Správne a nesprávne zlomky. Nesprávny zlomok

Obyčajné zlomky sa delia na zlomky \textit (vlastné) a \textit (nevlastné). Toto rozdelenie je založené na porovnaní čitateľa a menovateľa.

Správne zlomky

Správny zlomok volal spoločný zlomok$\frac(m)(n)$, ktorých čitateľ je menší ako menovateľ, t.j. $ m

Príklad 1

Napríklad zlomky $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ sú pravidelné , tak ako v každom z nich je čitateľ menší ako menovateľ, čo zodpovedá definícii vlastného zlomku.

Existuje definícia vlastného zlomku, ktorá je založená na porovnávaní zlomku s jednotkou.

správne, Ak ona menej ako jeden:

Príklad 2

Napríklad bežný zlomok $\frac(6)(13)$ je správny, pretože podmienka $\frac(6)(13)

Nepravé zlomky

Nesprávny zlomok je obyčajný zlomok $\frac(m)(n)$, ktorého čitateľ je väčší alebo rovný menovateľovi, t.j. $m\ge n$.

Príklad 3

Napríklad zlomky $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ sú nesprávne , teda ako v každom z nich je čitateľ väčší alebo rovný menovateľovi, čo zodpovedá definícii nevlastného zlomku.

Uveďme definíciu nevlastného zlomku, ktorá je založená na jeho porovnaní s jednotkou.

Obyčajný zlomok $\frac(m)(n)$ je nesprávne ak je rovná alebo väčšia ako jedna:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Príklad 4

Napríklad bežný zlomok $\frac(21)(4)$ je nesprávny, pretože podmienka $\frac(21)(4) >1$ je splnená;

obyčajný zlomok $\frac(8)(8)$ je nesprávny, pretože podmienka $\frac(8)(8)=1$ je splnená.

Pozrime sa podrobnejšie na koncept nesprávneho zlomku.

Vezmime si $\frac(7)(7)$ ako príklad. Hodnota tohto zlomku sa berie ako sedem častí objektu, ktorý je rozdelený na sedem rovnakých častí. Zo siedmich akcií, ktoré sú k dispozícii, teda môžete zostaviť celý predmet. Tie. nesprávny zlomok$\frac(7)(7)$ popisuje celú položku a $\frac(7)(7)=1$. Takže nie správne zlomky, ktorých čitateľ sa rovná menovateľovi, opisujú jeden celý objekt a takýto zlomok môžeme nahradiť prirodzeným číslom $1$.

$\frac(5)(2)$ -- je celkom zrejmé, že týchto päť sekundových dielov dokáže vytvoriť celé položky v hodnote $2$ (jedna celá položka vytvorí diely $2$ a na vytvorenie dvoch celých položiek potrebujete $2+2=4$ podiel) a zostáva jeden druhý podiel. To znamená, že nesprávny zlomok $\frac(5)(2)$ opisuje $2$ položky a $\frac(1)(2)$ tejto položky.

$\frac(21)(7)$ -- dvadsaťjeden sedmin môže zarobiť $3$ celé položky ($3$ položky, každá s $7$ akciami). Tie. zlomok $\frac(21)(7)$ popisuje $3$ celé čísla.

Z uvažovaných príkladov možno vyvodiť nasledujúci záver: nevlastný zlomok možno nahradiť prirodzeným číslom, ak je čitateľ úplne deliteľný menovateľom (napríklad $\frac(7)(7)=1$ a $\ frac(21)(7)=3$) , alebo súčet prirodzeného čísla a vlastného zlomku, ak čitateľ nie je deliteľný ani menovateľom (napríklad $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). Preto sa takéto zlomky nazývajú nesprávne.

Definícia 1

Proces reprezentácie nevlastného zlomku ako súčtu prirodzeného čísla a vlastného zlomku (napríklad $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) sa nazýva extrahovanie celočíselnej časti z nesprávneho zlomku.

Pri práci s nevhodnými zlomkami existuje medzi nimi úzka súvislosť a zmiešané čísla.

Nevlastný zlomok sa často píše ako zmiešané číslo, číslo, ktoré sa skladá z celého čísla a zlomkovej časti.

Ak chcete zapísať nesprávny zlomok ako zmiešané číslo, musíte rozdeliť čitateľa menovateľom so zvyškom. Kvocient bude celá časť zmiešaného čísla, zvyšok bude čitateľ zlomkovej časti a deliteľ bude menovateľ zlomkovej časti.

Príklad 5

Napíšte nevlastný zlomok $\frac(37)(12)$ ako zmiešané číslo.

rozhodnutie.

Rozdeľte čitateľa menovateľom so zvyškom:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (zvyšok\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Odpoveď.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

Ak chcete napísať zmiešané číslo ako nesprávny zlomok, musíte vynásobiť menovateľa celou časťou čísla, pridať čitateľa zlomkovej časti k výslednému súčinu a výslednú sumu zapísať do čitateľa zlomku. Menovateľ nesprávneho zlomku sa bude rovnať menovateľovi zlomkovej časti zmiešaného čísla.

Príklad 6

Napíšte zmiešané číslo $5\frac(3)(7)$ ako nesprávny zlomok.

rozhodnutie.

Odpoveď.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Sčítanie zmiešaného čísla a správneho zlomku

Pridanie zmiešaného čísla$a\frac(b)(c)$ a správny zlomok$\frac(d)(e)$ sa vykoná pridaním zlomkovej časti daného zmiešaného čísla k danému zlomku:

Príklad 7

Pridajte správny zlomok $\frac(4)(15)$ a zmiešané číslo $3\frac(2)(5)$.

rozhodnutie.

Použime vzorec na sčítanie zmiešaného čísla a správneho zlomku:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\vľavo (\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\vpravo)=3+\ left(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( pätnásť)\]

Kritériom delenia číslom \textit(5 ) možno určiť, že zlomok $\frac(10)(15)$ je redukovateľný. Vykonajte redukciu a nájdite výsledok sčítania:

Takže výsledok sčítania správneho zlomku $\frac(4)(15)$ a zmiešaného čísla $3\frac(2)(5)$ je $3\frac(2)(3)$.

odpoveď:$3\frac(2)(3)$

Pridanie zmiešaného čísla a nesprávneho zlomku

Pridanie nesprávneho zlomku a zmiešaného čísla zredukovať na súčet dvoch zmiešaných čísel, pri ktorých stačí vybrať celú časť z nesprávneho zlomku.

Príklad 8

Vypočítajte súčet zmiešaného čísla $6\frac(2)(15)$ a nesprávneho zlomku $\frac(13)(5)$.

rozhodnutie.

Najprv extrahujeme časť celého čísla z nesprávneho zlomku $\frac(13)(5)$:

odpoveď:$8\frac(11)(15)$.

Pri slove „zlomky“ mnohým nabehne husia koža. Pretože si pamätám školu a úlohy, ktoré sa riešili v matematike. Bola to povinnosť, ktorú bolo treba splniť. Čo ak však úlohy obsahujúce správne a nevlastné zlomky považujeme za hádanku? Mnoho dospelých totiž rieši digitálne a japonské krížovky. Pochopte pravidlá a to je všetko. To isté tu. Stačí sa ponoriť do teórie - a všetko zapadne na svoje miesto. A príklady sa zmenia na spôsob, ako trénovať mozog.

Aké druhy zlomkov existujú?

Začnime tým, čo to je. Zlomok je číslo, ktoré má nejaký zlomok jedna. Môže byť napísaný v dvoch formách. Prvý sa nazýva obyčajný. Teda taký, ktorý má vodorovný alebo šikmý ťah. To sa rovná deliacemu znaku.

V takomto zápise sa číslo nad pomlčkou nazýva čitateľ a pod ňou menovateľ.

Medzi obyčajnými zlomkami sa rozlišujú správne a nesprávne zlomky. V prvom prípade je čitateľ modulo vždy menší ako menovateľ. Tí nesprávni sa tak nazývajú, pretože majú opak. Hodnota správneho zlomku je vždy menšia ako jedna. Zatiaľ čo ten nesprávny je vždy väčší ako toto číslo.

Existujú aj zmiešané čísla, to znamená tie, ktoré majú celé číslo a zlomkovú časť.

Druhým typom záznamu je desiatkový. O jej samostatnom rozhovore.

Aký je rozdiel medzi nesprávnymi zlomkami a zmiešanými číslami?

V podstate nič. Ide len o iný zápis toho istého čísla. Nepravé zlomky po jednoduchých operáciách sa ľahko stanú zmiešanými číslami. A naopak.

Všetko závisí od konkrétnu situáciu. Niekedy je v úlohách vhodnejšie použiť nesprávny zlomok. A niekedy je potrebné preložiť to do zmiešaného čísla a potom sa príklad vyrieši veľmi jednoducho. Preto, čo použiť: nesprávne zlomky, zmiešané čísla - závisí od pozorovania riešiteľa úlohy.

Zmiešané číslo sa tiež porovnáva so súčtom celočíselnej časti a zlomkovej časti. Navyše, druhá je vždy menšia ako jednota.

Ako reprezentovať zmiešané číslo ako nesprávny zlomok?

Ak chcete vykonať nejakú akciu s niekoľkými číslami, ktoré sú zapísané odlišné typy, potom ich musíte urobiť rovnakými. Jednou z metód je reprezentovať čísla ako nesprávne zlomky.

Na tento účel budete musieť postupovať podľa nasledujúceho algoritmu:

• vynásobte menovateľa celou časťou;
• k výsledku pridajte hodnotu čitateľa;
• odpoveď napíšte nad riadok;
• menovateľ ponechajte rovnaký.

Tu sú príklady, ako písať nesprávne zlomky zo zmiešaných čísel:

• 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
• 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.

Ako napísať nevlastný zlomok ako zmiešané číslo?

Ďalší spôsob je opakom vyššie uvedeného. To znamená, keď sú všetky zmiešané čísla nahradené nesprávnymi zlomkami. Algoritmus akcií bude nasledujúci:

• vydeľte čitateľa menovateľom a získajte zvyšok;
• napíšte podiel na miesto celočíselnej časti zmiešaného;
• zvyšok by mal byť umiestnený nad čiarou;
• deliteľ bude menovateľ.

Príklady takejto transformácie:

76/14; 76:14 = 5 so zvyškom 6; odpoveď je 5 celých čísel a 6/14; zlomkovú časť v tomto príklade je potrebné znížiť o 2, dostanete 3/7; konečná odpoveď je 5 celých 3/7.

108/54; po delení sa získa podiel 2 bezo zvyšku; to znamená, že nie všetky nesprávne zlomky môžu byť vyjadrené ako zmiešané číslo; odpoveď je celé číslo - 2.

Ako zmeníte celé číslo na nesprávny zlomok?

Sú situácie, keď je takýto krok nevyhnutný. Ak chcete získať nesprávne zlomky s vopred určeným menovateľom, budete musieť vykonať nasledujúci algoritmus:

• vynásobte celé číslo požadovaným menovateľom;
• napíšte túto hodnotu nad riadok;
• umiestnite pod ňu menovateľa.

Najjednoduchšia možnosť je, keď sa menovateľ rovná jednej. Potom nie je potrebné množiť. Stačí napísať celé číslo, ktoré je uvedené v príklade a pod čiaru umiestniť jednotku.

Príklad: Urobte z 5 nesprávny zlomok s menovateľom 3. Po vynásobení 5 číslom 3 dostanete 15. Toto číslo bude menovateľom. Odpoveď na úlohu je zlomok: 15/3.

Dva prístupy k riešeniu úloh s rôznymi číslami

V príklade je potrebné vypočítať súčet a rozdiel, ako aj súčin a podiel dvoch čísel: 2 celé čísla 3/5 a 14/11.

V prvom prístupe zmiešané číslo bude reprezentované ako nesprávny zlomok.

Po vykonaní krokov popísaných vyššie získate nasledujúcu hodnotu: 13/5.

Aby ste zistili súčet, musíte zlomky zmenšiť na rovnakého menovateľa. 13/5 vynásobené 11 sa stane 143/55. A 14/11 po vynásobení 5 bude mať tvar: 70/55. Na výpočet súčtu stačí sčítať čitateľa: 143 a 70 a potom zapísať odpoveď s jedným menovateľom. 213/55 - tento nesprávny zlomok je odpoveďou na problém.

Pri hľadaní rozdielu sa odčítajú rovnaké čísla: 143 - 70 = 73. Odpoveď je zlomok: 73/55.

Pri vynásobení 13/5 a 14/11 nemusíte redukovať na spoločného menovateľa. Stačí vynásobiť čitateľov a menovateľov vo dvojiciach. Odpoveď bude: 182/55.

Rovnako aj s delením. Pre správne rozhodnutie musíte nahradiť delenie násobením a prevrátiť deliteľa: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.

V druhom prístupe Z nesprávneho zlomku sa stane zmiešané číslo.

Po vykonaní akcií algoritmu sa 14/11 zmení na zmiešané číslo s celou časťou 1 a zlomkovou časťou 3/11.

Pri výpočte súčtu musíte oddelene pridať celé číslo a zlomkové časti. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Konečná odpoveď je 3 celé 48/55. V prvom prístupe bol zlomok 213/55. Správnosť môžete skontrolovať prevedením na zmiešané číslo. Po vydelení 213 číslom 55 je podiel 3 a zvyšok 48. Je ľahké vidieť, že odpoveď je správna.

Pri odčítaní sa znamienko „+“ nahrádza „-“. 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Ak chcete skontrolovať odpoveď z predchádzajúceho prístupu, musíte ju previesť na zmiešané číslo: 73 je delené 55 a dostanete kvocient 1 a zvyšok 18.

Na nájdenie súčinu a kvocientu je nepohodlné používať zmiešané čísla. Tu sa vždy odporúča prejsť na nesprávne zlomky.

Tento článok je o bežné zlomky. Tu sa zoznámime s pojmom zlomok celku, čo nás privedie k definícii obyčajného zlomku. Ďalej sa zastavíme pri akceptovanom zápise obyčajných zlomkov a uvedieme príklady zlomkov, povedzme o čitateľovi a menovateľovi zlomku. Potom uvedieme definície správnych a nesprávnych, pozitívnych a negatívnych zlomkov a tiež zvážime polohu zlomkových čísel na súradnicový lúč. Na záver uvádzame hlavné akcie so zlomkami.

Navigácia na stránke.

Akcie celku

Najprv sa predstavíme zdieľať koncept.

Predpokladajme, že máme nejaký objekt zložený z niekoľkých absolútne rovnakých (teda rovnakých) častí. Pre názornosť si môžete predstaviť napríklad jablko nakrájané na niekoľko rovnakých častí alebo pomaranč pozostávajúci z niekoľkých rovnakých plátkov. Každá z týchto rovnakých častí, ktoré tvoria celý objekt, sa nazýva podiel na celku alebo jednoducho akcií.

Všimnite si, že podiely sú rôzne. Poďme si to vysvetliť. Povedzme, že máme dve jablká. Prvé jablko rozrežeme na dve rovnaké časti a druhé na 6 rovnakých častí. Je jasné, že podiel prvého jablka bude iný ako podiel druhého jablka.

V závislosti od počtu akcií, ktoré tvoria celý objekt, majú tieto akcie svoje názvy. Poďme analyzovať zdieľané mená. Ak sa predmet skladá z dvoch častí, ktorákoľvek z nich sa nazýva jedna druhá časť celého predmetu; ak sa predmet skladá z troch častí, potom sa ktorákoľvek z nich nazýva jedna tretia časť atď.

Jeden sekundový úder má špeciálny názov - polovicu. Jedna tretina je tzv tretí a jeden štvornásobok - štvrťroku.

Pre stručnosť nasledovné označenia podielov. Jeden druhý podiel je označený ako alebo 1/2, jeden tretí podiel - ako alebo 1/3; jedna štvrtina zdieľania – páči sa mi alebo 1/4 atď. Všimnite si, že zápis s vodorovnou čiarou sa používa častejšie. Na konsolidáciu materiálu uveďme ešte jeden príklad: záznam označuje stošesťdesiatsedeminu celku.

Pojem podielu sa prirodzene rozširuje od objektov k veličinám. Napríklad jednou z mier dĺžky je meter. Na meranie dĺžok menších ako meter možno použiť zlomky metra. Môžete teda použiť napríklad pol metra alebo desatinu či tisícinu metra. Podiely ostatných množstiev sa uplatňujú podobne.

Bežné zlomky, definícia a príklady zlomkov

Na popis počtu akcií sa používa bežné zlomky. Uveďme príklad, ktorý nám umožní priblížiť sa k definícii obyčajných zlomkov.

Nechajte pomaranč pozostávať z 12 častí. Každá akcia v tomto prípade predstavuje jednu dvanástinu celého pomaranča, teda . Označme dva údery ako , tri údery ako atď., 12 úderov ako . Každý z týchto záznamov sa nazýva obyčajný zlomok.

Teraz dajme generálku definícia bežných zlomkov.

Vyslovená definícia obyčajných zlomkov nám umožňuje priniesť príklady bežných zlomkov: 5/10 , 21/1 , 9/4 , . A tu sú záznamy nezodpovedajú znenej definícii obyčajných zlomkov, to znamená, že to nie sú obyčajné zlomky.

Čitateľ a menovateľ

Pre pohodlie rozlišujeme v bežných zlomkoch čitateľ a menovateľ.

Definícia.

Čitateľ obyčajný zlomok (m / n) je prirodzené číslo m.

Definícia.

Menovateľ obyčajný zlomok (m / n) je prirodzené číslo n.

Čitateľ sa teda nachádza nad zlomkovou čiarou (naľavo od lomky) a menovateľ je pod zlomkovou čiarou (napravo od lomky). Vezmime si napríklad obyčajný zlomok 17/29, v čitateli tohto zlomku je číslo 17 a v menovateli je číslo 29.

Zostáva diskutovať o význame obsiahnutom v čitateľovi a menovateľovi obyčajného zlomku. Menovateľ zlomku ukazuje, z koľkých podielov pozostáva jedna položka, čitateľ zasa počet takýchto podielov. Napríklad menovateľ 5 zlomku 12/5 znamená, že jedna položka pozostáva z piatich častí, a čitateľ 12 znamená, že sa vezme 12 takýchto častí.

Prirodzené číslo ako zlomok s menovateľom 1

Menovateľ obyčajného zlomku sa môže rovnať jednej. V tomto prípade môžeme predpokladať, že objekt je nedeliteľný, inými slovami, je to niečo celistvé. Čitateľ takéhoto zlomku udáva, koľko celých položiek sa vezme. Obyčajný zlomok tvaru m/1 má teda význam prirodzeného čísla m. Takto sme zdôvodnili rovnosť m/1=m .

Poslednú rovnosť prepíšeme takto: m=m/1 . Táto rovnosť nám umožňuje reprezentovať akékoľvek prirodzené číslo m ako obyčajný zlomok. Napríklad číslo 4 je zlomok 4/1 a číslo 103498 je zlomok 103498/1.

takze ľubovoľné prirodzené číslo m môže byť vyjadrené ako obyčajný zlomok s menovateľom 1 ako m/1 a každý obyčajný zlomok tvaru m/1 môže byť nahradený prirodzeným číslom m.

Zlomkový stĺpec ako deliaci znak

Reprezentácia pôvodného objektu vo forme n akcií nie je nič iné ako rozdelenie na n rovnakých častí. Po rozdelení veci na n akcií ju môžeme rozdeliť rovným dielom medzi n ľudí - každý dostane jednu akciu.

Ak máme na začiatku m identických objektov, z ktorých každý je rozdelený na n akcií, potom môžeme týchto m objektov rovnomerne rozdeliť medzi n ľudí, pričom každej osobe pridelíme jeden podiel z každého z m objektov. V tomto prípade bude mať každá osoba m podielov 1/n a m podielov 1/n dáva obyčajný zlomok m/n. Spoločný zlomok m/n teda možno použiť na vyjadrenie rozdelenia m položiek medzi n ľudí.

Získali sme teda explicitné spojenie medzi obyčajnými zlomkami a delením (pozri všeobecnú myšlienku delenia prirodzených čísel). Tento vzťah je vyjadrený takto: Pruh zlomku možno chápať ako deliaci znak, teda m/n=m:n.

Pomocou obyčajného zlomku môžete napísať výsledok delenia dvoma prirodzené čísla, pre ktoré sa nevykonáva celočíselné delenie. Napríklad výsledok delenia 5 jabĺk 8 ľuďmi možno zapísať ako 5/8, to znamená, že každé dostane päť osmín jablka: 5:8=5/8.

Rovné a nerovnaké obyčajné zlomky, porovnávanie zlomkov

Je to celkom prirodzená akcia porovnanie bežných zlomkov, pretože je jasné, že 1/12 pomaranča je iná ako 5/12 a 1/6 jablka je rovnaká ako druhá 1/6 tohto jablka.

V dôsledku porovnania dvoch obyčajných zlomkov sa získa jeden z výsledkov: zlomky sú rovnaké alebo nie rovnaké. V prvom prípade máme rovnaké spoločné zlomky a v druhom nerovnaké spoločné zlomky. Uveďme definíciu rovnakých a nerovnakých obyčajných zlomkov.

Definícia.

rovný, ak platí rovnosť a d=b c.

Definícia.

Dva bežné zlomky a/b a c/d nerovná sa, ak nie je splnená rovnosť a d=b c.

Tu je niekoľko príkladov rovnakých zlomkov. Napríklad bežný zlomok 1/2 sa rovná zlomku 2/4, keďže 1 4=2 2 (v prípade potreby si pozrite pravidlá a príklady násobenia prirodzených čísel). Pre prehľadnosť si môžete predstaviť dve rovnaké jablká, prvé je rozrezané na polovicu a druhé - na 4 podiely. Je zrejmé, že dve štvrtiny jablka sú 1/2 podielu. Ďalšími príkladmi rovnakých spoločných zlomkov sú zlomky 4/7 a 36/63 a pár zlomkov 81/50 a 1620/1000.

A obyčajné zlomky 4/13 a 5/14 sa nerovnajú, pretože 4 14 = 56 a 13 5 = 65, teda 4 14 ≠ 13 5. Ďalším príkladom nerovnakých bežných zlomkov sú zlomky 17/7 a 6/4.

Ak sa pri porovnávaní dvoch obyčajných zlomkov ukáže, že nie sú rovnaké, možno budete musieť zistiť, ktorý z týchto obyčajných zlomkov menšieďalší a ktorý viac. Na zistenie slúži pravidlo na porovnávanie obyčajných zlomkov, ktorého podstatou je priviesť porovnávané zlomky do spoločného menovateľa a následne porovnať čitateľov. Podrobné informácie o tejto téme sú zhromaždené v článku porovnanie zlomkov: pravidlá, príklady, riešenia.

Zlomkové čísla

Každý zlomok je záznamom zlomkové číslo. To znamená, že zlomok je len „škrupina“ zlomkového čísla, jeho vzhľad a celé sémantické zaťaženie je obsiahnuté presne v zlomkovom čísle. Pre stručnosť a pohodlie sa však pojem zlomok a zlomkové číslo kombinujú a nazývajú sa jednoducho zlomky. Tu je vhodné parafrázovať známe porekadlo: povieme zlomok - myslíme zlomkové číslo, povieme zlomkové číslo - myslíme zlomok.

Zlomky na súradnicovom lúči

Všetky zlomkové čísla zodpovedajúce obyčajným zlomkom majú svoje vlastné jedinečné miesto na , to znamená, že medzi zlomkami a bodmi súradnicového lúča existuje zhoda jedna k jednej.

Aby sme sa dostali do bodu zodpovedajúceho zlomku m / n na súradnicovom lúči, je potrebné odložiť m segmentov z počiatku v kladnom smere, ktorých dĺžka je 1 / n jednotkového segmentu. Takéto segmenty možno získať rozdelením jedného segmentu na n rovnakých častí, čo je možné vždy vykonať pomocou kompasu a pravítka.

Ukážme napríklad bod M na súradnicovom lúči, ktorý zodpovedá zlomku 14/10. Dĺžka segmentu s koncami v bode O av bode k nemu najbližšie, označenom malou pomlčkou, je 1/10 jednotkového segmentu. Bod so súradnicou 14/10 je odstránený z počiatku o 14 takýchto segmentov.

Rovnaké zlomky zodpovedajú rovnakému zlomkovému číslu, to znamená, že rovnaké zlomky sú súradnicami toho istého bodu na súradnicovom lúči. Napríklad jeden bod zodpovedá súradniciam 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 na súradnicovom lúči, pretože všetky zapísané zlomky sú rovnaké (nachádza sa vo vzdialenosti polovice segmentu jednotky, stanoveného od pôvodu v kladnom smere).

Na vodorovnom a pravostrannom súradnicovom lúči je bod, ktorého súradnica je veľký zlomok, umiestnený napravo od bodu, ktorého súradnica je menší zlomok. Podobne bod s menšou súradnicou leží naľavo od bodu s väčšou súradnicou.

Vlastné a nevlastné zlomky, definície, príklady

Medzi obyčajnými zlomkami sú vlastné a nevlastné zlomky. Toto rozdelenie má v podstate porovnanie čitateľa a menovateľa.

Uveďme definíciu vlastných a nevlastných obyčajných zlomkov.

Definícia.

Správny zlomok je obyčajný zlomok, ktorého čitateľ je menší ako menovateľ, teda ak m

Definícia.

Nesprávny zlomok je obyčajný zlomok, v ktorom je čitateľ väčší alebo rovný menovateľovi, to znamená, že ak m≥n, potom je obyčajný zlomok nesprávny.

Tu je niekoľko príkladov správnych zlomkov: 1/4 , , 32 765/909 003 . V každom zo zapísaných obyčajných zlomkov je totiž čitateľ menší ako menovateľ (ak je to potrebné, pozrite si článok porovnanie prirodzených čísel), takže sú z definície správne.

A tu sú príklady nesprávnych zlomkov: 9/9, 23/4,. Čitateľ prvého zo zapísaných obyčajných zlomkov sa skutočne rovná menovateľovi a v ostatných zlomkoch je čitateľ väčší ako menovateľ.

Existujú aj definície vlastných a nevlastných zlomkov na základe porovnávania zlomkov s jedným.

Definícia.

správne ak je menej ako jedna.

Definícia.

Spoločný zlomok je tzv nesprávne, ak sa rovná jednej alebo je väčšia ako 1 .

Takže obyčajný zlomok 7/11 je správny, pretože 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 a 27/27=1.

Zamyslime sa nad tým, ako si obyčajné zlomky s čitateľom väčším alebo rovným ako menovateľ zaslúžia takýto názov – „nesprávne“.

Vezmime si ako príklad nevlastný zlomok 9/9. Tento zlomok znamená, že sa odoberie deväť častí objektu, ktorý pozostáva z deviatich častí. To znamená, že z dostupných deviatich akcií môžeme poskladať celý subjekt. To znamená, že nesprávny zlomok 9/9 v podstate dáva celý objekt, teda 9/9=1. Vo všeobecnosti nesprávne zlomky s čitateľom rovným menovateľovi označujú jeden celý objekt a takýto zlomok možno nahradiť prirodzeným číslom 1.

Teraz zvážte nesprávne zlomky 7/3 a 12/4. Je celkom zrejmé, že z týchto siedmich tretín môžeme urobiť dva celé objekty (jeden celý objekt má 3 podiely, potom na zloženie dvoch celých predmetov potrebujeme 3 + 3 = 6 podielov) a stále zostane jeden tretinový podiel. To znamená, že nesprávny zlomok 7/3 v podstate znamená 2 položky a dokonca 1/3 podielu takejto položky. A z dvanástich štvrtín môžeme vyrobiť tri celé predmety (tri predmety po štyroch častiach). To znamená, že zlomok 12/4 v podstate znamená 3 celé predmety.

Uvažované príklady nás vedú k nasledovnému záveru: nevlastné zlomky môžeme nahradiť buď prirodzenými číslami, keď je čitateľ celý vydelený menovateľom (napríklad 9/9=1 a 12/4=3), alebo súčtom prirodzené číslo a vlastný zlomok, keď čitateľ nie je rovnomerne deliteľný menovateľom (napríklad 7/3=2+1/3 ). Možno to je presne to, čo si nesprávne zlomky zaslúžia také meno - „nesprávne“.

Zvlášť zaujímavé je zobrazenie nevlastného zlomku ako súčtu prirodzeného čísla a vlastného zlomku (7/3=2+1/3). Tento proces sa nazýva extrakcia celočíselnej časti z nesprávneho zlomku a zaslúži si osobitnú a starostlivejšiu úvahu.

Za zmienku tiež stojí, že medzi nesprávnymi zlomkami a zmiešanými číslami je veľmi úzky vzťah.

Pozitívne a negatívne zlomky

Každý obyčajný zlomok zodpovedá kladnému zlomkovému číslu (pozri článok kladné a záporné čísla). To znamená, že obyčajné zlomky sú kladné zlomky. Napríklad obyčajné zlomky 1/5, 56/18, 35/144 sú kladné zlomky. Keď je potrebné zdôrazniť kladnosť zlomku, potom sa pred neho umiestni znamienko plus, napríklad +3/4, +72/34.

Ak pred obyčajný zlomok vložíte znamienko mínus, tento záznam bude zodpovedať zápornému zlomkovému číslu. V tomto prípade sa dá hovoriť o záporné zlomky. Tu je niekoľko príkladov záporných zlomkov: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

Kladné a záporné zlomky m/n a −m/n sú opačné čísla. Napríklad zlomky 5/7 a -5/7 sú opačné zlomky.

Kladné zlomky, podobne ako kladné čísla vo všeobecnosti, označujú prírastok, príjem, zmenu nejakej hodnoty smerom nahor atď. Záporné zlomky zodpovedajú nákladom, dlhu, zmene akejkoľvek hodnoty v smere poklesu. Napríklad záporný zlomok -3/4 možno interpretovať ako dlh, ktorého hodnota je 3/4.

Na vodorovnej a pravej strane sú negatívne frakcie umiestnené naľavo od referenčného bodu. Body súradnicovej čiary, ktorých súradnice sú kladný zlomok m/n a záporný zlomok −m/n, sú umiestnené v rovnakej vzdialenosti od začiatku, ale na opačných stranách bodu O .

Tu stojí za zmienku zlomky tvaru 0/n. Tieto zlomky sa rovnajú číslu nula, teda 0/n=0.

Kladné zlomky, záporné zlomky a zlomky 0/n sa kombinujú a vytvárajú racionálne čísla.

Akcie so zlomkami

Jedna akcia s obyčajnými zlomkami - porovnávanie zlomkov - sme už zvážili vyššie. Sú definované ďalšie štyri aritmetiky operácie so zlomkami- sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie zlomkov. Zastavme sa pri každom z nich.

Všeobecná podstata akcií so zlomkami je podobná podstate zodpovedajúcich akcií s prirodzenými číslami. Nakreslíme analógiu.

Násobenie zlomkov možno považovať za činnosť, pri ktorej sa zlomok nájde zo zlomku. Na objasnenie si uveďme príklad. Predpokladajme, že máme 1/6 jablka a potrebujeme z neho vziať 2/3. Časť, ktorú potrebujeme, je výsledkom vynásobenia zlomkov 1/6 a 2/3. Výsledkom vynásobenia dvoch obyčajných zlomkov je obyčajný zlomok (ktorý sa v konkrétnom prípade rovná prirodzenému číslu). Ďalej odporúčame preštudovať si informácie k článku násobenie zlomkov - pravidlá, príklady a riešenia.

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika: učebnica na 5 buniek. vzdelávacie inštitúcie.
• Vilenkin N.Ya. atď. Matematika. 6. ročník: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách).

S zlomkami sa v živote stretávame oveľa skôr, ako začnú študovať v škole. Ak rozrežete celé jablko na polovicu, dostaneme kúsok ovocia - ½. Odrežte to znova - bude to ¼. Toto sú zlomky. A všetko, zdá sa, je jednoduché. Pre dospelého. Pre dieťa (a túto tému začínajú študovať na konci základnej školy) sú abstraktné matematické pojmy stále desivo nezrozumiteľné a učiteľ musí prístupným spôsobom vysvetliť, čo je to vlastný zlomok a nevlastné, obyčajné a desatinné, aké operácie sa s nimi dá vykonávať a čo je najdôležitejšie, prečo je to všetko potrebné.

Čo sú zlomky

Oboznamovanie sa s novou témou v škole začína obyčajnými zlomkami. Ľahko ich spoznáte podľa vodorovnej čiary oddeľujúcej dve čísla – nad a pod. Horná časť sa nazýva čitateľ, spodná časť menovateľ. Existuje aj pravopis nesprávnych a správnych obyčajných zlomkov s malými písmenami - cez lomku, napríklad: ½, 4/9, 384/183. Táto možnosť sa používa, keď je výška riadku obmedzená a nie je možné použiť "dvojposchodovú" formu záznamu. prečo? Áno, pretože je to pohodlnejšie. O niečo neskôr si to overíme.

Okrem obyčajných existujú aj desatinné zlomky. Je veľmi ľahké ich rozlíšiť: ak sa v jednom prípade použije vodorovná alebo lomka, potom v druhom - čiarka oddeľujúca sekvencie čísel. Pozrime sa na príklad: 2.9; 163,34; 1,953. Na oddeľovanie čísel sme zámerne použili bodkočiarku. Prvý z nich sa bude čítať takto: „dve celé, deväť desatín“.

Nové koncepty

Vráťme sa k obyčajným zlomkom. Sú dvojakého druhu.

Definícia vlastného zlomku je nasledovná: ide o taký zlomok, ktorého čitateľ je menší ako menovateľ. Prečo je to dôležité? Teraz uvidíme!

Máte niekoľko jabĺk nakrájaných na polovice. Celkom - 5 dielov. Ako sa povie: máte „dva a pol“ alebo „päť sekundové“ jablká? Samozrejme, prvá možnosť znie prirodzenejšie a pri rozhovore s priateľmi ju využijeme. Ak si ale potrebujete spočítať, koľko ovocia každý dostane, ak je vo firme päť ľudí, zapíšeme si číslo 5/2 a vydelíme 5 – z pohľadu matematiky to bude jasnejšie.

Pre pomenovanie vlastných a nevlastných zlomkov teda platí pravidlo: ak sa dá v zlomku rozlíšiť celá časť (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), potom je nesprávna. Ak to nemožno urobiť, ako v prípade ½, 13/16, 9/10, bude to správne.

Základná vlastnosť zlomku

Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku súčasne vynásobia alebo vydelia rovnakým číslom, jeho hodnota sa nezmení. Predstavte si: tortu rozrezali na 4 rovnaké časti a jednu vám dali. Ten istý koláč bol rozrezaný na osem kusov a dostali ste dva. Nie je to všetko rovnaké? Koniec koncov, ¼ a 2/8 sú to isté!

Zníženie

Autori úloh a príkladov v učebniciach matematiky sa často snažia študentov zmiasť tým, že ponúkajú zlomky, ktoré sú ťažkopádne na písanie a v skutočnosti sa dajú zmenšiť. Tu je príklad správneho zlomku: 167/334, ktorý, zdá sa, vyzerá veľmi „strašidelne“. Ale v skutočnosti to môžeme napísať ako ½. Číslo 334 je bezo zvyšku deliteľné 167 - po vykonaní tejto operácie dostaneme 2.

zmiešané čísla

Nesprávny zlomok môže byť reprezentovaný ako zmiešané číslo. Vtedy je celá časť posunutá dopredu a napísaná na úrovni vodorovnej čiary. V skutočnosti má výraz formu súčtu: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 a tak ďalej.

Ak chcete vybrať celú časť, musíte rozdeliť čitateľa menovateľom. Napíš zvyšok delenia nad, nad riadok a celú časť pred výraz. Tak dostaneme dve konštrukčné časti: celé jednotky + vlastný zlomok.

Môžete tiež vykonať opačnú operáciu - na to musíte vynásobiť celú časť menovateľom a pridať výslednú hodnotu do čitateľa. Nič zložité.

Násobenie a delenie

Napodiv, násobenie zlomkov je jednoduchšie ako ich sčítanie. Všetko, čo je potrebné, je predĺžiť vodorovnú čiaru: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

S delením je všetko tiež jednoduché: musíte vynásobiť zlomky krížovo: (7/8) / (14/15) \u003d 7 * 15 / 8 * 14 \u003d 15/16.

Sčítanie zlomkov

Čo ak potrebujete vykonať sčítanie alebo ak majú v menovateli rôzne čísla? Nebude to fungovať rovnako ako pri násobení – tu treba pochopiť definíciu vlastného zlomku a jeho podstatu. Je potrebné zredukovať pojmy na spoločného menovateľa, to znamená, že v spodnej časti oboch zlomkov by sa mali objaviť rovnaké čísla.

Na to by ste mali použiť základnú vlastnosť zlomku: vynásobte obe časti rovnakým číslom. Napríklad 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Ako si vybrať, ku ktorému menovateľovi priviesť podmienky? Musí to byť najmenší násobok oboch menovateľov: pre 1/3 a 1/9 to bude 9; pre ½ a 1/7 - 14, pretože neexistuje žiadna menšia hodnota, ktorú možno bezo zvyšku deliť 2 a 7.

Použitie

Na čo slúžia nesprávne zlomky? Koniec koncov, je oveľa pohodlnejšie okamžite vybrať celú časť, získať zmiešané číslo - a je to! Ukazuje sa, že ak potrebujete vynásobiť alebo rozdeliť dva zlomky, je výhodnejšie použiť nesprávne.

Zoberme si nasledujúci príklad: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Zdalo by sa, že vôbec nie je čo strihať. Čo ak však výsledok sčítania napíšeme do prvých zátvoriek ako nevlastný zlomok? Pozrite sa: (37/17) / (37/68)

Teraz všetko padne na svoje miesto! Napíšme príklad tak, aby bolo všetko zrejmé: (37 * 68) / (17 * 37).

Znížime 37 v čitateli a menovateli a nakoniec vydelíme hornú a spodnú časť číslom 17. Pamätáte si základné pravidlo pre správne a nevlastné zlomky? Môžeme ich násobiť a deliť ľubovoľným číslom, pokiaľ to robíme pre čitateľa aj menovateľa súčasne.

Dostávame teda odpoveď: 4. Príklad vyzeral komplikovane a odpoveď obsahuje iba jednu číslicu. V matematike sa to často stáva. Hlavná vec je nebáť sa a dodržiavať jednoduché pravidlá.

Bežné chyby

Pri cvičení sa študent ľahko môže dopustiť niektorej z obľúbených chýb. Zvyčajne sa vyskytujú v dôsledku nepozornosti a niekedy v dôsledku skutočnosti, že študovaný materiál ešte nebol správne uložený v hlave.

Súčet čísel v čitateli často spôsobuje túžbu znížiť jeho jednotlivé zložky. Predpokladajme, že v príklade: (13 + 2) / 13, napísané bez zátvoriek (s vodorovnou čiarou), veľa študentov z dôvodu neskúsenosti prečiarkne 13 zhora a zdola. Ale to by sa v žiadnom prípade nemalo robiť, pretože je to hrubá chyba! Ak by bol namiesto sčítania znak násobenia, dostali by sme v odpovedi číslo 2. No pri vykonávaní sčítania nie sú povolené žiadne operácie s jedným z pojmov, len s celým súčtom.

Deti často robia chyby pri delení zlomkov. Zoberme si dva pravidelné ireducibilné zlomky a vydeľme ich: (5/6) / (25/33). Študent môže pomýliť a výsledný výraz zapísať ako (5*25) / (6*33). Ale to by sa stalo pri násobení a v našom prípade bude všetko trochu inak: (5 * 33) / (6 * 25). Zredukujeme, čo sa dá, a v odpovedi uvidíme 11/10. Výsledný nevlastný zlomok zapíšeme ako desatinný - 1,1.

Zátvorky

Pamätajte, že v akomkoľvek matematickom výraze je poradie operácií určené prioritou znakov operácií a prítomnosťou zátvoriek. Ak sú ostatné veci rovnaké, postupnosť akcií sa počíta zľava doprava. To platí aj pre zlomky - výraz v čitateli alebo menovateli sa počíta presne podľa tohto pravidla.

Je to výsledok delenia jedného čísla druhým. Ak sa nerozdelia úplne, ukáže sa zlomok - to je všetko.

Ako napísať zlomok na počítači

Keďže štandardné nástroje nie vždy umožňujú vytvoriť zlomok pozostávajúci z dvoch „úrovní“, študenti niekedy používajú rôzne triky. Napríklad skopírujú čitateľov a menovateľov do editora Maľovanie a zlepia ich, pričom medzi nimi nakreslí vodorovnú čiaru. Samozrejme, existuje jednoduchšia možnosť, ktorá mimochodom poskytuje aj množstvo doplnkových funkcií, ktoré sa vám budú v budúcnosti hodiť.

Otvorte Microsoft Word. Jeden z panelov v hornej časti obrazovky sa nazýva "Vložiť" - kliknite naň. Vpravo na strane, kde sa nachádzajú ikony na zatvorenie a minimalizáciu okna, sa nachádza tlačidlo Vzorec. Presne toto potrebujeme!

Ak použijete túto funkciu, na obrazovke sa objaví obdĺžniková oblasť, v ktorej môžete použiť ľubovoľné matematické symboly, ktoré nie sú dostupné na klávesnici, ako aj písať zlomky v klasickom tvare. To znamená oddelenie čitateľa a menovateľa vodorovnou čiarou. Možno vás dokonca prekvapí, že takýto správny zlomok sa tak ľahko zapisuje.

Naučte sa matematiku

Ak ste v 5. – 6. ročníku, čoskoro sa v mnohých školských predmetoch budú vyžadovať znalosti z matematiky (vrátane schopnosti pracovať so zlomkami!). Takmer v žiadnom probléme vo fyzike, pri meraní hmotnosti látok v chémii, v geometrii a trigonometrii, nemožno upustiť od zlomkov. Čoskoro sa naučíte počítať všetko vo svojej mysli, bez toho, aby ste písali výrazy na papier, ale budú sa objavovať čoraz zložitejšie príklady. Naučte sa preto, čo je to správny zlomok a ako s ním pracovať, dodržujte učivo, robte si domáce úlohy včas a potom sa vám to podarí.

326. Doplňte medzery.

1) Ak sa čitateľ zlomku rovná menovateľovi, potom sa zlomok rovná 1.
2) Zlomok a/b (a a b sú prirodzené čísla) sa nazýva správny, ak a< b
3) Zlomok a/b (a a b sú prirodzené čísla) sa nazýva nevlastný, ak a >b alebo a =b.
4) 9/14 je správny zlomok, pretože 9< 14.
5) 7/5 je nesprávny zlomok, pretože 7 > 5.
6) 16/16 je nesprávny zlomok, pretože 16=16.

327. Vypíš zo zlomkov 1/20, 16/9, 7/2, 14/28,10/10, 5/32,11/2: 1) vlastné zlomky; 2) nesprávne zlomky.

1) 1/20, 14/23, 5/32

2) 19/9, 7/2, 10/10, 11/2

328. Vymysli a zapíš: 1) 5 správnych zlomkov; 2) nesprávne zlomky.

1) ½, 1/3, ¼, 1/5, 1/6

2) 3/2, 4/2, 5/2 Yu 6/2, 7/2

329. Zapíšte všetky správne zlomky s menovateľom 9.

1/9, 2/9, 3/9, 4/9, 5/9, 6/9, 7/9, 8/9.

330. Zapíšte všetky nevlastné zlomky s čitateľom 9.

9/1,9/2, 9/3, 9/4, 9/5, 9/6, 9/7, 9/8, 9/9.

331. Dva rovnaké pásy boli rozdelené na 7 rovnakých častí. Natrite 4/7 jedného pásu a 6/7 druhého.

Porovnajte výsledné zlomky: 4/7< 6/7.

Formulujte pravidlo na porovnávanie zlomkov s rovnakými menovateľmi: z dvoch zlomkov s rovnakými menovateľmi je ten s väčším čitateľom väčší.

332. Dva rovnaké pásy boli rozdelené na časti. Jeden prúžok bol rozdelený na 7 rovnakých častí a druhý na 5 rovnakých častí. Natrite 3/7 prvého pásu a 3/5 druhého.

Porovnajte výsledné zlomky: 3/7< /5.

Sformulujte pravidlo na porovnávanie zlomkov s rovnakými čitateľmi: z dvoch zlomkov s rovnakými čitateľmi je ten s menším menovateľom väčší.

333. Doplňte medzery.

1) Všetky správne zlomky sú menšie ako 1 a nesprávne zlomky sú väčšie ako 1 alebo rovné 1.

2) Každý nesprávny zlomok je väčší ako akýkoľvek správny zlomok a každý správny zlomok menej ako ktorýkoľvek iný nesprávne.

3) Na súradnicovom zväzku dvoch zlomkov je väčší zlomok umiestnený vpravo od menšieho.

334. Zakrúžkujte správne tvrdenia.

335. Porovnaj čísla.

2)17/25>14/25

4)24/51>24/53

336. Ktorý zo zlomkov 10/11, 16/4, 18/17, 24/24, 2005/207, 310/303, 39/40 je väčší ako 1?

Odpoveď: 16/4, 18/17, 310/303

337. Usporiadajte zlomky 5/29, 7/29, 4/29, 25/29, 17/29, 13/29.

Odpoveď: 29/29, 17/29, 13/29, 7/29, 5/29, 4/29.

338. Označ na súradnicovom lúči všetky čísla, ktoré sú zlomkami s menovateľom 5, ktoré sa nachádzajú medzi číslami 0 a 3. Ktoré z označených čísel sú správne a ktoré nesprávne?

0 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 7/5 8/5 9/5 10/5 11/5 12/5 13/5 14/5

Odpoveď: 1) vlastné zlomky: 1/5, 2/5, 3/5, 4/5.

2) nesprávne zlomky: 5/5, 6/5, 7/5, 8/5, 9/5, 10/5, 11/5, 12/5, 13/5, 14/5.

339. Nájdite všetky prirodzené hodnoty x, pre ktoré je zlomok x/8 správny.

Odpoveď: 1,2,3,4,5,6,7

340. Nájsť prirodzené prejavy x, pre ktoré bude zlomok 11/x nevlastný.

Odpoveď: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

341. 1) Do prázdnych políčok napíš čísla tak, aby vznikol správny zlomok.

2) Zadajte čísla do prázdnych buniek tak, aby sa vytvoril nesprávny zlomok.

342. Zostrojte a označte úsečku, ktorej dĺžka je: 1) 9/8 dĺžky úsečky AB; 2) 10/8 dĺžky úseku AB; 3) 7/4 dĺžky segmentu AB; 4) dĺžka segmentu AB.

Saša prečítala 42:6*7= 49 strán

Odpoveď: 49 strán

344. Nájdite všetky prirodzené hodnoty x, pre ktoré platí nerovnosť:

1) x/15<7/15;

2)10/x>10/9.

Odpoveď: 1) 1,2,3,4,5,6; 2) 1,2,3,4,5,6,7,8.

345. Pomocou čísel 1,4,5,7 a čiary zlomku zapíšte všetky možné vlastné zlomky.

Odpoveď: ¼, 1/5,1/7,4/5,4/7,5/7.

346. Nájdite všetky prirodzené hodnoty m, pre ktoré je správne 4m+5/17.

4m+5<17; 4m<12; m<3.

Odpoveď: m = 1; 2.

347. Nájdite všetky prirodzené hodnoty a, pre ktoré je zlomok 10/a nesprávny a zlomok 7/a správny.

a ≤ 10 a a > 7, t.j. 7

Odpoveď: a = 8,9,10

348. Prirodzené čísla a, b, c a d také, že a