Ako riešiť celé zlomky s rôznymi menovateľmi. Zlomky s rôznymi menovateľmi a ich odčítanie. Násobenie celého čísla zlomkom

prinieslo vaše dieťa domáca úloha zo školy a nevieš ako to vyriešiť? Potom je tento mini návod pre vás!

Ako pridať desatinné miesta

Je vhodnejšie pridať desatinné zlomky do stĺpca. Ak chcete pridať desatinné miesta, musíte dodržiavať jednoduché pravidlo:

Číslica musí byť pod číslicou, čiarka pod čiarkou.

Ako vidíte na príklade, celé jednotky sú pod sebou, desatiny a stotiny sú pod sebou. Teraz sčítame čísla, čiarku ignorujeme. Čo robiť s čiarkou? Čiarka sa prenesie na miesto, kde stála pri vybíjaní celých čísel.

Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi

Ak chcete vykonať sčítanie so spoločným menovateľom, musíte ponechať menovateľa nezmenený, nájsť súčet čitateľov a získať zlomok, ktorý bude predstavovať celkovú sumu.

Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi nájdením spoločného násobku

Prvá vec, ktorú treba venovať pozornosť, sú menovatelia. Menovatelia sú rôzni, nie sú navzájom deliteľní základné čísla. Najprv musíte priviesť k jednému spoločnému menovateľovi, existuje niekoľko spôsobov, ako to urobiť:

1/3 + 3/4 = 13/12, na vyriešenie tohto príkladu musíme nájsť najmenší spoločný násobok (LCM), ktorý bude deliteľný 2 menovateľmi. Na označenie najmenšieho násobku a a b - LCM (a; b). AT tento príklad LCM (3;4) = 12. Kontrola: 12:3=4; 12:4=3.
Vynásobíme faktory a vykonáme sčítanie výsledných čísel, dostaneme 13/12 - nesprávny zlomok.

Aby sme previedli nevlastný zlomok na vlastný, vydelíme čitateľa menovateľom, dostaneme celé číslo 1, zvyšok 1 je čitateľ a 12 je menovateľ.

Sčítanie zlomkov pomocou krížového násobenia

Na sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi existuje iný spôsob podľa vzorca „krížovo“. Toto je zaručený spôsob vyrovnania menovateľov, preto je potrebné vynásobiť čitateľov menovateľom jedného zlomku a naopak. Ak ste len na počiatočná fáza učenie zlomkov, potom je táto metóda najjednoduchšia a najpresnejšia, ako získať správny výsledok pri sčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Akcie so zlomkami.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Takže, čo sú zlomky, typy zlomkov, transformácie - zapamätali sme si. Poďme sa zaoberať hlavnou otázkou.

Čo môžete robiť so zlomkami?Áno, všetko je ako pri bežných číslach. Sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie.

Všetky tieto akcie s desiatkový operácie so zlomkami sa nelíšia od operácií s celými číslami. V skutočnosti sú na to dobré, desiatkové. Jediná vec je, že musíte správne zadať čiarku.

zmiešané čísla, ako som povedal, sú pre väčšinu akcií málo užitočné. Stále ich treba previesť na obyčajné zlomky.

A tu sú akcie s obyčajné zlomky bude múdrejší. A oveľa dôležitejšie! Dovoľte mi pripomenúť vám: všetky akcie so zlomkovými výrazmi s písmenami, sínusmi, neznámymi atď. a tak ďalej sa nelíšia od akcií s obyčajnými zlomkami! Operácie s obyčajnými zlomkami sú základom celej algebry. Z tohto dôvodu tu budeme celú túto aritmetiku veľmi podrobne analyzovať.

Sčítanie a odčítanie zlomkov.

Každý môže sčítať (odčítať) zlomky s rovnakými menovateľmi (naozaj dúfam!). No, dovoľte mi pripomenúť, že som úplne zábudlivý: pri pridávaní (odčítaní) sa menovateľ nemení. Čitatelia sa sčítajú (odčítajú), čím sa získa čitateľ výsledku. Typ:

Skrátka v všeobecný pohľad:

Čo ak sú menovatelia odlišní? Potom pomocou hlavnej vlastnosti zlomku (tu sa to opäť hodilo!) urobíme menovateľov rovnakých! Napríklad:

Tu sme museli zo zlomku 2/5 urobiť zlomok 4/10. Len preto, aby boli menovatele rovnaké. Podotýkam, pre každý prípad, že 2/5 a 4/10 sú rovnaký zlomok! Len 2/5 sú pre nás nepríjemné a 4/10 dokonca nič.

Mimochodom, toto je podstata riešenia akýchkoľvek úloh v matematike. Keď sme vonku nepríjemné výrazy áno to isté, ale pohodlnejšie na vyriešenie.

Ďalší príklad:

Situácia je podobná. Tu urobíme 48 zo 16. Jednoduchým násobením na 3. Toto je všetko jasné. Ale tu narazíme na niečo ako:

Ako byť?! Zo sedmičky je ťažké urobiť deviatku! Ale my sme múdri, poznáme pravidlá! Poďme sa transformovať každý zlomok tak, aby menovatele boli rovnaké. Toto sa nazýva „redukovať na spoločného menovateľa“:

Ako! Ako som vedel o 63? Veľmi jednoduché! 63 je číslo, ktoré je zároveň rovnomerne deliteľné 7 a 9. Takéto číslo sa dá vždy získať vynásobením menovateľov. Ak nejaké číslo vynásobíme napríklad 7, tak výsledok určite vydelíme 7!

Ak potrebujete sčítať (odčítať) niekoľko zlomkov, nie je potrebné to robiť vo dvojiciach, krok za krokom. Musíte len nájsť menovateľa, ktorý je spoločný pre všetky zlomky, a priviesť každý zlomok k rovnakému menovateľovi. Napríklad:

A čo bude spoločným menovateľom? Môžete, samozrejme, vynásobiť 2, 4, 8 a 16. Dostaneme 1024. Nočná mora. Jednoduchšie je odhadnúť, že číslo 16 je dokonale deliteľné 2, 4 a 8. Preto je ľahké z týchto čísel dostať 16. Toto číslo bude spoločným menovateľom. Premeníme 1/2 na 8/16, 3/4 na 12/16 atď.

Mimochodom, ak zoberieme 1024 ako spoločného menovateľa, tiež všetko vyjde, nakoniec sa všetko zníži. Len nie každý sa dostane k tomuto cieľu, kvôli výpočtom ...

Vyriešte príklad sami. Nie logaritmus... Malo by to byť 29/16.

Takže so sčítaním (odčítaním) zlomkov je to dúfam jasné? Samozrejme, ľahšie sa pracuje v skrátenej verzii, s ďalšími násobičmi. Ale toto potešenie je dostupné pre tých, ktorí poctivo pracovali v nižších ročníkoch ... A na nič nezabudli.

A teraz urobíme rovnaké akcie, ale nie so zlomkami, ale s zlomkové výrazy. Nové hrable sa tu nájdu, áno ...

Musíme teda pridať dva zlomkové výrazy:

Musíme urobiť menovateľov rovnakých. A len s pomocou násobenie! Takže hlavná vlastnosť zlomku hovorí. Preto nemôžem pridať jednotku ku x v prvom zlomku v menovateli. (Ale to by bolo pekné!). Ale ak vynásobíte menovateľov, uvidíte, že všetko porastie! Zapíšeme si teda riadok zlomku, navrchu necháme prázdne miesto, potom ho pridáme a nižšie napíšeme súčin menovateľov, aby sme nezabudli:

A, samozrejme, na pravej strane nič nenásobíme, neotvárame zátvorky! A teraz, keď sa pozrieme na spoločného menovateľa pravej strany, myslíme si: aby sme dostali menovateľ x (x + 1) v prvom zlomku, musíme vynásobiť čitateľa a menovateľa tohto zlomku (x + 1) . A v druhom zlomku - x. Získate toto:

Poznámka! Tu sú zátvorky! Toto sú hrable, na ktoré mnohí šliapu. Nie zátvorky, samozrejme, ale ich absencia. Zátvorky sa objavujú, pretože sa množíme celáčitateľ a celá menovateľ! A nie ich jednotlivé kusy...

Do čitateľa pravej strany napíšeme súčet čitateľov, všetko je ako v zlomky, potom otvorte zátvorky v čitateli pravej strany, t.j. všetko rozmnož a daj like. Netreba otvárať zátvorky v menovateľoch, netreba niečo násobiť! Vo všeobecnosti v menovateloch (akýchkoľvek) je produkt vždy príjemnejší! Dostaneme:

Tu sme dostali odpoveď. Tento proces sa zdá byť dlhý a náročný, ale závisí od praxe. Vyriešte príklady, zvyknite si na to, všetko sa zjednoduší. Tí, ktorí zvládli zlomky v určenom čase, urobte všetky tieto operácie jednou rukou na stroji!

A ešte jedna poznámka. Mnohí sa skvele zaoberajú zlomkami, ale držte sa príkladov celýčísla. Typ: 2 + 1/2 + 3/4= ? Kde upevniť dvojku? Netreba sa nikde pripevňovať, z dvojky treba spraviť zlomok. Nie je to ľahké, je to veľmi jednoduché! 2 = 2/1. Páči sa ti to. Akékoľvek celé číslo možno zapísať ako zlomok. Čitateľ je samotné číslo, menovateľ je jedna. 7 je 7/1, 3 je 3/1 a tak ďalej. Rovnako je to aj s písmenami. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 atď. A potom s týmito zlomkami pracujeme podľa všetkých pravidiel.

No a pri sčítaní - odčítaní zlomkov sa vedomosti osviežili. Premeny zlomkov z jedného typu na druhý – opakované. Môžete tiež skontrolovať. Urovnáme sa trochu?)

Vypočítať:

Odpovede (v neporiadku):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Násobenie / delenie zlomkov - v ďalšej lekcii. K dispozícii sú aj úlohy pre všetky akcie so zlomkami.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Zlomkové výrazy sú pre dieťa ťažko pochopiteľné. Väčšina ľudí má problémy s . Pri štúdiu témy „sčítanie zlomkov s celými číslami“ dieťa upadá do strnulosti a je pre neho ťažké vyriešiť úlohu. V mnohých príkladoch sa pred vykonaním akcie musí vykonať séria výpočtov. Napríklad previesť zlomky alebo previesť nesprávny zlomok na správny.

Vysvetlite dieťaťu jasne. Vezmite tri jablká, z ktorých dve budú celé a tretie nakrájajte na 4 časti. Jeden plátok oddeľte od nakrájaného jablka a zvyšné tri položte k dvom celým ovocím. Získame ¼ jabĺk na jednej strane a 2 ¾ na druhej strane. Ak ich spojíme, získame tri celé jablká. Skúsme zmenšiť 2 ¾ jabĺk o ¼, čiže odobrať ešte jeden plátok, dostaneme 2 2/4 jabĺk.

Pozrime sa bližšie na akcie so zlomkami, ktoré zahŕňajú celé čísla:

Najprv si pripomeňme pravidlo výpočtu pre zlomkové výrazy so spoločným menovateľom:

Na prvý pohľad je všetko ľahké a jednoduché. Ale to platí len pre výrazy, ktoré nevyžadujú konverziu.

Ako nájsť hodnotu výrazu, kde sú menovatele odlišné

V niektorých úlohách je potrebné nájsť hodnotu výrazu, kde sú menovatele rozdielne. Zvážte konkrétny prípad:
3 2/7+6 1/3

Nájdite hodnotu tohto výrazu, nájdeme na to spoločného menovateľa pre dva zlomky.

Pre čísla 7 a 3 je to 21. Celé časti necháme rovnaké a zlomkové časti zmenšíme na 21, preto vynásobíme prvý zlomok 3, druhý 7, dostaneme:
21.6.+7.21., nezabudnite, že celé časti nepodliehajú konverzii. Výsledkom je, že dostaneme dva zlomky s jedným menovateľom a vypočítame ich súčet:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Čo ak je výsledkom sčítania nesprávny zlomok, ktorý už má celú časť:
2 1/3+3 2/3
V tomto prípade spočítame celé čísla a zlomkové časti, dostaneme:
5 3/3, ako viete, 3/3 je jedna, takže 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Pri hľadaní súčtu je všetko jasné, poďme analyzovať odčítanie:

Z toho, čo bolo povedané, vyplýva pravidlo konania zmiešané číslačo znie takto:

Ak je potrebné odčítať celé číslo od zlomkového výrazu, nie je potrebné reprezentovať druhé číslo ako zlomok, stačí pracovať len s celými časťami.

Skúsme si vypočítať hodnotu výrazov sami:

Pozrime sa bližšie na príklad pod písmenom „m“:

4 5/11-2 8/11, čitateľ prvého zlomku je menší ako druhý. Aby sme to urobili, vezmeme jedno celé číslo z prvého zlomku, dostaneme,
3 5/11+11/11=3 celé 16/11, odpočítajte druhý od prvého zlomku:
3 16/11-2 8/11=1 celý 8/11

Pri plnení úlohy buďte opatrní, nezabudnite previesť nesprávne zlomky na zmiešané a zvýrazniť celú časť. Aby ste to dosiahli, je potrebné vydeliť hodnotu čitateľa hodnotou menovateľa, čo sa stalo, nahradí celú časť, zvyšok bude čitateľ, napríklad:

19/4=4 ¾, kontrola: 4*4+3=19, v menovateli 4 zostáva nezmenený.

zhrnúť:

Pred pristúpením k úlohe súvisiacej so zlomkami je potrebné rozobrať, o aký výraz ide, aké transformácie je potrebné na zlomku vykonať, aby bolo riešenie správne. Hľadajte racionálnejšie riešenia. Nechoďte ťažšou cestou. Naplánujte si všetky akcie, rozhodnite sa ako prvé verzia návrhu, potom preneste do školského zošita.

Aby nedošlo k zmätku pri riešení zlomkových výrazov, je potrebné dodržať pravidlo postupnosti. Rozhodnite sa o všetkom opatrne, bez ponáhľania.

Obyčajné zlomkové čísla sa prvýkrát stretávajú so školákmi v 5. ročníku a sprevádzajú ich po celý život, pretože v každodennom živote je často potrebné zvážiť alebo použiť nejaký predmet nie úplne, ale oddelene. Začiatok štúdia tejto témy - zdieľanie. Akcie sú rovnaké diely do ktorých je objekt rozdelený. Koniec koncov, nie je vždy možné vyjadriť napríklad dĺžku alebo cenu produktu ako celé číslo, treba brať do úvahy časti alebo podiely akejkoľvek miery. Slovo "zlomok" sa v ruštine objavilo v VIII storočí zo slovesa "rozdrviť" - rozdeliť na časti a má arabské korene.

Zlomkové výrazy sa dlho považovali za najťažšiu časť matematiky. V 17. storočí, keď sa objavili prvé učebnice matematiky, sa im hovorilo „zlomené čísla“, čo bolo veľmi ťažké zobraziť v chápaní ľudí.

moderný vzhľad jednoduchými zlomkovými zvyškami, ktorých časti sú presne oddelené vodorovnou čiarou, ako prvý prispel Fibonacci – Leonardo z Pisy. Jeho spisy pochádzajú z roku 1202. Účelom tohto článku je však jednoducho a jasne vysvetliť čitateľovi, ako dochádza k násobeniu zmiešaných zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Násobenie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Spočiatku je potrebné určiť odrody frakcií:

správne;
nesprávne;
zmiešané.

Ďalej si musíte pamätať, ako sa násobia zlomkové čísla s rovnakými menovateľmi. Samotné pravidlo tohto procesu sa dá ľahko formulovať nezávisle: výsledok násobenia jednoduché zlomky s rovnakými menovateľmi je zlomkový výraz, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov a menovateľ je súčinom menovateľov daných zlomkov. To znamená, že v skutočnosti je novým menovateľom druhá mocnina jedného z existujúcich.

Pri násobení jednoduché zlomky s rôznymi menovateľmi pre dva alebo viac faktorov sa pravidlo nemení:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Jediný rozdiel je v tom, že utvorené číslo pod zlomkovou čiarou bude súčinom rôznych čísel a prirodzene ho nemožno nazvať druhou mocninou jedného číselného výrazu.

Stojí za to zvážiť násobenie zlomkov s rôznymi menovateľmi pomocou príkladov:

8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

V príkladoch sa používajú spôsoby redukcie zlomkových výrazov. Môžete zmenšiť iba čísla čitateľa číslami menovateľa, susediace faktory nad alebo pod zlomkovou čiarou nie je možné zmenšiť.

Spolu s jednoduchými zlomkovými číslami existuje aj koncept zmiešaných zlomkov. Zmiešané číslo pozostáva z celého čísla a zlomkovej časti, to znamená, že ide o súčet týchto čísel:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Ako funguje násobenie?

Na zváženie je uvedených niekoľko príkladov.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Príklad používa násobenie čísla číslom obyčajná zlomková časť, pravidlo pre túto akciu môžete zapísať podľa vzorca:

a * b/c = a*b /c.

V skutočnosti je takýto súčin súčtom rovnakých zlomkových zvyškov a počet členov to naznačuje prirodzené číslo. špeciálny prípad:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Existuje ďalšia možnosť riešenia násobenia čísla zlomkovým zvyškom. Stačí vydeliť menovateľa týmto číslom:

d* e/f = e/f: d.

Je užitočné použiť túto techniku, keď je menovateľ delený prirodzeným číslom bezo zvyšku alebo, ako sa hovorí, úplne.

Preveďte zmiešané čísla na nesprávne zlomky a získajte produkt vyššie opísaným spôsobom:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Tento príklad zahŕňa metódu reprezentácie zmiešaná frakcia do nesprávneho, môže byť reprezentovaný aj ako všeobecný vzorec:

a bc = a*b+ c / c, kde menovateľ nového zlomku vznikne vynásobením celočíselnej časti menovateľom a jeho pripočítaním k čitateľovi pôvodného zlomkového zvyšku, pričom menovateľ zostáva rovnaký.

Tento proces funguje aj opačne. Ak chcete izolovať časť celého čísla a zlomkový zvyšok, musíte rozdeliť čitateľa nesprávneho zlomku jeho menovateľom pomocou „rohu“.

Násobenie nesprávne zlomky vyrábané bežným spôsobom. Keď záznam prejde pod jednu zlomkovú čiaru, ak je to potrebné, musíte zlomky zmenšiť, aby ste znížili čísla pomocou tejto metódy a ľahšie sa vypočíta výsledok.

Na internete je množstvo pomocníkov na riešenie aj zložitých problémov. matematické problémy v rôznych programoch. Dostatočný počet takýchto služieb ponúka svoju pomoc pri počítaní násobenia zlomkov s rôzne čísla v menovateľoch – takzvané online kalkulačky na počítanie zlomkov. Sú schopní nielen násobiť, ale aj vykonávať všetky ostatné jednoduché aritmetické operácie s obyčajnými zlomkami a zmiešanými číslami. Je ľahké s ním pracovať, príslušné polia sú vyplnené na stránke webu, je vybraté znamenie matematická akcia a kliknite na "vypočítať". Program počíta automaticky.

Predmet aritmetické operácie so zlomkovými číslami je relevantné počas celého vzdelávania žiakov stredného a vyššieho veku. Na strednej škole už neuvažujú nad najjednoduchším druhom, ale celočíselné zlomkové výrazy, ale znalosti pravidiel pre transformáciu a výpočty, získané skôr, sa uplatňujú v pôvodnej podobe. Dobre naučené základné znalosti poskytujú plnú dôveru dobré rozhodnutie najviac náročné úlohy.

Na záver má zmysel citovať slová Leva Tolstého, ktorý napísal: „Človek je zlomok. Nie je v silách človeka zväčšovať svojho čitateľa – svoje zásluhy, ale ktokoľvek môže svojho menovateľa – svoj názor na seba zmenšiť, a týmto zmenšením sa priblížiť k svojej dokonalosti.

Pravidlá sčítania zlomkov s rôznymi menovateľmi sú veľmi jednoduché.

Zvážte pravidlá pre pridávanie zlomkov s rôznymi menovateľmi v krokoch:

1. Nájdite LCM (najmenší spoločný násobok) menovateľov. Výsledný LCM bude spoločným menovateľom zlomkov;

2. Priveďte zlomky k spoločnému menovateľovi;

3. Pridajte zlomky zredukované na spoločného menovateľa.

Na jednoduchý príklad Zistite, ako sčítať zlomky s rôznymi menovateľmi.