Pod stanjem ravnoteže, u statici, podrazumijeva se stanje u kojem svi dijelovi mehaničkog sustava miruju u odnosu na neki inercijski koordinatni sustav. Jedan od osnovnih objekata statike su sile i točke njihove primjene.
Sila koja djeluje na materijalnu točku s radijus-vektorom iz drugih točaka je mjera utjecaja drugih točaka na točku koja se razmatra, zbog čega ona dobiva ubrzanje u odnosu na inercijski referentni okvir. Vrijednost snagu određuje se formulom:
,
gdje je m masa točke – vrijednost koja ovisi o svojstvima same točke. Ova formula se zove drugi Newtonov zakon.
Primjena statike u dinamici
Važna značajka jednadžbi gibanja apsolutno krutog tijela je da se sile mogu pretvoriti u ekvivalentne sustave. Takvom transformacijom jednadžbe gibanja zadržavaju svoj oblik, ali se sustav sila koje djeluju na tijelo može preobraziti u jednostavniji sustav. Dakle, točka primjene sile može se pomicati duž linije njezina djelovanja; sile se mogu proširiti prema pravilu paralelograma; sile primijenjene u jednoj točki mogu se zamijeniti njihovim geometrijskim zbrojem.
Primjer takvih transformacija je gravitacija. Djeluje na sve točke krutog tijela. Ali zakon gibanja tijela neće se promijeniti ako se sila gravitacije raspoređena na sve točke zamijeni jednim vektorom primijenjenim u središtu mase tijela.
Ispada da ako glavnom sustavu sila koje djeluju na tijelo dodamo ekvivalentni sustav u kojem su smjerovi sila obrnuti, tada će tijelo pod djelovanjem tih sustava biti u ravnoteži. Dakle, zadatak određivanja ekvivalentnih sustava sila svodi se na problem ravnoteže, odnosno na problem statike.
Glavni zadatak statike je uspostavljanje zakona za transformaciju sustava sila u ekvivalentne sustave. Dakle, metode statike koriste se ne samo u proučavanju tijela u ravnoteži, već i u dinamici krutog tijela, u transformaciji sila u jednostavnije ekvivalentne sustave.
Statika materijalne točke
Razmotrimo materijalnu točku koja je u ravnoteži. I neka na njega djeluje n sila, k = 1, 2, ..., n.
Ako je materijalna točka u ravnoteži, tada je vektorski zbroj sila koje djeluju na nju jednak nuli:
(1)
.
U ravnoteži, geometrijski zbroj sila koje djeluju na točku je nula.
Geometrijska interpretacija. Ako se početak drugog vektora stavi na kraj prvog vektora, a početak trećeg na kraj drugog vektora, pa se taj proces nastavi, tada će kraj posljednjeg, n-tog vektora kombinirati s početkom prvog vektora. Odnosno, dobivamo zatvoreni geometrijski lik čije su duljine stranica jednake modulima vektora. Ako svi vektori leže u istoj ravnini, tada dobivamo zatvoreni poligon.
Često je prikladno odabrati pravokutni koordinatni sustav Oxyz. Tada su zbroji projekcija svih vektora sila na koordinatne osi jednaki nuli:
Ako odaberete bilo koji smjer definiran nekim vektorom , tada je zbroj projekcija vektora sile na ovaj smjer jednak nuli:
.
Jednadžbu (1) množimo skalarno vektorom:
.
Ovdje je skalarni proizvod vektora i .
Imajte na umu da je projekcija vektora na smjer vektora određena formulom:
.
Statika krutog tijela
Moment sile oko točke
Određivanje momenta sile
Trenutak sile, primijenjen na tijelo u točki A, u odnosu na fiksno središte O, naziva se vektor jednak vektorskom umnošku vektora i:(2) .
Geometrijska interpretacija
Moment sile jednak je umnošku sile F i kraka OH.
Neka se vektori i nalaze u ravnini lika. Prema svojstvu križnog proizvoda, vektor je okomit na vektore i , odnosno okomit na ravninu lika. Njegov smjer određuje se pravilom desnog vijka. Na slici je vektor trenutka usmjeren prema nama. Apsolutna vrijednost trenutka:
.
Od tad
(3)
.
Koristeći geometriju, može se dati drugačija interpretacija momenta sile. Da biste to učinili, povucite ravnu liniju AH kroz vektor sile . Iz središta O ispuštamo okomitu OH na ovu liniju. Duljina ove okomice naziva se rame snage. Zatim
(4)
.
Budući da su , formule (3) i (4) su ekvivalentne.
Tako, apsolutna vrijednost momenta sile u odnosu na središte O je proizvod sile na ramenu ova sila u odnosu na odabrano središte O .
Prilikom izračunavanja momenta, često je prikladno rastaviti silu na dvije komponente:
,
gdje . Sila prolazi točkom O. Stoga je njegov zamah jednak nuli. Zatim
.
Apsolutna vrijednost trenutka:
.
Komponente momenta u pravokutnim koordinatama
Ako odaberemo pravokutni koordinatni sustav Oxyz sa središtem u točki O, tada će moment sile imati sljedeće komponente:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
.
Ovdje su koordinate točke A u odabranom koordinatnom sustavu:
.
Komponente su vrijednosti momenta sile oko osi, respektivno.
Svojstva momenta sile oko centra
Moment oko središta O, od sile koja prolazi kroz ovo središte, jednak je nuli.
Ako se točka primjene sile pomakne duž linije koja prolazi kroz vektor sile, tada se trenutak, tijekom takvog kretanja, neće promijeniti.
Moment iz vektorskog zbroja sila primijenjenih na jednu točku tijela jednak je vektorskom zbroju momenata svake od sila primijenjenih na istu točku:
.
Isto vrijedi i za sile čije se produžne linije sijeku u jednoj točki.
Ako je vektorski zbroj sila nula:
,
tada zbroj momenata ovih sila ne ovisi o položaju središta u odnosu na koje se momenti računaju:
.
Moćni par
Moćni par- to su dvije sile jednake po apsolutnoj vrijednosti i suprotnih smjerova, a koje se primjenjuju na različite točke tijela.
Par sila karakterizira trenutak kada stvaraju. Budući da je vektorski zbroj sila uključenih u par jednak nuli, moment koji par stvara ne ovisi o točki u odnosu na koju se moment izračunava. Sa stajališta statičke ravnoteže, priroda sila u paru je irelevantna. Par sila koristi se za označavanje da moment sila djeluje na tijelo, koji ima određenu vrijednost.
Moment sile oko date osi
Često postoje slučajevi kada ne trebamo znati sve komponente momenta sile oko odabrane točke, već samo trebamo znati moment sile oko odabrane osi.
Moment sile oko osi koja prolazi kroz točku O je projekcija vektora momenta sile, oko točke O, na smjer osi.
Svojstva momenta sile oko osi
Moment oko osi od sile koja prolazi kroz ovu os jednak je nuli.
Trenutak oko osi od sile paralelne ovoj osi jednak je nuli.
Proračun momenta sile oko osi
Neka na tijelo u točki A djeluje sila. Nađimo moment ove sile u odnosu na os O′O′′.
Izgradimo pravokutni koordinatni sustav. Neka se os Oz poklapa s O′O′′ . Iz točke A spuštamo okomicu OH na O′O′′ . Kroz točke O i A povučemo os Ox. Povlačimo os Oy okomitu na Ox i Oz. Razlažemo silu na komponente duž osi koordinatnog sustava:
.
Sila prelazi os O′O′′. Stoga je njegov zamah jednak nuli. Sila je paralelna s O′O′′ osi. Stoga je i njegov moment jednak nuli. Formulom (5.3) nalazimo:
.
Imajte na umu da je komponenta usmjerena tangencijalno na kružnicu čije je središte točka O. Smjer vektora određen je pravilom desnog vijka.
Uvjeti ravnoteže za kruto tijelo
U ravnoteži, vektorski zbroj svih sila koje djeluju na tijelo jednak je nuli, a vektorski zbroj momenata tih sila u odnosu na proizvoljno fiksno središte jednak je nuli:
(6.1)
;
(6.2)
.
Naglašavamo da se središte O , u odnosu na koje se računaju momenti sila, može birati proizvoljno. Točka O može ili pripadati tijelu ili biti izvan njega. Obično se bira središte O kako bi se izračuni olakšali.
Uvjeti ravnoteže mogu se formulirati i na drugi način.
U ravnoteži, zbroj projekcija sila na bilo koji smjer dat proizvoljnim vektorom jednak je nuli:
.
Zbroj momenata sila oko proizvoljne osi O′O′′ također je jednak nuli:
.
Ponekad su ti uvjeti prikladniji. Postoje slučajevi kada se, odabirom osi, izračuni mogu pojednostaviti.
Težište tijela
Razmotrimo jednu od najvažnijih sila - gravitaciju. Ovdje se sile ne primjenjuju na određenim točkama tijela, već se kontinuirano raspoređuju po njegovom volumenu. Za svaki dio tijela s beskonačno malim volumenom ∆V, djeluje gravitacijska sila. Ovdje je ρ gustoća tvari tijela, akceleracija slobodnog pada.
Neka je masa beskonačno malog dijela tijela. I neka točka A k definira položaj ovog presjeka. Nađimo veličine koje se odnose na silu gravitacije, a koje su uključene u jednadžbe ravnoteže (6).
Nađimo zbroj sila gravitacije koje čine svi dijelovi tijela:
,
gdje je masa tijela. Dakle, zbroj sila gravitacije pojedinih beskonačno malih dijelova tijela može se zamijeniti jednim gravitacijskim vektorom cijelog tijela:
.
Nađimo zbroj momenata sila gravitacije u odnosu na odabrano središte O na proizvoljan način:
.
Ovdje smo uveli točku C koja se zove centar gravitacije tijelo. Položaj težišta, u koordinatnom sustavu sa središtem u točki O, određuje se formulom:
(7)
.
Dakle, pri određivanju statičke ravnoteže, zbroj sila gravitacije pojedinih dijelova tijela može se zamijeniti rezultantom
,
primijenjeno na središte mase tijela C , čiji je položaj određen formulom (7).
Položaj težišta za različite geometrijske oblike može se pronaći u relevantnim referentnim knjigama. Ako tijelo ima os ili ravninu simetrije, tada se težište nalazi na ovoj osi ili ravnini. Dakle, težišta kugle, kruga ili kruga nalaze se u središtima krugova ovih figura. Težišta pravokutnog paralelepipeda, pravokutnika ili kvadrata također su smještena u njihovim središtima - u točkama presjeka dijagonala.
Ravnomjerno (A) i linearno (B) raspoređeno opterećenje.
Postoje i slučajevi slični sili gravitacije, kada se sile ne primjenjuju na određene točke tijela, već se kontinuirano raspoređuju po njegovoj površini ili volumenu. Takve sile se nazivaju raspoređene snage ili .
(Slika A). Također, kao iu slučaju gravitacije, može se zamijeniti rezultantnom silom veličine, primijenjenom na težište dijagrama. Budući da je dijagram na slici A pravokutnik, težište dijagrama je u njegovom središtu - točki C: | AC | = | CB |. (slika B). Također se može zamijeniti rezultantom. Vrijednost rezultanta jednaka je površini dijagrama:.
Točka primjene je u težištu parcele. Težište trokuta, visine h, udaljeno je od baze. dakle .
Sile trenja
Trenje klizanja. Neka tijelo bude na ravnoj površini. I neka je sila okomita na površinu kojom površina djeluje na tijelo (tlačna sila). Tada je sila trenja klizanja paralelna s površinom i usmjerena u stranu, sprječavajući kretanje tijela. Njegova najveća vrijednost je:
,
gdje je f koeficijent trenja. Koeficijent trenja je bezdimenzionalna veličina.
trenje kotrljanja. Neka se zaobljeno tijelo kotrlja ili se može kotrljati po površini. I neka je sila pritiska okomita na površinu kojom površina djeluje na tijelo. Tada na tijelo, u mjestu dodira s površinom, djeluje moment sila trenja koji onemogućuje kretanje tijela. Najveća vrijednost momenta trenja je:
,
gdje je δ koeficijent trenja kotrljanja. Ima dimenziju dužine.
Reference:
S. M. Targ, Kratki tečaj teorijske mehanike, Viša škola, 2010.
Kolegij obuhvaća: kinematiku točke i krutog tijela (i sa različitih stajališta predlaže se razmatranje problema orijentacije krutog tijela), klasične probleme dinamike mehaničkih sustava i dinamike krutog tijela, elementi nebeske mehanike, gibanje sustava promjenjivog sastava, teorija udara, diferencijalne jednadžbe analitičke dinamike.
Kolegij obuhvaća sve tradicionalne dijelove teorijske mehanike, ali se posebna pažnja posvećuje najsmislenijim i za teoriju i primjenu najvrednijim dijelovima dinamike i metoda analitičke mehanike; statika se proučava kao dio dinamike, au dijelu kinematike detaljno se uvode pojmovi potrebni za odjeljak dinamike i matematički aparat.
Informacijski resursi
Gantmakher F.R. Predavanja iz analitičke mehanike. - 3. izd. – M.: Fizmatlit, 2001.
Zhuravlev V.F. Osnove teorijske mehanike. - 2. izd. - M.: Fizmatlit, 2001.; 3. izd. – M.: Fizmatlit, 2008.
Markeev A.P. Teorijska mehanika. - Moskva - Iževsk: Istraživački centar "Regularna i kaotična dinamika", 2007.
Zahtjevi
Kolegij je namijenjen studentima koji posjeduju aparat za analitičku geometriju i linearnu algebru u okviru prve godine studija tehničkog sveučilišta.
Program tečaja
1. Kinematika točke
1.1. Problemi kinematike. Kartezijanski koordinatni sustav. Dekompozicija vektora u ortonormalnoj bazi. Radijus vektor i koordinate točke. Točkasta brzina i ubrzanje. Putanja kretanja.
1.2. Prirodni trokutasti. Proširenje brzine i ubrzanja u osi prirodnog triedra (Huygensov teorem).
1.3. Krivuljaste koordinate točaka, primjeri: polarni, cilindrični i sferni koordinatni sustavi. Komponente brzine i projekcije akceleracije na osi krivolinijskog koordinatnog sustava.
2. Metode za određivanje orijentacije krutog tijela
2.1. Čvrsto. Fiksni i tijelom vezani koordinatni sustavi.
2.2. Matrice ortogonalne rotacije i njihova svojstva. Eulerov teorem konačnog okreta.
2.3. Aktivno i pasivno gledište o ortogonalnoj transformaciji. Zbrajanje zavoja.
2.4. Konačni kutovi rotacije: Eulerovi kutovi i kutovi "aviona". Izraz ortogonalne matrice u terminima konačnih kutova rotacije.
3. Prostorno gibanje krutog tijela
3.1. Translacijsko i rotacijsko gibanje krutog tijela. Kutna brzina i kutno ubrzanje.
3.2. Raspodjela brzina (Eulerova formula) i ubrzanja (Rivalsova formula) točaka krutog tijela.
3.3. Kinematske invarijante. Kinematički vijak. Trenutna vijčana osovina.
4. Ravnoparalelno gibanje
4.1. Pojam ravnoparalelnog gibanja tijela. Kutna brzina i kutna akceleracija u slučaju ravnoparalelnog gibanja. Trenutačno središte brzine.
5. Složeno gibanje točke i krutog tijela
5.1. Fiksni i pokretni koordinatni sustavi. Apsolutno, relativno i figurativno kretanje točke.
5.2. Teorem o zbrajanju brzina u slučaju složenog gibanja točke, relativne i figurativne brzine točke. Coriolisov teorem o zbrajanju akceleracija za složeno gibanje točke, relativnom, translacijskom i Coriolisovom ubrzanju točke.
5.3. Apsolutna, relativna i prenosiva kutna brzina i kutno ubrzanje tijela.
6. Gibanje krutog tijela s fiksnom točkom (prezentacija kvaterniona)
6.1. Pojam kompleksnih i hiperkompleksnih brojeva. Algebra kvaterniona. Kvaternion proizvod. Konjugirani i inverzni kvaternion, norma i modul.
6.2. Trigonometrijski prikaz jediničnog kvaterniona. Kvaternion metoda specificiranja rotacije tijela. Eulerov teorem konačnog okreta.
6.3. Odnos između komponenti kvaterniona u različitim bazama. Zbrajanje zavoja. Rodrigues-Hamiltonovi parametri.
7. Ispitni rad
8. Osnovni pojmovi dinamike.
8.1 Moment, kutni moment (kinetički moment), kinetička energija.
8.2 Snaga sila, rad sila, potencijal i ukupna energija.
8.3 Središte mase (središte inercije) sustava. Trenutak tromosti sustava oko osi.
8.4 Momenti inercije oko paralelnih osi; Huygens–Steinerov teorem.
8.5 Tenzor i elipsoid inercije. Glavne osi inercije. Svojstva aksijalnih momenata tromosti.
8.6 Proračun kutnog momenta i kinetičke energije tijela pomoću tenzora inercije.
9. Osnovni teoremi dinamike u inercijalnim i neinercijalnim referentnim okvirima.
9.1 Teorem o promjeni količine gibanja sustava u inercijskom referentnom okviru. Teorem o gibanju središta mase.
9.2 Teorem o promjeni kutne količine gibanja sustava u inercijskom referentnom okviru.
9.3 Teorem o promjeni kinetičke energije sustava u inercijskom referentnom okviru.
9.4 Potencijalne, žiroskopske i disipativne sile.
9.5 Osnovni teoremi dinamike u neinercijalnim referentnim okvirima.
10. Gibanje krutog tijela s nepomičnom točkom po inerciji.
10.1 Eulerove dinamičke jednadžbe.
10.2 Eulerov slučaj, prvi integrali dinamičkih jednadžbi; trajne rotacije.
10.3 Tumačenja Poinsota i Macculaga.
10.4 Regularna precesija u slučaju dinamičke simetrije tijela.
11. Gibanje teškog krutog tijela s fiksnom točkom.
11.1 Opća formulacija problema oko gibanja teškog krutog tijela.
fiksna točka. Eulerove dinamičke jednadžbe i njihovi prvi integrali.
11.2 Kvalitativna analiza gibanja krutog tijela u slučaju Lagrangea.
11.3 Prisilna pravilna precesija dinamički simetričnog krutog tijela.
11.4 Osnovna formula žiroskopije.
11.5 Pojam elementarne teorije žiroskopa.
12. Dinamika točke u središnjem polju.
12.1 Binetova jednadžba.
12.2 Jednadžba orbite. Keplerovi zakoni.
12.3 Problem raspršenja.
12.4 Problem dvaju tijela. Jednadžbe gibanja. Integral površine, energetski integral, Laplaceov integral.
13. Dinamika sustava promjenjivog sastava.
13.1 Osnovni pojmovi i teoremi o promjeni osnovnih dinamičkih veličina u sustavima promjenjivog sastava.
13.2 Kretanje materijalne točke promjenjive mase.
13.3 Jednadžbe gibanja tijela promjenjivog sastava.
14. Teorija impulzivnih pokreta.
14.1 Osnovni pojmovi i aksiomi teorije impulzivnih kretanja.
14.2 Teoremi o promjeni osnovnih dinamičkih veličina tijekom impulzivnog gibanja.
14.3 Impulzivno gibanje krutog tijela.
14.4 Sudar dvaju krutih tijela.
14.5 Carnotovi teoremi.
15. Kontrolni rad
Ishodi učenja
Kao rezultat savladavanja discipline, student mora:
- Znati:
- osnovne pojmove i teoreme mehanike i metode proučavanja gibanja mehaničkih sustava koji iz njih proizlaze;
- Biti u mogućnosti:
- ispravno formulirati probleme u smislu teorijske mehanike;
- razviti mehaničke i matematičke modele koji na odgovarajući način odražavaju glavna svojstva fenomena koji se razmatraju;
- primijeniti stečena znanja za rješavanje relevantnih specifičnih problema;
- Vlastiti:
- vještine rješavanja klasičnih zadataka teorijske mehanike i matematike;
- vještine proučavanja problema mehanike i građenja mehaničkih i matematičkih modela koji adekvatno opisuju različite mehaničke pojave;
- vještine praktične uporabe metoda i načela teorijske mehanike u rješavanju zadataka: proračun sila, određivanje kinematičkih karakteristika tijela različitim metodama postavljanja gibanja, određivanje zakona gibanja materijalnih tijela i mehaničkih sustava pod djelovanjem sila;
- vještine samostalnog ovladavanja novim informacijama u procesu proizvodnje i znanstvene djelatnosti, korištenjem suvremenih obrazovnih i informacijskih tehnologija;
Kinematika točke.
1. Predmet teorijske mehanike. Osnovne apstrakcije.
Teorijska mehanikaje znanost u kojoj se proučavaju opći zakoni mehaničkog gibanja i mehaničke interakcije materijalnih tijela
Mehaničko kretanjenaziva se kretanje tijela u odnosu na drugo tijelo, a događa se u prostoru i vremenu.
Mehanička interakcija naziva se takva interakcija materijalnih tijela, koja mijenja prirodu njihovog mehaničkog kretanja.
Statika - Ovo je grana teorijske mehanike koja proučava metode pretvaranja sustava sila u ekvivalentne sustave i uspostavlja uvjete za ravnotežu sila primijenjenih na čvrsto tijelo.
Kinematika - je grana teorijske mehanike koja se bavi kretanje materijalnih tijela u prostoru s geometrijske točke gledišta, bez obzira na sile koje na njih djeluju.
Dinamika - Ovo je grana mehanike koja proučava kretanje materijalnih tijela u prostoru, ovisno o silama koje na njih djeluju.
Objekti studija teorijske mehanike:
materijalna točka,
sustav materijalnih točaka,
Apsolutno kruto tijelo.
Apsolutni prostor i apsolutno vrijeme neovisni su jedno o drugom. Apsolutni prostor - trodimenzionalni, homogeni, nepomični euklidski prostor. Apsolutno vrijeme - teče iz prošlosti u budućnost kontinuirano, homogena je, ista u svim točkama prostora i ne ovisi o kretanju materije.
2. Predmet kinematike.
kinematika - ovo je grana mehanike koja proučava geometrijska svojstva gibanja tijela ne uzimajući u obzir njihovu inerciju (tj. masu) i sile koje na njih djeluju
Za određivanje položaja tijela (ili točke) koje se kreće s tijelom u odnosu na koje se proučava kretanje tog tijela, kruto se povezuje neki koordinatni sustav koji zajedno s tijelom tvori referentni sustav.
Glavni zadatak kinematike je da, poznavajući zakon gibanja danog tijela (točke), odredimo sve kinematičke veličine koje karakteriziraju njegovo gibanje (brzinu i ubrzanje).
3. Metode za određivanje kretanja točke
· prirodnim putem
Trebalo bi se znati:
Putanja kretanja točke;
Početak i smjer brojanja;
Zakon gibanja točke duž zadane putanje u obliku (1.1)
· Koordinatna metoda
Jednadžbe (1.2) su jednadžbe gibanja točke M.
Jednadžba za putanju točke M može se dobiti eliminacijom vremenskog parametra « t » iz jednadžbi (1.2)
· Vektorski način
|
|
(1.3) Odnos koordinatnih i vektorskih metoda za određivanje kretanja točke
|
(1.4)
Veza između koordinatnog i prirodnog načina određivanja kretanja točke
Odrediti putanju točke, isključujući vrijeme iz jednadžbi (1.2);
-- pronaći zakon gibanja točke duž putanje (koristite izraz za diferencijal luka)
Nakon integracije dobivamo zakon gibanja točke duž zadane putanje:
Veza između koordinatnih i vektorskih metoda specificiranja kretanja točke određena je jednadžbom (1.4)
4. Određivanje brzine točke vektorskom metodom zadavanja kretanja.
Neka trenutnotpoložaj točke određen je radijus vektorom , a u trenutku vremenat 1
– radijus-vektor , zatim za određeno vrijeme 
točka će se pomaknuti.
|
|
prosječna brzina točke, smjer vektora je isti kao i vektor
|
(1.5)
Brzina točke u danom trenutku
Da bi se dobila brzina točke u danom trenutku potrebno je napraviti prolaz do granice
(1.6)
(1.7)
Vektor brzine točke u danom trenutku jednaka je prvoj derivaciji radijus vektora s obzirom na vrijeme i usmjerena je tangencijalno na putanju u danoj točki.
(jedinica¾ m/s, km/h)
Vektor srednjeg ubrzanja ima isti smjer kao vektorΔ v , odnosno usmjeren prema konkavnosti putanje.
Vektor ubrzanja točke u danom trenutku jednak je prvom izvodu vektora brzine ili drugom izvodu vektora radijusa točke s obzirom na vrijeme.
(jedinica - )
Kako se vektor nalazi u odnosu na putanju točke?
Kod pravocrtnog gibanja vektor je usmjeren duž ravne linije duž koje se točka kreće. Ako je putanja točke ravna krivulja, tada vektor ubrzanja , kao i vektor cp, leži u ravnini ove krivulje i usmjeren je prema njezinoj udubljenosti. Ako putanja nije ravna krivulja, tada će vektor cp biti usmjeren prema konkavnosti putanje i ležat će u ravnini koja prolazi kroz tangentu putanje u točkiM i pravac paralelan s tangentom u susjednoj točkiM 1 . NA granica kada je točkaM 1 teži da M ova ravnina zauzima položaj takozvane susjedne ravnine. Stoga, u općem slučaju, vektor ubrzanja leži u susjednoj ravnini i usmjeren je prema konkavnosti krivulje.
Opći teoremi dinamike sustava tijela. Teoremi o gibanju središta mase, o promjeni količine gibanja, o promjeni glavnog momenta količine gibanja, o promjeni kinetičke energije. D'Alembertova načela i mogući pomaci. Opća jednadžba dinamike. Lagrangeove jednadžbe.
SadržajPosao koji je izvršila sila, jednak je skalarnom umnošku vektora sila i beskonačno malog pomaka točke njegove primjene:
,
odnosno umnožak modula vektora F i ds i kosinusa kuta između njih.
Rad koji obavlja moment sile, jednak je skalarnom umnošku vektora trenutka i beskonačno malog kuta rotacije:
.
d'Alembertovo načelo
Bit d'Alembertovog principa je svesti probleme dinamike na probleme statike. Za to se pretpostavlja (ili je unaprijed poznato) da tijela sustava imaju određena (kutna) ubrzanja. Zatim se uvode sile tromosti i (ili) momenti inercijskih sila koje su jednake po veličini i recipročne po smjeru silama i momentima sila koje bi, prema zakonima mehanike, stvarale zadana ubrzanja ili kutna ubrzanja.
Razmotrimo primjer. Tijelo vrši translacijsko gibanje i na njega djeluju vanjske sile. Nadalje, pretpostavljamo da te sile stvaraju ubrzanje središta mase sustava. Prema teoremu o kretanju središta mase, središte mase tijela imalo bi isto ubrzanje da na tijelo djeluje sila. Zatim uvodimo silu inercije:
.
Nakon toga, zadatak dinamike je:
.
;
.
Za rotacijsko kretanje postupite na sličan način. Neka tijelo rotira oko osi z i na njega djeluju vanjski momenti sila M e zk. Pretpostavljamo da ti momenti stvaraju kutno ubrzanje ε z . Zatim uvodimo moment inercijskih sila M I = - J z ε z . Nakon toga, zadatak dinamike je:
.
Pretvara se u statički zadatak:
;
.
Princip mogućih pokreta
Za rješavanje problema statike koristi se princip mogućih pomaka. U nekim problemima daje kraće rješenje od pisanja jednadžbi ravnoteže. To posebno vrijedi za sustave s vezama (na primjer, sustave tijela povezanih nitima i blokovima), koji se sastoje od mnogih tijela
Princip mogućih pokreta.
Za ravnotežu mehaničkog sustava s idealnim ograničenjima potrebno je i dovoljno da zbroj elementarnih radova svih aktivnih sila koje na njega djeluju za svaki mogući pomak sustava bude jednak nuli.
Moguće preseljenje sustava- radi se o malom pomaku, pri kojem se veze nametnute sustavu ne prekidaju.
Savršene veze- to su obveznice koje ne rade kada se sustav pomakne. Točnije, zbroj rada koji obavljaju same veze pri pomicanju sustava je nula.
Opća jednadžba dinamike (d'Alembert - Lagrangeov princip)
Princip d'Alembert-Lagrangea kombinacija je d'Alembertovog principa s principom mogućih pomaka. Odnosno, pri rješavanju problema dinamike uvodimo sile tromosti i problem svodimo na problem statike koji rješavamo po principu mogućih pomaka.
d'Alembert-Lagrangeov princip.
Kada se mehanički sustav kreće s idealnim ograničenjima u svakom trenutku vremena, zbroj elementarnih radova svih primijenjenih aktivnih sila i svih sila inercije na bilo koji mogući pomak sustava jednak je nuli:
.
Ova se jednadžba zove opća jednadžba dinamike.
Lagrangeove jednadžbe
Generalizirane koordinate q 1 , q 2 , ..., q n je skup od n vrijednosti koje jedinstveno određuju položaj sustava.
Broj generaliziranih koordinata n podudara se s brojem stupnjeva slobode sustava.
Generalizirane brzine su derivacije generaliziranih koordinata s obzirom na vrijeme t.
Generalizirane sile Q 1 , Q 2 , ..., Q n
.
Razmotrimo mogući pomak sustava u kojem će koordinata q k dobiti pomak δq k . Ostale koordinate ostaju nepromijenjene. Neka je δA k rad vanjskih sila tijekom takvog pomaka. Zatim
δA k = Q k δq k , ili
.
Ako se s mogućim pomakom sustava mijenjaju sve koordinate, tada rad vanjskih sila tijekom takvog pomaka ima oblik:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Tada su generalizirane sile djelomične derivacije rada pomaka:
.
Za potencijalne sile s potencijalom Π,
.
Lagrangeove jednadžbe su jednadžbe gibanja mehaničkog sustava u generaliziranim koordinatama:
Ovdje je T kinetička energija. To je funkcija generaliziranih koordinata, brzina i moguće vremena. Stoga je njezin parcijalni izvod također funkcija generaliziranih koordinata, brzina i vremena. Zatim morate uzeti u obzir da su koordinate i brzine funkcije vremena. Stoga, da biste pronašli derivaciju ukupnog vremena, morate primijeniti pravilo diferencijacije složene funkcije:
.
Reference:
S. M. Targ, Kratki tečaj teorijske mehanike, Viša škola, 2010.
