Vzorce na zjednodušené násobenie. Online kalkulačka. Polynómové zjednodušenie. Polynomické násobenie

Matematické výrazy (vzorce) skrátené násobenie(druhá mocnina súčtu a rozdielu, druhá mocnina súčtu a rozdielu, rozdiel druhých mocnín, súčet a rozdiel kociek) sú v mnohých oblastiach exaktných vied mimoriadne nenahraditeľné. Týchto 7 znakov je nenahraditeľných pri zjednodušovaní výrazov, riešení rovníc, násobení polynómov, redukcii zlomkov, riešení integrálov a mnoho ďalších. Bude teda veľmi užitočné zistiť, ako sa získavajú, na čo slúžia a čo je najdôležitejšie, ako si ich zapamätať a následne aplikovať. Potom aplikujte skrátené vzorce násobenia v praxi bude najťažšie zistiť, čo je X a čo majú. Je zrejmé, že neexistujú žiadne obmedzenia a a b nie, čo znamená, že to môže byť akýkoľvek číselný alebo doslovný výraz.

A tak tu sú:

najprv x 2 - o 2 = (x - y) (x + y).Kalkulovať rozdiel štvorcov dva výrazy, je potrebné vynásobiť rozdiely týchto výrazov ich súčtom.

Po druhé (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Nájsť súčet na druhú dva výrazy, musíte k druhej mocnine prvého výrazu pridať dvojnásobok súčinu prvého výrazu druhým plus druhú mocninu druhého výrazu.

Po tretie (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Kalkulovať rozdiel na druhú dva výrazy, musíte od druhej mocniny prvého výrazu odpočítať dvojnásobok súčinu prvého výrazu druhým plus druhou mocninou druhého výrazu.

Po štvrté (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 roky + 3x 2 + o 3. Kalkulovať súčet kocka dva výrazy, musíte do kocky prvého výrazu pridať trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého a druhého výrazu plus trojnásobok súčinu prvého výrazu a druhej mocniny druhého výrazu plus súčin druhej mocniny druhý výraz.

Po piate (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 roky + 3x 2 - o 3. Kalkulovať rozdielová kocka dva výrazy, je potrebné odpočítať od kocky prvého výrazu trojnásobok súčinu druhej mocniny prvého výrazu druhým plus trojnásobok súčinu prvého výrazu a druhej mocniny druhého mínus kocka druhého výrazu. výraz.

šiesty x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Kalkulovať súčet kociek dva výrazy, musíte vynásobiť súčty prvého a druhého výrazu neúplnou druhou mocninou rozdielu týchto výrazov.

siedmy x 3 - o 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2) Ak chcete urobiť výpočet kocky rozdiely dva výrazy, je potrebné vynásobiť rozdiel prvého a druhého výrazu neúplnou druhou mocninou súčtu týchto výrazov.

Nie je ťažké si zapamätať, že všetky vzorce sa používajú na výpočty v opačnom smere (sprava doľava).

Existencia týchto zákonitostí bola známa asi pred 4 tisíc rokmi. Vo veľkej miere ich využívali obyvatelia starovekého Babylonu a Egypta. Ale v tých časoch boli vyjadrené verbálne alebo geometricky a vo výpočtoch nepoužívali písmená.

Poďme analyzovať súčet štvorcový dôkaz(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Toto matematická zákonitosť dokázal staroveký grécky vedec Euklides, ktorý pôsobil v Alexandrii v 3. storočí pred Kristom, použil na to geometrickú metódu dokazovania vzorca, keďže vedci starovekej Hellasy nepoužívali na označenie čísel písmená. Všade nepoužívali „a 2“, ale „štvorec na segmente a“, nie „ab“, ale „obdĺžnik uzavretý medzi segmentmi a a b“.

>>Matematika: Znížený počet vzorcov na násobenie

Skrátené vzorce násobenia

Existuje niekoľko prípadov, keď násobenie jedného polynómu druhým vedie ku kompaktnému, ľahko zapamätateľnému výsledku. V týchto prípadoch je lepšie nenásobiť zakaždým jedenkrát polynóm na druhej strane a použite hotový výsledok. Zoberme si tieto prípady.

1. Druhá mocnina súčtu a druhá mocnina rozdielu:

Príklad 1 Otvorené zátvorky vo výraze:

a) (3x + 2)2;

b) (5a 2 - 4b 3) 2

a) Používame vzorec (1), berúc do úvahy, že úlohu a hrá 3x a úlohu b je číslo 2.
Dostaneme:

(Zx + 2) 2 = (3x) 2 + 2 Zx 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.

b) Používame vzorec (2) vzhľadom na to, že v úlohe a hovorí 5a 2 a v úlohe b hovorí 4b 3. Dostaneme:

(5a 2 - 4b 3) 2 \u003d (5a 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 \u003d 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6.

Pri používaní vzorcov na druhú mocninu súčtu alebo druhú mocninu rozdielu majte na pamäti
(-a - b) 2 \u003d (a + b) 2;
(b-a)2 = (a-b)2.

Vyplýva to zo skutočnosti, že (- a) 2 = a 2 .

Všimnite si, že niektoré matematické triky sú založené na vzorcoch (1) a (2), čo vám umožňuje robiť výpočty v hlave.

Napríklad je možné prakticky verbálne odmocniť čísla končiace na 1 a 9. Skutočne

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 \u003d (70 - I) 2 \u003d 70 2 - 2 70 1 + 1 2 \u003d 4900 - 140 + 1 \u003d 4761.

Niekedy môžete tiež rýchlo odmocniť číslo končiace na 2 alebo 8. Napríklad

102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

Najelegantnejší trik však zahŕňa umocňovanie čísel, ktoré končia 5.
Urobme zodpovedajúce odôvodnenie pre 85 2 .

Máme:

85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

Poznamenávame, že na výpočet 85 2 stačilo vynásobiť 8 číslom 9 a k získanému výsledku pripočítať vpravo 25. Podobne môžete urobiť to isté v iných prípadoch. Napríklad 35 2 \u003d 1225 (3 4 \u003d 12 a 25 sa pridalo k výslednému číslu vpravo);

652 = 4225; 1252 \u003d 15625 (k výslednému číslu vpravo sa pridalo 12 18 \u003d 156 a 25).

Keďže hovoríme o rôznych kurióznych okolnostiach spojených s nudnými (na prvý pohľad) vzorcami (1) a (2), doplníme tento rozhovor o nasledujúcu geometrickú úvahu. Nech a a b sú kladné čísla. Uvažujme štvorec so stranou a + b a v dvoch jeho rohoch vystrihnite štvorce so stranami rovnými a a b (obr. 4).

Plocha štvorca so stranou a + b je (a + b) 2. Tento štvorec sme však rozrezali na štyri časti: štvorec so stranou a (jeho plocha je a 2), štvorec so stranou b (jeho plocha je b 2), dva obdĺžniky so stranami a a b (plocha každej takejto obdĺžnik je ab). Takže (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, t.j. dostali sme vzorec (1).

Vynásobte dvojčlen a + b dvojčlenom a - b. Dostaneme:
(a + b) (a - b) \u003d a 2 - ab + ba - b 2 \u003d a 2 - b 2.
Takže

Akákoľvek rovnosť v matematike sa používa tak zľava doprava (t. j. ľavá strana rovnosti je nahradená jej pravou stranou), ako aj sprava doľava (t. j. pravá strana rovnosti je nahradená jej ľavou stranou). Ak sa vzorec C) používa zľava doprava, potom vám umožňuje nahradiť produkt (a + b) (a - b) konečným výsledkom a 2 - b 2 . Rovnaký vzorec možno použiť sprava doľava, potom umožňuje nahradiť rozdiel štvorcov a 2 - b 2 súčinom (a + b) (a - b). Vzorec (3) v matematike má špeciálny názov - rozdiel štvorcov.

Komentujte. Nezamieňajte si pojmy „rozdiel druhých mocnín“ a „rozdiel druhý mocnín“. Rozdiel štvorcov je a 2 - b 2, čo znamená, že hovoríme o vzorci (3); druhá mocnina rozdielu je (a-b) 2, hovoríme teda o vzorci (2). V bežnom jazyku sa vzorec (3) číta „sprava doľava“ takto:

rozdiel druhých mocnín dvoch čísel (výrazov) sa rovná súčinu súčtu týchto čísel (výrazov) a ich rozdielu,

Príklad 2 Vykonajte násobenie

(3x-2r)(3x+2r)
rozhodnutie. Máme:
(3x - 2 roky) (3x + 2 roky) \u003d (3x) 2 - (2 roky) 2 \u003d 9x 2 - 4 roky 2.

Príklad 3 Vyjadrite dvojčlen 16x 4 - 9 ako súčin dvojčlenov.

rozhodnutie. Máme: 16x 4 \u003d (4x 2) 2, 9 \u003d Z 2, čo znamená, že daný binom je rozdiel štvorcov, t.j. možno naň použiť vzorec (3), čítaný sprava doľava. Potom dostaneme:

16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - W 2 = (4x 2 + 3) (4x 2 - 3)

Vzorec (3), podobne ako vzorce (1) a (2), sa používa na matematické triky. Pozri:

79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.

Ukončime rozhovor o vzorci pre rozdiel štvorcov zvedavým geometrickým uvažovaním. Nech a a b sú kladné čísla, kde a > b. Uvažujme obdĺžnik so stranami a + b a a - b (obr. 5). Jeho plocha je (a + b) (a - b). Odrežte obdĺžnik so stranami b a a - b a prilepte ho k zostávajúcej časti, ako je znázornené na obrázku 6. Je zrejmé, že výsledný obrázok má rovnakú plochu, t. j. (a + b) (a - b). Ale toto číslo môže
postavte takto: zo štvorca so stranou a vystrihnite štvorec so stranou b (je to dobre vidieť na obr. 6). Takže plocha nového čísla je 2 - b 2 . Takže (a + b) (a - b) \u003d a 2 - b 2, t.j. dostali sme vzorec (3).

3. Rozdiel kociek a súčet kociek

Vynásobte dvojčlen a - b trojčlenkou a 2 + ab + b 2.
Dostaneme:
(a - b) (a 2 + ab + b 2) \u003d a a 2 + a ab + a b 2 - b a 2 - b ab -b b 2 \u003d a 3 + a 2 b + ab 2 -a 2 b- ab 2 -b 3 \u003d a 3 -b 3.

Podobne

(a + b) (a2 - ab + b2) = a3 + b3

(overte si to sami). takze

Vzorec (4) sa zvyčajne nazýva rozdiel kociek, vzorec (5) - súčet kociek. Skúsme preložiť vzorce (4) a (5) do bežného jazyka. Predtým, ako to urobíte, všimnite si, že výraz a 2 + ab + b 2 je podobný výrazu a 2 + 2ab + b 2, ktorý sa objavil vo vzorci (1) a dal (a + b) 2 ; výraz a 2 - ab + b 2 je podobný výrazu a 2 - 2ab + b 2, ktorý sa objavil vo vzorci (2) a dal (a - b) 2 .

Na rozlíšenie (v jazyku) týchto párov výrazov od seba sa každý z výrazov a 2 + 2ab + b 2 a a 2 - 2ab + b 2 nazýva dokonalý štvorec (súčet alebo rozdiel) a každý z výrazov a 2 + ab + b 2 a a 2 - ab + b 2 sa nazýva neúplný štvorec (súčet alebo rozdiel). Potom dostaneme nasledujúci preklad vzorcov (4) a (5) (čítaj „sprava doľava“) do bežného jazyka:

rozdiel kociek dvoch čísel (výrazov) sa rovná súčinu rozdielu týchto čísel (výrazov) neúplnou druhou mocninou ich súčtu; súčet kociek dvoch čísel (výrazov) sa rovná súčinu súčtu týchto čísel (výrazov) neúplnou druhou mocninou ich rozdielu.

Komentujte. Všetky vzorce (1)-(5) získané v tejto časti sa používajú zľava doprava aj sprava doľava, iba v prvom prípade (zľava doprava) hovoria, že (1)-(5) sú skrátené násobenie vzorce a v druhom prípade (sprava doľava) hovoria, že (1)-(5) sú vzorce na rozklad.

Príklad 4 Násobiť (2x-1) (4x2 + 2x+1).

rozhodnutie. Keďže prvým faktorom je rozdiel medzi monočlánkami 2x a 1 a druhým faktorom je neúplná druhá mocnina ich súčtu, možno použiť vzorec (4). Dostaneme:

(2x - 1) (4x 2 + 2x + 1) \u003d (2x) 3 - I 3 \u003d 8x 3 - 1.

Príklad 5 Vyjadrite dvojčlen 27a 6 + 8b 3 ako súčin mnohočlenov.

rozhodnutie. Máme: 27а 6 = (pre 2) 3, 8b 3 = (2b) 3 . To znamená, že daný dvojčlen je súčtom kociek, t.j. dá sa naň aplikovať vzorec 95), čítať sprava doľava. Potom dostaneme:

27a 6 + 8b 3 = (pre 2) 3 + (2b) 3 = (pre 2 + 2b) ((pre 2) 2 - pre 2 2b + (2b) 2) = (pre 2 + 2b) (9a 4 - 6a 2 b + 4b 2).

Pomôžte študentovi online, sťahovanie matematiky pre 7. ročník, kalendárno-tematické plánovanie

A. V. Pogorelov, Geometria pre ročníky 7-11, Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie

Obsah lekcie zhrnutie lekcie podpora rámcová lekcia prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Cvičte úlohy a cvičenia samovyšetrenie workshopy, školenia, prípady, questy domáce úlohy diskusia otázky rétorické otázky od študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafika, tabuľky, schémy humor, anekdoty, vtipy, komiksové podobenstvá, výroky, krížovky, citáty Doplnky abstraktyčlánky čipsy pre zvedavé jasličky učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a vyučovacích hodínoprava chýb v učebnici aktualizácia fragmentu v učebnici prvky inovácie v lekcii nahradenie zastaraných vedomostí novými Len pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok usmernenia diskusné programy Integrované lekcie

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zbierať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Nami zozbierané osobné informácie nám umožňuje kontaktovať vás a informovať vás o jedinečné ponuky, propagačné akcie a iné udalosti a nadchádzajúce udalosti.
Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Skrátené vzorce násobenia (FSU) sa používajú na umocňovanie a násobenie čísel a výrazov. Tieto vzorce vám často umožňujú robiť výpočty kompaktnejšie a rýchlejšie.

V tomto článku uvedieme hlavné vzorce pre skrátené násobenie, zoskupíme ich do tabuľky, zvážime príklady použitia týchto vzorcov a tiež sa zameriame na princípy dokazovania vzorcov na skrátené násobenie.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prvýkrát je téma FSU preberaná v rámci predmetu "Algebra" pre 7. ročník. Nižšie je uvedených 7 základných vzorcov.

Skrátené vzorce násobenia

vzorec súčtu štvorca: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
vzorec rozdielového štvorca: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
vzorec súčtu kocky: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
vzorec rozdielovej kocky: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
rozdiel štvorcov vzorca: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
vzorec pre súčet kociek: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
vzorec rozdielu kocky: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Písmená a, b, c v týchto výrazoch môžu byť ľubovoľné čísla, premenné alebo výrazy. Pre jednoduchosť používania je lepšie naučiť sa sedem základných vzorcov naspamäť. Zhrnieme ich do tabuľky a uvedieme nižšie, pričom ich zakrúžkujeme rámčekom.

Prvé štyri vzorce vám umožňujú vypočítať druhú mocninu alebo druhú mocninu súčtu alebo rozdielu dvoch výrazov.

Piaty vzorec vypočítava rozdiel druhých mocnín výrazov vynásobením ich súčtu a rozdielu.

Šiesty a siedmy vzorec sú násobením súčtu a rozdielu výrazov neúplnou druhou mocninou rozdielu a neúplnou druhou mocninou súčtu.

Skrátený vzorec násobenia sa niekedy nazýva aj skrátené identity násobenia. To nie je prekvapujúce, pretože každá rovnosť je identita.

Pri rozhodovaní praktické príkladyčasto používajú skrátené vzorce násobenia s preskupenými ľavými a pravými časťami. To je obzvlášť výhodné pri faktorizácii polynómu.

Ďalšie skrátené vzorce násobenia

Neobmedzíme sa len na kurz algebry pre 7. ročník a do našej tabuľky FSU pridáme niekoľko ďalších vzorcov.

Najprv zvážte Newtonov binomický vzorec.

a + b n = C n 0 a n + Cn 1 a n - 1 b + Cn 2 a n - 2 b2 +. . + Cnn - 1 a b n - 1 + Cn n b n

Tu Cn k sú binomické koeficienty, ktoré sú v riadku číslo n v Pascalovom trojuholníku. Binomické koeficienty sa vypočítajú podľa vzorca:

C nk = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2). . (n - (k - 1)) k !

Ako vidíte, FSU pre druhú a druhú mocninu rozdielu a súčtu je špeciálny prípad Newtonove binomické vzorce pre n=2 a n=3.

Ale čo ak sú v súčte viac ako dva termíny, ktoré majú byť povýšené na moc? Užitočný bude vzorec pre druhú mocninu súčtu troch, štyroch alebo viacerých členov.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 +. . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Ďalší vzorec, ktorý sa môže hodiť, je vzorec na rozdiel n-tých mocnín dvoch členov.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 +. . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Tento vzorec sa zvyčajne delí na dva vzorce - pre párne a nepárne stupne.

Pre párne exponenty 2 m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. . + b 2 m - 2

Pre nepárne exponenty 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. . + b 2 m

Vzorce pre rozdiel štvorcov a rozdiel kociek, uhádli ste, sú špeciálnymi prípadmi tohto vzorca pre n = 2 a n = 3. Pre rozdiel kociek sa b tiež nahrádza - b .

Ako čítať skrátené vzorce násobenia?

Ku každému vzorcu uvedieme zodpovedajúce formulácie, najskôr sa však budeme zaoberať princípom čítania vzorcov. Najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je použiť príklad. Zoberme si úplne prvý vzorec pre druhú mocninu súčtu dvoch čísel.

a + b2 = a2 + 2 a b + b2.

Hovorí sa: druhá mocnina súčtu dvoch výrazov a a b sa rovná súčtu druhej mocniny prvého výrazu, dvojnásobku súčinu výrazov a druhej mocniny druhého výrazu.

Všetky ostatné vzorce sa čítajú podobne. Pre druhý mocninový rozdiel a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 píšeme:

druhá mocnina rozdielu dvoch výrazov a a b sa rovná súčtu druhých mocnín týchto výrazov mínus dvojnásobok súčinu prvého a druhého výrazu.

Prečítajme si vzorec a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Kocka súčtu dvoch výrazov a a b sa rovná súčtu kociek týchto výrazov, trojnásobku súčinu druhej mocniny prvého a druhého výrazu a trojnásobku súčinu druhej mocniny druhého výrazu. a prvý výraz.

Pokračujeme v čítaní vzorca pre rozdiel kociek a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Kocka rozdielu dvoch výrazov a a b sa rovná tretej mocnine prvého výrazu mínus trojnásobok druhej mocniny prvého výrazu a druhého, plus trojnásobok druhej mocniny druhého výrazu a prvého výrazu mínus kocka druhého výrazu.

Piaty vzorec a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (rozdiel štvorcov) znie takto: rozdiel druhých mocnín dvoch výrazov sa rovná súčinu rozdielu a súčtu týchto dvoch výrazov.

Výrazy ako a 2 + a b + b 2 a a 2 - a b + b 2 sa pre zjednodušenie nazývajú neúplná druhá mocnina súčtu a neúplná druhá mocnina rozdielu.

S ohľadom na to sa vzorce pre súčet a rozdiel kociek čítajú takto:

Súčet kociek dvoch výrazov sa rovná súčinu súčtu týchto výrazov a neúplnej druhej mocniny ich rozdielu.

Rozdiel kociek dvoch výrazov sa rovná súčinu rozdielu týchto výrazov neúplnou druhou mocninou ich súčtu.

Dôkaz FSU

Dokázanie FSU je celkom jednoduché. Na základe vlastností násobenia vykonáme násobenie častí vzorcov v zátvorkách.

Zvážte napríklad vzorec pre druhú mocninu rozdielu.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Ak chcete zvýšiť výraz na druhú mocninu, výraz sa musí vynásobiť sám sebou.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Rozšírime zátvorky:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Vzorec bol osvedčený. Ostatné FSO sú dokázané podobne.

Príklady aplikácie FSO

Účelom používania redukovaných vzorcov na násobenie je rýchle a výstižné násobenie a umocňovanie výrazov. Toto však nie je celý rozsah pôsobnosti FSO. Široko sa používajú pri redukcii výrazov, redukcii zlomkov, faktorizácii polynómov. Uveďme si príklady.

Príklad 1. FSO

Zjednodušme výraz 9 y - (1 + 3 y) 2 .

Použite vzorec súčtu štvorcov a získajte:

9 rokov - (1 + 3 roky) 2 = 9 rokov - (1 + 6 rokov + 9 rokov 2) = 9 rokov - 1 - 6 rokov - 9 rokov 2 = 3 roky - 1 - 9 rokov 2

Príklad 2. FSO

Zmenšiť zlomok 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

Všimli sme si, že výraz v čitateli je rozdiel kociek a v menovateli - rozdiel štvorcov.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Znížime a získame:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU tiež pomáhajú vypočítať hodnoty výrazov. Hlavná vec je vedieť si všimnúť, kde použiť vzorec. Ukážme si to na príklade.

Odmocnime číslo 79. Namiesto ťažkopádnych výpočtov píšeme:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Zdalo by sa, že zložitý výpočet bol vykonaný rýchlo len s použitím skrátených vzorcov násobenia a tabuľky násobenia.

Ďalší dôležitý bod- výber druhej mocniny dvojčlenu. Výraz 4 x 2 + 4 x - 3 možno previesť na 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Takéto transformácie sú široko používané v integrácii.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter