Moment sile oko osi njegovih svojstava. Moment sile oko osi

Prilikom rješavanja zadataka za kretanje objekata u nekim slučajevima se zanemaruju njihove prostorne dimenzije, uvodeći pojam materijalne točke. Za drugu vrstu problema, u kojima se razmatraju tijela koja miruju ili rotirajuća tijela, važno je poznavati njihove parametre i točke primjene vanjskih sila. U ovom slučaju govorimo o momentu sila oko osi rotacije. Razmotrimo ovo pitanje u članku.

Pojam momenta sile

Prije nego što se postigne fiksna os rotacije, potrebno je razjasniti o kojoj će se pojavi biti govora. Ispod je slika koja prikazuje ključ duljine d, na njegov kraj djeluje sila F. Lako je zamisliti da će rezultat njegovog djelovanja biti rotacija ključa u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i odvrtanje matice.

Prema definiciji, moment sile oko osi rotacije umnožak je ramena (u ovom slučaju d) i sile (F), odnosno može se napisati sljedeći izraz: M = d * F. Odmah treba napomenuti da je gornja formula napisana u skalarnom obliku, odnosno omogućuje vam izračunavanje apsolutne vrijednosti trenutka M. Kao što se može vidjeti iz formule, jedinica mjerenja razmatrane količine je njutn po metru (N * m).

- vektorska količina

Kao što je gore objašnjeno, trenutak M je zapravo vektor. Da biste pojasnili ovu izjavu, razmotrite drugu brojku.

Ovdje vidimo polugu duljine L, koja je fiksirana na osi (prikazano strelicom). Na njegov kraj pod kutom Φ djeluje sila F. Nije teško zamisliti da će ta sila uzrokovati podizanje poluge. Formula za trenutak u vektorskom obliku u ovom slučaju bit će zapisana na sljedeći način: M¯ = L¯*F¯, ovdje crtica iznad simbola znači da je dotična veličina vektor. Treba pojasniti da je L¯ usmjerena od do točke primjene sile F¯.

Gornji izraz je vektorski proizvod. Njegov rezultirajući vektor (M¯) bit će okomit na ravninu koju čine L¯ i F¯. Za određivanje smjera trenutka M¯ postoji nekoliko pravila ( desna ruka, gimlet). Kako ih ne biste zapamtili i ne biste se zabunili u redoslijedu množenja vektora L¯ i F¯ (smjer M¯ ovisi o tome), trebali biste zapamtiti jednu jednostavnu stvar: moment sile će biti usmjeren u takvom način na koji, ako gledate s kraja njegovog vektora, tada će djelujuća sila F ¯ rotirati polugu u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Ovaj smjer trenutka uvjetno se uzima kao pozitivan. Ako se sustav okreće u smjeru kazaljke na satu, tada rezultirajući moment sila ima negativnu vrijednost.

Dakle, u razmatranom slučaju s polugom L, vrijednost M¯ je usmjerena prema gore (od slike do čitača).

U skalarnom obliku, formula za trenutak je zapisana kao: M = L*F*sin(180-Φ) ili M = L*F*sin(Φ) (sin(180-Φ) = sin(Φ)). Prema definiciji sinusa, možemo napisati jednakost: M = d*F, gdje je d = L*sin(Φ) (vidi sliku i odgovarajuće pravokutni trokut). Posljednja formula je slična onoj navedenoj u prethodnom odlomku.

Gornji proračuni pokazuju kako se radi s vektorskim i skalarnim količinama momenata sila kako bi se izbjegle pogreške.

Fizičko značenje M¯

Budući da su dva slučaja razmatrana u prethodnim paragrafima povezana s rotacijskim gibanjem, može se pretpostaviti kakvo značenje ima moment sile. Ako je sila koja djeluje na materijalnu točku mjera povećanja brzine linearnog pomaka potonje, tada je moment sile mjera njezine rotacijske sposobnosti u odnosu na sustav koji se razmatra.

Donesimo dobar primjer. Svaka osoba otvara vrata držeći ručicu. To se također može učiniti guranjem vrata u predjelu ručke. Zašto ga nitko ne otvori guranjem u području šarki? Vrlo jednostavno: što je sila bliže šarkama, to je teže otvoriti vrata i obrnuto. Izvođenje prethodne rečenice slijedi iz formule za trenutak (M = d*F), koja pokazuje da su za M = const vrijednosti d i F u inverzni odnos.

Moment sile - aditivna količina

U svim gore navedenim slučajevima djelovala je samo jedna sila. Prilikom odlučivanja stvarni zadaci stvar je puno kompliciranija. Obično sustavi koji rotiraju ili su u ravnoteži podložni su nekoliko torzijskih sila, od kojih svaka stvara svoj vlastiti moment. U ovom slučaju, rješenje problema se svodi na pronalaženje ukupnog momenta sila u odnosu na os rotacije.

Ukupni moment se nalazi uobičajenim zbrojem pojedinačnih momenata za svaku silu, međutim, ne zaboravite koristiti ispravan predznak za svaku od njih.

Primjer rješenja problema

Za konsolidaciju stečenog znanja predlaže se rješavanje sljedećeg problema: potrebno je izračunati ukupni moment sile za sustav prikazan na donjoj slici.

Vidimo da tri sile (F1, F2, F3) djeluju na polugu dugu 7 m, a imaju različite točke primjene u odnosu na os rotacije. Budući da je smjer sila okomit na polugu, nema potrebe koristiti vektorski izraz za moment torzije. Moguće je izračunati ukupni moment M koristeći skalarnu formulu i zapamtiti iskaz željeni znak. Budući da sile F1 i F3 teže okretanju poluge u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a F2 - u smjeru kazaljke na satu, moment rotacije za prvi će biti pozitivan, a za drugi - negativan. Imamo: M \u003d F1 * 7-F2 * 5 + F3 * 3 \u003d 140-50 + 75 \u003d 165 N * m. Odnosno, ukupni trenutak je pozitivan i usmjeren prema gore (čitatelju).

Moment sile oko osi rotacije naziva se fizička veličina jednak umnošku sile na njegovom ramenu.

Moment sile određuje se formulom:

M - FI, gdje je F sila, I je krak sile.

Rame sile je najkraća udaljenost od linije djelovanja sile do osi rotacije tijela.

Na sl. 1.33, a prikazuje kruto tijelo koje se može rotirati oko osi. Os rotacije ovog tijela okomita je na ravninu lika i prolazi kroz točku označenu slovom O. Rame sile F ovdje je udaljenost 1X od osi rotacije do linije djelovanja sile. . Pronađite ga na sljedeći način. Najprije nacrtajte liniju djelovanja sile. Zatim se iz točke O, kroz koju prolazi os rotacije tijela, spušta okomica na liniju djelovanja sile. Duljina ove okomice je krak zadane sile.

Moment sile karakterizira rotacijsko djelovanje sile. Ova akcija ovisi i o snazi ​​i o poluzi. Što je krak veći, potrebno je primijeniti manju silu da bi se postigao željeni rezultat, tj. isti moment sile (vidi (1.33)). Zato je vrata puno teže otvoriti gurajući ih blizu šarki nego držeći ručku, a puno je lakše odvrnuti maticu dugim nego kratkim ključem.

Jedinicom momenta sile u SI uzima se moment sile od 1 N, čiji je krak 1 m - njutn metar (N m).

pravilo trenutka

Kruto tijelo koje se može rotirati oko fiksne osi je u ravnoteži ako je moment sile M, koja ga rotira u smjeru kazaljke na satu, jednak momentu sile M2, koja ga rotira u smjeru suprotnom od kazaljke na satu:

M1 \u003d -M2 ili F 1 ll \u003d - F 2 l 2.

Pravilo momenata posljedica je jednog od teorema mehanike, koji je formulirao francuski znanstvenik P. Varignon 1687. godine.

Ako na tijelo djeluju dvije jednake i suprotno usmjerene sile koje ne leže na istoj pravoj liniji, tada takvo tijelo nije u ravnoteži, jer rezultirajući moment tih sila u odnosu na bilo koju os nije jednak nuli, jer obje sile imaju trenutke usmjerene u istom smjeru . Dvije takve sile koje istovremeno djeluju na tijelo nazivaju se parom sila. Ako je tijelo fiksirano na osi, tada će se pod djelovanjem para sila rotirati. Ako se na slobodno tijelo primijeni par sila, ono će se rotirati oko osi koja prolazi kroz težište tijela, sl. 1.33b.

Moment para sila jednak je oko bilo koje osi okomite na ravninu para. Ukupni moment M para uvijek je jednak umnošku jedne od sila F i udaljenosti I između sila, koja se naziva krak para, bez obzira na koje segmente i /2 dijeli položaj osi ruka para:

M = Fll + Fl2=F(l1 + l2) = Fl.

Moment nekoliko sila čija je rezultanta jednaka nuli bit će isti u odnosu na sve osi paralelne jedna s drugom, pa se djelovanje svih tih sila na tijelo može zamijeniti djelovanjem jednog para sila. s istim momentom.

Trenutak snage (sinonimi: moment, moment, moment, moment) je vektorska fizička veličina jednaka vektorskom umnošku vektora radijusa povučen od osi rotacije do točke primjene sile vektorom ove sile. Karakterizira rotacijsko djelovanje sile na kruto tijelo.

Koncepti "rotirajućih" i "momentnih" momenata općenito nisu identični, budući da se u tehnologiji koncept "rotacionog" momenta smatra vanjskom silom koja se primjenjuje na objekt, a "moment" je unutarnja sila koja se javlja u objektu. pod djelovanjem primijenjenih opterećenja (ovaj se koncept koristi u otpornosti materijala).

Enciklopedijski YouTube

1 / 5

7 ćelija - 39. Moment sile. pravilo trenutka

Moment gravitacije.Bućica i ruka

Snaga i masa

Trenutak snage. Poluge u prirodi, tehnici, svakodnevnom životu | Fizika 7. razred #44 | info lekcija

Ovisnost kutnog ubrzanja o momentu sila 1

titlovi

Opće informacije

Posebne prilike

Formula momenta poluge

Vrlo zanimljiv poseban slučaj predstavlja se kao definicija momenta sile u polju:

Problem s ovim prikazom je što ne daje smjer momenta sile, već samo njenu veličinu. Ako je sila okomita na vektor r → (\displaystyle (\vec (r))), moment poluge će biti jednaka udaljenosti do centra i moment sile će biti maksimalan:

Sila pod kutom

Ako snaga F → (\displaystyle (\vec (F))) usmjerena pod kutom θ (\displaystyle \theta) na polugu r, zatim M = r F sin ⁡ θ (\displaystyle M=rF\sin \theta).

Statička ravnoteža

Da bi objekt bio u ravnoteži, ne samo da zbroj svih sila mora biti jednak nuli, već i zbroj svih momenata sile oko bilo koje točke. Za dvodimenzionalni slučaj s horizontalnim i vertikalnim silama: zbroj sila u dvije dimenzije ΣH=0, ΣV=0 i moment sile u trećoj dimenziji ΣM=0.

Moment sile u funkciji vremena

M → = d L → d t (\displaystyle (\vec (M))=(\frac (d(\vec (L)))(dt))),

gdje L → (\displaystyle (\vec (L)))- kutni moment.

Uzmimo kruto tijelo. Gibanje krutog tijela može se predstaviti kao gibanje određene točke i rotacija oko nje.

Kutni moment oko točke O krutog tijela može se opisati kroz umnožak momenta inercije i kutne brzine oko središta mase i linearnog gibanja središta mase.

Razmotrit ćemo rotirajuća gibanja u Koenigovom koordinatnom sustavu, jer je mnogo teže opisati gibanje krutog tijela u svjetskom koordinatnom sustavu.

Razlikujemo ovaj izraz s obzirom na vrijeme. I ako ja (\displaystyle I) je konstanta vremena, dakle

gdje α → (\displaystyle (\vec (\alpha )))- kutno ubrzanje, mjereno u radijanima po sekundi u sekundi (rad / s 2). Primjer: Ujednačeni disk se rotira.

Ako se tenzor inercije mijenja s vremenom, tada se gibanje oko središta mase opisuje pomoću Eulerove dinamičke jednadžbe:

M c → = I c d ω → d t + [ w → , I c w → ] (\displaystyle (\vec (M_(c)))=I_(c)(\frac (d(\vec (\omega ))) (dt))+[(\vec (w)),I_(c)(\vec (w))]).

U fizici se razmatranje problema s rotirajućim tijelima ili sustavima koji su u ravnoteži provodi pomoću koncepta "momenta sile". Ovaj članak će razmotriti formulu za trenutak sile, kao i njezinu upotrebu za rješavanje ove vrste problema.

u fizici

Kao što je navedeno u uvodu, ovaj će se članak usredotočiti na sustave koji se mogu rotirati oko osi ili oko točke. Razmotrimo primjer takvog modela, prikazanog na donjoj slici.

Vidimo da je poluga sive boje fiksiran na osi rotacije. Na kraju poluge nalazi se crna kocka neke mase, na koju djeluje sila (crvena strelica). Intuitivno je jasno da će rezultat ove sile biti rotacija poluge oko osi u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Moment sile je veličina u fizici, koja je jednaka vektorskom umnošku polumjera koji povezuje os rotacije i točku primjene sile (zeleni vektor na slici), te samu vanjsku silu. Odnosno, sila u odnosu na os zapisuje se na sljedeći način:

Rezultat ovog produkta bit će vektor M¯. Njegov smjer se određuje na temelju poznavanja vektora množitelja, odnosno r¯ i F¯. Prema definiciji križnog proizvoda, M¯ mora biti okomito na ravninu, formirana od vektora r¯ i F¯, a usmjeren je u skladu s pravilom desne ruke (ako su četiri prsta desne ruke postavljena duž prvog pomnoženog vektora prema kraju drugog, tada će palac koji je ostavljen u stranu pokazati gdje je željeni vektor je usmjeren). Na slici možete vidjeti kamo je usmjeren vektor M¯ (plava strelica).

Skalarni zapis M¯

Na slici u prethodnom odlomku sila (crvena strelica) djeluje na polugu pod kutom od 90 o. U općem slučaju, može se primijeniti pod apsolutno bilo kojim kutom. Razmotrite sliku ispod.

Ovdje vidimo da sila F već djeluje na polugu L pod određenim kutom Φ. Za ovaj sustav, formula za moment sile u odnosu na točku (prikazanu strelicom) u skalarnom obliku ima oblik:

M = L * F * sin(Φ)

Iz izraza slijedi da će moment sile M biti to veći što je smjer djelovanja sile F bliži kutu od 90 o u odnosu na L. Obrnuto, ako F djeluje duž L, tada sin(0) = 0, a sila ne stvara nikakav moment ( M = 0).

Kada se razmatra moment sile u skalarnom obliku, često se koristi koncept "poluge sile". Ova vrijednost je udaljenost između osi (zakretne točke) i vektora F. Primjenjujući ovu definiciju na gornju sliku, možemo reći da je d = L * sin(Φ) poluga sile (jednakost slijedi iz definicije trigonometrijska funkcija"sinus"). Pomoću poluge sile formula za trenutak M može se prepisati na sljedeći način:

Fizičko značenje količine M

Razmatrana fizikalna veličina određuje sposobnost vanjske sile F da izvrši rotacijski učinak na sustav. Da bi tijelo dovelo u rotacijsko kretanje, potrebno mu je dati trenutak M.

Najbolji primjer ovog procesa je otvaranje ili zatvaranje vrata u prostoriju. Držeći ručku, osoba se trudi i okreće vrata na šarkama. Svatko to može. Ako pokušate otvoriti vrata djelujući na njih u blizini šarki, morat ćete uložiti velike napore da ih pomaknete.

Drugi primjer je otpuštanje matice ključem. Što je ovaj ključ kraći, to je teže izvršiti zadatak.

Ove značajke su prikazane formulom za moment sile preko ramena, koja je data u prethodnom odlomku. Ako se M smatra konstantnom vrijednošću, onda što je manji d, veći F se mora primijeniti za stvaranje danom trenutku snagu.

Nekoliko djelujućih sila u sustavu

Gore su razmatrani slučajevi kada samo jedna sila F djeluje na sustav sposoban za rotaciju, ali što ako postoji nekoliko takvih sila? Doista, ova situacija je češća jer na sustav mogu djelovati sile različite prirode (gravitacijske, električne, trenja, mehaničke i druge). U svim tim slučajevima, rezultirajući moment sile M¯ može se dobiti korištenjem vektorskog zbroja svih momenata M i ¯, tj.:

M¯ = ∑ i (M i ¯), gdje je i broj sile F i

Važan zaključak proizlazi iz svojstva aditivnosti momenata, koje se naziva Varignonov teorem, nazvanog po matematičaru s kraja 17. - početka 18. stoljeća, Francuzu Pierreu Varignonu. Ona glasi: "Zbroj momenata svih sila koje djeluju na sustav koji se razmatra može se predstaviti kao moment jedne sile, koji je jednak zbroju svih ostalih i primjenjuje se na određenu točku." Matematički, teorem se može napisati na sljedeći način:

∑ i (M i ¯) = M¯ = d * ∑ i (F i ¯)

Ovaj se važan teorem često koristi u praksi za rješavanje problema o rotaciji i ravnoteži tijela.

Djeluje li trenutak sile?

Analizirajući gornje formule u skalarnom ili vektorskom obliku, možemo zaključiti da je vrijednost M neki rad. Doista, njegova dimenzija je N * m, što u SI odgovara džulu (J). Zapravo, moment sile nije rad, već samo količina koja je sposobna za to. Da bi se to dogodilo potrebno je kružno gibanje u sustavu i dugotrajno djelovanje M. Stoga se formula za rad momenta sile zapisuje na sljedeći način:

U ovom izrazu, θ je kut kroz koji je rotiran moment sile M. Kao rezultat, jedinica rada može se napisati kao N * m * rad ili J * rad. Na primjer, vrijednost od 60 J * rad označava da kada se zakrene za 1 radijan (približno 1/3 kruga), sila F koja stvara u trenutku kada je M izvršio rad od 60 džula. Ova formula se često koristi u rješavanju problema u sustavima u kojima djeluju sile trenja, što će biti prikazano u nastavku.

Moment sile i moment impulsa

Kako je pokazano, djelovanje momenta M na sustav dovodi do pojave rotacijskog gibanja u njemu. Potonji karakterizira veličina koja se naziva "momentum". Može se izračunati pomoću formule:

Ovdje je I moment inercije (vrijednost koja igra istu ulogu u rotaciji kao i masa u linearnom gibanju tijela), ω je kutna brzina, povezana je s linearnom brzinom formulom ω = v / r .

Oba momenta (moment i sila) povezani su jedan s drugim sljedećim izrazom:

M = I * α, gdje je α = dω / dt kutno ubrzanje.

Evo još jedne formule koja je važna za rješavanje problema za rad momenata sila. Pomoću ove formule možete izračunati kinetičku energiju rotirajućeg tijela. Ona izgleda ovako:

Ravnoteža više tijela

Prvi problem se odnosi na ravnotežu sustava u kojem djeluje više sila. Slika ispod prikazuje sustav koji je podložan trima silama. Potrebno je izračunati koliku masu predmet treba objesiti na ovu polugu i u kojoj točki to učiniti da ovaj sustav bude u ravnoteži.

Iz uvjeta problema može se razumjeti da za njegovo rješavanje treba koristiti Varignonov teorem. Na prvi dio problema može se odmah odgovoriti, budući da će težina predmeta koji će se objesiti na polugu biti jednaka:

P \u003d F 1 - F 2 + F 3 \u003d 20 - 10 + 25 \u003d 35 N

Ovdje su znakovi odabrani uzimajući u obzir da sila koja rotira polugu u smjeru suprotnom od kazaljke na satu stvara negativni moment.

Položaj točke d, gdje treba objesiti ovu težinu, izračunava se po formuli:

M 1 - M 2 + M 3 = d * P = 7 * 20 - 5 * 10 + 3 * 25 = d * 35 => d = 165/35 = 4.714 m

Imajte na umu da smo pomoću formule za moment gravitacije izračunali ekvivalentnu vrijednost M onoj koju stvaraju tri sile. Da bi sustav bio u ravnoteži, potrebno je objesiti tijelo težine 35 N u točki 4,714 m od osi s druge strane poluge.

Problem premještanja diska

Rješenje sljedećeg problema temelji se na korištenju formule za moment sile trenja i kinetičku energiju tijela okretanja. Zadatak: Zadan je disk polumjera r = 0,3 metra, koji se vrti brzinom ω = 1 rad/s. Potrebno je izračunati koliko daleko može prijeći po površini ako je koeficijent trenja kotrljanja μ = 0,001.

Ovaj problem je najlakše riješiti korištenjem zakona održanja energije. Imamo početnu kinetičku energiju diska. Kada se počne kotrljati, sva ta energija se zbog djelovanja sile trenja troši na zagrijavanje površine. Izjednačavajući obje veličine, dobivamo izraz:

I * ω 2 /2 = μ * N/r * r * θ

Prvi dio formule je kinetička energija diska. Drugi dio je rad momenta sile trenja F = μ * N/r primijenjene na rub diska (M=F * r).

S obzirom da je N = m * g i I = 1/2m * r 2 , izračunavamo θ:

θ = m * r 2 * ω 2 / (4 * μ * m * g) = r 2 * ω 2 / (4 * μ * g) = 0,3 2 * 1 2 / (4 * 0,001 * 9,81 ) = 2,29358 rad

Budući da radijani 2pi odgovaraju duljini od 2pi * r, tada dobivamo da je potrebna udaljenost koju će disk preći:

s = θ * r = 2,29358 * 0,3 = 0,688 m ili oko 69 cm

Imajte na umu da masa diska ne utječe na ovaj rezultat.

Trenutak sile u odnosu na proizvoljno središte u ravnini djelovanja sile naziva se umnožak modula sile i kraka.

Rame- najkraća udaljenost od središta O do linije djelovanja sile, ali ne i do točke primjene sile, jer vektor klizanja sile.

Znak trenutka:

U smjeru kazaljke na satu-minus, suprotno od kazaljke na satu-plus;

Moment sile može se izraziti kao vektor. Ovo je okomica na ravninu prema Gimletovom pravilu.

Ako se u ravnini nalazi nekoliko sila ili sustav sila, onda će nam algebarski zbroj njihovih momenata dati glavna točka sustavi sila.

Razmotrite moment sile oko osi, izračunajte moment sile oko Z osi;

Projekt F na XY;

F xy =F cosα= ab

m 0 (F xy)=m z (F), tj. m z =F xy * h= F cosα* h

Moment sile oko osi jednak je momentu njezine projekcije na ravninu okomitu na os, uzetu na presjeku osi i ravnine

Ako je sila paralelna s osi ili je križa, tada je m z (F)=0

Izraz momenta sile kao vektorski izraz

Nacrtaj r a u točku A. Razmotrimo OA x F.

Ovo je treći vektor m o okomit na ravninu. Modul križnog proizvoda može se izračunati korištenjem dvostruke površine osjenčanog trokuta.

Analitički izraz sile u odnosu na koordinatne osi.

Pretpostavimo da su osi Y i Z, X povezane s točkom O s jediničnim vektorima i, j, k Uzimajući u obzir da:

r x = X * Fx ; r y = Y * F y ; r z =Z * F y dobivamo: m o (F)=x =

Proširite determinantu i dobijete:

m x = YF z - ZF y

m y =ZF x - XF z

m z =XF y - YF x

Ove formule omogućuju izračunavanje projekcije vektora momenta na os, a zatim i samog vektora momenta.

Varignonov teorem o trenutku rezultante

Ako sustav sila ima rezultantu, tada je njegov moment u odnosu na bilo koje središte jednak algebarskom zbroju momenata svih sila u odnosu na ovu točku

Ako primijenimo Q= -R, tada će sustav (Q,F 1 ... F n) biti jednako uravnotežen.

Zbroj momenata oko bilo kojeg centra bit će jednak nuli.

Uvjet analitičke ravnoteže za ravninski sustav sila

Ovo je ravan sustav sila čije se linije djelovanja nalaze u istoj ravnini.

Svrha proračuna zadatka ovog tipa- određivanje reakcija vanjskih poveznica. Za to se koriste osnovne jednadžbe u ravnom sustavu sila.

Mogu se koristiti jednadžbe s 2 ili 3 momenta.

Primjer

Napravimo jednadžbu za zbroj svih sila na osi X i Y.