Kako pomnožiti dva mješovita broja. Sastavljanje sustava jednadžbi

U ovom članku ćemo analizirati množenje mješovitih brojeva. Prvo ćemo izraziti pravilo za množenje mješovitih brojeva i razmotriti primjenu ovog pravila pri rješavanju primjera. Zatim ćemo govoriti o množenju mješovitog broja i prirodnog broja. Na kraju ćemo naučiti kako množiti mješoviti broj i obični razlomak.

Navigacija po stranici.

Množenje mješovitih brojeva.

Množenje mješovitih brojeva može se svesti na množenje obični razlomci. Da biste to učinili, dovoljno je pretvoriti mješovite brojeve u nepravilne razlomke.

Zapišimo pravilo množenja mješovitih brojeva:

• Prvo, mješoviti brojevi koji se množe moraju se zamijeniti nepravilnim razlomcima;
• Drugo, morate koristiti pravilo množenja razlomka s razlomkom.

Razmotrite primjere primjene ovog pravila pri množenju mješovitog broja s mješovitim brojem.

Izvršite množenje mješovitih brojeva i .

Prvo, predstavljamo pomnožene mješovite brojeve kao nepravilne razlomke: i . Sada možemo zamijeniti množenje mješovitih brojeva množenjem običnih razlomaka: . Primjenom pravila množenja razlomaka dobivamo . Dobiveni razlomak je nesvodljiv (vidi svodljivi i nesvodljivi razlomci), ali je netočan (vidi redoviti i nepravilni razlomci), stoga, da bismo dobili konačni odgovor, ostaje izdvojiti cijeli broj iz nepravilnog razlomka: .

Napišimo cijelo rješenje u jedan red: .

.

Da biste konsolidirali vještinu množenja mješovitih brojeva, razmotrite rješenje drugog primjera.

Izvršite množenje.

Smiješni brojevi i jednaki su razlomcima 13/5 i 10/9. Zatim . U ovoj fazi, vrijeme je da se prisjetimo smanjenja razlomaka: zamijenimo sve brojeve u razlomku njihovim proširenjima u primarni čimbenici, te izvršiti redukciju istih faktora.

Množenje mješovitog broja i prirodnog broja

Nakon zamjene mješovitog broja, pravi razlomak, množenje mješovitog broja i prirodnog broja svodi se na množenje običnog razlomka i prirodnog broja.

Pomnožite mješoviti broj i prirodni broj 45 .

Mješoviti broj je dakle razlomak . Zamijenimo brojeve u rezultirajućem razlomku njihovim proširenjima u proste faktore, napravimo smanjenje, nakon čega odabiremo cijeli broj: .

.

Množenje mješovitog broja i prirodnog broja ponekad se prikladno izvodi korištenjem distributivnog svojstva množenja s obzirom na zbrajanje. U ovom slučaju, umnožak mješovitog broja i prirodnog broja jednak je zbroju umnožaka cjelobrojnog dijela na zadani prirodni broj i razlomka na zadani prirodni broj, tj. .

Izračunajte proizvod.

Mješoviti broj zamjenjujemo zbrojem cjelobrojnog i razlomka, nakon čega primjenjujemo distributivno svojstvo množenja: .

Množenje mješovitog broja i običnog razlomka najprikladnije je svesti na množenje običnih razlomaka, predstavljajući pomnoženi mješoviti broj kao nepravilan razlomak.

Mješoviti broj pomnožite običnim razlomkom 4/15.

Zamjenom mješovitog broja s razlomkom, dobivamo .

www.cleverstudents.ru

Množenje razlomaka

§ 140. Definicije. 1) Množenje razlomka cijelim brojem definira se na isti način kao i množenje cijelih brojeva, naime: pomnožiti neki broj (množitelj) cijelim brojem (množitelj) znači napraviti zbroj identičnih članova, u kojem je svaki član jednak množeniku, a broj članova jednak množitelju.

Dakle, množenje sa 5 znači pronaći zbroj:
2) Pomnožiti neki broj (množitelj) s razlomkom (množitelj) znači pronaći ovaj razlomak množitelja.

Dakle, pronalaženje razlomka zadanog broja, koji smo prije razmatrali, sada ćemo nazvati množenje razlomkom.

3) Pomnožiti neki broj (množitelj) s mješovitim brojem (faktorom) znači pomnožiti množitelj najprije cijelim brojem faktora, zatim razlomkom faktora, i zbrojiti rezultate ova dva množenja zajedno.

Na primjer:

Broj dobiven nakon množenja se u svim tim slučajevima naziva raditi, tj. na isti način kao kod množenja cijelih brojeva.

Iz ovih definicija jasno je da je množenje razlomaka radnja koja je uvijek moguća i uvijek nedvosmislena.

§ 141. Svrsishodnost ovih definicija. Da bismo razumjeli svrsishodnost uvođenja posljednje dvije definicije množenja u aritmetiku, uzmimo sljedeći problem:

Zadatak. Vlak, krećući se ravnomjerno, putuje 40 km na sat; kako saznati koliko će kilometara ovaj vlak prijeći za zadani broj sati?

Ako bismo ostali pri istoj definiciji množenja, koja je naznačena u aritmetici cijelih brojeva (zbrajanje jednakih članova), onda bi naš problem imao tri različita rješenja, i to:

Ako je zadani broj sati cijeli broj (na primjer, 5 sati), tada se za rješavanje problema 40 km mora pomnožiti s ovim brojem sati.

Ako je zadani broj sati izražen kao razlomak (na primjer, sati), tada ćete morati pronaći vrijednost ovog razlomka od 40 km.

Konačno, ako se zadani broj sati pomiješa (na primjer, sati), tada će biti potrebno pomnožiti 40 km s cijelim brojem sadržanim u mješovitom broju i rezultatu dodati onaj razlomak od 40 km kao što je u mješoviti broj.

Definicije koje smo dali omogućuju nam da damo jedan opći odgovor na sve ove moguće slučajeve:

40 km se mora pomnožiti sa zadanim brojem sati, ma kakav on bio.

Dakle, ako je zadatak predstavljen u opći pogled Tako:

Vlak koji se kreće jednoliko putuje v km na sat. Koliko će kilometara vlak prijeći za t sati?

onda, bez obzira na brojeve v i t, možemo izraziti jedan odgovor: željeni broj se izražava formulom v · t.

Bilješka. Pronalaženje nekog razlomka zadanog broja, prema našoj definiciji, znači isto što i množenje zadanog broja ovim razlomkom; stoga, na primjer, pronaći 5% (tj. pet stotinki) određenog broja znači isto što i množenje zadanog broja sa ili s; pronalaženje 125% zadanog broja isto je kao množenje tog broja sa ili s , itd.

§ 142. Bilješka o tome kada se broj povećava, a kada smanjuje od množenja.

Od množenja s pravim razlomkom, broj se smanjuje, a od množenja sa nepravilan razlomak broj se povećava ako je ovaj nepravilni razlomak veći od jedan, a ostaje nepromijenjen ako je jednak jedan.
Komentar. Prilikom množenja razlomaka, kao i cijelih brojeva, umnožak se uzima jednakim nuli ako je bilo koji od faktora jednak nuli, dakle,.

§ 143. Izvođenje pravila množenja.

1) Množenje razlomka cijelim brojem. Neka se razlomak pomnoži sa 5. To znači povećati se za 5 puta. Da bi se razlomak povećao za 5, dovoljno je povećati njegov brojnik ili smanjiti nazivnik za 5 puta (§ 127).

Tako:
Pravilo 1. Da biste razlomak pomnožili cijelim brojem, morate brojnik pomnožiti s ovim cijelim brojem, a nazivnik ostaviti istim; umjesto toga, nazivnik razlomka također možete podijeliti zadanim cijelim brojem (ako je moguće), a brojnik ostaviti istim.

Komentar. Umnožak razlomka i nazivnika jednak je brojniku.

Tako:
Pravilo 2. Da biste cijeli broj pomnožili razlomkom, trebate cijeli broj pomnožiti s brojnikom razlomka i ovaj umnožak učiniti brojnikom, a nazivnik zadanog razlomka potpisati kao nazivnik.
Pravilo 3. Da biste razlomak pomnožili razlomkom, trebate pomnožiti brojnik s brojnikom, a nazivnik s nazivnikom i učiniti prvi umnožak brojnikom, a drugi nazivnikom proizvoda.

Komentar. Ovo pravilo može se primijeniti i na množenje razlomka cijelim brojem i cijelog broja razlomkom, samo ako cijeli broj smatramo razlomkom s nazivnikom jedan. Tako:

Dakle, tri pravila koja su sada navedena sadržana su u jednom, koje se može izraziti općenito na sljedeći način:
4) Množenje mješovitih brojeva.

Pravilo 4. Za množenje mješovitih brojeva, trebate ih pretvoriti u nepravilne razlomke, a zatim množiti prema pravilima za množenje razlomaka. Na primjer:
§ 144. Smanjenje u množenju. Prilikom množenja razlomaka, ako je moguće, potrebno je izvršiti preliminarnu redukciju, što se može vidjeti iz sljedećih primjera:

Takvo smanjenje se može učiniti jer se vrijednost razlomka neće promijeniti ako se brojnik i nazivnik smanji u isti broj jednom.

§ 145. Promjena proizvoda s promjenom faktora. Kada se faktori promijene, umnožak razlomaka će se promijeniti na potpuno isti način kao i umnožak cijelih brojeva (§ 53), naime: ako povećate (ili smanjite) bilo koji faktor nekoliko puta, tada će se proizvod povećati (ili smanjiti) za isti iznos.

Dakle, ako u primjeru:
da bi se pomnožilo nekoliko razlomaka, potrebno je pomnožiti njihove brojnike među sobom i nazivnike među sobom te prvi umnožak učiniti brojnikom, a drugi nazivnikom umnoška.

Komentar. Ovo pravilo se može primijeniti i na takve proizvode u kojima su neki faktori broja cijeli ili mješoviti, ako samo cijeli broj smatramo razlomkom čiji je nazivnik jedan, a mješovite brojeve pretvorimo u nepravilne razlomke. Na primjer:
§ 147. Osnovna svojstva množenja. U množenje razlomaka pripadaju i ona svojstva množenja koja smo naveli za cijele brojeve (§ 56, 57, 59). Navedite ova svojstva.

1) Proizvod se ne mijenja promjenom mjesta faktora.

Na primjer:

Doista, prema pravilu iz prethodnog stavka, prvi umnožak je jednak razlomku, a drugi je jednak razlomku. Ali ti su razlomci isti, jer se njihovi pojmovi razlikuju samo po redoslijedu cjelobrojnih faktora, a umnožak cijelih brojeva se ne mijenja kada se mijenjaju mjesta faktora.

2) Proizvod se neće promijeniti ako se bilo koja skupina čimbenika zamijeni njihovim proizvodom.

Na primjer:

Rezultati su isti.

Iz ovog svojstva množenja možemo izvesti sljedeći zaključak:

da pomnožite broj s umnoškom, ovaj broj možete pomnožiti s prvim faktorom, pomnožiti rezultirajući broj s drugim i tako dalje.

Na primjer:
3) Distributivni zakon množenja (s obzirom na zbrajanje). Da biste zbroj pomnožili nekim brojem, možete svaki pojam pomnožiti s tim brojem zasebno i zbrojiti rezultate.

Ovaj zakon smo objasnili (§ 59) kao primijenjen na cijele brojeve. Ostaje istinito bez ikakvih promjena za razlomke.

Pokažimo, zapravo, da je jednakost

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(distributivni zakon množenja s obzirom na zbrajanje) ostaje istinit čak i kada slova znače razlomke. Razmotrimo tri slučaja.

1) Pretpostavimo prvo da je faktor m cijeli broj, na primjer m = 3 (a, b, c su bilo koji brojevi). Prema definiciji množenja cijelim brojem, može se napisati (ograničeno zbog jednostavnosti na tri pojma):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Na temelju asocijativnog zakona zbrajanja možemo izostaviti sve zagrade na desnoj strani; primjenom komutativnog zakona zbrajanja, a zatim opet zakona kombinacije, očito možemo prepisati desnu stranu na sljedeći način:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Dakle, distributivni zakon u ovom slučaju je potvrđen.

Množenje i dijeljenje razlomaka

Zadnji put smo naučili kako zbrajati i oduzimati razlomke (pogledajte lekciju "Zbrajanje i oduzimanje razlomaka"). Najteži trenutak u tim akcijama bilo je dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Sada je vrijeme da se pozabavimo množenjem i dijeljenjem. Dobra vijest je da su ove operacije čak lakše od zbrajanja i oduzimanja. Za početak, razmotrite najjednostavniji slučaj, kada postoje dva pozitivna razlomka bez istaknutog cijelog broja.

Da biste pomnožili dva razlomka, morate odvojeno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Prvi broj će biti brojnik novog razlomka, a drugi nazivnik.

Da biste podijelili dva razlomka, trebate prvi razlomak pomnožiti s "obrnutom" drugom.

Iz definicije proizlazi da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje. Da biste okrenuli razlomak, samo zamijenite brojnik i nazivnik. Stoga ćemo cijelu lekciju razmatrati uglavnom množenje.

Kao rezultat množenja može nastati (i često nastaje) smanjeni razlomak - naravno, mora se smanjiti. Ako se nakon svih smanjenja razlomak pokaže netočnim, u njemu treba razlikovati cijeli dio. Ali ono što se definitivno neće dogoditi s množenjem je redukcija na zajednički nazivnik: bez križnih metoda, maksimalnih faktora i najmanjih zajedničkih višekratnika.

Po definiciji imamo:

Množenje razlomaka s cijelim dijelom i negativnih razlomaka

Ako u razlomcima postoji cijeli broj, oni se moraju pretvoriti u neispravne - i tek onda pomnožiti prema gore navedenim shemama.

Ako u brojniku razlomka, u nazivniku ili ispred njega postoji minus, on se može izbaciti iz granica množenja ili potpuno ukloniti prema sljedećim pravilima:

1. Plus puta minus daje minus;
2. Dva negativa čine potvrdno.

Do sada su se ta pravila susrela samo pri zbrajanju i oduzimanju negativnih razlomaka, kada je bilo potrebno riješiti se cijelog dijela. Za proizvod se mogu generalizirati kako bi se "spalilo" nekoliko minusa odjednom:

1. Prekrižimo minuse u parovima dok potpuno ne nestanu. U ekstremnom slučaju, jedan minus može preživjeti - onaj koji nije našao par;
2. Ako nema nikakvih minusa, operacija je dovršena - možete početi množiti. Ako zadnji minus nije precrtan, budući da nije pronašao par, izvlačimo ga iz granica množenja. Dobivate negativan razlomak.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Sve razlomke prevodimo u nepravilne, a zatim minuse izvlačimo izvan granica množenja. Ono što ostane množi se prema uobičajenim pravilima. dobivamo:

Podsjetim još jednom da se minus koji dolazi ispred razlomka s istaknutim cijelim dijelom odnosi upravo na cijeli razlomak, a ne samo na njegov cijeli broj (ovo se odnosi na posljednja dva primjera).

Također obratite pažnju na negativni brojevi: Kada se pomnože, nalaze se u zagradama. To je učinjeno kako bi se minusovi odvojili od znakova množenja i cijeli zapis bio točniji.

Smanjenje frakcija u hodu

Množenje je vrlo naporna operacija. Brojevi su ovdje prilično veliki, a da biste pojednostavili zadatak, možete pokušati još više smanjiti razlomak prije množenja. Doista, u biti, brojnici i nazivnici razlomaka su obični faktori, pa se stoga mogu smanjiti korištenjem osnovnog svojstva razlomka. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Po definiciji imamo:

U svim su primjerima crvenom bojom označeni brojevi koji su smanjeni i ono što je od njih ostalo.

Imajte na umu: u prvom slučaju množitelji su potpuno smanjeni. Jedinice su ostale na svojim mjestima, što se, općenito govoreći, može izostaviti. U drugom primjeru nije bilo moguće postići potpunu redukciju, ali se ukupni iznos izračuna ipak smanjio.

Međutim, ni u kojem slučaju nemojte koristiti ovu tehniku ​​pri zbrajanju i oduzimanju razlomaka! Da, ponekad postoje slične brojke koje jednostavno želite smanjiti. Evo, pogledaj:

Ne možete to učiniti!

Pogreška nastaje zbog činjenice da se prilikom zbrajanja razlomka u brojniku razlomka pojavljuje zbroj, a ne umnožak brojeva. Stoga je nemoguće primijeniti glavno svojstvo razlomka, budući da se ovo svojstvo posebno bavi množenjem brojeva.

Jednostavno nema drugog razloga za smanjenje razlomaka, dakle ispravno rješenje prethodni zadatak izgleda ovako:

Kao što vidite, ispostavilo se da točan odgovor nije tako lijep. Općenito, budite oprezni.

Množenje razlomaka.

Da biste ispravno pomnožili razlomak razlomkom ili razlomak brojem, morate znati jednostavna pravila. Sada ćemo detaljno analizirati ova pravila.

Množenje razlomka s razlomkom.

Da biste razlomak pomnožili razlomkom, morate izračunati umnožak brojnika i umnožaka nazivnika tih razlomaka.

Razmotrimo primjer:
Brojnik prvog razlomka pomnožimo s brojnikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka također pomnožimo s nazivnikom drugog razlomka.

Množenje razlomka brojem.

Počnimo s pravilom bilo koji broj može se predstaviti kao razlomak \(\bf n = \frac \) .

Koristimo ovo pravilo za množenje.

Nepravilni razlomak \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) pretvoren je u mješoviti razlomak.

Drugim riječima, Kada broj množite razlomkom, pomnožite broj s brojnikom i ostavite nazivnik nepromijenjen. Primjer:

Množenje mješovitih razlomaka.

Za množenje mješovitih razlomaka, najprije morate svaki mješoviti razlomak predstaviti kao nepravilan razlomak, a zatim upotrijebiti pravilo množenja. Brojnik se množi s brojnikom, nazivnik se množi sa nazivnikom.

Množenje recipročnih razlomaka i brojeva.

Povezana pitanja:
Kako pomnožiti razlomak s razlomkom?
Odgovor: umnožak običnih razlomaka je množenje brojnika s brojnikom, nazivnika s nazivnikom. Da biste dobili umnožak miješanih razlomaka, morate ih pretvoriti u nepravilan razlomak i pomnožiti prema pravilima.

Kako množiti razlomke s različitim nazivnicima?
Odgovor: nije bitno jesu li isti ili različitim nazivnicima za razlomke se množenje događa prema pravilu pronalaženja umnoška brojnika s brojnikom, nazivnika s nazivnikom.

Kako pomnožiti miješane razlomke?
Odgovor: prije svega, trebate pretvoriti mješoviti razlomak u nepravilan razlomak, a zatim pronaći proizvod prema pravilima množenja.

Kako pomnožiti broj s razlomkom?
Odgovor: Pomnožimo broj s brojnikom, a nazivnik ostavimo istim.

Primjer #1:
Izračunajte umnožak: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)

Primjer #2:
Izračunaj umnožak broja i razlomka: a) \(3 \puta \frac \) b) \(\frac \puts 11\)

Primjer #3:
Napisati recipročnu vrijednost razlomka \(\frac \)?
Odgovor: \(\frac = 3\)

Primjer #4:
Izračunajte umnožak dviju recipročnih vrijednosti: a) \(\frac \times \frac \)

Primjer #5:
Mogu li međusobno inverzni razlomci biti:
a) oba prava razlomka;
b) istovremeno nepravilni razlomci;
c) u isto vrijeme prirodni brojevi?

Odluka:
a) Uzmimo primjer da odgovorimo na prvo pitanje. Razlomak \(\frac \) je točan, njegova recipročna vrijednost bit će jednaka \(\frac \) - nepravilan razlomak. Odgovor: ne.

b) u gotovo svim nabrajanjima razlomaka ovaj uvjet nije zadovoljen, ali postoje neki brojevi koji istovremeno ispunjavaju uvjet da su nepravilni razlomak. Na primjer, nepravilni razlomak je \(\frac \) , njegova recipročna vrijednost je \(\frac \). Dobivamo dva nepravilna razlomka. Odgovor: ne uvijek pod određenim uvjetima, kada su brojnik i nazivnik jednaki.

c) prirodni brojevi su brojevi koje koristimo kada brojimo npr. 1, 2, 3, .... Ako uzmemo broj \(3 = \frac \), tada će njegova recipročna vrijednost biti \(\frac \). Razlomak \(\frac \) nije prirodan broj. Ako prođemo kroz sve brojeve, recipročna vrijednost je uvijek razlomak, osim 1. Ako uzmemo broj 1, tada će njegova recipročna vrijednost biti \(\frac = \frac = 1\). Broj 1 je prirodan broj. Odgovor: oni mogu biti istovremeno prirodni brojevi samo u jednom slučaju, ako je taj broj 1.

Primjer #6:
Izvedite umnožak miješanih razlomaka: a) \(4 \puta 2\frac \) b) \(1\frac \puts 3\frac \)

Odluka:
a) \(4 \puta 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac\)

Primjer #7:
Mogu li dvije međusobno recipročne biti istovremeno mješoviti brojevi?

Pogledajmo primjer. Uzmite mješoviti razlomak \(1\frac \), pronađite ga recipročan, za to ga prevodimo u nepravilan razlomak \(1\frac = \frac \) . Njegova recipročna vrijednost bit će jednaka \(\frac \) . Razlomak \(\frac \) je pravi razlomak. Odgovor: Dva međusobno inverzna razlomka ne mogu biti mješoviti brojevi u isto vrijeme.

Množenje decimale prirodnim brojem

Prezentacija za lekciju

Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda ne predstavlja puni opseg prezentacije. Ako si zainteresiran ovaj posao preuzmite punu verziju.

• Na zabavan način upoznajte učenike s pravilom množenja decimalni razlomak na prirodni broj, na bitnu jedinicu i pravilo za izražavanje decimalnog razlomka kao postotak. Razvijati sposobnost primjene stečenih znanja u rješavanju primjera i zadataka.
• Razvijte i aktivirajte logično mišljenje učenika, sposobnost prepoznavanja i generaliziranja obrazaca, jačanje pamćenja, sposobnost suradnje, pružanja pomoći, vrednovanja svog rada i rada međusobno.
• Razvijati interes za matematiku, aktivnost, mobilnost, sposobnost komunikacije.

Oprema: interaktivna ploča, plakat s cifargramom, plakati s izjavama matematičara.

1. Organiziranje vremena.
2. Usmeno brojanje je generalizacija prethodno proučenog gradiva, priprema za proučavanje novog gradiva.
3. Objašnjenje novog gradiva.
4. Domaća zadaća.
5. Matematički tjelesni odgoj.
6. Uopćavanje i sistematizacija stečenog znanja na igriv način uz pomoć računala.
7. Ocjenjivanje.

2. Dečki, danas će naša lekcija biti pomalo neobična, jer je neću provesti sam, već sa svojim prijateljem. I moj prijatelj je također neobičan, sad ćeš ga vidjeti. (Na ekranu se pojavljuje računalo za crtani film.) Moj prijatelj ima ime i zna pričati. Kako se zoveš prijatelju? Komposha odgovara: "Zovem se Komposha." Jeste li spremni danas mi pomoći? DA! Pa onda, krenimo s lekcijom.

Danas sam dobio šifrirani cifergram, ljudi, koji moramo zajedno riješiti i dešifrirati. (Na ploči je postavljen poster sa usmeno prebrojavanje za zbrajanje i oduzimanje decimalnih razlomaka, kao rezultat toga dečki dobivaju sljedeći kod 523914687. )

Komposha pomaže dešifrirati primljeni kod. Kao rezultat dekodiranja dobiva se riječ MNOŽENJE. Množenje je ključna riječ teme današnje lekcije. Na monitoru se prikazuje tema lekcije: "Množenje decimalnog razlomka prirodnim brojem"

Ljudi, znamo kako se izvodi množenje prirodnih brojeva. Danas ćemo pogledati množenje. decimalni brojevi na prirodan broj. Množenje decimalnog razlomka prirodnim brojem može se smatrati zbrojem članova, od kojih je svaki jednak ovom decimalnom razlomku, a broj članova jednak je ovom prirodnom broju. Na primjer: 5,21 3 = 5,21 + 5, 21 + 5,21 = 15,63 Dakle 5,21 3 = 15,63. Predstavljajući 5.21 kao običan razlomak prirodnog broja, dobivamo

I u ovom slučaju dobili smo isti rezultat 15,63. Sada, zanemarujući zarez, uzmimo broj 521 umjesto broja 5,21 i pomnožimo zadanim prirodnim brojem. Ovdje moramo imati na umu da je u jednom od faktora zarez pomaknut dva mjesta udesno. Množenjem brojeva 5, 21 i 3 dobivamo proizvod jednak 15,63. Sada, u ovom primjeru, pomaknut ćemo zarez ulijevo za dvije znamenke. Dakle, za koliko je puta povećan jedan od faktora, proizvod je smanjen za toliko puta. Na temelju sličnih točaka ovih metoda donosimo zaključak.

Da biste decimalu pomnožili prirodnim brojem, trebate:
1) zanemarujući zarez, izvršiti množenje prirodnih brojeva;
2) u dobivenom umnošku odvojite zarezom s desne strane onoliko znakova koliko ih ima u decimalnom razlomku.

Na monitoru su prikazani sljedeći primjeri koje analiziramo zajedno s Komposhom i dečkima: 5,21 3 = 15,63 i 7,624 15 = 114,34. Nakon što pokažem množenje sa okrugli broj 12,6 50 = 630. Zatim prelazim na množenje decimalnog razlomka s bitnom jedinicom. Prikazujem sljedeće primjere: 7,423 100 = 742,3 i 5,2 1000 = 5200. Dakle, uvodim pravilo za množenje decimalnog razlomka s bitnom jedinicom:

Da biste decimalni razlomak pomnožili s bitnim jedinicama 10, 100, 1000 itd., potrebno je pomaknuti zarez udesno u ovom razlomku za onoliko znamenki koliko ima nula u zapisu bitne jedinice.

Objašnjenje završavam izrazom decimalnog razlomka u postotku. Unosim pravilo:

Da biste decimalu izrazili kao postotak, pomnožite je sa 100 i dodajte znak %.

Dajem primjer na računalu 0,5 100 = 50 ili 0,5 = 50%.

4. Na kraju objašnjenja dajem dečkima domaća zadaća, koji se također prikazuje na monitoru računala: № 1030, № 1034, № 1032.

5. Kako bi se dečki malo odmorili, konsolidirali temu, zajedno s Komposhom odrađujemo matematičku tjelesnu. Svi ustaju, pokazuju razredu riješene primjere i moraju odgovoriti je li primjer točan ili netočan. Ako je primjer točno riješen, onda podignu ruke iznad glave i pljesnu dlanovima. Ako primjer nije točno riješen, dečki ispruže ruke u stranu i gnječe prste.

6. A sada se malo odmorite, možete riješiti zadatke. Otvorite svoj udžbenik na stranici 205, № 1029. u ovom zadatku potrebno je izračunati vrijednost izraza:

Zadaci se pojavljuju na računalu. Kako su riješeni, pojavljuje se slika s likom čamca, koji, kad je potpuno sastavljen, isplovljava.

Rješavajući ovaj zadatak na računalu, raketa se postupno razvija, rješavajući posljednji primjer, raketa odleti. Učitelj učenicima daje malu informaciju: „Svake godine iz kazahstanske zemlje s kozmodroma Baikonur poletite do zvijezda svemirski brodovi. U blizini Bajkonura, Kazahstan gradi svoje nova svemirska luka Baiterek.

Koliko će auto prijeći za 4 sata ako je brzina putnički automobil 74,8 km/h.

Poklon bon Ne znate što pokloniti svojoj drugoj osobi, prijateljima, zaposlenicima, rodbini? Iskoristite našu posebnu ponudu: "Poklon bon hotela Blue Osoka Country". Certifikat […]

U srednjoškolskom i srednjoškolskom tečaju učenici su proučavali temu "Razlomci". Međutim, ovaj koncept je mnogo širi od onoga što se daje u procesu učenja. Danas se koncept razlomka javlja prilično često, a ne može svatko izračunati bilo koji izraz, na primjer, množenje razlomaka.

Što je razlomak?

Povijesno se dogodilo da su se razlomci pojavili zbog potrebe mjerenja. Kao što pokazuje praksa, često postoje primjeri za određivanje duljine segmenta, volumena pravokutnog pravokutnika.

U početku se studenti upoznaju s takvim konceptom kao udio. Na primjer, ako podijelite lubenicu na 8 dijelova, tada će svaki dobiti jednu osminu lubenice. Ovaj jedan dio od osam naziva se udio.

Udio jednak ½ bilo koje vrijednosti naziva se polovicom; ⅓ - treći; ¼ - četvrtina. Unosi poput 5/8, 4/5, 2/4 nazivaju se običnim razlomcima. Obični razlomak dijeli se na brojnik i nazivnik. Između njih je frakcijska crta, ili frakcijska crta. Frakcijska traka može se nacrtati kao vodoravna ili nagnuta linija. U ovom slučaju, to je znak podjele.

Nazivnik predstavlja na koliko jednakih udjela je podijeljena vrijednost; a brojnik je koliko je uzeto jednakih udjela. Brojnik je napisan iznad razlomka, nazivnik ispod njega.

Najprikladnije je prikazati obične razlomke na koordinatni snop. Ako je jedan segment podijeljen na 4 jednaka dijela, svaki dio je označen latiničnim slovom, tada možete dobiti izvrsnu vizualnu pomoć. Dakle, točka A pokazuje udio jednak 1/4 cijelog segmenta jedinice, a točka B označava 2/8 ovog segmenta.

Sorte frakcija

Razlomci su uobičajeni, decimalni i mješoviti brojevi. Osim toga, razlomci se mogu podijeliti na pravilne i nepravilne. Ova je klasifikacija prikladnija za obične frakcije.

Pravi razlomak je broj čiji je brojnik manji od nazivnika. Prema tome, nepravilan razlomak je broj čiji je brojnik veći od nazivnika. Druga vrsta se obično piše kao mješoviti broj. Takav izraz se sastoji od cjelobrojnog dijela i razlomka. Na primjer, 1½. 1 - cijeli broj, ½ - razlomak. Međutim, ako trebate izvršiti neke manipulacije s izrazom (dijeljenje ili množenje razlomaka, njihovo smanjenje ili pretvaranje), mješoviti broj se pretvara u nepravilan razlomak.

Točan frakcijski izraz je uvijek manje od jedan, a netočno - veće ili jednako 1.

Što se tiče ovog izraza, oni razumiju zapis u kojem je predstavljen bilo koji broj, čiji se nazivnik razlomka može izraziti kroz jedan s nekoliko nula. Ako je razlomak točan, tada će cijeli broj u decimalnom zapisu biti nula.

Da biste napisali decimalni dio, prvo morate napisati cijeli broj, odvojiti ga od razlomka zarezom, a zatim napisati razlomak. Treba imati na umu da brojnik nakon zareza mora sadržavati onoliko brojčanih znakova koliko ima nula u nazivniku.

Primjer. Predstavite razlomak 7 21 / 1000 u decimalnom zapisu.

Algoritam za pretvaranje nepravilnog razlomka u mješoviti broj i obrnuto

Netočno je zapisivati ​​nepravilan razlomak u odgovoru zadatka, pa ga se mora pretvoriti u mješoviti broj:

• podijeliti brojnik s postojećim nazivnikom;
• u konkretan primjer nepotpuni količnik - cijeli;
• a ostatak je brojnik razlomka, pri čemu nazivnik ostaje nepromijenjen.

Primjer. Pretvori nepravilan razlomak u mješoviti broj: 47 / 5 .

Odluka. 47: 5. Nepotpuni kvocijent je 9, ostatak = 2. Dakle, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Ponekad trebate predstaviti mješoviti broj kao nepravilan razlomak. Zatim morate koristiti sljedeći algoritam:

• cijeli se dio množi nazivnikom razlomka;
• rezultirajući proizvod se dodaje brojniku;
• rezultat se upisuje u brojnik, nazivnik ostaje nepromijenjen.

Primjer. Izrazite broj u mješovitom obliku kao nepravilan razlomak: 9 8 / 10 .

Odluka. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 je brojnik.

Odgovor: 98 / 10.

Množenje običnih razlomaka

Na običnim razlomcima možete izvoditi razne algebarske operacije. Da biste pomnožili dva broja, trebate pomnožiti brojnik s brojnikom, a nazivnik s nazivnikom. Štoviše, množenje razlomaka s različitim nazivnicima ne razlikuje se od umnožaka razlomaka s istim nazivnicima.

Događa se da nakon pronalaska rezultata trebate smanjiti razlomak. NA bez greške rezultirajući izraz treba pojednostaviti što je više moguće. Naravno, ne može se reći da je nepravilan razlomak u odgovoru greška, ali ga je također teško nazvati točnim odgovorom.

Primjer. Pronađite umnožak dvaju običnih razlomaka: ½ i 20/18.

Kao što se može vidjeti iz primjera, nakon pronalaska proizvoda dobiva se reducibilni razlomak. I brojnik i nazivnik u ovom slučaju su djeljivi sa 4, a rezultat je odgovor 5/9.

Množenje decimalnih razlomaka

Umnožak decimalnih razlomaka po svom se principu prilično razlikuje od umnoška običnih razlomaka. Dakle, množenje razlomaka je kako slijedi:

• dva decimalna razlomka moraju biti zapisana jedan ispod drugog tako da krajnje desne znamenke budu jedna ispod druge;
• trebate množiti napisane brojeve, unatoč zarezima, odnosno kao prirodne brojeve;
• broji broj znamenki iza zareza u svakom od brojeva;
• u rezultatu dobivenom nakon množenja potrebno je izbrojati onoliko digitalnih znakova s ​​desne strane koliko ih sadrži zbroj oba faktora nakon decimalne točke i staviti znak za razdvajanje;
• ako je u umnošku manje znamenki, onda se ispred njih mora napisati toliko nula da pokrije ovaj broj, staviti zarez i dodijeliti cijeli broj jednak nuli.

Primjer. Izračunaj umnožak dviju decimala: 2,25 i 3,6.

Odluka.

Množenje mješovitih razlomaka

Da biste izračunali umnožak dvaju mješovitih razlomaka, morate koristiti pravilo za množenje razlomaka:

• pretvoriti mješovite brojeve u nepravilne razlomke;
• pronaći umnožak brojnika;
• pronaći umnožak nazivnika;
• zapišite rezultat;
• pojednostaviti izraz što je više moguće.

Primjer. Pronađite umnožak 4½ i 6 2 / 5.

Množenje broja s razlomkom (razlomci s brojem)

Osim pronalaženja umnoška dva razlomka, mješovitih brojeva, postoje zadaci u kojima trebate množiti razlomkom.

Dakle, da biste pronašli umnožak decimalnog razlomka i prirodnog broja, trebate:

• upiši broj ispod razlomka tako da krajnje desne znamenke budu jedna iznad druge;
• pronaći posao, unatoč zarezu;
• u dobivenom rezultatu odvojite cijeli broj od razlomka pomoću zareza, računajući s desne strane broj znakova koji se nalazi iza decimalne točke u razlomku.

Da biste obični razlomak pomnožili brojem, trebali biste pronaći umnožak brojnika i prirodnog faktora. Ako je odgovor reducibilni razlomak, treba ga pretvoriti.

Primjer. Izračunaj umnožak 5/8 i 12.

Odluka. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Odgovor: 7 1 / 2.

Kao što možete vidjeti iz prethodnog primjera, bilo je potrebno smanjiti dobiveni rezultat i pretvoriti netočan razlomak u mješoviti broj.

Također, množenje razlomaka vrijedi i za pronalaženje umnoška broja u mješovitom obliku i prirodnog faktora. Da biste pomnožili ova dva broja, trebali biste cijeli broj mješovitog faktora pomnožiti s brojem, pomnožiti brojnik s istom vrijednošću, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Ako je potrebno, morate pojednostaviti rezultat što je više moguće.

Primjer. Pronađite umnožak 9 5 / 6 i 9.

Odluka. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Odgovor: 88 1 / 2.

Množenje faktorima 10, 100, 1000 ili 0,1; 0,01; 0,001

Iz prethodnog stavka proizlazi sljedeće pravilo. Da biste decimalni razlomak pomnožili s 10, 100, 1000, 10000 itd., trebate pomaknuti zarez udesno za onoliko znamenki koliko ima nula u množitelju nakon jedan.

Primjer 1. Pronađite umnožak 0,065 i 1000.

Odluka. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Odgovor: 65.

Primjer 2. Pronađite umnožak 3,9 i 1000.

Odluka. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Odgovor: 3900.

Ako trebate pomnožiti prirodni broj i 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 itd., trebali biste pomaknuti zarez ulijevo u rezultirajućem umnošku za onoliko znamenki koliko ima nula ispred jedan. Ako je potrebno, ispred prirodnog broja upisuje se dovoljan broj nula.

Primjer 1. Pronađite umnožak 56 i 0,01.

Odluka. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Odgovor: 0,56.

Primjer 2. Pronađite umnožak 4 i 0,001.

Odluka. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Odgovor: 0,004.

Dakle, pronalaženje proizvoda razne frakcije ne bi trebao uzrokovati poteškoće, osim za izračun rezultata; U ovom slučaju jednostavno ne možete bez kalkulatora.

Množenje i dijeljenje razlomaka.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom odjeljku 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Ova operacija je puno ljepša od zbrajanja-oduzimanja! Jer je lakše. Podsjećam vas: da biste pomnožili razlomak s razlomkom, trebate pomnožiti brojnike (ovo će biti brojnik rezultata) i nazivnike (ovo će biti nazivnik). tj.:

Na primjer:

Sve je krajnje jednostavno. I molim vas, nemojte tražiti zajednički nazivnik! Ne treba ovdje...

Da biste podijelili razlomak s razlomkom, trebate preokrenuti drugi(ovo je važno!) razlomite i pomnožite ih, tj.:

Na primjer:

Ako se množenje ili dijeljenje s cijelim brojevima i razlomcima uhvati, u redu je. Kao i kod zbrajanja, od cijelog broja napravimo razlomak s jedinicom u nazivniku - i idemo! Na primjer:

U srednjoj školi često morate imati posla s trokatnim (ili čak četverokatnim!) razlomcima. Na primjer:

Kako ovu frakciju dovesti u pristojan oblik? Da, vrlo lako! Koristite podjelu kroz dvije točke:

Ali ne zaboravite na redoslijed podjela! Za razliku od množenja, ovo je ovdje vrlo važno! Naravno, nećemo brkati 4:2 ili 2:4. Ali u trokatnom razlomku lako je pogriješiti. Imajte na umu, na primjer:

U prvom slučaju (izraz s lijeve strane):

U drugom (izraz s desne strane):

Osjeti razliku? 4 i 1/9!

Koji je redoslijed dijeljenja? Ili zagrade, ili (kao ovdje) duljina horizontalnih crtica. Razviti oko. A ako nema zagrada ili crtica, poput:

zatim podijeli-množi redom, s lijeva na desno!

I još jedan vrlo jednostavan i važan trik. U akcijama s diplomama dobro će vam doći! Podijelimo jedinicu bilo kojim razlomkom, na primjer, s 13/15:

Snimak se preokrenuo! I uvijek se dogodi. Kada se 1 podijeli s bilo kojim razlomkom, rezultat je isti razlomak, samo obrnuti.

To su sve radnje s razlomcima. Stvar je prilično jednostavna, ali daje više nego dovoljno pogrešaka. Bilješka praktični savjeti, a njih (greške) će biti manje!

Praktični savjeti:

1. Najvažnija stvar pri radu s frakcijskim izrazima je točnost i pažnja! To nisu uobičajene riječi, nisu dobre želje! Ovo je ozbiljna potreba! Obavite sve izračune na ispitu kao cjelovit zadatak, koncentrirano i jasno. Bolje je napisati dva dodatna retka u nacrtu nego zabrljati kad računate u svojoj glavi.

2. U primjerima sa različiti tipovi razlomci - prijeđite na obične razlomke.

3. Sve razlomke smanjujemo do kraja.

4. Razlomačke izraze na više razina svodimo na obične dijeljenjem kroz dvije točke (pratimo redoslijed dijeljenja!).

5. U mislima dijelimo jedinicu na razlomak, jednostavno okrećući razlomak.

Ovdje su zadaci koje trebate izvršiti. Odgovori se daju nakon svih zadataka. Koristite materijale ove teme i praktične savjete. Procijeni koliko bi primjera mogao točno riješiti. Prvi put! Bez kalkulatora! I izvući prave zaključke...

Zapamti točan odgovor dobiveno iz drugog (posebno trećeg) puta - ne računa se! Takav je surov život.

Tako, rješavati u ispitnom načinu ! Ovo je, inače, priprema za ispit. Rješavamo primjer, provjeravamo, rješavamo sljedeće. Odlučili smo sve – ponovno smo provjeravali od prvog do posljednjeg. Samo nakon pogledaj odgovore.

Izračunati:

Jeste li se odlučili?

Tražite odgovore koji odgovaraju vašima. Namjerno sam ih zapisao u neredu, daleko od iskušenja, da tako kažem... Evo ih, odgovora, zapisanih s točkom i zarezom.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

I sada donosimo zaključke. Ako je sve uspjelo - sretan za vas! Elementarni proračuni s razlomcima - nije vaš problem! Možete raditi ozbiljnije stvari. Ako ne...

Dakle, imate jedan od dva problema. Ili oboje odjednom.) Nedostatak znanja i (ili) nepažnja. Ali ovo rješiv Problemi.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje s trenutnom provjerom. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i izvedenicama.

Da biste ispravno pomnožili razlomak s razlomkom ili razlomak brojem, morate znati jednostavna pravila. Sada ćemo detaljno analizirati ova pravila.

Množenje razlomka s razlomkom.

Da biste razlomak pomnožili razlomkom, morate izračunati umnožak brojnika i umnožaka nazivnika tih razlomaka.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \puts c)(b \puts d)\\\)

Razmotrimo primjer:
Brojnik prvog razlomka pomnožimo s brojnikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka također pomnožimo s nazivnikom drugog razlomka.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ puta 3)(7 \puta 3) = \frac(4)(7)\\\)

Razlomak \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \puts 3) = \frac(4)(7)\\\) smanjen je za 3.

Množenje razlomka brojem.

Počnimo s pravilom bilo koji broj se može predstaviti kao razlomak \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Koristimo ovo pravilo za množenje.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Nepravilan razlomak \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) pretvoreno u mješoviti razlomak.

Drugim riječima, Kada broj množite razlomkom, pomnožite broj s brojnikom i ostavite nazivnik nepromijenjen. Primjer:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Množenje mješovitih razlomaka.

Za množenje mješovitih razlomaka, najprije morate svaki mješoviti razlomak predstaviti kao nepravilan razlomak, a zatim upotrijebiti pravilo množenja. Brojnik se množi s brojnikom, nazivnik se množi sa nazivnikom.

Primjer:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \puta 6) = \frac(3 \puta \color(red) (3) \times 23)(4 \puts 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Množenje recipročnih razlomaka i brojeva.

Razlomak \(\bf \frac(a)(b)\) je inverzni razlomku \(\bf \frac(b)(a)\), pod uvjetom da je a≠0,b≠0.
Razlomci \(\bf \frac(a)(b)\) i \(\bf \frac(b)(a)\) nazivaju se recipročni. Umnožak recipročnih razlomaka je 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Primjer:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Povezana pitanja:
Kako pomnožiti razlomak s razlomkom?
Odgovor: umnožak običnih razlomaka je množenje brojnika s brojnikom, nazivnika s nazivnikom. Da biste dobili umnožak miješanih razlomaka, morate ih pretvoriti u nepravilan razlomak i pomnožiti prema pravilima.

Kako množiti razlomke s različitim nazivnicima?
Odgovor: nije bitno jesu li nazivnici razlomaka isti ili različiti, množenje se događa prema pravilu za pronalaženje umnoška brojnika s brojnikom, nazivnika s nazivnikom.

Kako pomnožiti miješane razlomke?
Odgovor: prije svega, trebate pretvoriti mješoviti razlomak u nepravilan razlomak, a zatim pronaći proizvod prema pravilima množenja.

Kako pomnožiti broj s razlomkom?
Odgovor: Pomnožimo broj s brojnikom, a nazivnik ostavimo istim.

Primjer #1:
Izračunajte umnožak: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \)

Odluka:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \puts 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( crvena) (5))(3 \puta \color(crvena) (5) \puta 13) = \frac(4)(39)\)

Primjer #2:
Izračunaj umnožak broja i razlomka: a) \(3 \puta \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \puta 11\)

Odluka:
a) \(3 \puta \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Primjer #3:
Napisati recipročnu vrijednost \(\frac(1)(3)\)?
Odgovor: \(\frac(3)(1) = 3\)

Primjer #4:
Izračunajte umnožak dvaju recipročnih razlomaka: a) \(\frac(104)(215) \puta \frac(215)(104)\)

Odluka:
a) \(\frac(104)(215) \puta \frac(215)(104) = 1\)

Primjer #5:
Mogu li međusobno inverzni razlomci biti:
a) oba prava razlomka;
b) istovremeno nepravilni razlomci;
c) prirodni brojevi u isto vrijeme?

Odluka:
a) Uzmimo primjer da odgovorimo na prvo pitanje. Razlomak \(\frac(2)(3)\) je pravilan, njegova recipročna vrijednost bit će jednaka \(\frac(3)(2)\) - nepravilan razlomak. Odgovor: ne.

b) u gotovo svim nabrajanjima razlomaka ovaj uvjet nije zadovoljen, ali postoje neki brojevi koji istovremeno ispunjavaju uvjet da su nepravilni razlomak. Na primjer, nepravilni razlomak je \(\frac(3)(3)\) , njegova recipročna vrijednost je \(\frac(3)(3)\). Dobivamo dva nepravilna razlomka. Odgovor: ne uvijek pod određenim uvjetima, kada su brojnik i nazivnik jednaki.

c) prirodni brojevi su brojevi koje koristimo kada brojimo npr. 1, 2, 3, .... Ako uzmemo broj \(3 = \frac(3)(1)\), tada će njegova recipročna vrijednost biti \(\frac(1)(3)\). Razlomak \(\frac(1)(3)\) nije prirodan broj. Ako prođemo kroz sve brojeve, recipročna vrijednost je uvijek razlomak, osim 1. Ako uzmemo broj 1, tada će njegova recipročna vrijednost biti \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). Broj 1 je prirodan broj. Odgovor: oni mogu biti istovremeno prirodni brojevi samo u jednom slučaju, ako je taj broj 1.

Primjer #6:
Izvedite umnožak miješanih razlomaka: a) \(4 \puta 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \puts 3\frac(2)(7)\ )

Odluka:
a) \(4 \puta 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Primjer #7:
Mogu li dva međusobno recipročna broja biti istovremeno mješoviti brojevi?

Pogledajmo primjer. Uzmimo mješoviti razlomak \(1\frac(1)(2)\), pronađimo njegovu recipročnu vrijednost, za to ga prevodimo u nepravilan razlomak \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . Njegova recipročna vrijednost bit će jednaka \(\frac(2)(3)\) . Razlomak \(\frac(2)(3)\) je pravi razlomak. Odgovor: Dva međusobno inverzna razlomka ne mogu biti mješoviti brojevi u isto vrijeme.