Konus. Frustum

Konik səth verilmiş əyrinin hər bir nöqtəsindən və əyridən kənar nöqtədən keçən bütün düz xətlərin əmələ gətirdiyi səth adlanır (şək. 32).

Bu əyri adlanır bələdçi , birbaşa - yaradan , nöqtə - zirvə konusvari səth.

Düz dairəvi konik səth verilmiş çevrənin hər bir nöqtəsindən keçən bütün xətlərin əmələ gətirdiyi səthə və dairənin müstəvisinə perpendikulyar olan və onun mərkəzindən keçən xəttin nöqtəsinə deyilir. Bundan sonra bu səth qısaca olaraq adlandırılacaqdır konusvari səth (şək. 33).

konus (düz dairəvi konus ) konusvari səthlə və istiqamətləndirici dairənin müstəvisinə paralel olan müstəvi ilə məhdudlaşan həndəsi cisim adlanır (şək. 34).

düyü. 32 Şek. 33 Şek. 34

Konus, düz üçbucağın üçbucağın ayaqlarından birini ehtiva edən ox ətrafında fırlanması ilə əldə edilən bir cisim hesab edilə bilər.

Konusu əhatə edən dairə deyilir əsas . Konusvari səthin təpəsi deyilir zirvə konus. Konusun yuxarı hissəsini əsasının mərkəzi ilə birləşdirən xətt seqmenti adlanır hündür konus. Konusvari səthi əmələ gətirən seqmentlər adlanır yaradan konus. ox Konusun təpəsindən və əsasının mərkəzindən keçən düz xəttdir. Eksenel bölmə konusun oxundan keçən hissəyə deyilir. Yan səthin inkişafı konus radiusu olan sektor adlanır uzunluğa bərabərdir konusun generatrix və sektorun qövsünün uzunluğu konusun əsasının ətrafına bərabərdir.

Konus üçün aşağıdakı düsturlar doğrudur:

harada R bazanın radiusudur;

H- hündürlük;

l- generatrixin uzunluğu;

S əsas- baza sahəsi;

S tərəfi

S dolu

V konusun həcmidir.

kəsilmiş konus Konusun əsas və konus əsasına paralel kəsici müstəvi arasında qapalı olan hissəsi adlanır (şək. 35).

Kəsilmiş konus fırlanma ilə əldə edilən bir cisim hesab edilə bilər düzbucaqlı trapesiya trapezoidin əsaslara perpendikulyar tərəfini ehtiva edən ox haqqında.

Konusu bağlayan iki dairə onun adlanır əsaslar . Hündürlük kəsilmiş konusun əsasları arasındakı məsafədir. Kəsilmiş konusun konusvari səthini təşkil edən seqmentlər adlanır yaradan . Əsasların mərkəzlərindən keçən düz xətt deyilir ox kəsilmiş konus. Eksenel bölmə kəsilmiş konusun oxundan keçən hissəyə deyilir.

Kəsilmiş konus üçün aşağıdakı düsturlar doğrudur:

(8)

harada R alt bazanın radiusudur;

r yuxarı bazanın radiusudur;

H hündürlük, l generatrixin uzunluğu;

S tərəfi yanal səth sahəsidir;

S doluümumi səth sahəsidir;

V kəsilmiş konusun həcmidir.

Misal 1 Konusun bazaya paralel olan hissəsi hündürlüyü yuxarıdan hesablamaqla 1:3 nisbətində bölür. Əsasın radiusu və konusun hündürlüyü 9 sm və 12 sm olarsa, kəsilmiş konusun yan səthinin sahəsini tapın.

Qərar. Gəlin bir rəsm çəkək (şək. 36).

Kəsilmiş konusun yanal səthinin sahəsini hesablamaq üçün düsturdan (8) istifadə edirik. Əsasların radiuslarını tapın Təxminən 1 A və Təxminən 1 V və yaradan AB.

Oxşar üçbucaqları nəzərdən keçirək SO 2 B və SO 1 A, oxşarlıq əmsalı, onda

Buradan

O vaxtdan bəri

Kəsilmiş konusun yan səthinin sahəsi bərabərdir:

Cavab: .

Misal 2. Radiusun dörddə bir dairəsi konusvari bir səthə bükülür. Əsasın radiusunu və konusun hündürlüyünü tapın.

Qərar. Bir dairənin dördlü konusu konusun yan səthinin inkişafıdır. İşarə et r onun əsasının radiusudur, H- hündürlük. Yan səthin sahəsi düsturla hesablanır: . Bir dairənin dörddə birinin sahəsinə bərabərdir: . İki naməlumlu tənlik alırıq r və l(konusun generatoru). Bu halda, generatrix dairənin dörddə birinin radiusuna bərabərdir. R, beləliklə, aşağıdakı tənliyi alırıq: , buradan bazanın və generatrisin radiusunu bilməklə konusun hündürlüyünü tapırıq:

Cavab: 2 sm, .

Misal 3 Düzbucaqlı trapesiya ilə kəskin bucaq 45 O, daha kiçik bazası 3 sm və meylli tərəfi ilə bərabər, əsaslara perpendikulyar olan tərəf ətrafında fırlanır. Alınan inqilab cisminin həcmini tapın.

Qərar. Gəlin rəsm çəkək (şək. 37).

Fırlanma nəticəsində kəsilmiş konus alırıq, onun həcmini tapmaq üçün daha böyük bazanın radiusunu və hündürlüyünü hesablayırıq. trapesiyada O 1 O 2 AB sərf edəcəyik AC^O 1 B. Bizdə var: deməli, bu üçbucaq ikitərəflidir AC=e.ə\u003d 3 sm.

Cavab:

Misal 4 Tərəfləri 13 sm, 37 sm və 40 sm olan üçbucaq böyük tərəfə paralel olan və ondan 3 sm məsafədə olan xarici ox ətrafında fırlanır (ox üçbucağın müstəvisində yerləşir). Yaranan inqilab bədəninin səth sahəsini tapın.

Qərar . Gəlin rəsm çəkək (şək. 38).

Yaranan inqilab gövdəsinin səthi iki kəsilmiş konusun yan səthlərindən və silindrin yan səthindən ibarətdir. Bu sahələri hesablamaq üçün konusların və silindrin əsaslarının radiuslarını bilmək lazımdır ( OLUN və OC) konusların əmələ gəlməsi ( e.ə və AC) və silindrin hündürlüyü ( AB). Bilinməyən yalnızdır CO. üçbucağın kənarından fırlanma oxuna qədər olan məsafədir. tapaq DC. ABC üçbucağının bir tərəfindəki sahəsi AB tərəfinin yarısının və ona çəkilən hündürlüyün məhsuluna bərabərdir. DC, digər tərəfdən, üçbucağın bütün tərəflərini bilərək, Heron düsturundan istifadə edərək onun sahəsini hesablayırıq.

- bu konusun bir hissəsidir, onun simmetriya oxuna perpendikulyar olan iki paralel əsas arasında məhdudlaşır. Konusun əsasları həndəsi dairələrdir.

Kəsilmiş konus, düzbucaqlı bir trapesiyanı onun hündürlüyü olan tərəfi ətrafında fırlatmaqla əldə edilə bilər. Konusun sərhədi R radiuslu dairə, r radiuslu dairə və konusun yan səthidir. Konusun yan səthi fırlanma zamanı trapezoidin yan tərəfini təsvir edir.

Kəsilmiş konusun yanal səthinin bələdçidən və onun əsaslarının radiusundan keçən sahəsi

Ərazini taparkən yan səth kəsilmiş konusun, onu konusun yan səthi ilə kəsilmiş konusun yan səthi arasındakı fərq kimi nəzərdən keçirmək daha məqsədəuyğundur.

A`MB` konusu verilmiş AMB konusundan kəsilsin. Hesablamaq lazımdır yan sahə kəsilmiş konus AA`B`B . Məlumdur ki, onun əsaslarının radiusları AO=R, A`O` =r , generatrix L-ə bərabərdir. MB`-ni x kimi işarə edək. Onda A`MB` konusunun yan səthi πrx-ə bərabər olacaqdır. AMB konusunun yanal səthi isə πR(L+x)-ə bərabər olacaqdır.
Onda kəsilmiş konusun AA`B`B yanal səthi AMB konusunun yan səthi ilə A`MB` konusunun fərqi ilə ifadə oluna bilər:

OMB və O`MB` üçbucaqları bucaqların bərabərliyi baxımından oxşardır ∠(MOB) = ∠(MO`B`) və ∠(OMB) = ∠(O`MB`) . Bu üçbucaqların oxşarlığından belə çıxır:
Törəmə nisbətindən istifadə edək. Bizdə:
Buradan x tapırıq:
Bu ifadəni yanal səth sahəsi üçün düsturla əvəz edərək, əldə edirik:
Beləliklə, kəsilmiş konusun yanal səthinin sahəsi π ədədinin və onun bələdçisinin məhsuluna və əsaslarının radiuslarının cəminə bərabərdir.

Kəsilmiş konusun yan səthinin sahəsinin hesablanmasına bir nümunə, əgər onun radiusu və generatrisi məlumdursa
Daha böyük bazanın radiusu, generatrix və kəsilmiş konusun hündürlüyü müvafiq olaraq 7, 5 və 4 sm-dir. Konusun yan səthinin sahəsini tapın.
Kəsilmiş konusun eksenel hissəsidir isosceles trapezoid, 2R və 2r əsasları ilə. Trapezoidin yan tərəfi olan kəsik konusunun generatrisi, hündürlüyü, böyük əsasda tüklü olması və kəsilmiş konusun əsasının radiuslarındakı fərq Misir üçbucağını təşkil edir. bu düz üçbucaq aspekt nisbəti 3:4:5 ilə. Problemin şərtinə görə, generatrix 5-ə, hündürlüyü isə 4-ə bərabərdir, onda kəsilmiş konusun əsasının radiuslarındakı fərq 3-ə bərabər olacaqdır.
Bizdə:
L=5
R=7
R=4
Kəsilmiş konusun yanal səthinin sahəsi üçün formula aşağıdakı kimidir:

Dəyərləri əvəz edərək, əldə edirik:

Bələdçi və orta radius vasitəsilə kəsilmiş konusun yanal səthinin sahəsi

Kəsilmiş konusun orta radiusu onun əsaslarının radiuslarının cəminin yarısına bərabərdir:


Sonra kəsilmiş konusun yanal səthinin sahəsi üçün düstur aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:

Kəsilmiş konusun yanal səthinin sahəsi orta hissənin və onun generatrisinin dövrəsinin məhsuluna bərabərdir.

Kəsilmiş konusun yan səthinin əsasının radiusları və generatrixin təməl müstəvisinə meyl bucağı vasitəsilə sahələri

Kiçik baza ortoqonal olaraq daha böyük bazaya proyeksiya edilirsə, kəsilmiş konusun yan səthinin proyeksiyası bir üzük kimi görünəcək, sahəsi düsturla hesablanır:

Sonra:

Arximedə görə kəsilmiş konusun yan səthinin sahələri

Kəsilmiş konusun yanal səthinin sahəsi belə bir dairənin sahəsinə bərabərdir, onun radiusu generatrix ilə onun əsaslarının radiuslarının cəmi arasında orta mütənasibdir.

Kəsilmiş konusun tam səthi

Konusun ümumi səthi onun yan səthinin sahəsi ilə konusun əsaslarının sahəsinin cəmidir:

Konusun əsasları R və r radiuslu dairələrdir. Onların sahəsi radiuslarının kvadratına çarpan ədədin hasilinə bərabərdir:


Yan səthin sahəsi düsturla hesablanır:

Sonra kəsilmiş konusun ümumi səth sahəsi:

Formula belə görünür:

Radius və generatrix məlumdursa, kəsilmiş konusun ümumi səthinin hesablanmasına bir nümunə
Kəsilmiş konusun əsasının radiusu 1 və 7 dm, eksenel bölmənin diaqonalları isə qarşılıqlı perpendikulyardır. Kəsilmiş konusun ümumi sahəsini tapın
Kəsilmiş konusun eksenel bölməsi əsasları 2R və 2r olan isosceles trapezoiddir. Yəni trapezoidin əsasları müvafiq olaraq 2 və 14 dm-dir. Trapezoidin diaqonalları qarşılıqlı perpendikulyar olduğundan hündürlüyü onun əsaslarının cəminin yarısıdır. Sonra:

Trapezoidin yan tərəfi olan kəsik konusunun generatrisi, hündürlüyü, böyük əsasda tüklü və kəsilmiş konusun əsasının radiuslarındakı fərq düz üçbucaq təşkil edir.
Pifaqor teoremi ilə kəsilmiş konusun generatrisini tapırıq:

Kəsilmiş konusun ümumi səthinin düsturu belədir:

Problemin vəziyyətindən və tapılan dəyərlərdən dəyərləri əvəz edərək, əldə edirik:

Həcm düsturları

Kəsilmiş piramida və ya konus -əsasa paralel bir müstəvi ilə üst hissəsini kəsdikdən sonra qalan hissədir.

Kəsilmiş piramidanın həcmi və ya konuslar bütöv piramidanın və ya konusun həcminə minus kəsilmiş təpənin həcminə bərabərdir.

Kəsilmiş piramidanın yan səth sahəsi və ya konuslar bütün piramidanın və ya konusun səth sahəsinə bərabərdir. minus kəsilmiş təpənin yan səthinin sahəsi. Əgər tapmaq lazımdırsa ümumi sahə, ərazi kəsilmiş rəqəm, sonra iki paralel əsasın sahəsi yanal səthin sahəsinə əlavə olunur.

Kəsilmiş konusun həcmini və səth sahəsini təyin etmək üçün başqa bir üsul var:

V=1/3 π h(R 2 +Rr+r 2),

Konusun yan səthinin sahəsi S=πl(R+r),

ümumi səth sahəsi S o \u003d π l (R + r) + πr 2 + πR 2

Misal 1. Abajur üçün materialın istehsalı üçün tələb olunan sahənin müəyyən edilməsi. (Konusun yan səthinin sahəsinin hesablanması).

Abajur kəsilmiş konus formasına malikdir. Abajurun hündürlüyü 50 sm, aşağı və yuxarı diametrləri müvafiq olaraq 40 və 20 sm-dir.

3x ərzində müəyyən edin əhəmiyyətli rəqəmlər abajur etmək üçün lazım olan materialın sahəsi.

Yuxarıda müəyyən edildiyi kimi, kəsilmiş konusun yanal səth sahəsi S=πl(R+r).

Kəsilmiş konusun yuxarı və aşağı diametrləri 40 və 20 sm olduğundan, Şek. yuxarıda r=10 sm, R=20 sm və tapırıq

l \u003d (50 2 +10 2) 1/2 \u003d 50.99 Pifaqor teoreminə görə,

Buna görə də, konusun yan səthinin sahəsi S \u003d π 50,99 (20 + 10) \u003d 4803,258 sm 2, yəni. abajurun istehsalı üçün tələb olunan materialın sahəsi bərabərdir 4800 sm2 3 əhəmiyyətli rəqəmə qədər dəqiqdir, baxmayaraq ki, əlbəttə ki, nə qədər material alacağı kəsikdən asılıdır.

Misal 2. Kəsilmiş konus ilə taclanmış silindrin həcminin müəyyən edilməsi.

Soyuducu qüllə, şəkildə göstərildiyi kimi, kəsilmiş konus ilə örtülmüş silindr şəklindədir. aşağıda. Əgər həcmin 40%-ni borular və digər tikililər tutursa, qüllədə hava sahəsinin həcmini müəyyənləşdirin.

Silindrik hissənin həcmi

V=π R 2 h\u003d π (27/2) 2 * 14 \u003d 8011,71 m 3

Kəsilmiş Konus Həcmi

V=1/3 π h(R 2 +Rr+r 2), harada

h=34-14=20 m, R=27/2=13,5 m və r=14/2=7 m.

Çünki R=27/2=13,5 m və r=14/2=7 m.

Buna görə də, kəsilmiş konusun həcmi

V \u003d 1/3 π 20 (13,5 2 + 13,5 * 7 + 7 2) \u003d 6819,03 m 3

Soyutma qülləsinin ümumi həcmi V ümumi. \u003d 6819,03 + 8011,71 \u003d 14830,74 m 3.

Həcmi 40% tutursa, hava məkanının həcmi V \u003d 0,6 * 14830,74 \u003d 8898,44 m 3