Asılılıq növləri
Batareyanın doldurulmasını düşünün. Birinci dəyər olaraq, doldurmaq üçün lazım olan vaxtı alaq. İkinci dəyər şarj edildikdən sonra işləyəcəyi vaxtdır. Batareya nə qədər uzun müddət doldurulsa, bir o qədər uzun sürəcək. Proses batareya tam doldurulana qədər davam edəcək.
Batareyanın ömrünün doldurulma müddətindən asılılığı
Qeyd 1
Bu asılılıq deyilir düz:
Bir dəyər artdıqca digəri də artır. Bir dəyər azaldıqca digər dəyər də azalır.
Başqa bir misalı nəzərdən keçirək.
Tələbə nə qədər çox kitab oxuyursa, bir o qədər çox olur daha az səhv diktə ilə edəcək. Və ya dağlara nə qədər yüksəklərə qalxsanız, atmosfer təzyiqi bir o qədər aşağı olacaq.
Qeyd 2
Bu asılılıq deyilir tərs:
Bir dəyər artdıqca digəri azalır. Bir dəyər azaldıqca digər dəyər artır.
Beləliklə, halda birbaşa asılılıq hər iki kəmiyyət eyni şəkildə dəyişir (hər ikisi artır, ya da azalır), həm də halda tərs əlaqə- əksinə (biri artır, digəri azalır və ya əksinə).
Kəmiyyətlər arasında asılılıqların müəyyən edilməsi
Misal 1
Bir dostu ziyarət etmək üçün lazım olan vaxt 20 dollar dəqiqədir. Sürətin (birinci dəyərdə) $2 dəfə artması ilə dosta gedən yolda sərf olunacaq vaxtın (ikinci dəyər) necə dəyişəcəyini tapacağıq.
Aydındır ki, vaxt $2$ dəfə azalacaq.
Qeyd 3
Bu asılılıq deyilir mütənasib:
Bir dəyər neçə dəfə dəyişir, ikincisi neçə dəfə dəyişəcək.
Misal 2
Mağazada 2 dollarlıq çörək üçün 80 rubl ödəməlisən. Əgər sizə 4$-lıq çörək almaq lazımdırsa (çörəyin miqdarı $2$ dəfə artır), daha nə qədər ödəməli olacaqsınız?
Aydındır ki, xərclər də $2$ dəfə artacaq. Bizim bir nümunəmiz var mütənasib asılılıq.
Hər iki nümunədə mütənasib asılılıqlar nəzərdən keçirilmişdir. Ancaq çörək ilə nümunədə dəyərlər bir istiqamətdə dəyişir, buna görə də asılılıq düz. Və bir dosta səyahət nümunəsində sürət və vaxt arasındakı əlaqə var tərs. Beləliklə, var birbaşa mütənasib əlaqə və tərs mütənasib əlaqə.
Birbaşa mütənasiblik
$2$ mütənasib miqdarları nəzərdən keçirin: çörəklərin sayı və onların dəyəri. Qoy 2 dollarlıq çörək 80 dollar rubl olsun. Rulonların sayının $4$ dəfə ($8$ rulon) artması ilə onların ümumi xərc$320$ rubl olacaq.
Rulonların sayının nisbəti: $\frac(8)(2)=4$.
Rulo dəyəri nisbəti: $\frac(320)(80)=4$.
Gördüyünüz kimi, bu nisbətlər bir-birinə bərabərdir:
$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.
Tərif 1
İki münasibətin bərabərliyi deyilir nisbət.
Birbaşa mütənasib əlaqə ilə, birinci və ikinci dəyərlərdəki dəyişiklik eyni olduqda nisbət əldə edilir:
$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.
Tərif 2
İki miqdar deyilir düz mütənasibdirəgər onlardan biri dəyişdirilərkən (artırıldıqda və ya azaldıqda) digər qiymət eyni miqdarda dəyişirsə (müvafiq olaraq artır və ya azalır).
Misal 3
Avtomobil 2 dollar saatda 180 dollar km qət edib. Onun eyni sürətlə məsafəni 2$ dəfə qət etməsi üçün lazım olan vaxtı tapın.
Qərar.
Zaman məsafə ilə düz mütənasibdir:
$t=\frac(S)(v)$.
Məsafə neçə dəfə artacaq, sabit sürətlə, vaxt eyni miqdarda artacaq:
$\frac(2S)(v)=2t$;
$\frac(3S)(v)=3t$.
Avtomobil 180 dollar km getdi - 2 dollar saat ərzində
Avtomobil $x$ saat ərzində $180 \cdot 2=360$ km qət edir.
Avtomobil nə qədər çox məsafə qət etsə, bir o qədər çox vaxt aparacaq. Buna görə də kəmiyyətlər arasındakı əlaqə düz mütənasibdir.
Gəlin nisbət edək:
$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;
$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;
Cavab verin: Avtomobilə $4$ saat lazım olacaq.
Tərs mütənasiblik
Tərif 3
Qərar.
Zaman sürətə tərs mütənasibdir:
$t=\frac(S)(v)$.
Sürət neçə dəfə artırsa, eyni yol ilə vaxt eyni miqdarda azalır:
$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;
$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.
Məsələnin şərtini cədvəl şəklində yazaq:
Avtomobil 60 dollar km getdi - 6 dollar saat ərzində
Bir avtomobil $120$ km qət edir - $x$ saat vaxt
Avtomobil nə qədər sürətli olsa, bir o qədər az vaxt aparacaq. Buna görə də kəmiyyətlər arasındakı əlaqə tərs mütənasibdir.
Gəlin nisbət edək.
Çünki mütənasiblik tərsdir, ikinci nisbəti mütənasib olaraq çeviririk:
$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;
$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;
Cavab verin: Avtomobilə $3$ saat lazım olacaq.
§ 129. İlkin dəqiqləşdirmələr.
İnsan daim müxtəlif kəmiyyətlərlə məşğul olur. İşçi və fəhlə xidmətə çatmağa, müəyyən vaxta qədər işləməyə çalışır, piyada ən qısa marşrutla, stokerlə müəyyən yerə çatmağa tələsir. buxar isitmə qazanda temperaturun yavaş-yavaş yüksəlməsindən narahatdır, biznes meneceri istehsalın maya dəyərini azaltmaq üçün planlar qurur və s.
İstənilən sayda belə misal çəkmək olar. Vaxt, məsafə, temperatur, xərc - bütün bunlar müxtəlif kəmiyyətlərdir. Bu kitabın birinci və ikinci hissələrində biz bəzi xüsusilə ümumi kəmiyyətlərlə tanış olduq: sahə, həcm, çəki. Fizika və digər elmlərin öyrənilməsində çoxlu kəmiyyətlərlə qarşılaşırıq.
Təsəvvür edin ki, qatardasınız. Zaman-zaman saatınıza baxır və artıq nə qədər yolda olduğunuzun fərqinə varırsınız. Siz deyirsiniz ki, məsələn, qatarınızın yola düşdüyü vaxtdan 2, 3, 5, 10, 15 saat və s. keçib.Bu rəqəmlər müxtəlif vaxt dövrlərini göstərir; onlara bu kəmiyyətin (zamanın) dəyərləri deyilir. Yaxud pəncərədən baxıb qatarınızın getdiyi məsafəyə görə yol dirəklərini izləyirsiniz. Qarşınızda 110, 111, 112, 113, 114 km rəqəmləri yanıb-sönür. Bu rəqəmlər təmsil edir müxtəlif məsafələr getdiyi yerdən qatarın yanından keçdi. Onlar həmçinin dəyərlər adlanır, bu dəfə fərqli bir dəyərlə (iki nöqtə arasındakı yol və ya məsafə). Beləliklə, bir dəyər, məsələn, vaxt, məsafə, temperatur hər hansı birini qəbul edə bilər müxtəlif mənalar.
Diqqət yetirin ki, insan demək olar ki, heç vaxt yalnız bir dəyər hesab etmir, onu həmişə bəzi digər dəyərlərlə əlaqələndirir. O, eyni vaxtda iki, üç və daha çox kəmiyyətlə məşğul olmalıdır. Təsəvvür edin ki, saat 9-a kimi məktəbə çatmalısınız. Saatına baxırsan ki, 20 dəqiqə vaxtın var. Sonra tramvaya minməlisən, yoxsa məktəbə piyada getməyə vaxtın olacaq. Düşündükdən sonra gəzməyə qərar verirsən. Diqqət yetirin ki, siz düşündüyünüz vaxt hansısa problemi həll edirdiniz. Hər gün belə problemləri həll etdiyiniz üçün bu tapşırıq sadə və tanış oldu. Orada bir neçə dəyəri tez müqayisə etdiniz. Saata baxan siz idiniz, yəni vaxtı nəzərə aldınız, sonra evinizdən məktəbə qədər olan məsafəni zehni olaraq təsəvvür etdiniz; nəhayət, siz iki kəmiyyəti müqayisə etdiniz: addımınızın sürəti və tramvayın sürəti və müəyyən vaxtda (20 dəqiqə) gəzməyə vaxtınız olacağı qənaətinə gəldiniz. Bu sadə misaldan görə bilərsiniz ki, təcrübəmizdə bəzi kəmiyyətlər bir-biri ilə bağlıdır, yəni bir-birindən asılıdır.
On ikinci fəsildə homojen kəmiyyətlərin nisbəti haqqında danışıldı. Məsələn, bir seqment 12 m, digəri isə 4 m olarsa, bu seqmentlərin nisbəti 12: 4 olacaqdır.
İki homojen kəmiyyətin nisbəti olduğunu söylədik. Başqa sözlə, iki ədədin nisbətidir bir ad.
İndi kəmiyyətlərlə daha yaxından tanış olduğumuza və kəmiyyətin dəyəri anlayışını təqdim etdiyimizə görə, münasibətin tərifini yeni şəkildə ifadə edə bilərik. Həqiqətən, 12 m və 4 m olan iki seqmenti nəzərdən keçirdikdə, bir dəyərdən danışırdıq - uzunluq və 12 m və 4 m - bunlar yalnız iki idi. müxtəlif mənalar bu dəyər.
Buna görə də, gələcəkdə nisbət haqqında danışmağa başladıqda, bəzi kəmiyyətlərdən birinin iki dəyərini nəzərdən keçirəcəyik və bir kəmiyyətin bir dəyərinin eyni kəmiyyətin digər dəyərinə nisbəti bölmə bölməsi adlanacaqdır. ikinci ilə birinci dəyər.
§ 130. Kəmiyyətlər düz mütənasibdir.
Şərtinə iki kəmiyyət daxil olan problemi nəzərdən keçirək: məsafə və vaxt.
Tapşırıq 1. Düz xəttlə hərəkət edən və hər saniyədə bərabər şəkildə 12 sm keçən cismin 2, 3, 4, ..., 10 saniyədə getdiyi yolu müəyyən edin.
Gəlin vaxt və məsafənin dəyişməsini izləmək mümkün olan bir cədvəl edək.
Cədvəl bizə bu iki dəyər seriyasını müqayisə etmək imkanı verir. Buradan görürük ki, birinci kəmiyyətin (zamanın) qiymətləri tədricən 2, 3, ..., 10 dəfə artdıqda, ikinci kəmiyyətin (məsafənin) qiymətləri də 2, 3, ..., 10 dəfə. Beləliklə, bir kəmiyyətin dəyərləri bir neçə dəfə artdıqda, digər kəmiyyətin dəyərləri eyni miqdarda artar və bir kəmiyyətin dəyərləri bir neçə dəfə azaldıqda, digər kəmiyyətin dəyərləri azalır. eyni miqdar.
İndi iki belə kəmiyyəti özündə birləşdirən problemi nəzərdən keçirək: maddənin miqdarı və onun dəyəri.
Tapşırıq 2. 15 m parça 120 rubla başa gəlir. Cədvəldə göstərilən bir neçə digər sayğac üçün bu parçanın qiymətini hesablayın.
Bu cədvəldən biz əmtəənin dəyərinin onun miqdarının artmasından asılı olaraq tədricən necə artdığını görə bilərik. Bu problemdə tamamilə fərqli kəmiyyətlərin görünməsinə baxmayaraq (birinci məsələdə - vaxt və məsafə, burada isə - malın miqdarı və onun dəyəri), buna baxmayaraq, bu kəmiyyətlərin davranışında böyük oxşarlıq tapmaq olar.
Həqiqətən, cədvəlin yuxarı sətirində parça metr sayını göstərən nömrələr var, onların hər birinin altında müvafiq mal miqdarının dəyərini ifadə edən bir nömrə yazılır. Bu cədvələ qısaca nəzər salanda belə, həm yuxarı, həm də aşağı cərgələrdəki rəqəmlərin artdığını göstərir; cədvəli daha yaxından araşdırdıqda və ayrı-ayrı sütunları müqayisə etdikdə məlum olur ki, bütün hallarda ikinci kəmiyyətin dəyərləri birinci artımın dəyərləri ilə eyni amil artır, yəni. birinci kəmiyyətin dəyəri məsələn, 10 dəfə artdı, sonra ikinci dəyərin dəyəri də 10 dəfə artdı.
Cədvələ sağdan sola baxsaq, miqdarların göstərilən dəyərlərinin azalacağını görərik. eyni nömrə bir dəfə. Bu mənada birinci vəzifə ilə ikinci arasında qeyd-şərtsiz oxşarlıq var.
Birinci və ikinci məsələlərdə qarşılaşdığımız kəmiyyət cütləri adlanır düz mütənasibdir.
Beləliklə, əgər iki kəmiyyət bir-biri ilə elə bağlıdır ki, onlardan birinin qiyməti bir neçə dəfə artdıqda (azaldıqda), digərinin qiyməti də eyni miqdarda artar (azalır), onda belə kəmiyyətlər düz mütənasib adlanır.
Elə kəmiyyətlər haqqında da deyirlər ki, onlar bir-birinə düz mütənasib asılılıqla bağlıdır.
Təbiətdə və ətrafımızdakı həyatda belə miqdarlar çoxdur. Budur bəzi nümunələr:
1. Vaxt iş (bir gün, iki gün, üç gün və s.) və qazanc bu müddət ərzində gündəlik əmək haqqı ilə alınır.
2. Həcmi homojen materialdan hazırlanmış hər hansı bir obyekt və çəki bu maddə.
§ 131. Düz mütənasib kəmiyyətlərin xassəsi.
Aşağıdakı iki kəmiyyəti ehtiva edən bir məsələ götürək: iş vaxtı və qazanc. Gündəlik qazanc 20 rubl olarsa, onda 2 gün ərzində qazanc 40 rubl olacaq və s. Müəyyən bir qazancın müəyyən sayda günlərə uyğun olacağı bir cədvəl tərtib etmək ən əlverişlidir.
Bu cədvələ baxdıqda hər iki kəmiyyətin 10 fərqli qiymət aldığını görürük. Birinci dəyərin hər bir dəyəri ikinci dəyərin müəyyən bir dəyərinə uyğundur, məsələn, 40 rubl 2 günə uyğundur; 5 gün 100 rubla uyğun gəlir. Cədvəldə bu nömrələr bir-birinin altına yazılır.
Biz artıq bilirik ki, əgər iki kəmiyyət düz mütənasibdirsə, onların hər biri öz dəyişməsi prosesində digərinin artması ilə eyni miqdarda artır. Bundan dərhal belə çıxır: birinci kəmiyyətin hər hansı iki dəyərinin nisbətini götürsək, ikinci kəmiyyətin iki uyğun dəyərinin nisbətinə bərabər olacaqdır. Həqiqətən:
Bu niyə baş verir? Lakin bu dəyərlər düz mütənasib olduğundan, yəni onlardan biri (zaman) 3 dəfə artdıqda, digəri (qazanc) 3 dəfə artmışdır.
Beləliklə, belə bir nəticəyə gəldik: əgər birinci böyüklüyün hər hansı iki qiymətini götürsək və onları bir-birlərinə bölsək və sonra ikinci böyüklüyün uyğun qiymətlərini birini digərinə bölsək, onda hər iki halda bir və eyni nömrə alınacaq, yəni e. eyni əlaqə. Bu o deməkdir ki, yuxarıda yazdığımız iki münasibət bərabər işarə ilə bağlana bilər, yəni.
Şübhə yoxdur ki, əgər biz bu münasibətləri deyil, başqalarını və səhv ardıcıllıqla, əksinə, əksinə götürsək, münasibətlərin bərabərliyini də əldə etmiş olarıq. Həqiqətən, kəmiyyətlərimizin dəyərlərini soldan sağa nəzərdən keçirəcəyik və üçüncü və doqquzuncu dəyərləri alacağıq:
60:180 = 1 / 3 .
Beləliklə, yaza bilərik:
Bu, aşağıdakı nəticəni nəzərdə tutur: əgər iki kəmiyyət birbaşa mütənasibdirsə, birinci kəmiyyətin ixtiyari olaraq alınan iki dəyərinin nisbəti ikinci kəmiyyətin iki uyğun dəyərinin nisbətinə bərabərdir.
§ 132. Düz mütənasibliyin düsturu.
Müxtəlif miqdarda şirniyyatların qiymətinin cədvəlini tərtib edək, əgər onların 1 kq-ı 10,4 rubla başa gəlir.
İndi gəlin bunu bu şəkildə edək. İkinci cərgənin istənilən ədədini götürək və onu birinci cərgənin müvafiq nömrəsinə bölək. Misal üçün:
Görürsünüz ki, hissədə hər zaman eyni ədəd alınır. Buna görə də, verilmiş birbaşa mütənasib kəmiyyətlər cütü üçün bir kəmiyyətin hər hansı qiymətini digər kəmiyyətin müvafiq qiymətinə bölmək əmsalı sabit ədəddir (yəni dəyişməyən). Bizim nümunəmizdə bu nisbət 10.4-dür. Bu sabit ədədə mütənasiblik əmsalı deyilir. Bu halda, o, bir ölçü vahidinin, yəni bir kiloqram malın qiymətini ifadə edir.
Mütənasiblik amilini necə tapmaq və ya hesablamaq olar? Bunun üçün bir kəmiyyətin istənilən qiymətini götürüb digərinin müvafiq dəyərinə bölmək lazımdır.
Bir kəmiyyətin bu ixtiyari qiymətini hərflə işarə edək saat , və başqa bir kəmiyyətin müvafiq dəyəri - məktub X , sonra mütənasiblik əmsalı (biz onu işarə edirik üçün) bölmək yolu ilə tapın:
Bu bərabərlikdə saat - bölünən X - bölücü və üçün- bölgüdür və bölgü xassəsinə görə divident bölücü bölücü ilə çarpılana bərabər olduğundan yaza bilərik:
y= K x
Nəticədə bərabərlik deyilir düz mütənasiblik düsturu. Bu düsturdan istifadə edərək, digər kəmiyyətin müvafiq dəyərlərini və mütənasiblik əmsalını bilsək, birbaşa mütənasib kəmiyyətlərdən birinin istənilən sayda dəyərini hesablaya bilərik.
Misal. Fizikadan bilirik ki, çəki R hər hansı bir cismin xüsusi çəkisinə bərabərdir d bu cismin həcminə vurulur V, yəni. R = d V.
Müxtəlif ölçülü beş dəmir külçə götürün; bilən xüsusi çəkisi dəmir (7,8), düsturdan istifadə edərək bu blankların çəkilərini hesablaya bilərik:
R = 7,8 V.
Bu düsturla düsturun müqayisəsi saat = üçün X , bunu görürük y= R, x = V, və mütənasiblik əmsalı üçün= 7.8. Düstur eynidir, yalnız hərflər fərqlidir.
Bu düsturdan istifadə edərək cədvəl tərtib edək: 1-ci blankın həcmi 8 kubmetr olsun. sm, onda çəkisi 7,8 8 \u003d 62,4 (q) təşkil edir. 2-ci blankın həcmi 27 kubmetrdir. sm Çəkisi 7,8 27 \u003d 210,6 (q) təşkil edir. Cədvəl belə görünəcək:
Düsturdan istifadə edərək bu cədvəldə çatışmayan rəqəmləri özünüz hesablayın R= d V.
§ 133. Düz mütənasib kəmiyyətlərlə bağlı məsələlərin həllinin digər yolları.
Əvvəlki bənddə şərti düz mütənasib kəmiyyətləri ehtiva edən problemi həll etdik. Bu məqsədlə əvvəllər birbaşa mütənasiblik düsturunu əldə etdik və sonra bu düsturu tətbiq etdik. İndi oxşar problemləri həll etməyin başqa iki yolunu göstərəcəyik.
Əvvəlki bəndin cədvəlində verilmiş ədədi məlumatlara əsasən məsələ quraq.
Tapşırıq. 8 kubmetr həcmli boşluq. sm-nin çəkisi 62,4 q.Həcmi 64 kubmetr olan blankın çəkisi nə qədər olacaq? sm?
Qərar. Dəmirin çəkisi, bildiyiniz kimi, həcmi ilə mütənasibdir. Əgər 8 kub. sm çəkisi 62,4 g, sonra 1 kub. sm çəkisi 8 dəfə az olacaq, yəni.
62,4: 8 = 7,8 (q).
Həcmi 64 kubmetr olan boşluq. sm 1 kub boşluqdan 64 dəfə çox çəkəcək. sm, yəni.
7,8 64 = 499,2(q).
Problemimizi birliyə endirərək həll etdik. Bu adın mənası onunla əsaslandırılır ki, onu həll etmək üçün birinci sualda vahid həcmin çəkisini tapmalı olduq.
2. Mütənasiblik üsulu. Eyni məsələni nisbət metodundan istifadə edərək həll edək.
Dəmirin çəkisi və həcmi birbaşa mütənasib kəmiyyətlər olduğundan, bir kəmiyyətin (həcmin) iki dəyərinin nisbəti başqa bir kəmiyyətin (çəki) iki uyğun dəyərinin nisbətinə bərabərdir, yəni.
(məktub R blankın naməlum çəkisini qeyd etdik). Buradan:
(G).
Problem nisbətlər üsulu ilə həll edilir. Bu o deməkdir ki, onu həll etmək üçün şərtə daxil edilmiş rəqəmlərdən nisbət təşkil edilmişdir.
§ 134. Kəmiyyətlər tərs mütənasibdir.
Aşağıdakı problemi nəzərdən keçirin: "Beş mason əlavə edə bilərsiniz kərpic divarları 168 gündə evdə. 10, 8, 6 və s. masonların eyni işi neçə gündə görə biləcəyini müəyyən edin.
Əgər 5 mason 168 gündə bir evin divarlarını söksə, (eyni əmək məhsuldarlığı ilə) 10 usta bunu iki dəfə tez edə bilərdi, çünki orta hesabla 10 nəfər 5 nəfərdən iki dəfə çox iş görür.
Gəlin cədvəl tərtib edək ki, ona əsasən iş saatlarının və iş saatlarının sayının dəyişməsini izləmək mümkün olsun.
Məsələn, 6 işçinin neçə gün çəkdiyini öyrənmək üçün əvvəlcə bir işçinin (168 5 = 840), daha sonra isə altı işçinin (840: 6 = 140) neçə gün çəkdiyini hesablamalısınız. Bu cədvələ baxdıqda hər iki kəmiyyətin altı fərqli qiymət aldığını görürük. Birinci böyüklüyün hər bir dəyəri daha dəqiq uyğun gəlir; ikinci dəyərin dəyəri, məsələn, 10 84-ə uyğundur, 8 nömrəsi - 105 nömrəsi və s.
Hər iki dəyərin dəyərlərini soldan sağa nəzərdən keçirsək, yuxarı dəyərin dəyərlərinin artdığını və aşağı dəyərin dəyərlərinin azaldığını görərik. Yüksəlmə və enmə mövzudur növbəti qanun: sərf olunan iş vaxtının dəyərinin azalması ilə işçilərin sayının dəyərləri eyni amillə artır. Daha sadə desək, bu fikri belə ifadə etmək olar: hər hansı bir müəssisədə nə qədər çox işçi çalışırsa, müəyyən bir işi görmək üçün bir o qədər az vaxt lazımdır. Bu problemdə qarşılaşdığımız iki kəmiyyət adlanır tərs mütənasibdir.
Beləliklə, əgər iki kəmiyyət bir-birinə elə bağlıdır ki, onlardan birinin qiyməti bir neçə dəfə artdıqda (azaldıqda), digərinin qiyməti də eyni miqdarda azalır (artır), onda belə kəmiyyətlər tərs mütənasib adlanır.
Həyatda belə şeylər çoxdur. Nümunələr verək.
1. Əgər 150 rubl üçün. bir neçə kiloqram şirniyyat almaq lazımdır, onda şirniyyatların sayı bir kiloqramın qiymətindən asılı olacaq. Qiymət nə qədər yüksək olarsa, bu pulla bir o qədər az mal almaq olar; bunu cədvəldən görmək olar:
Şirniyyatların qiymətinin bir neçə dəfə artması ilə 150 rubla alına bilən şirniyyatların kiloqramı eyni miqdarda azalır. Bu halda iki kəmiyyət (məhsulun çəkisi və onun qiyməti) tərs mütənasibdir.
2. Əgər iki şəhər arasındakı məsafə 1200 km-dirsə, o zaman hərəkət sürətindən asılı olaraq müxtəlif vaxtlarda qət edilə bilər. Mövcüd olmaq fərqli yollar nəqliyyat: piyada, atla, velosipedlə, qayıqla, maşınla, qatarla, təyyarə ilə. Sürət nə qədər aşağı olarsa, hərəkət etmək üçün bir o qədər çox vaxt lazımdır. Bunu cədvəldən görmək olar:
Sürətin bir neçə dəfə artması ilə hərəkət vaxtı eyni miqdarda azalır. Beləliklə, verilmiş şərtlərdə sürət və vaxt tərs mütənasibdir.
§ 135. Tərs mütənasib kəmiyyətlərin xassəsi.
Əvvəlki paraqrafda nəzərdən keçirdiyimiz ikinci nümunəni götürək. Orada biz iki kəmiyyətlə məşğul olurduq - hərəkət sürəti və zaman. Cədvəldə bu kəmiyyətlərin dəyərlərini soldan sağa nəzərdən keçirsək, görərik ki, birinci kəmiyyətin (sürətin) qiymətləri artar, ikincinin (zamanın) isə azalır və sürət zaman azaldıqca eyni amil artır. Bir kəmiyyətin hər hansı bir dəyərinin nisbətini yazsanız, başqa bir kəmiyyətin müvafiq dəyərlərinin nisbətinə bərabər olmayacağını başa düşmək asandır. Həqiqətən, əgər yuxarı dəyərin dördüncü dəyərinin yeddinci qiymətə nisbətini götürsək (40: 80), onda bu, aşağı dəyərin dördüncü və yeddinci qiymətlərinin nisbətinə bərabər olmayacaqdır (30: 15). ). Bunu belə yazmaq olar:
40:80 30:15 və ya 40:80 =/= 30:15-ə bərabər deyil.
Amma bu əmsallardan birinin yerinə əksini götürsək, onda bərabərlik əldə edirik, yəni bu nisbətlərdən nisbət çıxarmaq mümkün olacaq. Misal üçün:
80: 40 = 30: 15,
40: 80 = 15: 30."
Yuxarıda göstərilənlərə əsaslanaraq, aşağıdakı nəticəyə gələ bilərik: iki kəmiyyət tərs mütənasibdirsə, bir kəmiyyətin ixtiyari olaraq alınan iki dəyərinin nisbəti digər kəmiyyətin müvafiq dəyərlərinin tərs nisbətinə bərabərdir.
§ 136. Tərs mütənasiblik düsturu.
Problemi nəzərdən keçirək: “6 ədəd ipək parça var müxtəlif ölçülərdə və müxtəlif növlər. Bütün parçaların qiyməti eynidir. Bir parça 100 m parça 20 rubl qiymətində. metr başına. Bu parçalardakı parçanın bir metri müvafiq olaraq 25, 40, 50, 80, 100 rubla başa gəlirsə, qalan beş parçanın hər birində neçə metr var? Bu problemi həll etmək üçün cədvəl yaradaq:
Bu cədvəlin yuxarı cərgəsindəki boş xanaları doldurmalıyıq. Əvvəlcə ikinci hissədə neçə metr olduğunu müəyyən etməyə çalışaq. Bu aşağıdakı şəkildə edilə bilər. Problemin şərtindən məlum olur ki, bütün parçaların qiyməti eynidir. İlk parçanın qiymətini müəyyən etmək asandır: 100 m-ə malikdir və hər bir metr 20 rubla başa gəlir, yəni ilk ipək parçasında 2000 rubl. İkinci ipək parçasında eyni sayda rubl olduğundan, 2000 rubl bölünür. bir metr qiymətində, yəni 25-də ikinci parçanın dəyərini tapırıq: 2000: 25 = 80 (m). Eyni şəkildə, bütün digər parçaların ölçüsünü tapacağıq. Cədvəl belə görünəcək:
Sayğacların sayı ilə qiymət arasında tərs əlaqə olduğunu görmək asandır.
Lazımi hesablamaları özünüz etsəniz, görəcəksiniz ki, hər dəfə 2000 rəqəmini 1 m qiymətinə bölməlisiniz.Əksinə, indi bir parçanın ölçüsünü metrlə 1 m qiymətinə vurmağa başlasanız, siz həmişə 2000 nömrəsini alacaq və bu, gözlənilən idi, çünki hər bir parça 2000 rubla başa gəlir.
Buradan belə nəticə çıxara bilərik: verilmiş tərs mütənasib kəmiyyətlər cütü üçün bir kəmiyyətin hər hansı qiymətinin digər kəmiyyətin müvafiq dəyərinə hasili sabit ədəddir (yəni dəyişməyən).
Problemimizdə bu məhsul 2000-ə bərabərdir.Yoxlayın ki, hərəkət sürətindən və bir şəhərdən digərinə keçmək üçün tələb olunan vaxtdan bəhs edən əvvəlki məsələdə də həmin problem üçün sabit rəqəm (1200) var idi.
Bütün deyilənləri nəzərə alaraq tərs mütənasiblik düsturunu əldə etmək asandır. Bir kəmiyyətin bəzi dəyərini hərflə qeyd edin X , və başqa bir dəyərin müvafiq dəyəri - hərf saat . Sonra yuxarıdakı iş əsasında X üstündə saat hərflə işarə etdiyimiz bəzi sabit qiymətə bərabər olmalıdır üçün, yəni.
x y = üçün.
Bu bərabərlikdə X - çarpan, saat - çarpan və K- iş. Vurmanın xassəsinə görə, çarpan çarpanla bölünən məhsula bərabərdir. O deməkdir ki,
Bu tərs mütənasiblik düsturudur. Bundan istifadə edərək, tərs mütənasib kəmiyyətlərdən birinin dəyərlərini və sabit nömrəni bilməklə istənilən sayda dəyəri hesablaya bilərik. üçün.
Başqa bir problemə nəzər salaq: “Bir esse müəllifi hesablamışdı ki, əgər onun kitabı adi formatda olsaydı, onda 96 səhifə, cib formatında olsaydı, 300 səhifə olardı. Çalışdı müxtəlif variantlar, 96 səhifə ilə başladı və sonra hər səhifəyə 2500 məktub aldı. Sonra o, aşağıdakı cədvəldə göstərilən səhifələrin sayını götürdü və yenidən səhifədə neçə hərf olacağını hesabladı.
Kitabın 100 səhifəsi varsa, bir səhifədə neçə hərf olacağını hesablayaq.
Bütün kitabda 240.000 hərf var, çünki 2.500 96 = 240.000.
Bunu nəzərə alaraq tərs mütənasiblik düsturundan istifadə edirik ( saat - hər səhifədəki hərflərin sayı X - səhifələrin sayı):
Bizim nümunəmizdə üçün= 240.000, buna görə də,
Beləliklə, bir səhifədə 2400 hərf var.
Eynilə, öyrənirik ki, əgər kitabın 120 səhifəsi varsa, səhifədəki hərflərin sayı belə olacaq:
Cədvəlimiz belə görünəcək:
Qalan hüceyrələri özünüz doldurun.
§ 137. Tərs mütənasib kəmiyyətlərlə bağlı məsələlərin həllinin digər yolları.
Əvvəlki paraqrafda tərs mütənasib kəmiyyətləri daxil edən məsələləri həll etdik. Biz əvvəl tərs mütənasiblik düsturunu əldə etdik və sonra bu düsturu tətbiq etdik. İndi biz bu cür problemləri həll etməyin başqa iki yolunu göstərəcəyik.
1. Birliyə endirmə üsulu.
Tapşırıq. 5 dönər 16 günə bəzi işləri görə bilir. 8 dönər bu işi neçə günə bitirə bilər?
Qərar. Tornaçıların sayı ilə iş vaxtı arasında tərs əlaqə var. 5 dönər işi 16 gündə yerinə yetirirsə, onda bir adamın bunun üçün 5 dəfə çox vaxt lazımdır, yəni.
5 dönər işi 16 günə görür,
1 dönər onu 16 5 = 80 günə tamamlayacaq.
Məsələ soruşur ki, 8 dönər işi neçə günə bitirəcək? Aydındır ki, onlar işi 1 dönərdən 8 dəfə tez yerinə yetirəcəklər, yəni
80: 8 = 10 (gün).
Problemin birliyə endirmə üsulu ilə həlli budur. Burada, ilk növbədə, bir işçi tərəfindən işin yerinə yetirilməsi üçün vaxt müəyyən edilməli idi.
2. Mütənasiblik üsulu. Eyni problemi ikinci şəkildə həll edək.
İşçilərin sayı ilə iş vaxtı arasında tərs əlaqə olduğundan yaza bilərik: 5 dönərçinin işinin müddəti yeni tornaçıların sayı (8) 8 dönərçinin işinin müddəti əvvəlki dönərçilərin sayı (5). ) İstədiyiniz iş müddətini hərflə işarə edək X və sözlə ifadə olunan nisbətdə əvəz etmək, lazımi nömrələr:
Eyni problem nisbətlər üsulu ilə həll edilir. Onu həll etmək üçün problemin şərtinə daxil edilmiş rəqəmlərin nisbətini yaratmalı idik.
Qeyd.Əvvəlki paraqraflarda biz düz və tərs mütənasiblik məsələsini nəzərdən keçirdik. Təbiət və həyat bizə kəmiyyətlərin birbaşa və tərs nisbətlərinə dair çoxlu nümunələr verir. Bununla belə, qeyd etmək lazımdır ki, bu iki asılılıq növü yalnız ən sadədir. Onlarla yanaşı, kəmiyyətlər arasında başqa, daha mürəkkəb əlaqələr də mövcuddur. Bundan əlavə, düşünməmək lazımdır ki, hər hansı iki kəmiyyət eyni vaxtda artarsa, deməli, onlar arasında mütləq birbaşa mütənasiblik vardır. Bu həqiqətdən uzaqdır. Məsələn, gediş haqqı dəmir yolu məsafə ilə artır: nə qədər uzağa getsək, bir o qədər çox ödəyirik, lakin bu, ödənişin məsafəyə mütənasib olması demək deyil.
İki miqdar deyilir düz mütənasibdir, onlardan biri bir neçə dəfə artırıldıqda, digəri də eyni miqdarda artırılır. Müvafiq olaraq, onlardan biri bir neçə dəfə azaldıqda, digəri eyni miqdarda azalır.
Belə kəmiyyətlər arasındakı əlaqə düz mütənasib əlaqədir. Düz mütənasib əlaqənin nümunələri:
1) sabit sürətlə, qət edilən məsafə zamanla düz mütənasibdir;
2) kvadratın perimetri və tərəfi düz mütənasibdir;
3) bir qiymətə alınan əmtəənin dəyəri onun miqdarı ilə düz mütənasibdir.
Birbaşa mütənasib əlaqəni tərs münasibətdən ayırmaq üçün atalar sözündən istifadə edə bilərsiniz: "Meşəyə nə qədər uzaq olsa, bir o qədər çox odun".
Düz mütənasib kəmiyyətlər üçün məsələləri proporsiyalardan istifadə etməklə həll etmək rahatdır.
1) 10 hissənin istehsalı üçün 3,5 kq metal lazımdır. 12 belə hissəni hazırlamaq üçün nə qədər metal istifadə olunacaq?
(Biz belə mübahisə edirik:
1. Tamamlanmış sütunda oxu olan istiqamətə qoyun daha çox kiçik olana.
2. Nə qədər çox hissə varsa, onları hazırlamaq üçün bir o qədər çox metal lazımdır. Beləliklə, bu birbaşa mütənasib bir əlaqədir.
12 hissə hazırlamaq üçün x kq metal lazım olsun. Proporsiyanı düzəldirik (oxun əvvəlindən sonuna qədər olan istiqamətdə):
12:10=x:3.5
Tapmaq üçün ekstremal şərtlərin məhsulunu məlum orta terminə bölmək lazımdır:
Bu o deməkdir ki, 4,2 kq metal tələb olunacaq.
Cavab: 4,2 kq.
2) 15 metr parça üçün 1680 rubl ödənildi. Belə parçanın 12 metri neçəyə başa gəlir?
(1. Tamamlanmış sütunda oxu ən böyük rəqəmdən ən kiçiyə doğru qoyun.
2. Nə qədər az parça alsanız, bir o qədər az pul ödəməlisiniz. Beləliklə, bu, birbaşa mütənasib bir əlaqədir.
3. Buna görə də ikinci ox birinci ilə eyni istiqamətə yönəldilir).
Qoy x rubl 12 metr parçaya başa gələcək. Proporsiyanı düzəldirik (oxun əvvəlindən sonuna qədər):
15:12=1680:x
Mütənasibliyin naməlum ekstremal həddini tapmaq üçün orta hədlərin hasilini nisbətin məlum ekstremal həddi ilə bölürük:
Beləliklə, 12 metr 1344 rubla başa gəlir.
Cavab: 1344 rubl.
Bu gün biz hansı kəmiyyətlərin tərs mütənasib adlandırıldığını, tərs mütənasiblik qrafikinin necə göründüyünü və bütün bunların təkcə riyaziyyat dərslərində deyil, həm də məktəb divarlarından kənarda sizin üçün necə faydalı ola biləcəyini nəzərdən keçirəcəyik.
Belə fərqli nisbətlər
Proporsionallıq bir-birindən qarşılıqlı asılı olan iki kəmiyyəti adlandırın.
Asılılıq birbaşa və əks ola bilər. Buna görə də, kəmiyyətlər arasındakı əlaqə düz xətti təsvir edir və tərs mütənasiblik.
Birbaşa mütənasiblik- bu, iki kəmiyyət arasında elə bir əlaqədir ki, onlardan birinin artması və ya azalması digərinin artması və ya azalmasına səbəb olur. Bunlar. onların münasibəti dəyişmir.
Məsələn, imtahanlara hazırlaşmaq üçün nə qədər çox səy göstərsəniz, qiymətləriniz bir o qədər yüksək olacaq. Və ya gəzinti zamanı özünüzlə nə qədər çox şey götürsəniz, bel çantanızı daşımaq bir o qədər çətinləşər. Bunlar. imtahanlara hazırlaşmaq üçün sərf olunan zəhmətin miqdarı alınan qiymətlərlə düz mütənasibdir. Sırt çantasına yığılan əşyaların sayı isə onun çəkisi ilə düz mütənasibdir.
Tərs mütənasiblik- bu, müstəqil bir dəyərin bir neçə dəfə azalması və ya artmasının (buna arqument deyilir) asılı dəyərin mütənasib (yəni eyni miqdarda) artmasına və ya azalmasına səbəb olduğu funksional asılılıqdır (bu adlanır). funksiyası).
Təsvir edin sadə misal. Bazardan alma almaq istəyirsən. Piştaxtadakı almalar və cüzdanınızdakı pulun miqdarı tərs əlaqədədir. Bunlar. nə qədər çox alma alsanız, bir o qədər az pul tərk etmiş olacaqsınız.
Funksiya və onun qrafiki
Tərs mütənasiblik funksiyası kimi təsvir edilə bilər y = k/x. Harada x≠ 0 və k≠ 0.
Bu funksiya aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:
- Onun tərif sahəsi istisna olmaqla bütün real ədədlərin çoxluğudur x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Aralıq istisna olmaqla bütün real ədədlərdir y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
- Onun maksimum və ya minimum dəyəri yoxdur.
- Qəribədir və onun qrafiki mənşəyə görə simmetrikdir.
- Qeyri-dövri.
- Onun qrafiki koordinat oxlarını kəsmir.
- Sıfırları yoxdur.
- Əgər a k> 0 (yəni arqument artır), funksiya onun hər bir intervalında mütənasib olaraq azalır. Əgər a k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Arqument artdıqca ( k> 0) mənfi dəyərlər funksiyalar (-∞; 0), müsbət isə - (0; +∞) intervalındadır. Arqument azaldıqda ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Tərs mütənasiblik funksiyasının qrafiki hiperbola adlanır. Aşağıdakı kimi təsvir edilmişdir:
Tərs mütənasib məsələlər
Daha aydın olmaq üçün bir neçə tapşırığa nəzər salaq. Onlar çox mürəkkəb deyil və onların həlli tərs nisbətin nə olduğunu və bu biliklərin gündəlik həyatınızda necə faydalı ola biləcəyini vizuallaşdırmağa kömək edəcək.
Tapşırıq nömrəsi 1. Avtomobil 60 km/saat sürətlə hərəkət edir. Onun təyinat yerinə çatması 6 saat çəkdi. O, iki dəfə sürətlə hərəkət edərsə, eyni məsafəni nə qədər müddətə qət edəcək?
Zaman, məsafə və sürət əlaqəsini təsvir edən bir düstur yazmaqla başlaya bilərik: t = S/V. Razılaşın, bu bizə tərs mütənasiblik funksiyasını çox xatırladır. Və bu, avtomobilin yolda keçirdiyi vaxtın və onun hərəkət sürətinin tərs mütənasib olduğunu göstərir.
Bunu yoxlamaq üçün şərtə görə 2 dəfə yüksək olan V 2-ni tapaq: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km/saat. Sonra S = V * t = 60 * 6 = 360 km düsturundan istifadə edərək məsafəni hesablayırıq. İndi məsələnin şərtinə görə bizdən tələb olunan t 2 vaxtını tapmaq çətin deyil: t 2 = 360/120 = 3 saat.
Gördüyünüz kimi, səyahət vaxtı və sürət həqiqətən tərs mütənasibdir: orijinaldan 2 dəfə yüksək sürətlə avtomobil yolda 2 dəfə az vaxt keçirəcək.
Bu məsələnin həlli də nisbət şəklində yazıla bilər. Niyə belə bir diaqram yaradırıq:
↓ 60 km/saat – 6 saat
↓120 km/saat – x h
Oklar tərs əlaqəni göstərir. Həm də təklif edirlər ki, nisbət tərtib edərkən qeydin sağ tərəfi çevrilməlidir: 60/120 \u003d x / 6. X \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 saatı haradan əldə edirik.
Tapşırıq nömrəsi 2. Sexdə 4 saat ərzində verilən işin öhdəsindən gələn 6 işçi çalışır. İşçilərin sayı iki dəfə azaldılsa, qalan işçilər eyni həcmdə işi nə qədər vaxt aparacaq?
Məsələnin şərtlərini formada yazırıq vizual sxem:
↓ 6 işçi - 4 saat
↓ 3 işçi - x h
Bunu nisbət olaraq yazaq: 6/3 = x/4. Və biz x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 saat alırıq.2 dəfə az işçi varsa, qalanları bütün işləri başa çatdırmaq üçün 2 dəfə daha çox vaxt sərf edəcəklər.
Tapşırıq nömrəsi 3. İki boru hovuza aparır. Bir boru vasitəsilə su 2 l / s sürətlə daxil olur və 45 dəqiqə ərzində hovuzu doldurur. Başqa bir boru vasitəsilə hovuz 75 dəqiqəyə doldurulacaq. Su bu boru vasitəsilə hovuza nə qədər sürətlə daxil olur?
Başlamaq üçün, problemin şərtinə uyğun olaraq bizə verilən bütün kəmiyyətləri eyni ölçü vahidlərinə gətirəcəyik. Bunu etmək üçün hovuzun doldurulma sürətini dəqiqədə litrlə ifadə edirik: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / dəq.
Hovuzun ikinci boru ilə daha yavaş doldurulması şərtindən irəli gəldiyindən, suyun daxil olma sürətinin aşağı olması deməkdir. Tərs mütənasiblik üzündə. Bizə məlum olmayan sürəti x ilə ifadə edək və aşağıdakı sxemi tərtib edək:
↓ 120 l/dəq - 45 dəq
↓ x l/dəq – 75 dəq
Və sonra bir nisbət edəcəyik: 120 / x \u003d 75/45, buradan x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / dəq.
Məsələdə hovuzun dolma sürəti saniyədə litrlə ifadə olunub, cavabımızı eyni formaya gətirək: 72/60 = 1,2 l/s.
Tapşırıq nömrəsi 4. Vizit kartları kiçik bir özəl mətbəədə çap olunur. Mətbəənin işçisi saatda 42 vizit kartı sürəti ilə işləyir və tam iş günü - 8 saat işləyir. O, daha sürətli işləsə və saatda 48 vizit kartı çap etsəydi, evə nə qədər tez gedə bilərdi?
Biz sübut olunmuş şəkildə gedirik və problemin vəziyyətinə uyğun olaraq istədiyiniz dəyəri x kimi göstərən bir sxem tərtib edirik:
↓ 42 vizit kartı/saat – 8 saat
↓ 48 vizit kartı/saat – xh
Qarşımızda tərs mütənasib bir əlaqə var: mətbəənin işçisi saatda neçə dəfə çox vizit kartı çap edərsə, eyni işi yerinə yetirmək üçün ona eyni vaxt lazımdır. Bunu bilərək, nisbəti qura bilərik:
42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 saat.
Belə ki, işi 7 saata başa vuran mətbəə işçisi evə bir saat tez gedə bildi.
Nəticə
Bizə elə gəlir ki, bu tərs mütənasiblik məsələləri həqiqətən sadədir. Ümid edirik ki, indi siz də onları belə hesab edirsiniz. Və ən əsası, kəmiyyətlərin tərs mütənasib asılılığı haqqında bilik həqiqətən sizin üçün bir dəfədən çox faydalı ola bilər.
Təkcə riyaziyyat dərslərində və imtahanlarda yox. Amma o zaman da səyahətə çıxacaqda, alış-verişə gedərkən, bayramlarda bir az pul qazanmağa qərar ver və s.
Ətrafınızda hansı tərs və düz mütənasiblik nümunələrini müşahidə etdiyinizi şərhlərdə bizə bildirin. Qoy bu oyun olsun. Bunun nə qədər həyəcanlı olduğunu görəcəksiniz. Bu yazını paylaşmağı unutmayın sosial şəbəkələr dostlarınız və sinif yoldaşlarınız da oynaya bilsin.
sayt, materialın tam və ya qismən surəti ilə mənbəyə keçid tələb olunur.
