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Definición polígono regular puede depender de la definición de un polígono: si se define como una polilínea plana cerrada, entonces aparece la definición polígono estrella regular como no convexo un polígono en el que todos los lados son iguales y todos los ángulos son iguales.
Propiedades
Coordenadas
Permitir x C (\displaystyle x_(C)) y y C (\displaystyle y_(C)) son las coordenadas del centro y R (\ estilo de visualización R)- radio del círculo, ϕ 0 (\displaystyle (\phi )_(0))- la coordenada angular del primer vértice, luego las coordenadas cartesianas de los vértices de un n-ágono regular están determinadas por las fórmulas:
x yo = x C + R porque (ϕ 0 + 2 π yo norte) (\displaystyle x_(i)=x_(C)+R\cos \left((\phi )_(0)+(\frac (2\ pi i)(n))\derecha)) y yo = y C + R pecado (ϕ 0 + 2 π yo norte) (\displaystyle y_(i)=y_(C)+R\sin \left((\phi )_(0)+(\frac (2\ pi i)(n))\derecha))donde i = 0 … n − 1 (\displaystyle i=0\dots n-1)
Dimensiones
Permitir R (\ estilo de visualización R)- el radio del círculo circunscrito alrededor de un polígono regular, entonces el radio del círculo inscrito es igual a
r = R porque π norte (\displaystyle r=R\cos (\frac (\pi )(n))),y la longitud del lado del polígono es
a = 2 R pecado π norte = 2 r t gramo π norte (\displaystyle a=2R\sin (\frac (\pi )(n))=2r\mathop (\mathrm (tg) ) \,(\frac (\ clavo)))Cuadrado
norte (\ estilo de visualización n) y longitud del lado a (\ estilo de visualización a) es:
S = norte 4 a 2 ctg π norte (\displaystyle S=(\frac (n)(4))\ a^(2)\mahop (\mathrm () ) \,\operatorname (ctg) (\frac ( \clavo))).Área de un polígono regular con número de lados n (\ estilo de visualización n), inscrito en una circunferencia de radio R (\ estilo de visualización R), es:
S = norte 2 R 2 pecado 2 π norte (\displaystyle S=(\frac (n)(2))R^(2)\sin (\frac (2\pi )(n))).Área de un polígono regular con número de lados n (\ estilo de visualización n) circunscrito alrededor de un círculo de radio r (\ estilo de visualización r), es:
S = norte r 2 t gramo π norte (\displaystyle S=nr^(2)\mathop (\mathrm (tg) ) \,(\frac (\pi )(n)))(área base de n-gonal prisma recto)Área de un polígono regular con número de lados n (\ estilo de visualización n) es igual a
S = norte r un 2 (\displaystyle S=(\frac (nra)(2))),donde r (\ estilo de visualización r)- distancia desde la mitad del lado al centro, a (\ estilo de visualización a)- largo de lado.
El área de un polígono regular en términos del perímetro ( P (\ estilo de visualización P)) y el radio de la circunferencia inscrita ( r (\ estilo de visualización r)) es:
S = 1 2 PAGS r (\displaystyle S=(\frac (1)(2))Pr).Perímetro
Si necesitas calcular la longitud del lado de un n-ágono regular inscrito en un círculo, conociendo la circunferencia del círculo L (\ estilo de visualización L) puedes calcular la longitud de un lado del polígono:
un norte (\displaystyle a_(n)) es la longitud del lado de un n-ágono regular. un norte = pecado 180 norte ⋅ L π (\displaystyle a_(n)=\sin (\frac (180)(n))\cdot (\frac (L)(\pi )))Perímetro PAGS norte (\displaystyle P_(n)) es igual
PAGS norte = un norte ⋅ norte (\displaystyle P_(n)=a_(n)\cdot n)donde n (\ estilo de visualización n) es el número de lados del polígono.
Solicitud
Los polígonos regulares son, por definición, las caras de los poliedros regulares.
Los antiguos matemáticos griegos (Antiphon, Bryson of Heracles, Archimedes, etc.) usaban polígonos regulares para calcular un número. Calcularon las áreas de los polígonos inscritos en un círculo y circunscritos alrededor de él, aumentando gradualmente el número de sus lados y obteniendo así una estimación del área del círculo.
Historia
Construcción de un polígono regular con norte Los lados siguieron siendo un problema para los matemáticos hasta bien entrado el siglo XIX. Tal construcción es idéntica a la división del círculo en norte partes iguales, ya que al unir los puntos dividiendo el círculo en partes, se puede obtener el polígono deseado.
Desde entonces, el problema se ha considerado completamente resuelto.
Un polígono se llama regular si todos sus lados y todos sus ángulos son iguales. Entre triángulos, un triángulo equilátero y solo él será correcto. Un cuadrado (y sólo un cuadrado) es un cuadrilátero regular. Demostremos que hay polígonos regulares con cualquier número de lados, donde . Para hacer esto, presentamos dos métodos para construir tales polígonos.
Método 1. Toma un círculo arbitrario y divídelo en partes iguales. Tal construcción no es de ninguna manera factible con una regla y un compás, pero supondremos aquí que tal construcción se ha hecho. Tomamos los puntos de división en su posición secuencial en el círculo como los vértices de un -gon inscrito en este círculo. Probemos que el -gon construido es regular. Efectivamente, los lados de nuestro polígono (Fig. 312) son cuerdas restadas por arcos iguales, y por lo tanto son iguales entre sí.
Todos los ángulos se basan en arcos iguales y, por lo tanto, también son iguales. Entonces el polígono es correcto.
Método 2. Nuevamente, divida el círculo en partes iguales y dibuje tangentes al círculo en los puntos de división; restringimos cada una de las tangentes por los puntos de su intersección con las tangentes dibujadas en los puntos de división adyacentes. Obtenemos un polígono regular circunscrito a un círculo (Fig. 313). En efecto, sus ángulos son todos iguales, ya que cada uno de ellos, como el ángulo entre tangentes, se mide por la semidiferencia de los arcos, de los cuales el menor es siempre igual a una parte del círculo, y el mayor es siempre igual al círculo completo menos la parte. La igualdad de los lados se puede ver al menos a partir de la igualdad de los triángulos formados por pares de semitangentes y cuerdas (por ejemplo, triángulos, etc.). Todos ellos son isósceles, tienen ángulos iguales en los vértices y bases iguales.
Dos -gons regulares con el mismo numero los lados son similares.
De hecho, sus lados ciertamente están en una relación constante, igual a la razón de cualquier par de lados. Además, por el teorema de la suma de los ángulos de un -ágono, todo -ágono regular tiene los mismos ángulos iguales a 1. Se cumplen las condiciones del criterio del ítem 224 y los -ágonos son similares.
Entonces, para todos los -gons regulares son similares. De esto obtenemos inmediatamente una serie de corolarios:
1. Dos -gons regulares con lados iguales son iguales.
2. Un círculo se puede circunscribir alrededor de cualquier -gon regular.
Prueba. Tómese cualquier polígono regular con el mismo número de lados que el dado, construido según el primer método, es decir, inscrito en un círculo. Transformémoslo de manera similar para que sea igual al dado. Luego, el círculo circunscrito alrededor de él se transforma de manera similar en un círculo circunscrito alrededor del polígono dado.
3. En todo polígono regular se puede inscribir un círculo.
La prueba es similar. Es útil, sin embargo, llevar a cabo el razonamiento algo diferente. Ya sabemos que un círculo se puede circunscribir alrededor de un polígono dado. Tomemos su centro. Los lados de un polígono sirven como sus cuerdas; siendo iguales entre sí, deben estar igualmente separados del centro. Por lo tanto, un círculo con el mismo centro y radio, igual a la distancia desde el centro hacia los lados del polígono, tocará todos los lados del polígono, es decir, será un círculo inscrito.
Entonces, las circunferencias inscritas y circunscritas de un polígono regular tienen un centro común. Se llama el centro del polígono regular dado. El radio de la circunferencia circunscrita se llama radio del polígono, el radio de la circunferencia inscrita se llama apotema. Está claro que la apotema siempre es menor que el radio.
polígonos regulares
En el libro de texto "Geometría 7-11" de A.V. Pogorelov (18), el tema "Polígonos regulares" se estudia en el § 13 "Polígonos" en la página 115.
La definición de un "polígono regular" se considera al comienzo del párrafo: "Un polígono convexo se llama regular si todos sus lados son iguales y todos sus ángulos son iguales". Luego se dan las definiciones de polígonos "inscritos" y "circunscritos" y se considera el teorema: "Un polígono regular convexo está inscrito en un círculo y circunscrito alrededor de un círculo".
En el libro de texto "Geometría 7-9" de L.S. Atanasyan (4), el tema "Polígonos regulares" se considera en el párrafo 105 § 1 "Polígonos regulares" del Capítulo 12.
La definición de un "polígono regular" se da al principio del párrafo:
"Un polígono regular es un polígono convexo en el que todos los ángulos son iguales y todos los lados son iguales". Luego se deriva una fórmula para calcular el ángulo b n de un n-ágono regular:
En el libro de texto "Geometría 7-9" de I.M. Smirnova, V.A. Smirnov, el "polígono regular" se estudia en el párrafo 6 "Polígonos y polígonos".
Al comienzo del párrafo, se introduce la definición de “línea quebrada”: “Una figura formada por segmentos ubicados de manera que el final del primero es el inicio del segundo, el final del segundo es el inicio del tercero, etc., se llama línea quebrada o simplemente línea quebrada”.
Luego se dan las definiciones de un polígono simple, cerrado y: "Una línea poligonal se llama simple si no tiene puntos de auto-intersección". “Si el comienzo del primer segmento de la polilínea coincide con el final del último, entonces la polilínea se llama cerrada”. "La figura formada por una simple línea quebrada cerrada y una parte del plano delimitada por ella se llama polígono".
Después de eso, se considera la definición de un "polígono regular": "Un polígono se llama regular si todos sus lados y todos sus ángulos son iguales".
Considere la metodología para estudiar el tema "Polígonos regulares" utilizando el ejemplo del libro de texto de geometría de A.V. Pogorelov.
Al comienzo del párrafo, se introduce la definición de un “polígono regular”: “Un polígono convexo se llama regular si todos sus lados son iguales y todos sus ángulos son iguales”, luego las definiciones de polígonos “inscritos” y “circunscritos” se introducen: “Se dice que un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices están sobre alguna circunferencia”; "Se dice que un polígono está inscrito en un círculo si todos sus lados son tangentes a algún círculo".
Antes de estudiar el Teorema 13.3, con el fin de preparar a la clase para la demostración, puede hacer preguntas a los estudiantes para repetir:
¿Qué recta se llama tangente a la circunferencia?
¿Cuál es la relación entre la línea y el círculo? Hay una discusión en la clase, que consta de dos partes: primero
estamos hablando de un círculo circunscrito a un polígono, y luego de un círculo inscrito en un polígono.
Las respuestas de los estudiantes van acompañadas de una visualización secuencial de una serie de dibujos.
¿Qué triángulo se llama inscrito en un círculo o qué círculo se llama circunscrito cerca de un triángulo (Fig. 1)?
¿Es posible circunscribir un círculo alrededor de un triángulo arbitrario?
¿Cómo encontrar el centro de un círculo circunscrito a un triángulo? (Fig.2) ¿Cuál es el radio? (Fig. 3)
¿Siempre es posible describir un círculo alrededor de un polígono? (No. Ejemplo: rombo si no es cuadrado. Fig.4)
¿Es posible describir un círculo alrededor de un polígono regular? (Fig.5)
Se formula la primera parte del teorema 13.3. Se supone que un círculo se puede circunscribir alrededor de un polígono regular. Vale la pena señalar que este hecho se demostrará más adelante.
Se está trabajando de manera similar sobre la posibilidad de inscribir un círculo en un polígono. La clase tiene las mismas 5 preguntas sobre un círculo inscrito en un polígono. A su vez, por analogía con la primera parte de la conversación, se utiliza una serie de dibujos similares a los anteriores.
El docente llama la atención de los alumnos sobre la posibilidad de inscribir un círculo en un polígono regular. Se formula y demuestra el teorema 13.3: "Un polígono regular convexo está inscrito en un círculo y circunscrito alrededor de un círculo".
La demostración del teorema se realiza de acuerdo con el libro de texto. Es útil enfatizar que los centros de los círculos inscritos y circunscritos en un polígono regular coinciden y Punto dado llamado centro del polígono.
Después de probar el teorema, se proponen las siguientes tareas:
1. El lado de un triángulo regular inscrito en un círculo es igual a a. Encuentra el lado del cuadrado inscrito en este círculo.
Dado: Círculo (0;R),
DAVS - correcto, inscrito,
CMRE - cuadrado inscrito.
DAVS - correcto, inscrito: R = KMPE - cuadrado inscrito en un círculo (0;R).
Sea x \u003d KM - lado del cuadrado, luego
Respuesta: KM = .
2. Un triángulo regular está inscrito en una circunferencia de 4 dm de radio, en cuyo lado se construye un cuadrado. Encuentra el radio del círculo que circunscribe el cuadrado.
Dado: circulo (0;R),
DAVS - correcto, inscrito,
Okr. 1 (O;R 1),
ABDE - cuadrado inscrito en Okr. uno
Encuentre: R 1 .
1. DAVS - correcto, inscrito:
ABDE - cuadrado inscrito en Okr. uno:
Respuesta: dm.
3. El lado de un polígono regular es a, y el radio del círculo circunscrito es R. Encuentra el radio del círculo inscrito. Dado: Env.(0;R),
A 1 A 2 ...A n - correcto, inscrito,
A 1 A 2 = a , radio=R,
OS es el radio de la circunferencia inscrita.
OS 2 = OB 2 - BC 2
Respuesta: SO=.
4. El lado de un polígono regular es igual a, y el radio del círculo inscrito es r. Encuentra el radio del círculo circunscrito.
Dado: circunferencia(0;r),
A 1 A 2 ...A n - correcto, descrito,
A 1 A 2 \u003d a, radio \u003d r,
Círculo (0;R).
Decisión. OB es el radio del círculo circunscrito.
DOSV - rectangular (ZC = 90°)
OB 2 \u003d SO 2 + SW 2
Respuesta: R = .
Entonces a los estudiantes se les puede dar un sistema de tareas:
1. En un hexágono regular A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6, el lado es 8. El segmento BC conecta los puntos medios de los lados A 3 A 4 y A 5 A b. Encuentra la longitud del segmento que conecta el punto medio del lado A 1 A 2 con el punto medio del segmento BC.
2. El lado de un hexágono regular ABCDEF es 32. Halla el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo MRK si M, P y K son los puntos medios de los lados AB, CD. EF respectivamente.
Expresar el lado b de un polígono regular circunscrito en términos del radio R del círculo y el lado a de un polígono regular inscrito con el mismo número de lados.
Los perímetros de dos n-ágonos regulares están relacionados como a:b. ¿Cómo se relacionan los radios de sus círculos inscritos y circunscritos?
¿Cuántos lados tiene un polígono regular, cada uno de cuyos ángulos internos es igual a: 1) 135; 2) 150?
Teorema 1. Un círculo puede circunscribirse a cualquier polígono regular.
Sea ABCDEF (Fig. 419) un polígono regular; es necesario probar que alrededor de él se puede circunscribir un círculo.
Sabemos que siempre es posible dibujar un círculo a través de tres puntos que no se encuentran en la misma línea; por tanto, siempre es posible dibujar un círculo que pase por tres vértices cualesquiera de un polígono regular, por ejemplo, por los vértices E, D y C. Sea el punto O el centro de este círculo.
Probemos que esta circunferencia también pasará por el cuarto vértice del polígono, por ejemplo, por el vértice B.
Los segmentos OE, OD y OS son iguales entre sí, y cada uno es igual al radio del círculo. Dibujemos otro segmento del OB; es imposible decir inmediatamente sobre este segmento que también es igual al radio del círculo, esto debe probarse. Considere los triángulos OED y ODC, son isósceles e iguales, por lo tanto, ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4.
si un Esquina interior el polígono dado es α , entonces ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = α / 2 ; pero si ∠4= α / 2 , entonces ∠5 = α / 2 , es decir ∠4 = ∠5.
De esto concluimos que (Delta)OSD = (Delta)OSV y, por lo tanto, OB = OS, es decir, el segmento OB es igual al radio del círculo dibujado. De aquí se sigue que la circunferencia también pasará por el vértice B del polígono regular.
De la misma forma probaremos que la circunferencia construida pasará por todos los demás vértices del polígono. Esto significa que este círculo estará circunscrito al polígono regular dado. El teorema ha sido probado.
Teorema 2. Un círculo se puede inscribir en cualquier polígono regular.
Sea ABCDEF un polígono regular (Fig. 420), debemos probar que en él se puede inscribir un círculo.
Se sabe por el teorema anterior que un círculo puede circunscribirse cerca de un polígono regular. Sea el punto O el centro de este círculo.
Conecta el punto O a los vértices del polígono. Los triángulos resultantes OED, ODC, etc. son iguales entre sí, lo que significa que sus alturas dibujadas desde el punto O también son iguales, es decir, OK = OL = OM = ON = OP = OQ.
Por tanto, una circunferencia circunscrita del punto O a partir del centro con un radio igual al segmento OK pasará por los puntos K, L, M, N, P y Q, y las alturas de los triángulos serán los radios de los círculo. Los lados del polígono son perpendiculares a los radios en esos puntos, por lo que son tangentes a ese círculo. Y esto significa que el círculo construido está inscrito en el polígono regular dado.
La misma construcción se puede realizar para cualquier polígono regular, por lo tanto, un círculo se puede inscribir en cualquier polígono regular.
Consecuencia. Un círculo circunscrito a un polígono regular e inscrito en él tiene un centro común.
Definiciones.
1. El centro de un polígono regular es el centro común de las circunferencias circunscritas a este polígono e inscritas en él.
2. La perpendicular que cae del centro de un polígono regular a su lado se llama apotema de un polígono regular.
Expresión de los lados de polígonos regulares en función del radio de la circunferencia circunscrita
A través de funciones trigonométricas uno puede expresar el lado de cualquier polígono regular en términos del radio del círculo circunscrito a él.
Sea AB el lado de la correcta norte-gon inscrito en una circunferencia de radio OA = R (Fig.).
Hagamos una apotemización del OD de un polígono regular y consideremos triángulo rectángulo AOD. en este triangulo
∠AOD = 1 / 2 ∠AOB = 1 / 2 360° / norte= 180° / norte
AD = AO sen ∠AOD = R sen 180° / norte ;
pero AB = 2AD y por tanto AB = 2R sen 180° / norte .
Longitud lateral correcta norte-gon inscrito en un círculo generalmente se denota un, por lo que la fórmula resultante se puede escribir de la siguiente manera:
un= 2R sen 180° / norte .
Consecuencias:
1. Longitud del lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio R , se expresa mediante la fórmula un 6=R, como
un 6 = 2R sen 180° / 6 = 2R sen 30° = 2R 1 / 2 = R.
2. Longitud del lado de un cuadrilátero regular (cuadrado) inscrito en un círculo de radio R , se expresa mediante la fórmula un 4 = R√2 , como
un 4 = 2R sen 180° / 4 = 2R sen 45° = 2R √ 2 / 2 = R√2
3. Longitud del lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio R , se expresa mediante la fórmula un 3 = R√3 , como.
un 3 = 2R sen 180° / 3 = 2R sen 60° = 2R √ 3 / 2 = R√3
Área de un polígono regular
Que se dé la correcta norte-gon (arroz). Se requiere determinar su área. Denote el lado del polígono por un y el centro por O. Conectamos los segmentos del centro con los extremos de cualquier lado del polígono, obtenemos un triángulo en el que dibujamos la apotema del polígono.
el area de este triangulo es Ah / 2. Para determinar el área de todo el polígono, debe multiplicar el área de un triángulo por la cantidad de triángulos, es decir, por norte. Obtenemos: S = Ah / 2 norte = ahn / 2 pero un es igual al perímetro del polígono. Llamémoslo R.
Finalmente obtenemos: S = P h / 2. donde S es el área de un polígono regular, P es su perímetro, h- apotema.
El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto de su perímetro y apotema.
Otros materiales
