Cómo encontrar un polígono regular. polígono regular

Teorema 1. Un círculo puede circunscribirse a cualquier polígono regular.

Sea ABCDEF (Fig. 419) un polígono regular; es necesario probar que alrededor de él se puede circunscribir un círculo.

Sabemos que siempre es posible dibujar un círculo a través de tres puntos que no se encuentran en la misma línea; por tanto, siempre es posible dibujar un círculo que pase por tres vértices cualesquiera de un polígono regular, por ejemplo, por los vértices E, D y C. Sea el punto O el centro de este círculo.

Probemos que esta circunferencia también pasará por el cuarto vértice del polígono, por ejemplo, por el vértice B.

Los segmentos OE, OD y OS son iguales entre sí, y cada uno es igual al radio del círculo. Dibujemos otro segmento del OB; es imposible decir inmediatamente sobre este segmento que también es igual al radio del círculo, esto debe probarse. Considere los triángulos OED y ODC, son isósceles e iguales, por lo tanto, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.

Si el ángulo interior de un polígono dado es α, entonces ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = α / 2; pero si ∠4= α / 2 , entonces ∠5 = α / 2 , es decir ∠4 = ∠5.

De esto concluimos que (Delta)OSD = (Delta)OSV y, por lo tanto, OB = OS, es decir, el segmento OB es igual al radio del círculo dibujado. De aquí se sigue que la circunferencia también pasará por el vértice B del polígono regular.

De la misma forma probaremos que la circunferencia construida pasará por todos los demás vértices del polígono. Esto significa que este círculo estará circunscrito al polígono regular dado. El teorema ha sido probado.

Teorema 2. Un círculo se puede inscribir en cualquier polígono regular.

Sea ABCDEF un polígono regular (Fig. 420), debemos probar que en él se puede inscribir un círculo.

Se sabe por el teorema anterior que un círculo puede circunscribirse cerca de un polígono regular. Sea el punto O el centro de este círculo.

Conecta el punto O a los vértices del polígono. Los triángulos resultantes OED, ODC, etc. son iguales entre sí, lo que significa que sus alturas dibujadas desde el punto O también son iguales, es decir, OK = OL = OM = ON = OP = OQ.

Por tanto, una circunferencia circunscrita del punto O a partir del centro con un radio igual al segmento OK pasará por los puntos K, L, M, N, P y Q, y las alturas de los triángulos serán los radios de los círculo. Los lados del polígono son perpendiculares a los radios en esos puntos, por lo que son tangentes a ese círculo. Y esto significa que el círculo construido está inscrito en el polígono regular dado.

La misma construcción se puede realizar para cualquier polígono regular, por lo tanto, un círculo se puede inscribir en cualquier polígono regular.

Consecuencia. Un círculo circunscrito a un polígono regular e inscrito en él tiene un centro común.

Definiciones.

1. El centro de un polígono regular es el centro común de las circunferencias circunscritas a este polígono e inscritas en él.

2. La perpendicular que cae del centro de un polígono regular a su lado se llama apotema de un polígono regular.

Expresión de los lados de polígonos regulares en función del radio de la circunferencia circunscrita

A través de funciones trigonométricas uno puede expresar el lado de cualquier polígono regular en términos del radio del círculo circunscrito a él.

Sea AB el lado de la correcta norte-gon inscrito en una circunferencia de radio OA = R (Fig.).

Dibujemos un atema OD de un polígono regular y consideremos un triángulo rectángulo AOD. en este triangulo

∠AOD = 1 / 2 ∠AOB = 1 / 2 360° / norte= 180° / norte

AD = AO sen ∠AOD = R sen 180° / norte ;

pero AB = 2AD y por tanto AB = 2R sen 180° / norte .

Longitud lateral correcta norte-gon inscrito en un círculo generalmente se denota un, por lo que la fórmula resultante se puede escribir de la siguiente manera:

un= 2R sen 180° / norte .

Consecuencias:

1. Longitud del lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio R , se expresa mediante la fórmula un 6=R, como

un 6 = 2R sen 180° / 6 = 2R sen 30° = 2R 1 / 2 = R.

2. Longitud del lado de un cuadrilátero regular (cuadrado) inscrito en un círculo de radio R , se expresa mediante la fórmula un 4 = R√2 , como

un 4 = 2R sen 180° / 4 = 2R sen 45° = 2R √ 2 / 2 = R√2

3. Longitud del lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio R , se expresa mediante la fórmula un 3 = R√3 , como.

un 3 = 2R sen 180° / 3 = 2R sen 60° = 2R √ 3 / 2 = R√3

Área de un polígono regular

Que se dé la correcta norte-gon (arroz). Se requiere determinar su área. Denote el lado del polígono por un y el centro por O. Conectamos los segmentos del centro con los extremos de cualquier lado del polígono, obtenemos un triángulo en el que dibujamos la apotema del polígono.

el area de este triangulo es Ah / 2. Para determinar el área de todo el polígono, debe multiplicar el área de un triángulo por la cantidad de triángulos, es decir, por norte. Obtenemos: S = Ah / 2 norte = ahn / 2 pero un es igual al perímetro del polígono. Llamémoslo R.

Finalmente obtenemos: S = P h / 2. donde S es el área de un polígono regular, P es su perímetro, h- apotema.

El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto de su perímetro y apotema.

Su privacidad es importante para nosotros. Por esta razón, hemos desarrollado una Política de privacidad que describe cómo usamos y almacenamos su información. Lea nuestra política de privacidad y háganos saber si tiene alguna pregunta.

Recopilación y uso de información personal

La información personal se refiere a los datos que se pueden utilizar para identificar a una persona específica o contactarla.

Es posible que se le solicite que proporcione su información personal en cualquier momento cuando se comunique con nosotros.

Los siguientes son algunos ejemplos de los tipos de información personal que podemos recopilar y cómo podemos usar dicha información.

Qué información personal recopilamos:

• Cuando envía una solicitud en el sitio, podemos recopilar información variada incluyendo su nombre, número de teléfono, dirección Correo electrónico etc.

Cómo usamos tu información personal:

• Recogido por nosotros informacion personal nos permite ponernos en contacto contigo e informarte sobre ofertas únicas, promociones y otros eventos y próximos eventos.
• De vez en cuando, podemos usar su información personal para enviarle avisos y comunicaciones importantes.
• También podemos utilizar la información personal para fines internos, como realizar auditorías, análisis de datos y diversas investigaciones para mejorar los servicios que brindamos y brindarle recomendaciones sobre nuestros servicios.
• Si participa en un sorteo, concurso o incentivo similar, podemos utilizar la información que proporcione para administrar dichos programas.

Divulgación a terceros

No divulgamos la información que recibimos de usted a terceros.

Excepciones:

• Si es necesario, de conformidad con la ley, orden judicial, en procedimientos judiciales y / o en base a solicitudes públicas o solicitudes de agencias gubernamentales en el territorio de la Federación Rusa: divulgar su información personal. También podemos divulgar información sobre usted si determinamos que dicha divulgación es necesaria o apropiada para la seguridad, el cumplimiento de la ley u otros fines de interés público.
• En el caso de una reorganización, fusión o venta, podemos transferir la información personal que recopilamos al tercero sucesor correspondiente.

Protección de datos personales

Tomamos precauciones, incluidas las administrativas, técnicas y físicas, para proteger su información personal de pérdida, robo y uso indebido, así como del acceso, divulgación, alteración y destrucción no autorizados.

Mantener su privacidad a nivel de empresa

Para garantizar que su información personal esté segura, comunicamos las prácticas de privacidad y seguridad a nuestros empleados y hacemos cumplir estrictamente las prácticas de privacidad.

Triángulo, cuadrado, hexágono: estas figuras son conocidas por casi todos. Pero no todo el mundo sabe qué es un polígono regular. Pero todo esto es lo mismo Se llama polígono regular al que tiene ángulos y lados iguales. Hay muchas de estas figuras, pero todas tienen las mismas propiedades y se les aplican las mismas fórmulas.

Propiedades de los polígonos regulares

Cualquier polígono regular, ya sea un cuadrado o un octágono, se puede inscribir en un círculo. Esta propiedad básica se usa a menudo cuando se construye una figura. Además, un círculo también se puede inscribir en un polígono. En este caso, el número de puntos de contacto será igual al número de sus lados. Es importante que una circunferencia inscrita en un polígono regular tenga un centro común con ella. Estos figuras geometricas sujeto a los mismos teoremas. Cualquier lado de un n-ágono regular está asociado al radio R de la circunferencia circunscrita a su alrededor, por lo que se puede calcular con la siguiente fórmula: a = 2R ∙ sen180°. A través de usted puede encontrar no solo los lados, sino también el perímetro del polígono.

Cómo encontrar el número de lados de un polígono regular

Cualquiera consta de un cierto número de segmentos iguales entre sí, que, cuando se conectan, forman una línea cerrada. En este caso, todas las esquinas de la figura formada tienen mismo valor. Los polígonos se dividen en simples y complejos. El primer grupo incluye un triángulo y un cuadrado. Los polígonos complejos tienen más lados También incluyen figuras en forma de estrella. Para polígonos regulares complejos, los lados se encuentran inscribiéndolos en un círculo. Demos una prueba. Dibuja un polígono regular con un número arbitrario de lados n. Describe un círculo a su alrededor. Especifique el radio R. Ahora imagine que se da algún n-ágono. Si los puntos de sus ángulos se encuentran en un círculo y son iguales entre sí, entonces los lados se pueden encontrar mediante la fórmula: a = 2R ∙ sinα: 2.

Encontrar el número de lados de un triángulo rectángulo inscrito

Un triángulo equilátero es un polígono regular. Se le aplican las mismas fórmulas que al cuadrado y al n-ágono. Un triángulo se considerará correcto si tiene lados de la misma longitud. En este caso, los ángulos son 60⁰. Construya un triángulo con una longitud de lado dada a. Conociendo su mediana y su altura, puedes hallar el valor de sus lados. Para ello, utilizaremos el método de hallar mediante la fórmula a \u003d x: cosα, donde x es la mediana o altura. Como todos los lados del triángulo son iguales, obtenemos a = b = c. Entonces el siguiente enunciado es verdadero: a = b = c = x: cosα. De manera similar, puedes encontrar el valor de los lados en un triángulo isósceles, pero x será la altura dada. Al mismo tiempo, debe proyectarse estrictamente sobre la base de la figura. Entonces, conociendo la altura x, encontramos el lado a triángulo isósceles según la fórmula a \u003d b \u003d x: cosα. Después de encontrar el valor de a, puedes calcular la longitud de la base c. Apliquemos el teorema de Pitágoras. Buscaremos el valor de la mitad de la base c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Entonces c = 2xtanα. Me gusta esto de una forma fácil encontrar el número de lados de cualquier polígono inscrito.

Cálculo de los lados de un cuadrado inscrito en una circunferencia

Como cualquier otro polígono regular inscrito, un cuadrado tiene lados y ángulos iguales. Se le aplican las mismas fórmulas que al triángulo. Puedes calcular los lados de un cuadrado usando el valor de la diagonal. Consideremos este método con más detalle. Se sabe que la diagonal biseca al ángulo. Inicialmente, su valor era de 90 grados. Así, después de la división, se forman dos cuyos ángulos en la base serán iguales a 45 grados. En consecuencia, cada lado del cuadrado será igual, es decir: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, donde e es la diagonal del cuadrado, o la base de el triángulo rectángulo formado después de la división. No es la única forma encontrar los lados de un cuadrado. Inscribamos esta figura en un círculo. Conociendo el radio de este círculo R, encontramos el lado del cuadrado. Lo calcularemos de la siguiente manera a4 = R√2. Los radios de los polígonos regulares se calculan mediante la fórmula R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), donde a es la longitud del lado.

Cómo calcular el perímetro de un n-ágono

El perímetro de un n-ágono es la suma de todos sus lados. Es fácil calcularlo. Para hacer esto, necesita conocer los valores de todos los lados. Para algunos tipos de polígonos, existen fórmulas especiales. Te permiten encontrar el perímetro mucho más rápido. Se sabe que todo polígono regular tiene lados iguales. Por tanto, para calcular su perímetro basta con conocer al menos uno de ellos. La fórmula dependerá del número de lados de la figura. En general, se ve así: P \u003d an, donde a es el valor del lado y n es el número de ángulos. Por ejemplo, para hallar el perímetro de un octógono regular de 3 cm de lado, hay que multiplicarlo por 8, es decir, P = 3 ∙ 8 = 24 cm, para un hexágono de 5 cm de lado calculamos de la siguiente manera: P = 5 ∙ 6 = 30 cm Y así para cada polígono.

Encontrar el perímetro de un paralelogramo, cuadrado y rombo

Según cuantos lados tiene un polígono regular se calcula su perímetro. Esto hace que la tarea sea mucho más fácil. Efectivamente, a diferencia de otras figuras, en este caso no es necesario buscar todos sus lados, basta con uno. Por el mismo principio, encontramos el perímetro de los cuadriláteros, es decir, un cuadrado y un rombo. A pesar de que este diferentes figuras, la fórmula para ellos es uno P \u003d 4a, donde a es el lado. Tomemos un ejemplo. Si el lado de un rombo o cuadrado es de 6 cm, entonces encontramos el perímetro de la siguiente manera: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm Un paralelogramo tiene solo lados opuestos. Por lo tanto, su perímetro se encuentra usando un método diferente. Entonces, necesitamos saber la longitud a y el ancho b de la figura. Luego aplicamos la fórmula P \u003d (a + c) ∙ 2. Un paralelogramo, en el que todos los lados y ángulos entre ellos son iguales, se llama rombo.

Encontrar el perímetro de un triángulo equilátero y rectángulo

El perímetro del correcto se puede encontrar mediante la fórmula P \u003d 3a, donde a es la longitud del lado. Si se desconoce, se puede encontrar a través de la mediana. EN triángulo rectángulo solo dos lados son iguales. La base se puede encontrar a través del teorema de Pitágoras. Después de conocer los valores de los tres lados, calculamos el perímetro. Se puede encontrar aplicando la fórmula P \u003d a + b + c, donde a y b son lados iguales, y c es la base. Recuerde que en un triángulo isósceles a \u003d b \u003d a, por lo tanto, a + b \u003d 2a, luego P \u003d 2a + c. Por ejemplo, el lado de un triángulo isósceles mide 4 cm, encuentra su base y perímetro. Calculamos el valor de la hipotenusa según el teorema de Pitágoras c \u003d √a 2 + in 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 cm Ahora calculamos el perímetro P \u003d 2 ∙ 4 + 5,65 \ u003d 13,65 cm.

Cómo encontrar los ángulos de un polígono regular

polígono regular ocurre en nuestras vidas todos los días, por ejemplo, un cuadrado ordinario, un triángulo, un octágono. Parecería que no hay nada más fácil que construir esta figura usted mismo. Pero esto es solo a primera vista. Para construir cualquier n-ágono, necesitas saber el valor de sus ángulos. Pero cómo los encuentras? Incluso los científicos de la antigüedad intentaron construir polígonos regulares. Supusieron encajarlos en círculos. Y luego se marcaron los puntos necesarios, conectados por líneas rectas. Para figuras simples el problema de construcción ha sido resuelto. Se han obtenido fórmulas y teoremas. Por ejemplo, Euclides en su famoso trabajo "El comienzo" se comprometió a resolver problemas de 3, 4, 5, 6 y 15 gons. Encontró maneras de construirlos y encontrar ángulos. Veamos cómo hacer esto para un 15-gon. Primero, necesitas calcular la cantidad. esquinas internas. Es necesario utilizar la fórmula S = 180⁰(n-2). Entonces, tenemos un 15-gon, lo que significa que el número n es 15. Sustituimos los datos que conocemos en la fórmula y obtenemos S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Hemos encontrado la suma de todos los ángulos interiores de un 15-ágono. Ahora necesitamos obtener el valor de cada uno de ellos. Hay 15 ángulos en total, hacemos el cálculo de 2340⁰: 15 = 156⁰. Esto significa que cada ángulo interno es 156⁰, ahora usando una regla y un compás, puedes construir un 15-ágono regular. Pero, ¿qué pasa con los n-ágonos más complejos? Durante siglos, los científicos han luchado para resolver este problema. Solo fue encontrado en el siglo XVIII por Carl Friedrich Gauss. Pudo construir un 65537-gon. Desde entonces, el problema se ha considerado oficialmente resuelto por completo.

Cálculo de ángulos de n-gons en radianes

Por supuesto, hay varias formas de encontrar las esquinas de los polígonos. La mayoría de las veces se calculan en grados. Pero también puedes expresarlos en radianes. ¿Cómo hacerlo? Es necesario proceder de la siguiente manera. Primero, encontramos el número de lados de un polígono regular, luego le restamos 2. Entonces, obtenemos el valor: n - 2. Multiplique la diferencia encontrada por el número n ("pi" \u003d 3.14). Ahora solo queda dividir el producto resultante por el número de ángulos en el n-ágono. Considere estos cálculos usando el ejemplo de los mismos quince lados. Entonces, el número n es 15. Apliquemos la fórmula S = p(n - 2) : n = 3.14(15 - 2) : 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72. Por supuesto, esta no es la única forma de calcular un ángulo en radianes. Simplemente puede dividir el tamaño del ángulo en grados por el número 57,3. Después de todo, esa cantidad de grados equivale a un radián.

Cálculo del valor de los ángulos en grados

Además de grados y radianes, puedes intentar encontrar el valor de los ángulos de un polígono regular en grados. Esto se hace de la siguiente manera. Resta 2 del número total de ángulos, divide la diferencia resultante por el número de lados de un polígono regular. Multiplicamos el resultado encontrado por 200. Por cierto, prácticamente no se usa una unidad de medida de ángulos como grados.

Cálculo de esquinas exteriores de n-ágonos

Para cualquier polígono regular, además del interior, también puedes calcular el ángulo exterior. Su valor se encuentra de la misma manera que para otras figuras. Entonces, para encontrar la esquina exterior de un polígono regular, necesitas saber el valor de la interior. Además, sabemos que la suma de estos dos ángulos es siempre 180 grados. Por lo tanto, hacemos los cálculos de la siguiente manera: 180⁰ menos el valor del ángulo interno. Encontramos la diferencia. Será igual al valor del ángulo adyacente a él. Por ejemplo, la esquina interior de un cuadrado mide 90 grados, por lo que el ángulo exterior será 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Como vemos, no es difícil encontrarlo. El ángulo externo puede tomar un valor de +180⁰ a, respectivamente, -180⁰.

Un polígono se llama regular si todos sus lados y todos sus ángulos son iguales. Entre triángulos, un triángulo equilátero y solo él será correcto. Un cuadrado (y sólo un cuadrado) es un cuadrilátero regular. Demostremos que hay polígonos regulares con cualquier número de lados, donde . Para hacer esto, presentamos dos métodos para construir tales polígonos.

Método 1. Toma un círculo arbitrario y divídelo en partes iguales. Tal construcción no es de ninguna manera factible con una regla y un compás, pero supondremos aquí que tal construcción se ha hecho. Tomamos los puntos de división en su posición secuencial en el círculo como los vértices de un -gon inscrito en este círculo. Probemos que el -gon construido es regular. Efectivamente, los lados de nuestro polígono (Fig. 312) son cuerdas restadas por arcos iguales, y por lo tanto son iguales entre sí.

Todos los ángulos se basan en arcos iguales y, por lo tanto, también son iguales. Entonces el polígono es correcto.

Método 2. Nuevamente, divida el círculo en partes iguales y dibuje tangentes al círculo en los puntos de división; restringimos cada una de las tangentes por los puntos de su intersección con las tangentes dibujadas en los puntos de división adyacentes. Obtenemos un polígono regular circunscrito a un círculo (Fig. 313). En efecto, sus ángulos son todos iguales, ya que cada uno de ellos, como el ángulo entre tangentes, se mide por la semidiferencia de los arcos, de los cuales el menor es siempre igual a una parte del círculo, y el mayor es siempre igual al círculo completo menos la parte. La igualdad de los lados se puede ver al menos a partir de la igualdad de los triángulos formados por pares de semitangentes y cuerdas (por ejemplo, triángulos, etc.). Todos ellos son isósceles, tienen ángulos iguales en los vértices y bases iguales.

Dos -gons regulares con el mismo numero los lados son similares.

De hecho, sus lados ciertamente están en una relación constante, igual a la razón de cualquier par de lados. Además, por el teorema de la suma de los ángulos de un -ágono, todo -ágono regular tiene los mismos ángulos iguales a 1. Se cumplen las condiciones del criterio del ítem 224 y los -ágonos son similares.

Entonces, para todos los -gons regulares son similares. De esto obtenemos inmediatamente una serie de corolarios:

1. Dos -gons regulares con partes iguales son iguales.

2. Un círculo se puede circunscribir alrededor de cualquier -gon regular.

Prueba. Tómese cualquier polígono regular con el mismo número de lados que el dado, construido según el primer método, es decir, inscrito en un círculo. Transformémoslo de manera similar para que sea igual al dado. Luego, el círculo circunscrito alrededor de él se transforma de manera similar en un círculo circunscrito alrededor del polígono dado.

3. En todo polígono regular se puede inscribir un círculo.

La prueba es similar. Es útil, sin embargo, llevar a cabo el razonamiento algo diferente. Ya sabemos que un círculo se puede circunscribir alrededor de un polígono dado. Tomemos su centro. Los lados de un polígono sirven como sus cuerdas; siendo iguales entre sí, deben estar igualmente separados del centro. Por lo tanto, un círculo con el mismo centro y radio, igual a la distancia desde el centro hacia los lados del polígono, tocará todos los lados del polígono, es decir, será un círculo inscrito.

Entonces, las circunferencias inscritas y circunscritas de un polígono regular tienen un centro común. Se llama el centro del polígono regular dado. El radio de la circunferencia circunscrita se llama radio del polígono, el radio de la circunferencia inscrita se llama apotema. Está claro que la apotema siempre es menor que el radio.

MATERIAL REPETIDO

a es el lado del octágono,

R - radio del círculo circunscrito,

r es el radio de la circunferencia inscrita.

La suma de los ángulos interiores de un n-ágono regular

180(n-2).

Medida en grados del ángulo interno de un n-ágono

180(n-2) : norte.

Lado de la n correcta

Radio de una circunferencia inscrita en un polígono regular

El área de la n correcta

EJERCICIOS

1. a) La suma de los ángulos interiores de un hexágono es:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 540°.
b) La suma de los ángulos interiores de un octágono es:
1) 360°; 2) 180°; 3) 720°; 4) 1080°.
Decisión:
a) Según la fórmula, la suma de los ángulos del hexágono es: 180(6-2)=180*4=720 ° .
Respuesta: 720 ° .


2. a) El lado de un polígono regular mide 5 cm, el ángulo interno es 144°
a) El lado de un polígono regular mide 7 cm, el ángulo interno es 150° . Encuentra el perímetro del polígono.
Decisión:
a) 1) Encuentra el número de lados del polígono:
144=180(n - 2):n;
144n=180n-360;
36n=360;
n=10.
2) Encuentra el perímetro del decágono: P=5*10=50 cm.
Respuesta: 50 cm.


3. a) El perímetro de un pentágono regular es de 30 cm Halla el diámetro de la circunferencia circunscrita al pentágono.
b) El diámetro del círculo es de 10 cm Halla el perímetro del pentágono inscrito en él.
Decisión:
a) 1) Encuentra el lado del pentágono: 30:5=6 cm.
2) Encuentra el radio del círculo circunscrito:
a=2R*sin(180 ° :norte);
6=2R*sin(180 ° :5);
R=3:sen 36 ° \u003d 3: 0.588 \u003d 5.1 cm
Respuesta: 5,1 cm.


4. a) La suma de los ángulos interiores de un polígono regular es 2520°
b) La suma de los ángulos interiores de un polígono regular es 1800° . Encuentra el número de lados del polígono.
Decisión:
a) Encuentra el número de lados del polígono:
2520 ° = 180 ° (n-2);
2520 ° +360 ° =180 ° norte;
2880 ° =180 ° norte;
n=16.
Respuesta: 16 lados.


5. a) El radio de un círculo que circunscribe un dodecágono regular es de 5 cm Halla el área del polígono.
b) El radio de un círculo que circunscribe un octágono regular es de 6 cm. Halla el área del polígono.
Decisión:
a) Encuentra el área del dodecágono:
S=0.5* R 2 *n*sen(360° :n)=0.5*25*12*sen30° =75cm 2 .
Respuesta: 75cm 2 .


6. Encuentra el área del hexágono si se conoce el área de la parte sombreada:

El area del triangulo ABC es 0.5*AB*BC*sin120° y es igual por la condición 48.

7. a) Hallar el número de lados de un polígono regular si el ángulo exterior de su vértice es 18° .
b) Encuentra el número de lados de un polígono regular si el ángulo exterior de su vértice es 45° .
Decisión:
a) Importe esquinas exteriores polígono regular es 360 ° .
Encuentra el número de lados: 360 ° :18 ° =20.
Respuesta: 20 lados.


8. Calcula el área del anillo si la cuerda AB es igual a:
a) 8cm; b) 10 cm.

1) OB es el radio del círculo exterior, OH es el radio del círculo interior. El área del anillo se puede encontrar usando la fórmula: S del anillo = S del círculo exterior - S del círculo interior.

S= π*OB 2 -π*OH 2 = π (OB 2 -OH 2 ).

2) Considere el triángulo ABO - isósceles (OA \u003d OB como radios). OH es la altura y mediana en el triángulo ABO, por tanto, AN=HB=8:2= 4 cm.

3) Considere el triángulo ONV - rectangular: HB 2 =OB 2 -ES ÉL 2 , por lo tanto

VO 2 -ES ÉL 2 =16.

4) Encuentra el área del anillo:

S=π (OB 2 -OH 2 )=16 π cm 2 .

Responder:16 π cm 2 .

P=6*AB;

10. Demuestra que en un octágono regular el área de la parte sombreada es igual a:
a) un cuarto del área de un octágono; b) la mitad del area del octagono:

1) Dibujemos las bisectrices de los ángulos del octágono, se cortan en el punto O. El área del octágono es igual a la suma de las áreas de los ocho triángulos iguales resultantes, es decir S(ABCDEFKM)=8*S(OEF).

2) El cuadrilátero ABEF es un paralelogramo (AB//EF y AB=EF). Las diagonales de un paralelogramo son iguales: AE=BF (como los diámetros de un círculo circunscrito a un octágono), por lo tanto, ABEF es un rectángulo. Las diagonales de un rectángulo lo dividen en cuatro triángulos de igual área.

3) Encuentra el área del cuadrilátero AFKM:

S (ABEF) = 4* S (OEF).

2*S (AFKM)=S (ABCDEFKM) - S (ABEF) =8* S (OEF)-4* S (OEF)=4* S (OEF).

S(AFKM)=2* S(OEF).

4) Encuentra la razón del área del octágono al área de la parte sombreada:

S (ABCDEFKM) : S (AFKM) = 8* S (OEF) : (2*S(OEF))=4.

QED

1) AB=AC=2R. El ángulo BAC es recto, porque el área del sector BAC es igual a la cuarta parte del área del círculo .

2) Considere el cuadrilátero AO 2 mes 1 . es un rombo porque todos los lados son iguales al radio, y como Uno de sus ángulos es de 90°, entonces AO 2 mes 1 - cuadrado.

TAREAS PARA SOLUCIÓN INDEPENDIENTE

1. ¿Cuál es la suma de los ángulos externos del pentágono?

2. ¿Cuál es el área del octágono si el área del área sombreada es 20?