Príklady so zlomkami sú jedným zo základných prvkov matematiky. Je ich veľa odlišné typy rovnice so zlomkami. Nižšie je podrobné pokyny riešením príkladov tohto typu.
Ako riešiť príklady so zlomkami – všeobecné pravidlá
Na riešenie príkladov so zlomkami akéhokoľvek typu, či už ide o sčítanie, odčítanie, násobenie alebo delenie, musíte poznať základné pravidlá:
- Ak chcete pridať zlomkové výrazy s rovnakým menovateľom (menovateľ je číslo v spodnej časti zlomku, čitateľ navrchu), musíte pridať ich čitateľov a menovateľa ponechať rovnaký.
- Aby ste od jedného zlomkového výrazu odčítali druhý (s rovnakým menovateľom), musíte odpočítať ich čitateľov a menovateľa ponechať rovnaký.
- Ak chcete pridať alebo odčítať zlomkové výrazy pomocou rôznych menovateľov, musíme nájsť najmenšieho spoločného menovateľa.
- Ak chcete nájsť zlomkový produkt, musíte vynásobiť čitateľov a menovateľov, a ak je to možné, znížiť ich.
- Ak chcete rozdeliť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť prvý zlomok prevrátenou sekundou.
Ako riešiť príklady so zlomkami – precvičenie
Pravidlo 1, príklad 1:
Vypočítajte 3/4 + 1/4.
Podľa pravidla 1, ak majú zlomky dvoch (alebo viacerých) rovnakého menovateľa, stačí pridať ich čitateľov. Dostaneme: 3/4 + 1/4 = 4/4. Ak má zlomok rovnaký čitateľ aj menovateľ, zlomok bude 1.
Odpoveď: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.
Pravidlo 2, príklad 1:
Vypočítajte: 3/4 - 1/4
Pomocou pravidla číslo 2 na vyriešenie tejto rovnice musíte odpočítať 1 od 3 a menovateľa ponechať rovnaký. Získame 2/4. Keďže dve 2 a 4 sa dajú zmenšiť, zredukujeme a dostaneme 1/2.
Odpoveď: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2.
Pravidlo 3, príklad 1
Vypočítajte: 3/4 + 1/6
Riešenie: Pomocou 3. pravidla nájdeme najmenšieho spoločného menovateľa. Najmenší spoločný menovateľ je číslo, ktoré je deliteľné menovateľmi všetkých zlomkových výrazov v príklade. Potrebujeme teda nájsť také minimálne číslo, ktoré bude deliteľné 4 aj 6. Toto číslo je 12. Ako menovateľ napíšeme 12. 12 delíme menovateľom prvého zlomku, dostaneme 3, vynásobíme 3 zapíšeme 3 do čitateľa *3 a znamienko +. Delíme 12 menovateľom druhého zlomku, dostaneme 2, 2 vynásobíme 1, do čitateľa napíšeme 2 * 1. Takže sme dostali nový zlomok s menovateľom rovným 12 a čitateľom rovným 3*3+2*1=11. 11/12.
Odpoveď: 11.12
Pravidlo 3, príklad 2:
Vypočítajte 3/4 - 1/6. Tento príklad je veľmi podobný predchádzajúcemu. Robíme všetky rovnaké akcie, ale v čitateli namiesto znamienka + napíšeme znamienko mínus. Dostaneme: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.
Odpoveď: 7/12
Pravidlo 4, príklad 1:
Vypočítajte: 3/4 * 1/4
Pomocou štvrtého pravidla vynásobíme menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého a čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého. 3*1/4*4 = 3/16.
Odpoveď: 3/16
Pravidlo 4, Príklad 2:
Vypočítajte 2/5 * 10/4.
Táto frakcia sa môže znížiť. Pri súčine sa zmenšuje čitateľ prvého zlomku a menovateľ druhého zlomku a čitateľ druhého zlomku a menovateľ prvého zlomku.
2 sa zmenší zo 4. 10 sa zmenší z 5. dostaneme 1 * 2/2 = 1 * 1 = 1.
Odpoveď: 2/5 * 10/4 = 1
Pravidlo 5, príklad 1:
Vypočítajte: 3/4: 5/6
Pomocou 5. pravidla dostaneme: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Zlomok zredukujeme podľa princípu predchádzajúceho príkladu a dostaneme 9/10.
Odpoveď: 9/10.
Ako riešiť príklady zlomkov – zlomkové rovnice
Zlomkové rovnice sú príklady, kde menovateľ obsahuje neznámu. Na vyriešenie takejto rovnice musíte použiť určité pravidlá.
Zvážte príklad:
Vyriešte rovnicu 15/3x+5 = 3
Pripomeňme, že nemôžete deliť nulou, t.j. hodnota menovateľa nesmie byť nula. Pri riešení takýchto príkladov to treba uviesť. Na to slúži ODZ (oblasť povolené hodnoty).
Takže 3x+5 ≠ 0.
Preto: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3
Pre x = 5/3 rovnica jednoducho nemá riešenie.
Uvedením ODZ, najlepším možným spôsobom vyriešením tejto rovnice sa zbavíte zlomkov. Aby sme to dosiahli, najprv zadáme všetky nezlomkové hodnoty ako zlomok, v tomto prípade číslo 3. Dostaneme: 15/(3x+5) = 3/1. Aby ste sa zbavili zlomkov, musíte každý z nich vynásobiť najmenším spoločným menovateľom. V tomto prípade by to bolo (3x+5)*1. Sekvenovanie:
- Vynásobte 15/(3x+5) číslom (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
- Rozbaľte zátvorky: 15*(3x+5) = 45x + 75.
- To isté urobíme s pravou stranou rovnice: 3*(3x+5) = 9x + 15.
- Prirovnajte ľavú a pravú stranu: 45x + 75 = 9x +15
- Presuňte x doľava, čísla doprava: 36x = -50
- Nájdite x: x = -50/36.
- Znižujeme: -50/36 = -25/18
Odpoveď: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.
Ako riešiť príklady so zlomkami - zlomkové nerovnice
Pomocou číselnej osi sa riešia zlomkové nerovnosti typu (3x-5)/(2-x)≥0. Zvážte tento príklad.
Sekvenovanie:
- Priraďte čitateľa a menovateľa k nule: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
2. 2-x=0 => x=2 - Nakreslíme číselnú os a nakreslíme na ňu výsledné hodnoty.
- Nakreslite kruh pod hodnotou. Kruh je dvojakého druhu – vyplnený a prázdny. Vyplnený kruh znamená, že táto hodnota je zahrnutá v rozsahu riešení. Prázdny kruh znamená, že táto hodnota nie je zahrnutá v rozsahu riešení.
- Keďže menovateľ nemôže byť nula, pod 2. bude prázdny kruh.
- Na určenie znamienok dosadíme do rovnice ľubovoľné číslo väčšie ako dva, napríklad 3. (3 * 3-5) / (2-3) \u003d -4. hodnota je záporná, preto zapíšeme mínus nad oblasťou za dvojkou. Potom namiesto x dosadíme ľubovoľnú hodnotu intervalu od 5/3 do 2, napríklad 1. Hodnota je opäť záporná. Píšeme mínus. To isté opakujeme s plochou do 5/3. Dosadíme ľubovoľné číslo menšie ako 5/3, napríklad 1. Opäť mínus.
- Keďže nás zaujímajú hodnoty x, pri ktorých bude výraz väčší alebo rovný 0 a takéto hodnoty neexistujú (všade zápory), táto nerovnosť nemá riešenie, t.j. x = Ø (prázdna množina).
Odpoveď: x = Ø
Žiaci sa v 5. ročníku zoznamujú so zlomkami. Predtým boli ľudia, ktorí vedeli, ako vykonávať akcie so zlomkami, považovaní za veľmi inteligentných. Prvý zlomok bol 1/2, teda polovica, potom sa objavila 1/3 atď. Niekoľko storočí boli príklady považované za príliš zložité. Teraz vyvinuté podrobné pravidlá o premene zlomkov, sčítaní, násobení a iných úkonoch. Stačí trochu pochopiť materiál a riešenie bude ľahké.
Obyčajný zlomok, ktorý sa nazýva jednoduchý zlomok, sa zapisuje ako delenie dvoch čísel: m a n.
M je dividenda, teda čitateľ zlomku, a deliteľ n sa nazýva menovateľ.
Vyberte správne zlomky (m< n) а также неправильные (m >n).
Správny zlomok je menší ako jedna (napríklad 5/6 – to znamená, že z jedného sa vyberie 5 dielov; z jedného sa odoberú 2/8 – 2 diely). Nesprávny zlomok je rovný alebo väčší ako 1 (8/7 - jednotka bude 7/7 a jedna ďalšia časť sa berie ako plus).
Jednotka je teda vtedy, keď sa čitateľ a menovateľ zhodujú (3/3, 12/12, 100/100 a iné).
Akcie s obyčajnými zlomkami 6. stupeň
Pomocou jednoduchých zlomkov môžete urobiť nasledovné:
- Rozšírte zlomok. Ak vynásobíte hornú a dolnú časť zlomku ľubovoľným rovnaké číslo(len nie nulou), potom sa hodnota zlomku nezmení (3/5 = 6/10 (len vynásobené 2).
- Zmenšovanie zlomkov je podobné ako rozširovanie, ale tu sú delené číslom.
- Porovnaj. Ak majú dva zlomky rovnakého čitateľa, zlomok s menším menovateľom bude väčší. Ak sú menovatelia rovnakí, potom zlomok s najväčším čitateľom bude väčší.
- Vykonajte sčítanie a odčítanie. S rovnakými menovateľmi je to jednoduché (sčítame horné časti a spodná časť sa nemení). Pre rôzne budete musieť nájsť spoločného menovateľa a ďalšie faktory.
- Násobte a delte zlomky.
Príklady operácií so zlomkami sú uvedené nižšie.
Redukované frakcie 6. stupeň
Zmenšiť znamená rozdeliť hornú a spodnú časť zlomku rovnakým číslom.
Obrázok ukazuje jednoduché príklady redukcie. V prvej možnosti môžete okamžite uhádnuť, že čitateľ a menovateľ sú deliteľné 2.
Na poznámku! Ak je číslo párne, potom je ľubovoľným spôsobom deliteľné číslom 2. Párne čísla sú 2, 4, 6 ... 32 8 (končí párnym) atď.
V druhom prípade pri delení 6 18 je hneď jasné, že čísla sú deliteľné 2. Delením dostaneme 3/9. Tento zlomok je tiež deliteľný 3. Potom je odpoveď 1/3. Ak vynásobíte oboch deliteľov: 2 x 3, vyjde vám 6. Ukazuje sa, že zlomok bol delený šiestimi. Toto postupné delenie je tzv postupné znižovanie frakcie o spoločných deliteľov.
Niekto bude okamžite deliť 6, niekto bude potrebovať delenie na časti. Hlavná vec je, že na konci je zlomok, ktorý sa nedá nijako znížiť.
Všimnite si, že ak sa číslo skladá z číslic, ktorých sčítaním vznikne číslo deliteľné 3, potom možno originál zmenšiť aj 3. Príklad: číslo 341. Sčítajte čísla: 3 + 4 + 1 = 8 ( 8 nie je deliteľné 3, takže číslo 341 nemožno bezo zvyšku zmenšiť 3). Ďalší príklad: 264. Pridajte: 2 + 6 + 4 = 12 (delené 3). Dostaneme: 264: 3 = 88. Zjednoduší sa tým zmenšovanie veľkých čísel.
Okrem metódy postupného zmenšovania zlomku spoločnými deliteľmi existujú aj iné spôsoby.
GCD je najväčší deliteľ čísla. Po nájdení GCD pre menovateľa a čitateľa môžete zlomok okamžite znížiť o požadované číslo. Vyhľadávanie prebieha postupným delením každého čísla. Ďalej sa pozerajú na to, ktoré deliče sa zhodujú, ak je ich niekoľko (ako na obrázku nižšie), musíte ich vynásobiť.
Zmiešané frakcie stupeň 6
Všetky nesprávne zlomky možno premeniť na zmiešané zvýraznením celej časti v nich. Celé číslo sa píše vľavo.
Často musíte vytvoriť zmiešané číslo z nesprávneho zlomku. Proces prevodu v príklade nižšie: 22/4 = 22 delené 4, dostaneme 5 celých čísel (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. Dostaneme 5 celých čísel a 2/4 (menovateľ sa nemení). Keďže zlomok je možné zmenšiť, hornú a dolnú časť delíme 2.
Zmiešané číslo sa dá ľahko zmeniť na ne správny zlomok(je to potrebné pri delení a násobení zlomkov). Ak to chcete urobiť, vynásobte celé číslo spodnou časťou zlomku a pridajte k nemu čitateľa. Pripravený. Menovateľ sa nemení.
Výpočty so zlomkami 6. stupeň
Je možné pridať zmiešané čísla. Ak sú menovatelia rovnakí, potom je to jednoduché: spočítajte časti celého čísla a čitateľa, menovateľ zostane na svojom mieste.
Pri sčítaní čísel s rôznymi menovateľmi je proces zložitejší. Najprv privedieme čísla k jednému najmenšiemu menovateľovi (NOD).
V nižšie uvedenom príklade pre čísla 9 a 6 bude menovateľ 18. Potom sú potrebné ďalšie faktory. Aby ste ich našli, mali by ste 18 vydeliť 9, takže sa nájde ďalšie číslo - 2. Vynásobíme ho čitateľom 4, dostaneme zlomok 8/18). To isté sa robí s druhou frakciou. Prepočítané zlomky už sčítavame (celé čísla a čitateľa zvlášť, menovateľa nemeníme). V príklade bolo potrebné previesť odpoveď na správny zlomok (na začiatku sa ukázalo, že čitateľ je väčší ako menovateľ).
Upozorňujeme, že s rozdielom zlomkov je algoritmus akcií rovnaký.
Pri násobení zlomkov je dôležité umiestniť oba pod jednu čiaru. Ak je číslo zmiešané, zmeníme ho na jednoduchý zlomok. Potom vynásobte hornú a spodnú časť a zapíšte odpoveď. Ak je jasné, že zlomky sa dajú zmenšiť, tak okamžite zredukujeme.
V tomto príklade sme nemuseli nič vystrihovať, len sme zapísali odpoveď a zvýraznili celú časť.
V tomto príklade som musel zmenšiť čísla pod jeden riadok. Aj keď je možné zredukovať aj hotovú odpoveď.
Pri delení je algoritmus takmer rovnaký. Najprv zmiešaný zlomok premeníme na nesprávny, potom čísla zapíšeme pod jeden riadok, pričom delenie nahradíme násobením. Nezabudnite zameniť hornú a spodnú časť druhej frakcie (toto pravidlo delenie zlomkov).
Ak je to potrebné, znížime čísla (v príklade nižšie to znížili o päť a dva). Nevlastný zlomok transformujeme zvýraznením celočíselnej časti.
Základné úlohy na zlomky 6. ročník
Video ukazuje niekoľko ďalších úloh. Pre prehľadnosť sme použili grafické obrázky riešenia, ktoré pomáhajú vizualizovať zlomky.
Príklady násobenia zlomkov 6. stupeň s vysvetlivkami
Násobiace zlomky sa píšu pod jeden riadok. Potom sa znížia delením rovnakými číslami (napríklad 15 v menovateli a 5 v čitateli možno vydeliť piatimi).
Porovnanie zlomkov 6. ročník
Ak chcete porovnávať zlomky, musíte si zapamätať dve jednoduché pravidlá.
Pravidlo 1. Ak sú menovatelia rôzni
Pravidlo 2. Keď sú menovatelia rovnakí
Napríklad porovnajme zlomky 7/12 a 2/3.
- Pozeráme sa na menovateľov, nezhodujú sa. Takže musíte nájsť spoločnú.
- Pre zlomky je spoločný menovateľ 12.
- Najprv delíme 12 dolnou časťou prvého zlomku: 12: 12 = 1 (toto je dodatočný faktor pre 1. zlomok).
- Teraz vydelíme 12 3, dostaneme 4 - pridajte. multiplikátor 2. zlomku.
- Výsledné čísla vynásobíme čitateľmi, aby sme previedli zlomky: 1 x 7 \u003d 7 (prvý zlomok: 7/12); 4 x 2 = 8 (druhý zlomok: 8/12).
- Teraz môžeme porovnať: 7/12 a 8/12. Vyšlo: 7/12< 8/12.
Pre lepšie znázornenie zlomkov môžete pre prehľadnosť použiť kresby, kde je objekt rozdelený na časti (napríklad koláč). Ak chcete porovnať 4/7 a 2/3, tak v prvom prípade sa torta rozdelí na 7 častí a vyberú sa 4 z nich. V druhom sa rozdelia na 3 časti a odoberú 2. Voľným okom bude jasné, že 2/3 budú viac ako 4/7.
Príklady so zlomkami stupňa 6 na školenie
Ako cvičenie môžete vykonať nasledujúce úlohy.
- Porovnajte zlomky
- urobiť násobenie
Tip: Ak je ťažké nájsť najnižšieho spoločného menovateľa zlomkov (najmä ak sú ich hodnoty malé), môžete vynásobiť menovateľa prvého a druhého zlomku. Príklad: 2/8 a 5/9. Nájdenie ich menovateľa je jednoduché: vynásobte 8 x 9, dostanete 72.
Riešenie rovníc so zlomkami 6. ročník
Pri riešení rovníc si musíte pamätať na akcie so zlomkami: násobenie, delenie, odčítanie a sčítanie. Ak je jeden z faktorov neznámy, potom sa produkt (celkom) vydelí známym faktorom, to znamená, že sa zlomky vynásobia (druhý sa prevráti).
Ak dividenda nie je známa, menovateľ sa vynásobí deliteľom a na nájdenie deliteľa je potrebné rozdeliť dividendu kvocientom.
Predstavte si jednoduché príklady riešenie rovníc:
Tu je potrebné iba vytvoriť rozdiel zlomkov bez toho, aby to viedlo k spoločnému menovateľovi.
Odpoveď je nesprávny zlomok. Dá sa previesť na 1 celok a 3/5.
V druhej metóde sa čitateľ a menovateľ vynásobili 4, aby sa skrátilo dno, a nie preklopenie menovateľa.
Tento článok je všeobecným pohľadom na operácie so zlomkami. Tu formulujeme a zdôvodňujeme pravidlá sčítania, odčítania, násobenia, delenia a umocňovania zlomkov všeobecného tvaru A/B , kde A a B sú nejaké čísla, číselné výrazy alebo výrazy s premennými. Ako obvykle, materiál dodáme s vysvetľujúcimi príkladmi s podrobné popisy riešenia.
Navigácia na stránke.
Pravidlá vykonávania operácií s číselnými zlomkami všeobecného tvaru
Dohodnime sa na číslach všeobecný pohľad rozumieť zlomkom, v ktorých môže byť čitateľ a/alebo menovateľ reprezentovaný nielen prirodzenými číslami, ale aj inými číslami alebo číselnými výrazmi. Pre prehľadnosť uvádzame niekoľko príkladov takýchto zlomkov: 
.
Poznáme pravidlá, podľa ktorých . Podľa rovnakých pravidiel môžete vykonávať operácie so zlomkami všeobecného tvaru:
Zdôvodnenie pravidiel
Na zdôvodnenie platnosti pravidiel vykonávania akcií so všeobecnými číselnými zlomkami je možné vychádzať z nasledujúcich bodov:
- zlomková čiara je v podstate deliaci znak,
- delenie nejakým nenulovým číslom možno považovať za násobenie prevrátenou hodnotou deliteľa (toto hneď vysvetľuje pravidlo delenia zlomkov),
- vlastnosti akcií s reálnymi číslami,
- a jeho všeobecné chápanie,
Umožňujú vám vykonávať nasledujúce transformácie, ktoré odôvodňujú pravidlá pre sčítanie, odčítanie zlomkov s rovnakými a rôznymi menovateľmi, ako aj pravidlo pre násobenie zlomkov: 
Príklady
Uveďme príklady vykonania akcie so zlomkami všeobecného tvaru podľa pravidiel naučených v predchádzajúcom odseku. Hneď si povedzme, že zvyčajne po vykonaní operácií so zlomkami si výsledný zlomok vyžaduje zjednodušenie a proces zjednodušenia zlomku je často náročnejší ako vykonanie predchádzajúcich akcií. Nebudeme sa zaoberať zjednodušením zlomkov (príslušné transformácie sú popísané v článku Transformácia zlomkov), aby sme neboli odvedení od témy, ktorá nás zaujíma.
Začnime príkladmi sčítania a odčítania číselné zlomky s rovnakými menovateľmi. Začnime sčítaním zlomkov a . Je zrejmé, že menovatelia sú si rovní. Podľa príslušného pravidla zapíšeme zlomok, ktorého čitateľ sa rovná súčtu čitateľov pôvodných zlomkov, a menovateľa necháme rovnakého, máme . Pridanie je hotové, zostáva zjednodušiť výslednú frakciu: 
. takze 
.
Rozhodnutie bolo možné vykonať iným spôsobom: najprv vykonajte prechod na bežné zlomky a potom vykonajte sčítanie. S týmto prístupom máme 
.
Teraz odpočítajte od zlomku 
zlomok 
. Menovatelia zlomkov sú si rovní, preto postupujeme podľa pravidla pre odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi: 
Prejdime na príklady sčítania a odčítania zlomkov s rôznymi menovateľmi. Tu je hlavný problém priviesť zlomky k spoločnému menovateľovi. Pre zlomky všeobecného tvaru ide o pomerne rozsiahlu tému, podrobne ju rozoberieme v samostatnom článku. redukcia zlomkov na spoločného menovateľa. Teraz sa obmedzme na pár všeobecné odporúčania, pretože v tento moment viac nás zaujíma technika vykonávania operácií so zlomkami.
Vo všeobecnosti je proces podobný redukcii na spoločného menovateľa obyčajných zlomkov. To znamená, že menovatele sú prezentované ako produkty, potom sa zoberú všetky faktory z menovateľa prvého zlomku a k nim sa pridajú chýbajúce faktory z menovateľa druhého zlomku.
Keď menovatelia sčítaných alebo odčítaných zlomkov nemajú spoločné faktory, potom je logické brať ich súčin ako spoločného menovateľa. Vezmime si príklad.
Povedzme, že potrebujeme sčítať zlomky a 1/2. Tu ako spoločného menovateľa je logické brať súčin menovateľov pôvodných zlomkov, teda . V tomto prípade bude dodatočný faktor pre prvý zlomok 2 . Po vynásobení čitateľa a menovateľa ním získa zlomok tvar . A pre druhý zlomok je ďalším faktorom výraz. S jeho pomocou sa zlomok 1/2 zredukuje na formu. Zostáva pridať výsledné zlomky s rovnakými menovateľmi. Tu je zhrnutie celého riešenia: 
Pri zlomkoch všeobecného tvaru už nehovoríme o najmenšom spoločnom menovateľovi, na ktorý sa obyčajné zlomky zvyčajne redukujú. Aj keď v tejto veci je stále žiaduce snažiť sa o nejaký minimalizmus. Tým chceme povedať, že netreba hneď brať za spoločného menovateľa súčin menovateľov pôvodných zlomkov. Napríklad nie je vôbec potrebné brať spoločného menovateľa zlomkov a súčinu 
. Tu ako spoločného menovateľa môžeme brať .
Obrátime sa na príklady násobenia zlomkov všeobecného tvaru. Vynásobte zlomky a . Pravidlo na vykonanie tejto akcie nám hovorí, aby sme zapísali zlomok, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov pôvodných zlomkov a menovateľ je súčinom menovateľov. Máme 
. Tu, ako v mnohých iných prípadoch pri násobení zlomkov, môžete zlomok znížiť: 
.
Pravidlo delenia zlomkov vám umožňuje prejsť od delenia k násobeniu reciprokou. Tu si musíte pamätať, že ak chcete získať zlomok prevrátený k danému zlomku, musíte vymeniť čitateľa a menovateľa tohto zlomku. Tu je príklad prechodu od delenia všeobecných zlomkov k násobeniu: 
. Zostáva vykonať násobenie a zjednodušiť výsledný zlomok (ak je to potrebné, pozri transformáciu iracionálnych výrazov): 
Na záver informácií v tomto odseku pripomíname, že každé číslo alebo číselný výraz možno znázorniť ako zlomok s menovateľom 1, preto sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie čísla a zlomku možno považovať za vykonanie zodpovedajúcej akcie s zlomky, z ktorých jeden má v menovateli jednotku . Napríklad nahradenie vo výraze 
odmocnine troch zlomkov, prejdeme od násobenia zlomku číslom k násobeniu dvoch zlomkov: 
.
Vykonávanie operácií so zlomkami obsahujúcimi premenné
Pravidlá z prvej časti tohto článku platia aj pre vykonávanie operácií so zlomkami, ktoré obsahujú premenné. Zdôvodnime prvý z nich – pravidlo sčítania a odčítania zlomkov s rovnakými menovateľmi, ostatné sa dokazujú úplne rovnako.
Dokážme, že pre ľubovoľné výrazy A , C a D (D je zhodne nenulové) máme rovnosť 
na svojom rozsahu prijateľných hodnôt premenných.
Zoberme si niekoľko premenných z ODZ. Nech výrazy A, C a D nadobúdajú hodnoty a 0, c 0 a d 0 pre tieto hodnoty premenných. Potom dosadením hodnôt premenných z vybranej množiny do výrazu sa z neho stane súčet (rozdiel) číselných zlomkov s rovnakými menovateľmi tvaru , ktorý podľa pravidla sčítania (odčítania) číselných zlomkov s rovnakých menovateľov, sa rovná . Nahradením hodnôt premenných z vybranej množiny do výrazu sa však zmení na rovnaký zlomok. To znamená, že pre vybranú množinu premenných hodnôt z ODZ sú hodnoty výrazov a rovnaké. Je jasné, že hodnoty týchto výrazov budú rovnaké pre akúkoľvek inú množinu hodnôt premenných z ODZ, čo znamená, že výrazy a sú identicky rovnaké, to znamená, že dokazovaná rovnosť je pravdivá. .
Príklady sčítania a odčítania zlomkov s premennými
Keď sú menovatelia zlomkov, ktoré sa sčítajú alebo odčítajú, rovnaké, potom je všetko celkom jednoduché - čitatelia sa sčítajú alebo odčítajú a menovateľ zostáva rovnaký. Je zrejmé, že frakcia získaná potom je zjednodušená, ak je to potrebné a možné.
Všimnite si, že niekedy sa menovatelia zlomkov líšia len na prvý pohľad, no v skutočnosti sú totožné za rovnakých podmienok ako napr. 
a , alebo a . A niekedy stačí počiatočné zlomky zjednodušiť, aby sa „objavili“ ich identické menovatele.
Príklad.
, b) 
, v) 
.
rozhodnutie.
a) Potrebujeme odčítať zlomky s rovnakými menovateľmi. Podľa zodpovedajúceho pravidla necháme menovateľa rovnakého a odčítame čitateľov, máme 
. Akcia vykonaná. Stále však môžete otvoriť zátvorky v čitateli a uviesť podobné výrazy: 
.
b) Je zrejmé, že menovatele sčítaných zlomkov sú rovnaké. Čitateľov teda sčítame a menovateľa necháme rovnaký: . Pridávanie dokončené. Je však ľahké vidieť, že výsledný zlomok možno znížiť. Čitateľ výsledného zlomku môže byť skutočne znížený o druhú mocninu súčtu ako (lgx+2) 2 (pozri skrátené vzorce násobenia), takže prebehnú tieto transformácie: 
.
c) Zlomky v súčte majú rôznych menovateľov. Prevedením jedného zo zlomkov však môžete pristúpiť k pridávaniu zlomkov s rovnakými menovateľmi. Ukážeme dve riešenia.
Prvý spôsob. Menovateľ prvého zlomku možno rozdeliť pomocou vzorca rozdielu štvorcov a potom tento zlomok znížiť: 
. Teda, . Nezaškodí zbaviť sa iracionality v menovateli zlomku: 
.
Druhý spôsob. Vynásobením čitateľa a menovateľa druhého zlomku (tento výraz nezmizne pre žiadne hodnoty premennej x z DPV pre pôvodný výraz) vám umožní dosiahnuť dva ciele naraz: zbaviť sa iracionality a prejsť na sčítanie zlomky s rovnakými menovateľmi. Máme 
odpoveď:
a) 
, b) 
, v) 
.
Posledný príklad nás priviedol k otázke privedenia zlomkov k spoločnému menovateľovi. Tam sme sa takmer náhodou dostali k rovnakým menovateľom, zjednodušujúc jeden zo sčítaných zlomkov. Ale vo väčšine prípadov pri sčítaní a odčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi treba zlomky cielene priviesť k spoločnému menovateľovi. Na tento účel sa menovatelia zlomkov zvyčajne prezentujú ako produkty, všetky faktory sa prevezmú z menovateľa prvého zlomku a k nim sa pridajú chýbajúce faktory z menovateľa druhého zlomku.
Príklad.
Vykonajte akcie so zlomkami: a) 
, b), c) 
.
rozhodnutie.
a) S menovateľmi zlomkov netreba nič robiť. Ako spoločného menovateľa berieme produkt 
. V tomto prípade je dodatočným faktorom pre prvý zlomok výraz a pre druhý zlomok - číslo 3. Tieto dodatočné faktory prinášajú zlomky do spoločného menovateľa, ktorý nám ďalej umožňuje vykonať akciu, ktorú potrebujeme, máme 
b) V tomto príklade sú menovatelia už prezentovaní ako produkty a nie sú potrebné žiadne ďalšie transformácie. Je zrejmé, že faktory v menovateľoch sa líšia iba v exponentoch, preto ako spoločného menovateľa berieme súčin faktorov s najväčšími exponentmi, tj. 
. Potom bude dodatočný faktor pre prvý zlomok x 4 a pre druhý - ln(x+1) . Teraz sme pripravení odčítať zlomky: 
c) A v tomto prípade na začiatok budeme pracovať s menovateľmi zlomkov. Vzorce rozdielu štvorcov a druhej mocniny súčtu umožňujú prejsť od pôvodného súčtu k výrazu 
. Teraz je jasné, že tieto zlomky možno zredukovať na spoločného menovateľa 
. S týmto prístupom bude riešenie ďalší pohľad:
odpoveď:
a) 
b) 
v) 
Príklady násobenia zlomkov s premennými
Násobením zlomkov sa získa zlomok, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov pôvodných zlomkov a menovateľ je súčinom menovateľov. Tu, ako vidíte, je všetko známe a jednoduché a môžeme len dodať, že frakcia získaná v dôsledku tejto akcie sa často znižuje. V týchto prípadoch sa znižuje, pokiaľ to, samozrejme, nie je nevyhnutné a opodstatnené.
Akcie so zlomkami. V tomto článku budeme analyzovať príklady, všetko je podrobné s vysvetleniami. Budeme brať do úvahy obyčajné zlomky. V budúcnosti budeme analyzovať desatinné čísla. Odporúčam pozrieť si celé a študovať postupne.
1. Súčet zlomkov, rozdiel zlomkov.
Pravidlo: pri sčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi je výsledkom zlomok, ktorého menovateľ zostáva rovnaký a jeho čitateľ sa bude rovnať súčtu čitateľov zlomkov.
Pravidlo: pri výpočte rozdielu zlomkov s rovnakými menovateľmi dostaneme zlomok - menovateľ zostáva rovnaký a čitateľ druhého sa odčíta od čitateľa prvého zlomku.
Formálny zápis súčtu a rozdielu zlomkov s rovnakými menovateľmi:
Príklady (1):
Je jasné, že keď sú uvedené bežné zlomky, potom je všetko jednoduché, ale ak sú zmiešané? Nič zložité...
možnosť 1- môžete ich previesť na obyčajné a potom ich vypočítať.
Možnosť 2- môžete samostatne "pracovať" s celými a zlomkovými časťami.
Príklady (2):
Viac:
A ak je daný rozdiel dvoch zmiešaných zlomkov a čitateľ prvého zlomku je menší ako čitateľ druhého? Dá sa to urobiť aj dvoma spôsobmi.
Príklady (3):
* Preložené do obyčajných zlomkov, vypočítané rozdiel, previesť výsledný nesprávny zlomok na zmiešaný.
* Po rozdelení na celé číslo a zlomkové časti dostaneme tri, potom uvedieme 3 ako súčet 2 a 1, pričom jednotku predstavíme ako 11/11, potom nájdeme rozdiel medzi 11/11 a 7/11 a vypočítame výsledok. Zmyslom vyššie uvedených transformácií je zobrať (vybrať) jednotku a prezentovať ju ako zlomok s menovateľom, ktorý potrebujeme, potom od tohto zlomku už môžeme odčítať ďalší.
Ďalší príklad:
Záver: existuje univerzálny prístup - na výpočet súčtu (rozdielu) zmiešaných zlomkov s rovnakými menovateľmi je možné ich vždy previesť na nesprávne a potom vykonať potrebné opatrenie. Potom, ak v dôsledku toho dostaneme nesprávny zlomok, preložíme ho na zmiešaný.
Vyššie sme sa pozreli na príklady so zlomkami, ktoré majú rovnakých menovateľov. Čo ak sa menovatelia líšia? V tomto prípade sa zlomky znížia na rovnaký menovateľ a vykoná sa zadaná akcia. Na zmenu (transformáciu) zlomku sa využíva hlavná vlastnosť zlomku.
Zvážte jednoduché príklady:
V týchto príkladoch okamžite vidíme, ako možno jeden zo zlomkov previesť na rovnakých menovateľov.
Ak určíme spôsoby, ako zredukovať zlomky na jeden menovateľ, potom sa tento bude nazývať PRVÁ SPÔSOB.
To znamená, že ihneď pri „vyhodnotení“ zlomku musíte zistiť, či takýto prístup bude fungovať - skontrolujeme, či je väčší menovateľ deliteľný menším. A ak sa delí, tak vykonáme transformáciu – vynásobíme čitateľa a menovateľa tak, aby sa menovatelia oboch zlomkov vyrovnali.
Teraz sa pozrite na tieto príklady:
Tento prístup sa na nich nevzťahuje. Existujú aj iné spôsoby, ako znížiť zlomky na spoločného menovateľa, zvážte ich.
Metóda DRUHÁ.
Vynásobte čitateľa a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého a čitateľa a menovateľa druhého zlomku menovateľom prvého zlomku:
*V skutočnosti zlomky do tvaru privedieme, keď sa menovatelia stanú rovnakými. Ďalej použijeme pravidlo sčítania nesmelý s rovnakými menovateľmi.
Príklad:
*Túto metódu možno nazvať univerzálnou a vždy funguje. Jediným negatívom je, že po výpočtoch môže vyjsť zlomok, ktorý bude potrebné ďalej znižovať.
Zvážte príklad:
Je vidieť, že čitateľ a menovateľ sú deliteľné 5:
Metóda TRETÍ.
Nájdite najmenší spoločný násobok (LCM) menovateľov. Toto bude spoločný menovateľ. čo je to za číslo? Toto je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné každým z čísel.
Pozri, tu sú dve čísla: 3 a 4, existuje veľa čísel, ktoré sú nimi deliteľné - sú to 12, 24, 36, ... Najmenšie z nich je 12. Alebo 6 a 15, 30, 60, 90 sú nimi deliteľné.... Najmenej 30. Otázka - ako určiť tento najmenší spoločný násobok?
Existuje jasný algoritmus, ale často sa to dá urobiť okamžite bez výpočtov. Napríklad podľa vyššie uvedených príkladov (3 a 4, 6 a 15) nie je potrebný žiadny algoritmus, zobrali sme veľké čísla (4 a 15), zdvojnásobili sme ich a videli sme, že sú deliteľné druhým číslom, ale páry čísel môžu byť aj iné, napríklad 51 a 119.
Algoritmus. Ak chcete určiť najmenší spoločný násobok niekoľkých čísel, musíte:
- rozviňte každé z čísel na JEDNODUCHÉ multiplikátory
- vypíšte rozklad VÄČŠIEHO z nich
- vynásobte ho CHYBAJÚCImi faktormi iných čísel
Zvážte príklady:
50 a 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
v rozklade viac chýba jedna päťka
=> LCM(50;60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 a 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
pri rozšírení väčšieho počtu chýbajú dvojka a trojka
=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Najmenší spoločný násobok dvoch základné čísla rovná ich produktu
Otázka! A prečo je užitočné nájsť najmenší spoločný násobok, pretože môžete použiť druhú metódu a jednoducho znížiť výsledný zlomok? Áno, môžete, ale nie vždy je to pohodlné. Pozrite sa, aký bude menovateľ čísel 48 a 72, ak ich jednoducho vynásobíte 48∙72 = 3456. Súhlaste, že je príjemnejšie pracovať s menšími číslami.
Zvážte príklady:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
pri rozšírení väčšieho počtu chýba trojka
=> LCM(51,119) = 3∙7∙17
A teraz použijeme prvú metódu:
* Pozrite sa na rozdiel vo výpočtoch, v prvom prípade je ich minimum a v druhom musíte pracovať oddelene na papieri a dokonca aj zlomok, ktorý ste dostali, je potrebné znížiť. Nájdenie LCM značne zjednodušuje prácu.
Ďalšie príklady:
* V druhom príklade je zrejmé, že najmenšie číslo, ktorý je delený 40 a 60 sa rovná 120.
CELKOM! VŠEOBECNÝ ALGORITMUS VÝPOČTU!
- zlomky privedieme k obyčajným, ak je tam celá časť.
- zlomky privedieme na spoločného menovateľa (najskôr sa pozrieme, či je jeden menovateľ deliteľný druhým, ak je deliteľný, potom čitateľa a menovateľa tohto druhého zlomku vynásobíme; ak nie je deliteľný, postupujeme pomocou iné metódy uvedené vyššie).
- po prijatí zlomkov s rovnakými menovateľmi vykonávame akcie (sčítanie, odčítanie).
- v prípade potreby znížime výsledok.
- v prípade potreby vyberte celú časť.
2. Súčin frakcií.
Pravidlo je jednoduché. Pri násobení zlomkov sa ich čitatelia a menovatelia násobia:
Príklady:
Úloha. Na základňu priviezli 13 ton zeleniny. Zemiaky tvoria ¾ zo všetkej dovážanej zeleniny. Koľko kilogramov zemiakov priviezli na základňu?
Skončime s prácou.
*Skôr som vám sľúbil poskytnúť formálne vysvetlenie hlavnej vlastnosti frakcie prostredníctvom produktu, prosím:
3. Delenie zlomkov.
Delenie zlomkov sa redukuje na ich násobenie. Tu je dôležité si uvedomiť, že zlomok, ktorý je deliteľom (ten, ktorý je delený), sa otočí a akcia sa zmení na násobenie:
Túto akciu možno zapísať ako takzvaný štvorposchodový zlomok, pretože samotné delenie „:“ možno zapísať aj ako zlomok:
Príklady:
To je všetko! Veľa šťastia!
S pozdravom Alexander Krutitskikh.
Aritmetika s obyčajné zlomky
1. Doplnenie.
Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, pridajte ich čitateľov a menovateľ ponechajte rovnaký.
Príklad. .
Ak chcete pridať zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte ich priviesť k najnižšiemu spoločnému menovateľovi a potom pridať výsledné čitateľa a podpísať spoločného menovateľa pod súčet.
Príklad.
Stručne napísané takto:
Ak chcete pridať zmiešané čísla, musíte samostatne nájsť súčet celých čísel a súčet zlomkových častí. Akcia je napísaná takto:
2. Odčítanie.
Ak chcete odčítať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte odčítať čitateľa odčítaného od čitateľa mínusu a ponechať rovnaký menovateľ. Akcia je napísaná takto:
Ak chcete odčítať zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte ich najskôr priviesť k najmenšiemu spoločnému menovateľovi, potom odčítať čitateľa podradníka od čitateľa menovateľa a podpísať spoločný menovateľ pod ich rozdiel. Akcia je napísaná takto:
Ak potrebujete odčítať jedno zmiešané číslo od iného zmiešaného čísla, potom, ak je to možné, odčítajte zlomok od zlomku a celok od celku. Akcia je napísaná takto:
Ak je zlomok subtrahendu väčší ako zlomok minuendu, potom sa z celého čísla minuendu vyberie jedna jednotka, rozdelí sa na príslušné diely a pripočíta sa k zlomku minuendu, potom sa postupuje podľa popisu. vyššie. Akcia je napísaná takto:
Urobte to isté, keď potrebujete odpočítať zlomkové číslo od celého čísla.
Príklad. .
3. Rozšírenie vlastností sčítania a odčítania na zlomkové čísla.Všetky zákony a vlastnosti sčítania a odčítania prirodzených čísel platia aj pre zlomkové čísla. Ich použitie v mnohých prípadoch značne zjednodušuje proces výpočtu.
4. Násobenie.
Ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom a urobiť prvý súčin čitateľom a druhý súčin menovateľom.
Pri násobení treba urobiť (ak je to možné) redukciu.
Príklad. .
Ak vezmeme do úvahy, že celé číslo je zlomok s menovateľom 1, potom vynásobenie zlomku celým číslom a celého čísla zlomkom možno vykonať podľa rovnakého pravidla.
Príklady.
5. Násobenie zmiešané čísla.
Ak chcete vynásobiť zmiešané čísla, musíte ich najskôr previesť na nesprávne zlomky a potom násobiť podľa pravidla násobenia zlomkov.
Príklad. .
6. Delenie zlomku zlomkom.
Ak chcete rozdeliť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa prvého zlomku menovateľom druhého a menovateľ prvého zlomku čitateľom druhého a napísať prvý súčin ako čitateľ a druhý ako menovateľ.
Príklad. .
Rovnakým pravidlom môžete rozdeliť zlomok celým číslom a celé číslo zlomkom, ak celé číslo reprezentujete ako zlomok s menovateľom 1.
Príklady.
7. Delenie zmiešaných čísel.
Na delenie zmiešaných čísel sa najskôr prevedú na nesprávne zlomky a potom sa rozdelia podľa pravidla na delenie zlomkov.
Príklad. .
8. Nahradenie delenia násobením.
Ak vymeníte čitateľa a menovateľa v ľubovoľnom zlomku, dostanete nový zlomok, prevrátený k danému. Napríklad za zlomokrecipročné bude.
Je zrejmé, že súčin dvoch navzájom recipročné zlomky rovná sa 1.
- Nájdenie zlomku čísla.
Existuje veľa problémov, v ktorých musíte nájsť časť alebo zlomok daného čísla. Takéto problémy sa riešia násobením.
Úloha. Hosteska mala 20 rubľov;používala ich na nákupy. Koľko stoja nákupy?
Tu musíte nájsťčíslo 20. Môžete to urobiť takto:
Odpoveď. Hosteska strávila 8 rubľov.
Príklady. Nájdite z 30. Riešenie. .
Nájsť z . rozhodnutie. .
- Nájdenie čísla podľa známej hodnoty jeho zlomku.
Niekedy je potrebné určiť celé číslo zo známej časti čísla a zlomku vyjadrujúceho túto časť. Takéto úlohy sa riešia delením.
Úloha. V triede je 12 komsomolcov, čo ječasť všetkých žiakov v triede. Koľko žiakov je v triede?
rozhodnutie. .
Odpoveď. 20 študentov.
Príklad. Nájdite čísločo je 34.
rozhodnutie. .
Odpoveď. Požadované číslo je.
- Nájdenie pomeru dvoch čísel.
Pozrime sa na problém: Pracovník vyrobil 40 dielov za deň. Akú časť mesačnej úlohy splnil pracovník, ak má mesačný plán 400 častí?
rozhodnutie. .
Odpoveď. Robotník dokončenýsúčasťou mesačného plánu.
V tomto prípade je časť (40 častí) vyjadrená ako zlomky celku (400 častí). Tiež hovoria, že sa našiel pomer počtu vyrobených dielov za deň k mesačnému plánu.
- Prevod desatinného čísla na bežný zlomok.
Konvertovať desiatkový do obyčajného, píše sa s menovateľom a ak je to možné, redukované:
Príklady.
- Prevod zlomku na desatinné číslo.
Existuje niekoľko spôsobov, ako previesť bežný zlomok na desatinné číslo.
Prvý spôsob. Ak chcete previesť zlomok na desatinné číslo, musíte vydeliť čitateľa menovateľom.
Príklady. .
Druhý spôsob. Ak chcete zmeniť obyčajný zlomok na desatinné číslo, musíte vynásobiť čitateľa a menovateľa tohto zlomku takým číslom, aby bol menovateľom jedna s nulami (ak je to možné).
Príklad.
- Porovnajte desatinné čísla podľa veľkosti. Ak chcete zistiť, ktorý z dvoch desatinných zlomkov je väčší, musíte porovnať ich celé časti, desatiny, stotiny atď. Ak sú celé časti rovnaké, zlomok s viacerými desatinami je väčší; ak sa celé čísla a desatinné miesta rovnajú, to s väčším počtom stotín je väčšie atď.
Príklad. Z troch frakcií 2,432; 2,41 a 2,4098 je najväčšia prvá, pretože má najviac stotín a celé a desatiny sú rovnaké vo všetkých zlomkoch.
Operácie s desatinnými miestami
- Násobenie a delenie desatinného čísla 10, 100, 1000 atď.
Ak chcete vynásobiť desatinné číslo 10, 100, 1000 atď. musíte posunúť čiarku na jeden, dva, tri atď. podpísať vpravo. Ak zároveň pre číslo nie je dostatok znakov, priradia sa nuly.
Príklad. 15,45 10 = 154,5; 32,3 100 = 3230.
Ak chcete deliť desatinné číslo 10, 100, 1000 atď., musíte posunúť čiarku na jeden, dva, tri atď. podpísať doľava. Ak nie je dostatok znakov na posunutie čiarky, ich počet sa doplní o zodpovedajúci počet núl vľavo.
Príklady. 184,35: 100 = 1,8435; 3,5 : 100 = 0,035.
- Sčítanie a odčítanie desatinných zlomkov.
Desatinné čísla sa sčítavajú a odčítavajú rovnakým spôsobom, ako sa pridávajú a odčítavajú. celé čísla. Číslica sa píše pod číslicu, čiarka sa píše pod čiarku
Príklady.
- Násobenie desatinných miest.
Na vynásobenie dvoch desatinných zlomkov stačí, bez toho, aby sme dávali pozor na čiarky, vynásobiť ich ako celé čísla a v súčine oddeliť čiarkou napravo toľko desatinných miest, koľko ich bolo v násobidle a súčiniteľu spolu.
Príklad 1. 2,064 0,05.
Vynásobíme celé čísla 2064 5 = 10320. Prvý faktor mal tri desatinné miesta, druhý - dve. Produkt musí mať päť desatinných miest. Oddelíme ich vpravo a dostaneme 0,10320. Nulu na konci možno zahodiť: 2,064 0,05 = 0,1032.
Príklad 2. 1,125 0,08; 1125 8 = 9 000.
Počet desatinných miest by mal byť 3 + 2 = 5. Nuly priradíme vľavo od 9000 (009000) a oddeľujeme päť znakov sprava. Dostaneme 1,125 0,08 = 0,09000 = 0,09.
- Delenie desatinných miest.
Uvažujú sa dva prípady delenia desatinných zlomkov bez zvyšku: 1) delenie desatinného zlomku celým číslom; 2) delenie čísla (celého alebo zlomkového) desatinným zlomkom.
Delenie desatinnej čiarky celým číslom je rovnaké ako delenie celých čísel; výsledné zvyšky sa delia postupne na menšie desatinné časti a delenie pokračuje, kým zvyšok nie je nula.
Príklady.
Delenie čísla (celého čísla alebo zlomku) desatinnou čiarkou vo všetkých prípadoch vedie k deleniu celým číslom. Ak to chcete urobiť, zvýšte deliteľa o 10, 100, 1000 atď. krát, a aby sa podiel nezmenil, dividenda sa zvýši o rovnaký počet krát, potom sa vydelí celým číslom (ako v prvom prípade).
Príklad. 47,04 : 0,0084 = 470 400 : 84 = 5 600;
- Príklady spoločných akcií s obyčajnými a desatinnými zlomkami.
Najprv zvážte príklad pre všetky akcie s desatinnými zlomkami.
Príklad 1 Vypočítajte:
Tu využívajú redukciu dividendy a deliteľa na celé číslo s prihliadnutím na skutočnosť, že kvocient sa nemení. Potom tu máme:
Pri riešení príkladov spoločných akcií s obyčajnými a desatinnými zlomkami možno niektoré úkony vykonávať v desatinných zlomkoch a niektoré v obyčajných. Treba mať na pamäti, že nie vždy je možné obyčajný zlomok zmeniť na konečný desatinný zlomok. Preto zápis ako desatinný zlomok je možný len vtedy, keď je overené, že takýto prevod je možný.
Príklad 2 Vypočítajte:
Záujem
Koncept záujmu.Percento čísla je stotina tohto čísla. Napríklad namiesto „54 percent všetkých obyvateľov našej krajiny sú ženy“, môžete povedať „54 percent všetkých obyvateľov našej krajiny tvoria ženy“. Namiesto slova „percento“ píšu aj znak %, napríklad 35 % znamená 35 percent.
Keďže percento je stotina, z toho vyplýva, že percento je zlomok s menovateľom 100. Zlomok je teda 0,49, resp., možno prečítať ako 49 percent a zapísať bez menovateľa ako 49 %. Vo všeobecnosti, keď určíte, koľko stotín je v danom desatinnom zlomku, je ľahké ho zapísať ako percento. Ak to chcete urobiť, použite pravidlo: ak chcete zapísať desatinný zlomok v percentách, musíte posunúť čiarku v tomto zlomku o dve desatinné miesta doprava.
Príklady. 0,33 = 33 %; 1,25 = 125 %; 0,002 = 0,2 %; 21 = 2100 %.
A naopak: 7 % = 0,07; 24,5 % = 0,245; 0,1 % = 0,001; 200 % = 2.
1. Nájdenie percent daného čísla
Úloha. Podľa plánu musí tím traktoristov spotrebovať 9 ton paliva. Traktoristi prevzali spoločenskú povinnosť ušetriť 20 % paliva. Určte úspory paliva v tonách.
Ak do tejto úlohy namiesto 20% napíšeme číslo 0,2, ktoré sa mu rovná, dostaneme problém nájsť zlomok čísla. A takéto problémy sa riešia násobením. Odtiaľ prichádza riešenie:
20 % = 0,2; 9 0,2 = 1,8 (m).
Výpočty je možné zapísať aj takto:
(m)
Na nájdenie niekoľkých percent z daného čísla stačí vydeliť dané číslo 100 a výsledok vynásobiť počtom percent.
Úloha. Pracovník v roku 1963 dostával 90 rubľov mesačne av roku 1964 začal dostávať o 30% viac. Koľko zarobil v roku 1964?
Riešenie (prvá metóda).
1) Koľko ďalších rubľov dostal pracovník?
(rub.)
90 + 27 = 117 (rub).
Druhý spôsob.
1) Koľko percent z predchádzajúceho zárobku poberal pracovník v roku 1964?
100% + 30% = 130%.
2) Aký bol mesačný plat robotníka v roku 1964?
(rub.)
2. Nájdenie čísla z danej hodnoty jeho percenta.
Úloha. Na JZD bola kukurica zasiata na výmere 280 hektárov, čo je 14 % z celkovej osiatej plochy. Určite osiatu plochu kolektívnej farmy.
Ak v tejto úlohe namiesto 14 % napíšeme 0,14 resp, potom dostaneme problém nájsť číslo podľa známej hodnoty jeho zlomku. A takéto problémy sa riešia delením.
rozhodnutie. 14 % = 0,14; 280: 0,14 = 2000 (ha). Toto rozhodnutie môžete urobiť takto:
(ha)
Ak chcete nájsť číslo pre danú hodnotu niekoľkých percent z nej, stačí túto hodnotu vydeliť počtom percent a vynásobiť výsledok 100.
Úloha. V marci závod vytavil 125,4 t kovu, prekročenie plánu o 4,5 %. Koľko ton kovu mal závod podľa plánu vytaviť v marci?
rozhodnutie.
1) Na koľko percent splnil závod plán v marci?
100% + 4,5% = 104,5%.
2) Koľko ton kovu musela rastlina vytaviť?
(ha)
- Nájdenie percenta dvoch čísel.
Úloha. Je potrebné orať 300 hektárov pôdy. Prvý deň sa oralo 120 hektárov. Koľko percent úlohy bolo rozorané v prvý deň?
rozhodnutie.
Prvý spôsob. 300 ha je 100 %, čo znamená, že 1 % pripadá na 3 ha. Po určení, koľkokrát 3 hektáre, čo je 1%, sú obsiahnuté v 120 hektároch, zistíme, koľko percent úlohy bola pôda oraná v prvý deň.
120: 3 = 40(%).
Druhý spôsob. Keď sme určili, aká časť pôdy bola oraná v prvý deň, vyjadríme tento zlomok v percentách.
Napíšeme výpočet:
Na výpočet percenta čísla a na číslo b , musíte nájsť pomer a až b a vynásobte to 100.
