Fórmulas para la multiplicación simplificada. Calculadora en línea Simplificación de polinomios Multiplicación de polinomios

Expresiones matemáticas (fórmulas) multiplicación abreviada(el cuadrado de la suma y diferencia, el cubo de la suma y diferencia, la diferencia de cuadrados, la suma y diferencia de cubos) son sumamente insustituibles en muchas áreas de las ciencias exactas. Estas entradas de 7 caracteres son insustituibles al simplificar expresiones, resolver ecuaciones, multiplicar polinomios, reducir fracciones, resolver integrales y mucho más. Por lo que te será de gran utilidad saber cómo se obtienen, para qué sirven y, lo más importante, cómo recordarlos y luego aplicarlos. Luego aplicando fórmulas de multiplicación abreviadas en la práctica, lo más difícil será ver qué es X y que tiene. Obviamente no hay restricciones en un y b no, lo que significa que puede ser cualquier expresión numérica o literal.

Y así que aquí están:

Primero x2 - a las 2 = (x - y) (x + y).Calcular diferencia de cuadrados dos expresiones, es necesario multiplicar las diferencias de estas expresiones por sus sumas.

Segundo (x + y) 2 = x2 + 2xy + y 2. Encontrar suma al cuadrado dos expresiones, debe sumar al cuadrado de la primera expresión el doble del producto de la primera expresión por la segunda más el cuadrado de la segunda expresión.

Tercera (x - y) 2 = x2 - 2xy + y 2. Calcular diferencia al cuadrado dos expresiones, necesitas restar del cuadrado de la primera expresión el doble del producto de la primera expresión por la segunda más el cuadrado de la segunda expresión.

Cuatro (x + y) 3 = x3 + 3x 2 y + 3x 2 + a las 3. Calcular cubo de suma dos expresiones, necesitas sumar al cubo de la primera expresión tres veces el producto del cuadrado de la primera expresión y la segunda, más tres veces el producto de la primera expresión y el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda expresión.

Quinto (x - y) 3 = x3 - 3x 2 y + 3x 2 - a las 3. Calcular cubo de diferencia dos expresiones, hay que restarle al cubo de la primera expresión tres veces el producto del cuadrado de la primera expresión por la segunda más tres veces el producto de la primera expresión y el cuadrado de la segunda menos el cubo de la segunda expresión.

sexto x3 + y 3 = (x + y) (x2 - xy + y 2) Calcular suma de cubos dos expresiones, debe multiplicar las sumas de la primera y la segunda expresión por el cuadrado incompleto de la diferencia de estas expresiones.

séptimo x3 - a las 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2) Para hacer un calculo diferencias de cubo dos expresiones, es necesario multiplicar la diferencia de la primera y la segunda expresión por el cuadrado incompleto de la suma de estas expresiones.

No es difícil recordar que todas las fórmulas se usan para hacer cálculos en la dirección opuesta (de derecha a izquierda).

La existencia de estas regularidades se conocía hace unos 4 mil años. Fueron ampliamente utilizados por los habitantes de la antigua Babilonia y Egipto. Pero en aquellas épocas se expresaban verbal o geométricamente y no usaban letras en los cálculos.

analicemos prueba de suma cuadrada(un + segundo) 2 = un 2 + 2ab + segundo 2 .

Este regularidad matemática probó el antiguo científico griego Euclides, que trabajó en Alejandría en el siglo III a. C., usó el método geométrico para probar la fórmula para esto, ya que los científicos de la antigua Hélade no usaban letras para indicar números. En todas partes usaron no "a 2", sino "cuadrado en el segmento a", no "ab", sino "rectángulo encerrado entre los segmentos a y b".

>>Matemáticas: fórmulas de multiplicación reducidas

Fórmulas de multiplicación abreviadas

Hay varios casos en los que la multiplicación de un polinomio por otro conduce a un resultado compacto y fácil de recordar. En estos casos, es preferible no multiplicar una vez cada vez polinomio por el otro, y usar el resultado final. Consideremos estos casos.

1. El cuadrado de la suma y el cuadrado de la diferencia:

Ejemplo 1 Abra los paréntesis en una expresión:

a) (3x + 2) 2 ;

b) (5a 2 - 4b 3) 2

a) Usamos la fórmula (1), teniendo en cuenta que el papel de a lo juega 3x, y el papel de b es el número 2.
Obtenemos:

(Zx + 2) 2 = (3x) 2 + 2 Zx 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.

b) Usamos la fórmula (2), considerando que en el rol un habla 5a 2, y en el papel b habla 4b 3. Obtenemos:

(5a 2 -4b 3) 2 \u003d (5a 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 \u003d 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6.

Al usar las fórmulas para el cuadrado de la suma o el cuadrado de la diferencia, tenga en cuenta que
(- a - b) 2 \u003d (a + b) 2;
(b-a) 2 = (a-b) 2 .

Esto se sigue del hecho de que (- a) 2 = a 2 .

Tenga en cuenta que algunos trucos matemáticos se basan en las fórmulas (1) y (2), lo que le permite hacer cálculos en su cabeza.

Por ejemplo, uno puede prácticamente verbalmente elevar al cuadrado los números que terminan en 1 y 9. De hecho

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 \u003d (70 - I) 2 \u003d 70 2 - 2 70 1 + 1 2 \u003d 4900 - 140 + 1 \u003d 4761.

A veces también puedes elevar rápidamente al cuadrado un número que termine en 2 u 8. Por ejemplo,

102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

Pero el truco más elegante consiste en elevar al cuadrado números que terminan en 5.
Realicemos el razonamiento correspondiente para 85 2 .

Tenemos:

85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

Observamos que para calcular 85 2 bastaba con multiplicar 8 por 9 y sumar 25 a la derecha del resultado obtenido, del mismo modo puedes hacer lo mismo en otros casos. Por ejemplo, 35 2 \u003d 1225 (3 4 \u003d 12 y 25 se agregaron al número resultante a la derecha);

65 2 = 4225; 1252 \u003d 15625 (12 18 \u003d 156 y 25 se agregaron al número resultante a la derecha).

Dado que estamos hablando de varias circunstancias curiosas asociadas con las fórmulas (1) y (2) aburridas (a primera vista), complementaremos esta conversación con el siguiente razonamiento geométrico. Sean a y b números positivos. Considere un cuadrado con lado a + b y corte cuadrados con lados iguales a y b, respectivamente, en dos de sus esquinas (Fig. 4).

El área de un cuadrado de lado a+b es (a+b) 2 . Pero cortamos este cuadrado en cuatro partes: un cuadrado de lado a (su área es a 2), un cuadrado de lado b (su área es b 2), dos rectángulos de lados a y b (el área de cada uno de ellos rectángulo es ab). Por lo tanto, (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, es decir, hemos obtenido la fórmula (1).

Multiplica el binomio a + b por el binomio a - b. Obtenemos:
(a + b) (a - b) \u003d a 2 - ab + ba - b 2 \u003d a 2 - b 2.
Asi que

Cualquier igualdad en matemáticas se usa tanto de izquierda a derecha (es decir, el lado izquierdo de la igualdad se reemplaza por su lado derecho) como de derecha a izquierda (es decir, el lado derecho de la igualdad se reemplaza por su lado izquierdo). Si la fórmula C) se usa de izquierda a derecha, le permite reemplazar el producto (a + b) (a - b) con el resultado final a 2 - b 2 . La misma fórmula se puede usar de derecha a izquierda, luego te permite reemplazar la diferencia de cuadrados a 2 - b 2 con el producto (a + b) (a - b). La fórmula (3) en matemáticas recibe un nombre especial: la diferencia de cuadrados.

Comentario. No confunda los términos "diferencia de cuadrados" y "diferencia al cuadrado". La diferencia de cuadrados es a 2 - b 2, lo que significa que estamos hablando de la fórmula (3); el cuadrado de la diferencia es (a-b) 2, entonces estamos hablando de la fórmula (2). En lenguaje ordinario, la fórmula (3) se lee "de derecha a izquierda" de la siguiente manera:

la diferencia de los cuadrados de dos números (expresiones) es igual al producto de la suma de estos números (expresiones) y su diferencia,

Ejemplo 2 Realizar la multiplicación

(3x-2y)(3x+2y)
Decisión. Tenemos:
(3x - 2y) (3x + 2y) \u003d (3x) 2 - (2y) 2 \u003d 9x 2 - 4y 2.

Ejemplo 3 Exprese el binomio 16x 4 - 9 como producto de binomios.

Decisión. Tenemos: 16x 4 \u003d (4x 2) 2, 9 \u003d Z 2, lo que significa que el binomio dado es la diferencia de cuadrados, es decir se le puede aplicar la fórmula (3), leída de derecha a izquierda. Entonces obtenemos:

16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - W 2 = (4x 2 + 3)(4x 2 - 3)

La fórmula (3), como las fórmulas (1) y (2), se usa para trucos matemáticos. Ver:

79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.

Terminemos la conversación sobre la fórmula de la diferencia de cuadrados con un curioso razonamiento geométrico. Sean a y b números positivos, donde a > b. Considere un rectángulo con lados a + b y a - b (Fig. 5). Su área es (a + b) (a - b). Recorta un rectángulo de lados b y a - b y pégalo a la parte restante como se muestra en la Figura 6. Está claro que la figura resultante tiene la misma área, es decir, (a + b) (a - b). Pero esta figura puede
construye así: de un cuadrado de lado a, corta un cuadrado de lado b (esto se ve claramente en la Fig. 6). Entonces el área de la nueva figura es a 2 - b 2 . Entonces, (a + b) (a - b) \u003d a 2 - b 2, es decir, obtuvimos la fórmula (3).

3. Diferencia de cubos y suma de cubos

Multiplica el binomio a - b por el trinomio a 2 + ab + b 2.
Obtenemos:
(a - b) (a 2 + ab + b 2) \u003d a a 2 + a ab + a b 2 - b a 2 - b ab -b b 2 \u003d a 3 + a 2 b + ab 2 -a 2 b- ab 2 -b 3 \u003d a 3 -b 3.

Similarmente

(a + b) (a 2 - ab + b 2) = a 3 + b 3

(compruébalo tú mismo). Asi que,

La fórmula (4) se suele llamar diferencia de cubos, fórmula (5) - la suma de cubos. Intentemos traducir las fórmulas (4) y (5) al lenguaje ordinario. Antes de hacer esto, observe que la expresión a 2 + ab + b 2 es similar a la expresión a 2 + 2ab + b 2 que apareció en la fórmula (1) y dio (a + b) 2 ; la expresión a 2 - ab + b 2 es similar a la expresión a 2 - 2ab + b 2 que apareció en la fórmula (2) y dio (a - b) 2 .

Para distinguir (en el idioma) estos pares de expresiones entre sí, cada una de las expresiones a 2 + 2ab + b 2 y a 2 - 2ab + b 2 se llama cuadrado perfecto (suma o diferencia), y cada una de las expresiones a 2 + ab + b 2 ya 2 - ab + b 2 se llama cuadrado incompleto (suma o diferencia). Entonces obtenemos la siguiente traducción de las fórmulas (4) y (5) (léase "de derecha a izquierda") al lenguaje ordinario:

la diferencia de cubos de dos números (expresiones) es igual al producto de la diferencia de estos números (expresiones) por el cuadrado incompleto de su suma; la suma de cubos de dos números (expresiones) es igual al producto de la suma de estos números (expresiones) por el cuadrado incompleto de su diferencia.

Comentario. Todas las fórmulas (1)-(5) obtenidas en esta sección se usan tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda, solo en el primer caso (de izquierda a derecha) dicen que (1)-(5) son multiplicaciones abreviadas fórmulas, y en el segundo caso (de derecha a izquierda) dicen que (1)-(5) son fórmulas de factorización.

Ejemplo 4 Multiplica (2x-1)(4x2 + 2x+1).

Decisión. Dado que el primer factor es la diferencia entre los monomios 2x y 1, y el segundo factor es el cuadrado incompleto de su suma, entonces se puede usar la fórmula (4). Obtenemos:

(2x - 1) (4x 2 + 2x + 1) \u003d (2x) 3 - I 3 \u003d 8x 3 - 1.

Ejemplo 5 Expresar el binomio 27a 6 + 8b 3 como producto de polinomios.

Decisión. Tenemos: 27à 6 = (Para 2) 3 , 8b 3 = (2b) 3 . Esto significa que el binomio dado es la suma de cubos, es decir, se le puede aplicar la fórmula 95), se lee de derecha a izquierda. Entonces obtenemos:

27a 6 + 8b 3 = (Para 2) 3 + (2b) 3 = (Para 2 + 2b) ((Para 2) 2 - Para 2 2b + (2b) 2) = (Para 2 + 2b) (9a 4 - 6a 2b + 4b 2).

Ayuda a un estudiante en línea, descarga de Matemáticas para el grado 7, planificación temática del calendario

A. V. Pogorelov, Geometría para los grados 7-11, Libro de texto para Instituciones educacionales

Contenido de la lección resumen de la lección marco de apoyo lección presentación métodos acelerativos tecnologías interactivas Práctica tareas y ejercicios autoexamen talleres, capacitaciones, casos, búsquedas tareas preguntas de discusión preguntas retóricas de los estudiantes Ilustraciones audio, video clips y multimedia fotografías, imágenes gráficas, tablas, esquemas de humor, anécdotas, chistes, cómics, parábolas, refranes, crucigramas, citas Complementos resúmenes artículos fichas para inquisitivos chuletas libros de texto básicos y adicionales glosario de términos otros Mejorar los libros de texto y las lecciones.corregir errores en el libro de texto actualizar un fragmento en el libro de texto elementos de innovación en la lección reemplazar el conocimiento obsoleto por otros nuevos Solo para profesores lecciones perfectas plan de calendario por un año pautas programas de debate Lecciones integradas

Su privacidad es importante para nosotros. Por esta razón, hemos desarrollado una Política de privacidad que describe cómo usamos y almacenamos su información. Lea nuestra política de privacidad y háganos saber si tiene alguna pregunta.

Recopilación y uso de información personal

La información personal se refiere a los datos que se pueden utilizar para identificar o contactar a una persona específica.

Es posible que se le solicite que proporcione su información personal en cualquier momento cuando se comunique con nosotros.

Los siguientes son algunos ejemplos de los tipos de información personal que podemos recopilar y cómo podemos usar dicha información.

Qué información personal recopilamos:

Cuando envía una solicitud en el sitio, podemos recopilar información variada incluyendo su nombre, número de teléfono, dirección Correo electrónico etc.

Cómo usamos tu información personal:

Recogido por nosotros informacion personal nos permite ponernos en contacto contigo e informarte sobre ofertas únicas, promociones y otros eventos y próximos eventos.
De vez en cuando, podemos usar su información personal para enviarle avisos y mensajes importantes.
También podemos utilizar la información personal para fines internos, como realizar auditorías, análisis de datos y diversas investigaciones para mejorar los servicios que brindamos y brindarle recomendaciones sobre nuestros servicios.
Si participa en un sorteo, concurso o incentivo similar, podemos utilizar la información que proporcione para administrar dichos programas.

Divulgación a terceros

No divulgamos la información que recibimos de usted a terceros.

Excepciones:

Si es necesario, de conformidad con la ley, orden judicial, en procedimientos judiciales y / o en base a solicitudes públicas o solicitudes de agencias gubernamentales en el territorio de la Federación Rusa: divulgar su información personal. También podemos divulgar información sobre usted si determinamos que dicha divulgación es necesaria o apropiada por razones de seguridad, cumplimiento de la ley u otras razones de interés público.
En el caso de una reorganización, fusión o venta, podemos transferir la información personal que recopilamos al tercero sucesor correspondiente.

Protección de datos personales

Tomamos precauciones, incluidas las administrativas, técnicas y físicas, para proteger su información personal de pérdida, robo y uso indebido, así como del acceso, divulgación, alteración y destrucción no autorizados.

Mantener su privacidad a nivel de empresa

Para garantizar que su información personal esté segura, comunicamos las prácticas de privacidad y seguridad a nuestros empleados y hacemos cumplir estrictamente las prácticas de privacidad.

Las fórmulas de multiplicación abreviadas (FSU) se utilizan para exponenciar y multiplicar números y expresiones. A menudo, estas fórmulas le permiten realizar cálculos de forma más compacta y rápida.

En este artículo, enumeraremos las fórmulas principales para la multiplicación abreviada, las agruparemos en una tabla, consideraremos ejemplos del uso de estas fórmulas y también nos detendremos en los principios para probar fórmulas de multiplicación abreviada.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Por primera vez, el tema de FSU se considera dentro del curso "Álgebra" para el 7mo grado. A continuación se presentan 7 fórmulas básicas.

Fórmulas de multiplicación abreviadas

fórmula de suma cuadrada: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
fórmula del cuadrado de la diferencia: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
fórmula de suma cúbica: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
fórmula del cubo de diferencia: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
fórmula de diferencia de cuadrados: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
fórmula para la suma de cubos: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
fórmula de diferencia de cubo: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Las letras a, b, c en estas expresiones pueden ser cualquier número, variable o expresión. Para facilitar su uso, es mejor aprenderse de memoria las siete fórmulas básicas. Las resumimos en una tabla y las damos a continuación rodeándolas con un recuadro.

Las primeras cuatro fórmulas te permiten calcular, respectivamente, el cuadrado o el cubo de la suma o diferencia de dos expresiones.

La quinta fórmula calcula la diferencia de cuadrados de expresiones multiplicando su suma y diferencia.

Las fórmulas sexta y séptima son, respectivamente, la multiplicación de la suma y diferencia de expresiones por el cuadrado incompleto de la diferencia y el cuadrado incompleto de la suma.

La fórmula de multiplicación abreviada a veces también se denomina identidades de multiplicación abreviada. Esto no es sorprendente, ya que toda igualdad es una identidad.

Al decidir ejemplos prácticos a menudo usa fórmulas de multiplicación abreviadas con partes izquierda y derecha reorganizadas. Esto es especialmente conveniente cuando se factoriza un polinomio.

Fórmulas de multiplicación abreviadas adicionales

No nos limitaremos al curso de álgebra de séptimo grado y agregaremos algunas fórmulas más a nuestra tabla FSU.

Primero, considere la fórmula binomial de Newton.

una + segundo norte = C norte 0 una norte + C norte 1 una norte - 1 segundo + C norte 2 una norte - 2 segundo 2 + . . + C norte norte - 1 un segundo norte - 1 + C norte norte segundo norte

Aquí C n k son los coeficientes binomiales que están en la línea número n en el triángulo de pascal. Los coeficientes binomiales se calculan mediante la fórmula:

C nk = norte ! k! · (n - k) ! = norte (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Como puede ver, la FSU para el cuadrado y el cubo de la diferencia y la suma es caso especial Fórmulas binomiales de Newton para n=2 y n=3, respectivamente.

Pero, ¿y si hay más de dos términos en la suma a elevar a una potencia? Te será útil la fórmula del cuadrado de la suma de tres, cuatro o más términos.

un 1 + un 2 + . . + un norte 2 = un 1 2 + un 2 2 + . . + un norte 2 + 2 un 1 un 2 + 2 un 1 un 3 + . . + 2 un 1 un norte + 2 un 2 un 3 + 2 un 2 un 4 + . . + 2 un 2 un norte + 2 un norte - 1 un norte

Otra fórmula que puede resultar útil es la fórmula de la diferencia de las n-ésimas potencias de dos términos.

un norte - segundo norte = un - segundo un norte - 1 + un norte - 2 segundo + un norte - 3 segundo 2 + . . + un 2 segundo norte - 2 + segundo norte - 1

Esta fórmula generalmente se divide en dos fórmulas, respectivamente para grados pares e impares.

Para exponentes pares 2m:

un 2 metro - segundo 2 metro = un 2 - segundo 2 un 2 metro - 2 + un 2 metro - 4 segundo 2 + un 2 metro - 6 segundo 4 + . . + segundo 2 m - 2

Para exponentes impares 2m+1:

un 2 metro + 1 - segundo 2 metro + 1 = un 2 - segundo 2 un 2 metro + un 2 metro - 1 segundo + un 2 metro - 2 segundo 2 + . . + segundo 2 metros

Las fórmulas para la diferencia de cuadrados y la diferencia de cubos, lo adivinaste, son casos especiales de esta fórmula para n = 2 y n = 3, respectivamente. Para la diferencia de cubos, b también se reemplaza por - b .

¿Cómo leer fórmulas de multiplicación abreviadas?

Daremos las formulaciones correspondientes para cada fórmula, pero primero nos ocuparemos del principio de lectura de fórmulas. La forma más fácil de hacerlo es con un ejemplo. Tomemos la primera fórmula para el cuadrado de la suma de dos números.

una + segundo 2 = una 2 + 2 una segundo + segundo 2 .

Dicen: el cuadrado de la suma de dos expresiones a y b es igual a la suma del cuadrado de la primera expresión, el doble del producto de las expresiones y el cuadrado de la segunda expresión.

Todas las demás fórmulas se leen de manera similar. Para la diferencia al cuadrado a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 escribimos:

el cuadrado de la diferencia de dos expresiones a y b es igual a la suma de los cuadrados de estas expresiones menos el doble del producto de la primera y la segunda expresión.

Leamos la fórmula a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. El cubo de la suma de dos expresiones a y b es igual a la suma de los cubos de estas expresiones, tres veces el producto del cuadrado de la primera expresión y la segunda, y tres veces el producto del cuadrado de la segunda expresión y la primera expresión.

Procedemos a leer la fórmula para la diferencia de cubos a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. El cubo de la diferencia de dos expresiones a y b es igual al cubo de la primera expresión menos tres veces el cuadrado de la primera expresión y la segunda, más tres veces el cuadrado de la segunda expresión y la primera expresión, menos el cubo de la segunda expresión.

La quinta fórmula a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (diferencia de cuadrados) dice lo siguiente: la diferencia de los cuadrados de dos expresiones es igual al producto de la diferencia y la suma de las dos expresiones.

Expresiones como a 2 + a b + b 2 y a 2 - a b + b 2 por conveniencia se llaman, respectivamente, el cuadrado incompleto de la suma y el cuadrado incompleto de la diferencia.

Con esto en mente, las fórmulas para la suma y diferencia de cubos se leen de la siguiente manera:

La suma de los cubos de dos expresiones es igual al producto de la suma de estas expresiones y el cuadrado incompleto de su diferencia.

La diferencia de los cubos de dos expresiones es igual al producto de la diferencia de estas expresiones por el cuadrado incompleto de su suma.

Prueba de FSU

Demostrar FSU es bastante simple. En base a las propiedades de la multiplicación, realizaremos la multiplicación de las partes de las fórmulas entre paréntesis.

Por ejemplo, considere la fórmula para el cuadrado de la diferencia.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Para elevar una expresión a la segunda potencia, la expresión debe multiplicarse por sí misma.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Expandamos los paréntesis:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

La fórmula ha sido probada. Los otros FSO se prueban de manera similar.

Ejemplos de aplicación de FSO

El propósito de usar fórmulas de multiplicación reducidas es multiplicar y exponenciar expresiones de manera rápida y concisa. Sin embargo, este no es todo el alcance del FSO. Son ampliamente utilizados en la reducción de expresiones, la reducción de fracciones, la factorización de polinomios. Demos ejemplos.

Ejemplo 1. FSO

Simplifiquemos la expresión 9 y - (1 + 3 y) 2 .

Aplique la fórmula de la suma de cuadrados y obtenga:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Ejemplo 2. FSO

Reducir la fracción 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

Notamos que la expresión en el numerador es la diferencia de cubos, y en el denominador, la diferencia de cuadrados.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Reducimos y obtenemos:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

Las FSU también ayudan a calcular los valores de las expresiones. Lo principal es poder notar dónde aplicar la fórmula. Mostremos esto con un ejemplo.

Elevemos al cuadrado el número 79. En lugar de cálculos engorrosos, escribimos:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Parecería que un cálculo complejo se realizó rápidamente con solo el uso de fórmulas de multiplicación abreviadas y una tabla de multiplicar.

Otro punto importante- selección del cuadrado del binomio. La expresión 4 x 2 + 4 x - 3 se puede convertir en 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Tales transformaciones son ampliamente utilizadas en la integración.

Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter