Arifmetika ilə yanaşı həndəsi irəliləmə də vacibdir ədədi sıra 9-cu sinifdə məktəb cəbri kursunda öyrənilən . Bu yazıda həndəsi irəliləyişin məxrəcini və onun dəyərinin xassələrinə necə təsir etdiyini nəzərdən keçirəcəyik.
Həndəsi irəliləmənin tərifi
Əvvəlcə bunu müəyyən edək nömrə seriyası. Həndəsi irəliləyiş bir sıradır rasional ədədlər, ilk elementinin məxrəc adlanan sabit ədədə ardıcıl çarpılması ilə əmələ gəlir.
Məsələn, 3, 6, 12, 24, ... seriyasındakı ədədlər həndəsi irəliləyişdir, çünki 3-ü (birinci elementi) 2-yə vursaq, 6-nı alırıq. 6-nı 2-yə vursaq, alırıq. 12 və s.
Baxılan ardıcıllığın üzvləri adətən ai simvolu ilə işarələnir, burada i seriyadakı elementin sayını göstərən tam ədəddir.
Proqresiyanın yuxarıdakı tərifini riyaziyyat dilində belə yazmaq olar: an = bn-1 * a1, burada b məxrəcdir. Bu düsturu yoxlamaq asandır: əgər n = 1, onda b1-1 = 1 və biz a1 = a1 alırıq. Əgər n = 2 olarsa, onda an = b * a1 və biz yenidən nəzərdən keçirilən ədədlər seriyasının tərifinə gəlirik. Oxşar mülahizələri davam etdirmək olar böyük dəyərlər n.
Həndəsi irəliləyişin məxrəci
B rəqəmi bütün nömrələr seriyasının hansı simvola sahib olacağını tamamilə müəyyənləşdirir. Məxrəc b müsbət, mənfi və ya birdən böyük və ya kiçik ola bilər. Yuxarıda göstərilən bütün seçimlər müxtəlif ardıcıllığa səbəb olur:
- b > 1. Rasional ədədlərin artan sırası var. Məsələn, 1, 2, 4, 8, ... a1 elementi mənfi olarsa, onda bütün ardıcıllıq yalnız modul olaraq artacaq, lakin rəqəmlərin işarəsini nəzərə alaraq azalacaq.
- b = 1. Çox vaxt belə bir hal irəliləmə adlandırılmır, çünki müntəzəm sıra eyni rasional ədədlər. Məsələn, -4, -4, -4.
Cəmi üçün düstur
Nəzərdən keçirilən irəliləyiş növünün məxrəcindən istifadə edərək konkret problemlərin nəzərdən keçirilməsinə keçməzdən əvvəl onun ilk n elementinin cəmi üçün mühüm düstur verilməlidir. Düstur belədir: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Proqresiyanın üzvlərinin rekursiv ardıcıllığını nəzərə alsanız, bu ifadəni özünüz əldə edə bilərsiniz. Onu da qeyd edək ki, yuxarıdakı düsturda ixtiyari sayda şərtlərin cəmini tapmaq üçün yalnız birinci elementi və məxrəci bilmək kifayətdir.
Sonsuz azalan ardıcıllıq
Yuxarıda bunun nə olduğu izah edildi. İndi Sn-in düsturunu bilərək, onu bu ədədlər seriyasına tətbiq edək. Modulu 1-dən çox olmayan hər hansı bir ədəd böyük dərəcələrə qaldırıldıqda sıfıra meylli olduğundan, yəni -1 olarsa b∞ => 0 olar.
Fərq (1 - b) məxrəcin qiymətindən asılı olmayaraq həmişə müsbət olacağından, sonsuz azalan həndəsi irəliləyişin cəminin işarəsi S∞ onun birinci elementinin işarəsi ilə unikal şəkildə təyin olunur a1.
İndi biz bir neçə problemi nəzərdən keçirəcəyik, burada əldə edilmiş bilikləri konkret ədədlərə necə tətbiq edəcəyimizi göstərəcəyik.
Tapşırıq nömrəsi 1. Proqresiyanın naməlum elementlərinin və cəminin hesablanması
Həndəsi proqressiyanın məxrəci 2, birinci elementi isə 3-dür. Onun 7-ci və 10-cu hədləri nə qədər olacaq və onun yeddi başlanğıc elementinin cəmi neçəyə bərabərdir?
Problemin şərti olduqca sadədir və yuxarıda göstərilən düsturların birbaşa istifadəsini nəzərdə tutur. Beləliklə, n rəqəmi olan elementi hesablamaq üçün an = bn-1 * a1 ifadəsindən istifadə edirik. 7-ci element üçün əlimizdə var: a7 = b6 * a1, məlum məlumatları əvəz edərək, alırıq: a7 = 26 * 3 = 192. 10-cu üzv üçün də eyni şeyi edirik: a10 = 29 * 3 = 1536.
Biz cəmi üçün məlum düsturdan istifadə edirik və seriyanın ilk 7 elementi üçün bu dəyəri təyin edirik. Bizdə var: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Tapşırıq nömrəsi 2. Proqresiyanın ixtiyari elementlərinin cəminin müəyyən edilməsi
Bn-1 * 4 eksponensial irəliləməsinin məxrəci -2 olsun, burada n tam ədəddir. Bu seriyanın 5-ci elementindən 10-cu elementinə qədər olan cəmini müəyyən etmək lazımdır.
Qarşıya qoyulan problemi bilavasitə məlum düsturlardan istifadə etməklə həll etmək mümkün deyil. 2 ilə həll edə bilərsiniz müxtəlif üsullar. Tamlıq naminə hər ikisini təqdim edirik.
Metod 1. Onun ideyası sadədir: birinci şərtlərin iki müvafiq cəmini hesablamaq, sonra isə birindən digərini çıxarmaq lazımdır. Daha kiçik məbləği hesablayın: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. İndi böyük məbləği hesablayırıq: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Qeyd edək ki, in son ifadə cəmi 4 şərt yekunlaşdırıldı, çünki 5-ci artıq problemin şərtinə uyğun olaraq hesablanması lazım olan məbləğə daxildir. Nəhayət, fərqi götürürük: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Metod 2. Ədədləri əvəz etmədən və saymadan əvvəl sözügedən silsilənin m və n şərtləri arasındakı cəmi üçün düstur ala bilərsiniz. Biz 1-ci üsulla eyni şəkildə hərəkət edirik, yalnız biz əvvəlcə cəmin simvolik təsviri ilə işləyirik. Bizdə: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Siz məlum ədədləri nəticədə ifadəyə əvəz edə və yekun nəticəni hesablaya bilərsiniz: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Tapşırıq nömrəsi 3. Məxrəc nədir?
a1 = 2 olsun, həndəsi proqresiyanın məxrəcini tapın, bu şərtlə ki, onun sonsuz cəmi 3 olsun və bu, azalan ədədlər silsiləsi olduğu məlum olsun.
Problemin şərtinə görə, onu həll etmək üçün hansı düsturdan istifadə edilməli olduğunu təxmin etmək çətin deyil. Təbii ki, sonsuz azalan irəliləyişin cəmi üçün. Bizdə var: S∞ = a1 / (1 - b). Məxrəci ifadə etdiyimiz yerdən: b = 1 - a1 / S∞. Əvəz etmək qalır məlum dəyərlər və tələb olunan rəqəmi əldə edin: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 və ya -0,333 (3). Bu növ ardıcıllıq üçün modulun b 1-dən kənara çıxmamalı olduğunu xatırlasaq, bu nəticəni keyfiyyətcə yoxlaya bilərik. Gördüyünüz kimi, |-1 / 3|
Tapşırıq nömrəsi 4. Bir sıra nömrələrin bərpası
Ədəd seriyasının 2 elementi verilsin, məsələn, 5-cisi 30-a, 10-cusu isə 60-a bərabər olsun, həndəsi proqresiyanın xassələrini təmin etdiyini bilə-bilə bu verilənlərdən bütün seriyanı bərpa etmək lazımdır.
Problemi həll etmək üçün əvvəlcə hər bir məlum üzv üçün uyğun ifadəni yazmalısınız. Bizdə var: a5 = b4 * a1 və a10 = b9 * a1. İndi ikinci ifadəni birinciyə bölürük, alırıq: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Buradan məsələnin şərtindən məlum olan üzvlərin nisbətinin beşinci dərəcəli kökünü b = 1,148698 götürərək məxrəci təyin edirik. Alınan ədəd ifadələrdən birinə əvəz edilir məlum element, alırıq: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
Beləliklə, bn irəliləyişinin məxrəcinin nə olduğunu və həndəsi irəliləmənin bn-1 * 17,2304966 = an olduğunu, burada b = 1,148698 olduğunu tapdıq.
Həndəsi irəliləyişlər harada istifadə olunur?
Əgər bu ədədi silsilənin praktikada tətbiqi olmasaydı, onda onun öyrənilməsi sırf nəzəri marağa çevrilərdi. Ancaq belə bir tətbiq var.
Ən məşhur 3 nümunə aşağıda verilmişdir:
- Çevik Axillesin yavaş tısbağaya çata bilmədiyi Zenon paradoksu, sonsuz azalan ədədlər ardıcıllığı anlayışından istifadə etməklə həll edilir.
- Əgər şahmat taxtasının hər hücrəsinə buğda dənələri qoyulsa ki, 1-ci xanada 1, 2-də 2, 3-də və s. yerləşsin, onda bütün xanaları doldurmaq üçün 18446744073709551615 dənə lazım olacaq. lövhə!
- "Hanoy qalası" oyununda diskləri bir çubuqdan digərinə dəyişdirmək üçün 2n - 1 əməliyyat yerinə yetirmək lazımdır, yəni onların sayı istifadə olunan disklərin sayından eksponent olaraq artır.
Təlimat
10, 30, 90, 270...
Həndəsi irəliləyişin məxrəcini tapmaq tələb olunur.
Qərar:
1 seçim. Proqresiyanın ixtiyari üzvünü götürək (məsələn, 90) və onu əvvəlkiyə (30) bölək: 90/30=3.
Əgər həndəsi irəliləyişin bir neçə üzvünün cəmi və ya azalan həndəsi irəliləyişin bütün üzvlərinin cəmi məlumdursa, irəliləmənin məxrəcini tapmaq üçün müvafiq düsturlardan istifadə edin:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), burada Sn həndəsi irəliləyişin ilk n üzvünün cəmidir və
S = b1/(1-q), burada S sonsuz azalan həndəsi irəliləyişin cəmidir (məxrəci birdən kiçik olan irəliləyişin bütün üzvlərinin cəmi).
Misal.
Azalan həndəsi proqresiyanın birinci həddi birə, bütün üzvlərinin cəmi ikiyə bərabərdir.
Bu irəliləyişin məxrəcini müəyyən etmək tələb olunur.
Qərar:
Tapşırıqdakı məlumatları düsturla əvəz edin. Alın:
2=1/(1-q), buradan – q=1/2.
Proqressiya ədədlər ardıcıllığıdır. Həndəsi proqresiyada hər bir sonrakı hədd əvvəlkini irəliləyişin məxrəci adlanan hansısa q ədədinə vurmaqla əldə edilir.
Təlimat
Həndəsi b(n+1) və b(n) iki qonşu üzvü məlumdursa, məxrəci almaq üçün böyük ədədi özündən əvvəlkinə bölmək lazımdır: q=b(n). +1)/b(n). Bu, irəliləyişin və onun məxrəcinin tərifindən irəli gəlir. Vacib şərt odur ki, irəliləyişin birinci həddi və məxrəci sıfıra bərabər olmasın, əks halda qeyri-müəyyən sayılır.
Beləliklə, proqressiyanın üzvləri arasında aşağıdakı əlaqələr qurulur: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. b(n)=b1 q^(n-1) düsturu ilə məxrəci q və b1 üzvü məlum olan həndəsi proqresiyanın istənilən üzvü hesablana bilər. Həmçinin, irəliləyiş modulunun hər biri qonşu üzvlərinin orta qiymətinə bərabərdir: |b(n)|=√, buna görə də irəliləyiş özünün .
Həndəsi irəliləyişin analoqu ən sadədir eksponensial funksiya y=a^x, burada x eksponentdədir, a bəzi ədəddir. Bu halda irəliləyişin məxrəci birinci həddlə eynidir və ədədinə bərabərdir a. y funksiyasının qiyməti kimi başa düşülə bilər n-ci üzv arqument x kimi qəbul edilərsə, irəliləyişlər natural ədəd n (sayğac).
Bir sıra nəzərdən keçirək.
7 28 112 448 1792...
Tamamilə aydındır ki, onun hər hansı elementinin dəyəri əvvəlkindən düz dörd dəfə böyükdür. Beləliklə, bu seriya bir irəliləyişdir.
Həndəsi irəliləyiş sonsuz ədədlər ardıcıllığıdır əsas xüsusiyyət hansısa konkret ədədə vurmaqla əvvəlki rəqəmdən növbəti ədədin alınmasıdır. Bu, aşağıdakı düsturla ifadə edilir.
a z +1 =a z q, burada z seçilmiş elementin nömrəsidir.
Müvafiq olaraq, z ∈ N.
Məktəbin oxuduğu dövr həndəsi irəliləyiş- 9-cu sinif. Nümunələr konsepsiyanı başa düşməyə kömək edəcək:
0.25 0.125 0.0625...
Bu düstura əsasən, irəliləyişin məxrəcini aşağıdakı kimi tapmaq olar:
Nə q, nə də b z sıfır ola bilməz. Həmçinin, irəliləyişin elementlərinin hər biri sıfıra bərabər olmamalıdır.
Müvafiq olaraq, seriyadakı növbəti rəqəmi tapmaq üçün sonuncunu q-a vurmaq lazımdır.
Bu irəliləyişi təyin etmək üçün onun birinci elementini və məxrəcini göstərməlisiniz. Bundan sonra sonrakı şərtlərdən hər hansı birini və onların cəmini tapmaq mümkündür.
Çeşidlər
q və a 1-dən asılı olaraq bu irəliləyiş bir neçə növə bölünür:
- Əgər həm 1, həm də q birdən böyükdürsə, onda belə ardıcıllıq hər növbəti elementlə artan həndəsi irəliləyişdir. Belə bir nümunə aşağıda təqdim olunur.
Misal: a 1 =3, q=2 - hər iki parametr birdən böyükdür.
Onda ədədi ardıcıllığı belə yazmaq olar:
3 6 12 24 48 ...
- Əgər |q| birdən azdır, yəni ona vurma bölməyə bərabərdir, onda oxşar şərtlərə malik irəliləyiş azalan həndəsi irəliləyişdir. Belə bir nümunə aşağıda təqdim olunur.
Misal: a 1 =6, q=1/3 - a 1 birdən böyükdür, q kiçikdir.
Onda ədədi ardıcıllıq aşağıdakı kimi yazıla bilər:
6 2 2/3 ... - hər hansı element ondan sonrakı elementdən 3 dəfə böyükdür.
- İşarə dəyişən. Əgər q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Misal: a 1 = -3 , q = -2 - hər iki parametr sıfırdan kiçikdir.
Sonra ardıcıllığı belə yazmaq olar:
3, 6, -12, 24,...
Formulalar
Həndəsi irəliləyişlərin rahat istifadəsi üçün bir çox düstur var:
- z-ci üzvün düsturu. Əvvəlki nömrələri hesablamadan müəyyən bir nömrə altında elementi hesablamağa imkan verir.
Misal:q = 3, a 1 = 4. Proqresiyanın dördüncü elementini hesablamaq tələb olunur.
Qərar:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Sayı olan ilk elementlərin cəmi z. -ə qədər ardıcıllığın bütün elementlərinin cəmini hesablamağa imkan verira zdaxil olmaqla.
ildən (1-q) məxrəcdədir, onda (1 - q)≠ 0, deməli, q 1-ə bərabər deyil.
Qeyd: əgər q=1 olarsa, onda irəliləyiş sonsuz təkrarlanan ədəd silsiləsi olacaqdır.
Həndəsi irəliləyişin cəmi, nümunələr:a 1 = 2, q= -2. S 5 hesablayın.
Qərar:S 5 = 22 - düsturla hesablama.
- Məbləğ əgər |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Misal:a 1 = 2 , q= 0,5. Məbləği tapın.
Qərar:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Bəzi xüsusiyyətlər:
- xarakterik xüsusiyyət. Aşağıdakı şərt olarsa hər hansı üçün həyata keçirilirz, onda verilmiş ədəd silsiləsi həndəsi irəliləyişdir:
a z 2 = a z -1 · az+1
- Həmçinin, həndəsi irəliləyişin istənilən ədədinin kvadratı, bu elementdən bərabər məsafədə yerləşirsə, verilmiş sıradakı hər hansı digər iki ədədin kvadratlarını toplamaqla tapılır.
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , haradatbu ədədlər arasındakı məsafədir.
- Elementlərq ilə fərqlənirbir dəfə.
- Proqressiya elementlərinin loqarifmləri də bir irəliləyiş təşkil edir, lakin artıq arifmetikdir, yəni onların hər biri əvvəlkindən müəyyən sayda böyükdür.
Bəzi klassik problemlərin nümunələri
Həndəsi irəliləyişin nə olduğunu daha yaxşı başa düşmək üçün 9-cu sinif üçün həlli olan nümunələr kömək edə bilər.
- Şərtlər:a 1 = 3, a 3 = 48. Tapınq.
Həll yolu: hər bir sonrakı element əvvəlkindən böyükdürq bir dəfə.Məxrəcdən istifadə edərək bəzi elementləri digərləri vasitəsilə ifadə etmək lazımdır.
Beləliklə,a 3 = q 2 · a 1
Əvəz edərkənq= 4
- Şərtlər:a 2 = 6, a 3 = 12. S 6-nı hesablayın.
Qərar:Bunun üçün birinci element olan q-ı tapmaq və onu düsturda əvəz etmək kifayətdir.
a 3 = q· a 2 , deməli,q= 2
a 2 = q a 1,Buna görə də a 1 = 3
S 6 = 189
- · a 1 = 10, q= -2. Proqresiyanın dördüncü elementini tapın.
Həlli: bunun üçün dördüncü elementi birinci və məxrəc vasitəsilə ifadə etmək kifayətdir.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Tətbiq nümunəsi:
- Bankın müştərisi 10.000 rubl məbləğində əmanət qoydu, onun şərtlərinə görə, müştəri hər il onun 6% -ni əsas məbləğə əlavə edəcəkdir. 4 ildən sonra hesabda nə qədər pul olacaq?
Həll yolu: İlkin məbləğ 10 min rubl təşkil edir. Beləliklə, investisiyadan bir il sonra hesabda 10.000 + 10.000-a bərabər bir məbləğ olacaq · 0,06 = 10000 1,06
Müvafiq olaraq, bir ildən sonra hesabdakı məbləğ aşağıdakı kimi ifadə ediləcək:
(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000
Yəni, hər il bu məbləğ 1,06 dəfə artır. Bu o deməkdir ki, 4 ildən sonra hesabda olan vəsaitin məbləğini tapmaq üçün birinci elementin 10 minə bərabər verdiyi irəliləyişin dördüncü elementini, 1,06-ya bərabər məxrəci tapmaq kifayətdir.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Məbləğin hesablanması üçün tapşırıqların nümunələri:
Müxtəlif məsələlərdə həndəsi irəliləyişdən istifadə olunur. Cəmi tapmaq üçün bir nümunə aşağıdakı kimi verilə bilər:
a 1 = 4, q= 2, hesablayınS5.
Həll yolu: hesablama üçün lazım olan bütün məlumatlar məlumdur, sadəcə onları formulda əvəz etmək lazımdır.
S 5 = 124
- a 2 = 6, a 3 = 18. İlk altı elementin cəmini hesablayın.
Qərar:
Geom. irəliləyiş, hər növbəti element əvvəlkindən q dəfə böyükdür, yəni cəmi hesablamaq üçün elementi bilmək lazımdır.a 1 və məxrəcq.
a 2 · q = a 3
q = 3
Eynilə, biz də tapmalıyıqa 1 , bilməka 2 vəq.
a 1 · q = a 2
a 1 =2
S 6 = 728.
Bu ədəd həndəsi irəliləyişin məxrəci adlanır, yəni hər bir hədd əvvəlkindən q dəfə fərqlənir. (Biz güman edəcəyik ki, q ≠ 1, əks halda hər şey çox əhəmiyyətsizdir). Asanlıqla görmək olar ki, həndəsi proqresiyanın n-ci üzvünün ümumi düsturu b n = b 1 q n – 1; b n və b m ədədləri ilə q n – m dəfə fərqlənir.Onsuz da qədim Misirdə onlar təkcə arifmetik deyil, həm də həndəsi irəliləməni bilirdilər. Burada, məsələn, Rhind papirusundan bir tapşırıq var: “Yeddi üzün yeddi pişiyi var; hər pişik yeddi siçan yeyir, hər siçan yeddi sünbül yeyir, hər sünbül yeddi ölçü arpa yetişdirə bilər. Bu sıradakı ədədlər və onların cəmi nə qədər böyükdür?
 |
|
düyü. 1. Qədim Misir həndəsi irəliləmə problemi |
Bu vəzifə başqa vaxtlarda başqa xalqlar arasında müxtəlif dəyişikliklərlə dəfələrlə təkrarlanmışdır. Məsələn, XIII əsrdə yazılmışdır. Pizalı Leonardo (Fibonaççi) tərəfindən yazılmış "Abakus kitabı"nda Romaya gedərkən (açıqca zəvvarlar olan) 7 yaşlı qadının görünməsi problemi var, onların hər birində 7 qatır, hər birində 7 çanta var. 7 çörək var, hər birində 7 bıçaq var, hər biri 7 qabıqdadır. Problem neçə maddənin olduğunu soruşur.
Həndəsi proqresiyanın ilk n üzvlərinin cəmi S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Bu düstur, məsələn, aşağıdakı kimi sübut edilə bilər: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.
S n-ə b 1 q n ədədini əlavə edib əldə edək:
|
Beləliklə, S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) və biz lazımi düstur alırıq.
Artıq VI əsrə aid Qədim Babilin gil lövhələrindən birində. e.ə e., 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1 cəmini ehtiva edir. Düzdür, bir sıra digər hallarda olduğu kimi, bu faktın babillilərə haradan məlum olduğunu bilmirik. .
Bir sıra mədəniyyətlərdə, xüsusən də Hindistanda həndəsi proqresiyanın sürətli böyüməsi kainatın sonsuzluğunun əyani simvolu kimi dəfələrlə istifadə olunur. Şahmatın görünüşü ilə bağlı məşhur əfsanədə hökmdar öz ixtiraçısına mükafatı özü seçmək imkanı verir və o, şahmat taxtasının birinci hücrəsinə qoyulduğu təqdirdə əldə ediləcək qədər buğda dənəsi tələb edir. , ikincidə iki, üçüncüdə dörd, dördüncüdə səkkiz və s., hər dəfə rəqəm ikiqat artır. Vladyka bunun ən çox bir neçə kisə olduğunu düşündü, amma səhv hesab etdi. Asanlıqla görmək olar ki, şahmat taxtasının bütün 64 kvadratı üçün ixtiraçı 20 rəqəmli rəqəmlə ifadə olunan (2 64 - 1) taxıl almalı idi; hətta Yerin bütün səthinə səpilmiş olsa belə, lazımi miqdarda taxıl toplamaq üçün ən azı 8 il vaxt lazımdır. Bu əfsanə bəzən şahmat oyununda gizlənən demək olar ki, qeyri-məhdud imkanlara istinad kimi şərh olunur.
Bu rəqəmin həqiqətən 20 rəqəmli olduğunu görmək asandır:
2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (daha dəqiq hesablama 1,84 10 19 verir). Bəs görəsən bu rəqəmin hansı rəqəmlə bitdiyini öyrənə bilərsinizmi?
Məxrəc mütləq qiymətdə 1-dən böyükdürsə, həndəsi irəliləyiş artır, birdən kiçik olduqda isə azalır. Sonuncu halda q n ədədi kifayət qədər böyük n üçün özbaşına kiçik ola bilər. Artan eksponensial gözlənilmədən sürətlə artsa da, azalan eksponensial da eyni sürətlə azalır.
N nə qədər böyükdürsə, q n rəqəmi sıfırdan bir o qədər zəif fərqlənir və həndəsi irəliləyişin n üzvlərinin cəmi S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) S \u003d b 1 nömrəsinə nə qədər yaxındır? / (1 - q) . (Məsələn, F. Vyet belə əsaslandırıldı). S ədədi sonsuz azalan həndəsi irəliləyişin cəmi adlanır. Bununla belə, uzun əsrlər boyu sonsuz sayda termini olan BÜTÜN həndəsi irəliləyişin cəmlənməsinin mənası nədir sualı riyaziyyatçılar üçün kifayət qədər aydın deyildi.
Azalan həndəsi proqressiyanı, məsələn, Zenonun “Dişmə” və “Axilles və tısbağa” aporiyalarında görmək olar. Birinci halda, aydın şəkildə göstərilir ki, bütün yolun (uzunluğu 1 olduğunu düşünək) sonsuz sayda 1/2, 1/4, 1/8 və s. seqmentlərin cəmidir. Bu, əlbəttə ki, belədir. sonlu cəmi sonsuz həndəsi irəliləyiş haqqında fikirlər baxımından. Və hələ - bu necə ola bilər?
|
düyü. 2. 1/2 əmsalı ilə irəliləyiş |
Axilles haqqında aporiyada vəziyyət bir az daha mürəkkəbdir, çünki burada irəliləyişin məxrəci 1/2-yə deyil, başqa bir rəqəmə bərabərdir. Məsələn, Axilles v sürəti ilə qaçsın, tısbağa u sürətlə hərəkət etsin və onların arasındakı ilkin məsafə l olsun. Axilles bu məsafəni l / v müddətdə qaçacaq, tısbağa bu müddət ərzində lu / v məsafəni hərəkət etdirəcək. Axilles bu seqmentdən keçəndə onunla tısbağa arasındakı məsafə l (u / v) 2 və s-ə bərabər olacaq. Məlum oldu ki, tısbağaya çatmaq birinci ilə sonsuz azalan həndəsi irəliləyişin cəmini tapmaq deməkdir. l termini və məxrəc u / v. Bu cəm - Axillesin nəhayət tısbağa ilə görüş nöqtəsinə qaçacağı seqment - bərabərdir l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Ancaq yenə də, bu nəticənin necə şərh edilməli olduğu və niyə heç bir məna kəsb etmədiyi uzun müddət aydın deyildi.
|
düyü. 3. əmsalı 2/3 olan həndəsi irəliləmə |
Həndəsi irəliləyişin cəmindən Arximed parabolanın seqmentinin sahəsini təyin edərkən istifadə etmişdir. Parabolanın verilmiş seqmenti AB akkordu ilə ayrılsın və parabolanın D nöqtəsindəki tangens AB-yə paralel olsun. C AB-nin orta nöqtəsi , E AC-nin orta nöqtəsi , F CB-nin orta nöqtəsi olsun . A , E , F , B nöqtələri vasitəsilə DC-yə paralel xətlər çəkin; D nöqtəsində çəkilmiş tangens olsun, bu xətlər K, L, M, N nöqtələrində kəsilsin. AD və DB seqmentlərini də çəkək. EL xətti AD xəttini G nöqtəsində, parabolanı isə H nöqtəsində kəssin; FM xətti DB xəttini Q nöqtəsində, parabolanı isə R nöqtəsində kəsir. Konus kəsiklərinin ümumi nəzəriyyəsinə görə, DC parabolanın diametridir (yəni onun oxuna paralel seqment); o və D nöqtəsindəki tangens x və y koordinat oxları rolunu oynaya bilər, burada parabola tənliyi y 2 \u003d 2px kimi yazılır (x D-dən verilmiş diametrin istənilən nöqtəsinə qədər olan məsafədir, y - uzunluqdur. bu diametr nöqtəsindən parabolanın özünün hansısa nöqtəsinə qədər verilmiş tangensə paralel seqment).
Parabola tənliyinə görə DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , və DK = 2DL olduğundan KA = 4LH . KA = 2LG olduğundan, LH = HG. Parabolanın ADB seqmentinin sahəsi ΔADB üçbucağının sahəsinə və AHD və DRB seqmentlərinin sahələrinə bərabərdir. Öz növbəsində, AHD seqmentinin sahəsi eyni şəkildə AHD üçbucağının və qalan AH və HD seqmentlərinin sahəsinə bərabərdir, hər biri ilə eyni əməliyyat həyata keçirilə bilər - üçbucağa (Δ) bölün və qalan iki seqment () və s.:
ΔAHD üçbucağının sahəsi ΔALD üçbucağının sahəsinin yarısına bərabərdir (onların ümumi AD əsası var və hündürlükləri 2 dəfə fərqlənir), bu da öz növbəsində ΔALD sahəsinin yarısına bərabərdir. ΔAKD üçbucağı və buna görə də ΔACD üçbucağının sahəsinin yarısı. Beləliklə, ΔAHD üçbucağının sahəsi ΔACD üçbucağının sahəsinin dörddə birinə bərabərdir. Eynilə, ΔDRB üçbucağının sahəsi ΔDFB üçbucağının sahəsinin dörddə birinə bərabərdir. Beləliklə, ∆AHD və ∆DRB üçbucaqlarının sahələri birlikdə götürüldükdə, ∆ADB üçbucağının sahəsinin dörddə birinə bərabərdir. AH, HD, DR və RB seqmentlərinə tətbiq edilən bu əməliyyatı təkrarlamaq, onlardan üçbucaqları da seçəcək, onların sahəsi birlikdə götürüldükdə ΔAHD və ΔDRB üçbucaqlarının sahəsindən 4 dəfə az olacaq, birlikdə götürülmüşdür və buna görə də ΔADB üçbucağının sahəsindən 16 dəfə azdır. və s:
Beləliklə, Arximed sübut etdi ki, “düz xəttlə parabola arasında qalan hər bir seqment onunla eyni əsasa və bərabər hündürlüyə malik olan üçbucağın üçdə dörd hissəsidir”.
Həndəsi irəliləyişin n-ci üzvü üçün düstur çox sadə bir şeydir. Həm mənada, həm də ümumi olaraq. Ancaq n-ci üzvün düsturu üçün hər cür problemlər var - çox primitivdən tutmuş kifayət qədər ciddi olanlara qədər. Və tanışlıq prosesində onların hər ikisini mütləq nəzərdən keçirəcəyik. Yaxşı, tanış olaq?)
Beləliklə, başlanğıc üçün, əslində düsturn
Budur o:
b n = b 1 · q n -1
Formula bir düstur kimi, fövqəltəbii heç nə. O, üçün oxşar düsturdan daha sadə və daha yığcam görünür. Düsturun mənası da keçə çəkmə kimi sadədir.
Bu düstur sizə həndəsi irəliləyişin İSTƏNİLƏN üzvünü SAYINA GÖRƏ tapmağa imkan verir " n".
Gördüyünüz kimi məna arifmetik irəliləyişlə tam bənzətmədir. Biz n ədədini bilirik - bu rəqəmin altındakı termini də hesablaya bilərik. Nə istəyirik. Ardıcıl olaraq "q" ilə çox, çox dəfə vurulmamaq. Bütün məsələ budur.)
Başa düşürəm ki, irəliləyişlərlə işin bu səviyyəsində düstura daxil olan bütün kəmiyyətlər artıq sizə aydın olmalıdır, lakin hər birini deşifrə etməyi özümə borc bilirəm. Hər ehtimala qarşı.
Beləliklə, gedək:
b 1 – birinci həndəsi irəliləyişin üzvü;
q – ;
n- üzv nömrəsi;
b n – n-ci (nth) həndəsi proqresiyanın üzvü.
Bu düstur istənilən həndəsi irəliləyişin dörd əsas parametrini əlaqələndirir - bn, b 1 , q və n. Və bu dörd əsas fiqurun ətrafında, irəliləyişdə olan bütün vəzifələr fırlanır.
"Bəs necə göstərilir?"- Maraqlı bir sual eşidirəm ... Elementar! Baxın!
Nəyə bərabərdir ikinci irəliləmə üzvü? Problem deyil! Birbaşa yazırıq:
b 2 = b 1 q
Bəs üçüncü üzv? Həm də problem deyil! İkinci termini çoxaldırıq yenidənq.
Bunun kimi:
B 3 \u003d b 2 q
İndi xatırlayın ki, ikinci termin öz növbəsində b 1 q-a bərabərdir və bu ifadəni bərabərliyimizlə əvəz edin:
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
Biz əldə edirik:
B 3 = b 1 q 2
İndi rus dilində yazımızı oxuyaq: üçüncü müddət birinci hədisin q-ə vurulmasına bərabərdir ikinci dərəcə. başa düşürsən? Hələ yox? Yaxşı, daha bir addım.
Dördüncü müddət nədir? Hamısı eyni! Çoxalmaq əvvəlki(yəni üçüncü müddət) q üzrə:
B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3
Ümumi:
B 4 = b 1 q 3
Və yenə rus dilinə tərcümə edirik: dördüncü müddət birinci hədisin q-ə vurulmasına bərabərdir üçüncü dərəcə.
və s. Belə ki, necə? Nümunəni tutdun? Bəli! İstənilən ədədi olan istənilən termin üçün bərabər q amillərinin sayı (yəni məxrəcin gücü) həmişə olacaqdır. istədiyiniz üzvün sayından bir azn.
Buna görə də, bizim düsturumuz seçimsiz olacaq:
b n =b 1 · q n -1
Hamısı budur.)
Yaxşı, gəlin problemləri həll edək?)
Düstur üzrə məsələlərin həllinhəndəsi irəliləyişin ci həddi.
Həmişə olduğu kimi, formulun birbaşa tətbiqi ilə başlayaq. Burada tipik bir problem var:
Bu eksponent olaraq məlumdur b 1 = 512 və q = -1/2. Proqresiyanın onuncu həddi tapın.
Təbii ki, bu problemi ümumiyyətlə heç bir düstur olmadan həll etmək olar. Eynilə həndəsi irəliləyiş kimi. Amma biz n-ci hədd düsturu ilə isinməliyik, elə deyilmi? Budur, biz ayrılırıq.
Düsturun tətbiqi üçün məlumatlarımız aşağıdakı kimidir.
Birinci termin məlumdur. Bu 512.
b 1 = 512.
Proqresiyanın məxrəci də məlumdur: q = -1/2.
Yalnız n termininin sayının nəyə bərabər olduğunu anlamaq qalır. Problem deyil! Onuncu dövr bizi maraqlandırırmı? Beləliklə, ümumi düsturda n əvəzinə on əvəz edirik.
Və arifmetikanı diqqətlə hesablayın:
Cavab: -1
Gördüyünüz kimi, irəliləyişin onuncu dövrü mənfi ilə nəticələndi. Təəccüblü deyil: irəliləmənin məxrəci -1/2, yəni. mənfi nömrə. Və bu, bizim irəliləyişimizin əlamətlərinin bir-birini əvəz etdiyini deyir, bəli.)
Burada hər şey sadədir. Və burada oxşar problem var, lakin hesablamalar baxımından bir az daha mürəkkəbdir.
Həndəsi irəliləyişdə biz bilirik ki:
b 1 = 3
Proqresiyanın on üçüncü həddi tapın.
Hər şey eynidir, yalnız bu dəfə irəliləyişin məxrəci - irrasional. İkinin kökü. Yaxşı, böyük bir şey deyil. Düstur universal bir şeydir, istənilən rəqəmin öhdəsindən gəlir.
Biz birbaşa formulaya uyğun işləyirik:
Düstur, əlbəttə ki, lazım olduğu kimi işlədi, amma ... bəzilərinin asılacağı yer budur. Kök ilə bundan sonra nə etmək lazımdır? On ikinci gücə bir kök necə qaldırmaq olar?
Necə-necə ... Hər hansı bir düsturun, əlbəttə ki, yaxşı bir şey olduğunu başa düşmək lazımdır, lakin bütün əvvəlki riyaziyyat bilikləri ləğv edilmir! Necə qaldırmaq olar? Bəli, dərəcələrin xüsusiyyətlərini xatırlayın! Gəlin kökü dəyişdirək fraksiya dərəcəsi və - qüdrətin gücə yüksəldilməsi düsturu ilə.
Bunun kimi:
Cavab: 192
Və hər şey.)
n-ci həddi düsturun birbaşa tətbiqində əsas çətinlik nədir? Bəli! Əsas çətinlik budur dərəcələrlə işləyin! Məhz, mənfi ədədlərin, kəsrlərin, köklərin və oxşar konstruksiyaların eksponentasiyası. Beləliklə, bununla bağlı problemləri olanlar, dərəcələri və xüsusiyyətlərini təkrarlamaq üçün təcili bir tələbdir! Əks halda, bu mövzuda yavaşlayacaqsınız, bəli ...)
İndi tipik axtarış problemlərini həll edək düsturun elementlərindən biridir bütün digərləri verilirsə. Bu cür problemlərin uğurlu həlli üçün resept tək və dəhşətə qədər sadədir - düsturu yazınnümumiyyətlə th üzv! Vəziyyətin yanında notebookda. Və sonra, şərtdən bizə nəyin verildiyini və nəyin çatmadığını anlayırıq. Və düsturdan istədiyimiz dəyəri ifadə edirik. Hər şey!
Məsələn, belə bir zərərsiz problem.
Məxrəci 3 olan həndəsi proqresiyanın beşinci həddi 567-dir. Bu irəliləyişin birinci hədini tapın.
Mürəkkəb bir şey yoxdur. Biz birbaşa sehrə uyğun işləyirik.
n-ci həddinin düsturunu yazırıq!
b n = b 1 · q n -1
Bizə nə verilir? Əvvəlcə irəliləyişin məxrəci verilir: q = 3.
Bundan əlavə, bizə verilir beşinci dövr: b 5 = 567 .
Hər şey? Yox! Bizə n nömrəsi də verilir! Bu beşdir: n = 5.
Ümid edirəm ki, qeyddə nə olduğunu artıq başa düşürsünüz b 5 = 567 iki parametr bir anda gizlənir - bu, beşinci üzvün özü (567) və onun sayıdır (5). Bənzər bir dərsdə mən artıq bu barədə danışdım, amma burada xatırlatmağın artıq olmadığını düşünürəm.)
İndi məlumatları düsturla əvəz edirik:
567 = b 1 3 5-1
Arifmetik hesab edirik, sadələşdiririk və sadə xətti tənliyi əldə edirik:
81 b 1 = 567
Həll edirik və alırıq:
b 1 = 7
Gördüyünüz kimi, birinci üzvü tapmaqda heç bir problem yoxdur. Amma məxrəci axtararkən q və nömrələr n sürprizlər ola bilər. Həm də onlara (sürprizlərə) hazır olmaq lazımdır, bəli.)
Məsələn, belə bir problem:
Müsbət məxrəcli həndəsi proqresiyanın beşinci həddi 162, bu irəliləyişin birinci üzvü isə 2-dir. Proqresiyanın məxrəcini tapın.
Bu dəfə bizə birinci və beşinci üzvlər verilir və irəliləyişin məxrəcini tapmaq xahiş olunur. Buradan başlayırıq.
Formulu yazırıqnci üzv!
b n = b 1 · q n -1
İlkin məlumatlarımız aşağıdakı kimi olacaq:
b 5 = 162
b 1 = 2
n = 5
Kifayət qədər dəyər deyil q. Problem deyil! İndi tapaq.) Bildiyimiz hər şeyi düsturda əvəz edirik.
Biz əldə edirik:
162 = 2q 5-1
2 q 4 = 162
q 4 = 81
Dördüncü dərəcəli sadə tənlik. Amma indi - diqqətlə! Həllin bu mərhələsində bir çox tələbə dərhal sevinclə kökü (dördüncü dərəcəli) çıxarır və cavabını alır q=3 .
Bunun kimi:
q4 = 81
q = 3
Amma ümumilikdə bu yarımçıq cavabdır. Daha doğrusu, natamam. Niyə? Məsələ ondadır ki, cavab q = -3 da uyğun gəlir: (-3) 4 də 81 olardı!
Bunun səbəbi güc tənliyidir x n = a həmişə var iki əks kök saat həttan . Artı və mənfi:
İkisi də yaraşır.
Məsələn, həll etmək (məs. ikinci dərəcə)
x2 = 9
Nədənsə görünüşünə təəccüblənmirsən iki köklər x=±3? Burada da eynidir. Və hər hansı digəri ilə hətta dərəcə (dördüncü, altıncı, onuncu və s.) eyni olacaq. Təfərrüatlar - mövzuda
Beləliklə, düzgün həll yolu olacaq:
q 4 = 81
q= ±3
Yaxşı, işarələri tapdıq. Hansı düzgündür - müsbət və ya mənfi? Yaxşı, problemin vəziyyətini axtarıb yenidən oxuyuruq əlavə informasiya. Bu, əlbəttə ki, olmaya bilər, amma bu problemdə belə bir məlumat mövcuddur. Bizim vəziyyətimizdə bir irəliləmə ilə verildiyi birbaşa ifadə edilir müsbət məxrəc.
Beləliklə, cavab aydındır:
q = 3
Burada hər şey sadədir. Problem ifadəsi belə olsaydı, sizcə nə olardı:
Həndəsi proqresiyanın beşinci həddi 162, bu irəliləyişin birinci həddi isə 2-dir. Proqresiyanın məxrəcini tapın.
Fərq nədir? Bəli! Vəziyyətdə heç nə məxrəcdən bəhs edilmir. Nə birbaşa, nə də dolayı yolla. Və burada problem artıq olardı iki həll yolu!
q = 3 və q = -3
Hə hə! Və artı və mənfi ilə.) Riyazi olaraq, bu fakt var demək olardı iki irəliləyiş vəzifəyə uyğun gələn. Və hər biri üçün - öz məxrəci. Əylənmək üçün məşq edin və hər birinin ilk beş şərtini yazın.)
İndi üzv nömrəsini tapmağa çalışaq. Ən çətini budur, bəli. Həm də daha yaradıcı.
Həndəsi irəliləyiş nəzərə alınmaqla:
3; 6; 12; 24; …
Bu irəliləyişdə 768 hansı rəqəmdir?
İlk addım eynidir: düsturu yazınnci üzv!
b n = b 1 · q n -1
İndi, həmişəki kimi, bizə məlum olan məlumatları ona əvəz edirik. Hm... uyğun deyil! Birinci üzv hanı, məxrəc hanı, başqa hər şey hanı?!
Harada, harada ... Gözlər nəyə lazımdır? Kirpikləri çırpmaq? Bu dəfə irəliləmə bizə birbaşa formada verilir ardıcıllıqlar. Birinci termini görə bilərikmi? Biz görürük! Bu üçqatdır (b 1 = 3). Məxrəc haqqında nə demək olar? Biz bunu hələ görmürük, amma hesablamaq çox asandır. Əgər, əlbəttə ki, başa düşsəniz.
Burada nəzərə alırıq. Birbaşa həndəsi irəliləyişin mənasına görə: onun üzvlərindən hər hansı birini (birincidən başqa) götürürük və əvvəlkinə bölürük.
Ən azı belə:
q = 24/12 = 2
Başqa nə bilirik? Biz bu irəliləyişin 768-ə bərabər olan bəzi üzvünü də tanıyırıq. Bəzi n ədədinin altında:
b n = 768
Biz onun nömrəsini bilmirik, amma bizim vəzifəmiz məhz onu tapmaqdır.) Beləliklə, biz axtarırıq. Düsturda əvəz etmək üçün bütün lazımi məlumatları artıq yükləmişik. Görünməz şəkildə.)
Burada əvəz edirik:
768 = 3 2n -1
Elementar olanları edirik - hər iki hissəni üçə bölürük və tənliyi adi formada yenidən yazırıq: solda naməlum, sağda məlum.
Biz əldə edirik:
2 n -1 = 256
Burada maraqlı bir tənlik var. Biz "n"-ni tapmalıyıq. Qeyri-adi nə var? Bəli, mübahisə etmirəm. Əslində, ən sadədir. Naməlum olduğu üçün belə adlanır (bu halda bu nömrədir n) dayanır göstərici dərəcə.
Həndəsi irəliləyişlə tanışlıq mərhələsində (bu doqquzuncu sinifdir) eksponensial tənlikləri həll etmək öyrədilmir, bəli... Bu orta məktəb üçün mövzudur. Ancaq dəhşətli bir şey yoxdur. Bu cür tənliklərin necə həll edildiyini bilmirsinizsə belə, gəlin özümüzü tapmağa çalışaq n sadə məntiq və sağlam düşüncə ilə idarə olunur.
Müzakirəyə başlayırıq. Solda bir ikili var müəyyən dərəcədə. Bu dərəcənin dəqiq nə olduğunu hələ bilmirik, amma bu qorxulu deyil. Ancaq digər tərəfdən, bu dərəcənin 256-ya bərabər olduğunu dəqiq bilirik! Beləliklə, biz ikilinin bizə nə dərəcədə verdiyini xatırlayırıq 256. Yadınızdadır? Bəli! AT səkkizinci dərəcə!
256 = 2 8
Əgər xatırlamamısınızsa və ya problemin dərəcələrinin tanınması ilə, bu da yaxşıdır: biz sadəcə olaraq ikisini ardıcıl olaraq kvadrata, kuba, dördüncü dərəcəyə, beşinciyə və s. Seçim, əslində, lakin bu səviyyədə, olduqca gəzintidir.
Bu və ya digər şəkildə əldə edəcəyik:
2 n -1 = 2 8
n-1 = 8
n = 9
Beləliklə, 768 doqquzuncu inkişafımızın üzvü. Budur, problem həll olundu.)
Cavab: 9
Nə? Darıxdırıcı? İbtidai sinifdən bezdiniz? Razıyam. Mən də həmçinin. Gəlin növbəti səviyyəyə keçək.)
Daha mürəkkəb vəzifələr.
İndi isə tapmacaları daha kəskin həll edirik. Tam super sərin deyil, amma cavab almaq üçün bir az işləməlisən.
Məsələn, bu kimi.
Həndəsi proqresiyanın dördüncü həddi -24 və yeddinci həddi 192-dirsə, onun ikinci həddi tapın.
Bu janrın klassikidir. Proqresiyanın iki fərqli üzvü məlumdur, lakin daha bir üzv tapılmalıdır. Üstəlik, bütün üzvlər qonşu DEYİL. Əvvəlcə nə çaşdırır, bəli ...
-də olduğu kimi, bu cür problemlərin həlli üçün iki üsul nəzərdən keçiririk. Birinci yol universaldır. cəbri. İstənilən mənbə məlumatları ilə qüsursuz işləyir. Beləliklə, başlayacağımız yerdir.)
Hər termini düstura görə rəngləyirik nci üzv!
Hər şey arifmetik irəliləyişlə eynidir. Yalnız bu dəfə işləyirik başqaümumi formula. Hamısı budur.) Amma mahiyyət eynidir: alırıq və öz növbəsində ilkin məlumatlarımızı n-ci hədd düsturu ilə əvəz edirik. Hər bir üzv üçün - öz.
Dördüncü dövr üçün yazırıq:
b 4 = b 1 · q 3
-24 = b 1 · q 3
var. Bir tənlik tamamlandı.
Yeddinci dövr üçün yazırıq:
b 7 = b 1 · q 6
192 = b 1 · q 6
Ümumilikdə iki tənlik əldə edilmişdir eyni irəliləyiş .
Onlardan bir sistem yığırıq:
Nəhəng görünüşünə baxmayaraq, sistem olduqca sadədir. Həll etməyin ən bariz yolu adi əvəzetmədir. ifadə edirik b 1 yuxarı tənlikdən və aşağı tənliyi əvəz edin:
Aşağı tənliklə bir az məşğul olmaq (eksponentləri azaltmaq və -24-ə bölmək) nəticə verir:
q 3 = -8
Yeri gəlmişkən, eyni tənliyi daha sadə şəkildə əldə etmək olar! Nə? İndi sizə bu cür sistemləri həll etmək üçün başqa bir sirr, lakin çox gözəl, güclü və faydalı bir üsul göstərəcəyəm. Belə sistemlər, tənliklərində oturduqları yalnız işləyir. Heç olmasa birində. çağırdı termin bölgüsü üsulu bir tənlik digərinə.
Beləliklə, bir sistemimiz var:
Soldakı hər iki tənlikdə - iş, sağda isə sadəcə rəqəmdir. Bu çox yaxşı əlamətdir.) Gəlin götürək və ... deyək, aşağı tənliyi yuxarıya bölək! Nə deməkdir, bir tənliyi digərinə bölmək?Çox sadə. Biz götürürük sol tərəf bir tənlik (aşağı) və bölürük onun üzərində sol tərəf başqa bir tənlik (yuxarı). Sağ tərəf oxşardır: sağ tərəf bir tənlik bölürüküstündə sağ tərəf başqa.
Bütün bölmə prosesi belə görünür:
İndi azalan hər şeyi azaldaraq, əldə edirik:
q 3 = -8
Bu metodda nə yaxşıdır? Bəli, çünki belə bir bölmə prosesində pis və əlverişsiz hər şey təhlükəsiz şəkildə azaldıla bilər və tamamilə zərərsiz bir tənlik qalır! Buna görə də olması çox vacibdir yalnız çarpmalar sistemin tənliklərindən ən azı birində. Çarpma yoxdur - azaltmaq üçün heç bir şey yoxdur, bəli ...
Ümumiyyətlə, bu üsul (sistemlərin həllinin bir çox digər qeyri-trivial yolları kimi) hətta ayrıca bir dərsə layiqdir. Mən mütləq ona daha yaxından baxacağam. Bir gün…
Ancaq sistemi necə həll etməyinizdən asılı olmayaraq, hər halda, indi ortaya çıxan tənliyi həll etməliyik:
q 3 = -8
Problem yoxdur: kökü (kub) çıxarırıq və - hazırdır!
Nəzərə alın ki, çıxararkən burada artı/mənfi qeyd etmək lazım deyil. Bizim tək (üçüncü) dərəcə kökümüz var. Və cavab eynidir, bəli.
Beləliklə, irəliləmənin məxrəci tapılır. Mənfi iki. Yaxşı! Proses davam edir.)
Birinci müddət üçün (yuxarı tənlikdən deyək) alırıq:
Yaxşı! Birinci termini bilirik, məxrəci bilirik. İndi isə irəliləyişin istənilən üzvünü tapmaq imkanımız var. İkincisi də daxil olmaqla.)
İkinci üzv üçün hər şey olduqca sadədir:
b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6
Cavab: -6
Beləliklə, problemin həllinin cəbri yolunu sıraladıq. Mürəkkəb? Çox deyil, razıyam. Uzun və darıxdırıcı? Bəli, mütləq. Ancaq bəzən işin həcmini əhəmiyyətli dərəcədə azalda bilərsiniz. Bunun üçün var qrafik üsul. Yaxşı köhnə və bizə tanış olan.)
Problemi çəkək!
Bəli! Tam olaraq. Yenə də say oxunda irəliləyişimizi təsvir edirik. Mütləq bir hökmdar tərəfindən deyil, üzvlər arasında bərabər intervalları saxlamaq lazım deyil (yeri gəlmişkən, eyni olmayacaq, çünki irəliləyiş həndəsidir!), Ancaq sadəcə olaraq sxematik olaraq ardıcıllığımızı çəkin.
Mən bunu belə aldım:
İndi şəkilə baxın və düşünün. Neçə bərabər amil "q" paylaşır dördüncü və yeddinciüzvlər? Düzdü, üç!
Buna görə də yazmağa tam hüququmuz var:
-24q 3 = 192
Buradan indi q tapmaq asandır:
q 3 = -8
q = -2
Əladır, məxrəc artıq cibimizdədir. İndi isə yenidən şəklə baxırıq: nə qədər belə məxrəclər arasında oturur ikinci və dördüncüüzvlər? İki! Buna görə də, bu üzvlər arasındakı əlaqəni qeyd etmək üçün məxrəci qaldıracağıq kvadrat.
Burada yazırıq:
b 2 · q 2 = -24 , harada b 2 = -24/ q 2
Tapılmış məxrəci b 2 ifadəsində əvəz edirik, sayırıq və alırıq:
Cavab: -6
Gördüyünüz kimi, hər şey sistem vasitəsilə olduğundan daha sadə və daha sürətlidir. Üstəlik, burada heç birinci termini saymağa belə ehtiyac yox idi! Bütün.)
Budur, belə sadə və vizual bir yol-işıq. Ancaq bunun da ciddi bir çatışmazlığı var. Təxmin etdiniz? Bəli! Bu, yalnız çox qısa irəliləyiş parçaları üçün yaxşıdır. Bizi maraqlandıran üzvlər arasındakı məsafələrin çox böyük olmadığı yerlərdə. Amma bütün digər hallarda şəkil çəkmək onsuz da çətindir, bəli... Sonra problemi analitik şəkildə, sistem vasitəsilə həll edirik.) Sistemlər isə universal bir şeydir. İstənilən nömrə ilə məşğul olun.
Başqa bir epik:
Həndəsi proqresiyanın ikinci həddi birincidən 10, üçüncü həddi isə ikincidən 30 çoxdur. Proqresiyanın məxrəcini tapın.
Nə gözəldir? Dəyməz! Hamısı eyni. Biz yenə də məsələnin şərtini xalis cəbrə çeviririk.
1) Hər bir termini düstura görə rəngləyirik nci üzv!
İkinci termin: b 2 = b 1 q
Üçüncü müddətli: b 3 \u003d b 1 q 2
2) Problemin vəziyyətindən üzvlər arasındakı əlaqəni yazırıq.
Şərti oxumaq: "Həndəsi irəliləyişin ikinci həddi birincidən 10 çoxdur." Dur, bu dəyərlidir!
Beləliklə, yazırıq:
b 2 = b 1 +10
Və bu ifadəni təmiz riyaziyyata tərcümə edirik:
b 3 = b 2 +30
İki tənlik əldə etdik. Onları bir sistemdə birləşdiririk:
Sistem sadə görünür. Ancaq hərflər üçün bir çox fərqli indeks var. Onların ifadəsinin ikinci və üçüncü üzvlərinin yerinə birinci üzv və məxrəc vasitəsilə əvəz edək! Boş yerə, yoxsa nə, onları boyadıq?
Biz əldə edirik:
Ancaq belə bir sistem artıq hədiyyə deyil, bəli ... Bunu necə həll etmək olar? Təəssüf ki, kompleksi həll etmək üçün universal gizli sehr qeyri-xətti Riyaziyyatda sistem yoxdur və ola da bilməz. Bu fantastikdir! Ancaq belə sərt bir qozu sındırmağa çalışarkən ağlınıza gələn ilk şey anlamaqdır Bəs sistemin tənliklərindən biri, məsələn, dəyişənlərdən birini digəri ilə ifadə etməyi asanlaşdıran gözəl formaya çevrilmirmi?
Gəlin təxmin edək. Sistemin birinci tənliyi ikincidən daha sadədir. Ona işgəncə verəcəyik.) Birinci tənlikdən niyə cəhd etməyək bir şey vasitəsilə ifadə etmək bir şey?Çünki biz məxrəci tapmaq istəyirik q, o zaman ifadə etmək bizim üçün ən faydalı olar b 1 vasitəsilə q.
Beləliklə, köhnə yaxşı olanlardan istifadə edərək bu proseduru birinci tənliklə etməyə çalışaq:
b 1 q = b 1 +10
b 1 q - b 1 \u003d 10
b 1 (q-1) = 10
Hər şey! Burada ifadə etdik lazımsız bizə dəyişən (b 1) vasitəsilə zəruri(q). Bəli, alınan ən sadə ifadə deyil. Bir növ fraksiya ... Amma sistemimiz layiqli səviyyədədir, bəli.)
Tipik. Nə etməli - biz bilirik.
ODZ yazırıq (mütləq!) :
q ≠ 1
Hər şeyi məxrəcə (q-1) vururuq və bütün fraksiyaları azaldırıq:
10 q 2 = 10 q + 30(q-1)
Hər şeyi ona bölürük, mötərizələri açırıq, soldakı hər şeyi toplayırıq:
q 2 – 4 q + 3 = 0
Nəticəni həll edirik və iki kök alırıq:
q 1 = 1
q 2 = 3
Yalnız bir son cavab var: q = 3 .
Cavab: 3
Gördüyünüz kimi, həndəsi proqresiyanın n-ci üzvünün düsturu üçün əksər məsələlərin həlli yolu həmişə eynidir: oxuyuruq. diqqətlə məsələnin vəziyyətini öyrənir və n-ci həddin düsturundan istifadə edərək bütün faydalı məlumatları təmiz cəbrə çeviririk.
Məhz:
1) Məsələdə verilən hər bir üzvü düstura uyğun olaraq ayrıca yazırıqnci üzv.
2) Məsələnin şərtindən üzvlər arasındakı əlaqəni riyazi formaya çeviririk. Bir tənlik və ya tənliklər sistemi tərtib edirik.
3) Alınan tənliyi və ya tənliklər sistemini həll edirik, irəliləyişin naməlum parametrlərini tapırıq.
4) Birmənalı olmayan cavab olduqda, əlavə məlumat (əgər varsa) axtarışında problemin vəziyyətini diqqətlə oxuyuruq. Alınan cavabı ODZ-nin şərtləri ilə də yoxlayırıq (əgər varsa).
İndi biz həndəsi irəliləyiş məsələlərinin həlli prosesində ən çox səhvlərə səbəb olan əsas problemləri sadalayırıq.
1. Elementar hesab. Kəsrlər və mənfi ədədlərlə əməliyyatlar.
2. Əgər bu üç məqamdan heç olmasa biri problemdirsə, o zaman bu mövzuda istər-istəməz yanılacaqsınız. Təəssüf ki... Ona görə də tənbəllik etməyin və yuxarıda qeyd olunanları təkrarlayın. Və bağlantıları izləyin - gedin. Bəzən kömək edir.)
Dəyişdirilmiş və təkrarlanan düsturlar.
İndi vəziyyətin daha az tanış olan təqdimatı ilə bir neçə tipik imtahan probleminə baxaq. Bəli, bəli, təxmin etdiniz! bu dəyişdirilmiş və təkrarlanan n-ci üzvün düsturları. Biz artıq belə düsturlarla qarşılaşmışıq və arifmetik irəliləyişdə işləmişik. Burada hər şey oxşardır. Mahiyyət eynidir.
Məsələn, OGE-dən belə bir problem:
Həndəsi irəliləmə düsturla verilir b n = 3 2 n . Birinci və dördüncü hədlərin cəmini tapın.
Bu dəfə irəliləyiş bizə həmişəki kimi deyil. Bir növ formula. Nə olsun? Bu formuladır həm də formulanci üzv! Hamımız bilirik ki, n-ci həddin düsturu həm ümumi formada, həm hərflərlə, həm də üçün yazıla bilər spesifik irəliləyiş. ilə spesifik birinci müddət və məxrəc.
Bizim vəziyyətimizdə, əslində, aşağıdakı parametrləri olan həndəsi irəliləyiş üçün ümumi termin düsturu verilmişdir:
b 1 = 6
q = 2
yoxlayaq?) n-ci həddinin düsturunu ümumi formada yazaq və onu əvəz edək. b 1 və q. Biz əldə edirik:
b n = b 1 · q n -1
b n= 6 2n -1
Faktorizasiya və güc xüsusiyyətlərindən istifadə edərək sadələşdiririk və əldə edirik:
b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n
Gördüyünüz kimi, hər şey ədalətlidir. Ancaq sizinlə məqsədimiz konkret bir formulun əldə edilməsini nümayiş etdirmək deyil. Bu belədir, lirik bir kənarlaşmadır. Sırf başa düşmək üçün.) Məqsədimiz şərtdə bizə verilən düsturla problemi həll etməkdir. Yaxaladınmı?) Beləliklə, biz birbaşa olaraq dəyişdirilmiş düsturla işləyirik.
Birinci dövrü hesablayırıq. Əvəz etmək n=1 ümumi formulla:
b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
Bunun kimi. Yeri gəlmişkən, mən çox tənbəl deyiləm və bir daha birinci müddətin hesablanması ilə tipik bir kobud səhvə diqqətinizi çəkəcəyəm. Formula baxmayın b n= 3 2n, dərhal birinci üzvün troyka olduğunu yazmağa tələsin! Böyük səhvdir, bəli...)
Davam edirik. Əvəz etmək n=4 və dördüncü termini nəzərdən keçirin:
b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
Və nəhayət, tələb olunan məbləği hesablayırıq:
b 1 + b 4 = 6+48 = 54
Cavab: 54
Başqa bir problem.
Həndəsi irəliləyiş şərtlərlə verilir:
b 1 = -7;
b n +1 = 3 b n
Proqresiyanın dördüncü həddi tapın.
Burada irəliləyiş təkrarlanan düsturla verilir. Yaxşı, tamam.) Bu formula ilə necə işləmək olar - biz də bilirik.
Burada hərəkət edirik. Addım addım.
1) iki saymaq ardıcıl irəliləyişin üzvü.
Birinci müddət artıq bizə verilib. Mənfi yeddi. Lakin növbəti, ikinci müddətli rekursiv düsturdan istifadə etməklə asanlıqla hesablana bilər. Bunun necə işlədiyini başa düşsəniz, əlbəttə.)
Burada ikinci termini nəzərdən keçiririk məşhur ilk görə:
b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21
2) Proqresiyanın məxrəcini hesab edirik
Həm də problemi yoxdur. Düz, paylaş ikinci sik birinci.
Biz əldə edirik:
q = -21/(-7) = 3
3) Düsturu yazınnci üzvü adi formada seçin və istədiyiniz üzvü hesab edin.
Beləliklə, biz birinci termini, məxrəci də bilirik. Burada yazırıq:
b n= -7 3n -1
b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189
Cavab: -189
Gördüyünüz kimi, həndəsi irəliləyiş üçün belə düsturlarla işləmək arifmetik irəliləyişdən mahiyyət etibarı ilə fərqlənmir. Yalnız bu düsturların ümumi mahiyyətini və mənasını başa düşmək vacibdir. Yaxşı, həndəsi irəliləyişin mənasını da başa düşmək lazımdır, bəli.) Və sonra axmaq səhvlər olmayacaq.
Yaxşı, özümüz qərar verək?)
İstiləşmə üçün olduqca elementar vəzifələr:
1. Hansı həndəsi irəliləyiş verilmişdir b 1 = 243, və q = -2/3. Proqresiyanın altıncı həddi tapın.
2. Həndəsi proqresiyanın ümumi həddi düsturla verilir b n = 5∙2 n +1 . Bu irəliləyişin son üçrəqəmli üzvünün sayını tapın.
3. Həndəsi irəliləmə şərtlərlə verilir:
b 1 = -3;
b n +1 = 6 b n
Proqresiyanın beşinci həddi tapın.
Bir az daha mürəkkəb:
4. Həndəsi irəliləyiş verilmişdir:
b 1 =2048; q =-0,5
Bunun altıncı mənfi termini nədir?
Nə super çətin görünür? Dəyməz. Məntiq və həndəsi irəliləmənin mənasını başa düşmək xilas edəcəkdir. Yaxşı, n-ci həddinin düsturu, əlbəttə.
5. Həndəsi proqresiyanın üçüncü həddi -14, səkkizinci üzvü isə 112-dir. Proqresiyanın məxrəcini tapın.
6. Həndəsi proqresiyanın birinci və ikinci üzvlərinin cəmi 75, ikinci və üçüncü üzvlərinin cəmi 150-dir. Proqresiyanın altıncı həddi tapın.
Cavablar (səliqəsiz): 6; -3888; -bir; 800; -32; 448.
Demək olar ki, hamısı budur. Yalnız saymağı öyrənmək qalır həndəsi proqresiyanın ilk n üzvünün cəmi bəli kəşf edin sonsuz azalan həndəsi irəliləyiş və onun miqdarı. Yeri gəlmişkən, çox maraqlı və qeyri-adi bir şey! Sonrakı dərslərdə bu haqda daha ətraflı.)
