Se dan dos puntos M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2). Escribimos la ecuación de una línea recta en la forma (5), donde k coeficiente aún desconocido:
Desde el punto M 2 pertenece a una línea dada, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación (5): 
. Expresando a partir de aquí y sustituyéndolo en la ecuación (5), obtenemos la ecuación deseada:
si un 
Esta ecuación se puede reescribir en una forma que sea más fácil de recordar:
(6)
Ejemplo. Escribe la ecuación de una recta que pasa por los puntos M 1 (1.2) y M 2 (-2.3)
Solución. 
. Haciendo uso de la propiedad de la proporción, y realizando las transformaciones necesarias, obtenemos la ecuación general de una recta:
Ángulo entre dos rectas
Considere dos líneas el 1 y el 2:
el 1: , , y
el 2: , ,
φ es el ángulo entre ellos (). La Figura 4 muestra: .
 |
De aquí 
, o
Usando la fórmula (7), se puede determinar uno de los ángulos entre las líneas. El segundo ángulo es .
Ejemplo. Dos líneas rectas están dadas por las ecuaciones y=2x+3 y y=-3x+2. encontrar el ángulo entre estas líneas.
Solución. A partir de las ecuaciones se puede ver que k 1 \u003d 2 y k 2 \u003d-3. sustituyendo estos valores en la fórmula (7), encontramos
. Entonces el ángulo entre estas líneas es .
Condiciones de paralelismo y perpendicularidad de dos rectas
si recto el 1 y el 2 son paralelos, entonces φ=0 y tgφ=0. de la fórmula (7) se sigue que , de donde k 2 \u003d k 1. Así, la condición para el paralelismo de dos rectas es la igualdad de sus pendientes.
si recto el 1 y el 2 perpendiculares, entonces φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . 
. Así, la condición para que dos rectas sean perpendiculares es que sus pendientes sean recíprocas en magnitud y de signo opuesto.
Distancia de punto a línea
Teorema. Si se da un punto M(x 0, y 0), entonces la distancia a la línea Ax + Vy + C \u003d 0 se define como
Prueba. Sea el punto M 1 (x 1, y 1) la base de la perpendicular trazada desde el punto M hasta la recta dada. Entonces la distancia entre los puntos M y M 1:
Las coordenadas x 1 e y 1 se pueden encontrar como una solución al sistema de ecuaciones:
La segunda ecuación del sistema es la ecuación de una línea recta que pasa por Punto dado M 0 es perpendicular a una línea dada.
Si transformamos la primera ecuación del sistema a la forma:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,
entonces, resolviendo, obtenemos:
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), encontramos:
El teorema ha sido probado.
Ejemplo. Determine el ángulo entre las líneas: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k 1 \u003d -3; k2 = 2tgj= ; j = p/4.
Ejemplo. Demuestre que las rectas 3x - 5y + 7 = 0 y 10x + 6y - 3 = 0 son perpendiculares.
Encontramos: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, por lo tanto, las líneas son perpendiculares.
Ejemplo. Se dan los vértices del triángulo A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Encuentra la ecuación para la altura dibujada desde el vértice C.
Encontramos la ecuación del lado AB: ; 4x = 6y - 6;
2x - 3y + 3 = 0;
La ecuación de la altura deseada es: Ax + By + C = 0 o y = kx + b.
k= . Entonces y = . Porque la altura pasa por el punto C, luego sus coordenadas satisfacen esta ecuación: de donde b \u003d 17. Total: .
Respuesta: 3x + 2y - 34 = 0.
La distancia de un punto a una línea está determinada por la longitud de la perpendicular caída desde el punto a la línea.
Si la recta es paralela al plano de proyección (h | | P 1), entonces para determinar la distancia desde el punto PERO a derecho h es necesario dejar caer una perpendicular desde el punto PERO a la horizontal h.
Considere más ejemplo complejo cuando la línea ocupa posición general. Sea necesario determinar la distancia desde el punto METRO a derecho a posición general
Tarea de definición distancias entre lineas paralelas resuelto de forma similar al anterior. Se toma un punto en una línea y se traza una perpendicular desde él a otra línea. La longitud de la perpendicular es igual a la distancia entre las líneas paralelas.
Curva de segundo orden es una línea definida por una ecuación de segundo grado con respecto a las coordenadas cartesianas actuales. En el caso general, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,
donde A, B, C, D, E, F son números reales y al menos uno de los números A 2 + B 2 + C 2 ≠0.
Circulo
Centro del círculo- este es el lugar geométrico de los puntos en el plano equidistantes del punto del plano C (a, b).
El círculo está dado por la siguiente ecuación:
Donde x, y son las coordenadas de un punto arbitrario en el círculo, R es el radio del círculo.
Signo de la ecuación del círculo.
1. No hay término con x, y
2. Los coeficientes en x 2 y y 2 son iguales
Elipse
Elipse se llama el lugar geométrico de los puntos en un plano, la suma de las distancias de cada uno de los cuales desde dos puntos dados de este plano se llama focos (valor constante).
Ecuación canónica de una elipse:
X e y pertenecen a una elipse.
a es el semieje mayor de la elipse
b es el semieje menor de la elipse
La elipse tiene 2 ejes de simetría OX y OY. Los ejes de simetría de la elipse son sus ejes, el punto de su intersección es el centro de la elipse. El eje sobre el que se ubican los focos se llama eje focal. El punto de intersección de la elipse con los ejes es el vértice de la elipse.
Relación de compresión (estiramiento): ε = c/a- excentricidad (caracteriza la forma de la elipse), cuanto menor es, menos se extiende la elipse a lo largo del eje focal.
Si los centros de la elipse no están en el centro С(α, β)
Hipérbola
Hipérbole Llamado lugar geométrico de los puntos en un plano, el valor absoluto de la diferencia de distancias, cada una de las cuales desde dos puntos dados de este plano, llamados focos, es un valor constante distinto de cero.
Ecuación canónica de una hipérbola
Una hipérbola tiene 2 ejes de simetría:
a - semieje real de simetría
b - semieje imaginario de simetría
Asíntotas de una hipérbola:
Parábola
parábola es el lugar geométrico de los puntos en un plano que equidistan de un punto F, llamado foco, y de una línea dada, llamada directriz.
Ecuación de parábola canónica:
Y 2 \u003d 2px, donde p es la distancia desde el foco hasta la directriz (parámetro de parábola)
Si el vértice de la parábola es C (α, β), entonces la ecuación de la parábola (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)
Si el eje focal se toma como el eje y, entonces la ecuación de la parábola tomará la forma: x 2 \u003d 2qy
Este artículo revela la derivación de la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados en un sistema de coordenadas rectangulares ubicado en un plano. Derivamos la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos dados en un sistema de coordenadas rectangulares. Mostraremos y resolveremos visualmente varios ejemplos relacionados con el material tratado.
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Antes de obtener la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados, es necesario prestar atención a algunos hechos. Hay un axioma que dice que por dos puntos no coincidentes de un plano se puede trazar una recta y sólo una. En otras palabras, dos puntos dados del plano están determinados por una línea recta que pasa por estos puntos.
Si el plano está dado por el sistema de coordenadas rectangulares Oxy, cualquier línea recta representada en él corresponderá a la ecuación de la línea recta en el plano. También existe una conexión con el vector director de la recta Estos datos son suficientes para trazar la ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados.
Considere un ejemplo de cómo resolver un problema similar. Es necesario componer la ecuación de una línea recta a que pasa por dos puntos no coincidentes M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2) ubicados en el sistema de coordenadas cartesianas.
En la ecuación canónica de una línea recta en un plano, que tiene la forma x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , se especifica un sistema de coordenadas rectangular O x y con una línea recta que se cruza con él en un punto con coordenadas M 1 (x 1, y 1) con un vector guía a → = (a x , a y) .
Es necesario componer la ecuación canónica de la recta a, que pasará por dos puntos de coordenadas M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2) .
La recta a tiene un vector director M 1 M 2 → con coordenadas (x 2 - x 1, y 2 - y 1), ya que corta los puntos M 1 y M 2. Hemos obtenido los datos necesarios para transformar la ecuación canónica con las coordenadas del vector director M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) y las coordenadas de los puntos M 1 que se encuentran sobre ellos (x 1, y 1) y M 2 (x 2 , y 2) . Obtenemos una ecuación de la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 o x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .
Considere la siguiente figura.
Siguiendo los cálculos, escribimos las ecuaciones paramétricas de una línea recta en un plano que pasa por dos puntos con coordenadas M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2) . Obtenemos una ecuación de la forma x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ o x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.
Echemos un vistazo más de cerca a algunos ejemplos.
Ejemplo 1
Escribe la ecuación de una recta que pasa por 2 puntos dados de coordenadas M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .
Solución
ecuación canónica para una línea recta que se corta en dos puntos con coordenadas x 1 , y 1 y x 2 , y 2 toma la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Según la condición del problema, tenemos que x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Es necesario sustituir valores numéricos en la ecuación x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . De aquí obtenemos que la ecuación canónica tomará la forma x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .
Respuesta: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .
Si es necesario resolver un problema con un tipo diferente de ecuación, entonces, para empezar, puede ir a la canónica, ya que es más fácil llegar a cualquier otra.
Ejemplo 2
Componga la ecuación general de una línea recta que pasa por puntos con coordenadas M 1 (1, 1) y M 2 (4, 2) en el sistema de coordenadas O x y.
Solución
Primero necesitas escribir la ecuación canónica de una línea dada que pasa por los dos puntos dados. Obtenemos una ecuación de la forma x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .
Llevamos la ecuación canónica a la forma deseada, luego obtenemos:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Responder: x - 3 y + 2 = 0 .
Se consideraron ejemplos de tales tareas en los libros de texto escolares en las lecciones de álgebra. Las tareas escolares diferían en que se conocía la ecuación de una línea recta con un coeficiente de pendiente, que tenía la forma y \u003d k x + b. Si necesita encontrar el valor de la pendiente k y el número b, en el que la ecuación y \u003d k x + b define una línea en el sistema O x y que pasa por los puntos M 1 (x 1, y 1) y M 2 (x 2, y 2) , donde x 1 ≠ x 2 . Cuando x 1 = x 2 , entonces la pendiente toma el valor de infinito, y la recta M 1 M 2 está definida por una ecuación general incompleta de la forma x - x 1 = 0 .
porque los puntos METRO 1 y M 2 están en línea recta, entonces sus coordenadas satisfacen la ecuación y 1 = k x 1 + b y y 2 = k x 2 + b. Es necesario resolver el sistema de ecuaciones y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b con respecto a k y b.
Para hacer esto, encontramos k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 o k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 segundo \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
Con tales valores de k y b, la ecuación de una línea recta que pasa por los dos puntos dados toma siguiente vista y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 o y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
Memorizar una cantidad tan grande de fórmulas a la vez no funcionará. Para ello, es necesario aumentar el número de repeticiones en la resolución de problemas.
Ejemplo 3
Escribe la ecuación de una recta con pendiente que pasa por puntos de coordenadas M 2 (2, 1) y y = k x + b.
Solución
Para resolver el problema, usamos una fórmula con una pendiente que tiene la forma y \u003d k x + b. Los coeficientes kyb deben tomar un valor tal que esta ecuación corresponda a una recta que pasa por dos puntos de coordenadas M 1 (- 7 , - 5) y M 2 (2 , 1) .
puntos METRO 1 y M 2 ubicado en una línea recta, entonces sus coordenadas deben invertir la ecuación y = k x + b la igualdad correcta. De aquí obtenemos que - 5 = k · (- 7) + b y 1 = k · 2 + b. Combinemos la ecuación en el sistema - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b y resolvamos.
Al sustituir, obtenemos que
5 = k - 7 + segundo 1 = k 2 + segundo ⇔ segundo = - 5 + 7 k 2 k + segundo = 1 ⇔ segundo = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ segundo = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ segundo = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ segundo = - 1 3 k = 2 3
Ahora los valores k = 2 3 y b = - 1 3 se sustituyen en la ecuación y = k x + b . Obtenemos que la ecuación deseada que pasa por los puntos dados será una ecuación que tiene la forma y = 2 3 x - 1 3 .
Esta forma de resolver predetermina el gasto un número grande tiempo. Hay una manera en la que la tarea se resuelve literalmente en dos pasos.
Escribimos la ecuación canónica de una recta que pasa por M 2 (2, 1) y M 1 (- 7, - 5) , de la forma x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
Ahora pasemos a la ecuación de la pendiente. Obtenemos que: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .
Respuesta: y = 2 3 x - 1 3 .
Si en el espacio tridimensional hay un sistema de coordenadas rectangulares O x y z con dos puntos dados no coincidentes con coordenadas M 1 (x 1, y 1, z 1) y M 2 (x 2, y 2, z 2), el recta M que los atraviesa 1 M 2 , es necesario obtener la ecuación de esta recta.
Tenemos que ecuaciones canónicas de la forma x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z y ecuaciones paramétricas de la forma x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ son capaces de establecer una línea en el sistema de coordenadas O x y z que pasa por puntos que tienen coordenadas (x 1, y 1, z 1) con un vector director a → = (ax, a y, a z) .
Recto M 1 M 2 tiene un vector director de la forma M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , donde la recta pasa por el punto M 1 (x 1 , y 1 , z 1) y M 2 (x 2, y 2, z 2), por lo que la ecuación canónica puede tener la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 o x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, a su vez, paramétrico x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ o x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.
Considere una figura que muestra 2 puntos dados en el espacio y la ecuación de una línea recta.
Ejemplo 4
Escriba la ecuación de una recta definida en un sistema de coordenadas rectangulares O x y z del espacio tridimensional, que pase por los dos puntos dados de coordenadas M 1 (2, - 3, 0) y M 2 (1, - 3, - 5 ) .
Solución
Necesitamos encontrar la ecuación canónica. Como estamos hablando del espacio tridimensional, significa que cuando una línea recta pasa por puntos dados, la ecuación canónica deseada tomará la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .
Por condición tenemos que x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. De ello se deduce que las ecuaciones necesarias se pueden escribir de la siguiente manera:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Respuesta: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
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Se dan dos puntos METRO(X 1 ,A 1) y norte(X 2,y 2). Encontremos la ecuación de la recta que pasa por estos puntos.
Como esta recta pasa por el punto METRO, entonces de acuerdo con la fórmula (1.13) su ecuación tiene la forma
A – Y 1 = k(x-x 1),
Dónde k es la pendiente desconocida.
El valor de este coeficiente se determina a partir de la condición de que la recta deseada pase por el punto norte, lo que significa que sus coordenadas satisfacen la ecuación (1.13)
Y 2 – Y 1 = k(X 2 – X 1),
A partir de aquí se puede encontrar la pendiente de esta línea:
,
O después de la conversión
(1.14)
La fórmula (1.14) define Ecuación de una recta que pasa por dos puntos METRO(X 1, Y 1) y norte(X 2, Y 2).
En el caso particular de que los puntos METRO(A, 0), norte(0, B), PERO ¹ 0, B¹ 0, se encuentran en los ejes de coordenadas, la ecuación (1.14) toma una forma más simple
Ecuación (1.15) llamó Ecuación de una recta en segmentos, aquí PERO y B denote segmentos cortados por una línea recta en los ejes (Figura 1.6).
Figura 1.6
Ejemplo 1.10. Escribe la ecuación de una recta que pasa por los puntos METRO(1, 2) y B(3, –1).
. De acuerdo con (1.14), la ecuación de la recta deseada tiene la forma
2(Y – 2) = -3(X – 1).
Pasando todos los términos al lado izquierdo, finalmente obtenemos la ecuación deseada
3X + 2Y – 7 = 0.
Ejemplo 1.11. Escribe una ecuación para una recta que pasa por un punto METRO(2, 1) y el punto de intersección de las rectas X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.
. Encontramos las coordenadas del punto de intersección de las líneas resolviendo estas ecuaciones juntas
Si sumamos estas ecuaciones término por término, obtenemos 2 X+ 1 = 0, de donde . Sustituyendo el valor encontrado en cualquier ecuación, encontramos el valor de la ordenada A:
Ahora escribamos la ecuación de una recta que pasa por los puntos (2, 1) y :
o .
Por lo tanto o -5( Y – 1) = X – 2.
Finalmente, obtenemos la ecuación de la recta deseada en la forma X + 5Y – 7 = 0.
Ejemplo 1.12. Hallar la ecuación de una recta que pasa por puntos METRO(2.1) y norte(2,3).
Usando la fórmula (1.14), obtenemos la ecuación
No tiene sentido porque el segundo denominador es cero. De la condición del problema se puede ver que las abscisas de ambos puntos tienen el mismo valor. Por lo tanto, la línea requerida es paralela al eje OY y su ecuación es: X = 2.
Comentario . Si, al escribir la ecuación de una línea recta de acuerdo con la fórmula (1.14), uno de los denominadores resulta ser igual a cero, entonces se puede obtener la ecuación deseada igualando el numerador correspondiente a cero.
Consideremos otras formas de establecer una línea recta en un plano.
1. Sea un vector distinto de cero perpendicular a una línea dada L, y el punto METRO 0(X 0, Y 0) se encuentra en esta línea (Figura 1.7).
Figura 1.7
Denotar METRO(X, Y) un punto arbitrario en la línea L. Vectores y 
Ortogonal. Usando las condiciones de ortogonalidad para estos vectores, obtenemos o PERO(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.
Hemos obtenido la ecuación de una recta que pasa por un punto METRO 0 es perpendicular al vector . Este vector se llama Vector normal a una línea recta L. La ecuación resultante se puede reescribir como
Vaya + Wu + DE= 0, donde DE = –(PEROX 0 + Por 0), (1.16),
Dónde PERO y A son las coordenadas del vector normal.
Obtenemos la ecuación general de una recta en forma paramétrica.
2. Una línea en un plano se puede definir de la siguiente manera: sea un vector distinto de cero paralelo a una línea dada L y punto METRO 0(X 0, Y 0) se encuentra en esta línea. Nuevamente, tome un punto arbitrario METRO(X, y) en línea recta (Figura 1.8).
Figura 1.8
Vectores y 
colineal
Escribamos la condición de colinealidad de estos vectores: , donde T es un número arbitrario, llamado parámetro. Escribamos esta igualdad en coordenadas:
Estas ecuaciones se llaman Ecuaciones paramétricas Directo. Excluyamos de estas ecuaciones el parámetro T:
Estas ecuaciones se pueden escribir en la forma
. (1.18)
La ecuación resultante se llama La ecuación canónica de una recta.. Llamada vectorial Dirección vectorial recta .
Comentario . Es fácil ver que si es el vector normal a la recta L, entonces su vector director puede ser el vector , ya que , es decir .
Ejemplo 1.13. Escribe la ecuación de una recta que pasa por un punto METRO 0(1, 1) paralelo a la línea 3 X + 2A– 8 = 0.
Solución . El vector es el vector normal a las líneas dadas y deseadas. Usemos la ecuación de una línea recta que pasa por un punto METRO 0 con un vector normal dado 3( X –1) + 2(A– 1) = 0 o 3 X + 2 años- 5 \u003d 0. Obtuvimos la ecuación de la línea recta deseada.
Propiedades de una línea recta en geometría euclidiana.
Hay infinitas líneas que se pueden trazar a través de cualquier punto.
A través de dos puntos no coincidentes, sólo hay una línea recta.
Dos rectas no coincidentes en el plano se intersecan en un solo punto o son
paralelo (sigue del anterior).
A espacio tridimensional Hay tres opciones para la posición relativa de dos líneas:
- las líneas se cruzan;
- las líneas rectas son paralelas;
- las líneas rectas se cruzan.
Directo línea- curva algebraica de primer orden: en el sistema de coordenadas cartesianas, una línea recta
está dada en el plano por una ecuación de primer grado (ecuación lineal).
Ecuación general de una recta.
Definición. Cualquier recta en el plano puede estar dada por una ecuación de primer orden
Ah + Wu + C = 0,
y constante un, b no es igual a cero al mismo tiempo. Esta ecuación de primer orden se llama general
ecuación de línea recta. Dependiendo de los valores de las constantes un, b y DE Son posibles los siguientes casos especiales:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- la recta pasa por el origen
. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( Por + C = 0)- recta paralela al eje Vaya
. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- recta paralela al eje UNED
. segundo = do = 0, un ≠ 0- la recta coincide con el eje UNED
. A = C = 0, B ≠ 0- la recta coincide con el eje Vaya
La ecuación de una línea recta se puede representar en diversas formas dependiendo de cualquiera dado
condiciones iniciales.
Ecuación de una recta por un punto y un vector normal.
Definición. En un sistema cartesiano de coordenadas rectangulares, un vector con componentes (A, B)
perpendicular a la recta dada por la ecuación
Ah + Wu + C = 0.
Ejemplo. Hallar la ecuación de una recta que pasa por un punto UN(1, 2) perpendicular al vector (3, -1).
Solución. Compongamos en A \u003d 3 y B \u003d -1 la ecuación de la línea recta: 3x - y + C \u003d 0. Para encontrar el coeficiente C
sustituimos las coordenadas del punto A dado en la expresión resultante, obtenemos: 3 - 2 + C = 0, por lo tanto
C = -1. Total: la ecuación deseada: 3x - y - 1 \u003d 0.
Ecuación de una recta que pasa por dos puntos.
Sean dados dos puntos en el espacio METRO 1 (x 1 , y 1 , z 1) y M2 (x2, y2, z2), después ecuación de línea recta,
pasando por estos puntos:
Si alguno de los denominadores es igual a cero, el numerador correspondiente debe ser igual a cero. Sobre el
plano, la ecuación de una línea recta escrita arriba se simplifica:
si X 1 ≠ X 2 y x = x 1, si x1 = x2 .
Fracción = k llamó factor de pendiente directo.
Ejemplo. Encuentra la ecuación de una línea recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 4).
Solución. Aplicando la fórmula anterior, obtenemos:
Ecuación de una recta por un punto y una pendiente.
Si la ecuación general de una recta Ah + Wu + C = 0 llevar a la forma:
y designar 
, entonces la ecuación resultante se llama
ecuación de una recta con pendiente k.
La ecuación de una línea recta en un punto y un vector director.
Por analogía con el punto considerando la ecuación de una línea recta a través del vector normal, puede ingresar la tarea
una recta que pasa por un punto y un vector director de una recta.
Definición. Todo vector distinto de cero (a 1 , a 2), cuyos componentes satisfacen la condición
Aα 1 + Bα 2 = 0 llamó vector director de la recta.
Ah + Wu + C = 0.
Ejemplo. Hallar la ecuación de una recta de vector director (1, -1) y que pasa por el punto A(1, 2).
Solución. Buscaremos la ecuación de la recta deseada de la forma: Hacha + Por + C = 0. Según la definición,
los coeficientes deben satisfacer las condiciones:
1 * A + (-1) * B = 0, es decir A = B.
Entonces la ecuación de una recta tiene la forma: Hacha + Ay + C = 0, o x + y + C / A = 0.
a x=1, y=2 obtenemos C/ A = -3, es decir. ecuación deseada:
x + y - 3 = 0
Ecuación de una recta en segmentos.
Si en la ecuación general de la recta Ah + Wu + C = 0 C≠0, entonces, dividiendo por -C, obtenemos:
o donde
El significado geométrico de los coeficientes es que el coeficiente a es la coordenada del punto de intersección
recto con eje Vaya, a b- la coordenada del punto de intersección de la recta con el eje UNED.
Ejemplo. La ecuación general de una recta está dada x - y + 1 = 0. Encuentra la ecuación de esta línea recta en segmentos.
C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.
Ecuación normal de una recta.
Si ambos lados de la ecuación Ah + Wu + C = 0 dividir por número 
, Lo que es llamado
factor de normalización, entonces obtenemos
xcosφ + ysenφ - p = 0 -ecuación normal de una recta.
El signo ± del factor de normalización debe elegirse de modo que μ * C< 0.
R- la longitud de la perpendicular caída desde el origen hasta la línea,
a φ - el ángulo formado por esta perpendicular con la dirección positiva del eje Vaya.
Ejemplo. Dada la ecuación general de una recta 12x - 5y - 65 = 0. Requerido para escribir diferentes tipos ecuaciones
esta línea recta.
La ecuación de esta recta en segmentos:
La ecuación de esta recta con pendiente: (dividir por 5)
Ecuación de una recta:
cos φ = 12/13; sen φ= -5/13; p=5.
Cabe señalar que no toda línea recta se puede representar mediante una ecuación en segmentos, por ejemplo, líneas rectas,
paralela a los ejes o pasando por el origen.
Ángulo entre rectas en un plano.
Definición. Si se dan dos líneas y \u003d k 1 x + segundo 1, y \u003d k 2 x + segundo 2, después esquina filosa entre estas lineas
se definirá como
Dos rectas son paralelas si k1 = k2. dos rectas son perpendiculares
si k 1 \u003d -1 / k 2 .
Teorema.
Directo Ah + Wu + C = 0 y A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 son paralelos cuando los coeficientes son proporcionales
A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. si tambien С 1 \u003d λС, entonces las rectas coinciden. Coordenadas del punto de intersección de dos rectas
se encuentran como solución al sistema de ecuaciones de estas rectas.
La ecuación de una recta que pasa por un punto dado es perpendicular a una recta dada.
Definición. Una recta que pasa por un punto M 1 (x 1, y 1) y perpendicular a la recta y = kx + b
representado por la ecuación:
La distancia de un punto a una recta.
Teorema. Si se da un punto M(x 0, y 0), entonces la distancia a la línea Ah + Wu + C = 0 definido como:
Prueba. Deja que el punto M 1 (x 1, y 1)- la base de la perpendicular caída desde el punto METRO para una dada
directo. Entonces la distancia entre los puntos METRO y METRO 1:
(1)
Coordenadas x1 y 1 se puede encontrar como una solución al sistema de ecuaciones:
La segunda ecuación del sistema es la ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado M 0 perpendicularmente
línea dada. Si transformamos la primera ecuación del sistema a la forma:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,
entonces, resolviendo, obtenemos:
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), encontramos:
El teorema ha sido probado.
Deje que la línea recta pase por los puntos M 1 (x 1; y 1) y M 2 (x 2; y 2). La ecuación de una línea recta que pasa por el punto M 1 tiene la forma y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)
dónde k - Coeficiente aún desconocido.
Dado que la línea recta pasa por el punto M 2 (x 2 y 2), entonces las coordenadas de este punto deben satisfacer la ecuación (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).
A partir de aquí encontramos Sustituyendo el valor encontrado k
en la ecuación (10.6), obtenemos la ecuación de una línea recta que pasa por los puntos M 1 y M 2: 
Se supone que en esta ecuación x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Si x 1 \u003d x 2, entonces la línea recta que pasa por los puntos M 1 (x 1, y I) y M 2 (x 2, y 2) es paralela al eje y. su ecuacion es x = x 1 .
Si y 2 \u003d y I, entonces la ecuación de la línea recta se puede escribir como y \u003d y 1, la línea recta M 1 M 2 es paralela al eje x.
Ecuación de una recta en segmentos
Deje que la línea recta se cruce con el eje Ox en el punto M 1 (a; 0), y el eje Oy, en el punto M 2 (0; b). La ecuación tomará la forma: 
aquellos. 
. Esta ecuación se llama la ecuación de una recta en segmentos, porque los números a y b indican qué segmentos corta la línea recta en los ejes de coordenadas.
Ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a un vector dado
Encontremos la ecuación de una recta que pasa por un punto Mo (x O; y o) perpendicular a un vector distinto de cero n = (A; B).
Tome un punto arbitrario M(x; y) en la línea recta y considere el vector M 0 M (x - x 0; y - y o) (ver Fig. 1). Como los vectores n y M o M son perpendiculares, su producto escalar es igual a cero: es decir,
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
La ecuación (10.8) se llama ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a un vector dado .
El vector n = (A; B) perpendicular a la recta se llama normal vector normal de esta línea .
La ecuación (10.8) se puede reescribir como Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
donde A y B son las coordenadas del vector normal, C \u003d -Ax o - Vu o - miembro libre. Ecuación (10.9) es la ecuación general de una recta(ver Fig. 2).
Figura 1 Figura 2
Ecuaciones canónicas de la línea recta
,
Dónde 
son las coordenadas del punto por el que pasa la recta, y 
- vector de dirección.
Curvas de segundo orden Círculo
Un círculo es el conjunto de todos los puntos de un plano equidistantes de un punto dado, que se llama centro.
Ecuación canónica de un círculo de radio
R centrado en un punto 
:
En particular, si el centro de la estaca coincide con el origen, la ecuación se verá así: 
Elipse
Una elipse es un conjunto de puntos en un plano, la suma de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos dados
y 
, que se llaman focos, es un valor constante 
, mayor que la distancia entre los focos 
.
La ecuación canónica de una elipse cuyos focos se encuentran en el eje Ox y cuyo origen está en el medio entre los focos tiene la forma 
GRAMO 
Delaware a la longitud del semieje mayor; b es la longitud del semieje menor (Fig. 2).
