Müntəzəm üçbucaqlı piramidanın yan sahəsi. Piramidanın sahəsini necə hesablamaq olar: əsas, yan və tam

Silindr iki paralel müstəvi və silindrik səthlə məhdudlaşan həndəsi cisimdir. Məqalədə silindrin sahəsini necə tapmaq barədə danışacağıq və düsturdan istifadə edərək, məsələn, bir neçə problemi həll edəcəyik.

Silindr üç səthə malikdir: üst, alt və yan səth.

Silindirin yuxarı və aşağı hissəsi dairələrdir və onları müəyyən etmək asandır.

Məlumdur ki, dairənin sahəsi πr 2-ə bərabərdir. Buna görə də, iki dairənin (silindin yuxarı və aşağı hissəsi) sahəsi üçün düstur πr 2 + πr 2 = 2πr 2 kimi görünəcəkdir.

Silindin üçüncü, yan səthi silindrin əyri divarıdır. Bu səthi daha yaxşı təmsil etmək üçün onu tanınan forma əldə etmək üçün çevirməyə çalışaq. Təsəvvür edin ki, silindr olmayan adi qalay qutusu üst qapaq və alt. Yan divarda bankanın yuxarısından aşağısına qədər şaquli bir kəsik edək (şəkildə 1-ci addım) və əldə edilən rəqəmi mümkün qədər açmağa (düzləşdirməyə) çalışaq (2-ci addım).

Yaranan kavanozun tam açıqlanmasından sonra tanış bir rəqəm görəcəyik (3-cü addım), bu düzbucaqlıdır. Düzbucaqlının sahəsini hesablamaq asandır. Ancaq bundan əvvəl, gəlin bir anlığa orijinal silindrə qayıdaq. Orijinal silindrin təpəsi bir dairədir və bilirik ki, dairənin çevrəsi aşağıdakı düsturla hesablanır: L = 2πr. Şəkildə qırmızı rənglə qeyd olunub.

Silindirin yan divarı tam genişləndikdə, çevrənin yaranan düzbucağın uzunluğuna çevrildiyini görürük. Bu düzbucağın tərəfləri çevrə (L = 2πr) və silindrin hündürlüyü (h) olacaqdır. Düzbucaqlının sahəsi onun tərəflərinin məhsuluna bərabərdir - S = uzunluq x en = L x h = 2πr x h = 2πrh. Nəticədə silindrin yanal səthinin sahəsini hesablamaq üçün bir düstur əldə etdik.

Silindrlərin yan səthinin sahəsi üçün düstur
S tərəfi = 2prh

Silindrlərin tam səth sahəsi

Nəhayət, hər üç səthin sahəsini əlavə etsək, sahə düsturunu alırıq tam səth silindr. Silindr səthinin sahəsi silindrin yuxarı hissəsinin sahəsinə + silindrin əsasının sahəsinə + silindrin yan səthinin sahəsinə və ya S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Bəzən bu ifadə 2πr (r + h) eyni düsturla yazılır.

Silindrlərin ümumi səthinin düsturu
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r - silindrin radiusu, h - silindrin hündürlüyü

Silindr səthinin sahəsinin hesablanması nümunələri

Yuxarıdakı düsturları başa düşmək üçün nümunələrdən istifadə edərək silindrin səthinin sahəsini hesablamağa çalışaq.

1. Silindr əsasının radiusu 2, hündürlüyü 3-dür. Silindrin yan səthinin sahəsini təyin edin.

Ümumi səth sahəsi düsturla hesablanır: S tərəfi. = 2prh

S tərəfi = 2 * 3.14 * 2 * 3

S tərəfi = 6.28 * 6

S tərəfi = 37.68

Silindrin yan səthinin sahəsi 37,68-dir.

2. Hündürlüyü 4, radiusu 6-dırsa, silindrin səth sahəsini necə tapmaq olar?

Ümumi səth sahəsi düsturla hesablanır: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4

S = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24

• Tapşırıq 1. Piramidanın ümumi səth sahəsini tapın
• Tapşırıq 2. Müntəzəm üçbucaqlı piramidanın yan səthinin sahəsini tapın

Tapşırıq 1. Normal piramidanın ümumi səth sahəsini tapın

Qərar.

Düzgün üçbucaqlı piramidanın təməlində bərabərtərəfli üçbucaq yerləşir.
Buna görə də, problemi həll etmək üçün müntəzəm üçbucağın xüsusiyyətlərindən istifadə edirik:

Biz üçbucağın hündürlüyünü bilirik, onun sahəsini haradan tapa bilərik.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Baza sahəsinin haradan bərabər olacağı:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Yan üzün sahəsini tapmaq üçün KM hündürlüyünü hesablayırıq. Problem ifadəsinə görə OKM bucağı 45 dərəcədir.
Beləliklə:
OK / MK = cos 45
Triqonometrik funksiyaların qiymətləri cədvəlindən istifadə edirik və əvəz edirik məlum dəyərlər.

OK / MK = √2/2

Nəzərə alırıq ki, OK yazılmış dairənin radiusuna bərabərdir. Sonra
OK = √3/6 a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Sonra
OK / MK = √2/2
1 / MK = √2/2
MK = 2/√2

Yan üzün sahəsi daha sonra hündürlüyün və üçbucağın əsasının məhsulunun yarısına bərabərdir.
Yan tərəf = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Beləliklə, piramidanın ümumi səth sahəsi bərabər olacaqdır
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Cavab verin: 3√3 + 18/√6

Tapşırıq 2. Normal piramidanın yan səthinin sahəsini tapın

Qərar.

Müntəzəm üçbucaqlı piramidanın əsası bərabərtərəfli üçbucaq olduğundan, AO təməlin ətrafında çəkilmiş dairənin radiusudur.
(Bundan belə çıxır)

Bərabəryanlı üçbucağın ətrafına çəkilmiş dairənin radiusu onun xassələrindən tapılır

Beləliklə, müntəzəm üçbucaqlı piramidanın kənarlarının uzunluğu aşağıdakılara bərabər olacaqdır:
AM 2 = MO 2 + AO 2
piramidanın hündürlüyü şərtlə məlumdur (10 sm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Piramidanın hər tərəfi ikitərəfli üçbucaqdır. Kvadrat ikitərəfli üçbucaq aşağıdakı birinci düsturdan tapın

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) - 64)
S = 8 sqrt (364/3)
S = 16 sqrt (91/3)

Normal piramidanın hər üç üzü bərabər olduğundan, yanal səth sahəsi bərabər olacaqdır
3S = 48√(91/3)

Cavab: 48 √(91/3)

Tapşırıq 3. Adi piramidanın ümumi səth sahəsini tapın

Düzgün üçbucaqlı piramidanın tərəfi 3 sm, yan üzü ilə piramidanın əsası arasındakı bucaq 45 dərəcədir. Piramidanın ümumi səth sahəsini tapın.

Qərar.
Piramida nizamlı olduğundan onun bazasında bərabərtərəfli üçbucaq var. Beləliklə, baza sahəsi


Beləliklə = 9 * √3/4

Yan üzün sahəsini tapmaq üçün KM hündürlüyünü hesablayırıq. Problem ifadəsinə görə OKM bucağı 45 dərəcədir.
Beləliklə:
OK / MK = cos 45
istifadə edək

piramida- bazasında yerləşən və üzləri olan çoxbucaqlı və üçbucaqlardan əmələ gələn çoxüzlü növlərindən biri.

Üstəlik, piramidanın yuxarı hissəsində (yəni bir nöqtədə) bütün üzlər birləşdirilir.

Piramidanın sahəsini hesablamaq üçün onun yanal səthinin bir neçə üçbucaqdan ibarət olduğunu müəyyən etməyə dəyər. Və istifadə edərək onların sahələrini asanlıqla tapa bilərik

müxtəlif formullar. Üçbucaqların hansı məlumatlarını bildiyimizdən asılı olaraq, onların sahəsini axtarırıq.

Üçbucaqların sahəsini tapa biləcəyiniz bəzi düsturları sadalayırıq:

1. S = (a*h)/2 . Bu halda biz üçbucağın hündürlüyünü bilirik h , yan tərəfə endirilir a .
2. S = a*b*sinβ . Burada üçbucağın tərəfləri a , b , və onların arasındakı bucaqdır β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Burada üçbucağın tərəfləri a, b, c . Üçbucağa daxil edilmiş dairənin radiusu belədir r .
4. S = (a*b*c)/4*R . Üçbucağın ətrafına çəkilmiş dairənin radiusu bərabərdir R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Bu düstur yalnız üçbucaq düzbucaqlı üçbucaq olduqda tətbiq edilməlidir.
6. S = (a²*√3)/4 . Bu düsturu bərabərtərəfli üçbucağa tətbiq edirik.

Yalnız piramidamızın üzləri olan bütün üçbucaqların sahələrini hesabladıqdan sonra onun yan səthinin sahəsini hesablaya bilərik. Bunun üçün yuxarıdakı düsturlardan istifadə edəcəyik.

Piramidanın yanal səthinin sahəsini hesablamaq üçün heç bir çətinlik yaranmır: bütün üçbucaqların sahələrinin cəmini tapmaq lazımdır. Bunu düsturla ifadə edək:

Sp = ΣSi

Budur Si birinci üçbucağın sahəsidir və S P piramidanın yan səthinin sahəsidir.

Bir nümunəyə baxaq. Müntəzəm bir piramida nəzərə alınmaqla, onun yanal üzləri bir neçə bərabərtərəfli üçbucaqdan ibarətdir,

« Həndəsə zehni qabiliyyətlərimizi təkmilləşdirmək üçün ən güclü vasitədir.».

Galileo Galilei.

kvadrat isə piramidanın əsasını təşkil edir. Üstəlik, piramidanın kənarının uzunluğu 17 sm-dir.Bu piramidanın yan səthinin sahəsini tapaq.

Biz belə əsaslandırırıq: bilirik ki, piramidanın üzləri üçbucaqlıdır, bərabərtərəflidir. Bu piramidanın kənarının uzunluğunun nə qədər olduğunu da bilirik. Buradan belə çıxır ki, bütün üçbucaqların bərabər tərəfləri var, onların uzunluğu 17 sm-dir.

Bu üçbucaqların hər birinin sahəsini hesablamaq üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edə bilərsiniz:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 sm²

Kvadratın piramidanın təməlində yerləşdiyini bildiyimiz üçün dörd bərabərtərəfli üçbucağın olduğu ortaya çıxır. Bu o deməkdir ki, piramidanın yan səthinin sahəsi aşağıdakı düsturla asanlıqla hesablana bilər: 125,137 sm² * 4 = 500,548 sm²

Cavabımız belədir: 500,548 sm² - bu piramidanın yan səthinin sahəsidir.

Bu həndəsi fiqur və onun xassələri ilə bağlı sualları öyrənməzdən əvvəl bəzi terminləri başa düşmək lazımdır. İnsan piramida haqqında eşidəndə Misirdə nəhəng binaları təsəvvür edir. Ən sadələri belə görünür. Amma olur fərqli növlər və fiqurlar, yəni həndəsi fiqurlar üçün hesablama düsturu fərqli olacaq.

Piramida - həndəsi fiqur , çoxlu üzləri bildirən və təmsil edən. Əslində, bu, eyni polihedrondur, onun əsasında çoxbucaqlı yerləşir və tərəflərdə bir nöqtədə - təpədə birləşdirən üçbucaqlar var. Şəkil iki əsas növdən ibarətdir:

• düzgün;
• kəsilmiş.

Birinci halda, əsasdır müntəzəm çoxbucaqlı. Hamısı buradadır yan səthlər bərabərdirözləri ilə rəqəmin özü arasında bir mükəmməllikçinin gözünü sevindirəcək.

İkinci halda, iki əsas var - ən altındakı böyük və yuxarı arasında kiçik, əsas olanın formasını təkrarlayır. Başqa sözlə desək, kəsilmiş piramida bazaya paralel olaraq formalaşmış kəsiyi olan çoxüzlüdür.

Şərtlər və qeydlər

Əsas şərtlər:

• Düzgün (bərabərtərəfli) üçbucaq- üç eyni bucaqlı fiqur və bərabər tərəflər. Bu vəziyyətdə bütün açılar 60 dərəcədir. Fiqur müntəzəm çoxüzlülərin ən sadəsidir. Bu rəqəm təməldə yerləşirsə, belə bir çoxhedron müntəzəm üçbucaqlı adlanacaqdır. Baza kvadratdırsa, piramida müntəzəm dördbucaqlı piramida adlanacaqdır.
• Vertex- kənarların birləşdiyi ən yüksək nöqtə. Təpənin hündürlüyü piramidanın yuxarısından aşağıya doğru uzanan düz xəttlə formalaşır.
• kənarçoxbucaqlının müstəvilərindən biridir. Üçbucaqlı piramida vəziyyətində üçbucaq şəklində və ya trapezoid şəklində ola bilər. kəsilmiş piramida.
• en kəsiyi- parçalanma nəticəsində əmələ gələn yastı fiqur. Bölmə ilə qarışdırılmamalıdır, çünki bölmə həm də bölmənin arxasında nə olduğunu göstərir.
• Apotem- piramidanın yuxarısından bazasına çəkilmiş seqment. Bu həm də ikinci hündürlük nöqtəsinin olduğu üzün hündürlüyüdür. Bu tərif yalnız müntəzəm çoxüzlüyə münasibətdə etibarlıdır. Məsələn - kəsilmiş piramida deyilsə, üz üçbucaq olacaq. Bu halda, bu üçbucağın hündürlüyü apotem olacaq.

Sahə düsturları

Piramidanın yan səthinin sahəsini tapın istənilən növ bir neçə yolla edilə bilər. Əgər rəqəm simmetrik deyilsə və çoxbucaqlıdırsa müxtəlif tərəflər, onda bu halda hesablamaq daha asandır ümumi sahə, ərazi bütün səthlərin toplanması vasitəsilə səthlər. Başqa sözlə, hər bir üzün sahəsini hesablamaq və onları birlikdə əlavə etmək lazımdır.

Hansı parametrlərin bilindiyindən asılı olaraq, kvadrat, trapesiya, ixtiyari dördbucaqlı və s. hesablanması üçün düsturlar tələb oluna bilər. Formulların özləri müxtəlif hallar da fərqli olacaq.

halda düzgün rəqəmərazini tapmaq daha asandır. Yalnız bir neçə əsas parametri bilmək kifayətdir. Əksər hallarda bu cür rəqəmlər üçün dəqiq hesablamalar tələb olunur. Buna görə də müvafiq düsturlar aşağıda veriləcəkdir. Əks təqdirdə, hər şeyi bir neçə səhifəyə boyamalı olacaqsınız, bu da yalnız çaşdıracaq və çaşdıracaq.

Hesablama üçün əsas düstur müntəzəm piramidanın yanal səth sahəsi olacaq növbəti görünüş:

S \u003d ½ Pa (P bazanın perimetridir və apotemdir)

Nümunələrdən birini nəzərdən keçirək. Polihedron A1, A2, A3, A4, A5 seqmentləri olan bazaya malikdir və onların hamısı 10 sm-ə bərabərdir.Apotem 5 sm-ə bərabər olsun.Əvvəlcə perimetri tapmaq lazımdır. Bazanın bütün beş üzü eyni olduğundan, onu aşağıdakı kimi tapmaq olar: P \u003d 5 * 10 \u003d 50 sm. Sonra əsas düsturu tətbiq edirik: S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 sm kvadrat .

Müntəzəm üçbucaqlı piramidanın yan səthinin sahəsi hesablamaq üçün ən asan. Formula belə görünür:

S =½* ab *3, burada a apotemdir, b əsasın fasetidir. Burada üç faktor bazanın üzlərinin sayını, birinci hissə isə yan səthin sahəsini bildirir. Məsələni nəzərdən keçirək. 5 sm apotem və 8 sm əsas üzü olan bir rəqəm verilmişdir.Hesablayırıq: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 sm kvadrat.

Kəsilmiş piramidanın yan səth sahəsi hesablamaq bir az daha çətindir. Düstur belə görünür: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, burada p_01 və p_02 əsasların perimetrləridir və apotemdir. Məsələni nəzərdən keçirək. Tutaq ki, dördbucaqlı bir fiqur üçün əsasların tərəflərinin ölçüləri 3 və 6 sm, apotem 4 sm-dir.

Burada yeni başlayanlar üçün əsasların perimetrlərini tapmalısınız: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 sm; p_02=6*4=24 sm.Qiymətləri əsas düsturla əvəz etmək və əldə etmək qalır: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 sm kvadrat.

Beləliklə, istənilən mürəkkəblikdə müntəzəm piramidanın yanal səth sahəsini tapmaq mümkündür. Qarışıq olmamağa diqqət edin bütün polihedronun ümumi sahəsi ilə bu hesablamalar. Və hələ də bunu etməlisinizsə, polihedronun ən böyük əsasının sahəsini hesablamaq və onu polihedronun yanal səthinin sahəsinə əlavə etmək kifayətdir.

Video

Müxtəlif piramidaların yan səthinin sahəsini necə tapmaq barədə məlumatları birləşdirmək üçün bu video sizə kömək edəcəkdir.

Sualınıza cavab almadınız? Müəlliflərə mövzu təklif edin.

Hansı formaya piramida deyirik? Birincisi, bu çoxüzlüdür. İkincisi, bu polihedronun əsasında ixtiyari çoxbucaqlı var və piramidanın tərəfləri (yan üzləri) mütləq bir ümumi təpədə birləşən üçbucaqlar formasına malikdir. İndi terminlə məşğul olduqdan sonra piramidanın səth sahəsini necə tapacağımızı öyrənək.

Aydındır ki, belə bir həndəsi cismin səth sahəsi bazanın və onun bütün yan səthinin sahələrinin cəmindən ibarətdir.

Piramidanın əsasının sahəsinin hesablanması

Hesablama düsturunun seçimi piramidamızın əsasında yerləşən çoxbucaqlının formasından asılıdır. Düzgün, yəni eyni uzunluqdakı tərəflərlə və ya səhv ola bilər. Gəlin hər iki variantı nəzərdən keçirək.

Bazada müntəzəm çoxbucaqlıdır

Məktəb kursundan məlumdur:

• kvadratın sahəsi onun tərəfinin kvadratının uzunluğuna bərabər olacaq;
• Bərabər tərəfli üçbucağın sahəsi onun tərəfinin kvadratının üçünün kvadrat kökünün 4 qatına bölünməsinə bərabərdir.

Ancaq hər hansı bir müntəzəm çoxbucağın (Sn) sahəsini hesablamaq üçün ümumi bir düstur da var: bu çoxbucaqlının perimetrinin dəyərini (P) içindəki dairənin radiusuna (r) vurmalısınız və sonra nəticəni ikiyə bölün: Sn=1/2P*r .

Əsası nizamsız çoxbucaqlıdır.

Onun sahəsini tapmaq sxemi əvvəlcə bütün çoxbucaqlıları üçbucaqlara bölmək, hər birinin sahəsini düsturla hesablamaqdır: 1/2a * h (burada a üçbucağın əsasıdır, h hündürlükdür. bu bazaya endirildi), bütün nəticələri toplayın.

Piramidanın yan səthinin sahəsi

İndi piramidanın yan səthinin sahəsini hesablayaq, yəni. onun bütün tərəflərinin sahələrinin cəmi. Burada da 2 variant var.

1. İxtiyari bir piramidaya sahib olaq, yəni. bazası nizamsız çoxbucaqlı olan biri. Sonra hər bir üzün sahəsini ayrıca hesablamalı və nəticələri əlavə etməlisiniz. Piramidanın tərəfləri tərifinə görə yalnız üçbucaq ola bildiyi üçün hesablama yuxarıda qeyd olunan düstur əsasında aparılır: S=1/2a*h.
2. Piramidamız düzgün olsun, yəni. onun bazasında düzgün çoxbucaqlı yerləşir və piramidanın yuxarı hissəsinin proyeksiyası onun mərkəzindədir. Sonra yan səthin sahəsini (Sb) hesablamaq üçün əsas çoxbucaqlının perimetrinin (P) və tərəfin hündürlüyünün (h) məhsulunun yarısını tapmaq kifayətdir (bütün üzlər üçün eynidir) : Sb \u003d 1/2 P * h. Çoxbucaqlının perimetri onun bütün tərəflərinin uzunluqlarını toplamaqla müəyyən edilir.

Müntəzəm piramidanın ümumi səthi onun əsasının sahəsini bütün yan səthin sahəsi ilə cəm etməklə tapılır.

Nümunələr

Məsələn, bir neçə piramidanın səth sahələrini cəbri hesablayaq.

Üçbucaqlı piramidanın səth sahəsi

Belə bir piramidanın təməlində üçbucaq var. So \u003d 1 / 2a * h düsturuna görə, təməlin sahəsini tapırıq. Piramidanın hər bir üzünün sahəsini tapmaq üçün eyni düsturdan istifadə edirik, eyni zamanda üçbucaqlı formaya malikdir və biz 3 sahə alırıq: S1, S2 və S3. Piramidanın yan səthinin sahəsi bütün sahələrin cəmidir: Sb \u003d S1 + S2 + S3. Yanların və bazanın sahələrini əlavə edərək, istədiyiniz piramidanın ümumi səth sahəsini alırıq: Sp \u003d So + Sb.

Dördbucaqlı piramidanın səth sahəsi

Yan səth sahəsi 4 şərtin cəmidir: Sb \u003d S1 + S2 + S3 + S4, hər biri üçbucağın sahəsi düsturu ilə hesablanır. Və bazanın sahəsi dördbucağın formasından asılı olaraq axtarılmalıdır - düzgün və ya qeyri-müntəzəm. Piramidanın ümumi səthi yenidən əsasın sahəsini və verilmiş piramidanın ümumi səthinin sahəsini əlavə etməklə əldə edilir.