Lekcija i prezentacija na temu: "Novi brojevi. Geometrijska progresija"
Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.
Nastavna sredstva i simulatori u internet trgovini "Integral" za 9. razred
Potencija i korijenske funkcije i grafovi
Dečki, danas ćemo se upoznati s drugom vrstom progresije.
Tema današnje lekcije je geometrijska progresija.
Geometrijska progresija
Definicija. Brojčani niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak umnošku prethodnog i nekog fiksnog broja, naziva se geometrijska progresija.Definirajmo naš slijed rekurzivno: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
gdje su b i q određeni zadani brojevi. Broj q naziva se nazivnik progresije.
Primjer. 1,2,4,8,16… Geometrijska progresija, u kojoj je prvi član jednak jedan, a $q=2$.
Primjer. 8,8,8,8… Geometrijska progresija čiji je prvi član osam,
i $q=1$.
Primjer. 3,-3,3,-3,3... Geometrijska progresija čiji je prvi član tri,
i $q=-1$.
Geometrijska progresija ima svojstva monotonosti.
Ako je $b_(1)>0$, $q>1$,
tada se slijed povećava.
Ako je $b_(1)>0$, $0 Niz se obično označava kao: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Baš kao u aritmetičkoj progresiji, ako je broj elemenata u geometrijskoj progresiji konačan, tada se progresija naziva konačna geometrijska progresija.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Imajte na umu da ako je slijed geometrijska progresija, tada je slijed kvadriranih članova također geometrijska progresija. Drugi niz ima prvi član $b_(1)^2$ i nazivnik $q^2$.
Formula n-tog člana geometrijske progresije
Geometrijska progresija se također može specificirati u analitičkom obliku. Pogledajmo kako to učiniti:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Lako možemo vidjeti uzorak: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Naša formula se zove "formula n-tog člana geometrijske progresije".
Vratimo se našim primjerima.
Primjer. 1,2,4,8,16… Geometrijska progresija čiji je prvi član jednak jedan,
i $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
Primjer. 16,8,4,2,1,1/2… Geometrijska progresija čiji je prvi član šesnaest i $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
Primjer. 8,8,8,8… Geometrijska progresija u kojoj je prvi član osam i $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
Primjer. 3,-3,3,-3,3… Geometrijska progresija čiji je prvi član tri i $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
Primjer. Zadana geometrijska progresija $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Poznato je da je $b_(1)=6, q=3$. Pronađite $b_(5)$.
b) Poznato je da je $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Pronađite n.
c) Poznato je da je $q=-2, b_(6)=96$. Pronađite $b_(1)$.
d) Poznato je da je $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Pronađite q.
Odluka.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ budući da je $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Primjer. Razlika između sedmog i petog člana geometrijske progresije je 192, zbroj petog i šestog člana progresije je 192. Pronađite deseti član ove progresije.
Odluka.
Znamo da je: $b_(7)-b_(5)=192$ i $b_(5)+b_(6)=192$.
Također znamo: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Zatim:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Dobili smo sustav jednadžbi:
$\begin(slučajevi)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(slučajevi)$.
Izjednačavajući, naše jednadžbe dobivaju:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Dobili smo dva rješenja q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Zamijenite sukcesivno u drugu jednadžbu:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ nema rješenja.
Dobili smo to: $b_(1)=4, q=2$.
Nađimo deseti član: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
Zbroj konačne geometrijske progresije
Pretpostavimo da imamo konačnu geometrijsku progresiju. Izračunajmo, kao i za aritmetičku progresiju, zbroj njenih članova.Neka je dana konačna geometrijska progresija: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Uvedemo zapis za zbroj njegovih članova: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
U slučaju kada je $q=1$. Svi članovi geometrijske progresije jednaki su prvom članu, tada je očito da je $S_(n)=n*b_(1)$.
Razmotrimo sada slučaj $q≠1$.
Pomnožite gornji iznos s q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Bilješka:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
Dobili smo formulu za zbroj konačne geometrijske progresije.
Primjer.
Pronađite zbroj prvih sedam članova geometrijske progresije čiji je prvi član 4, a nazivnik 3.
Odluka.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Primjer.
Pronađite peti član geometrijske progresije, koji je poznat: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
Odluka.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
-4095$(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341 $q = 1364 $.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
Karakteristično svojstvo geometrijske progresije
Dečki, s obzirom na geometrijsku progresiju. Razmotrimo njegova tri uzastopna člana: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.Mi to znamo:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Zatim:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Ako je progresija konačna, tada ova jednakost vrijedi za sve članove osim prvog i posljednjeg.
Ako se unaprijed ne zna kakav niz ima niz, ali je poznato da je: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Tada možemo sa sigurnošću reći da je ovo geometrijska progresija.
Niz brojeva je geometrijska progresija samo kada je kvadrat svakog od njegovih članova jednak umnošku dvaju susjednih članova progresije. Ne zaboravimo to za konačna progresija ovaj uvjet nije zadovoljen za prvog i posljednjeg člana.
Pogledajmo ovaj identitet: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ naziva se prosjek geometrijski brojevi a i b.
Modul bilo kojeg člana geometrijske progresije jednak je geometrijskoj sredini dvaju susjednih članova.
Primjer.
Nađi x takav da je $x+2; 2x+2; 3x+3$ bila su tri uzastopna člana geometrijske progresije.
Odluka.
Koristimo se karakterističnim svojstvom:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ i $x_(2)=-1$.
Zamijenite sekvencijalno u izvornom izrazu, naša rješenja:
Uz $x=2$, dobili smo slijed: 4;6;9 je geometrijska progresija s $q=1,5$.
Uz $x=-1$, dobili smo slijed: 1;0;0.
Odgovor: $x=2.$
Zadaci za samostalno rješavanje
1. Nađi osmi prvi član geometrijske progresije 16; -8; 4; -2 ....2. Pronađite deseti član geometrijske progresije 11,22,44….
3. Poznato je da je $b_(1)=5, q=3$. Pronađite $b_(7)$.
4. Poznato je da je $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Pronađite n.
5. Pronađite zbroj prvih 11 članova geometrijske progresije 3;12;48….
6. Pronađite x takav da je $3x+4; 2x+4; x+5$ su tri uzastopna člana geometrijske progresije.
Razmotrimo seriju.
7 28 112 448 1792...
Apsolutno je jasno da je vrijednost bilo kojeg od njegovih elemenata točno četiri puta veća od prethodnog. Dakle, ova serija je napredak.
Geometrijska progresija je beskonačan niz brojeva glavna značajka a to je da se sljedeći broj dobije od prethodnog množenjem s nekim određenim brojem. To se izražava sljedećom formulom.
a z +1 =a z q, gdje je z broj odabranog elementa.
Prema tome, z ∈ N.
Razdoblje kada se u školi uči geometrijska progresija je 9. razred. Primjeri će vam pomoći da shvatite koncept:
0.25 0.125 0.0625...
Na temelju ove formule nazivnik progresije se može pronaći kako slijedi:
Ni q ni b z ne mogu biti nula. Također, svaki od elemenata progresije ne bi trebao biti jednak nuli.
U skladu s tim, da biste saznali sljedeći broj u nizu, trebate posljednji pomnožiti s q.
Da biste specificirali ovu progresiju, morate navesti njezin prvi element i nazivnik. Nakon toga moguće je pronaći bilo koji od sljedećih pojmova i njihov zbroj.
Sorte
Ovisno o q i a 1, ova progresija je podijeljena u nekoliko tipova:
- Ako su i 1 i q veći od jedan, tada je takav niz geometrijska progresija koja raste sa svakim sljedećim elementom. Primjer takvoga predstavljen je u nastavku.
Primjer: a 1 =3, q=2 - oba parametra su veća od jedan.
Tada se numerički niz može zapisati ovako:
3 6 12 24 48 ...
- Ako je |q| manje od jedan, to jest, množenje s njim je ekvivalentno dijeljenju, tada je progresija sa sličnim uvjetima opadajuća geometrijska progresija. Primjer takvoga predstavljen je u nastavku.
Primjer: a 1 =6, q=1/3 - a 1 je veći od jedan, q manji.
Tada se numerički niz može napisati na sljedeći način:
6 2 2/3 ... - bilo koji element je 3 puta veći od elementa koji ga slijedi.
- Znak-varijabla. Ako je q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Primjer: a 1 = -3 , q = -2 - oba parametra su manja od nule.
Tada se slijed može napisati ovako:
3, 6, -12, 24,...
Formule
Za praktično korištenje geometrijskih progresija postoje mnoge formule:
- Formula z-tog člana. Omogućuje vam da izračunate element pod određenim brojem bez izračunavanja prethodnih brojeva.
Primjer:q = 3, a 1 = 4. Potrebno je izračunati četvrti element progresije.
Odluka:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Zbroj prvih elemenata čiji je broj z. Omogućuje vam izračunavanje zbroja svih elemenata niza doa zuključivo.
Od (1-q) je u nazivniku, tada (1 - q)≠ 0, stoga q nije jednak 1.
Napomena: ako je q=1, tada bi progresija bila niz broja koji se beskonačno ponavlja.
Zbroj geometrijske progresije, primjeri:a 1 = 2, q= -2. Izračunaj S 5 .
Odluka:S 5 = 22 - izračun po formuli.
- Iznos ako |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
Primjer:a 1 = 2 , q= 0,5. Pronađite iznos.
Odluka:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Neka svojstva:
- karakteristično svojstvo. Ako je sljedeći uvjet izvodi za bilo kojez, tada je zadani niz brojeva geometrijska progresija:
a z 2 = a z -1 · az+1
- Također, kvadrat bilo kojeg broja geometrijske progresije nalazi se zbrajanjem kvadrata bilo koja druga dva broja u danom nizu, ako su jednako udaljeni od ovog elementa.
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , gdjetje udaljenost između ovih brojeva.
- Elementirazlikuju se u qjednom.
- Logaritmi elemenata progresije također tvore progresiju, ali već aritmetičku, odnosno svaki od njih je za određeni broj veći od prethodnog.
Primjeri nekih klasičnih problema
Za bolje razumijevanje što je geometrijska progresija mogu pomoći primjeri s rješenjem za 9. razred.
- Uvjeti:a 1 = 3, a 3 = 48. Nađiq.
Rješenje: svaki sljedeći element je veći od prethodnog uq jednom.Potrebno je neke elemente izraziti kroz druge pomoću nazivnika.
Stoga,a 3 = q 2 · a 1
Prilikom zamjeneq= 4
- Uvjeti:a 2 = 6, a 3 = 12. Izračunaj S 6 .
Odluka:Da biste to učinili, dovoljno je pronaći q, prvi element i zamijeniti ga u formulu.
a 3 = q· a 2 , stoga,q= 2
a 2 = q a 1 ,Zato a 1 = 3
S 6 = 189
- · a 1 = 10, q= -2. Pronađite četvrti element progresije.
Rješenje: da biste to učinili, dovoljno je četvrti element izraziti kroz prvi i kroz nazivnik.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Primjer primjene:
- Klijent banke položio je depozit u iznosu od 10.000 rubalja, prema kojem će klijent svake godine dodati 6% na glavnicu. Koliko će novca biti na računu nakon 4 godine?
Rješenje: Početni iznos je 10 tisuća rubalja. Dakle, godinu dana nakon ulaganja, račun će imati iznos jednak 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06
Sukladno tome, iznos na računu nakon sljedeće godine bit će izražen na sljedeći način:
(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000
Odnosno, svake godine iznos se povećava za 1,06 puta. To znači da je za pronalaženje iznosa sredstava na računu nakon 4 godine dovoljno pronaći četvrti element progresije koji je zadan prvim elementom jednakim 10 tisuća, a nazivnikom jednakim 1,06.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Primjeri zadataka za izračunavanje zbroja:
U raznim problemima koristi se geometrijska progresija. Primjer za pronalaženje zbroja može se dati na sljedeći način:
a 1 = 4, q= 2, izračunajS5.
Rješenje: svi podaci potrebni za izračun su poznati, samo ih trebate zamijeniti u formulu.
S 5 = 124
- a 2 = 6, a 3 = 18. Izračunaj zbroj prvih šest elemenata.
Odluka:
Geom. progresije, svaki sljedeći element je q puta veći od prethodnog, odnosno da biste izračunali zbroj, morate znati elementa 1 i nazivnikq.
a 2 · q = a 3
q = 3
Slično tome, moramo pronaćia 1 , znajućia 2 iq.
a 1 · q = a 2
a 1 =2
S 6 = 728.
Ako je svaki prirodan broj n odgovara realnom broju a n , onda kažu da dano brojčani niz :
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .
Dakle, numerički niz je funkcija prirodnog argumenta.
Broj a 1 pozvao prvi član niza , broj a 2 — drugi član niza , broj a 3 — treći itd. Broj a n pozvao n-ti član niza , a prirodni broj n — njegov broj .
Od dva susjedna člana a n i a n +1 sekvence članova a n +1 pozvao naknadni (prema a n ), a a n — prethodni (prema a n +1 ).
Da biste odredili slijed, morate odrediti metodu koja vam omogućuje da pronađete član niza s bilo kojim brojem.
Često se niz daje sa formule n-tog pojma , odnosno formula koja vam omogućuje da odredite član niza po njegovom broju.
Na primjer,
niz pozitivnih neparnih brojeva može se dati formulom
a n= 2n- 1,
i slijed naizmjeničnog 1 i -1 - formula
b n = (-1)n +1 . ◄
Slijed se može odrediti ponavljajuća formula, odnosno formula koja izražava bilo koji član niza, počevši s nekim, preko prethodnih (jedan ili više) članova.
Na primjer,
ako a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5
a 1 = 1,
a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Ako je a a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada se prvih sedam članova numeričkog niza postavlja na sljedeći način:
a 1 = 1,
a 2 = 1,
a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,
a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,
a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,
a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,
a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Sekvence mogu biti konačni i beskrajna .
Slijed se zove ultimativno ako ima konačan broj članova. Slijed se zove beskrajna ako ima beskonačno mnogo članova.
Na primjer,
niz dvoznamenkastih prirodnih brojeva:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
konačni.
Niz prostih brojeva:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
beskrajna. ◄
Slijed se zove povećavajući , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, veći od prethodnog.
Slijed se zove jenjavajući , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, manji od prethodnog.
Na primjer,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . je uzlazni niz;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . je silazni niz. ◄
Niz čiji se elementi ne smanjuju s povećanjem broja, ili, obrnuto, ne povećavaju, naziva se monotoni niz .
Monotoni nizovi, posebno, su rastuće sekvence i opadajuće sekvence.
Aritmetička progresija
Aritmetička progresija poziva se niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, kojem se dodaje isti broj.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .
je aritmetička progresija ako za bilo koji prirodan broj n uvjet je ispunjen:
a n +1 = a n + d,
gdje d - neki broj.
Dakle, razlika između sljedećih i prethodnih članova dane aritmetičke progresije je uvijek konstantna:
a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.
Broj d pozvao razlika aritmetičke progresije.
Za postavljanje aritmetičke progresije dovoljno je navesti njezin prvi član i razliku.
Na primjer,
ako a 1 = 3, d = 4 , tada se prvih pet članova niza nalazi kako slijedi:
a 1 =3,
a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,
a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,
a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,
a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
Za aritmetičku progresiju s prvim članom a 1 i razlika d nju n
a n = a 1 + (n- 1)d.
Na primjer,
pronađite trideseti član aritmetičke progresije
1, 4, 7, 10, . . .
a 1 =1, d = 3,
a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
a n-1 = a 1 + (n- 2)d,
a n= a 1 + (n- 1)d,
a n +1 = a 1 + nd,
onda očito
| a n=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini prethodnog i sljedećih članova.
brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke aritmetičke progresije ako i samo ako je jedan od njih jednak aritmetičkoj sredini druga dva.
Na primjer,
a n = 2n- 7 , je aritmetička progresija.
Poslužimo se gornjom tvrdnjom. Imamo:
a n = 2n- 7,
a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
Stoga,
| a n+1 + a n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = a n,
|
| 2
| 2
|
◄
Imajte na umu da n -ti član aritmetičke progresije može se pronaći ne samo kroz a 1 , ali i svaki prethodni a k
a n = a k + (n- k)d.
Na primjer,
za a 5 može se napisati
a 5 = a 1 + 4d,
a 5 = a 2 + 3d,
a 5 = a 3 + 2d,
a 5 = a 4 + d. ◄
a n = a n-k + kd,
a n = a n+k - kd,
onda očito
| a n=
| a n-k
+a n+k
|
| 2
|
bilo koji član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je polovici zbroja članova ove aritmetičke progresije koji su jednako udaljeni od njega.
Osim toga, za bilo koju aritmetičku progresiju vrijedi jednakost:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
Na primjer,
u aritmetičkoj progresiji
1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;
2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kao
a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,
a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,
prvi n članovi aritmetičke progresije jednak je umnošku polovice zbroja ekstremnih članova s brojem članova:
Iz ovoga posebno proizlazi da ako je potrebno zbrojiti pojmove
a k, a k +1 , . . . , a n,
tada prethodna formula zadržava svoju strukturu:
Na primjer,
u aritmetičkoj progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Ako se da aritmetička progresija, zatim količine a 1 , a n, d, n iS n povezane dvije formule:
Stoga, ako su dane vrijednosti tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula kombiniranih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.
Aritmetička progresija je monoton niz. pri čemu:
- ako d > 0 , onda se povećava;
- ako d < 0 , tada se smanjuje;
- ako d = 0 , tada će slijed biti stacionaran.
Geometrijska progresija
geometrijska progresija naziva se niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnoženom s istim brojem.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
je geometrijska progresija ako je za bilo koji prirodan broj n uvjet je ispunjen:
b n +1 = b n · q,
gdje q ≠ 0 - neki broj.
Dakle, omjer sljedećeg člana ove geometrijske progresije u odnosu na prethodni je konstantan broj:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
Broj q pozvao nazivnik geometrijske progresije.
Za postavljanje geometrijske progresije dovoljno je navesti njezin prvi član i nazivnik.
Na primjer,
ako b 1 = 1, q = -3 , tada se prvih pet članova niza nalazi kako slijedi:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 i nazivnik q nju n -ti pojam se može naći po formuli:
b n = b 1 · q n -1 .
Na primjer,
pronaći sedmi član geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,
b n +1 = b 1 · q n,
onda očito
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
svaki član geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je geometrijskoj sredini (proporcionalnoj) prethodnog i sljedećih članova.
Budući da je istinito i obrnuto, vrijedi sljedeća tvrdnja:
brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke geometrijske progresije ako i samo ako je kvadrat jednog od njih jednak umnošku druga dva, odnosno, jedan od brojeva je geometrijska sredina druga dva.
Na primjer,
dokažimo da je niz zadan formulom b n= -3 2 n , je geometrijska progresija. Poslužimo se gornjom tvrdnjom. Imamo:
b n= -3 2 n,
b n -1 = -3 2 n -1 ,
b n +1 = -3 2 n +1 .
Stoga,
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
što dokazuje traženu tvrdnju. ◄
Imajte na umu da n th pojam geometrijske progresije može se pronaći ne samo kroz b 1 , ali i svaki prethodni mandat b k , za što je dovoljno koristiti formulu
b n = b k · q n - k.
Na primjer,
za b 5 može se napisati
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = b k · q n - k,
b n = b n - k · q k,
onda očito
b n 2 = b n - k· b n + k
kvadrat bilo kojeg člana geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je umnošku članova ove progresije jednako udaljenih od njega.
Osim toga, za bilo koju geometrijsku progresiju vrijedi jednakost:
b m· b n= b k· b l,
m+ n= k+ l.
Na primjer,
eksponencijalno
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kao
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
prvi n članovi geometrijske progresije s nazivnikom q ≠ 0 izračunato po formuli:
I kada q = 1 - prema formuli
S n= n.b. 1
Imajte na umu da ako trebamo zbrojiti pojmove
b k, b k +1 , . . . , b n,
tada se koristi formula:
| S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - q n -
k +1
| . |
| 1 - q
|
Na primjer,
eksponencijalno 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Ako je dana geometrijska progresija, tada su količine b 1 , b n, q, n i S n povezane dvije formule:
Stoga, ako su dane vrijednosti bilo koje tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula kombiniranih u sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice.
Za geometrijsku progresiju s prvim članom b 1 i nazivnik q odvijaju se sljedeće svojstva monotonosti :
- napredovanje se povećava ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:
b 1 > 0 i q> 1;
b 1 < 0 i 0 < q< 1;
- Progresija se smanjuje ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:
b 1 > 0 i 0 < q< 1;
b 1 < 0 i q> 1.
Ako je a q< 0 , tada je geometrijska progresija znakovno naizmjenična: njezini neparni članovi imaju isti predznak kao i prvi član, a parni članovi imaju suprotan predznak. Jasno je da izmjenična geometrijska progresija nije monotona.
Proizvod prvog n pojmovi geometrijske progresije mogu se izračunati po formuli:
P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
Na primjer,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Beskonačno opadajuća geometrijska progresija
Beskonačno opadajuća geometrijska progresija naziva se beskonačna geometrijska progresija čiji je modul nazivnika manji od 1 , tj
|q| < 1 .
Imajte na umu da beskonačno opadajuća geometrijska progresija ne mora biti opadajući niz. Ovo odgovara slučaju
1 < q< 0 .
S takvim nazivnikom niz je predznak alternativan. Na primjer,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije imenovati broj na koji je zbroj prvog n uvjeti progresije uz neograničeno povećanje broja n . Ovaj broj je uvijek konačan i izražava se formulom
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
Na primjer,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Odnos aritmetičke i geometrijske progresije
Aritmetika i geometrijska progresija usko su povezani. Razmotrimo samo dva primjera.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , onda
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
Na primjer,
1, 3, 5, . . . — aritmetička progresija s razlikom 2 i
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . je geometrijska progresija s nazivnikom 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . je geometrijska progresija s nazivnikom q , onda
zapisnik a b 1, zapisnik a b 2, zapisnik a b 3, . . . — aritmetička progresija s razlikom dnevnik aq .
Na primjer,
2, 12, 72, . . . je geometrijska progresija s nazivnikom 6 i
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetička progresija s razlikom lg 6 . ◄
Geometrijska progresija, uz aritmetiku, je važna numerički niz, koji se izučava u školskom kolegiju algebre u 9. razredu. U ovom članku ćemo razmotriti nazivnik geometrijske progresije i kako njezina vrijednost utječe na njezina svojstva.
Definicija geometrijske progresije
Prvo, definirajmo ovo brojevni niz. Geometrijska progresija je niz racionalni brojevi, koji nastaje uzastopnim množenjem njegovog prvog elementa s konstantnim brojem koji se naziva nazivnik.
Na primjer, brojevi u nizu 3, 6, 12, 24, ... su geometrijska progresija, jer ako pomnožimo 3 (prvi element) s 2, dobit ćemo 6. Ako pomnožimo 6 s 2, dobit ćemo 12, i tako dalje.
Članovi niza koji se razmatraju obično se označavaju simbolom ai, gdje je i cijeli broj koji označava broj elementa u nizu.
Gornja definicija progresije može se napisati jezikom matematike na sljedeći način: an = bn-1 * a1, gdje je b nazivnik. Lako je provjeriti ovu formulu: ako je n = 1, onda je b1-1 = 1, i dobivamo a1 = a1. Ako je n = 2, onda je an = b * a1, i opet dolazimo do definicije niza brojeva koji se razmatraju. Slično razmišljanje može se nastaviti za velike vrijednosti n.
Nazivnik geometrijske progresije
Broj b u potpunosti određuje kakav će karakter imati cijeli niz brojeva. Nazivnik b može biti pozitivan, negativan ili veći ili manji od jedan. Sve gore navedene opcije vode do različitih slijeda:
- b > 1. Postoji rastući niz racionalnih brojeva. Na primjer, 1, 2, 4, 8, ... Ako je element a1 negativan, tada će se cijeli niz povećati samo po modulu, ali smanjiti uzimajući u obzir predznak brojeva.
- b = 1. Često se takav slučaj ne naziva progresijom, jer redovni red isti racionalni brojevi. Na primjer, -4, -4, -4.
Formula za zbroj
Prije nego što pređemo na razmatranje specifičnih problema korištenjem nazivnika vrste progresije koja se razmatra, treba dati važnu formulu za zbroj njegovih prvih n elemenata. Formula je: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Ovaj izraz možete dobiti sami ako uzmete u obzir rekurzivni slijed članova progresije. Također imajte na umu da je u gornjoj formuli dovoljno poznavati samo prvi element i nazivnik kako biste pronašli zbroj proizvoljnog broja članova.
Beskonačno opadajući niz
Gore je bilo objašnjenje o čemu se radi. Sada, znajući formulu za Sn, primijenimo je na ovaj niz brojeva. Budući da svaki broj čiji modul ne prelazi 1 teži nuli kada se podigne na velike stupnjeve, to jest, b∞ => 0 ako je -1
Budući da će razlika (1 - b) uvijek biti pozitivna, bez obzira na vrijednost nazivnika, predznak zbroja beskonačno opadajuće geometrijske progresije S∞ jednoznačno je određen predznakom njezina prvog elementa a1.
Sada ćemo razmotriti nekoliko problema, gdje ćemo pokazati kako primijeniti stečeno znanje na određene brojeve.
Zadatak broj 1. Izračunavanje nepoznatih elemenata progresije i zbroja
Za geometrijsku progresiju nazivnik progresije je 2, a prvi element je 3. Koliki će biti njezin 7. i 10. član i koliki je zbroj njegovih sedam početnih elemenata?
Uvjet problema je prilično jednostavan i uključuje izravnu upotrebu gornjih formula. Dakle, da bismo izračunali element s brojem n, koristimo izraz an = bn-1 * a1. Za 7. element imamo: a7 = b6 * a1, zamjenjujući poznate podatke, dobivamo: a7 = 26 * 3 = 192. Isto radimo za 10. član: a10 = 29 * 3 = 1536.
Koristimo poznatu formulu za zbroj i odredimo ovu vrijednost za prvih 7 elemenata niza. Imamo: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Zadatak broj 2. Određivanje zbroja proizvoljnih elemenata progresije
Neka je -2 nazivnik eksponencijalne progresije bn-1 * 4, gdje je n cijeli broj. Potrebno je odrediti zbroj od 5. do 10. elementa ove serije, uključujući.
Postavljeni problem ne može se riješiti izravno pomoću poznatih formula. Možete ga riješiti sa 2 razne metode. Radi cjelovitosti predstavljamo oba.
Metoda 1. Njegova ideja je jednostavna: trebate izračunati dva odgovarajuća zbroja prvih članova, a zatim oduzeti drugi od jednog. Izračunajte manji zbroj: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sada izračunavamo veliki zbroj: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Imajte na umu da u posljednji izraz zbrojena su samo 4 člana, budući da je 5. već uključen u zbroj koji je potrebno izračunati prema uvjetu zadatka. Konačno, uzimamo razliku: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Metoda 2. Prije zamjene brojeva i brojanja, možete dobiti formulu za zbroj između pojmova m i n dotičnog niza. Djelujemo na potpuno isti način kao u metodi 1, samo što prvo radimo sa simboličkim prikazom zbroja. Imamo: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Možete zamijeniti poznate brojeve u rezultirajući izraz i izračunati konačni rezultat: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Zadatak broj 3. Koliki je nazivnik?
Neka je a1 = 2, pronađite nazivnik geometrijske progresije, pod uvjetom da je njezin beskonačan zbroj 3, a poznato je da je to opadajući niz brojeva.
Prema stanju zadatka nije teško pogoditi kojom formulom ga treba riješiti. Naravno, za zbroj beskonačno opadajuće progresije. Imamo: S∞ = a1 / (1 - b). Odakle izražavamo nazivnik: b = 1 - a1 / S∞. Ostaje zamjena poznate vrijednosti i dobijemo traženi broj: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 ili -0,333 (3). Ovaj rezultat možemo kvalitativno provjeriti ako se sjetimo da za ovu vrstu niza modul b ne smije prelaziti 1. Kao što vidite, |-1 / 3|
Zadatak broj 4. Obnavljanje niza brojeva
Neka su data 2 elementa brojevnog niza, na primjer, 5. je jednak 30, a 10. je jednak 60. Iz tih podataka je potrebno obnoviti cijeli niz, znajući da on zadovoljava svojstva geometrijske progresije.
Da biste riješili problem, prvo morate zapisati odgovarajući izraz za svaki poznati član. Imamo: a5 = b4 * a1 i a10 = b9 * a1. Sada dijelimo drugi izraz s prvim, dobivamo: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Odavde odredimo nazivnik uzimajući korijen petog stupnja omjera članova poznatih iz uvjeta zadatka, b = 1,148698. Rezultirajući broj zamjenjuje se u jedan od izraza za poznati element, dobivamo: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.
Dakle, pronašli smo nazivnik progresije bn, a geometrijske progresije bn-1 * 17,2304966 = an, gdje je b = 1,148698.
Gdje se koriste geometrijske progresije?
Da nema primjene ovog brojčanog niza u praksi, onda bi se njegovo proučavanje svelo na čisto teorijski interes. Ali postoji takva aplikacija.
3 najpoznatija primjera navedena su u nastavku:
- Zenonov paradoks, u kojem okretni Ahilej ne može sustići sporu kornjaču, riješen je konceptom beskonačno opadajućeg niza brojeva.
- Ako se zrna pšenice stave na svaku ćeliju šahovske ploče tako da se 1 zrno stavi na 1. ćeliju, 2 - na 2., 3 - na 3. i tako dalje, tada će biti potrebno 18446744073709551615 zrna za popunjavanje svih ćelija Ploča!
- U igri "Tower of Hanoi", da bi se diskovi presložili s jednog štapa na drugi, potrebno je izvesti 2n - 1 operacije, odnosno njihov broj raste eksponencijalno od broja diskova n koji se koriste.
Uputa
10, 30, 90, 270...
Potrebno je pronaći nazivnik geometrijske progresije.
Odluka:
1 opcija. Uzmimo proizvoljan član progresije (na primjer, 90) i podijelimo ga s prethodnim (30): 90/30=3.
Ako je poznat zbroj nekoliko članova geometrijske progresije ili zbroj svih članova opadajuće geometrijske progresije, tada za pronalaženje nazivnika progresije koristite odgovarajuće formule:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), gdje je Sn zbroj prvih n članova geometrijske progresije i
S = b1/(1-q), gdje je S zbroj beskonačno opadajuće geometrijske progresije (zbroj svih članova progresije s nazivnikom manjim od jedan).
Primjer.
Prvi član opadajuće geometrijske progresije jednak je jedan, a zbroj svih njegovih članova jednak je dva.
Potrebno je odrediti nazivnik ove progresije.
Odluka:
Zamijenite podatke iz zadatka u formulu. Dobiti:
2=1/(1-q), odakle je – q=1/2.
Progresija je niz brojeva. U geometrijskoj progresiji svaki sljedeći član dobiva se množenjem prethodnog s određenim brojem q, koji se naziva nazivnik progresije.
Uputa
Ako su poznata dva susjedna člana geometrijskog b(n+1) i b(n), da bi se dobio nazivnik potrebno je broj s velikim brojem podijeliti s onim koji mu prethodi: q=b(n +1)/b(n). To proizlazi iz definicije progresije i njezinog nazivnika. Važan uvjet je da prvi član i nazivnik progresije nisu jednaki nuli, inače se smatra neodređenim.
Tako se između članova progresije uspostavljaju sljedeći odnosi: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Formulom b(n)=b1 q^(n-1) može se izračunati bilo koji član geometrijske progresije u kojoj su poznati nazivnik q i član b1. Također, svaki od modula progresije jednak je prosjeku svojih susjednih članova: |b(n)|=√, stoga je progresija dobila svoj .
Analog geometrijske progresije je najjednostavnija eksponencijalna funkcija y=a^x, gdje je x u eksponentu, a je neki broj. U ovom slučaju nazivnik progresije se poklapa s prvim članom i jednak je broju a. Vrijednost funkcije y može se shvatiti kao n-ti član progresije, ako se argument x uzme kao prirodni broj n (brojač).
