Las fracciones ordinarias se dividen en fracciones \textit (propias) y \textit (impropias). Esta división se basa en comparar el numerador y el denominador.
fracciones propias
fracción propia llamado fracción común$\frac(m)(n)$, cuyo numerador es menor que el denominador, es decir $ millones
Ejemplo 1
Por ejemplo, las fracciones $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ son regulares , así como en cada uno de ellos el numerador es menor que el denominador, lo que corresponde a la definición de fracción propia.
Hay una definición de fracción propia, que se basa en comparar una fracción con una unidad.
correcto, Si ella menos que uno:
Ejemplo 2
Por ejemplo, la fracción común $\frac(6)(13)$ es propia porque condición $\frac(6)(13)
fracciones impropias
Fracción impropia es una fracción ordinaria $\frac(m)(n)$ cuyo numerador es mayor o igual que el denominador, es decir $m\ge n$.
Ejemplo 3
Por ejemplo, las fracciones $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ son impropias , así como en cada uno de ellos el numerador es mayor o igual que el denominador, lo que corresponde a la definición de fracción impropia.
Demos la definición de una fracción impropia, que se basa en su comparación con la unidad.
La fracción ordinaria $\frac(m)(n)$ es equivocado si es igual o mayor que uno:
\[\frac(m)(n)\ge 1\]
Ejemplo 4
Por ejemplo, la fracción común $\frac(21)(4)$ es impropia porque se cumple la condición $\frac(21)(4) >1$;
la fracción ordinaria $\frac(8)(8)$ es impropia porque se cumple la condición $\frac(8)(8)=1$.
Consideremos con más detalle el concepto de fracción impropia.
Tomemos $\frac(7)(7)$ como ejemplo. El valor de esta fracción se toma como siete partes de un objeto, que se divide en siete partes iguales. Así, a partir de las siete acciones que hay disponibles, se puede componer todo el tema. Aquellas. fracción impropia$\frac(7)(7)$ describe el elemento completo y $\frac(7)(7)=1$. así que no fracciones propias, cuyo numerador es igual al denominador, describe un objeto entero y dicha fracción puede ser reemplazada por un número natural $1$.
$\frac(5)(2)$ -- es bastante obvio que estas cinco segundas partes pueden generar $2$ artículos completos (un artículo completo generará $2$ partes, y para hacer dos artículos completos necesita $2+2=4$ parte) y queda una segunda parte. Es decir, la fracción impropia $\frac(5)(2)$ describe $2$ de un artículo y $\frac(1)(2)$ de ese artículo.
$\frac(21)(7)$ -- veintiún séptimos pueden hacer $3$ artículos enteros ($3$ artículos con $7$ acciones cada uno). Aquellas. la fracción $\frac(21)(7)$ describe $3$ enteros.
De los ejemplos considerados, se puede sacar la siguiente conclusión: una fracción impropia puede ser reemplazada por un número natural si el numerador es completamente divisible por el denominador (por ejemplo, $\frac(7)(7)=1$ y $\ frac(21)(7)=3$) , o la suma de un número natural y una fracción propia si el numerador ni siquiera es divisible por el denominador (por ejemplo, $\ \frac(5)(2)=2+ \frac(1)(2)$). Por lo tanto, tales fracciones se llaman equivocado.
Definición 1
El proceso de representar una fracción impropia como la suma de un número natural y una fracción propia (por ejemplo, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) se denomina sacar la parte entera de una fraccion impropia.
Cuando se trabaja con fracciones impropias, existe una estrecha relación entre ellas y Numeros mezclados.
Una fracción impropia a menudo se escribe como un número mixto, un número que consta de un número entero y una parte fraccionaria.
Para escribir una fracción impropia como un número mixto, debes dividir el numerador por el denominador con un resto. El cociente será la parte entera del número mixto, el resto será el numerador de la parte fraccionaria y el divisor será el denominador de la parte fraccionaria.
Ejemplo 5
Escribe la fracción impropia $\frac(37)(12)$ como un número mixto.
Decisión.
Divida el numerador por el denominador con un resto:
\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (resto\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]
Responder.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.
Para escribir un número mixto como una fracción impropia, debe multiplicar el denominador por la parte entera del número, agregar el numerador de la parte fraccionaria al producto que resultó y escribir la cantidad resultante en el numerador de la fracción. El denominador de la fracción impropia será igual al denominador de la parte fraccionaria del número mixto.
Ejemplo 6
Escribe el número mixto $5\frac(3)(7)$ como una fracción impropia.
Decisión.
Responder.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.
Sumar un número mixto y una fracción propia
Sumar un número mixto$a\frac(b)(c)$ y fracción propia$\frac(d)(e)$ se realiza sumando la parte fraccionaria del número mixto dado a la fracción dada:
Ejemplo 7
Suma la fracción propia $\frac(4)(15)$ y el número mixto $3\frac(2)(5)$.
Decisión.
Usemos la fórmula para sumar un número mixto y una fracción propia:
\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ izquierda(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( quince)\]
Por el criterio de división por el número \textit(5 ) se puede determinar que la fracción $\frac(10)(15)$ es reducible. Realiza la reducción y encuentra el resultado de la suma:
Entonces, el resultado de sumar la fracción propia $\frac(4)(15)$ y el número mixto $3\frac(2)(5)$ es $3\frac(2)(3)$.
Responder:$3\frac(2)(3)$
Sumar un número mixto y una fracción impropia
Sumar una fracción impropia y un número mixto reducir a la suma de dos números mixtos, para lo cual basta seleccionar la parte entera de una fracción impropia.
Ejemplo 8
Calcula la suma del número mixto $6\frac(2)(15)$ y la fracción impropia $\frac(13)(5)$.
Decisión.
Primero, extraemos la parte entera de la fracción impropia $\frac(13)(5)$:
Responder:$8\frac(11)(15)$.
A la palabra "fracciones" se te pone la piel de gallina. Porque recuerdo la escuela y las tareas que se resolvían en matemáticas. Este era un deber que había que cumplir. Pero, ¿y si tratamos las tareas que contienen fracciones propias e impropias como un rompecabezas? Después de todo, muchos adultos resuelven crucigramas digitales y japoneses. Comprender las reglas y eso es todo. Igual aquí. Uno solo tiene que profundizar en la teoría, y todo encajará. Y los ejemplos se convertirán en una forma de entrenar el cerebro.
¿Qué tipos de fracciones hay?
Comencemos con lo que es. Una fracción es un número que tiene alguna fracción de uno. Se puede escribir de dos formas. El primero se llama ordinario. Es decir, aquel que tiene un trazo horizontal u oblicuo. Equivale al signo de división.
En tal notación, el número arriba del guión se llama numerador, y debajo se llama denominador.
Entre las fracciones ordinarias, se distinguen las fracciones correctas y las incorrectas. Para el primero, el módulo del numerador siempre es menor que el denominador. Los equivocados se llaman así porque tienen lo contrario. El valor de una fracción propia es siempre menor que uno. Mientras que el equivocado siempre es mayor que este número.
También existen los números mixtos, es decir, los que tienen una parte entera y una parte fraccionaria.
El segundo tipo de registro es decimal. Sobre su conversación por separado.
¿Cuál es la diferencia entre fracciones impropias y números mixtos?
Básicamente, nada. Es solo una notación diferente del mismo número. Las fracciones impropias después de operaciones simples se convierten fácilmente en números mixtos. Y viceversa.
Todo depende de situación específica. A veces en las tareas es más conveniente usar una fracción impropia. Y a veces es necesario traducirlo a un número mixto, y entonces el ejemplo se resolverá muy fácilmente. Por lo tanto, qué usar: fracciones impropias, números mixtos, depende de la observación del solucionador del problema.
El número mixto también se compara con la suma de la parte entera y la parte fraccionaria. Además, el segundo es siempre menor que la unidad.
¿Cómo representar un número mixto como una fracción impropia?
Si desea realizar alguna acción con varios números que están escritos en diferentes tipos, entonces necesitas hacerlos iguales. Un método es representar los números como fracciones impropias.
Para ello, deberá seguir el siguiente algoritmo:
- multiplicar el denominador por la parte entera;
- sume el valor del numerador al resultado;
- escribe la respuesta encima de la línea;
- deja el denominador igual.
Aquí hay ejemplos de cómo escribir fracciones impropias de números mixtos:
- 17 ¼ \u003d (17 x 4 + 1): 4 \u003d 69/4;
- 39 ½ \u003d (39 x 2 + 1): 2 \u003d 79/2.
¿Cómo escribir una fracción impropia como un número mixto?
El siguiente método es el opuesto al discutido anteriormente. Es decir, cuando todos los números mixtos se reemplazan con fracciones impropias. El algoritmo de acciones será el siguiente:
- dividir el numerador por el denominador para obtener el resto;
- escribe el cociente en lugar de la parte entera del mixto;
- el resto debe colocarse por encima de la línea;
- el divisor será el denominador.
Ejemplos de tal transformación:
76/14; 76:14 = 5 con un resto de 6; la respuesta es 5 enteros y 6/14; la parte fraccionaria en este ejemplo debe reducirse en 2, obtienes 3/7; la respuesta final es 5 enteros 3/7.
108/54; después de la división se obtiene el cociente 2 sin resto; esto significa que no todas las fracciones impropias se pueden representar como un número mixto; la respuesta es un entero - 2.
¿Cómo convertir un número entero en una fracción impropia?
Hay situaciones en las que tal acción es necesaria. Para obtener fracciones impropias con un denominador predeterminado, deberá realizar el siguiente algoritmo:
- multiplicar un número entero por el denominador deseado;
- escriba este valor encima de la línea;
- coloque un denominador debajo de él.
La opción más sencilla es cuando el denominador es igual a uno. Entonces no hay necesidad de multiplicar. Basta con escribir un número entero, que se da en el ejemplo, y colocar una unidad debajo de la línea.
Ejemplo: Haz de 5 una fracción impropia con denominador 3. Después de multiplicar 5 por 3, obtienes 15. Este número será el denominador. La respuesta a la tarea es una fracción: 15/3.
Dos enfoques para resolver tareas con números diferentes
En el ejemplo se requiere calcular la suma y diferencia, así como el producto y cociente de dos números: 2 enteros 3/5 y 14/11.
En el primer acercamiento el número mixto se representará como una fracción impropia.
Después de realizar los pasos descritos anteriormente, obtiene el siguiente valor: 13/5.
Para encontrar la suma, necesitas reducir las fracciones al mismo denominador. 13/5 multiplicado por 11 se convierte en 143/55. Y 14/11 después de multiplicar por 5 tomará la forma: 70/55. Para calcular la suma, solo necesita sumar los numeradores: 143 y 70, y luego escribir la respuesta con un denominador. 213/55 - esta fracción impropia es la respuesta al problema.
Al encontrar la diferencia, se restan estos mismos números: 143 - 70 = 73. La respuesta es una fracción: 73/55.
Al multiplicar 13/5 y 14/11, no es necesario reducir a un denominador común. Simplemente multiplique los numeradores y los denominadores en pares. La respuesta será: 182/55.
Lo mismo con la división. Para decisión correcta necesita reemplazar la división con la multiplicación y voltear el divisor: 13/5: 14/11 \u003d 13/5 x 11/14 \u003d 143/70.
En el segundo enfoque Una fracción impropia se convierte en un número mixto.
Después de realizar las acciones del algoritmo, 14/11 se convertirá en un número mixto con una parte entera de 1 y una parte fraccionaria de 3/11.
Al calcular la suma, debe agregar las partes enteras y fraccionarias por separado. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. La respuesta final es 3 enteros 48/55. En el primer acercamiento había una fracción 213/55. Puede verificar la corrección convirtiéndolo en un número mixto. Después de dividir 213 por 55, el cociente es 3 y el resto es 48. Es fácil ver que la respuesta es correcta.
Al restar, el signo "+" se reemplaza por "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Para verificar la respuesta del enfoque anterior, debe convertirlo en un número mixto: 73 se divide por 55 y obtiene un cociente de 1 y un resto de 18.
Para encontrar el producto y el cociente, es inconveniente usar números mixtos. Aquí siempre se recomienda cambiar a fracciones impropias.
Este artículo es sobre fracciones comunes. Aquí nos familiarizaremos con el concepto de fracción de un todo, lo que nos llevará a la definición de fracción ordinaria. A continuación, nos detendremos en la notación aceptada para fracciones ordinarias y daremos ejemplos de fracciones, por ejemplo, sobre el numerador y el denominador de una fracción. Después de eso, daremos definiciones de fracciones correctas e impropias, positivas y negativas, y también consideraremos la posición de los números fraccionarios en haz de coordenadas. En conclusión, enumeramos las principales acciones con fracciones.
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acciones del todo
Primero introducimos compartir concepto.
Supongamos que tenemos algún objeto formado por varias partes absolutamente idénticas (es decir, iguales). Para mayor claridad, puedes imaginar, por ejemplo, una manzana cortada en varias partes iguales, o una naranja, que consta de varias rodajas iguales. Cada una de estas partes iguales que componen el objeto entero se llama parte del todo o simplemente Comparte.
Tenga en cuenta que las acciones son diferentes. Expliquemos esto. Digamos que tenemos dos manzanas. Partamos la primera manzana en dos partes iguales y la segunda en 6 partes iguales. Está claro que la parte de la primera manzana será diferente de la parte de la segunda manzana.
Dependiendo del número de acciones que componen el objeto completo, estas acciones tienen sus propios nombres. analicemos compartir nombres. Si el objeto consta de dos partes, cualquiera de ellas se denomina segunda parte del todo; si el objeto consta de tres partes, entonces cualquiera de ellas se llama una tercera parte, y así sucesivamente.
Un segundo tiempo tiene un nombre especial - medio. Un tercio se llama tercera, y uno cuádruple - cuarta parte.
En aras de la brevedad, lo siguiente designaciones de acciones. Una segunda parte se designa como o 1/2, una tercera parte - como o 1/3; una cuarta parte - como o 1/4, y así sucesivamente. Tenga en cuenta que la notación con una barra horizontal se usa con más frecuencia. Para consolidar el material, demos un ejemplo más: la entrada denota ciento sesenta y siete del total.
El concepto de acción se extiende naturalmente desde los objetos hasta las magnitudes. Por ejemplo, una de las medidas de longitud es el metro. Para medir longitudes menores a un metro, se pueden usar fracciones de un metro. Así que puedes usar, por ejemplo, medio metro o una décima o milésima de metro. Las cuotas de otras cantidades se aplican de forma similar.
Fracciones comunes, definición y ejemplos de fracciones.
Para describir el número de acciones se utilizan fracciones comunes. Pongamos un ejemplo que nos permitirá acercarnos a la definición de fracciones ordinarias.
Deje que una naranja conste de 12 partes. Cada acción en este caso representa una doceava parte de una naranja entera, es decir, . Denotemos dos tiempos como , tres tiempos como , y así sucesivamente, 12 tiempos como . Cada una de estas entradas se llama fracción ordinaria.
Ahora vamos a dar un general definición de fracciones comunes.
La definición expresada de fracciones ordinarias nos permite traer ejemplos de fracciones comunes: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . Y aquí están los registros. 
no se ajustan a la definición expresada de fracciones ordinarias, es decir, no son fracciones ordinarias.
Numerador y denominador
Por conveniencia, en fracciones ordinarias distinguimos numerador y denominador.
Definición.
Numerador fracción ordinaria (m/n) es un número natural m.
Definición.
Denominador fracción ordinaria (m/n) es un número natural n.
Entonces, el numerador está ubicado arriba de la barra de fracciones (a la izquierda de la barra oblicua), y el denominador está debajo de la barra de fracciones (a la derecha de la barra oblicua). Por ejemplo, tomemos una fracción ordinaria 17/29, el numerador de esta fracción es el número 17 y el denominador es el número 29.
Queda por discutir el significado contenido en el numerador y el denominador de una fracción ordinaria. El denominador de la fracción muestra de cuántas acciones consta un artículo, el numerador, a su vez, indica el número de dichas acciones. Por ejemplo, el denominador 5 de la fracción 12/5 significa que un artículo consta de cinco partes, y el numerador 12 significa que se toman 12 de esas partes.
Número natural como fracción con denominador 1
El denominador de una fracción ordinaria puede ser igual a uno. En este caso, podemos suponer que el objeto es indivisible, en otras palabras, es algo completo. El numerador de tal fracción indica cuántos elementos enteros se toman. Así, una fracción ordinaria de la forma m/1 tiene el significado de un número natural m. Así comprobamos la igualdad m/1=m .
Reescribamos la última igualdad así: m=m/1 . Esta igualdad nos permite representar cualquier número natural m como una fracción ordinaria. Por ejemplo, el número 4 es la fracción 4/1 y el número 103498 es la fracción 103498/1.
Asi que, cualquier número natural m se puede representar como una fracción ordinaria con denominador 1 como m/1, y cualquier fracción ordinaria de la forma m/1 se puede reemplazar por un número natural m.
Barra de fracción como signo de división
La representación del objeto original en forma de n partes no es más que una división en n partes iguales. Después de dividir el artículo en n acciones, podemos dividirlo en partes iguales entre n personas; cada una recibirá una acción.
Si inicialmente tenemos m objetos idénticos, cada uno de los cuales se divide en n partes, entonces podemos dividir igualmente estos m objetos entre n personas, dando a cada persona una parte de cada uno de los m objetos. En este caso, cada persona tendrá m acciones 1/n, ym acciones 1/n da una fracción ordinaria m/n. Por tanto, la fracción común m/n se puede utilizar para representar la división de m elementos entre n personas.
Entonces obtuvimos una conexión explícita entre las fracciones ordinarias y la división (ver la idea general de la división de números naturales). Esta relación se expresa de la siguiente manera: La barra de una fracción se puede entender como un signo de división, es decir, m/n=m:n.
Con la ayuda de una fracción ordinaria, puedes escribir el resultado de dividir dos números naturales, para el que no se realiza la división de enteros. Por ejemplo, el resultado de dividir 5 manzanas entre 8 personas se puede escribir como 5/8, es decir, cada uno obtendrá cinco octavos de manzana: 5:8=5/8.
Fracciones ordinarias iguales y desiguales, comparación de fracciones
Una acción bastante natural es comparación de fracciones comunes, porque es claro que 1/12 de una naranja es diferente de 5/12, y 1/6 de una manzana es lo mismo que los otros 1/6 de esta manzana.
Como resultado de comparar dos fracciones ordinarias, se obtiene uno de los resultados: las fracciones son iguales o no iguales. En el primer caso tenemos fracciones comunes iguales, y en el segundo fracciones comunes desiguales. Demos una definición de fracciones ordinarias iguales y desiguales.
Definición.
igual, si la igualdad a d=b c es verdadera.
Definición.
Dos fracciones comunes a/b y c/d no es igual, si no se cumple la igualdad a d=b c.
Estos son algunos ejemplos de fracciones iguales. Por ejemplo, la fracción común 1/2 es igual a la fracción 2/4, ya que 1 4=2 2 (si es necesario, consulte las reglas y ejemplos de multiplicación de números naturales). Para mayor claridad, puede imaginar dos manzanas idénticas, la primera se corta por la mitad y la segunda, en 4 partes. Es obvio que dos cuartos de una manzana es 1/2 parte. Otros ejemplos de fracciones comunes iguales son las fracciones 4/7 y 36/63, y el par de fracciones 81/50 y 1620/1000.
Y las fracciones ordinarias 4/13 y 5/14 no son iguales, ya que 4 14=56 y 13 5=65, es decir, 4 14≠13 5. Otro ejemplo de fracciones comunes desiguales son las fracciones 17/7 y 6/4.
Si, al comparar dos fracciones ordinarias, resulta que no son iguales, es posible que deba averiguar cuál de estas fracciones ordinarias menor otra y cual más. Para averiguarlo, se usa la regla para comparar fracciones ordinarias, cuya esencia es llevar las fracciones comparadas a un denominador común y luego comparar los numeradores. La información detallada sobre este tema se recopila en el artículo Comparación de fracciones: reglas, ejemplos, soluciones.
Números fraccionarios
Cada fracción es un registro. numero fraccional. Es decir, una fracción es solo una "cáscara" de un número fraccionario, su apariencia, y toda la carga semántica está contenida precisamente en un número fraccionario. Sin embargo, por brevedad y conveniencia, el concepto de fracción y número fraccionario se combinan y simplemente se denominan fracción. Aquí es apropiado parafrasear un dicho muy conocido: decimos una fracción, nos referimos a un número fraccionario, decimos un número fraccionario, nos referimos a una fracción.
Fracciones en el haz de coordenadas
Todos los números fraccionarios correspondientes a fracciones ordinarias tienen su propio lugar único en , es decir, existe una correspondencia uno a uno entre las fracciones y los puntos del rayo de coordenadas.
Para llegar al punto correspondiente a la fracción m / n en el rayo de coordenadas, es necesario posponer m segmentos desde el origen en la dirección positiva, cuya longitud es 1 / n del segmento unitario. Dichos segmentos se pueden obtener dividiendo un solo segmento en n partes iguales, lo que siempre se puede hacer usando un compás y una regla.
Por ejemplo, mostremos el punto M en el rayo de coordenadas, correspondiente a la fracción 14/10. La longitud del segmento que termina en el punto O y el punto más cercano a él, marcado con un pequeño guión, es 1/10 de la unidad del segmento. El punto con la coordenada 14/10 se elimina del origen por 14 de esos segmentos.
Las fracciones iguales corresponden al mismo número fraccionario, es decir, las fracciones iguales son las coordenadas del mismo punto en el rayo de coordenadas. Por ejemplo, un punto corresponde a las coordenadas 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 en el rayo de coordenadas, ya que todas las fracciones escritas son iguales (se encuentra a una distancia de la mitad del segmento unitario, pospuesto de el origen en la dirección positiva).
En un rayo de coordenadas horizontal y dirigido a la derecha, el punto cuya coordenada es una fracción grande se ubica a la derecha del punto cuya coordenada es una fracción menor. De manera similar, el punto con la coordenada más pequeña se encuentra a la izquierda del punto con la coordenada más grande.
Fracciones propias e impropias, definiciones, ejemplos.
Entre las fracciones ordinarias, hay fracciones propias e impropias. Esta división básicamente tiene una comparación del numerador y el denominador.
Vamos a dar una definición de fracciones ordinarias propias e impropias.
Definición.
fracción propia es una fracción ordinaria, cuyo numerador es menor que el denominador, es decir, si m Definición.
Fracción impropia es una fracción ordinaria en la que el numerador es mayor o igual que el denominador, es decir, si m≥n, entonces la fracción ordinaria es impropia. Estos son algunos ejemplos de fracciones propias: 1/4 , , 32 765/909 003 . De hecho, en cada una de las fracciones ordinarias escritas, el numerador es menor que el denominador (si es necesario, consulte el artículo Comparación de números naturales), por lo que son correctas por definición. Y aquí hay ejemplos de fracciones impropias: 9/9, 23/4,. En efecto, el numerador de la primera de las fracciones ordinarias escritas es igual al denominador, y en las fracciones restantes el numerador es mayor que el denominador. También hay definiciones de fracciones propias e impropias basadas en la comparación de fracciones con uno. Definición. correcto si es menor que uno. Definición. La fracción común se llama equivocado, si es igual a uno o mayor que 1 . Entonces la fracción ordinaria 7/11 es correcta, ya que 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1 y 27/27=1. Pensemos en cómo las fracciones ordinarias con un numerador mayor o igual que el denominador merecen ese nombre: "incorrectas". Tomemos como ejemplo la fracción impropia 9/9. Esta fracción significa que se toman nueve partes de un objeto, que consta de nueve partes. Es decir, a partir de las nueve acciones disponibles, podemos formar un sujeto completo. Es decir, la fracción impropia 9/9 esencialmente da un objeto completo, es decir, 9/9=1. En general, las fracciones impropias con un numerador igual al denominador denotan un objeto entero, y dicha fracción puede ser reemplazada por un número natural 1. Ahora considera las fracciones impropias 7/3 y 12/4. Es bastante obvio que a partir de estos siete tercios podemos hacer dos objetos enteros (un objeto entero son 3 partes, luego para componer dos objetos enteros necesitamos 3 + 3 = 6 partes) y todavía habrá una tercera parte. Es decir, la fracción impropia 7/3 esencialmente significa 2 artículos e incluso 1/3 de la parte de dicho artículo. Y de doce cuartos podemos hacer tres objetos enteros (tres objetos con cuatro partes cada uno). Es decir, la fracción 12/4 esencialmente significa 3 objetos enteros. Los ejemplos considerados nos llevan a la siguiente conclusión: las fracciones impropias pueden ser reemplazadas por números naturales, cuando el numerador se divide completamente por el denominador (por ejemplo, 9/9=1 y 12/4=3), o la suma de un número natural y una fracción propia, cuando el numerador no es divisible por el denominador (por ejemplo, 7/3=2+1/3). Quizás esto es precisamente lo que las fracciones impropias merecen tal nombre: "incorrectas". De particular interés es la representación de una fracción impropia como la suma de un número natural y una fracción propia (7/3=2+1/3). Este proceso se llama la extracción de una parte entera de una fracción impropia y merece una consideración separada y más cuidadosa. También vale la pena señalar que existe una relación muy estrecha entre las fracciones impropias y los números mixtos. Cada fracción ordinaria corresponde a un número fraccionario positivo (ver el artículo números positivos y negativos). Es decir, las fracciones ordinarias son fracciones positivas. Por ejemplo, las fracciones ordinarias 1/5, 56/18, 35/144 son fracciones positivas. Cuando es necesario enfatizar la positividad de una fracción, se coloca un signo más delante, por ejemplo, +3/4, +72/34. Si coloca un signo menos delante de una fracción ordinaria, esta entrada corresponderá a un número fraccionario negativo. En este caso, se puede hablar de fracciones negativas. Estos son algunos ejemplos de fracciones negativas: −6/10 , −65/13 , −1/18 . Las fracciones positivas y negativas m/n y −m/n son números opuestos. Por ejemplo, las fracciones 5/7 y −5/7 son fracciones opuestas. Las fracciones positivas, como los números positivos en general, denotan un aumento, un ingreso, un cambio en algún valor hacia arriba, etc. Las fracciones negativas corresponden a gasto, deuda, un cambio en cualquier valor en la dirección de disminución. Por ejemplo, una fracción negativa -3/4 puede interpretarse como una deuda, cuyo valor es 3/4. En las fracciones negativas horizontales y dirigidas a la derecha se encuentran a la izquierda del punto de referencia. Los puntos de la recta coordenada cuyas coordenadas son la fracción positiva m/n y la fracción negativa −m/n se encuentran a la misma distancia del origen, pero en lados opuestos del punto O . Aquí vale la pena mencionar las fracciones de la forma 0/n. Estas fracciones son iguales al número cero, es decir, 0/n=0. Las fracciones positivas, las fracciones negativas y las fracciones 0/n se combinan para formar números racionales. Una acción con fracciones ordinarias, la comparación de fracciones, ya la hemos considerado anteriormente. Se definen cuatro aritméticas más operaciones con fracciones- suma, resta, multiplicación y división de fracciones. Detengámonos en cada uno de ellos. La esencia general de las acciones con fracciones es similar a la esencia de las acciones correspondientes con números naturales. Hagamos una analogía. Multiplicación de fracciones puede considerarse como una acción en la que se encuentra una fracción a partir de una fracción. Para aclarar, pongamos un ejemplo. Supongamos que tenemos 1/6 de una manzana y necesitamos tomar 2/3 de ella. La parte que necesitamos es el resultado de multiplicar las fracciones 1/6 y 2/3. El resultado de multiplicar dos fracciones ordinarias es una fracción ordinaria (que en un caso particular es igual a un número natural). Además, recomendamos estudiar la información del artículo multiplicación de fracciones: reglas, ejemplos y soluciones. Bibliografía. Nos encontramos con fracciones en la vida mucho antes de que comiencen a estudiar en la escuela. Si corta una manzana entera por la mitad, obtenemos una pieza de fruta - ½. Córtalo de nuevo, será ¼. Esto es lo que son las fracciones. Y todo, al parecer, es simple. Para un adulto. Para un niño (y comienzan a estudiar este tema al final de la escuela primaria), los conceptos matemáticos abstractos todavía son terriblemente incomprensibles, y el maestro debe explicar de manera accesible qué son una fracción propia e impropia, ordinaria y decimal, qué operaciones se puede realizar con ellos y, lo más importante, por qué se necesita todo esto. El conocimiento de un nuevo tema en la escuela comienza con fracciones ordinarias. Son fáciles de reconocer por la línea horizontal que separa los dos números, arriba y abajo. La parte superior se llama numerador, la parte inferior se llama denominador. También hay una ortografía en minúsculas de fracciones ordinarias propias e impropias, a través de una barra, por ejemplo: ½, 4/9, 384/183. Esta opción se utiliza cuando la altura de la línea es limitada y no es posible aplicar la forma de "dos pisos" de la entrada. ¿Por qué? Sí, porque es más conveniente. Un poco más adelante lo comprobaremos. Además de las ordinarias, también existen las fracciones decimales. Es muy fácil distinguirlos: si en un caso se usa una barra horizontal o diagonal, en el otro, una coma que separa secuencias de números. Veamos un ejemplo: 2.9; 163,34; 1.953. Usamos deliberadamente el punto y coma como delimitador para delimitar los números. El primero de ellos se leerá así: "dos enteros, nueve décimos". Volvamos a las fracciones ordinarias. Son de dos tipos. La definición de una fracción propia es la siguiente: es una fracción cuyo numerador es menor que el denominador. ¿Por qué es importante? ¡Ahora veremos! Tienes varias manzanas cortadas en mitades. En total - 5 partes. ¿Cómo se dice: tienes manzanas de "dos y medio" o de "cinco segundos"? Por supuesto, la primera opción suena más natural, y cuando hablemos con amigos, la usaremos. Pero si necesita calcular cuánta fruta obtendrá cada uno, si hay cinco personas en la empresa, escribiremos el número 5/2 y lo dividiremos por 5; desde el punto de vista de las matemáticas, esto será más claro. Entonces, para nombrar fracciones propias e impropias, la regla es la siguiente: si se puede distinguir una parte entera (14/5, 2/1, 173/16, 3/3) en una fracción, entonces es incorrecta. Si esto no se puede hacer, como en el caso de ½, 13/16, 9/10, será correcto. Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican o dividen simultáneamente por el mismo número, su valor no cambiará. Imagínate: la tarta la cortaron en 4 partes iguales y te dieron una. El mismo pastel fue cortado en ocho pedazos y te dieron dos. ¿No es todo lo mismo? ¡Después de todo, ¼ y 2/8 son lo mismo! Los autores de problemas y ejemplos en los libros de texto de matemáticas a menudo tratan de confundir a los estudiantes ofreciendo fracciones que son engorrosas de escribir y que en realidad pueden reducirse. Aquí hay un ejemplo de una fracción propia: 167/334, que, al parecer, parece muy "aterrador". Pero de hecho, podemos escribirlo como ½. El número 334 es divisible por 167 sin resto; habiendo hecho esta operación, obtenemos 2. Una fracción impropia se puede representar como un número mixto. Esto es cuando toda la parte se adelanta y se escribe al nivel de la línea horizontal. De hecho, la expresión toma la forma de una suma: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 y así sucesivamente. Para sacar la parte entera, necesitas dividir el numerador por el denominador. Escribe el resto de la división arriba, arriba de la línea y la parte entera antes de la expresión. Así, obtenemos dos partes estructurales: unidades enteras + fracción propia. También puede realizar la operación inversa; para esto, debe multiplicar la parte entera por el denominador y agregar el valor resultante al numerador. Nada complicado. Curiosamente, multiplicar fracciones es más fácil que sumarlas. Todo lo que se requiere es extender la línea horizontal: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5. Con la división, todo también es simple: debes multiplicar las fracciones en cruz: (7/8) / (14/15) \u003d 7 * 15 / 8 * 14 \u003d 15/16. ¿Qué sucede si necesita realizar sumas o si tienen números diferentes en el denominador? No funcionará de la misma manera que con la multiplicación: aquí uno debe comprender la definición de una fracción propia y su esencia. Es necesario llevar los términos a un denominador común, es decir, deben aparecer los mismos números en la parte inferior de ambas fracciones. Para hacer esto, debes usar la propiedad básica de una fracción: multiplicar ambas partes por el mismo número. Por ejemplo, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½. ¿Cómo elegir a qué denominador traer los términos? Este debe ser el múltiplo más pequeño de ambos denominadores: para 1/3 y 1/9 será 9; para ½ y 1/7 - 14, porque no hay valor más pequeño divisible por 2 y 7 sin resto. ¿Para qué sirven las fracciones impropias? Después de todo, es mucho más conveniente seleccionar inmediatamente la parte completa, obtener un número mixto, ¡y eso es todo! Resulta que si necesitas multiplicar o dividir dos fracciones, es más rentable usar las incorrectas. Tomemos el siguiente ejemplo: (2 + 3/17) / (37 / 68). Parecería que no hay nada que cortar en absoluto. Pero, ¿y si escribimos el resultado de la suma en los primeros paréntesis como una fracción impropia? Mira: (37/17) / (37/68) ¡Ahora todo encaja! Escribamos el ejemplo de tal manera que todo se vuelva obvio: (37 * 68) / (17 * 37). Reduzcamos el 37 en el numerador y el denominador, y finalmente dividamos las partes superior e inferior por 17. ¿Recuerdas la regla básica para las fracciones propias e impropias? Podemos multiplicarlos y dividirlos por cualquier número, siempre que lo hagamos por el numerador y el denominador al mismo tiempo. Entonces, obtenemos la respuesta: 4. El ejemplo parecía complicado y la respuesta contiene solo un dígito. Esto sucede a menudo en matemáticas. Lo principal es no tener miedo y seguir reglas simples. Al hacer ejercicio, el estudiante puede cometer fácilmente uno de los errores populares. Por lo general, ocurren debido a la falta de atención y, a veces, debido a que el material estudiado aún no se ha depositado correctamente en la cabeza. A menudo, la suma de los números en el numerador provoca el deseo de reducir sus componentes individuales. Supongamos, en el ejemplo: (13 + 2) / 13, escrito sin corchetes (con una línea horizontal), muchos estudiantes, por inexperiencia, tachan 13 de arriba y de abajo. Pero esto no debe hacerse en ningún caso, ¡porque es un grave error! Si en lugar de sumar hubiera un signo de multiplicación, en la respuesta obtendríamos el número 2. Pero al sumar no se permiten operaciones con uno de los términos, solo con la suma total. Los niños suelen cometer errores al dividir fracciones. Tomemos dos fracciones irreducibles regulares y dividamos entre sí: (5/6) / (25/33). El estudiante puede confundir y escribir la expresión resultante como (5*25) / (6*33). Pero esto hubiera pasado con la multiplicación, y en nuestro caso todo será un poco diferente: (5 * 33) / (6 * 25). Reducimos lo que es posible, y en la respuesta veremos 11/10. Escribimos la fracción impropia resultante como un decimal - 1.1. Recuerde que en cualquier expresión matemática, el orden de las operaciones está determinado por la precedencia de los signos de operación y la presencia de corchetes. En igualdad de condiciones, la secuencia de acciones se cuenta de izquierda a derecha. Esto también es cierto para las fracciones: la expresión en el numerador o denominador se calcula estrictamente de acuerdo con esta regla. Es el resultado de dividir un número por otro. Si no se dividen por completo, resulta una fracción, eso es todo. Dado que las herramientas estándar no siempre le permiten crear una fracción que consta de dos "niveles", los estudiantes a veces buscan varios trucos. Por ejemplo, los numeradores y los denominadores se copian en el editor de Paint y se pegan, dibujando una línea horizontal entre ellos. Por supuesto, hay una opción más simple que, por cierto, también proporciona muchas funciones adicionales que le serán útiles en el futuro. Abra Microsoft Word. Uno de los paneles en la parte superior de la pantalla se llama "Insertar"; haga clic en él. A la derecha, en el lado donde se encuentran los iconos para cerrar y minimizar la ventana, se encuentra el botón Fórmula. ¡Esto es exactamente lo que necesitamos! Si usa esta función, aparecerá un área rectangular en la pantalla en la que puede usar cualquier símbolo matemático que no esté disponible en el teclado, así como escribir fracciones en la forma clásica. Es decir, separando el numerador y el denominador con una línea horizontal. Incluso puede que te sorprenda que una fracción tan propia sea tan fácil de escribir. Si estás en los grados 5-6, pronto se requerirán conocimientos de matemáticas (¡incluida la capacidad de trabajar con fracciones!) en muchas materias escolares. En casi cualquier problema de física, al medir la masa de sustancias en química, en geometría y trigonometría, no se puede prescindir de las fracciones. Pronto aprenderá a calcular todo en su mente, sin siquiera escribir expresiones en papel, pero aparecerán ejemplos cada vez más complejos. Por lo tanto, aprenda qué es una fracción propia y cómo trabajar con ella, manténgase al día con el plan de estudios, haga su tarea a tiempo y luego tendrá éxito. 326. Rellena los huecos. 1) Si el numerador de una fracción es igual al denominador, entonces la fracción es igual a 1. 327. Escribe de las fracciones 1/20, 16/9, 7/2, 14/28.10/10, 5/32.11/2: 1) fracciones propias; 2) fracciones impropias. 1) 1/20, 14/23, 5/32 2) 19/9, 7/2, 10/10, 11/2 328. Piensa y escribe: 1) 5 fracciones correctas; 2) fracciones impropias. 1) ½, 1/3, ¼, 1/5, 1/6 2) 3/2, 4/2, 5/2 y 6/2, 7/2 329. Escribe todas las fracciones correctas con denominador 9. 1/9, 2/9, 3/9, 4/9, 5/9, 6/9, 7/9, 8/9. 330. Escribe todas las fracciones impropias con numerador 9. 9/1,9/2, 9/3, 9/4, 9/5, 9/6, 9/7, 9/8, 9/9. 331. Dos tiras idénticas se dividieron en 7 partes iguales. Pinte sobre 4/7 de una tira y 6/7 de la otra. Compara las fracciones resultantes: 4/7< 6/7. Formula una regla para comparar fracciones con los mismos denominadores: de dos fracciones con los mismos denominadores, la que tiene el numerador más grande es mayor. 332. Dos tiras idénticas se dividieron en partes. Una tira se dividió en 7 partes iguales y la otra en 5 partes iguales. Pintar sobre 3/7 de la primera tira y 3/5 de la segunda. Compara las fracciones resultantes: 3/7< /5. Formula una regla para comparar fracciones con los mismos numeradores: de dos fracciones con los mismos numeradores, la que tiene el menor denominador es mayor. 333. Rellena los huecos. 1) Todas las fracciones propias son menores que 1 y las impropias son mayores que 1 o iguales a 1. 2) Cada fracción impropia es mayor que cualquier fracción propia, y cada fracción propia menos que cualquiera equivocado. 3) En un haz de coordenadas de dos fracciones, la fracción mayor se ubica a la derecha de la menor. 334. Encierra en un círculo las afirmaciones correctas. 335. Compara números. 2)17/25>14/25 4)24/51>24/53 336. ¿Cuál de las fracciones 10/11, 16/4, 18/17, 24/24, 2005/207, 310/303, 39/40 es mayor que 1? Respuesta: 16/4, 18/17, 310/303 337. Ordena las fracciones 5/29, 7/29, 4/29, 25/29, 17/29, 13/29. Respuesta: 29/29, 29/17, 29/13, 29/7, 29/5, 29/4. 338. Marca en el haz de coordenadas todos los números que sean fracciones con denominador 5, situados entre los números 0 y 3. ¿Cuáles de los números marcados son correctos y cuáles son incorrectos? 0 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 7/5 8/5 9/5 10/5 11/5 12/5 13/5 14/5 Respuesta: 1) fracciones propias: 1/5, 2/5, 3/5, 4/5. 2) fracciones impropias: 5/5, 6/5, 7/5, 8/5, 9/5, 10/5, 11/5, 12/5, 13/5, 14/5. 339. Encuentra todos los valores naturales de x para los cuales la fracción x/8 es correcta. Respuesta: 1,2,3,4,5,6,7 340. Encuentra expresiones naturales x para la cual la fracción 11/x será impropia. Respuesta: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 341. 1) Escribe los números en las celdas vacías para que se forme una fracción correcta. 2) Ingrese los números en las celdas vacías para que se forme una fracción impropia. 342. Construya y designe un segmento, cuya longitud sea: 1) 9/8 de la longitud del segmento AB; 2) 10/8 de la longitud del segmento AB; 3) 7/4 de la longitud del segmento AB; 4) la longitud del segmento AB. Sasha leyó 42:6*7= 49 páginas Respuesta: 49 paginas 344. Encuentra todos los valores naturales de x para los cuales la desigualdad es verdadera: 1) x/15<7/15; 2)10/x>10/9. Respuesta: 1) 1,2,3,4,5,6; 2) 1,2,3,4,5,6,7,8. 345. Usando los números 1,4,5,7 y la línea de una fracción, escribe todas las fracciones propias posibles. Respuesta: ¼, 1/5.1/7.4/5.4/7.5/7. 346. Encuentra todos los valores naturales de m para los cuales 4m+5/17 es correcto. 4m+5<17; 4m<12; m<3. Respuesta: m = 1; 2. 347. Encuentra todos los valores naturales de a para los cuales la fracción 10/a es impropia y la fracción 7/a es correcta. a≤10 y a >7, es decir 7 Respuesta: a = 8,9,10 348. Números naturales a, b, c y d tales que a Fracciones positivas y negativas
Acciones con fracciones
que son fracciones
Nuevos conceptos
Propiedad básica de una fracción
Reducción
Numeros mezclados
Multiplicación y división
Suma de fracciones
Uso
Errores comunes
paréntesis
Cómo escribir una fracción en una computadora
aprender matematicas
2) Una fracción a/b (a y b son números naturales) se dice correcta si a< b
3) La fracción a/b (a y b son números naturales) se llama impropia si a >b o a =b.
4) 9/14 es una fracción propia porque 9< 14.
5) 7/5 es una fracción impropia porque 7 > 5.
6) 16/16 es una fracción impropia porque 16=16.
