Largo camino para desarrollar habilidades resolver ecuaciones comienza resolviendo las primeras y relativamente simples ecuaciones. Por tales ecuaciones entendemos ecuaciones, en el lado izquierdo de las cuales está la suma, la diferencia, el producto o el cociente de dos números, uno de los cuales es desconocido, y en el lado derecho hay un número. Es decir, estas ecuaciones contienen término desconocido, minuendo, sustraendo, multiplicador, dividendo o divisor. La solución de tales ecuaciones será discutida en este artículo.
Aquí daremos las reglas que nos permiten encontrar un término desconocido, multiplicador, etc. Además, consideraremos de inmediato la aplicación de estas reglas en la práctica, resolviendo ecuaciones características.
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Entonces, sustituimos el número 5 en lugar de x en la ecuación original 3 + x = 8, obtenemos 3 + 5 = 8: esta igualdad es correcta, por lo tanto, encontramos correctamente el término desconocido. Si durante la verificación recibimos una igualdad numérica incorrecta, entonces esto nos indicaría que resolvimos incorrectamente la ecuación. Las razones principales de esto pueden ser la aplicación de una regla incorrecta o errores de cálculo.
¿Cómo encontrar el minuendo desconocido, sustraendo?
La conexión entre la suma y la resta de números, que ya mencionamos en el párrafo anterior, nos permite obtener una regla para encontrar un minuendo desconocido a través de un sustraendo y diferencia conocidos, así como una regla para encontrar un sustraendo desconocido a través de un minuendo conocido. y diferencia Los formularemos a su vez e inmediatamente daremos la solución de las ecuaciones correspondientes.
Para encontrar el minuendo desconocido, debes sumar el sustraendo a la diferencia.
Por ejemplo, considere la ecuación x−2=5 . Contiene un minuendo desconocido. La regla anterior nos dice que para encontrarlo, debemos sumar el sustraendo conocido 2 a la diferencia conocida 5, tenemos 5+2=7. Por lo tanto, el minuendo requerido es igual a siete.
Si omite las explicaciones, entonces la solución se escribe de la siguiente manera:
x−2=5 ,
x=5+2 ,
x=7
Para el autocontrol, realizaremos una comprobación. Sustituimos el encontrado reducido en la ecuación original y obtenemos la igualdad numérica 7−2=5. Es correcto, por tanto, podemos estar seguros de que hemos determinado correctamente el valor del minuendo desconocido.
Puede pasar a encontrar el sustraendo desconocido. Se encuentra sumando siguiente regla: para encontrar el sustraendo desconocido, es necesario restar la diferencia del minuendo.
Resolvemos una ecuación de la forma 9−x=4 usando la regla escrita. En esta ecuación, la incógnita es el sustraendo. Para encontrarlo, necesitamos restar la diferencia conocida 4 de la reducción conocida 9, tenemos 9−4=5. Por lo tanto, el sustraendo requerido es igual a cinco.
Aquí hay una versión corta de la solución a esta ecuación:
9−x=4 ,
x=9−4 ,
x=5
Solo queda comprobar la exactitud del sustraendo encontrado. Hagamos una verificación, para lo cual sustituimos el valor encontrado 5 en lugar de x en la ecuación original, y obtenemos la igualdad numérica 9−5=4. Es correcto, por lo tanto el valor del sustraendo que encontramos es correcto.
Y antes de pasar a la siguiente regla, notamos que en 6to grado se considera una regla para resolver ecuaciones, que te permite transferir cualquier término de una parte de la ecuación a otra con signo opuesto. Entonces, todas las reglas consideradas anteriormente para encontrar un término desconocido, reducido y restado, son completamente consistentes con él.
Para encontrar el factor desconocido, necesitas...
Echemos un vistazo a las ecuaciones x 3=12 y 2 y=6 . En ellos numero desconocido es el factor del lado izquierdo, y se conocen el producto y el segundo factor. Para encontrar el factor desconocido, puedes usar la siguiente regla: para encontrar el factor desconocido, necesitas dividir el producto por el factor conocido.
Esta regla se basa en el hecho de que le dimos a la división de números un significado opuesto al significado de la multiplicación. Es decir, hay una conexión entre la multiplicación y la división: de la igualdad a b=c , en la que a≠0 y b≠0, se sigue que c:a=b y c:b=c , y viceversa.
Por ejemplo, busquemos el factor desconocido de la ecuación x·3=12 . Según la regla, necesitamos dividir el producto conocido 12 por el factor conocido 3. Hagamos: 12:3=4. Entonces el factor desconocido es 4 .
Brevemente, la solución de la ecuación se escribe como una secuencia de igualdades:
x 3 = 12 ,
x=12:3,
x=4
También es deseable verificar el resultado: sustituimos el valor encontrado en lugar de la letra en la ecuación original, obtenemos 4 3 \u003d 12: la igualdad numérica correcta, por lo que encontramos correctamente el valor del factor desconocido.
Y una cosa más: actuando de acuerdo con la regla estudiada, en realidad realizamos la división de ambas partes de la ecuación por un multiplicador conocido distinto de cero. En el grado 6, se dirá que ambas partes de la ecuación se pueden multiplicar y dividir por el mismo número distinto de cero, esto no afecta las raíces de la ecuación.
¿Cómo encontrar el dividendo desconocido, divisor?
Como parte de nuestro tema, queda por descubrir cómo encontrar el dividendo desconocido con un divisor y un cociente conocidos, así como también cómo encontrar un divisor desconocido con un dividendo y un cociente conocidos. La relación entre multiplicación y división ya mencionada en el párrafo anterior te permite responder estas preguntas.
Para encontrar el dividendo desconocido, necesitas multiplicar el cociente por el divisor.
Consideremos su aplicación con un ejemplo. Resuelve la ecuación x:5=9 . Para encontrar el divisible desconocido de esta ecuación, es necesario, según la regla, multiplicar el cociente conocido 9 por el divisor conocido 5, es decir, realizamos la multiplicación números naturales: 9 5=45 . Por lo tanto, el dividendo deseado es 45.
Vamos a mostrar una breve notación de la solución:
x: 5 = 9 ,
x=9 5 ,
x=45 .
La verificación confirma que el valor del dividendo desconocido se encuentra correctamente. De hecho, al sustituir el número 45 en la ecuación original en lugar de la variable x, se convierte en la igualdad numérica correcta 45:5=9.
Tenga en cuenta que la regla analizada se puede interpretar como la multiplicación de ambas partes de la ecuación por un divisor conocido. Tal transformación no afecta las raíces de la ecuación.
Pasemos a la regla para encontrar el divisor desconocido: para encontrar el divisor desconocido, divide el dividendo por el cociente.
Considere un ejemplo. Encuentra el divisor desconocido de la ecuación 18:x=3. Para hacer esto, necesitamos dividir el dividendo conocido 18 por el cociente conocido 3, tenemos 18:3=6. Por lo tanto, el divisor requerido es igual a seis.
La solución también se puede formular de la siguiente manera:
18:x=3 ,
x=18:3,
x=6
Verifiquemos la confiabilidad de este resultado: 18:6=3 es la igualdad numérica correcta, por lo tanto, la raíz de la ecuación se encuentra correctamente.
Es claro que esta regla solo se puede aplicar cuando el cociente es diferente de cero, para no encontrarnos con la división por cero. Cuando el cociente es cero, son posibles dos casos. Si en este caso el dividendo es igual a cero, es decir, la ecuación tiene la forma 0:x=0, entonces esta ecuación satisface cualquier valor distinto de cero del divisor. En otras palabras, las raíces de tal ecuación son cualquier número que no sea igual a cero. Si, cuando el cociente es igual a cero, el dividendo es diferente de cero, entonces, para cualquier valor del divisor, la ecuación original no se convierte en una verdadera igualdad numérica, es decir, la ecuación no tiene raíces. Para ilustrar, presentamos la ecuación 5:x=0, no tiene soluciones.
Reglas de uso compartido
La aplicación consistente de las reglas para encontrar el término desconocido, el minuendo, el sustraendo, el multiplicador, el dividendo y el divisor permite resolver ecuaciones con una sola variable más de tipo complejo. Tratemos esto con un ejemplo.
Considere la ecuación 3 x+1=7 . Primero, podemos encontrar el término desconocido 3 x , para esto necesitamos restar el término conocido 1 de la suma 7, obtenemos 3 x=7−1 y luego 3 x=6 . Ahora queda encontrar el factor desconocido dividiendo el producto de 6 por el factor conocido 3, tenemos x=6:3, de donde x=2. Entonces se encuentra la raíz de la ecuación original.
Para consolidar el material, presentamos una breve solución de otra ecuación (2·x−7):3−5=2 .
(2x−7):3−5=2 ,
(2x−7):3=2+5 ,
(2x−7):3=7 ,
2x−7=7 3 ,
2x−7=21 ,
2x=21+7 ,
2x=28 ,
x=28:2,
x=14 .
Bibliografía.
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236m?(236+95)m?(H.-108)m
A la pregunta principal de la tarea. ¿Cuántos metros de tela vendió la tienda en 3 días? no podemos responder de inmediato, porque no sabemos cuántos metros de tela vendió la tienda el martes y el miércoles. Sabiendo que el lunes, la tienda vendió 236 m de tela, y el martes, 95 m más que el lunes, podemos encontrar cuántos metros de tela vendió la tienda el martes sumando, las palabras nos indican __ más. Al saber cuántos metros de tela vendió la tienda el martes, podemos encontrar cuántos metros de tela vendió el miércoles. La instrucción de la tarea dice: el martes - 95 m más que el lunes y 108 m más que el miércoles . Esta es una condición indirecta, la palabra sugiere y . asi que miercoles 108 m menos que el martes. Encontramos la acción de restar, nos impulsan las palabras __ menos. Sabiendo cuánta tela vendió la tienda el martes y el miércoles, podemos responder la pregunta principal del problema ¿Cuántos metros de tela vendió la tienda en 3 días? la acción de sumar para hallar el todo es sumar las partes (sumar 3 partes). El problema se resuelve en tres pasos...
Para aprender a resolver ecuaciones de manera rápida y exitosa, debe comenzar con la mayoría reglas simples y ejemplos En primer lugar, debe aprender a resolver ecuaciones, a la izquierda de las cuales está la diferencia, la suma, el cociente o el producto de algunos números con una incógnita, y a la derecha hay otro número. En otras palabras, en estas ecuaciones hay un término desconocido y el minuendo con el sustraendo, o el divisible con un divisor, etc. Es sobre ecuaciones de este tipo que hablaremos contigo.
Este artículo está dedicado a las reglas básicas que le permiten encontrar factores, términos desconocidos, etc. Inmediatamente explicaremos todas las disposiciones teóricas con ejemplos específicos.
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Encontrar el término desconocido
Digamos que tenemos una cierta cantidad de bolas en dos jarrones, digamos 9 . Sabemos que hay 4 canicas en el segundo vaso. ¿Cómo encontrar la cantidad en el segundo? Escribamos este problema en forma matemática, denotando el número que se encuentra como x. Según la condición original, este número junto con 4 forman 9, por lo que podemos escribir la ecuación 4 + x = 9. A la izquierda, tenemos una suma con un término desconocido, a la derecha, el valor de esta suma. ¿Cómo encontrar x? Para hacer esto, necesitas usar la regla:
Definición 1
Para encontrar el término desconocido, resta el conocido de la suma.
En este caso, le damos a la resta un significado opuesto al de la suma. En otras palabras, existe una cierta conexión entre las operaciones de suma y resta, que se puede expresar en forma literal de la siguiente manera: si a + b \u003d c, entonces c - a \u003d b y c - b \u003d a, y viceversa, de las expresiones c - a \u003d b y c − b = a podemos deducir que a + b = c .
Conociendo esta regla, podemos encontrar un término desconocido usando lo conocido y la suma. Qué término conocemos, el primero o el segundo, no es importante en este caso. Veamos cómo aplicar esta regla en la práctica.
Ejemplo 1
Tomemos la ecuación que obtuvimos arriba: 4 + x = 9. De acuerdo con la regla, necesitamos restar de la suma conocida, igual a 9, el término conocido, igual a 4. Resta un número natural de otro: 9 - 4 = 5 . Obtuvimos el término que necesitamos, igual a 5.
Por lo general, las soluciones a tales ecuaciones se escriben de la siguiente manera:
- La ecuación original se escribe primero.
- A continuación, escribimos la ecuación que obtuvimos después de aplicar la regla para calcular el término desconocido.
- Después de eso, escribimos la ecuación que resultó después de todas las acciones con números.
Esta forma de escritura es necesaria para ilustrar el reemplazo sucesivo de la ecuación original por otras equivalentes y para mostrar el proceso de encontrar la raíz. La solución a nuestra ecuación simple anterior se escribiría correctamente como:
4 + X = 9 , X = 9 - 4 , X = 5 .
Podemos comprobar la exactitud de la respuesta recibida. Sustituyamos lo que obtuvimos en la ecuación original y veamos si resulta la igualdad numérica correcta. Sustituye 5 en 4 + x = 9 y obtienes: 4 + 5 = 9 . La igualdad 9 = 9 es correcta, lo que significa que el término desconocido se encontró correctamente. Si la igualdad resultó ser incorrecta, entonces debemos volver a la solución y verificarla dos veces, ya que esto es una señal de error. Como regla, la mayoría de las veces esto es un error de cálculo o la aplicación de una regla incorrecta.
Encontrar el sustraendo o minuendo desconocido
Como mencionamos en el primer párrafo, existe cierta relación entre los procesos de suma y resta. Con su ayuda, puedes formular una regla que te ayudará a encontrar el minuendo desconocido cuando conocemos la diferencia y el sustraendo, o el sustraendo desconocido a través del minuendo o la diferencia. Escribimos estas dos reglas a la vez y mostramos cómo aplicarlas para resolver problemas.
Definición 2
Para encontrar el minuendo desconocido, suma el minuendo a la diferencia.
Ejemplo 2
Por ejemplo, tenemos una ecuación x - 6 = 10 . Desconocido reducido. De acuerdo con la regla, debemos sumar los 6 restados a la diferencia de 10, obtenemos 16. Es decir, el minuendo original es dieciséis. Escribamos la solución en su totalidad:
X - 6 = 10 , X = 10 + 6 , X = 16 .
Comprobemos el resultado sumando el número resultante a la ecuación original: 16 - 6 = 10. La igualdad 16 - 16 será correcta, lo que significa que hemos calculado todo correctamente.
Definición 3
Para encontrar el sustraendo desconocido, resta la diferencia del minuendo.
Ejemplo 3
Usemos la regla para resolver la ecuación 10 - x = 8 . No sabemos lo que se resta, por lo que debemos restar la diferencia de 10, es decir, 10 - 8 = 2. Por lo tanto, el sustraendo requerido es igual a dos. Aquí está la entrada completa de la solución:
10 - x = 8 , x = 10 - 8 , x = 2 .
Verifiquemos la corrección sustituyendo un dos en la ecuación original. Obtengamos la igualdad correcta 10 - 2 = 8 y asegurémonos de que el valor que encontramos sea correcto.
Antes de pasar a otras reglas, notamos que hay una regla para transferir cualquier término de una parte de la ecuación a otra con el signo invertido. Todas las reglas anteriores son totalmente consistentes con él.
Encontrar el multiplicador desconocido
Veamos dos ecuaciones: x 2 = 20 y 3 x = 12. En ambos, conocemos el valor del producto y uno de los factores, necesitamos encontrar el segundo. Para hacer esto, necesitamos usar otra regla.
Definición 4
Para encontrar el factor desconocido, necesitas dividir el producto por el factor conocido.
Esta regla se basa en un sentido opuesto al de la multiplicación. Existe la siguiente relación entre multiplicación y división: a b = c cuando a y b no son iguales a 0, c: a = b, c: b = c y viceversa.
Ejemplo 4
Calcula el factor desconocido en la primera ecuación dividiendo el cociente conocido 20 por el factor conocido 2 . Realizamos la división de números naturales y obtenemos 10. Escribamos la sucesión de igualdades:
x 2 = 20 x = 20: 2 x = 10 .
Sustituimos la decena en la igualdad original y obtenemos que 2 10 \u003d 20. El valor del multiplicador desconocido se hizo correctamente.
Aclaremos que si uno de los factores es cero, no se puede aplicar esta regla. Entonces, no podemos resolver la ecuación x 0 = 11 con su ayuda. Esta notación no tiene sentido porque la solución es dividir 11 por 0 y la división por cero no está definida. Hablamos de estos casos con más detalle en el artículo dedicado a las ecuaciones lineales.
Cuando aplicamos esta regla, esencialmente estamos dividiendo ambos lados de la ecuación por un factor diferente a 0. Hay una regla separada según la cual se puede realizar dicha división, y no afectará las raíces de la ecuación, y lo que escribimos en este párrafo es totalmente consistente con ella.
Encontrar un dividendo o divisor desconocido
Otro caso que debemos considerar es encontrar el dividendo desconocido si conocemos el divisor y el cociente, y también encontrar el divisor cuando se conocen el cociente y el dividendo. Podemos formular esta regla con la ayuda de la conexión entre multiplicación y división ya mencionada aquí.
Definición 5
Para encontrar el dividendo desconocido, multiplica el divisor por el cociente.
Veamos cómo se aplica esta regla.
Ejemplo 5
Usémoslo para resolver la ecuación x: 3 = 5 . Multiplicamos el cociente conocido y el divisor conocido entre nosotros y obtenemos 15, que será el divisible que necesitamos.
Aquí hay un resumen de toda la solución:
x: 3 = 5, x = 3 5, x = 15.
La comprobación muestra que calculamos todo correctamente, porque al dividir 15 entre 3, realmente resulta 5. La verdadera igualdad numérica es evidencia de la decisión correcta.
Esta regla se puede interpretar como multiplicar los lados derecho e izquierdo de la ecuación por el mismo número distinto de 0. Esta transformación no afecta las raíces de la ecuación de ninguna manera.
Pasemos a la siguiente regla.
Definición 6
Para encontrar el divisor desconocido, debes dividir el dividendo por el cociente.
Ejemplo 6
Tomemos un ejemplo simple - Ecuación 21: x = 3 . Para resolverlo, dividimos el conocido divisible 21 por el cociente 3 y obtenemos 7. Este será el divisor deseado. Ahora tomamos la decisión correctamente:
21:x=3, x=21:3, x=7.
Asegurémonos de que el resultado sea correcto sustituyendo el siete en la ecuación original. 21: 7 = 3, por lo que la raíz de la ecuación se calculó correctamente.
Es importante tener en cuenta que esta regla solo se aplica cuando el cociente es distinto de cero, de lo contrario, tendríamos que dividir por 0 nuevamente. Si el cociente es cero, hay dos opciones posibles. Si el dividendo también es cero y la ecuación se parece a 0: x \u003d 0, entonces el valor de la variable será cualquiera, es decir, esta ecuación tiene un número infinito de raíces. Pero una ecuación con cociente igual a 0, con dividendo distinto de 0, no tendrá soluciones, ya que no existen tales valores divisores. Un ejemplo sería la ecuación 5: x = 0, que no tiene raíz.
Aplicación coherente de las normas
A menudo, en la práctica, hay más tareas desafiantes, en el que las reglas para encontrar términos, minuendos, sustraendos, factores, divisibles y cocientes deben aplicarse secuencialmente. Tomemos un ejemplo.
Ejemplo 7
Tenemos una ecuación como 3 x + 1 = 7 . Calculamos el término desconocido 3 x , restando uno de 7. Terminamos con 3 · x = 7 − 1 , luego 3 · x = 6 . Esta ecuación es muy fácil de resolver: divide 6 entre 3 y saca la raíz de la ecuación original.
Aquí hay una forma abreviada de resolver otra ecuación (2 x − 7): 3 − 5 = 2:
(2 x - 7) : 3 - 5 = 2 , (2 x - 7) : 3 = 2 + 5 , (2 x - 7) : 3 = 7 , 2 x - 7 = 7 3 , 2 x − 7 = 21 , 2 x = 21 + 7 , 2 x = 28 , x = 28: 2 , x = 14 .
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