§ 87. Suma de fracciones.
Sumar fracciones tiene muchas similitudes con sumar números enteros. La suma de fracciones es una acción que consiste en el hecho de que varios números dados (términos) se combinan en un número (suma), que contiene todas las unidades y fracciones de unidades de términos.
Consideraremos tres casos a su vez:
1. Suma de fracciones con los mismos denominadores.
2. Sumar fracciones con diferentes denominadores.
3. Suma de números mixtos.
1. Suma de fracciones con los mismos denominadores.
Considere un ejemplo: 1/5 + 2/5.
Tome el segmento AB (Fig. 17), tómelo como una unidad y divídalo en 5 partes iguales, luego la parte AC de este segmento será igual a 1/5 del segmento AB, y la parte del mismo segmento CD será igual a 2/5 AB.
Se puede ver en el dibujo que si tomamos el segmento AD, será igual a 3/5 AB; pero el segmento AD es precisamente la suma de los segmentos AC y CD. Entonces, podemos escribir:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Considerando estos términos y la cantidad resultante, vemos que el numerador de la suma se obtuvo sumando los numeradores de los términos, y el denominador permaneció sin cambios.
De aquí obtenemos siguiente regla: Para sumar fracciones con el mismo denominador, debes sumar sus numeradores y dejar el mismo denominador.
Considere un ejemplo:
2. Suma de fracciones con distinto denominador.
Sumemos fracciones: 3/4 + 3/8 Primero deben reducirse al mínimo común denominador:
El enlace intermedio 6/8 + 3/8 no podría haberse escrito; lo hemos escrito aquí para mayor claridad.
Así, para sumar fracciones con diferente denominador, primero debes llevarlas al mínimo común denominador, sumar sus numeradores y firmar el común denominador.
Considere un ejemplo (escribiremos factores adicionales sobre las fracciones correspondientes):
3. Suma de números mixtos.
Sumemos los números: 2 3/8 + 3 5/6.
Primero llevemos las partes fraccionarias de nuestros números a un denominador común y reescribámoslos de nuevo:
Ahora agregue las partes enteras y fraccionarias en secuencia:
§ 88. Resta de fracciones.
La resta de fracciones se define de la misma manera que la resta de números enteros. Esta es una acción por la cual, dada la suma de dos términos y uno de ellos, se encuentra otro término. Consideremos tres casos a su vez:
1. Resta de fracciones con el mismo denominador.
2. Resta de fracciones con distinto denominador.
3. Resta de números mixtos.
1. Resta de fracciones con el mismo denominador.
Considere un ejemplo:
13 / 15 - 4 / 15
Tomemos el segmento AB (Fig. 18), tómelo como una unidad y divídalo en 15 partes iguales; entonces la parte AC de este segmento será 1/15 de AB, y la parte AD del mismo segmento corresponderá a 13/15 AB. Dejemos aparte otro segmento ED, igual a 4/15 AB.
Necesitamos restar 4/15 de 13/15. En el dibujo, esto significa que el segmento ED debe restarse del segmento AD. Como resultado, quedará el segmento AE, que es 9/15 del segmento AB. Entonces podemos escribir:
El ejemplo que hicimos muestra que el numerador de la diferencia se obtuvo al restar los numeradores, y el denominador permaneció igual.
Por lo tanto, para restar fracciones con el mismo denominador, debes restar el numerador del sustraendo del numerador del minuendo y dejar el mismo denominador.
2. Resta de fracciones con distinto denominador.
Ejemplo. 3/4 - 5/8
Primero, reduzcamos estas fracciones al mínimo común denominador:
El enlace intermedio 6/8 - 5/8 se escribe aquí para mayor claridad, pero se puede omitir en el futuro.
Por lo tanto, para restar una fracción de otra fracción, primero debe llevarlas al mínimo común denominador, luego restar el numerador del sustraendo del numerador del minuendo y firmar el común denominador debajo de su diferencia.
Considere un ejemplo:
3. Resta de números mixtos.
Ejemplo. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .
Llevemos las partes fraccionarias del minuendo y el sustraendo al mínimo común denominador:
Restamos un entero de un entero y una fracción de una fracción. Pero hay casos en que la parte fraccionaria del sustraendo es mayor que la parte fraccionaria del minuendo. En tales casos, debe tomar una unidad de la parte entera de la reducción, dividirla en aquellas partes en las que se expresa la parte fraccionaria y agregarla a la parte fraccionaria de la reducción. Y luego la resta se realizará de la misma forma que en el ejemplo anterior:
§ 89. Multiplicación de fracciones.
Al estudiar la multiplicación de fracciones, consideraremos las siguientes preguntas:
1. Multiplicar una fracción por un número entero.
2. Encontrar una fracción de un número dado.
3. Multiplicación de un número entero por una fracción.
4. Multiplicar una fracción por una fracción.
5. Multiplicación de números mixtos.
6. El concepto de interés.
7. Encontrar porcentajes de un número dado. Considerémoslos secuencialmente.
1. Multiplicar una fracción por un número entero.
Multiplicar una fracción por un entero tiene el mismo significado que multiplicar un entero por un entero. Multiplicar una fracción (multiplicando) por un número entero (multiplicador) significa componer la suma de términos idénticos, en la que cada término es igual al multiplicando y el número de términos es igual al multiplicador.
Entonces, si necesita multiplicar 1/9 por 7, entonces esto se puede hacer así:
El resultado lo obtuvimos fácilmente, ya que la acción se reducía a sumar fracciones con el mismo denominador. Por lo tanto,
La consideración de esta acción muestra que multiplicar una fracción por un número entero es equivalente a aumentar esta fracción tantas veces como unidades tenga el número entero. Y como el aumento de la fracción se logra ya sea aumentando su numerador
o disminuyendo su denominador 
, entonces podemos multiplicar el numerador por el número entero o dividir el denominador por él, si tal división es posible.
De aquí obtenemos la regla:
Para multiplicar una fracción por un número entero, debe multiplicar el numerador por este número entero y dejar el mismo denominador o, si es posible, dividir el denominador por este número, sin cambiar el numerador.
Al multiplicar, las abreviaturas son posibles, por ejemplo:
2. Encontrar una fracción de un número dado. Hay muchos problemas en los que tienes que encontrar, o calcular, una parte de un número dado. La diferencia entre estas tareas y otras es que dan el número de algunos objetos o unidades de medida y necesitas encontrar una parte de este número, que también se indica aquí por una determinada fracción. Para facilitar la comprensión, primero daremos ejemplos de tales problemas y luego presentaremos el método para resolverlos.
Tarea 1. tenía 60 rublos; 1/3 de este dinero lo gasté en la compra de libros. ¿Cuánto costaron los libros?
Tarea 2. El tren debe cubrir la distancia entre las ciudades A y B, igual a 300 km. Ya ha recorrido 2/3 de esa distancia. ¿Cuántos kilómetros es esto?
Tarea 3. Hay 400 casas en el pueblo, 3/4 de ellas son de ladrillo, el resto son de madera. Cuanto casas de ladrillo?
Estos son algunos de los muchos problemas con los que tenemos que lidiar para encontrar una fracción de un número dado. Por lo general, se les llama problemas para encontrar una fracción de un número dado.
Solución del problema 1. A partir de 60 rublos. Gasté 1/3 en libros; Entonces, para encontrar el costo de los libros, debes dividir el número 60 entre 3:
Solución del problema 2. El significado del problema es que necesitas encontrar 2/3 de 300 km. Calcula el primer 1/3 de 300; esto se logra dividiendo 300 km por 3:
300: 3 = 100 (eso es 1/3 de 300).
Para encontrar dos tercios de 300, debe duplicar el cociente resultante, es decir, multiplicar por 2:
100 x 2 = 200 (eso es 2/3 de 300).
Solución del problema 3. Aquí debe determinar la cantidad de casas de ladrillo, que son 3/4 de 400. Primero encontremos 1/4 de 400,
400: 4 = 100 (eso es 1/4 de 400).
Para calcular tres cuartos de 400 hay que triplicar el cociente resultante, es decir, multiplicarlo por 3:
100 x 3 = 300 (eso es 3/4 de 400).
Con base en la solución de estos problemas, podemos derivar la siguiente regla:
Para encontrar el valor de una fracción de un número dado, debes dividir este número por el denominador de la fracción y multiplicar el cociente resultante por su numerador.
3. Multiplicación de un número entero por una fracción.
Anteriormente (§ 26) se estableció que la multiplicación de números enteros debe entenderse como la suma de términos idénticos (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). En este párrafo (párrafo 1) se estableció que multiplicar una fracción por un número entero significa encontrar la suma de términos idénticos igual a esa fracción.
En ambos casos, la multiplicación consistía en encontrar la suma de términos idénticos.
Ahora pasamos a multiplicar un número entero por una fracción. Aquí nos encontraremos con tales, por ejemplo, multiplicaciones: 9 2 / 3. Es bastante obvio que la definición anterior de multiplicación no se aplica a este caso. Esto es evidente por el hecho de que no podemos reemplazar dicha multiplicación sumando números iguales.
Por ello, tendremos que dar una nueva definición de multiplicación, es decir, en otras palabras, responder a la pregunta de qué debe entenderse por multiplicación por una fracción, cómo debe entenderse esta acción.
El significado de multiplicar un número entero por una fracción queda claro a partir de la siguiente definición: multiplicar un número entero (multiplicador) por una fracción (multiplicador) significa encontrar esta fracción del multiplicador.
Es decir, multiplicar 9 por 2/3 significa encontrar 2/3 de nueve unidades. En el párrafo anterior, tales problemas fueron resueltos; por lo que es fácil darse cuenta de que terminamos con 6.
Pero ahora surge una pregunta interesante e importante: ¿por qué tal a primera vista? Varias actividades como encontrar la suma numeros iguales y encontrar la fracción de un número, en aritmética se les llama la misma palabra "multiplicación"?
Esto sucede porque la acción anterior (repetir varias veces el número con términos) y la acción nueva (encontrar la fracción de un número) dan respuesta a preguntas homogéneas. Esto significa que partimos aquí de las consideraciones de que cuestiones o tareas homogéneas se resuelven mediante una y la misma acción.
Para entender esto, considere el siguiente problema: “1 m de tela cuesta 50 rublos. ¿Cuánto costarán 4 m de esa tela?
Este problema se resuelve multiplicando el número de rublos (50) por el número de metros (4), es decir, 50 x 4 = 200 (rublos).
Tomemos el mismo problema, pero en él la cantidad de tela se expresará como un número fraccionario: “1 m de tela cuesta 50 rublos. ¿Cuánto costarán 3/4 m de esa tela?
Este problema también debe resolverse multiplicando la cantidad de rublos (50) por la cantidad de metros (3/4).
También puede cambiar los números varias veces sin cambiar el significado del problema, por ejemplo, tome 9/10 m o 2 3/10 m, etc.
Dado que estos problemas tienen el mismo contenido y difieren solo en números, llamamos a las acciones utilizadas para resolverlos la misma palabra: multiplicación.
¿Cómo se multiplica un número entero por una fracción?
Tomemos los números encontrados en el último problema:
Según la definición, debemos encontrar 3/4 de 50. Primero encontramos 1/4 de 50, y luego 3/4.
1/4 de 50 es 50/4;
3/4 de 50 es .
Por lo tanto.
Considere otro ejemplo: 12 5 / 8 = ?
1/8 de 12 es 12/8,
5/8 del número 12 es .
Por lo tanto,
De aquí obtenemos la regla:
Para multiplicar un número entero por una fracción, debe multiplicar el número entero por el numerador de la fracción y convertir este producto en el numerador, y firmar el denominador de la fracción dada como denominador.
Escribimos esta regla usando letras:
Para que esta regla quede perfectamente clara, conviene recordar que una fracción puede considerarse como un cociente. Por lo tanto, es útil comparar la regla encontrada con la regla para multiplicar un número por un cociente, que se estableció en el § 38
Debe recordarse que antes de realizar la multiplicación, debe hacer (si es posible) cortes, Por ejemplo:
4. Multiplicar una fracción por una fracción. Multiplicar una fracción por una fracción tiene el mismo significado que multiplicar un número entero por una fracción, es decir, al multiplicar una fracción por una fracción, debe encontrar la fracción en el multiplicador de la primera fracción (multiplicador).
Es decir, multiplicar 3/4 por 1/2 (la mitad) significa encontrar la mitad de 3/4.
¿Cómo se multiplica una fracción por una fracción?
Tomemos un ejemplo: 3/4 veces 5/7. Esto significa que necesitas encontrar 5 / 7 de 3 / 4 . Encuentra primero 1/7 de 3/4 y luego 5/7
1/7 de 3/4 se expresaría así:
5/7 números 3/4 se expresará de la siguiente manera:
Por lo tanto,
Otro ejemplo: 5/8 por 4/9.
1/9 de 5/8 es ,
4/9 números 5/8 son .
Por lo tanto, 
De estos ejemplos se puede deducir la siguiente regla:
Para multiplicar una fracción por otra fracción, necesitas multiplicar el numerador por el numerador y el denominador por el denominador y hacer que el primer producto sea el numerador y el segundo producto el denominador del producto.
Esta es la regla en vista general se puede escribir asi:
Al multiplicar, es necesario hacer (si es posible) reducciones. Considere ejemplos:
5. Multiplicación de números mixtos. Como Numeros mezclados pueden ser reemplazadas fácilmente por fracciones impropias, esta circunstancia se suele utilizar al momento de multiplicar números mixtos. Esto quiere decir que en aquellos casos en que el multiplicando, o el multiplicador, o ambos factores se expresan como números mixtos, entonces se reemplazan por fracciones impropias. Multiplica, por ejemplo, números mixtos: 2 1/2 y 3 1/5. Convertimos cada uno de ellos en una fracción impropia y luego multiplicaremos las fracciones resultantes según la regla de multiplicar una fracción por otra fracción:
Regla. Para multiplicar números mixtos, primero debes convertirlos en fracciones impropias y luego multiplicar de acuerdo con la regla de multiplicar una fracción por una fracción.
Nota. Si uno de los factores es un número entero, entonces la multiplicación se puede realizar según la ley de distribución de la siguiente manera:
6. El concepto de interés. Al resolver problemas y al realizar varios cálculos prácticos, usamos todo tipo de fracciones. Pero hay que tener en cuenta que muchas cantidades no admiten ninguna, sino subdivisiones naturales para ellas. Por ejemplo, puede tomar una centésima (1/100) de un rublo, será un centavo, dos centésimas son 2 kopeks, tres centésimas son 3 kopeks. Puede tomar 1/10 del rublo, serán "10 kopeks, o una moneda de diez centavos. Puede tomar una cuarta parte del rublo, es decir, 25 kopeks, medio rublo, es decir, 50 kopeks (cincuenta kopeks). Pero prácticamente no No tomes, por ejemplo, 2/7 rublos porque el rublo no se divide en séptimos.
La unidad de medida del peso, es decir, el kilogramo, permite, en primer lugar, subdivisiones decimales, por ejemplo, 1/10 kg o 100 g, y fracciones de kilogramo como 1/6, 1/11, 1 /13 son poco comunes.
En general, nuestras medidas (métricas) son decimales y permiten subdivisiones decimales.
Sin embargo, debe notarse que es extremadamente útil y conveniente en una amplia variedad de casos usar el mismo método (uniforme) de subdivisión de cantidades. Muchos años de experiencia han demostrado que una división tan bien justificada es la división de "centésimas". Consideremos algunos ejemplos relacionados con las más diversas áreas de la práctica humana.
1. El precio de los libros ha disminuido un 12/100 del precio anterior.
Ejemplo. El precio anterior del libro es de 10 rublos. Ella bajó por 1 rublo. 20 coronas
2. Las Cajas de Ahorros abonan durante el año a los depositantes el 2/100 de la cantidad que se deposita en ahorros.
Ejemplo. Se ponen 500 rublos en la caja, el ingreso de esta cantidad para el año es de 10 rublos.
3. El número de graduados de una escuela fue 5/100 del número total de estudiantes.
EJEMPLO Solo 1.200 estudiantes estudiaron en la escuela, 60 de ellos se graduaron de la escuela.
La centésima parte de un número se llama porcentaje..
La palabra "porcentaje" se toma prestada de latín y su raíz "cent" significa cien. Junto con la preposición (pro centum), esta palabra significa "por cien". El significado de esta expresión se deriva del hecho de que inicialmente en roma antigua el interés era el dinero que el deudor pagaba al prestamista "por cada cien". La palabra "cent" se escucha en palabras tan familiares: centner (cien kilogramos), centímetro (dicen centímetro).
Por ejemplo, en lugar de decir que la planta produjo 1/100 de todos los productos producidos por ella durante el último mes, diremos esto: la planta produjo el uno por ciento de los rechazos durante el último mes. En lugar de decir: la planta produjo 4/100 productos más que el plan establecido, diremos: la planta superó el plan en un 4 por ciento.
Los ejemplos anteriores se pueden expresar de otra manera:
1. El precio de los libros ha disminuido un 12 por ciento del precio anterior.
2. Las cajas de ahorros pagan a los depositantes el 2 por ciento anual de la cantidad depositada en ahorros.
3. El número de graduados de una escuela fue el 5 por ciento del número de todos los estudiantes de la escuela.
Para abreviar la letra, se acostumbra escribir el signo % en lugar de la palabra "porcentaje".
Sin embargo, debe recordarse que el signo % generalmente no se escribe en los cálculos, se puede escribir en el enunciado del problema y en el resultado final. Al realizar cálculos, debe escribir una fracción con un denominador de 100 en lugar de un número entero con este ícono.
Debe poder reemplazar un número entero con el icono especificado con una fracción con un denominador de 100:
Por el contrario, debe acostumbrarse a escribir un número entero con el icono indicado en lugar de una fracción con un denominador de 100:
7. Encontrar porcentajes de un número dado.
Tarea 1. La escuela recibió 200 metros cúbicos. m de leña, siendo la leña de abedul el 30%. ¿Cuánta madera de abedul había?
El significado de este problema es que la leña de abedul fue solo una parte de la leña que se entregó a la escuela, y esta parte se expresa como una fracción de 30/100. Entonces, nos enfrentamos a la tarea de encontrar una fracción de un número. Para resolverlo, debemos multiplicar 200 por 30 / 100 (las tareas para encontrar la fracción de un número se resuelven multiplicando un número por una fracción).
Entonces el 30% de 200 es igual a 60.
La fracción 30/100 encontrada en este problema se puede reducir en 10. Sería posible realizar esta reducción desde el principio; la solución al problema no cambiaría.
Tarea 2. Había 300 niños de varias edades en el campamento. Los niños de 11 años eran el 21%, los niños de 12 años el 61% y finalmente los de 13 años el 18%. ¿Cuántos niños de cada edad había en el campamento?
En este problema, debe realizar tres cálculos, es decir, encontrar sucesivamente el número de niños de 11 años, luego de 12 años y finalmente de 13 años.
Entonces, aquí será necesario encontrar una fracción de un número tres veces. Vamos a hacerlo:
1) ¿Cuántos niños tenían 11 años?
2) ¿Cuántos niños tenían 12 años?
3) ¿Cuántos niños tenían 13 años?
Después de resolver el problema, es útil sumar los números encontrados; su suma debe ser 300:
63 + 183 + 54 = 300
También debe prestar atención al hecho de que la suma de los porcentajes dados en la condición del problema es 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Esto sugiere que numero total niños que estaban en el campamento se tomó como 100%.
3 a da cha 3. El trabajador recibía 1.200 rublos al mes. De estos gastó el 65% en comida, el 6% en apartamento y calefacción, el 4% en gas, electricidad y radio, el 10% en necesidades culturales y el 15% lo ahorró. ¿Cuánto dinero se gastó en las necesidades indicadas en la tarea?
Para resolver este problema, necesitas encontrar una fracción del número 1200 5 veces. Hagámoslo.
1) ¿Cuánto dinero se gasta en comida? La tarea dice que este gasto es el 65% de todas las ganancias, es decir, el 65/100 del número 1200. Hagamos el cálculo:
2) ¿Cuánto dinero se pagó por un apartamento con calefacción? Argumentando como el anterior, llegamos al siguiente cálculo:
3) ¿Cuánto dinero pagó por gas, electricidad y radio?
4) ¿Cuánto dinero se gasta en necesidades culturales?
5) ¿Cuánto dinero ahorró el trabajador?
Para la verificación, es útil agregar los números que se encuentran en estas 5 preguntas. La cantidad debe ser de 1.200 rublos. Todas las ganancias se toman como 100%, lo cual es fácil de comprobar sumando los porcentajes dados en el enunciado del problema.
Hemos resuelto tres problemas. A pesar de que estas tareas eran de cosas diferentes (entrega de leña para la escuela, número de niños de diferentes edades, gastos del trabajador), se resolvían de la misma manera. Esto sucedió porque en todas las tareas era necesario encontrar un pequeño porcentaje de los números dados.
§ 90. División de fracciones.
Al estudiar la división de fracciones, consideraremos las siguientes preguntas:
1. Divida un número entero por un número entero.
2. División de una fracción por un número entero
3. División de un número entero por una fracción.
4. División de una fracción por una fracción.
5. División de números mixtos.
6. Hallar un número dada su fracción.
7. Encontrar un número por su porcentaje.
Considerémoslos secuencialmente.
1. Divida un número entero por un número entero.
Como se indicó en el apartado de los números enteros, la división es la acción consistente en que, dado el producto de dos factores (el dividendo) y uno de estos factores (el divisor), se encuentra otro factor.
La división de un entero por un entero la consideramos en el departamento de enteros. Encontramos allí dos casos de división: división sin resto, o "totalmente" (150: 10 = 15), y división con resto (100: 9 = 11 y 1 en el resto). Por tanto, podemos decir que en el ámbito de los números enteros, la división exacta no siempre es posible, porque el dividendo no siempre es el producto del divisor y el número entero. Después de la introducción de la multiplicación por una fracción, podemos considerar cualquier caso de división de números enteros como posible (solo se excluye la división por cero).
Por ejemplo, dividir 7 entre 12 significa encontrar un número cuyo producto por 12 sea 7. Este número es la fracción 7/12 porque 7/12 12 = 7. Otro ejemplo: 14: 25 = 14/25 porque 14/25 25 = 14.
Por lo tanto, para dividir un número entero por un número entero, debe hacer una fracción, cuyo numerador es igual al dividendo y el denominador es el divisor.
2. División de una fracción por un número entero.
Divide la fracción 6/7 por 3. Según la definición de división dada arriba, tenemos aquí el producto (6/7) y uno de los factores (3); se requiere encontrar un segundo factor que, cuando se multiplique por 3, dé el producto dado 6/7. Obviamente, debería ser tres veces más pequeño que este producto. Esto significa que la tarea que teníamos ante nosotros era reducir la fracción 6 / 7 en 3 veces.
Ya sabemos que la reducción de una fracción se puede hacer ya sea disminuyendo su numerador o aumentando su denominador. Por lo tanto, puedes escribir:
En este caso, el numerador 6 es divisible por 3, por lo que el numerador debe reducirse 3 veces.
Pongamos otro ejemplo: 5/8 dividido por 2. Aquí el numerador 5 no es divisible por 2, lo que significa que habrá que multiplicar el denominador por este número:
En base a esto, podemos enunciar la regla: Para dividir una fracción por un número entero, necesitas dividir el numerador de la fracción por ese número entero.(si es posible), dejando el mismo denominador, o multiplicar el denominador de la fracción por este número, dejando el mismo numerador.
3. División de un número entero por una fracción.
Sea necesario dividir 5 por 1/2, es decir, encontrar un número que, después de multiplicar por 1/2, dé como resultado el producto 5. Obviamente, este número debe ser mayor que 5, ya que 1/2 es una fracción propia, y al multiplicar un número por una fracción propia, el producto debe ser menor que el multiplicando. Para que quede más claro, escribamos nuestras acciones de la siguiente manera: 5: 1 / 2 = X , entonces x 1 / 2 \u003d 5.
Debemos encontrar tal número X , que, al multiplicarse por 1/2, daría 5. Dado que multiplicar un cierto número por 1/2 significa encontrar la 1/2 de este número, entonces, por lo tanto, 1/2 numero desconocido X es 5 y el numero entero X el doble, es decir, 5 2 \u003d 10.
Entonces 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
Vamos a revisar: 
Consideremos un ejemplo más. Sea necesario dividir 6 entre 2/3. Primero intentemos encontrar el resultado deseado usando el dibujo (Fig. 19).
Figura 19
Dibuja un segmento AB, igual a 6 de algunas unidades, y divide cada unidad en 3 partes iguales. En cada unidad, tres tercios (3/3) de todo el segmento AB es 6 veces mayor, es decir E. 18/3. Conectamos con la ayuda de pequeños soportes 18 segmentos obtenidos de 2; Habrá sólo 9 segmentos. Esto quiere decir que la fracción 2/3 está contenida en b unidades 9 veces, o sea, la fracción 2/3 es 9 veces menor que 6 unidades enteras. Por lo tanto,
¿Cómo obtener este resultado sin un dibujo usando solo cálculos? Argumentaremos de la siguiente manera: se requiere dividir 6 por 2 / 3, es decir, se requiere responder a la pregunta, cuántas veces 2 / 3 está contenido en 6. Averigüemos primero: cuántas veces es 1 / 3 contenido en 6? En una unidad entera - 3 tercios, y en 6 unidades - 6 veces más, es decir, 18 tercios; para encontrar este número, debemos multiplicar 6 por 3. Por lo tanto, 1/3 está contenido en b unidades 18 veces, y 2/3 está contenido en b unidades no 18 veces, sino la mitad de veces, es decir, 18: 2 = 9 Por lo tanto, al dividir 6 entre 2/3 hicimos lo siguiente:
De aquí obtenemos la regla para dividir un número entero por una fracción. Para dividir un entero por una fracción, necesitas multiplicar este entero por el denominador de la fracción dada y, haciendo de este producto el numerador, dividirlo por el numerador de la fracción dada.
Escribimos la regla usando letras:
Para que esta regla quede perfectamente clara, conviene recordar que una fracción puede considerarse como un cociente. Por lo tanto, es útil comparar la regla encontrada con la regla para dividir un número por un cociente, que se estableció en el § 38. Nótese que allí se obtuvo la misma fórmula.
Al dividir, las abreviaturas son posibles, por ejemplo:
4. División de una fracción por una fracción.
Que sea necesario dividir 3/4 por 3/8. ¿Qué denotará el número que se obtendrá como resultado de la división? Responderá a la pregunta cuántas veces la fracción 3/8 está contenida en la fracción 3/4. Para entender este problema, hagamos un dibujo (Fig. 20).
Tome el segmento AB, tómelo como una unidad, divídalo en 4 partes iguales y marque 3 de esas partes. El segmento AC será igual a 3/4 del segmento AB. Dividamos ahora cada uno de los cuatro segmentos iniciales por la mitad, luego el segmento AB se dividirá en 8 partes iguales y cada una de esas partes será igual a 1/8 del segmento AB. Conectamos 3 de estos segmentos con arcos, luego cada uno de los segmentos AD y DC será igual a 3/8 del segmento AB. El dibujo muestra que el segmento igual a 3/8 está contenido en el segmento igual a 3/4 exactamente 2 veces; Entonces el resultado de la división se puede escribir así:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Consideremos un ejemplo más. Sea necesario dividir 15/16 por 3/32:
Podemos razonar así: necesitamos encontrar un número que, después de ser multiplicado por 3/32, dé un producto igual a 15/16. Escribamos los cálculos así:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 número desconocido X maquillaje 15 / 16
1/32 número desconocido X es ,
32 / 32 números X maquillaje .
Por lo tanto,
Por lo tanto, para dividir una fracción entre una fracción, debe multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda y hacer que el primer producto sea el numerador y el segundo el denominador.
Escribamos la regla usando letras:
Al dividir, las abreviaturas son posibles, por ejemplo:
5. División de números mixtos.
Al dividir números mixtos, primero deben convertirse en fracciones impropias y luego las fracciones resultantes deben dividirse de acuerdo con las reglas para dividir números fraccionarios. Considere un ejemplo:
Convierte números mixtos a fracciones impropias:
Ahora dividamos:
Por lo tanto, para dividir números mixtos, debe convertirlos en fracciones impropias y luego dividir de acuerdo con la regla para dividir fracciones.
6. Hallar un número dada su fracción.
Entre varias tareas sobre fracciones, a veces hay aquellas en las que se da el valor de alguna fracción de un número desconocido y se requiere encontrar dicho número. Este tipo de problema será inverso al problema de hallar una fracción de un número dado; allí se dio un número y se requiere encontrar alguna fracción de este número, aquí se da una fracción de un número y se requiere encontrar este número mismo. Esta idea se hará aún más clara si nos dirigimos a la solución de este tipo de problemas.
Tarea 1. El primer día, los vidrieros acristalaron 50 ventanas, que es 1/3 de todas las ventanas de la casa construida. ¿Cuántas ventanas hay en esta casa?
Decisión. El problema dice que 50 ventanas de vidrio son 1/3 de todas las ventanas de la casa, lo que significa que hay 3 veces más ventanas en total, es decir
La casa tenía 150 ventanas.
Tarea 2. La tienda vendió 1.500 kg de harina, que es 3/8 del stock total de harina en la tienda. ¿Cuál fue el suministro inicial de harina de la tienda?
Decisión. De la condición del problema puede verse que los 1.500 kg de harina vendidos constituyen 3/8 del stock total; esto quiere decir que 1/8 de este stock será 3 veces menor, es decir, para calcularlo se necesita reducir 1500 en 3 veces:
1500: 3 = 500 (eso es 1/8 del stock).
Obviamente, todo el stock será 8 veces mayor. Por lo tanto,
500 8 \u003d 4,000 (kg).
El suministro inicial de harina en la tienda fue de 4.000 kg.
De la consideración de este problema, se puede deducir la siguiente regla.
Para encontrar un número por un valor dado de su fracción, basta con dividir este valor por el numerador de la fracción y multiplicar el resultado por el denominador de la fracción.
Resolvimos dos problemas de encontrar un número dada su fracción. Tales problemas, como se ve especialmente bien en el último, se resuelven mediante dos acciones: división (cuando se encuentra una parte) y multiplicación (cuando se encuentra el número entero).
Sin embargo, después de haber estudiado la división de fracciones, los problemas anteriores se pueden resolver en una acción, a saber: división por una fracción.
Por ejemplo, la última tarea se puede resolver en una acción como esta:
En el futuro, resolveremos el problema de encontrar un número por su fracción en una acción: la división.
7. Encontrar un número por su porcentaje.
En estas tareas, deberá encontrar un número, sabiendo un pequeño porcentaje de este número.
Tarea 1. A principios de este año, recibí 60 rublos de la caja de ahorros. ingreso de la cantidad que ahorré hace un año. ¿Cuánto dinero puse en la caja de ahorros? (Las oficinas de efectivo dan a los depositantes el 2% de los ingresos por año).
El significado del problema es que yo puse una cierta cantidad de dinero en una caja de ahorros y permanecí allí durante un año. Después de un año, recibí 60 rublos de ella. ingreso, que es 2/100 del dinero que invierto. ¿Cuánto dinero deposité?
Por lo tanto, conociendo la parte de este dinero, expresada de dos formas (en rublos y en fracciones), debemos encontrar la cantidad total, aún desconocida. Este es un problema ordinario de encontrar un número dada su fracción. Las siguientes tareas se resuelven por división:
Entonces, se depositaron 3.000 rublos en la caja de ahorros.
Tarea 2. En dos semanas, los pescadores cumplieron en un 64% el plan mensual, habiendo preparado 512 toneladas de pescado. ¿Cuál era su plan?
Por el estado del problema, se sabe que los pescadores cumplieron parte del plan. Esta parte es igual a 512 toneladas, que es el 64% del plan. No sabemos cuántas toneladas de pescado se deben recolectar de acuerdo con el plan. La solución del problema consistirá en encontrar este número.
Tales tareas se resuelven dividiendo:
Entonces, según el plan, debe preparar 800 toneladas de pescado.
Tarea 3. El tren iba de Riga a Moscú. Cuando pasó el kilómetro 276, uno de los pasajeros le preguntó al conductor que pasaba cuánto del camino ya habían recorrido. A esto el conductor respondió: “Ya hemos cubierto el 30% de todo el trayecto”. ¿Cuál es la distancia de Riga a Moscú?
Se puede ver a partir de la condición del problema que el 30% del viaje de Riga a Moscú es de 276 km. Necesitamos encontrar la distancia total entre estas ciudades, es decir, para esta parte, encontrar el total:
§ 91. Números recíprocos. Sustitución de división por multiplicación.
Toma la fracción 2/3 y reorganiza el numerador en el lugar del denominador, obtenemos 3/2. Tenemos una fracción, el recíproco de esta.
Para obtener una fracción recíproca de una dada, debes colocar su numerador en el lugar del denominador y el denominador en el lugar del numerador. De esta forma, podemos obtener una fracción que es el recíproco de cualquier fracción. Por ejemplo:
3/4, inverso 4/3; 5/6, inversa 6/5
Dos fracciones que tienen la propiedad de que el numerador de la primera es el denominador de la segunda y el denominador de la primera es el numerador de la segunda se llaman mutuamente inversa.
Ahora pensemos en qué fracción será el recíproco de 1/2. Obviamente, será 2/1, o simplemente 2. Buscando una fracción, el recíproco de esta, obtuvimos un número entero. Y este caso no es aislado; por el contrario, para todas las fracciones con numerador 1 (uno), los recíprocos serán números enteros, por ejemplo:
1 / 3, inverso 3; 1 / 5, 5 inverso
Dado que, al buscar recíprocos, también nos encontramos con números enteros, en el futuro no hablaremos de recíprocos, sino de recíprocos.
Averigüemos cómo escribir el recíproco de un número entero. En el caso de las fracciones, esto se resuelve de manera simple: debes colocar el denominador en lugar del numerador. De la misma manera, puede obtener número recíproco y para un número entero, ya que cualquier número entero puede tener un denominador de 1. Entonces el recíproco de 7 será 1/7, porque 7 \u003d 7/1; para el numero 10 el inverso es 1/10 ya que 10 = 10/1
Esta idea se puede expresar de otra manera: el recíproco de un número dado se obtiene dividiendo uno por el número dado. Esta afirmación es cierta no solo para números enteros, sino también para fracciones. De hecho, si quieres escribir un número que sea el recíproco de 5/9, entonces podemos tomar 1 y dividirlo por 5/9, es decir
Ahora vamos a señalar uno propiedad números mutuamente recíprocos, que nos serán útiles: el producto de números mutuamente recíprocos es igual a uno. En efecto:
Usando esta propiedad, podemos encontrar recíprocos de la siguiente manera. Encontremos el recíproco de 8.
Vamos a denotarlo con la letra X , luego 8 X = 1, por lo tanto X = 1 / 8 . Encontremos otro número, el inverso de 7/12, denótalo con una letra X , luego 7 / 12 X = 1, por lo tanto X = 1:7 / 12 o X = 12 / 7 .
Introdujimos aquí el concepto de números recíprocos para complementar ligeramente la información sobre la división de fracciones.
Cuando dividimos el número 6 por 3/5, entonces hacemos lo siguiente:
Pagar Atención especial a la expresión y compararla con la dada: .
Si tomamos la expresión por separado, sin conexión con la anterior, entonces es imposible resolver la cuestión de dónde salió: de dividir 6 por 3/5 o de multiplicar 6 por 5/3. En ambos casos el resultado es el mismo. Entonces podemos decir que la división de un número por otro se puede sustituir multiplicando el dividendo por el recíproco del divisor.
Los ejemplos que damos a continuación confirman plenamente esta conclusión.
Para multiplicar correctamente una fracción por una fracción o una fracción por un número, necesitas saber reglas simples. Ahora analizaremos estas reglas en detalle.
Multiplicar una fracción por una fracción.
Para multiplicar una fracción por otra fracción, necesitas calcular el producto de los numeradores y el producto de los denominadores de estas fracciones.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Considere un ejemplo:
Multiplicamos el numerador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción, y también multiplicamos el denominador de la primera fracción con el denominador de la segunda fracción.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ por 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\)
La fracción \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) se ha reducido en 3.
Multiplicar una fracción por un número.
Empecemos con la regla cualquier número se puede representar como una fracción \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Usemos esta regla para la multiplicación.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Fracción impropia \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) se convirtió en fracción mixta.
En otras palabras, Al multiplicar un número por una fracción, multiplique el número por el numerador y deje el denominador sin cambios. Ejemplo:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Multiplicación de fracciones mixtas.
Para multiplicar fracciones mixtas, primero debes representar cada fracción mixta como una fracción impropia y luego usar la regla de la multiplicación. El numerador se multiplica por el numerador, el denominador se multiplica por el denominador.
Ejemplo:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Multiplicación de fracciones y números recíprocos.
La fracción \(\bf \frac(a)(b)\) es la inversa de la fracción \(\bf \frac(b)(a)\), siempre que a≠0,b≠0.
Las fracciones \(\bf \frac(a)(b)\) y \(\bf \frac(b)(a)\) se llaman recíprocas. El producto de fracciones recíprocas es 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Ejemplo:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Preguntas relacionadas:
¿Cómo multiplicar una fracción por una fracción?
Respuesta: el producto de fracciones ordinarias es la multiplicación del numerador con el numerador, el denominador con el denominador. Para obtener el producto de fracciones mixtas, debes convertirlas en una fracción impropia y multiplicarlas de acuerdo con las reglas.
¿Cómo multiplicar fracciones con diferente denominador?
Respuesta: no importa si los denominadores de las fracciones son iguales o diferentes, la multiplicación ocurre de acuerdo con la regla para encontrar el producto del numerador con el numerador, el denominador con el denominador.
¿Cómo multiplicar fracciones mixtas?
Respuesta: en primer lugar, debe convertir la fracción mixta en una fracción impropia y luego encontrar el producto de acuerdo con las reglas de la multiplicación.
¿Cómo multiplicar un número por una fracción?
Respuesta: Multiplicamos el número por el numerador, y dejamos igual el denominador.
Ejemplo 1:
Calcula el producto: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Decisión:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( rojo) (5))(3 \times \color(rojo) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
Ejemplo #2:
Calcula el producto de un número y una fracción: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
Decisión:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Ejemplo #3:
Escribe el recíproco de \(\frac(1)(3)\)?
Respuesta: \(\frac(3)(1) = 3\)
Ejemplo #4:
Calcula el producto de dos fracciones recíprocas: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Decisión:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
Ejemplo #5:
Las fracciones mutuamente inversas pueden ser:
a) ambas fracciones propias;
b) simultáneamente fracciones impropias;
c) números naturales al mismo tiempo?
Decisión:
a) Usemos un ejemplo para responder la primera pregunta. La fracción \(\frac(2)(3)\) es correcta, su recíproco será igual a \(\frac(3)(2)\) – fracción impropia. Respuesta: no.
b) en casi todas las enumeraciones de fracciones no se cumple esta condición, pero hay algunos números que cumplen la condición de ser fracción impropia al mismo tiempo. Por ejemplo, la fracción impropia es \(\frac(3)(3)\) , su recíproco es \(\frac(3)(3)\). Obtenemos dos fracciones impropias. Respuesta: no siempre bajo ciertas condiciones, cuando el numerador y el denominador son iguales.
c) los números naturales son los números que usamos al contar, por ejemplo, 1, 2, 3, .... Si tomamos el número \(3 = \frac(3)(1)\), entonces su recíproco será \(\frac(1)(3)\). La fracción \(\frac(1)(3)\) no es un número natural. Si repasamos todos los números, el recíproco siempre es una fracción, excepto el 1. Si tomamos el número 1, entonces su recíproco será \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). Numero 1 número natural. Respuesta: pueden ser simultáneamente números naturales solo en un caso, si este número es 1.
Ejemplo #6:
Realiza el producto de fracciones mixtas: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
Decisión:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Ejemplo #7:
¿Pueden dos números recíprocos ser simultáneamente números mixtos?
Veamos un ejemplo. Toma una fracción mixta \(1\frac(1)(2)\), encuéntrala recíproco, para ello la traducimos a una fracción impropia \(1\frac(1)(2) = \frac(3)(2)\) . Su recíproco será igual a \(\frac(2)(3)\) . La fracción \(\frac(2)(3)\) es una fracción propia. Respuesta: Dos fracciones mutuamente inversas no pueden ser números mixtos al mismo tiempo.
Consideraremos la multiplicación de fracciones ordinarias de varias maneras posibles.
Multiplicar una fracción por una fracción
Este es el caso más simple, en el que necesita usar lo siguiente reglas de multiplicación de fracciones.
Para multiplicar una fraccion por una fraccion, necesario:
- multiplicar el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción y escribir su producto en el numerador de la nueva fracción;
- multiplicar el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y escribir su producto en el denominador de la nueva fracción;
- Sumar fracciones con los mismos denominadores
- Sumar fracciones con diferente denominador
Antes de multiplicar numeradores y denominadores, verifica si las fracciones se pueden reducir. La reducción de fracciones en los cálculos facilitará enormemente sus cálculos.
Multiplicar una fracción por un número natural
a fracción multiplicar por un numero natural necesitas multiplicar el numerador de la fracción por este número y dejar el denominador de la fracción sin cambios.
Si el resultado de la multiplicación es una fracción impropia, no olvides convertirla en un número mixto, es decir, seleccionar la parte entera.
Multiplicación de números mixtos
Para multiplicar números mixtos, primero debes convertirlos en fracciones impropias y luego multiplicar según la regla para multiplicar fracciones ordinarias.
Otra forma de multiplicar una fracción por un número natural
A veces a la hora de calcular es más conveniente utilizar otro método de multiplicación fracción común al número
Para multiplicar una fracción por un número natural, debe dividir el denominador de la fracción por este número y dejar el numerador igual.
Como se puede ver en el ejemplo, es más conveniente usar esta versión de la regla si el denominador de la fracción es divisible sin resto por un número natural.
Acciones con fracciones
Sumar fracciones con los mismos denominadores
La suma de fracciones es de dos tipos:
Comencemos con la suma de fracciones con los mismos denominadores. Todo es simple aquí. Para sumar fracciones con los mismos denominadores, debe sumar sus numeradores y dejar el denominador sin cambios. Por ejemplo, vamos a sumar las fracciones y . Sumamos los numeradores y dejamos el denominador sin cambios:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en cuatro partes. Si le agregas pizza a la pizza, obtienes pizza:
Ejemplo 2 Sumar fracciones y .
Nuevamente, agregue los numeradores y deje el denominador sin cambios:
La respuesta es una fracción impropia. Si llega el final de la tarea, entonces de no fracciones propias aceptado para deshacerse de. Para deshacerse de una fracción impropia, debe seleccionar la parte entera en ella. En nuestro caso, la parte entera se asigna fácilmente: dos dividido por dos es igual a uno:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en dos partes. Si agrega más pizzas a la pizza, obtiene una pizza entera:
Ejemplo 3. Sumar fracciones y .
Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en tres partes. Si agrega más pizzas a la pizza, obtiene pizzas:
Ejemplo 4 Encontrar el valor de una expresión. 
Este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores. Se deben sumar los numeradores y dejar el denominador sin cambios:
Intentemos representar nuestra solución usando una imagen. Si agregas pizzas a una pizza y agregas más pizzas, obtienes 1 pizza entera y más pizzas.
Como puedes ver, sumar fracciones con los mismos denominadores no es difícil. Es suficiente entender las siguientes reglas:
- Para sumar fracciones con el mismo denominador, debe sumar sus numeradores y dejar el denominador igual;
- Si la respuesta resultó ser una fracción impropia, entonces debe seleccionar la parte completa.
- Encuentra el MCM de los denominadores de fracciones;
- Divide el MCM por el denominador de cada fracción y obtén un multiplicador adicional para cada fracción;
- Multiplicar los numeradores y denominadores de fracciones por sus factores adicionales;
- Suma fracciones que tienen los mismos denominadores;
- Si la respuesta resultó ser una fracción impropia, seleccione su parte entera;
- Resta de fracciones con el mismo denominador
- Resta de fracciones con diferente denominador
Sumar fracciones con diferente denominador
Ahora vamos a aprender a sumar fracciones con diferentes denominadores. Al sumar fracciones, los denominadores de esas fracciones deben ser iguales. Pero no siempre son los mismos.
Por ejemplo, se pueden sumar fracciones porque tienen el mismo denominador.
Pero las fracciones no se pueden sumar a la vez, porque estas fracciones tienen diferentes denominadores. En tales casos, las fracciones deben reducirse al mismo denominador (común).
Hay varias formas de reducir fracciones al mismo denominador. Hoy consideraremos solo uno de ellos, ya que el resto de los métodos pueden parecer complicados para un principiante.
La esencia de este método es que primero se busca el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores de ambas fracciones. Luego se divide el MCM por el denominador de la primera fracción y se obtiene el primer factor adicional. Hacen lo mismo con la segunda fracción: se divide el NOC por el denominador de la segunda fracción y se obtiene el segundo factor adicional.
Luego, los numeradores y denominadores de las fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas acciones, las fracciones que tenían distintos denominadores se convierten en fracciones que tienen los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo sumar tales fracciones.
Ejemplo 1. suma fracciones y
Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que debes llevarlas al mismo denominador (común).
En primer lugar, encontramos el mínimo común múltiplo de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3 y el denominador de la segunda fracción es el número 2. El mínimo común múltiplo de estos números es 6
MCM (2 y 3) = 6
Ahora volvamos a las fracciones y . Primero, dividimos el MCM por el denominador de la primera fracción y obtenemos el primer factor adicional. MCM es el número 6, y el denominador de la primera fracción es el número 3. Divida 6 entre 3, obtenemos 2.
El número resultante 2 es el primer factor adicional. Lo escribimos hasta la primera fracción. Para hacer esto, hacemos una pequeña línea oblicua sobre la fracción y escribimos el factor adicional encontrado arriba:
Hacemos lo mismo con la segunda fracción. Dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción y obtenemos el segundo factor adicional. MCM es el número 6, y el denominador de la segunda fracción es el número 2. Divida 6 entre 2, obtenemos 3.
El número resultante 3 es el segundo factor adicional. Lo escribimos en la segunda fracción. Nuevamente, hacemos una pequeña línea oblicua sobre la segunda fracción y escribimos el factor adicional encontrado arriba:
Ahora estamos listos para agregar. Queda por multiplicar los numeradores y denominadores de fracciones por sus factores adicionales:
Fíjate bien a lo que hemos llegado. Llegamos a la conclusión de que las fracciones que tenían diferentes denominadores se convirtieron en fracciones que tenían los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo sumar tales fracciones. Completemos este ejemplo hasta el final:
Así termina el ejemplo. Para agregar resulta.
Intentemos representar nuestra solución usando una imagen. Si le agregas pizzas a una pizza, obtienes una pizza entera y otro sexto de pizza:
La reducción de fracciones al mismo denominador (común) también se puede representar usando una imagen. Llevando las fracciones y a un denominador común, obtenemos las fracciones y . Estas dos fracciones estarán representadas por las mismas rebanadas de pizza. La única diferencia será que esta vez se dividirán en partes iguales (reducidas al mismo denominador).
El primer dibujo muestra una fracción (cuatro piezas de seis) y la segunda imagen muestra una fracción (tres piezas de seis). Juntando estas piezas obtenemos (siete piezas de seis). Esta fracción es incorrecta, por lo que hemos resaltado la parte entera en ella. El resultado fue (una pizza entera y otra sexta pizza).
Tenga en cuenta que hemos pintado ejemplo dado demasiado detallado EN Instituciones educacionales no se acostumbra escribir de manera tan detallada. Debe poder encontrar rápidamente el MCM de ambos denominadores y factores adicionales, así como multiplicar rápidamente los factores adicionales encontrados por sus numeradores y denominadores. Estando en la escuela, tendríamos que escribir este ejemplo de la siguiente manera:
Pero también está la otra cara de la moneda. Si no se toman notas detalladas en las primeras etapas del estudio de las matemáticas, entonces las preguntas del tipo “¿De dónde viene ese número?”, “¿Por qué las fracciones de repente se convierten en fracciones completamente diferentes? «.
Para que sea más fácil sumar fracciones con diferentes denominadores, puede usar las siguientes instrucciones paso a paso:
Ejemplo 2 Encontrar el valor de una expresión. 
.
Usemos el diagrama de arriba.
Paso 1. Encuentra el MCM para los denominadores de fracciones
Encontramos el MCM para los denominadores de ambas fracciones. Los denominadores de las fracciones son los números 2, 3 y 4. Necesitas encontrar el MCM para estos números:
Paso 2. Divide el MCM por el denominador de cada fracción y obtén un multiplicador adicional para cada fracción
Divide el MCM por el denominador de la primera fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la primera fracción es el número 2. Dividimos 12 entre 2, obtenemos 6. Obtuvimos el primer factor adicional 6. Lo escribimos sobre la primera fracción:
Ahora dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la segunda fracción es el número 3. Dividimos 12 por 3, obtenemos 4. Obtuvimos el segundo factor adicional 4. Lo escribimos sobre la segunda fracción:
Ahora dividimos el MCM por el denominador de la tercera fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la tercera fracción es el número 4. Dividimos 12 entre 4, obtenemos 3. Obtuvimos el tercer factor adicional 3. Lo escribimos sobre la tercera fracción:
Paso 3. Multiplica los numeradores y denominadores de fracciones por tus factores adicionales
Multiplicamos los numeradores y denominadores por nuestros factores adicionales:
Paso 4. Suma fracciones que tienen el mismo denominador
Llegamos a la conclusión de que las fracciones que tenían diferentes denominadores se convirtieron en fracciones que tienen los mismos denominadores (comunes). Queda por sumar estas fracciones. Agregar:
La suma no cabía en una línea, así que movimos la expresión restante a la siguiente línea. Esto está permitido en matemáticas. Cuando una expresión no cabe en una línea, se traslada a la línea siguiente y es necesario poner un signo igual (=) al final de la primera línea y al principio. nueva línea. El signo igual en la segunda línea indica que esta es una continuación de la expresión que estaba en la primera línea.
Paso 5. Si la respuesta resultó ser una fracción impropia, seleccione su parte entera
Nuestra respuesta es una fracción impropia. Debemos destacar toda la parte de ella. Resaltamos:
tengo una respuesta
Resta de fracciones con el mismo denominador
Hay dos tipos de resta de fracciones:
Primero, aprendamos a restar fracciones con los mismos denominadores. Todo es simple aquí. Para restar otro de una fracción, debe restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador igual.
Por ejemplo, busquemos el valor de la expresión . Para resolver este ejemplo, es necesario restar el numerador de la segunda fracción al numerador de la primera fracción, y dejar igual el denominador. Hagámoslo:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en cuatro partes. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas:
Ejemplo 2 Halla el valor de la expresión.
Nuevamente, del numerador de la primera fracción, reste el numerador de la segunda fracción y deje el denominador igual:
Este ejemplo se puede entender fácilmente si pensamos en una pizza que se divide en tres partes. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas:
Ejemplo 3 Encontrar el valor de una expresión. 
Este ejemplo se resuelve exactamente igual que los anteriores. Del numerador de la primera fracción, debe restar los numeradores de las fracciones restantes:
La respuesta es una fracción impropia. Si el ejemplo está completo, entonces es costumbre deshacerse de la fracción impropia. Eliminemos la fracción incorrecta en la respuesta. Para hacer esto, seleccione su parte completa:
Como puedes ver, no hay nada complicado en restar fracciones con los mismos denominadores. Es suficiente entender las siguientes reglas:
Resta de fracciones con diferente denominador
Por ejemplo, una fracción se puede restar de una fracción, ya que estas fracciones tienen los mismos denominadores. Pero una fracción no se puede restar de una fracción, ya que estas fracciones tienen diferentes denominadores. En tales casos, las fracciones deben reducirse al mismo denominador (común).
El denominador común se encuentra de acuerdo con el mismo principio que usamos al sumar fracciones con diferentes denominadores. En primer lugar, encuentra el MCM de los denominadores de ambas fracciones. Luego se divide el MCM por el denominador de la primera fracción y se obtiene el primer factor adicional, que se escribe sobre la primera fracción. De igual forma, se divide el MCM por el denominador de la segunda fracción y se obtiene un segundo factor adicional, el cual se escribe sobre la segunda fracción.
Luego, las fracciones se multiplican por sus factores adicionales. Como resultado de estas operaciones, las fracciones que tenían diferentes denominadores se convierten en fracciones que tienen los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo restar tales fracciones.
Ejemplo 1 Encuentra el valor de una expresión:
Primero, encontramos el MCM de los denominadores de ambas fracciones. El denominador de la primera fracción es el número 3 y el denominador de la segunda fracción es el número 4. El mínimo común múltiplo de estos números es 12
MCM (3 y 4) = 12
Ahora volvamos a las fracciones y
Encontremos un factor adicional para la primera fracción. Para ello, dividimos el MCM por el denominador de la primera fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la primera fracción es el número 3. Divida 12 entre 3, obtenemos 4. Escribimos el cuatro sobre la primera fracción:
Hacemos lo mismo con la segunda fracción. Dividimos el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 12, y el denominador de la segunda fracción es el número 4. Divida 12 entre 4, obtenemos 3. Escribimos el triple sobre la segunda fracción:
Ahora estamos listos para la resta. Queda por multiplicar las fracciones por sus factores adicionales:
Llegamos a la conclusión de que las fracciones que tenían diferentes denominadores se convirtieron en fracciones que tenían los mismos denominadores. Y ya sabemos cómo restar tales fracciones. Completemos este ejemplo hasta el final:
tengo una respuesta
Intentemos representar nuestra solución usando una imagen. Si cortas pizzas de una pizza, obtienes pizzas.
Esta es la versión detallada de la solución. Estando en la escuela, tendríamos que resolver este ejemplo de una manera más corta. Tal solución se vería así:
La reducción de fracciones ya un denominador común también se puede representar usando una imagen. Llevando estas fracciones a un denominador común, obtenemos las fracciones y . Estas fracciones estarán representadas por las mismas porciones de pizza, pero esta vez estarán divididas en las mismas fracciones (reducidas al mismo denominador):
El primer dibujo muestra una fracción (ocho piezas de doce), y la segunda imagen muestra una fracción (tres piezas de doce). Al cortar tres piezas de ocho piezas, obtenemos cinco piezas de doce. La fracción describe estas cinco piezas.
Ejemplo 2 Encontrar el valor de una expresión. 
Estas fracciones tienen diferentes denominadores, por lo que primero debes llevarlas al mismo denominador (común).
Encuentra el MCM de los denominadores de estas fracciones.
Los denominadores de las fracciones son los números 10, 3 y 5. El mínimo común múltiplo de estos números es 30
MCM(10, 3, 5) = 30
Ahora encontramos factores adicionales para cada fracción. Para ello, dividimos el MCM por el denominador de cada fracción.
Encontremos un factor adicional para la primera fracción. MCM es el número 30, y el denominador de la primera fracción es el número 10. Al dividir 30 entre 10, obtenemos el primer factor adicional 3. Lo escribimos sobre la primera fracción:
Ahora encontramos un factor adicional para la segunda fracción. Divide el MCM por el denominador de la segunda fracción. MCM es el número 30, y el denominador de la segunda fracción es el número 3. Al dividir 30 entre 3, obtenemos el segundo factor adicional 10. Lo escribimos sobre la segunda fracción:
Ahora encontramos un factor adicional para la tercera fracción. Divide el MCM por el denominador de la tercera fracción. MCM es el número 30, y el denominador de la tercera fracción es el número 5. Dividiendo 30 entre 5, obtenemos el tercer factor adicional 6. Lo escribimos sobre la tercera fracción:
Ahora todo está listo para la resta. Queda por multiplicar las fracciones por sus factores adicionales:
Llegamos a la conclusión de que las fracciones que tenían diferentes denominadores se convirtieron en fracciones que tienen los mismos denominadores (comunes). Y ya sabemos cómo restar tales fracciones. Terminemos este ejemplo.
La continuación del ejemplo no cabe en una línea, por lo que movemos la continuación a la siguiente línea. No te olvides del signo igual (=) en la nueva línea:
La respuesta resultó ser una fracción correcta, y todo parece encajarnos, pero es demasiado engorroso y feo. Deberíamos hacerlo más simple y estéticamente más agradable. ¿Qué se puede hacer? Puedes reducir esta fracción. Recuerda que la reducción de una fracción es la división del numerador y el denominador por el mayor común divisor numerador y denominador.
Para reducir correctamente una fracción, debes dividir su numerador y denominador por el máximo común divisor (MCD) de los números 20 y 30.
No confunda GCD con NOC. El error más común que cometen muchos principiantes. MCD es el máximo común divisor. Lo encontramos para la reducción de fracciones.
Y MCM es el mínimo común múltiplo. Lo encontramos para llevar fracciones al mismo denominador (común).
Ahora encontraremos el máximo común divisor (mcd) de los números 20 y 30.
Entonces, encontramos el MCD para los números 20 y 30:
MCD (20 y 30) = 10
Ahora volvemos a nuestro ejemplo y dividimos el numerador y el denominador de la fracción por 10:
Tengo una buena respuesta
Multiplicar una fracción por un número
Para multiplicar una fracción por un número, debes multiplicar el numerador de la fracción dada por este número y dejar el mismo denominador.
Ejemplo 1. Multiplica la fracción por el número 1.
Multiplica el numerador de la fracción por el número 1
La entrada puede entenderse como tomando la mitad 1 vez. Por ejemplo, si tomas pizza 1 vez, obtienes pizza
De las leyes de la multiplicación, sabemos que si el multiplicando y el multiplicador se intercambian, el producto no cambiará. Si la expresión se escribe como , entonces el producto seguirá siendo igual a . Nuevamente, la regla para multiplicar un número entero y una fracción funciona:
Esta entrada puede entenderse como tomando la mitad de la unidad. Por ejemplo, si hay 1 pizza entera y tomamos la mitad, entonces tendremos pizza:
Ejemplo 2. Encontrar el valor de una expresión.
Multiplica el numerador de la fracción por 4
La expresión se puede entender como tomando dos cuartos 4 veces. Por ejemplo, si tomas pizzas 4 veces, obtienes dos pizzas enteras.
Y si intercambiamos el multiplicando y el multiplicador en lugares, obtenemos la expresión. También será igual a 2. Esta expresión se puede entender como tomar dos pizzas de cuatro pizzas enteras:
Multiplicación de fracciones
Para multiplicar fracciones, necesitas multiplicar sus numeradores y denominadores. Si la respuesta es una fracción impropia, debe seleccionar la parte entera en ella.
Ejemplo 1 Halla el valor de la expresión.
Obtuve una respuesta. Es deseable reducir fracción dada. La fracción se puede reducir en 2. Entonces la solución final tomará la siguiente forma:
La expresión puede entenderse como tomar una pizza de media pizza. Digamos que tenemos media pizza:
¿Cómo sacar dos tercios de esta mitad? Primero debes dividir esta mitad en tres partes iguales:
Y toma dos de estas tres piezas:
Conseguiremos pizza. Recuerda cómo se ve una pizza dividida en tres partes:
Una rebanada de esta pizza y las dos rebanadas que tomamos tendrán las mismas dimensiones:
En otras palabras, estamos hablando del mismo tamaño de pizza. Por lo tanto, el valor de la expresión es
Ejemplo 2. Encontrar el valor de una expresión.
Multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción, y el denominador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción:
La respuesta es una fracción impropia. Tomemos una parte entera:
Ejemplo 3 Encontrar el valor de una expresión.
La respuesta resultó ser una fracción correcta, pero será buena si se reduce. Para reducir esta fracción, se debe dividir por el mcd del numerador y el denominador. Entonces, encontremos el MCD de los números 105 y 450:
MCD para (105 y 150) es 15
Ahora dividimos el numerador y el denominador de nuestra respuesta al MCD:
Representar un número entero como una fracción
Cualquier número entero se puede representar como una fracción. Por ejemplo, el número 5 se puede representar como . De esto, cinco no cambiará su significado, ya que la expresión significa “el número cinco dividido por uno”, y esto, como sabes, es igual a cinco:
números inversos
Ahora nos familiarizaremos con tema interesante en matemáticas. Se llama "números inversos".
Definición. Invertir al número un es el número que, cuando se multiplica por un da una unidad.
Sustituyamos en esta definición en lugar de una variable un número 5 e intenta leer la definición:
Invertir al número 5 es el número que, cuando se multiplica por 5 da una unidad.
¿Es posible encontrar un número que multiplicado por 5 dé como resultado uno? Resulta que puedes. Representemos cinco como una fracción:
Luego multiplica esta fracción por sí misma, simplemente intercambia el numerador y el denominador. En otras palabras, multiplica la fracción por sí misma, solo que invertida:
¿Cuál será el resultado de esto? Si continuamos resolviendo este ejemplo, obtenemos uno:
Esto quiere decir que el inverso del número 5 es el número, ya que al multiplicar 5 por uno se obtiene uno.
El recíproco también se puede encontrar para cualquier otro número entero.
- el recíproco de 3 es una fracción
- el recíproco de 4 es una fracción
También puedes encontrar el recíproco de cualquier otra fracción. Para hacer esto, es suficiente darle la vuelta.
Multiplicación y división de fracciones.
¡Atención!
Hay adicionales
material en la Sección Especial 555.
Para aquellos que fuertemente "no muy..."
Y para los que "mucho...")
¡Esta operación es mucho mejor que la suma-resta! Porque es más fácil. Te recuerdo: para multiplicar una fracción por una fracción, necesitas multiplicar los numeradores (este será el numerador del resultado) y los denominadores (este será el denominador). Es decir:
Por ejemplo:
Todo es extremadamente simple.. ¡Y por favor no busques un denominador común! No lo necesito aquí...
Para dividir una fracción entre una fracción, debes voltear segundo(¡esto es importante!) fraccionarlos y multiplicarlos, es decir:
Por ejemplo:
Si se detecta la multiplicación o división con números enteros y fracciones, está bien. Al igual que con la suma, hacemos una fracción de un número entero con una unidad en el denominador, ¡y listo! Por ejemplo:
En la escuela secundaria, a menudo tienes que lidiar con fracciones de tres pisos (¡o incluso de cuatro pisos!). Por ejemplo:
¿Cómo llevar esta fracción a una forma decente? ¡Sí, muy fácil! Utilice la división a través de dos puntos:
¡Pero no te olvides del orden de división! A diferencia de la multiplicación, ¡esto es muy importante aquí! Por supuesto, no confundiremos 4:2 o 2:4. Pero en una fracción de tres pisos es fácil cometer un error. Tenga en cuenta, por ejemplo:
En el primer caso (expresión de la izquierda):
En la segunda (expresión de la derecha):
¿Siente la diferencia? 4 y 1/9!
¿Cuál es el orden de división? O corchetes, o (como aquí) la longitud de los guiones horizontales. Desarrolla un ojo. Y si no hay corchetes o guiones, como:
luego divide-multiplica en orden, de izquierda a derecha!
Y otro truco muy simple e importante. En acciones con grados, ¡te vendrá bien! Dividamos la unidad por cualquier fracción, por ejemplo, por 13/15:
¡El tiro ha dado la vuelta! Y siempre sucede. Al dividir 1 por cualquier fracción, el resultado es la misma fracción, solo que invertida.
Esas son todas las acciones con fracciones. La cosa es bastante sencilla, pero da errores más que suficientes. Nota Consejo practico, y ellos (errores) serán menos!
Consejos prácticos:
1. ¡Lo más importante cuando se trabaja con expresiones fraccionarias es la precisión y la atención! ¡Estas no son palabras comunes, no son buenos deseos! ¡Esta es una necesidad severa! Haz todos los cálculos del examen como una tarea completa, con concentración y claridad. Es mejor escribir dos líneas extra en un borrador que equivocarse al calcular mentalmente.
2. En los ejemplos con diferentes tipos fracciones - ir a fracciones ordinarias.
3. Reducimos todas las fracciones a la parada.
4. Reducimos expresiones fraccionarias de varios niveles a expresiones ordinarias usando la división a través de dos puntos (¡seguimos el orden de la división!).
5. Dividimos la unidad en una fracción en nuestra mente, simplemente dándole la vuelta a la fracción.
Estas son las tareas que debe completar. Las respuestas se dan después de todas las tareas. Utilice los materiales de este tema y consejos prácticos. Estima cuántos ejemplos podrías resolver correctamente. ¡La primera vez! ¡Sin calculadora! Y sacar las conclusiones correctas...
Recuerda la respuesta correcta obtenido de la segunda (especialmente la tercera) vez - ¡no cuenta! Así es la vida dura.
Asi que, resolver en modo examen ! Esto es preparación para el examen, por cierto. Resolvemos un ejemplo, comprobamos, resolvemos lo siguiente. Decidimos todo: revisamos nuevamente desde el primero hasta el último. Solamente después mira las respuestas.
Calcular:
¿Has decidido?
Buscando respuestas que coincidan con las tuyas. Específicamente las escribí en un lío, lejos de la tentación, por así decirlo... Aquí están, las respuestas, escritas con punto y coma.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Y ahora sacamos conclusiones. Si todo salió bien, ¡feliz por ti! Cálculos elementales con fracciones - ¡no es tu problema! Puedes hacer cosas más serias. Que no...
Así que tienes uno de dos problemas. O ambos a la vez.) Falta de conocimiento y (o) falta de atención. Pero esto soluble Problemas.
Si te gusta este sitio...
Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)
puede familiarizarse con funciones y derivadas.
