- esta es una parte de un cono, limitada entre dos bases paralelas perpendiculares a su eje de simetría.Las bases del cono son círculos geométricos.

Se puede obtener un cono truncado girando un trapezoide rectangular alrededor de su lado, que es su altura. El límite del cono es un círculo de radio R, un círculo de radio r y la superficie lateral del cono. La superficie lateral del cono describe el lado lateral del trapezoide durante su rotación.

El área de la superficie lateral de un tronco de cono a través de la guía y los radios de sus bases

Al encontrar el área superficie lateral de un cono truncado, es más conveniente considerarlo como la diferencia entre la superficie lateral del cono y la superficie lateral del cono truncado.

Separe el cono A`MB` del cono AMB dado. Necesito calcular zona lateral cono truncado AA`B`B . Se sabe que los radios de sus bases son AO=R, A`O` =r, la generatriz es igual a L. Denotemos MB` como x. Entonces la superficie lateral del cono A`MB` será igual a πrx. Y la superficie lateral del cono AMB será igual a πR(L+x).
Entonces la superficie lateral del cono truncado AA`B`B se puede expresar en términos de la diferencia entre la superficie lateral del cono AMB y el cono A`MB` :

Los triángulos OMB y O`MB` son similares en términos de la igualdad de los ángulos ∠(MOB) = ∠(MO`B`) y ∠(OMB) = ∠(O`MB`) . De la semejanza de estos triángulos se sigue:
Usemos la proporción derivada. Tenemos:
De aquí encontramos x :
Sustituyendo esta expresión en la fórmula del área de la superficie lateral, tenemos:
Así, el área de la superficie lateral de un tronco de cono es igual al producto del número π y su guía y la suma de los radios de sus bases.

Un ejemplo de cálculo del área de la superficie lateral de un cono truncado, si se conocen su radio y generatriz
El radio de la base mayor, la generatriz y la altura del tronco de cono son 7, 5 y 4 cm, respectivamente. Encuentra el área de la superficie lateral del cono.
La sección axial de un cono truncado es Trapecio isósceles, con bases 2R y 2r . La generatriz del cono truncado, que es el lado lateral del trapezoide, la altura, pubescente en la base mayor y la diferencia de los radios de la base del cono truncado, forman el triángulo egipcio. Es un triángulo rectángulo con una relación de aspecto de 3:4:5. Según la condición del problema, la generatriz es igual a 5 y la altura es 4, entonces la diferencia entre los radios de la base del cono truncado será igual a 3.
Tenemos:
L=5
R=7
R=4
La fórmula para el área de la superficie lateral de un cono truncado es la siguiente:

Sustituyendo los valores, tenemos:

El área de la superficie lateral del cono truncado a través de la guía y el radio promedio

El radio medio de un cono truncado es igual a la mitad de la suma de los radios de sus bases:


Entonces la fórmula para el área de la superficie lateral de un cono truncado se puede representar de la siguiente manera:

El área de la superficie lateral de un tronco de cono es igual al producto de la circunferencia de la sección media y su generatriz.

Áreas de la superficie lateral de un cono truncado a través de los radios de su base y el ángulo de inclinación de la generatriz al plano de la base

Si la base más pequeña se proyecta ortogonalmente sobre la base más grande, la proyección de la superficie lateral del cono truncado se verá como un anillo, cuya área se calcula mediante la fórmula:

Entonces:

Áreas de la superficie lateral de un cono truncado según Arquímedes

El área de la superficie lateral de un cono truncado es igual al área de dicho círculo, cuyo radio es el promedio proporcional entre la generatriz y la suma de los radios de sus bases.

Superficie completa de un cono truncado

La superficie total de un cono es la suma del área de su superficie lateral y el área de las bases del cono:

Las bases del cono son círculos con radio R y r. Su área es igual al producto del número por el cuadrado de su radio:


El área de la superficie lateral se calcula mediante la fórmula:

Entonces la superficie total del cono truncado es:

La fórmula se ve así:

Un ejemplo de cálculo del área de superficie total de un cono truncado si se conocen su radio y generatriz
El radio de la base del tronco de cono es de 1 y 7 dm, y las diagonales de la sección axial son perpendiculares entre sí. Encuentra el área área total cono truncado
La sección axial de un cono truncado es un trapezoide isósceles, con bases 2R y 2r. Es decir, las bases del trapezoide miden 2 y 14 dm, respectivamente. Como las diagonales de un trapezoide son perpendiculares entre sí, la altura es la mitad de la suma de sus bases. Entonces:

La generatriz del cono truncado, que es el lado lateral del trapezoide, la altura, pubescente en la base mayor y la diferencia de los radios de la base del cono truncado, forman un triángulo rectángulo.
Por el teorema de Pitágoras, encontramos la generatriz de un cono truncado:

La fórmula para el área de superficie total de un cono truncado es:

Sustituyendo los valores de la condición del problema y los valores encontrados, tenemos:

Cono. Tronco

Superficie cónica llamado la superficie formada por todas las líneas rectas que pasan por cada punto de la curva dada y un punto fuera de la curva (Fig. 32).

Esta curva se llama guía , directo - generando , punto - cumbre superficie cónica.

Superficie cónica circular recta Llamada superficie formada por todas las rectas que pasan por cada punto de la circunferencia dada y un punto de la recta que es perpendicular al plano de la circunferencia y pasa por su centro. En lo que sigue, esta superficie se denominará brevemente como superficie cónica (fig. 33).

cono (cono circular recto ) se denomina cuerpo geométrico delimitado por una superficie cónica y un plano paralelo al plano del círculo guía (Fig. 34).

Arroz. 32 higo. 33 figura 34

El cono puede ser considerado como un cuerpo obtenido por rotación. triángulo rectángulo alrededor del eje que contiene uno de los catetos del triángulo.

El círculo que delimita el cono se llama base . El vértice de una superficie cónica se llama cumbre cono. El segmento de recta que une la parte superior de un cono con el centro de su base se llama altura cono. Los segmentos que forman una superficie cónica se llaman generando cono. eje de un cono es una recta que pasa por el vértice del cono y el centro de su base. Sección axial llamada sección que pasa por el eje del cono. Desarrollo de la superficie lateral Se llama cono a un sector cuyo radio igual a la longitud generatriz del cono, y la longitud del arco del sector es igual a la circunferencia de la base del cono.

Para un cono, las siguientes fórmulas son verdaderas:

donde R es el radio de la base;

H- altura;

yo- la longitud de la generatriz;

S principal- área de la base;

lado S

S lleno

V es el volumen del cono.

cono truncado llamado la parte del cono encerrada entre la base y el plano de corte paralelo a la base del cono (Fig. 35).

Se puede considerar un cono truncado como un cuerpo obtenido al girar un trapezoide rectangular alrededor de un eje que contiene el lado lateral del trapezoide, perpendicular a las bases.

Los dos círculos que limitan el cono se llaman su jardines . Altura de un cono truncado es la distancia entre sus bases. Los segmentos que forman la superficie cónica de un cono truncado se llaman generando . La recta que pasa por los centros de las bases se llama eje cono truncado. Sección axial llamada sección que pasa por el eje del cono truncado.

Para un cono truncado, las siguientes fórmulas son verdaderas:

(8)

donde R es el radio de la base inferior;

r es el radio de la base superior;

H es la altura, l es la longitud de la generatriz;

lado S es el área de la superficie lateral;

S lleno es la superficie total;

V es el volumen del cono truncado.

Ejemplo 1 La sección del cono paralela a la base divide la altura en una razón de 1:3, contando desde arriba. Halla el área de la superficie lateral de un cono truncado si el radio de la base y la altura del cono son 9 cm y 12 cm.

Decisión. Hagamos un dibujo (Fig. 36).

Para calcular el área de la superficie lateral de un cono truncado, usamos la fórmula (8). Hallar los radios de las bases. Aproximadamente 1 A y Aproximadamente 1 V y generando AB.

Considera triángulos semejantes SO 2B y TAN 1 A, coeficiente de similitud , entonces

De aquí

Desde entonces

El área de la superficie lateral de un tronco de cono es igual a:

Responder: .

Ejemplo2. Un cuarto de círculo de radio se pliega en una superficie cónica. Encuentra el radio de la base y la altura del cono.

Decisión. El cuádruple de un círculo es un desarrollo de la superficie lateral del cono. Denotar r es el radio de su base, H- altura. El área de la superficie lateral se calcula mediante la fórmula: . Es igual al área de un cuarto de círculo: . Obtenemos una ecuación con dos incógnitas. r y yo(generador de un cono). En este caso, la generatriz es igual al radio de un cuarto de círculo R, por lo que obtenemos la siguiente ecuación: , de donde Conociendo el radio de la base y la generatriz, encontramos la altura del cono:

Responder: 2cm, .

Ejemplo 3 Trapezoide rectangular con ángulo agudo 45 O, con una base menor de 3 cm y un lado inclinado igual a , gira alrededor del lado perpendicular a las bases. Encuentre el volumen del cuerpo de revolución obtenido.

Decisión. Hagamos un dibujo (Fig. 37).

Como resultado de la rotación, obtenemos un cono truncado; para encontrar su volumen, calculamos el radio de la base mayor y la altura. en un trapecio O 1 O 2 AB vamos a gastar CA^O 1 B. En tenemos: entonces este triángulo es isósceles C.A.=antes de Cristo\u003d 3 cm.

Responder:

Ejemplo 4 Un triángulo con lados de 13 cm, 37 cm y 40 cm gira alrededor de un eje externo que es paralelo al lado mayor y está a 3 cm de este (el eje está ubicado en el plano del triángulo). Encuentre el área superficial del cuerpo de revolución resultante.

Decisión . Hagamos un dibujo (Fig. 38).

La superficie del cuerpo de revolución resultante consta de las superficies laterales de dos conos truncados y la superficie lateral del cilindro. Para calcular estas áreas es necesario conocer los radios de las bases de los conos y del cilindro ( SER y jefe) formando conos ( antes de Cristo y C.A.) y la altura del cilindro ( AB). Lo desconocido es sólo CO. es la distancia del lado del triángulo al eje de rotación. Encontremos corriente continua. El área del triángulo ABC de un lado es igual al producto de la mitad del lado AB y la altura trazada hacia él corriente continua, por otro lado, conociendo todos los lados del triángulo, calculamos su área usando la fórmula de Heron.

fórmulas de volumen

Pirámide truncada o cono - esta es la parte que queda después de cortar la parte superior con un plano paralelo a la base.

Volumen de una pirámide truncada o conos es igual al volumen de toda la pirámide o cono menos el volumen del vértice truncado.

Superficie lateral de una pirámide truncada o conos igual al área de superficie de toda una pirámide o cono. menos el área de la superficie lateral del vértice recortado. Si necesitas encontrar área total figura truncada, luego se suma el área de las dos bases paralelas al área de la superficie lateral.

Existe otro método para determinar el volumen y el área de superficie de un cono truncado:

V=1/3 π h(R 2 +Rr+r 2),

superficie lateral de un cono S=πl(R+r),

superficie total S o \u003d π l (R + r) + πr 2 + πR 2

Ejemplo 1. Determinación del área requerida para la fabricación de material para la pantalla. (Cálculo del área de la superficie lateral del cono).

La pantalla tiene forma de tronco de cono. La altura de la pantalla es de 50 cm, los diámetros inferior y superior son de 40 y 20 cm, respectivamente.

Determinar dentro de 3x personajes importantes el área del material necesario para hacer la pantalla.

Como se definió anteriormente, el área de la superficie lateral de un cono truncado S=πl(R+r).

Dado que los diámetros superior e inferior del cono truncado son 40 y 20 cm, de la Fig. arriba encontramos r=10 cm, R=20 cm y

l \u003d (50 2 +10 2) 1/2 \u003d 50.99 según el teorema de Pitágoras,

Por tanto, el área de la superficie lateral del cono es S \u003d π 50.99 (20 + 10) \u003d 4803.258 cm 2, es decir. el área del material requerido para la fabricación de la pantalla es igual a 4800 cm2 con una precisión de 3 cifras significativas, aunque, por supuesto, la cantidad de material que realmente tomará depende del corte.

Ejemplo 2. Determinación del volumen de un cilindro coronado de tronco de cono.

La torre de enfriamiento tiene forma de cilindro rematado en un cono truncado, como se muestra en la Fig. abajo. Determine el volumen del espacio aéreo en la torre si el 40% del volumen está ocupado por tuberías y otras estructuras.

El volumen de la parte cilíndrica.

V=π R 2 horas\u003d π (27/2) 2 * 14 \u003d 8011,71 m 3

Volumen de cono truncado

V=1/3 π h(R 2 +Rr+r 2), donde

h=34-14=20 m, R=27/2=13,5 m yr=14/2=7 m.

Porque R=27/2=13,5 myr=14/2=7 m.

Por lo tanto, el volumen del cono truncado

V \u003d 1/3 π 20 (13.5 2 + 13.5 * 7 + 7 2) \u003d 6819.03 m 3

Volumen total de la torre de enfriamiento V común. \u003d 6819.03 + 8011.71 \u003d 14830.74 m 3.

Si se ocupa el 40% del volumen, volumen del espacio aéreo V \u003d 0.6 * 14830.74 \u003d 8898.44 m 3