Área lateral de una pirámide triangular regular. Cómo calcular el área de la pirámide: base, lateral y completa

Un cilindro es un cuerpo geométrico delimitado por dos planos paralelos y una superficie cilíndrica. En el artículo hablaremos sobre cómo encontrar el área de un cilindro y, usando la fórmula, resolveremos varios problemas, por ejemplo.

Un cilindro tiene tres superficies: una superior, una inferior y una lateral.

La parte superior e inferior del cilindro son círculos y son fáciles de definir.

Se sabe que el área de un círculo es igual a πr 2 . Por lo tanto, la fórmula para el área de dos círculos (parte superior e inferior del cilindro) se verá como πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

La tercera superficie lateral del cilindro es la pared curva del cilindro. Para representar mejor esta superficie, intentemos transformarla para obtener una forma reconocible. Imagine que el cilindro es una lata ordinaria que no tiene la cubierta superior y fondo Hagamos una incisión vertical en la pared lateral desde la parte superior hasta la parte inferior del frasco (Paso 1 en la figura) e intentemos abrir (enderezar) la figura resultante tanto como sea posible (Paso 2).

Después de la divulgación completa del frasco resultante, veremos una figura familiar (Paso 3), se trata de un rectángulo. El área de un rectángulo es fácil de calcular. Pero antes de eso, volvamos por un momento al cilindro original. El vértice del cilindro original es un círculo, y sabemos que la circunferencia de un círculo se calcula mediante la fórmula: L = 2πr. Está marcado en rojo en la figura.

Cuando la pared lateral del cilindro se expande por completo, vemos que la circunferencia se convierte en la longitud del rectángulo resultante. Los lados de este rectángulo serán la circunferencia (L = 2πr) y la altura del cilindro (h). El área de un rectángulo es igual al producto de sus lados - S = largo x ancho = L x h = 2πr x h = 2πrh. Como resultado, hemos obtenido una fórmula para calcular el área de la superficie lateral de un cilindro.

La fórmula para el área de la superficie lateral de un cilindro.
lado S = 2prh

Superficie total de un cilindro

Finalmente, si sumamos el área de las tres superficies, obtenemos la fórmula del área superficie completa cilindro. El área de la superficie del cilindro es igual al área de la parte superior del cilindro + el área de la base del cilindro + el área de la superficie lateral del cilindro o S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. A veces esta expresión se escribe con la fórmula idéntica 2πr (r + h).

La fórmula para el área de superficie total de un cilindro.
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r es el radio del cilindro, h es la altura del cilindro

Ejemplos de cálculo del área de superficie de un cilindro.

Para comprender las fórmulas anteriores, intentemos calcular el área de superficie de un cilindro usando ejemplos.

1. El radio de la base del cilindro es 2, la altura es 3. Determine el área de la superficie lateral del cilindro.

La superficie total se calcula mediante la fórmula: lado S. = 2prh

lado S = 2 * 3.14 * 2 * 3

lado S = 6,28 * 6

lado S = 37,68

El área de la superficie lateral del cilindro es 37.68.

2. ¿Cómo encontrar el área de la superficie de un cilindro si la altura es 4 y el radio es 6?

El área de superficie total se calcula mediante la fórmula: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

• Tarea 1. Encuentra el área de superficie total de la pirámide.
• Tarea 2. Encuentra el área de la superficie lateral de una pirámide triangular regular

Tarea 1. Encuentra el área total de la superficie de una pirámide regular

Decisión.

En la base de una pirámide triangular regular se encuentra un triángulo equilátero.
Por lo tanto, para resolver el problema, usamos las propiedades de un triángulo regular:

Conocemos la altura del triángulo, de donde podemos encontrar su área.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

De donde el área de la base será igual a:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Para encontrar el área de la cara lateral, calculamos la altura KM. El ángulo OKM, según el enunciado del problema, es de 45 grados.
Por lo tanto:
OK / MK = cos 45
Usamos la tabla de valores de funciones trigonométricas y sustituimos valores conocidos.

OK / MK = √2/2

Tenemos en cuenta que OK es igual al radio de la circunferencia inscrita. Entonces
BIEN = √3/6a
Aceptar = √3/6 * 6/√3 = 1

Entonces
OK / MK = √2/2
1 / MK = √2/2
MK = 2/√2

El área de la cara lateral es entonces igual a la mitad del producto de la altura por la base del triángulo.
Slado = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Así, la superficie total de la pirámide será igual a
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Responder: 3√3 + 18/√6

Tarea 2. Encuentra el área de la superficie lateral de una pirámide regular

Decisión.

Dado que la base de una pirámide triangular regular es un triángulo equilátero, entonces AO es el radio del círculo circunscrito alrededor de la base.
(Se sigue de)

El radio de un círculo circunscrito alrededor de un triángulo equilátero se encuentra a partir de sus propiedades

De donde la longitud de las aristas de una pirámide triangular regular será igual a:
AM 2 = MO 2 + AO 2
la altura de la pirámide se conoce por la condición (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Cada lado de la pirámide es un triángulo isósceles. Cuadrado triángulo isósceles encontrar de la primera fórmula a continuación

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 pies cuadrados ((556/3) - 64)
S = 8 pies cuadrados (364/3)
S = 16 pies cuadrados (91/3)

Como las tres caras de una pirámide regular son iguales, el área de la superficie lateral será igual a
3S = 48√(91/3)

Responder: 48 √(91/3)

Tarea 3. Encuentra el área de superficie total de una pirámide regular

El lado de una pirámide triangular regular mide 3 cm y el ángulo entre la cara lateral y la base de la pirámide es de 45 grados. Encuentra el área total de la superficie de la pirámide..

Decisión.
Como la pirámide es regular, tiene un triángulo equilátero en su base. entonces el area de la base es


Entonces = 9 * √3/4

Para encontrar el área de la cara lateral, calculamos la altura KM. El ángulo OKM, según el enunciado del problema, es de 45 grados.
Por lo tanto:
OK / MK = cos 45
usemos

Pirámide- una de las variedades de un poliedro formado por polígonos y triángulos que se encuentran en la base y son sus caras.

Además, en la parte superior de la pirámide (es decir, en un punto), se combinan todas las caras.

Para calcular el área de la pirámide, vale la pena determinar que su superficie lateral consta de varios triángulos. Y podemos encontrar fácilmente sus áreas usando

varias fórmulas. Dependiendo de qué datos de triángulos conocemos, buscamos su área.

Enumeramos algunas fórmulas con las que puedes encontrar el área de triángulos:

1. S = (a*h)/2 . En este caso, sabemos la altura del triángulo. h , que se baja hacia un lado un .
2. S = a*b*senβ . Aquí los lados del triángulo. un , b , y el ángulo entre ellos es β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Aquí los lados del triángulo. a B C . El radio de una circunferencia inscrita en un triangulo es r .
4. S = (a*b*c)/4*R . El radio de la circunferencia circunscrita al triángulo es R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Esta fórmula solo debe aplicarse si el triángulo es un triángulo rectángulo.
6. S = (a²*√3)/4 . Aplicamos esta fórmula a un triángulo equilátero.

Solo después de que calculemos las áreas de todos los triángulos que son las caras de nuestra pirámide, podremos calcular el área de su superficie lateral. Para ello, utilizaremos las fórmulas anteriores.

Para calcular el área de la superficie lateral de la pirámide, no surgen dificultades: debe averiguar la suma de las áreas de todos los triángulos. Expresemos esto con la fórmula:

Sp = ΣSi

Aquí Si es el área del primer triángulo, y S PAG es el área de la superficie lateral de la pirámide.

Veamos un ejemplo. Dada una pirámide regular, sus caras laterales están formadas por varios triángulos equiláteros,

« La geometría es la herramienta más poderosa para el refinamiento de nuestras facultades mentales.».

Galileo Galilei.

y el cuadrado es la base de la pirámide. Además, la arista de la pirámide tiene una longitud de 17 cm. Hallemos el área de la superficie lateral de esta pirámide.

Razonamos así: sabemos que las caras de la pirámide son triángulos, son equiláteros. También sabemos cuál es la longitud del borde de esta pirámide. De ello se deduce que todos los triángulos tienen lados iguales, su longitud es de 17 cm.

Para calcular el área de cada uno de estos triángulos, puedes usar la siguiente fórmula:

S = (17²*√3)/4 = (289*1,732)/4 = 125,137 cm²

Como sabemos que el cuadrado se encuentra en la base de la pirámide, resulta que tenemos cuatro triángulos equiláteros. Esto significa que el área de la superficie lateral de la pirámide se puede calcular fácilmente usando la siguiente fórmula: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Nuestra respuesta es la siguiente: 500,548 cm² - esta es el área de la superficie lateral de esta pirámide.

Antes de estudiar cuestiones sobre esta figura geométrica y sus propiedades, es necesario comprender algunos términos. Cuando una persona oye hablar de la pirámide, imagina enormes edificios en Egipto. Así es como se ven los más simples. pero suceden diferentes tipos y formas, lo que significa que la fórmula de cálculo para formas geométricas será diferente.

Pirámide - figura geometrica , que denota y representa múltiples caras. De hecho, este es el mismo poliedro, en cuya base se encuentra un polígono, y en los lados hay triángulos que se conectan en un punto: el vértice. La figura es de dos tipos principales:

• correcto;
• truncado.

En el primer caso, la base es polígono regular. esta todo aqui superficies laterales igual entre ellos y la figura en sí complacerán el ojo de un perfeccionista.

En el segundo caso, hay dos bases: una grande en la parte inferior y una pequeña entre la parte superior, repitiendo la forma de la principal. En otras palabras, una pirámide truncada es un poliedro con una sección formada paralela a la base.

Términos y notación

Términos básicos:

• Triángulo regular (equilátero)- una figura con tres ángulos idénticos y partes iguales. En este caso, todos los ángulos son de 60 grados. La figura es la más simple de los poliedros regulares. Si esta figura se encuentra en la base, dicho poliedro se llamará triangular regular. Si la base es un cuadrado, la pirámide se llamará pirámide cuadrangular regular.
• Vértice- el punto más alto donde se juntan los bordes. La altura de la cúspide está formada por una línea recta que parte desde la cúspide hasta la base de la pirámide.
• borde es uno de los planos del polígono. Puede ser en forma de triángulo en el caso de una pirámide triangular, o en forma de trapezoide para pirámide truncada.
• sección transversal- una figura plana formada como resultado de la disección. No debe confundirse con una sección, ya que una sección también muestra lo que hay detrás de la sección.
• Apotema- un segmento dibujado desde la parte superior de la pirámide hasta su base. También es la altura de la cara donde está el segundo punto de altura. Esta definición es válida solo en relación con un poliedro regular. Por ejemplo, si no es una pirámide truncada, la cara será un triángulo. En este caso, la altura de este triángulo se convertirá en una apotema.

fórmulas de área

Encuentra el área de la superficie lateral de la pirámide. cualquier tipo se puede hacer de varias maneras. Si la figura no es simétrica y es un polígono con lados diferentes, entonces en este caso es más fácil calcular área total superficies a través de la colección de todas las superficies. En otras palabras, debe calcular el área de cada cara y sumarlas.

Según los parámetros que se conozcan, es posible que se requieran fórmulas para calcular un cuadrado, un trapezoide, un cuadrilátero arbitrario, etc. Las fórmulas en sí diferentes ocasiones también será diferente.

En caso de figura correcta encontrar el área es mucho más fácil. Basta con conocer algunos parámetros clave. En la mayoría de los casos, se requieren cálculos precisamente para tales cifras. Por lo tanto, las fórmulas correspondientes se darán a continuación. De lo contrario, tendría que pintar todo en varias páginas, lo que solo confundirá y confundirá.

Fórmula básica para el cálculo el area de la superficie lateral de una piramide regular tendra siguiente vista:

S \u003d ½ Pa (P es el perímetro de la base y es la apotema)

Consideremos uno de los ejemplos. El poliedro tiene una base con segmentos A1, A2, A3, A4, A5, y todos son iguales a 10 cm. Que la apotema sea igual a 5 cm. Primero necesitas encontrar el perímetro. Dado que las cinco caras de la base son iguales, se puede encontrar de la siguiente manera: P \u003d 5 * 10 \u003d 50 cm A continuación, aplicamos la fórmula básica: S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 cm al cuadrado .

Superficie lateral de una pirámide triangular regular el más fácil de calcular. La fórmula se ve así:

S =½* ab *3, donde a es la apotema, b es la faceta de la base. El factor de tres aquí significa el número de caras de la base, y la primera parte es el área de la superficie lateral. Considere un ejemplo. Dada una figura con apotema de 5 cm y cara base de 8 cm, calculamos: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 cm al cuadrado.

Superficie lateral de una pirámide truncada es un poco más difícil de calcular. La fórmula se ve así: S \u003d 1/2 * (p _01 + p _02) * a, donde p_01 y p_02 son los perímetros de las bases y es la apotema. Considere un ejemplo. Supongamos que, para una figura cuadrangular, las dimensiones de los lados de las bases son de 3 y 6 cm, la apotema es de 4 cm.

Aquí, para empezar, debes encontrar los perímetros de las bases: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm; p_02=6*4=24 cm Resta sustituir los valores en la fórmula principal y obtener: S =1/2*(12+24)*4=0.5*36*4=72 cm al cuadrado.

Por lo tanto, es posible encontrar el área de la superficie lateral de una pirámide regular de cualquier complejidad. Tenga cuidado de no confundir estos cálculos con el área total de todo el poliedro. Y si aún necesita hacer esto, basta con calcular el área de la base más grande del poliedro y agregarlo al área de la superficie lateral del poliedro.

Video

Para consolidar información sobre cómo encontrar el área de la superficie lateral de diferentes pirámides, este video te ayudará.

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¿A qué forma llamamos pirámide? Primero, es un poliedro. En segundo lugar, en la base de este poliedro hay un polígono arbitrario, y los lados de la pirámide (caras laterales) tienen necesariamente la forma de triángulos que convergen en un vértice común. Ahora, habiendo tratado el término, averigüemos cómo encontrar el área de la superficie de la pirámide.

Es claro que el área superficial de tal cuerpo geométrico está formada por la suma de las áreas de la base y toda su superficie lateral.

Cálculo del área de la base de la pirámide.

La elección de la fórmula de cálculo depende de la forma del polígono que se encuentra en la base de nuestra pirámide. Puede ser correcto, es decir, con lados de la misma longitud, o incorrecto. Consideremos ambas opciones.

En la base hay un polígono regular.

Del curso escolar se sabe:

• el área del cuadrado será igual a la longitud de su lado al cuadrado;
• El área de un triángulo equilátero es igual al cuadrado de su lado dividido por 4 por la raíz cuadrada de tres.

Pero también existe una fórmula general para calcular el área de cualquier polígono regular (Sn): debe multiplicar el valor del perímetro de este polígono (P) por el radio del círculo inscrito en él (r), y luego divida el resultado por dos: Sn=1/2P*r .

La base es un polígono irregular.

El esquema para encontrar su área es primero dividir todo el polígono en triángulos, calcular el área de cada uno de ellos usando la fórmula: 1/2a * h (donde a es la base del triángulo, h es la altura bajado a esta base), sumar todos los resultados.

Superficie lateral de la pirámide

Ahora calculemos el área de la superficie lateral de la pirámide, es decir la suma de las áreas de todos sus lados. También hay 2 opciones aquí.

1. Tengamos una pirámide arbitraria, es decir aquel cuya base es un polígono irregular. Luego deberás calcular por separado el área de cada cara y sumar los resultados. Dado que los lados de la pirámide, por definición, solo pueden ser triángulos, el cálculo se basa en la fórmula mencionada anteriormente: S=1/2a*h.
2. Sea nuestra pirámide correcta, es decir en su base se encuentra un polígono regular, y la proyección de la parte superior de la pirámide está en su centro. Luego, para calcular el área de la superficie lateral (Sb), basta con encontrar la mitad del producto del perímetro del polígono base (P) y la altura (h) del lado (igual para todas las caras) : Sb \u003d 1/2 P * h. El perímetro de un polígono se determina sumando las longitudes de todos sus lados.

El área total de la superficie de una pirámide regular se obtiene sumando el área de su base con el área de toda la superficie lateral.

Ejemplos

Por ejemplo, calculemos algebraicamente las superficies de varias pirámides.

Superficie de una pirámide triangular

En la base de tal pirámide hay un triángulo. De acuerdo con la fórmula So \u003d 1 / 2a * h, encontramos el área de la base. Aplicamos la misma fórmula para encontrar el área de cada cara de la pirámide, que también tiene forma triangular, y obtenemos 3 áreas: S1, S2 y S3. El área de la superficie lateral de la pirámide es la suma de todas las áreas: Sb \u003d S1 + S2 + S3. Sumando las áreas de los lados y la base, obtenemos el área de superficie total de la pirámide deseada: Sp \u003d So + Sb.

Superficie de una pirámide cuadrangular

El área de la superficie lateral es la suma de 4 términos: Sb \u003d S1 + S2 + S3 + S4, cada uno de los cuales se calcula utilizando la fórmula del área del triángulo. Y habrá que buscar el área de la base, según la forma del cuadrilátero, correcta o irregular. El área de superficie total de la pirámide se obtiene nuevamente sumando el área de la base y el área de superficie total de la pirámide dada.