Ovdje nije dovoljna jedna linija, morate znati posebne formule. Jedino što se od nas traži je da odredimo promjer ili polumjer kružnice. U nekim zadacima navedene su količine. Ali što ako nemamo ništa osim crteža? Nema problema. Promjer i polumjer se mogu izračunati pomoću običnog ravnala. A sada prijeđimo na ono najosnovnije.
Formule koje bi svi trebali znati
Već prije gotovo 4000 godina znanstvenici su otkrili nevjerojatan odnos: ako opseg kruga podijelite s njegovim promjerom, dobit ćete isti broj, koji je otprilike 3,14. Ovo značenje je nazvano upravo ovim slovom u starogrčkom jeziku, počele su riječi "perimetar" i "opseg". Na temelju otkrića drevnih znanstvenika, možete izračunati duljinu bilo kojeg kruga:
Gdje P znači duljinu (perimetar) kružnice,
D - promjer, P - "Pi" broj.
Opseg kruga se također može izračunati u smislu njegovog polumjera (r), koji je jednak polovici duljine promjera. Evo druge formule koju treba zapamtiti:
Kako pronaći promjer kruga?
Predstavlja tetivu koja prolazi središtem figure. Ujedno povezuje dvije najudaljenije točke u krugu. Na temelju toga možete samostalno nacrtati promjer (radijus) i mjeriti njegovu duljinu ravnalom.
Metoda 1: unesite pravokutni trokut u krugu
Neće biti teško izračunati opseg kruga ako pronađemo njegov promjer. Potrebno je nacrtati u krug gdje će hipotenuza biti jednaka promjeru kružnice. Da biste to učinili, morate imati pri ruci ravnalo i kvadrat, inače ništa neće raditi.
Metoda 2: unesite bilo koji trokut
Na strani kruga označite bilo koje tri točke, spojite ih - dobivamo trokut. Važno je da središte kruga leži u području trokuta, to se može učiniti okom. Na svaku stranu trokuta nacrtamo medijan, točka njihovog presjeka će se podudarati sa središtem kruga. A kada znamo središte, lako možemo nacrtati promjer pomoću ravnala.
Ova metoda je vrlo slična prvoj, ali se može koristiti u nedostatku kvadrata ili u slučajevima kada nije moguće crtati na figuri, na primjer, na ploči. Potrebno je uzeti list papira s pravim kutovima. Nanosimo list na krug tako da jedan vrh njegovog kuta bude u kontaktu s rubom kruga. Zatim označite točkama mjesta gdje se stranice papira sijeku s linijom kruga. Ove točke povezujemo olovkom i ravnalom. Ako nemate ništa pri ruci, samo presavijte papir. Ova linija će biti jednaka duljini promjera.
Primjer zadatka
- Tražimo promjer pomoću kvadrata, ravnala i olovke prema metodi br. 1. Pretpostavimo da je ispalo 5 cm.
- Poznavajući promjer, lako ga možemo umetnuti u našu formulu: P = d P = 5 * 3,14 = 15,7 U našem slučaju, pokazalo se da je oko 15,7. Sada možete jednostavno objasniti kako izračunati opseg kruga bez ikakvih problema.
Dakle, opseg ( C) može se izračunati množenjem konstante π po promjeru ( D), ili množenjem π za dvostruki polumjer, budući da je promjer jednak dvama radijusom. Stoga, formula opsega izgledat će ovako:
C = πD = 2πR
gdje C - opseg, π - konstantno, D- promjer kruga, R je polumjer kružnice.
Budući da je kružnica granica kružnice, opseg kružnice se također može nazvati duljinom kruga ili opsegom kružnice.
Problemi za opseg
Zadatak 1. Nađi opseg kruga ako je njegov promjer 5 cm.
Budući da je opseg π pomnožen s promjerom, tada će opseg kruga promjera 5 cm biti jednak:
C≈ 3,14 5 = 15,7 (cm)
Zadatak 2. Nađi opseg kružnice čiji je polumjer 3,5 m.
Prvo, pronađite promjer kruga množenjem duljine polumjera s 2:
D= 3,5 2 = 7 (m)
Sada pronađite opseg kruga množenjem π po promjeru:
C≈ 3,14 7 = 21,98 (m)
Zadatak 3. Nađi polumjer kružnice čija je duljina 7,85 m.
Da biste pronašli polumjer kruga s obzirom na njegovu duljinu, podijelite opseg s 2. π
Područje kruga
Površina kruga jednaka je umnošku broja π na kvadrat polumjera. Formula za pronalaženje površine kruga:
S = pr 2
gdje S je površina kruga, i r je polumjer kružnice.
Budući da je promjer kružnice dvostruko veći od polumjera, radijus jednak promjeru podijeljeno sa 2:
Problemi za područje kruga
Zadatak 1. Nađite površinu kruga ako je njegov polumjer 2 cm.
Budući da je površina kruga π pomnoženo s polumjerom na kvadrat, tada će površina kruga polumjera 2 cm biti jednaka:
S≈ 3,14 2 2 \u003d 3,14 4 \u003d 12,56 (cm 2)
Zadatak 2. Nađi površinu kruga ako je njegov promjer 7 cm.
Prvo, pronađite polumjer kružnice dijeleći njegov promjer s 2:
7:2=3,5(cm)
Sada izračunavamo površinu kruga pomoću formule:
S = pr 2 ≈ 3,14 3,5 2 \u003d 3,14 12,25 \u003d 38,465 (cm 2)
Ovaj zadatak može se riješiti na drugi način. Umjesto da prvo pronađete polumjer, možete koristiti formulu za pronalaženje površine kruga u smislu promjera:
| S = π | D 2 | ≈ 3,14 | 7 2 | = 3,14 | 49 | = | 153,86 | \u003d 38,465 (cm 2) |
| 4 | 4 | 4 | 4 |
Zadatak 3. Nađite polumjer kružnice ako je njegova površina 12,56 m 2.
Da biste pronašli polumjer kruga s obzirom na njegovu površinu, podijelite površinu kružnice π , a zatim izvući iz rezultata Korijen:
r = √S : π
pa će polumjer biti:
r≈ √12,56: 3,14 = √4 = 2 (m)
Broj π
Opseg predmeta koji nas okružuju može se izmjeriti centimetarskom trakom ili užetom (koncem), čija se duljina potom može mjeriti zasebno. Ali u nekim slučajevima je teško ili gotovo nemoguće izmjeriti opseg, na primjer, unutarnji opseg boce ili samo opseg nacrtan na papiru. U takvim slučajevima možete izračunati opseg kruga ako znate duljinu njegovog promjera ili polumjera.
Da bismo razumjeli kako se to može učiniti, uzmimo nekoliko okruglih predmeta iz kojih možete izmjeriti i opseg i promjer. Izračunavamo omjer duljine i promjera, kao rezultat dobivamo sljedeći niz brojeva:
Iz ovoga možemo zaključiti da je omjer opsega kružnice i njenog promjera stalna vrijednost za svaki pojedini krug i za sve kružnice u cjelini. Ovaj odnos se označava slovom π .
Koristeći ovo znanje, možete koristiti polumjer ili promjer kruga da pronađete njegovu duljinu. Na primjer, da biste izračunali opseg kruga s polumjerom od 3 cm, trebate pomnožiti polumjer s 2 (tako da dobijemo promjer), a dobiveni promjer pomnožite s π . Konačno, s brojem π saznali smo da je opseg kružnice polumjera 3 cm 18,84 cm.
- ako je poznat promjer kružnice, formula izgleda ovako L = PD
- ako je polumjer kružnice poznat, tada formula ima sljedeći pogled L = 2Pr.
Formula opsega
Ako koristite Yandex, tada se opseg može izračunati u samom sučelju za pretraživanje. Unesite u Yandex formula opsega, on će vam dati formulu za izračun i prozor za unos vrijednosti. Zatim ćete morati pritisnuti gumb Izračunaj.
Krug je ovakav geometrijski lik, što je skup svih njegovih točaka na ravnini, jednako udaljenih od središta, na udaljenosti koja se naziva polumjer.
Da bi se izračunao opseg, koji se obično označava kao L, potrebno je polumjer, označen kao R, pomnožiti s 2 i brojem Pi. L=2PiR. Pi je konstantna vrijednost i jednaka je 3,14.
Ili možete uzeti dvostruko veći radijus, odnosno promjer (D) i tada će formula izgledati ovako: L \u003d PiD.
Možete pronaći opseg kružnice bez poznavanja polumjera. Da biste to učinili, morate znati područje kruga.
Formula za izračunavanje opsega kružnice poznato područje krug izgleda ovako:
L=2*kvadratni korijen od pi*S
gdje je S površina kruga.
Opseg
Možete kopirati na svoje računalo donju tablicu s osnovnim formulama za krug i krug. Ona će vam više puta pomoći pri rješavanju geometrijskih problema.
Evo formule za opseg kružnice. Izgleda kao: L=2PR
Na stranici Zbirka formulaquot ;, možete izračunati opseg unosom podataka koje imate. Tamo,
Rješenje jednadžbi:
Geometrijska progresija:
kombinatorika:
Riješite kemijsku jednadžbu
Poznato je da je bez obzira na opseg njegov omjer i promjer konstantan broj. Ako je promjer kruga poznat, tada se ta vrijednost mora pomnožiti s brojem Pi (3.14).
Formula izgleda ovako:
Ako je polumjer poznat, tada da bismo pronašli promjer, pomnožimo ga s dva, a da bismo pronašli opseg, opet brojem Pi.
Krug u geometriji je lik na ravni, a sve točke koje leže na opsegu kružnice uklonjene su jednaka udaljenost iz središta kruga
Polumjer kružnice se u geometriji naziva udaljenost, segment od središta kružnice do njegove bilo koje točke na kružnici.
Opseg s polumjerom izračunava se po formuli
Opseg L je 2pi puta R.
Ili formula izgleda ovako. Kako biste izbjegli zabunu, zapamtite da je opseg kružnice obod kruga.
r je polumjer
D - promjer
Otprilike 3.14
Ali krug nije krug
Pogledajte sliku koja pokazuje razliku između kruga i kruga.
Krug je krivulja koja zatvara krug. Sve njegove točke su na jednakoj udaljenosti od središta. Formula za izračun opsega kružnice koristi vrijednosti polumjera, odnosno dvostrukog polumjera, promjera i broja koji uvijek ima vrijednost 3,14.
Formula tako izgleda ovako: L=d ili L=2R, gdje je L vrijednost opsega dobivena množenjem broja (3.14) s vrijednošću polumjera kružnice ili dvostrukim promjerom.
Još iz srednjoškolskog programa jasno se sjećam formule za mjerenje opsega kružnice. Ova formula izgleda ovako - 2Pr, gdje je r polumjer kružnice, koji je jednak polovici promjera, a broj P je nepromijenjen i jednak je 3,14.
Formula za opseg kružnice je Pi puta promjer ili Pi puta polumjer puta 2.
Opseg kruga može se pronaći na jedan od sljedećih načina:
U kojem god području gospodarstva osoba radi, svjesno ili nesvjesno, koristi se matematičkim znanjem nagomilanim tijekom mnogih stoljeća. Svaki dan susrećemo uređaje i mehanizme koji sadrže krugove. Okrugli oblik ima kotačić, pizzu, mnogo povrća i voća u odjeljku čine krug, kao i tanjure, šalice i još mnogo toga. Međutim, ne znaju svi kako ispravno izračunati opseg.
Da biste izračunali opseg kruga, prvo se morate sjetiti što je krug. Ovo je skup svih točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane. Krug je mjesto točaka u ravnini koja se nalazi unutar kružnice. Iz navedenog proizlazi da su opseg kružnice i opseg kružnice jedno te isto.
Načini pronalaženja opsega kružnice
Osim matematičkog načina pronalaženja opsega kružnice, postoje i praktični.
- Uzmite uže ili uže i jednom ga omotajte.
- Zatim izmjerite uže, rezultirajući broj će biti opseg.
- Okrenite okrugli predmet jednom i izračunajte duljinu puta. Ako je predmet vrlo mali, možete ga nekoliko puta omotati špagom, zatim odmotati konac, izmjeriti i podijeliti po broju zavoja.
- Pronađite traženu vrijednost pomoću formule:
L = 2πr = πD ,
gdje je L željena duljina;
π je konstanta, približno jednaka 3,14 r je polumjer kružnice, udaljenost od njegova središta do bilo koje točke;
D je promjer, jednak je dvama polumjerima.
Primjenom formule pronađite opseg kružnice
- Primjer 1 Ergometar prolazi oko kruga polumjera 47,8 metara. Pronađite duljinu ove trake za trčanje, uz pretpostavku da je π = 3,14.
L \u003d 2πr \u003d 2 * 3,14 * 47,8 ≈ 300 (m)
Odgovor: 300 metara
- Primjer 2. Kotač bicikla, okrenuvši se 10 puta, prešao je 18,85 metara. Pronađite polumjer kotača.
18,85: 10 = 1,885 (m) je opseg kotača.
1,885: π \u003d 1,885: 3,1416 ≈ 0,6 (m) - željeni promjer
Odgovor: promjer kotača 0,6 metara
Nevjerojatan broj π
Unatoč prividnoj jednostavnosti formule, mnogima je iz nekog razloga teško zapamtiti je. Očigledno, to je zbog činjenice da formula sadrži iracionalni broj π, koji nije prisutan u formulama površine drugih figura, na primjer, kvadrata, trokuta ili romba. Samo trebate zapamtiti da je to konstanta, odnosno konstanta, što znači omjer opsega i promjera. Prije oko 4 tisuće godina ljudi su primijetili da je omjer opsega kruga i njegovog polumjera (ili promjera) isti za sve krugove.
Stari Grci su aproksimirali broj π s razlomkom 22/7. Dugo se vremena π računao kao prosjek između duljina upisanog i opisanog poligona u krugu. U trećem stoljeću naše ere, kineski matematičar je izvršio izračun za 3072-kut i dobio približnu vrijednost π = 3,1416. Treba imati na umu da je π uvijek konstantan za bilo koji krug. Njegova oznaka grčko pismoπ se pojavio u 18. stoljeću. Ovo je prvo slovo grčkih riječi περιφέρεια - opseg i περίμετρος - perimetar. U osamnaestom stoljeću dokazano je da je ta veličina iracionalna, odnosno da se ne može predstaviti kao m/n, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj.
I koja je njegova razlika od kruga. Uzmite olovku ili boje i nacrtajte pravilan krug na komadu papira. Plavom olovkom obojite cijelu sredinu dobivene figure. Crveni obris koji označava granice figure je krug. Ali plavi sadržaj unutar njega je krug.
Dimenzije kružnice i kružnice određene su promjerom. Na crvenoj liniji koja predstavlja kružnicu označite dvije točke tako da su jedna drugoj zrcalne slike. Spojite ih linijom. Segment mora proći kroz točku u središtu kružnice. Ovaj segment, koji povezuje suprotne dijelove kruga, u geometriji se naziva promjerom.
Odsječak koji se ne proteže kroz središte kružnice, već se s njim spaja na suprotnim krajevima, naziva se tetiva. Stoga je tetiva koja prolazi kroz točku središta kružnice njezin promjer.
Promjer je označen latiničnim slovom D. Promjer kruga možete pronaći prema takvim vrijednostima kao što su površina, duljina i polumjer kruga.
Udaljenost od središnje točke do točke ucrtane na kružnici naziva se radijus i označava se slovom R. Poznavanje vrijednosti polumjera pomaže izračunati promjer kružnice u jednom jednostavnom koraku:
Na primjer, polumjer je 7 cm. Pomnožimo 7 cm sa 2 i dobijemo vrijednost jednaku 14 cm. Odgovor: D zadane figure je 14 cm.
Ponekad je potrebno odrediti promjer kruga samo po njegovoj duljini. Ovdje je potrebno primijeniti posebnu formulu koja će pomoći u određivanju formule L = 2 Pi * R, gdje je 2 konstantna vrijednost (konstanta), a Pi = 3,14. A budući da je poznato da je R \u003d D * 2, formula se može predstaviti na drugi način
Ovaj izraz je također primjenjiv kao formula za promjer kružnice. Zamjenom poznatih vrijednosti u zadatku rješavamo jednadžbu s jednom nepoznatom. Recimo da je duljina 7 m. Dakle:
Odgovor: Promjer je 21,98 metara.
Ako je poznata vrijednost površine, tada se može odrediti i promjer kružnice. Formula koja se primjenjuje u ovom slučaju izgleda ovako:
D = 2 * (S / Pi) * (1 / 2)
S - u ovom slučaju Recimo da je u zadatku jednako 30 četvornih metara. m. Dobivamo:
D=2*(30/3,14)*(1/2) D=9,55414
Kada je vrijednost navedena u zadatku jednaka volumenu (V) kugle, primjenjuje se sljedeća formula za pronalaženje promjera: D = (6 V / Pi) * 1/3.
Ponekad morate pronaći promjer kružnice upisane u trokut. Da bismo to učinili, pomoću formule nalazimo polumjer predstavljene kružnice:
R = S / p (S je površina zadanog trokuta, a p je opseg podijeljen s 2).
Rezultat se udvostručuje, s obzirom da je D = 2 * R.
Često je potrebno pronaći promjer kruga u svakodnevnom životu. Na primjer, pri određivanju što je ekvivalentno njegovom promjeru. Da biste to učinili, omotajte prst potencijalnog vlasnika prstena koncem. Označite dodirne točke između dva kraja. Izmjerite duljinu od točke do točke pomoću ravnala. Dobivena vrijednost se množi s 3,14, slijedeći formulu za određivanje promjera s poznatom duljinom. Dakle, izjava da znanje iz geometrije i algebre neće biti korisno u životu ne odgovara uvijek stvarnosti. A to je ozbiljan razlog da se prema školskim predmetima odnosimo odgovornije.
