Zlomky. Násobenie a delenie zlomkov. Matematika: akcie so zlomkami. Operácie s desatinnými miestami a bežnými zlomkami

Ak chcete časť vyjadriť ako zlomok celku, musíte časť rozdeliť celkom.

Úloha 1. V triede je 30 žiakov, štyria chýbajú. Aký podiel študentov chýba?

Riešenie:

odpoveď: v triede nie sú žiadni žiaci.

Nájdenie zlomku z čísla

Na riešenie problémov, v ktorých je potrebné nájsť časť celku, to platí ďalšie pravidlo:

Ak je časť celku vyjadrená ako zlomok, potom na nájdenie tejto časti môžete celok vydeliť menovateľom zlomku a výsledok vynásobiť jeho čitateľom.

Úloha 1. Bolo tam 600 rubľov, táto suma bola vynaložená. Koľko peňazí ste minuli?

Riešenie: ak chcete nájsť od 600 rubľov, musíte túto sumu rozdeliť na 4 časti, čím zistíme, koľko peňazí je jedna štvrtina:

600 : 4 = 150 (p.)

odpoveď: strávil 150 rubľov.

Úloha 2. Bolo to 1 000 rubľov, táto suma bola vynaložená. Koľko peňazí sa minulo?

Riešenie: Zo stavu problému vieme, že 1 000 rubľov pozostáva z piatich rovnakých častí. Najprv zistíme, koľko rubľov je jedna pätina z 1 000, a potom zistíme, koľko rubľov sú dve pätiny:

1) 1000: 5 = 200 (p.) - jedna pätina.

2) 200 2 \u003d 400 (str.) - dve pätiny.

Tieto dve akcie možno kombinovať: 1 000 : 5 2 = 400 (p.).

odpoveď: minulo sa 400 rubľov.

Druhý spôsob, ako nájsť časť celku:

Ak chcete nájsť časť celku, môžete celok vynásobiť zlomkom vyjadrujúcim túto časť celku.

Úloha 3. Pre platnosť ohlasovacej schôdze sa podľa stanov družstva musia na nej zúčastniť aspoň členovia organizácie. Družstvo má 120 členov. V akom zložení sa môže uskutočniť spravodajské stretnutie?

Riešenie:

odpoveď: spravodajská schôdza sa môže konať, ak má organizácia 80 členov.

Nájdenie čísla podľa jeho zlomku

Na riešenie problémov, v ktorých je potrebné nájsť celok podľa jeho častí, platí nasledujúce pravidlo:

Ak je časť požadovaného celého čísla vyjadrená ako zlomok, potom na nájdenie tohto celého čísla môžete túto časť vydeliť čitateľom zlomku a výsledok vynásobiť jeho menovateľom.

Úloha 1. Strávili sme 50 rubľov, čo predstavovalo pôvodnú sumu. Nájdite pôvodnú sumu peňazí.

Riešenie: z popisu problému vidíme, že 50 rubľov je 6-krát menej ako počiatočná suma, t. j. počiatočná suma je 6-krát vyššia ako 50 rubľov. Ak chcete zistiť túto sumu, musíte vynásobiť 50 x 6:

50 6 = 300 (r.)

odpoveď: počiatočná suma je 300 rubľov.

Úloha 2. Strávili sme 600 rubľov, čo predstavovalo počiatočnú sumu peňazí. Nájdite pôvodnú sumu.

Riešenie: budeme predpokladať, že požadovaný počet pozostáva z troch tretín. Podľa podmienok sa dve tretiny čísla rovnajú 600 rubľov. Najprv zistíme jednu tretinu pôvodnej sumy a potom, koľko rubľov sú tri tretiny (počiatočná suma):

1) 600 : 2 3 = 900 (p.)

odpoveď: počiatočná suma je 900 rubľov.

Druhý spôsob, ako nájsť celok podľa jeho častí:

Ak chcete nájsť celok podľa hodnoty jeho časti, môžete túto hodnotu vydeliť zlomkom, ktorý túto časť vyjadruje.

Úloha 3.Úsečka AB, rovná 42 cm, je dĺžka segmentu CD. Nájdite dĺžku segmentu CD.

Riešenie:

odpoveď: dĺžka segmentu CD 70 cm

Úloha 4. Do obchodu boli prinesené vodné melóny. Pred obedom obchod predal, po obede priniesol vodné melóny a zostáva predať 80 melónov. Koľko melónov bolo celkovo prinesených do obchodu?

Riešenie: najprv zistíme, aká časť dovezených melónov je číslo 80. Aby sme to urobili, berieme ako jednotku celkový počet dovezených melónov a odpočítame od neho počet melónov, ktoré sa nám podarilo predať (predať):

A tak sme sa dozvedeli, že z celkového počtu prinesených melónov je 80 melónov. Teraz zistíme, koľko melónov z celkového množstva je, a potom koľko melónov je (počet prinesených melónov):

2) 80:4 15 = 300 (vodové melóny)

odpoveď: celkovo bolo do predajne privezených 300 melónov.

Pohodlné a jednoduché online kalkulačka zlomky s podrobným riešením možno:

• Sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie zlomkov online,
• Prijať riešenie na kľúč zlomky s obrázkom a je vhodné ho preniesť.



Výsledok riešenia zlomkov bude tu ...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Znak zlomku "/" + - * :
_wipe Clear
Naša online kalkulačka zlomkov má rýchly vstup. Ak chcete získať napríklad riešenie zlomkov, stačí napísať 1/2+2/7 do kalkulačky a stlačte tlačidlo " riešiť zlomky". Napíše vám kalkulačka podrobné riešenie zlomky a vydať obrázok vhodný pre kopírovanie.

Znaky používané na písanie v kalkulačke

Príklad riešenia môžete zadať z klávesnice aj pomocou tlačidiel.

Funkcie online kalkulačky zlomkov

Počítadlo zlomkov dokáže vykonávať operácie iba s 2 jednoduchými zlomkami. Môžu byť správne (čitateľ je menší ako menovateľ) alebo nesprávne (čitateľ je väčší ako menovateľ). Čísla v čitateli a menovateli nemôžu byť záporné a väčšie ako 999.
Naša online kalkulačka rieši zlomky a prináša odpoveď správna forma- v prípade potreby zmenší zlomok a zvýrazní celú časť.

Ak potrebujete vyriešiť záporné zlomky, stačí použiť mínusové vlastnosti. Pri násobení a delení záporných zlomkov mínus mínus dáva plus. To znamená, že súčin a delenie záporných zlomkov sa rovná súčinu a deleniu tých istých kladných. Ak je jeden zlomok pri násobení alebo delení záporný, jednoducho odstráňte mínus a potom ho pridajte k odpovedi. Pri pridávaní záporných zlomkov bude výsledok rovnaký, ako keby ste pridali rovnaké kladné zlomky. Ak pridáte jeden záporný zlomok, je to rovnaké ako odčítanie rovnakého kladného zlomku.
Pri odčítaní záporných zlomkov bude výsledok rovnaký, ako keby boli obrátené a kladné. To je mínus po mínuse tento prípad dáva plus a súčet sa nemení od preskupenia podmienok. Rovnaké pravidlá používame pri odčítaní zlomkov, z ktorých jeden je záporný.

Ak chcete vyriešiť zmiešané zlomky (zlomky, v ktorých je zvýraznená celá časť), jednoducho vložte celú časť do zlomku. Ak to chcete urobiť, vynásobte časť celého čísla menovateľom a pridajte do čitateľa.

Ak potrebujete vyriešiť 3 alebo viac zlomkov online, mali by ste ich vyriešiť jeden po druhom. Najprv spočítajte prvé 2 zlomky, potom vyriešte ďalší zlomok s prijatou odpoveďou atď. Vykonajte operácie postupne pre 2 zlomky a nakoniec dostanete správnu odpoveď.

Akcie so zlomkami.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Takže, čo sú zlomky, typy zlomkov, transformácie - zapamätali sme si. Poďme sa zaoberať hlavnou otázkou.

Čo môžete robiť so zlomkami?Áno, všetko je ako pri bežných číslach. Sčítajte, odčítajte, násobte, delte.

Všetky tieto akcie s desiatkový operácie so zlomkami sa nelíšia od operácií s celými číslami. V skutočnosti sú na to dobré, desiatkové. Jediná vec je, že musíte správne zadať čiarku.

zmiešané čísla , ako som povedal, sú pre väčšinu akcií málo užitočné. Stále ich treba previesť na obyčajné zlomky.

A tu sú akcie s obyčajné zlomky bude múdrejší. A oveľa dôležitejšie! Dovoľte mi pripomenúť vám: všetky akcie so zlomkovými výrazmi s písmenami, sínusmi, neznámymi atď. a tak ďalej sa nelíšia od akcií s obyčajnými zlomkami! Operácie s obyčajnými zlomkami sú základom celej algebry. Z tohto dôvodu tu budeme celú túto aritmetiku veľmi podrobne analyzovať.

Sčítanie a odčítanie zlomkov.

Každý môže sčítať (odčítať) zlomky s rovnakými menovateľmi (naozaj dúfam!). No, dovoľte mi pripomenúť, že som úplne zábudlivý: pri pridávaní (odčítaní) sa menovateľ nemení. Čitatelia sa sčítajú (odčítajú), čím sa získa čitateľ výsledku. Typ:

Stručne povedané, všeobecne:

Čo ak sú menovatelia odlišní? Potom pomocou hlavnej vlastnosti zlomku (tu sa to opäť hodilo!) urobíme menovateľov rovnakých! Napríklad:

Tu sme museli zo zlomku 2/5 urobiť zlomok 4/10. Len preto, aby boli menovatele rovnaké. Podotýkam, pre každý prípad, že 2/5 a 4/10 sú rovnaký zlomok! Len 2/5 sú pre nás nepríjemné a 4/10 dokonca nič.

Mimochodom, toto je podstata riešenia akýchkoľvek úloh v matematike. Keď sme vonku nepríjemné výrazy áno to isté, ale pohodlnejšie na riešenie.

Ďalší príklad:

Situácia je podobná. Tu urobíme 48 zo 16. Jednoduchým násobením na 3. Toto je všetko jasné. Ale tu narazíme na niečo ako:

Ako byť?! Zo sedmičky je ťažké urobiť deviatku! Ale my sme múdri, poznáme pravidlá! Poďme sa transformovať každý zlomok tak, aby menovatele boli rovnaké. Toto sa nazýva „redukovať na spoločného menovateľa“:

Ako! Ako som vedel o 63? Veľmi jednoduché! 63 je číslo, ktoré je zároveň rovnomerne deliteľné 7 a 9. Takéto číslo sa dá vždy získať vynásobením menovateľov. Ak nejaké číslo vynásobíme napríklad 7, tak výsledok určite vydelíme 7!

Ak potrebujete sčítať (odčítať) niekoľko zlomkov, nie je potrebné to robiť vo dvojiciach, krok za krokom. Musíte len nájsť menovateľa, ktorý je spoločný pre všetky zlomky, a priviesť každý zlomok k rovnakému menovateľovi. Napríklad:

A čo bude spoločným menovateľom? Môžete, samozrejme, vynásobiť 2, 4, 8 a 16. Dostaneme 1024. Nočná mora. Jednoduchšie je odhadnúť, že číslo 16 je dokonale deliteľné 2, 4 a 8. Preto je ľahké z týchto čísel dostať 16. Toto číslo bude spoločným menovateľom. Premeníme 1/2 na 8/16, 3/4 na 12/16 atď.

Mimochodom, ak zoberieme 1024 ako spoločného menovateľa, tiež všetko vyjde, nakoniec sa všetko zníži. Len nie každý sa dostane k tomuto cieľu, kvôli výpočtom ...

Vyriešte príklad sami. Nie logaritmus... Malo by to byť 29/16.

Takže so sčítaním (odčítaním) zlomkov je to dúfam jasné? Samozrejme, ľahšie sa pracuje v skrátenej verzii, s ďalšími násobičmi. Ale toto potešenie je k dispozícii tým, ktorí poctivo pracovali v nižších ročníkoch ... A na nič nezabudli.

A teraz urobíme rovnaké akcie, ale nie so zlomkami, ale s zlomkové výrazy. Nové hrable sa tu nájdu, áno ...

Musíme teda pridať dva zlomkové výrazy:

Musíme urobiť menovateľov rovnakých. A len s pomocou násobenie! Takže hlavná vlastnosť zlomku hovorí. Preto nemôžem pridať jednotku ku x v prvom zlomku v menovateli. (Ale to by bolo pekné!). Ale ak vynásobíte menovateľov, uvidíte, že všetko porastie! Zapíšeme si teda riadok zlomku, navrchu necháme prázdne miesto, potom ho pridáme a napíšeme súčin menovateľov nižšie, aby sme nezabudli:

A, samozrejme, na pravej strane nič nenásobíme, neotvárame zátvorky! A teraz, keď sa pozrieme na spoločného menovateľa pravej strany, myslíme si: aby sme dostali menovateľ x (x + 1) v prvom zlomku, musíme vynásobiť čitateľa a menovateľa tohto zlomku (x + 1) . A v druhom zlomku - x. Získate toto:

Poznámka! Tu sú zátvorky! Toto sú hrable, na ktoré mnohí šliapu. Nie zátvorky, samozrejme, ale ich absencia. Zátvorky sa objavujú, pretože sa množíme celáčitateľ a celá menovateľ! A nie ich jednotlivé kusy...

Do čitateľa pravej strany napíšeme súčet čitateľov, všetko je ako v číselných zlomkoch, potom otvoríme zátvorky v čitateli pravej strany, t.j. všetko rozmnož a daj like. Netreba otvárať zátvorky v menovateľoch, netreba niečo násobiť! Vo všeobecnosti je v menovateloch (akýchkoľvek) produkt vždy príjemnejší! Dostaneme:

Tu sme dostali odpoveď. Tento proces sa zdá byť dlhý a náročný, ale závisí od praxe. Vyriešte príklady, zvyknite si na to, všetko sa zjednoduší. Tí, ktorí zvládli zlomky v určenom čase, urobte všetky tieto operácie jednou rukou na stroji!

A ešte jedna poznámka. Mnohí sa skvele zaoberajú zlomkami, ale držte sa príkladov celýčísla. Typ: 2 + 1/2 + 3/4= ? Kde upevniť dvojku? Netreba sa nikde pripevňovať, z dvojky treba spraviť zlomok. Nie je to ľahké, je to veľmi jednoduché! 2 = 2/1. Páči sa ti to. Akékoľvek celé číslo možno zapísať ako zlomok. Čitateľ je samotné číslo, menovateľ je jedna. 7 je 7/1, 3 je 3/1 a tak ďalej. Rovnako je to aj s písmenami. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 atď. A potom s týmito zlomkami pracujeme podľa všetkých pravidiel.

No a pri sčítaní - odčítaní zlomkov sa vedomosti osviežili. Premeny zlomkov z jedného typu na druhý – opakované. Môžete tiež skontrolovať. Urovnáme sa trochu?)

Vypočítať:

Odpovede (v neporiadku):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Násobenie / delenie zlomkov - v ďalšej lekcii. K dispozícii sú aj úlohy pre všetky akcie so zlomkami.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Tento článok sa zaoberá operáciami so zlomkami. Vytvoria sa a zarovnajú sa pravidlá pre sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie alebo umocňovanie zlomkov tvaru A B, kde A a B môžu byť čísla, číselné výrazy alebo výrazy s premennými. Na záver sa zvážia príklady riešení s podrobným popisom.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pravidlá pre vykonávanie operácií s číselnými zlomkami všeobecného tvaru

Číselné zlomky všeobecný pohľad majú čitateľa a menovateľa, ktoré obsahujú celé čísla alebo číselné výrazy. Ak vezmeme do úvahy také zlomky ako 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + π , 2 0 , 5 ln 3 , potom je zrejmé, že čitateľ a menovateľ môže mať nielen čísla, ale aj vyjadrenia iného plánu.

Definícia 1

Existujú pravidlá, podľa ktorých sa akcie vykonávajú s obyčajnými zlomkami. Je vhodný aj pre zlomky všeobecného tvaru:

• Pri odčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi sa pridávajú iba čitatelia a menovateľ zostáva rovnaký, konkrétne: a d ± c d \u003d a ± c d, hodnoty a, c a d ≠ 0 sú nejaké čísla alebo číselné výrazy.
• Pri pridávaní alebo odčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi je potrebné znížiť na spoločný a potom pridať alebo odčítať výsledné zlomky s rovnakými ukazovateľmi. Doslova to vyzerá takto a b ± c d = a p ± c r s , kde hodnoty a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 sú reálne čísla a b p = d r = s. Keď p = d a r = b, potom a b ± c d = a d ± c d b d.
• Pri násobení zlomkov sa vykoná akcia s čitateľmi, po ktorej s menovateľmi dostaneme a b c d \u003d a c b d, kde a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 pôsobia ako reálne čísla.
• Pri delení zlomku zlomkom vynásobíme prvý druhým prevráteným, to znamená, že vymeníme čitateľa a menovateľa: a b: c d \u003d a b d c.

Zdôvodnenie pravidiel

Definícia 2

Existujú nasledujúce matematické body, na ktoré by ste sa mali pri výpočte spoliehať:

• zlomková čiara znamená deliaci znak;
• delenie číslom sa považuje za násobenie jeho recipročným;
• aplikácia vlastnosti akcií s reálnymi číslami;
• aplikácia základnej vlastnosti zlomku a číselných nerovností.

S ich pomocou môžete vykonávať transformácie formulára:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

Príklady

V predchádzajúcom odseku bolo povedané o akciách so zlomkami. Po tomto je potrebné zlomok zjednodušiť. Táto téma bola podrobne diskutovaná v časti o prevode zlomkov.

Najprv zvážte príklad sčítania a odčítania zlomkov s rovnakým menovateľom.

Príklad 1

Dané zlomky 8 2 , 7 a 1 2 , 7 , potom podľa pravidla treba doplniť čitateľa a prepísať menovateľa.

Riešenie

Potom dostaneme zlomok tvaru 8 + 1 2 , 7 . Po vykonaní sčítania dostaneme zlomok tvaru 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Takže 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

odpoveď: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Existuje aj iný spôsob riešenia. Na začiatok sa vykoná prechod do formy obyčajného zlomku, po ktorom vykonáme zjednodušenie. Vyzerá to takto:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Príklad 2

Odčítajme od 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 zlomky tvaru 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

Keďže sú dané rovnaké menovatele, znamená to, že počítame zlomok s rovnakým menovateľom. Chápeme to

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Existujú príklady výpočtu zlomkov s rôznych menovateľov. Dôležitým bodom je redukcia na spoločného menovateľa. Bez toho sa nám to nepodarí ďalšie akcie so zlomkami.

Proces vzdialene pripomína redukciu na spoločného menovateľa. To znamená, že sa hľadá najmenší spoločný deliteľ v menovateli a potom sa chýbajúce faktory pridajú k zlomkom.

Ak pridané frakcie nemajú žiadne spoločné faktory, ich produkt sa môže stať jedným.

Príklad 3

Zoberme si príklad sčítania zlomkov 2 3 5 + 1 a 1 2 .

Riešenie

V tomto prípade je spoločný menovateľ súčinom menovateľov. Potom dostaneme, že 2 · 3 5 + 1 . Potom pri nastavovaní ďalších faktorov máme, že k prvému zlomku sa rovná 2 a k druhému 3 5 + 1. Po vynásobení sa zlomky zredukujú na tvar 4 2 3 5 + 1. Všeobecné obsadenie 1 2 bude 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Pridáme výsledné zlomkové výrazy a dostaneme to

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

odpoveď: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Keď máme čo do činenia so zlomkami všeobecného tvaru, potom ten najmenší spoločný menovateľ zvyčajne neplatí. Je nerentabilné brať ako menovateľ súčin čitateľov. Najprv musíte skontrolovať, či existuje číslo, ktoré má nižšiu hodnotu ako ich produkt.

Príklad 4

Uvažujme o príklade 1 6 2 1 5 a 1 4 2 3 5, keď sa ich súčin rovná 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . Potom vezmeme 12 · 2 3 5 ako spoločného menovateľa.

Zvážte príklady násobenia zlomkov všeobecného tvaru.

Príklad 5

Na tento účel je potrebné vynásobiť 2 + 1 6 a 2 · 5 3 · 2 + 1.

Riešenie

Podľa pravidla je potrebné prepísať a zapísať ako menovateľ súčin čitateľov. Dostaneme, že 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Keď sa zlomok vynásobí, možno ho znížiť, aby sa zjednodušil. Potom 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

Použitie pravidla prechodu od delenia k násobeniu podľa recipročné, dostaneme prevrátenú hodnotu daného. Na tento účel sa čitateľ a menovateľ obrátia. Pozrime sa na príklad:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Potom musia vykonať násobenie a zjednodušiť výsledný zlomok. V prípade potreby sa zbavte iracionality v menovateli. Chápeme to

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

odpoveď: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Tento odsek je použiteľný, keď číslo alebo číselný výraz možno reprezentovať ako zlomok s menovateľom rovným 1, potom sa operácia s takýmto zlomkom považuje za samostatný odsek. Napríklad výraz 1 6 7 4 - 1 3 ukazuje, že koreň 3 možno nahradiť iným výrazom 3 1. Potom bude tento záznam vyzerať ako násobenie dvoch zlomkov tvaru 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 .

Vykonanie akcie so zlomkami obsahujúcimi premenné

Pravidlá opísané v prvom článku sú použiteľné pre operácie so zlomkami obsahujúcimi premenné. Zvážte pravidlo odčítania, keď sú menovatelia rovnaké.

Je potrebné dokázať, že A , C a D (D sa nerovná nule) môžu byť ľubovoľné výrazy a rovnosť A D ± C D = A ± C D je ekvivalentná rozsahu platných hodnôt.

Je potrebné vziať množinu premenných ODZ. Potom A, C, D musia nadobudnúť zodpovedajúce hodnoty a 0, c 0 a d0. Substitúciou tvaru A D ± CD D vznikne rozdiel tvaru a 0 d 0 ± c 0 d 0 , kde podľa pravidla sčítania dostaneme vzorec tvaru a 0 ± c 0 d 0 . Ak dosadíme výraz A ± CD D , dostaneme rovnaký zlomok tvaru a 0 ± c 0 d 0 . Z toho usudzujeme, že zvolená hodnota, ktorá spĺňa ODZ, A ± CD a AD ± CD sa považujú za rovnaké.

Pre akúkoľvek hodnotu premenných sa tieto výrazy budú rovnať, to znamená, že sa nazývajú identicky rovnaké. To znamená, že tento výraz sa považuje za dokázateľnú rovnosť tvaru A D ± C D = A ± CD D .

Príklady sčítania a odčítania zlomkov s premennými

V prípade rovnakých menovateľov je potrebné iba pripočítať alebo odčítať čitateľa. Tento zlomok sa dá zjednodušiť. Niekedy musíte pracovať so zlomkami, ktoré sú identicky rovnaké, ale na prvý pohľad to nie je viditeľné, pretože je potrebné vykonať určité transformácie. Napríklad x 2 3 x 1 3 + 1 a x 1 3 + 1 2 alebo 1 2 sin 2 α a sin a cos a. Najčastejšie sa vyžaduje zjednodušenie pôvodného výrazu, aby sa zobrazili rovnaké menovatele.

Príklad 6

Vypočítajte: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2), x - 1 x - 1 + x x + 1.

Riešenie

1. Ak chcete vykonať výpočet, musíte odpočítať zlomky, ktoré majú rovnaký menovateľ. Potom dostaneme, že x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Potom môžete otvoriť zátvorky s redukciou podobných výrazov. Dostaneme, že x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Keďže menovatele sú rovnaké, ostáva už len sčítať čitatelia a ponechať menovateľ: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Doplnenie bolo dokončené. Je vidieť, že zlomok sa môže znížiť. Jeho čitateľ sa dá zložiť pomocou štvorcového vzorca, potom dostaneme (l g x + 2) 2 zo skrátených vzorcov násobenia. Potom to dostaneme
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Dané zlomky tvaru x - 1 x - 1 + x x + 1 s rôznymi menovateľmi. Po transformácii môžete pristúpiť k pridávaniu.

Uvažujme o obojsmernom riešení.

Prvý spôsob spočíva v tom, že menovateľ prvého zlomku sa podrobí rozkladu pomocou druhých mocnín as jeho následnou redukciou. Dostaneme zlomok formy

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Takže x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

V tomto prípade je potrebné zbaviť sa iracionality v menovateli.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Druhým spôsobom je vynásobenie čitateľa a menovateľa druhého zlomku x-1. Tým sa zbavíme iracionality a pristúpime k sčítaniu zlomku s rovnakým menovateľom. Potom

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

odpoveď: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

V poslednom príklade sme zistili, že redukcia na spoločného menovateľa je nevyhnutná. Aby ste to dosiahli, musíte zjednodušiť zlomky. Na sčítanie alebo odčítanie je vždy potrebné hľadať spoločného menovateľa, ktorý vyzerá ako súčin menovateľov s pridaním ďalších faktorov k čitateľom.

Príklad 7

Vypočítajte hodnoty zlomkov: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Riešenie

1. Menovateľ nevyžaduje žiadne zložité výpočty, preto je potrebné zvoliť ich súčin v tvare 3 x 7 + 2 2, potom sa k prvému zlomku vyberie ako dodatočný faktor x 7 + 2 2 a k druhému 3. Pri násobení dostaneme zlomok tvaru x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Je vidieť, že menovatele sú prezentované ako súčin, čo znamená, že ďalšie transformácie nie sú potrebné. Spoločným menovateľom bude súčin tvaru x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Odtiaľ x 4 je dodatočný faktor k prvému zlomku a ln (x + 1) do druhého. Potom odčítame a dostaneme:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - hriech x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - hriech x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - hriech x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - hriech x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) )
3. Tento príklad dáva zmysel pri práci s menovateľmi zlomkov. Je potrebné použiť vzorce pre rozdiel druhých mocnín a štvorcov súčtu, pretože umožnia prejsť na výraz v tvare 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2. Je vidieť, že zlomky sú zredukované na spoločného menovateľa. Dostaneme, že cos x - x cos x + x 2 .

Potom to dostaneme

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

odpoveď:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - hriech x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - hriech x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .

Príklady násobenia zlomkov s premennými

Pri násobení zlomkov sa čitateľ násobí čitateľom a menovateľ menovateľom. Potom môžete použiť vlastnosť zmenšenia.

Príklad 8

Vynásobte zlomky x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 a 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

Riešenie

Musíte urobiť násobenie. Chápeme to

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 hriech (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 hriech (2 x - x)

Číslo 3 sa pre uľahčenie výpočtov prenesie na prvé miesto a zlomok môžete znížiť o x 2, potom dostaneme výraz tvaru

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 hriech (2 x - x)

odpoveď: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 hriechy (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 hriech (2 x - x).

divízie

Delenie zlomkov je podobné ako násobenie, keďže prvý zlomok sa násobí druhým prevráteným. Ak vezmeme napríklad zlomok x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 a vydelíme 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, potom to možno zapísať ako

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , potom nahraďte produktom v tvare x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 hriechy (2 x - x)

Umocňovanie

Prejdime k uvažovaniu o akcii so zlomkami všeobecného tvaru s umocnením. Ak máte titul prirodzený indikátor, potom sa akcia považuje za násobenie rovnakých zlomkov. Odporúča sa však použiť všeobecný prístup založený na vlastnostiach právomocí. Akékoľvek výrazy A a C, kde C nie je zhodne rovné nule a akékoľvek reálne r na ODZ pre výraz tvaru A C r, platí rovnosť A C r = A r C r. Výsledkom je zlomok umocnený na mocninu. Zvážte napríklad:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

Poradie operácií so zlomkami

Akcie na zlomkoch sa vykonávajú podľa určitých pravidiel. V praxi si všimneme, že výraz môže obsahovať niekoľko zlomkov alebo zlomkových výrazov. Potom je potrebné vykonať všetky akcie v prísnom poradí: zvýšiť na moc, vynásobiť, rozdeliť, potom pridať a odčítať. Ak existujú zátvorky, prvá akcia sa vykoná v nich.

Príklad 9

Vypočítajte 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Riešenie

Keďže máme rovnaký menovateľ, potom 1 - x cos x a 1 c o s x , ale nie je možné odčítať podľa pravidla, najskôr sa vykonajú akcie v zátvorkách, potom násobenie a potom sčítanie. Potom pri výpočte dostaneme to

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Pri dosadení výrazu do pôvodného dostaneme, že 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Pri násobení zlomkov máme: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . Po vykonaní všetkých substitúcií dostaneme 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Teraz musíte pracovať so zlomkami, ktoré majú rôznych menovateľov. Dostaneme:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

odpoveď: 1 - x cos x - 1 cos x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Obsah lekcie

Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi

Pridávanie zlomkov je dvoch typov:

1. Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Začnime sčítavaním zlomkov s rovnakými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa nezmenený. Sčítajme napríklad zlomky a . Pridáme čitateľov a menovateľa necháme nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak k pizzi pridáte pizzu, získate pizzu:

Príklad 2 Pridajte zlomky a .

Odpoveď sa ukázala nie správny zlomok. Ak príde koniec úlohy, je zvykom zbaviť sa nesprávnych zlomkov. Aby ste sa zbavili nesprávnej frakcie, musíte v nej vybrať celú časť. V našom prípade je celá časť pridelená ľahko - dve delené dvoma sa rovnajú jednej:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na dve časti. Ak k pizzi pridáte viac pizze, získate jednu celú pizzu:

Príklad 3. Pridajte zlomky a .

Opäť pridajte čitateľov a ponechajte menovateľa nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak k pizzi pridáte viac pizze, získate pizzu:

Príklad 4 Nájdite hodnotu výrazu

Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Čitatelia sa musia pridať a menovateľ ponechať nezmenený:

Pokúsme sa znázorniť naše riešenie pomocou obrázka. Ak pridáte pizzu na pizzu a pridáte ďalšie pizze, získate 1 celú a viac pizze.

Ako vidíte, pridávanie zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je ťažké. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:

1. Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa nezmenený;

Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Teraz sa naučíme, ako sčítať zlomky s rôznymi menovateľmi. Pri sčítaní zlomkov musia byť menovatelia týchto zlomkov rovnaké. Ale nie sú vždy rovnaké.

Napríklad zlomky možno sčítať, pretože majú rovnakých menovateľov.

Zlomky však nemožno sčítať naraz, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.

Existuje niekoľko spôsobov, ako znížiť zlomky na rovnakého menovateľa. Dnes zvážime iba jednu z nich, pretože ostatné metódy sa môžu zdať pre začiatočníka komplikované.

Podstata tejto metódy spočíva v tom, že sa najprv hľadajú (LCM) menovatele oboch zlomkov. Potom sa LCM vydelí menovateľom prvého zlomku a získa sa prvý dodatočný faktor. To isté urobia s druhým zlomkom - NOC sa vydelí menovateľom druhého zlomku a získa sa druhý dodatočný faktor.

Potom sa čitatelia a menovatelia zlomkov vynásobia ich ďalšími faktormi. V dôsledku týchto akcií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, zmenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať.

Príklad 1. Pridajte frakcie a

V prvom rade nájdeme najmenší spoločný násobok menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 6

LCM (2 a 3) = 6

Teraz späť k zlomkom a . Najprv vydelíme LCM menovateľom prvého zlomku a získame prvý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Ak vydelíme 6 3, dostaneme 2.

Výsledné číslo 2 je prvým dodatočným faktorom. Zapisujeme to na prvý zlomok. Za týmto účelom urobíme malú šikmú čiaru nad zlomkom a nad ním zapíšeme nájdený dodatočný faktor:

To isté robíme s druhým zlomkom. LCM vydelíme menovateľom druhého zlomku a dostaneme druhý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Ak vydelíme 6 2, dostaneme 3.

Výsledné číslo 3 je druhým dodatočným faktorom. Napíšeme to na druhý zlomok. Opäť urobíme malú šikmú čiaru nad druhým zlomkom a nad ňu napíšeme nájdený ďalší faktor:

Teraz sme všetci pripravení pridať. Zostáva vynásobiť čitateľov a menovateľov zlomkov ich dodatočnými faktormi:

Pozrite sa pozorne, k čomu sme dospeli. Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať. Dokončite tento príklad až do konca:

Tým sa príklad končí. Ak chcete pridať, ukazuje sa.

Pokúsme sa znázorniť naše riešenie pomocou obrázka. Ak k pizzi pridáte pizzu, získate jednu celú pizzu a ďalšiu šestinu pizze:

Redukciu zlomkov na rovnaký (spoločný) menovateľ možno znázorniť aj pomocou obrázka. Privedením zlomkov a do spoločného menovateľa dostaneme zlomky a . Tieto dve frakcie budú reprezentované rovnakými plátkami pizze. Jediný rozdiel bude v tom, že tentoraz budú rozdelené na rovnaké podiely (redukované na rovnakého menovateľa).

Prvý obrázok ukazuje zlomok (štyri kusy zo šiestich) a druhý obrázok zobrazuje zlomok (tri kusy zo šiestich). Zložením týchto kúskov dostaneme (sedem kúskov zo šiestich). Tento zlomok je nesprávny, preto sme v ňom zvýraznili celočíselnú časť. Výsledok bol (jedna celá pizza a ďalšia šiesta pizza).

Všimnite si, že sme vymaľovali uvedený príklad príliš podrobné. AT vzdelávacie inštitúcie nie je zvykom písať tak podrobne. Musíte byť schopní rýchlo nájsť LCM oboch menovateľov a ďalších faktorov k nim, ako aj rýchlo znásobiť dodatočné faktory nájdené vašimi čitateľmi a menovateľmi. V škole by sme tento príklad museli napísať takto:

Je tu však aj druhá strana mince. Ak sa v prvých fázach štúdia matematiky nerobia podrobné poznámky, potom otázky tohto druhu "Odkiaľ pochádza to číslo?", "Prečo sa zlomky zrazu zmenia na úplne iné zlomky? «.

Na uľahčenie pridávania zlomkov s rôznymi menovateľmi môžete použiť nasledujúce podrobné pokyny:

1. Nájdite LCM menovateľov zlomkov;
2. Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte ďalší násobiteľ pre každý zlomok;
3. Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov ich ďalšími faktormi;
4. Pridajte zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov;
5. Ak by odpoveď dopadla nesprávny zlomok, potom vyberte jeho celú časť;

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu .

Využime vyššie uvedené pokyny.

Krok 1. Nájdite LCM menovateľov zlomkov

Nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľmi zlomkov sú čísla 2, 3 a 4

Krok 2. Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte ďalší multiplikátor pre každý zlomok

Vydeľte LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 2. Vydelíme 12 2, dostaneme 6. Získame prvý dodatočný faktor 6. Napíšeme ho cez prvý zlomok:

Teraz delíme LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. 12 vydelíme 3, dostaneme 4. Získame druhý dodatočný faktor 4. Napíšeme ho cez druhý zlomok:

Teraz delíme LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Získame tretí dodatočný faktor 3. Napíšeme ho cez tretí zlomok:

Krok 3. Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov vašimi ďalšími faktormi

Čitateľov a menovateľov vynásobíme našimi ďalšími faktormi:

Krok 4. Pridajte zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré majú rovnakých (spoločných) menovateľov. Zostáva pridať tieto zlomky. Sčítať:

Doplnenie sa nezmestilo na jeden riadok, preto sme zvyšný výraz presunuli na ďalší riadok. V matematike je to dovolené. Keď sa výraz nezmestí na jeden riadok, prenesie sa na ďalší riadok a na koniec prvého riadka a na začiatok je potrebné vložiť znamienko rovnosti (=). Nový riadok. Znamienko rovnosti v druhom riadku znamená, že ide o pokračovanie výrazu, ktorý bol v prvom riadku.

Krok 5. Ak sa odpoveď ukázala ako nesprávny zlomok, vyberte v nej celú časť

Naša odpoveď je nesprávny zlomok. Musíme vyčleniť celú jeho časť. Zdôrazňujeme:

Dostal som odpoveď

Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi

Existujú dva typy odčítania zlomkov:

1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Najprv sa naučme, ako odčítať zlomky s rovnakými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať rovnaký.

Napríklad nájdime hodnotu výrazu . Na vyriešenie tohto príkladu je potrebné odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a ponechať menovateľa nezmenený. Poďme to spraviť:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu.

Opäť, od čitateľa prvého zlomku, odčítajte čitateľa druhého zlomku a menovateľ ponechajte nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu

Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Od čitateľa prvého zlomku musíte odpočítať čitateľa zvyšných zlomkov:

Ako vidíte, pri odčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je nič zložité. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:

1. Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať nezmenený;
2. Ak sa ukázalo, že odpoveď je nesprávny zlomok, musíte v ňom vybrať celú časť.

Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Napríklad zlomok možno od zlomku odčítať, pretože tieto zlomky majú rovnakých menovateľov. Zlomok však nemožno od zlomku odčítať, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.

Spoločný menovateľ sa nachádza podľa rovnakého princípu, aký sme použili pri sčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi. Najprv nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Potom sa LCM vydelí menovateľom prvého zlomku a získa sa prvý dodatočný faktor, ktorý sa prepíše cez prvý zlomok. Podobne sa LCM vydelí menovateľom druhého zlomku a získa sa druhý dodatočný faktor, ktorý sa prepíše cez druhý zlomok.

Zlomky sa potom vynásobia ich dodatočnými faktormi. V dôsledku týchto operácií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, zmenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať.

Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu:

Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, takže ich musíte priviesť k rovnakému (spoločnému) menovateľovi.

Najprv nájdeme LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 12

LCM (3 a 4) = 12

Teraz späť k zlomkom a

Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. Aby sme to dosiahli, delíme LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Ak vydelíme 12 3, dostaneme 4. Štyri zapíšeme nad prvý zlomok:

To isté robíme s druhým zlomkom. LCM delíme menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Napíšte trojku cez druhý zlomok:

Teraz sme všetci pripravení na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Dokončite tento príklad až do konca:

Dostal som odpoveď

Pokúsme sa znázorniť naše riešenie pomocou obrázka. Ak z pizze nakrájate pizzu, dostanete pizzu.

Toto je podrobná verzia riešenia. Byť v škole, museli by sme tento príklad riešiť kratšie. Takéto riešenie by vyzeralo takto:

Redukciu zlomkov a na spoločného menovateľa možno znázorniť aj pomocou obrázka. Privedením týchto zlomkov do spoločného menovateľa dostaneme zlomky a . Tieto zlomky budú reprezentované rovnakými plátkami pizze, ale tentoraz budú rozdelené na rovnaké zlomky (redukované na rovnakého menovateľa):

Prvý nákres ukazuje zlomok (osem kusov z dvanástich) a druhý obrázok ukazuje zlomok (tri kusy z dvanástich). Odrezaním troch kusov z ôsmich kusov dostaneme päť kusov z dvanástich. Zlomok popisuje týchto päť kusov.

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu

Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, takže ich najprv musíte priviesť k rovnakému (spoločnému) menovateľovi.

Nájdite LCM menovateľov týchto zlomkov.

Menovateľmi zlomkov sú čísla 10, 3 a 5. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 30

LCM(10,3,5) = 30

Teraz nájdeme ďalšie faktory pre každý zlomok. Aby sme to dosiahli, delíme LCM menovateľom každého zlomku.

Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. LCM je číslo 30 a menovateľom prvého zlomku je číslo 10. Vydelením 30 10 dostaneme prvý dodatočný faktor 3. Napíšeme ho cez prvý zlomok:

Teraz nájdeme ďalší faktor pre druhý zlomok. Vydeľte LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. Vydelením 30 číslom 3 dostaneme druhý dodatočný faktor 10. Napíšeme ho cez druhý zlomok:

Teraz nájdeme ďalší faktor pre tretí zlomok. Vydeľte LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 5. Vydelením 30 číslom 5 dostaneme tretí dodatočný faktor 6. Napíšeme ho cez tretí zlomok:

Teraz je všetko pripravené na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré majú rovnakých (spoločných) menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Dokončime tento príklad.

Pokračovanie príkladu sa nezmestí na jeden riadok, preto posunieme pokračovanie na ďalší riadok. Nezabudnite na znamienko rovnosti (=) v novom riadku:

Odpoveď sa ukázala ako správny zlomok a zdá sa, že nám všetko vyhovuje, ale je príliš ťažkopádna a škaredá. Mali by sme to uľahčiť. Čo sa dá robiť? Tento zlomok môžete znížiť.

Ak chcete zlomok zmenšiť, musíte vydeliť jeho čitateľa a menovateľa (gcd) číslami 20 a 30.

Nájdeme teda GCD čísel 20 a 30:

Teraz sa vrátime k nášmu príkladu a vydelíme čitateľa a menovateľa zlomku nájdeným GCD, to znamená 10

Dostal som odpoveď

Násobenie zlomku číslom

Ak chcete vynásobiť zlomok číslom, musíte vynásobiť čitateľa daného zlomku týmto číslom a menovateľa ponechať rovnaký.

Príklad 1. Vynásobte zlomok číslom 1.

Vynásobte čitateľa zlomku číslom 1

Vstup je možné chápať tak, že zaberie polovičný 1 čas. Napríklad, ak si dáte pizzu 1 krát, dostanete pizzu

Zo zákonov násobenia vieme, že ak dôjde k zámene násobiteľa a násobiteľa, súčin sa nezmení. Ak je výraz napísaný ako , potom sa súčin bude stále rovnať . Opäť platí pravidlo pre násobenie celého čísla a zlomku:

Tento zápis možno chápať ako odber polovice jednotky. Napríklad, ak je 1 celá pizza a vezmeme si polovicu z nej, potom budeme mať pizzu:

Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa zlomku číslom 4

Odpoveď je nesprávny zlomok. Zoberme si z toho celú časť:

Výraz možno chápať ako brať dve štvrtiny 4 krát. Napríklad, ak si vezmete pizzu 4-krát, dostanete dve celé pizze.

A ak miestami zameníme násobilku a násobilku, dostaneme výraz. Bude sa rovnať aj 2. Tento výraz možno chápať ako odoberanie dvoch pizze zo štyroch celých pízz:

Násobenie zlomkov

Ak chcete vynásobiť zlomky, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov. Ak je odpoveďou nesprávny zlomok, musíte v nej vybrať celú časť.

Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu.

Dostal som odpoveď. Je žiaduce znížiť daný zlomok. Zlomok môže byť znížený o 2. Potom bude mať konečné riešenie nasledujúcu formu:

Výraz možno chápať tak, že si vezmete pizzu z polovice pizze. Povedzme, že máme polovicu pizze:

Ako odobrať dve tretiny z tejto polovice? Najprv musíte rozdeliť túto polovicu na tri rovnaké časti:

A vezmite si dva z týchto troch kúskov:

Dáme si pizzu. Pamätajte si, ako vyzerá pizza rozdelená na tri časti:

Jeden plátok z tejto pizze a dva plátky, ktoré sme odobrali, budú mať rovnaké rozmery:

Inými slovami, hovoríme o rovnakej veľkosti pizze. Preto je hodnota výrazu

Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:

Odpoveď je nesprávny zlomok. Zoberme si z toho celú časť:

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:

Odpoveď sa ukázala ako správny zlomok, ale bude dobré, ak sa zníži. Ak chcete tento zlomok zmenšiť, musíte vydeliť čitateľa a menovateľa tohto zlomku najväčším spoločný deliteľ(gcd) čísla 105 a 450.

Takže nájdime GCD čísel 105 a 450:

Teraz vydelíme čitateľa a menovateľa našej odpovede na GCD, ktorú sme teraz našli, teda 15

Predstavuje celé číslo ako zlomok

Akékoľvek celé číslo môže byť vyjadrené ako zlomok. Napríklad číslo 5 môže byť reprezentované ako . Z toho päť nezmení svoj význam, pretože výraz znamená „číslo päť delené jedným“ a toto, ako viete, sa rovná piatim:

Obrátené čísla

Teraz sa zoznámime s zaujímavá téma v matematike. Hovorí sa tomu „obrátené čísla“.

Definícia. Obráťte sa na čísloa je číslo, ktoré po vynásobenía dáva jednotku.

Namiesto premennej dosadíme v tejto definícii ačíslo 5 a skúste si prečítať definíciu:

Obráťte sa na číslo 5 je číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jednotku.

Je možné nájsť číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jednotku? Ukazuje sa, že môžete. Predstavme päť ako zlomok:

Potom tento zlomok vynásobte sám, stačí vymeniť čitateľa a menovateľa. Inými slovami, vynásobme zlomok sám o sebe, len prevrátený:

Aký bude výsledok? Ak budeme pokračovať v riešení tohto príkladu, dostaneme jeden:

To znamená, že inverzná hodnota k číslu 5 je číslo, pretože keď sa 5 vynásobí jednotkou, dostaneme jednotku.

Prevrátenú hodnotu možno nájsť aj pre akékoľvek iné celé číslo.

Môžete tiež nájsť prevrátenú hodnotu pre akýkoľvek iný zlomok. K tomu ho stačí otočiť.

Delenie zlomku číslom

Povedzme, že máme polovicu pizze:

Rozdeľme to rovným dielom medzi dvoch. Koľko pizze dostane každý?

Je vidieť, že po rozdelení polovice pizze sa získali dva rovnaké kusy, z ktorých každý tvorí pizzu. Takže každý dostane pizzu.

Delenie zlomkov sa robí pomocou reciprokých. Obrátené čísla umožňujú nahradiť delenie násobením.

Ak chcete rozdeliť zlomok číslom, musíte tento zlomok vynásobiť prevrátenou hodnotou deliteľa.

Pomocou tohto pravidla si zapíšeme rozdelenie našej polovice pizze na dve časti.

Preto musíte zlomok vydeliť číslom 2. Dividenda je tu zlomok a deliteľ je 2.

Ak chcete rozdeliť zlomok číslom 2, musíte tento zlomok vynásobiť prevrátenou hodnotou deliteľa 2. Prevrátená hodnota deliteľa 2 je zlomok. Takže musíte násobiť