laterales, altura, superficie lateral; prisma recto; prisma recto

Prisma

Si ha aprendido figuras planas de las preguntas anteriores con nosotros, entonces está completamente listo para estudiar figuras tridimensionales. El primer sólido que aprenderemos será un prisma.

Prisma es un cuerpo voluminoso que tiene un gran número de caras.

Esta figura tiene dos polígonos en las bases, que están ubicados en planos paralelos, y todas las caras laterales tienen forma de paralelogramo.

Figura 1. Figura. 2

Entonces, averigüemos en qué consiste un prisma. Para hacer esto, preste atención a la Fig.1

Como se mencionó anteriormente, el prisma tiene dos bases que son paralelas entre sí: estos son los pentágonos ABCEF y GMNJK. Además, estos polígonos son iguales entre sí.

Todas las demás caras del prisma se llaman caras laterales, consisten en paralelogramos. Por ejemplo, BMNC, AGKF, FKJE, etc.

La superficie común de todas las caras laterales se llama superficie lateral.

Cada par de caras adyacentes tiene un lado común. Tal lado común se llama borde. Por ejemplo, MB, CE, AB, etc.

Si las bases superior e inferior del prisma están conectadas por una perpendicular, entonces se llamará la altura del prisma. En la figura, la altura está marcada como una línea recta OO 1.

Hay dos tipos principales de prismas: oblicuos y rectos.

Si los bordes laterales del prisma no son perpendiculares a las bases, entonces dicho prisma se llama oblicuo.

Si todas las aristas de un prisma son perpendiculares a las bases, dicho prisma se llama derecho.

Si las bases del prisma son polígonos regulares(aquellos cuyos lados son iguales), entonces tal prisma se llama correcto.

Si las bases del prisma no son paralelas entre sí, dicho prisma se llamará truncado.

Puedes verlo en la Fig.2

Fórmulas para encontrar el volumen, el área de un prisma.

Hay tres fórmulas básicas para encontrar el volumen. Se diferencian entre sí en su aplicación:

Fórmulas similares para encontrar el área de superficie de un prisma:

Cualquier polígono puede estar en la base del prisma: un triángulo, un cuadrilátero, etc. Ambas bases son exactamente iguales y, en consecuencia, por lo que los ángulos de las caras paralelas están conectados entre sí, siempre son paralelos. En la base de un prisma regular se encuentra un polígono regular, es decir, uno en el que todos los lados son iguales. En un prisma recto, los bordes entre las caras laterales son perpendiculares a la base. En este caso, un polígono con cualquier número de ángulos puede estar en la base de un prisma recto. Un prisma cuya base es un paralelogramo se llama paralelepípedo. Rectángulo - caso especial paralelogramo. Si esta figura se encuentra en la base y las caras laterales están ubicadas en ángulo recto con la base, el paralelepípedo se llama rectangular. El segundo nombre de este cuerpo geométrico es rectangular.

Cómo se ve ella

Hay bastantes prismas rectangulares en el entorno del hombre moderno. Este, por ejemplo, es el cartón habitual de debajo de los zapatos, componentes de la computadora, etc. Mira alrededor. Incluso en una habitación, seguramente verás muchos prismas rectangulares. Esta es una caja de computadora, una estantería, un refrigerador, un gabinete y muchos otros artículos. La forma es extremadamente popular principalmente porque le permite usar el espacio de la manera más eficiente posible, ya sea que esté decorando el interior o empaquetando cosas en cartón antes de mudarse.

Propiedades de un prisma rectangular

Un prisma rectangular tiene una serie de propiedades específicas. Cualquier par de caras puede servir como suyo, ya que todas las caras adyacentes están ubicadas en el mismo ángulo entre sí, y este ángulo es de 90 °. Volumen y área de superficie prisma rectangular más fácil de calcular que cualquier otro. Toma cualquier objeto que tenga la forma de un prisma rectangular. Mide su largo, ancho y alto. Para encontrar el volumen, basta con multiplicar estas medidas. Es decir, la fórmula se ve así: V \u003d a * b * h, donde V es el volumen, a y b son los lados de la base, h es la altura que coincide con el borde lateral de este cuerpo geométrico. El área base se calcula mediante la fórmula S1=a*b. Para obtener la superficie lateral, primero debes calcular el perímetro de la base usando la fórmula P=2(a+b) y luego multiplicarlo por la altura. Resulta la fórmula S2=P*h=2(a+b)*h. Para calcular el área total de la superficie de un prisma rectangular, se suma el doble del área de la base y el área de la superficie lateral. La fórmula es S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

Definición.

Este es un hexágono, cuyas bases son dos cuadrados iguales y las caras laterales son rectángulos iguales.

costilla lateral es el lado común de dos caras laterales adyacentes

Altura del prisma es un segmento de recta perpendicular a las bases del prisma

prisma diagonal- un segmento que une dos vértices de las bases que no pertenecen a la misma cara

plano diagonal- un plano que pasa por la diagonal del prisma y sus aristas laterales

Sección diagonal- los límites de la intersección del prisma y el plano diagonal. La sección diagonal de un prisma cuadrangular regular es un rectángulo.

Sección perpendicular (sección ortogonal)- esta es la intersección de un prisma y un plano dibujado perpendicularmente a sus bordes laterales

Elementos de un prisma cuadrangular regular

La figura muestra dos prismas cuadrangulares regulares, que están marcados con las letras correspondientes:

Las bases ABCD y A 1 B 1 C 1 D 1 son iguales y paralelas entre sí
Caras laterales AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C y CC 1 D 1 D, cada una de las cuales es un rectángulo
Superficie lateral - la suma de las áreas de todas las caras laterales del prisma
Superficie completa- la suma de las áreas de todas las bases y caras laterales (la suma del área de la superficie lateral y las bases)
Costillas laterales AA 1 , BB 1 , CC 1 y DD 1 .
Diagonal B 1 D
Base diagonal BD
Sección diagonal BB 1 D 1 D
Sección perpendicular A 2 B 2 C 2 D 2 .

Propiedades de un prisma cuadrangular regular

las bases son dos cuadrados iguales
las bases son paralelas entre si
Los lados son rectángulos.
Las caras laterales son iguales entre sí.
Las caras laterales son perpendiculares a las bases.
Las costillas laterales son paralelas entre sí e iguales.
Sección perpendicular perpendicular a todas las nervaduras laterales y paralela a las bases
Ángulos de sección perpendicular - Derecho
La sección diagonal de un prisma cuadrangular regular es un rectángulo.
Perpendicular (sección ortogonal) paralela a las bases

Fórmulas para un prisma cuadrangular regular

Instrucciones para resolver problemas.

Al resolver problemas sobre el tema " prisma cuadrangular regular" implica que:

prisma correcto- un prisma en cuya base se encuentra un polígono regular, y las aristas laterales son perpendiculares a los planos de la base. Es decir, un prisma cuadrangular regular contiene en su base cuadrado. (ver arriba las propiedades de un prisma cuadrangular regular) Nota. Esto es parte de la lección con tareas de geometría (sección geometría sólida - prisma). Aquí están las tareas que causan dificultades en la resolución. Si necesita resolver un problema de geometría, que no está aquí, escríbalo en el foro. Para indicar la acción de extraer raíz cuadrada símbolo se utiliza en la resolución de problemas√ .

Tarea.

En un prisma cuadrangular regular, el área de la base es de 144 cm 2 y la altura es de 14 cm Halla la diagonal del prisma y el área total de la superficie.

Decisión.
Un cuadrilátero regular es un cuadrado.
En consecuencia, el lado de la base será igual a

√144 = 12 cm.
De donde la diagonal de la base de un prisma rectangular regular será igual a
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

La diagonal de un prisma regular se forma con la diagonal de la base y la altura del prisma triángulo rectángulo. En consecuencia, según el teorema de Pitágoras, la diagonal de un prisma cuadrangular regular dado será igual a:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22cm

Responder: 22cm

Tarea

Halla el área total de un prisma cuadrangular regular si su diagonal es de 5 cm y la diagonal de la cara lateral es de 4 cm.

Decisión.
Dado que la base de un prisma cuadrangular regular es un cuadrado, el lado de la base (denotado como a) se encuentra mediante el teorema de Pitágoras:

un 2 + un 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

La altura de la cara lateral (indicada como h) será entonces igual a:

H 2 + 12.5 \u003d 4 2
h2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3.5

La superficie total será igual a la suma de la superficie lateral y el doble de la base.

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Respuesta: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

La estereometría es una rama de la geometría que estudia figuras que no se encuentran en el mismo plano. Uno de los objetos de estudio de la estereometría son los prismas. En el artículo daremos una definición de un prisma desde un punto de vista geométrico, y también enumeraremos brevemente las propiedades que lo caracterizan.

figura geometrica

La definición de un prisma en geometría es la siguiente: es figura espacial, que consiste en dos n-ágonos idénticos ubicados en planos paralelos, conectados entre sí por sus vértices.

Conseguir un prisma no es difícil. Imagina que hay dos n-ágonos idénticos, donde n es el número de lados o vértices. Vamos a colocarlos de manera que queden paralelos entre sí. Después de eso, los vértices de un polígono deben conectarse a los vértices correspondientes de otro. La figura formada constará de dos lados n-gonales, que se denominan bases, y n lados cuadrangulares, que en el caso general son paralelogramos. El conjunto de paralelogramos forma la superficie lateral de la figura.

Existe otra forma de obtener geométricamente la figura en cuestión. Entonces, si tomamos un n-ágono y lo transferimos a otro plano usando segmentos paralelos misma longitud, luego en el nuevo plano obtenemos el polígono original. Tanto los polígonos como todos los segmentos paralelos extraídos de sus vértices forman un prisma.

La imagen de arriba lo muestra así llamado porque sus bases son triángulos.

Los elementos que forman una figura.

La definición de prisma se dio anteriormente, de la cual se desprende que los elementos principales de una figura son sus caras o lados, limitando todos los puntos internos del prisma desde el espacio externo. Cualquier cara de la figura bajo consideración pertenece a uno de dos tipos:

lateral;
jardines.

Hay n piezas laterales, y son paralelogramos o sus tipos particulares (rectángulos, cuadrados). En general, las caras laterales difieren entre sí. Solo hay dos caras de la base, son n-ágonos y son iguales entre sí. Por tanto, todo prisma tiene n+2 lados.

Además de los lados, la figura se caracteriza por sus vértices. Son puntos donde tres caras se tocan al mismo tiempo. Además, dos de las tres caras siempre pertenecen a la superficie lateral y una, a la base. Por lo tanto, en un prisma no hay un vértice especialmente seleccionado, como, por ejemplo, en una pirámide, todos ellos son iguales. El número de vértices de la figura es 2*n (n piezas por cada base).

Finalmente, el tercer elemento importante del prisma son sus aristas. Estos son segmentos de cierta longitud, que se forman como resultado de la intersección de los lados de la figura. Al igual que las caras, las aristas también tienen dos diferentes tipos:

o formado sólo por los lados;
o surgen en la unión del paralelogramo y el lado de la base n-gonal.

El número de aristas es, por tanto, 3*n, y 2*n de ellas pertenecen al segundo de los tipos mencionados.

Tipos de prismas

Hay varias formas de clasificar los prismas. Sin embargo, todos se basan en dos características de la figura:

del tipo de base n-carbón;
tipo lateral.

Para empezar, pasemos a la segunda singularidad y demos una definición de línea recta. Si al menos un lado es un paralelogramo tipo general, entonces la figura se llama oblicua u oblicua. Si todos los paralelogramos son rectángulos o cuadrados, entonces el prisma será recto.

También puedes dar una definición un poco diferente: una figura recta es un prisma en el que los lados y las caras son perpendiculares a sus bases. La figura muestra dos figuras cuadrangulares. El izquierdo es recto, el derecho es oblicuo.

Ahora pasemos a la clasificación según el tipo de n-ágono que se encuentra en las bases. Puede tener los mismos lados y ángulos o diferentes. En el primer caso, el polígono se llama regular. Si la figura en consideración contiene un polígono con lados y ángulos iguales en la base y es una línea recta, entonces se llama regular. Según esta definición, un prisma regular en su base puede tener un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono regular o un hexágono, etc. Las cifras correctas enumeradas se muestran en la figura.

Parámetros lineales de prismas

Para describir las dimensiones de las figuras bajo consideración, use siguientes opciones:

altura;
lados de la base;
longitudes de las costillas laterales;
diagonales volumétricas;
lados y bases diagonales.

Para prismas regulares, todas las cantidades nombradas están relacionadas entre sí. Por ejemplo, las longitudes de las nervaduras laterales son iguales e iguales a la altura. Para una n-gonal específica figura correcta hay fórmulas que nos permiten determinar todo lo demás a partir de dos parámetros lineales cualesquiera.

superficie de la figura

Si recurrimos a la definición de un prisma dada anteriormente, entonces no será difícil entender qué representa la superficie de la figura. La superficie es el área de todas las caras. Para un prisma recto, se calcula mediante la fórmula:

S = 2*S o + P o *h

donde S o es el área de la base, P o es el perímetro del n-ágono en la base, h es la altura (distancia entre las bases).

volumen de la figura

Junto con la superficie para la práctica, es importante conocer el volumen del prisma. Se puede determinar mediante la siguiente fórmula:

Esta expresión es válida para absolutamente cualquier tipo de prisma, incluidos los oblicuos y formados por polígonos irregulares.

Para correcto, es una función de la longitud del lado de la base y la altura de la figura. Para el prisma n-gonal correspondiente, la fórmula para V tiene una forma específica.

Información general sobre un prisma recto

La superficie lateral del prisma (más precisamente, el área de la superficie lateral) se llama sumaáreas laterales de la cara. La superficie total del prisma es igual a la suma de la superficie lateral y las áreas de las bases.

Teorema 19.1. La superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base y la altura del prisma, es decir, la longitud del borde lateral.

Prueba. Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos. Las bases de estos rectángulos son los lados del polígono que se encuentran en la base del prisma, y las alturas son iguales a la longitud de los bordes laterales. De ello se deduce que la superficie lateral del prisma es igual a

S = un 1 l + un 2 l + ... + un norte l = pl,

donde a 1 y n son las longitudes de las nervaduras de la base, p es el perímetro de la base del prisma e I es la longitud de las nervaduras laterales. El teorema ha sido probado.

tarea practica

Tarea (22) . en un prisma inclinado sección, perpendicular a los bordes laterales e intersectando todos los bordes laterales. Encuentra la superficie lateral del prisma si el perímetro de la sección es p y los bordes laterales son l.

Decisión. El plano de la sección dibujada divide el prisma en dos partes (Fig. 411). Sometamos uno de ellos a una traslación paralela que combine las bases del prisma. En este caso, obtenemos un prisma recto, en el que la sección del prisma original sirve de base y las aristas laterales son iguales a l. Este prisma tiene la misma superficie lateral que el original. Así, la superficie lateral del prisma original es igual a pl.

Generalización del tema.

Y ahora intentemos resumir el tema del prisma y recordar qué propiedades tiene un prisma.

Propiedades del prisma

Primero, para un prisma, todas sus bases son polígonos iguales;
En segundo lugar, para un prisma, todas sus caras laterales son paralelogramos;
En tercer lugar, en una figura multifacética como un prisma, todos los bordes laterales son iguales;

Además, debe recordarse que los poliedros como los prismas pueden ser rectos e inclinados.

¿Qué es un prisma recto?

Si el borde lateral de un prisma es perpendicular al plano de su base, dicho prisma se llama línea recta.

No estará de más recordar que las caras laterales de un prisma recto son rectángulos.

¿Qué es un prisma oblicuo?

Pero si el borde lateral del prisma no se encuentra perpendicular al plano de su base, podemos decir con seguridad que se trata de un prisma inclinado.

¿Cuál es el prisma correcto?

Si un polígono regular se encuentra en la base de un prisma recto, entonces dicho prisma es regular.

Ahora recordemos las propiedades que tiene un prisma regular.

Propiedades de un prisma regular

Primero, los polígonos regulares siempre sirven como bases de un prisma regular;
En segundo lugar, si consideramos las caras laterales de un prisma regular, entonces siempre son rectángulos iguales;
En tercer lugar, si comparamos los tamaños de las nervaduras laterales, en el prisma correcto siempre son iguales.
Cuarto, un prisma regular siempre es recto;
Quinto, si en un prisma regular las caras laterales tienen la forma de cuadrados, entonces tal figura se denomina polígono semirregular.

sección de prisma

Ahora veamos la sección transversal de un prisma:

Tarea

Y ahora intentemos consolidar el tema estudiado resolviendo problemas.

Dibujemos un prisma triangular inclinado, en el que la distancia entre sus aristas será: 3 cm, 4 cm y 5 cm, y la superficie lateral de este prisma será igual a 60 cm2. Con estos parámetros, encuentre el borde lateral del prisma dado.

Y lo sabes figuras geometricas constantemente nos rodean no sólo en lecciones de geometría, sino también en La vida cotidiana hay objetos que se asemejan a una u otra figura geométrica.