İki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi. Məqalədə" " Mən sizə söz vermişdim ki, verilmiş funksiya qrafiki və bu qrafikə tangens ilə törəmənin tapılması üçün təqdim olunan problemləri həll etməyin ikinci yolunu təhlil edəcəyik. Bu üsulu bizdə araşdıracağıq , qaçırmayın! Niyə növbəti?
Fakt budur ki, orada düz xəttin tənliyinin düsturundan istifadə olunacaq. Təbii ki, sadəcə olaraq bu düsturu göstərmək və onu öyrənməyi məsləhət görmək olar. Ancaq onun haradan gəldiyini (necə alındığını) izah etmək daha yaxşıdır. Lazımdır! Əgər unutmusunuzsa, onu tez bərpa edinçətin olmayacaq. Aşağıda hər şey ətraflı təsvir edilmişdir. Beləliklə, koordinat müstəvisində iki A nöqtəmiz var(x 1; y 1) və B (x 2; y 2), göstərilən nöqtələrdən düz xətt çəkilir: 
Budur birbaşa formula:
*Yəni nöqtələrin xüsusi koordinatlarını əvəz etdikdə y=kx+b formalı tənlik alırıq.
** Əgər bu düstur sadəcə olaraq “yadda saxlanılıbsa”, o zaman indekslərlə qarışdırılma ehtimalı yüksəkdir. X. Bundan əlavə, indekslər müxtəlif yollarla işarələnə bilər, məsələn:
Buna görə də mənasını başa düşmək vacibdir.
İndi bu düsturun törəməsi. Hər şey çox sadədir!
ABE və ACF üçbucaqları oxşardır kəskin künc(oxşarlığın ilk əlaməti düz üçbucaqlar). Buradan belə çıxır ki, müvafiq elementlərin nisbətləri bərabərdir, yəni:
İndi biz sadəcə olaraq bu seqmentləri nöqtələrin koordinatlarındakı fərq baxımından ifadə edirik:
Əlbəttə ki, elementlərin əlaqələrini fərqli ardıcıllıqla yazsanız, heç bir səhv olmayacaq (əsas odur ki, yazışmaları saxlamaqdır):
Nəticə düz xəttin eyni tənliyidir. Hamısı var!
Yəni, nöqtələrin özləri (və onların koordinatları) necə təyin olunmasından asılı olmayaraq, bu düsturu başa düşərək, həmişə düz xəttin tənliyini tapacaqsınız.
Düstur vektorların xassələrindən istifadə etməklə çıxarıla bilər, lakin törəmə prinsipi eyni olacaq, çünki onların koordinatlarının mütənasibliyi haqqında danışacağıq. Bu vəziyyətdə düzbucaqlı üçbucaqların eyni oxşarlığı işləyir. Məncə, yuxarıda təsvir edilən nəticə daha başa düşüləndir)).
Vektor koordinatları vasitəsilə çıxışa baxın >>>
Verilmiş iki A (x 1; y 1) və B (x 2; y 2) nöqtələrindən keçən koordinat müstəvisində düz xətt çəkilsin. Koordinatları olan xəttdə ixtiyari C nöqtəsini qeyd edək ( x; y). Biz həmçinin iki vektoru qeyd edirik:
Məlumdur ki, paralel xətlərdə (və ya bir xəttdə) uzanan vektorlar üçün onların müvafiq koordinatları mütənasibdir, yəni:
- müvafiq koordinatların nisbətlərinin bərabərliyini yazırıq:
Məsələni nəzərdən keçirək:
Koordinatları (2;5) və (7:3) olan iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini tapın.
Siz hətta xəttin özünü qura bilməzsiniz. Formulu tətbiq edirik:
Nisbəti tərtib edərkən yazışmaları tutmağınız vacibdir. Yazsanız, səhv edə bilməzsiniz:
Cavab: y=-2/5x+29/5 get y=-0,4x+5,8
Yaranan tənliyin düzgün tapıldığından əmin olmaq üçün onu yoxlamağı unutmayın - məlumat koordinatlarını nöqtələrin vəziyyətində əvəz edin. Düzgün bərabərlik əldə etməlisiniz.
Hamısı budur. Ümid edirəm material sizin üçün faydalı oldu.
Hörmətlə, Aleksandr.
P.S: Sosial şəbəkələrdə sayt haqqında məlumat versəniz minnətdar olaram.
İki xal verilsin M 1 (x 1, y 1) və M 2 (x 2, y 2). Düz xəttin tənliyini (5) şəklində yazırıq, burada k hələ məlum olmayan əmsal:
Məsələdən bəri M 2 verilmiş xəttə aiddir, onda onun koordinatları tənliyi (5) ödəyir: 
. Buradan ifadə edərək (5) tənliyində əvəz edərək, istədiyimiz tənliyi əldə edirik:
Əgər a 
Bu tənliyi yadda saxlamaq asan olan formada yenidən yazmaq olar:
(6)
Misal. M 1 (1.2) və M 2 (-2.3) nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyini yazın.
Qərar. 
. Mütənasiblik xassəsindən istifadə edərək və lazımi çevrilmələri yerinə yetirərək düz xəttin ümumi tənliyini əldə edirik:
İki xətt arasındakı bucaq
İki xətti nəzərdən keçirin l 1 və l 2:
l 1: , , və
l 2: , ,
φ onların arasındakı bucaqdır (). Şəkil 4 göstərir: .
 |
Buradan 
, və ya
Düsturdan (7) istifadə edərək, xətlər arasındakı bucaqlardan birini təyin etmək olar. İkinci bucaq.
Misal. İki düz xətt y=2x+3 və y=-3x+2 tənlikləri ilə verilmişdir. bu xətlər arasındakı bucağı tapın.
Qərar. Tənliklərdən k 1 \u003d 2 və k 2 \u003d-3 olduğunu görmək olar. bu dəyərləri düsturla (7) əvəz edərək tapırıq
. Beləliklə, bu xətlər arasındakı bucaq .
İki xəttin paralelliyi və perpendikulyarlığı şərtləri
Düzdürsə l 1 və l 2 paraleldirlər φ=0 və tgφ=0. düsturdan (7) belə çıxır ki, haradandır k 2 \u003d k 1. Beləliklə, iki xəttin paralelliyinin şərti onların yamaclarının bərabərliyidir.
Düzdürsə l 1 və l 2 perpendikulyar, onda φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . 
. Beləliklə, iki düz xəttin perpendikulyar olmasının şərti onların yamaclarının böyüklüyünə görə qarşılıqlı və işarəsinə görə əks olmasıdır.
Nöqtədən xəttə qədər olan məsafə
teorem. M(x 0, y 0) nöqtəsi verilirsə, Ax + Vy + C \u003d 0 xəttinə olan məsafə belə müəyyən edilir.
Sübut. M nöqtəsindən verilmiş xəttə endirilən perpendikulyarın əsası M 1 (x 1, y 1) nöqtəsi olsun. Sonra M və M nöqtələri arasındakı məsafə 1:
x 1 və y 1 koordinatları tənliklər sisteminin həlli kimi tapıla bilər:
Sistemin ikinci tənliyi üzərindən keçən düz xəttin tənliyidir arxada verilmiş nöqtə M 0 verilmiş xəttə perpendikulyardır.
Sistemin birinci tənliyini formaya çevirsək:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
sonra həll edərək əldə edirik:
Bu ifadələri (1) tənliyində əvəz edərək tapırıq:
Teorem sübut edilmişdir.
Misal. Xətlər arasındakı bucağı təyin edin: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k 1 \u003d -3; k 2 = 2tgj= ; j = p/4.
Misal. 3x - 5y + 7 = 0 və 10x + 6y - 3 = 0 xətlərinin perpendikulyar olduğunu göstərin.
Tapırıq: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, buna görə də xətlər perpendikulyardır.
Misal. A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) üçbucağının təpələri verilmişdir. C təpəsində çəkilmiş hündürlüyün tənliyini tapın.
AB tərəfinin tənliyini tapırıq: ; 4x = 6y - 6;
2x - 3y + 3 = 0;
İstədiyiniz hündürlük tənliyi: Ax + By + C = 0 və ya y = kx + b.
k=. Sonra y =. Çünki hündürlük C nöqtəsindən keçir, onda onun koordinatları bu tənliyi təmin edir: haradan b \u003d 17. Cəmi: .
Cavab: 3x + 2y - 34 = 0.
Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə, nöqtədən xəttə düşən perpendikulyarın uzunluğu ilə müəyyən edilir.
Xətt proyeksiya müstəvisinə paralel olarsa (h | | S 1), sonra nöqtədən məsafəni təyin etmək üçün AMMA düzə h nöqtədən perpendikulyar düşmək lazımdır AMMAüfüqi istiqamətə h.
Daha çox düşünün mürəkkəb nümunə xətt tutduqda ümumi mövqe. Nöqtədən məsafəni müəyyən etmək lazım gəlsin M düzə aümumi mövqe.
Tərif tapşırığı paralel xətlər arasındakı məsafələrəvvəlki kimi həll olunur. Bir xətt üzərində nöqtə götürülür və ondan digər xəttə perpendikulyar çəkilir. Perpendikulyarın uzunluğu paralel xətlər arasındakı məsafəyə bərabərdir.
İkinci dərəcəli əyri cari Dekart koordinatlarına nisbətən ikinci dərəcəli tənliklə müəyyən edilmiş xəttdir. Ümumi vəziyyətdə, Axe 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,
burada A, B, C, D, E, F həqiqi ədədlərdir və A 2 + B 2 + C 2 ≠0 ədədlərindən ən azı biri.
Dairə
Dairə mərkəzi- bu, C (a, b) müstəvisinin nöqtəsindən bərabər məsafədə olan müstəvidə nöqtələrin yeridir.
Dairə aşağıdakı tənliklə verilir:
Burada x, y dairənin ixtiyari nöqtəsinin koordinatlarıdır, R isə çevrənin radiusudur.
Dairə tənliyinin işarəsi
1. X, y ilə heç bir termin yoxdur
2. x 2 və y 2-də əmsallar bərabərdir
Ellips
Ellips müstəvidə nöqtələrin yeri adlanır, hər birinin bu müstəvinin verilmiş iki nöqtəsindən məsafələrinin cəminə fokuslar (sabit qiymət) deyilir.
Ellipsin kanonik tənliyi:
X və y bir ellipsə aiddir.
a ellipsin əsas yarımoxudur
b ellipsin kiçik yarımoxudur
Ellipsin 2 simmetriya oxu OX və OY var. Ellipsin simmetriya oxları onun oxlarıdır, onların kəsişmə nöqtəsi ellipsin mərkəzidir. Fokusların yerləşdiyi ox deyilir fokus ox. Ellipsin oxlarla kəsişmə nöqtəsi ellipsin təpə nöqtəsidir.
Sıxılma (uzanma) nisbəti: ε = c/a- ekssentriklik (ellipsin formasını xarakterizə edir), nə qədər kiçik olarsa, ellips fokus oxu boyunca bir o qədər az uzanır.
Ellipsin mərkəzləri mərkəzdə deyilsə, С(α, β)
Hiperbola
Hiperbola müstəvidə nöqtələrin yeri adlanan məsafələr fərqinin mütləq qiyməti, bu müstəvinin hər biri ocaq adlanan iki verilmiş nöqtədən sıfırdan fərqli sabit qiymətdir.
Hiperbolanın kanonik tənliyi
Hiperbolanın 2 simmetriya oxu var:
a - simmetriyanın həqiqi yarımoxu
b - simmetriyanın xəyali yarımoxu
Hiperbolanın asimptotları:
Parabola
parabola fokus adlanan verilmiş F nöqtəsindən və direktris adlanan verilmiş xəttdən bərabər məsafədə olan müstəvidə nöqtələrin yeridir.
Kanonik parabola tənliyi:
Y 2 \u003d 2px, burada p fokusdan direktrisə qədər olan məsafədir (parabola parametri)
Parabolanın təpəsi C (α, β) olarsa, parabolanın tənliyi (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)
Fokus oxu y oxu kimi götürülərsə, parabola tənliyi aşağıdakı formanı alacaq: x 2 \u003d 2qy
Düz xətt M 1 (x 1; y 1) və M 2 (x 2; y 2) nöqtələrindən keçsin. M 1 nöqtəsindən keçən düz xəttin tənliyi y- y 1 \u003d formasına malikdir. k (x - x 1), (10.6)
harada k - hələ məlum olmayan əmsal.
Düz xətt M 2 (x 2 y 2) nöqtəsindən keçdiyi üçün bu nöqtənin koordinatları (10.6) tənliyinə cavab verməlidir: y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).
Buradan tapılan dəyərin dəyişdirilməsini tapırıq k
(10.6) tənliyinə daxil olaraq, M 1 və M 2 nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyini alırıq: 
Güman edilir ki, bu tənlikdə x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Əgər x 1 \u003d x 2 olarsa, M 1 (x 1, y I) və M 2 (x 2, y 2) nöqtələrindən keçən düz xətt y oxuna paraleldir. Onun tənliyi x = x 1 .
Əgər y 2 \u003d y I, onda düz xəttin tənliyi y \u003d y 1 kimi yazıla bilər, M 1 M 2 düz xətti x oxuna paraleldir.
Seqmentlərdə düz xəttin tənliyi
Düz xətt Ox oxunu M 1 (a; 0) nöqtəsində, Oy oxu isə M 2 (0; b) nöqtəsində kəssin. Tənlik aşağıdakı formanı alacaq: 
olanlar. 
. Bu tənlik adlanır seqmentlərdə düz xəttin tənliyi, çünki a və b rəqəmləri koordinat oxlarında düz xəttin hansı seqmentləri kəsdiyini göstərir.
Verilmiş vektora perpendikulyar verilmiş nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi
Verilmiş sıfırdan fərqli n = (A; B) vektoruna perpendikulyar Mo (x O; y o) nöqtəsindən keçən düz xəttin tənliyini tapaq.
Düz xəttin ixtiyari M(x; y) nöqtəsini götürün və M 0 M (x - x 0; y - y o) vektorunu nəzərdən keçirin (şək. 1-ə baxın). n və M o M vektorları perpendikulyar olduğundan onların skalyar hasilatı sıfıra bərabərdir: yəni,
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
(10.8) tənliyi çağırılır verilmiş vektora perpendikulyar verilmiş nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi .
Xəttə perpendikulyar olan n = (A; B) vektoru normal adlanır bu xəttin normal vektoru .
(10.8) tənliyi kimi yenidən yazıla bilər Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
burada A və B normal vektorun koordinatlarıdır, C \u003d -Ax o - Vu o - pulsuz üzv. Tənlik (10.9) düz xəttin ümumi tənliyidir(Şəkil 2-ə baxın).
Şəkil 1 Şəkil 2
Düz xəttin kanonik tənlikləri
,
Harada 
xəttin keçdiyi nöqtənin koordinatlarıdır və 
- istiqamət vektoru.
İkinci dərəcəli Dairənin əyriləri
Dairə, mərkəz adlanan müəyyən bir nöqtədən bərabər məsafədə olan müstəvinin bütün nöqtələrinin çoxluğudur.
Radiuslu çevrənin kanonik tənliyi
R nöqtə üzərində mərkəzləşmişdir 
:
Xüsusilə, payın mərkəzi mənşəyi ilə üst-üstə düşürsə, tənlik belə görünəcəkdir: 
Ellips
Ellips müstəvidəki nöqtələr toplusudur, onların hər birindən verilmiş iki nöqtəyə qədər olan məsafələrin cəmidir.
və 
fokuslar adlanan , sabit qiymətdir 
, fokuslar arasındakı məsafədən böyükdür 
.
Fokusları Ox oxunda olan və mənşəyi fokuslar arasında ortada olan ellipsin kanonik tənliyi formaya malikdir. 
G 
de a əsas yarımoxun uzunluğu; b kiçik yarımoxun uzunluğudur (şək. 2).
İki xal verilsin M(X 1 ,At 1) və N(X 2,y 2). Bu nöqtələrdən keçən düz xəttin tənliyini tapaq.
Çünki bu xətt nöqtədən keçir M, onda (1.13) düsturuna görə onun tənliyi formaya malikdir
At – Y 1 = K(X-x 1),
Harada K naməlum yamacdır.
Bu əmsalın qiyməti istənilən düz xəttin nöqtədən keçməsi şərtindən müəyyən edilir N, bu o deməkdir ki, onun koordinatları (1.13) tənliyini təmin edir.
Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),
Buradan bu xəttin yamacını tapa bilərsiniz:
,
Və ya çevrildikdən sonra
(1.14)
Formula (1.14) müəyyən edir İki nöqtədən keçən xəttin tənliyi M(X 1, Y 1) və N(X 2, Y 2).
Xüsusi halda xallar M(A, 0), N(0, B), AMMA ¹ 0, B¹ 0, koordinat oxları üzərində yerləşir, tənlik (1.14) daha sadə forma alır
Tənlik (1.15)çağırdı Seqmentlərdə düz xəttin tənliyi, burada AMMA və B oxlar üzərində düz xətt ilə kəsilmiş seqmentləri qeyd edin (Şəkil 1.6).
Şəkil 1.6
Misal 1.10. Nöqtələrdən keçən düz xəttin tənliyini yazın M(1, 2) və B(3, –1).
. (1.14)-ə əsasən, istənilən düz xəttin tənliyi formaya malikdir
2(Y – 2) = -3(X – 1).
Bütün şərtləri sol tərəfə köçürərək nəhayət istədiyiniz tənliyi əldə edirik
3X + 2Y – 7 = 0.
Misal 1.11. Nöqtədən keçən xətt üçün tənlik yazın M(2, 1) və xətlərin kəsişmə nöqtəsi X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.
. Bu tənlikləri birlikdə həll etməklə xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapırıq
Bu tənlikləri həd-həd əlavə etsək, 2-ni alırıq X+ 1 = 0, haradandır. Tapılan dəyəri istənilən tənliyə əvəz edərək, ordinatın qiymətini tapırıq At:
İndi (2, 1) və nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyini yazaq:
və ya .
Beləliklə və ya -5( Y – 1) = X – 2.
Nəhayət, formada istədiyiniz düz xəttin tənliyini əldə edirik X + 5Y – 7 = 0.
Misal 1.12. Nöqtələrdən keçən düz xəttin tənliyini tapın M(2.1) və N(2,3).
(1.14) düsturundan istifadə edərək tənliyi əldə edirik
Bunun mənası yoxdur, çünki ikinci məxrəc sıfırdır. Məsələnin şərtindən görünür ki, hər iki nöqtənin absisləri eyni qiymətə malikdir. Beləliklə, tələb olunan xətt oxa paraleldir OY və onun tənliyi belədir: x = 2.
Şərh . Əgər düz xəttin tənliyini (1.14) düsturuna görə yazarkən məxrəclərdən biri sıfıra bərabər olarsa, onda müvafiq payı sıfıra bərabərləşdirməklə istənilən tənliyi əldə etmək olar.
Müstəvidə düz xəttin qurulmasının başqa yollarını nəzərdən keçirək.
1. Sıfırdan fərqli vektor verilmiş xəttə perpendikulyar olsun L, və nöqtə M 0(X 0, Y 0) bu xətt üzərində yerləşir (Şəkil 1.7).
Şəkil 1.7
İşarə et M(X, Y) xəttin ixtiyari nöqtəsi L. Vektorlar və 
Ortoqonal. Bu vektorlar üçün ortoqonallıq şərtlərindən istifadə edərək və ya əldə edirik AMMA(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.
Bir nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini əldə etdik M 0 vektora perpendikulyardır. Bu vektor deyilir Normal vektor düz xəttə L. Nəticə tənliyi kimi yenidən yazmaq olar
Oh + Wu + ilə= 0, harada ilə = –(AMMAX 0 + By 0), (1.16),
Harada AMMA və AT normal vektorun koordinatlarıdır.
Düz xəttin ümumi tənliyini parametrik formada alırıq.
2. Müstəvidəki xətti aşağıdakı kimi təyin etmək olar: sıfırdan fərqli vektor verilmiş xəttə paralel olsun. L və nöqtə M 0(X 0, Y 0) bu xətt üzərində yerləşir. Yenə də ixtiyari bir nöqtəni götürün M(X, y) düz xətt üzərində (Şəkil 1.8).
Şəkil 1.8
Vektorlar və 
kollinear.
Bu vektorların kollinearlıq şərtini yazaq: , harada T parametr adlanan ixtiyari ədəddir. Bu bərabərliyi koordinatlarda yazaq:
Bu tənliklər adlanır Parametrik tənliklər Düz. Bu tənliklərdən parametri xaric edək T:
Bu tənliklər formada yazıla bilər
. (1.18)
Nəticədə yaranan tənlik deyilir Kanonik tənlik düz. Vektor zəngi İstiqamət vektoru düz .
Şərh . Xəttin normal vektorunun if olduğunu görmək asandır L, onda onun istiqamət vektoru vektor ola bilər, çünki , yəni .
Misal 1.13. Nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini yazın M 0(1, 1) 3-cü sətirə paralel X + 2At– 8 = 0.
Qərar . Vektor verilmiş və istənilən xətlərin normal vektorudur. Nöqtədən keçən düz xəttin tənliyindən istifadə edək M 0 verilmiş normal vektor 3( X –1) + 2(At– 1) = 0 və ya 3 X + 2y- 5 \u003d 0. İstədiyiniz düz xəttin tənliyini əldə etdik.
