İki xal verilsin M 1 (x 1, y 1) və M 2 (x 2, y 2). Düz xəttin tənliyini (5) şəklində yazırıq, burada k hələ məlum olmayan əmsal:
Məsələdən bəri M 2 verilmiş xəttə aiddir, onda onun koordinatları tənliyi (5) ödəyir: 
. Buradan ifadə edərək (5) tənliyində əvəz edərək, istədiyimiz tənliyi əldə edirik:
Əgər a 
Bu tənliyi yadda saxlamaq asan olan formada yenidən yazmaq olar:
(6)
Misal. M 1 (1.2) və M 2 (-2.3) nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyini yazın.
Qərar. 
. Mütənasiblik xassəsindən istifadə edərək və lazımi çevrilmələri yerinə yetirərək düz xəttin ümumi tənliyini əldə edirik:
İki xətt arasındakı bucaq
İki xətti nəzərdən keçirin l 1 və l 2:
l 1: , , və
l 2: , ,
φ onların arasındakı bucaqdır (). Şəkil 4 göstərir: .
 |
Buradan 
, və ya
Düsturdan (7) istifadə edərək, xətlər arasındakı bucaqlardan birini təyin etmək olar. İkinci bucaq .
Misal. İki düz xətt y=2x+3 və y=-3x+2 tənlikləri ilə verilmişdir. bu xətlər arasındakı bucağı tapın.
Qərar. Tənliklərdən k 1 \u003d 2 və k 2 \u003d-3 olduğunu görmək olar. bu dəyərləri düsturla (7) əvəz edərək tapırıq
. Beləliklə, bu xətlər arasındakı bucaq .
İki xəttin paralelliyi və perpendikulyarlığı şərtləri
Düzdürsə l 1 və l 2 paraleldirlər φ=0 və tgφ=0. düsturdan (7) belə çıxır ki, haradandır k 2 \u003d k 1. Beləliklə, iki xəttin paralelliyinin şərti onların yamaclarının bərabərliyidir.
Düzdürsə l 1 və l 2 perpendikulyar, onda φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . 
. Beləliklə, iki düz xəttin perpendikulyar olmasının şərti ondan ibarətdir ki, onların yamacları böyüklük baxımından qarşılıqlı, işarəsi isə əksinədir.
Nöqtədən xəttə qədər olan məsafə
teorem. M(x 0, y 0) nöqtəsi verilirsə, Ax + Vy + C \u003d 0 xəttinə olan məsafə belə müəyyən edilir.
Sübut. M nöqtəsindən verilmiş xəttə endirilən perpendikulyarın əsası M 1 (x 1, y 1) nöqtəsi olsun. Sonra M və M nöqtələri arasındakı məsafə 1:
x 1 və y 1 koordinatları tənliklər sisteminin həlli kimi tapıla bilər:
Sistemin ikinci tənliyi üzərindən keçən düz xəttin tənliyidir verilmiş nöqtə M 0 verilmiş xəttə perpendikulyardır.
Sistemin birinci tənliyini formaya çevirsək:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
sonra həll edərək əldə edirik:
Bu ifadələri (1) tənliyində əvəz edərək tapırıq:
Teorem sübut edilmişdir.
Misal. Xətlər arasındakı bucağı təyin edin: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k 1 \u003d -3; k 2 = 2tgj= ; j = p/4.
Misal. 3x - 5y + 7 = 0 və 10x + 6y - 3 = 0 xətlərinin perpendikulyar olduğunu göstərin.
Tapırıq: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, buna görə də xətlər perpendikulyardır.
Misal. A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) üçbucağının təpələri verilmişdir. C təpəsində çəkilmiş hündürlüyün tənliyini tapın.
AB tərəfinin tənliyini tapırıq: ; 4x = 6y - 6;
2x - 3y + 3 = 0;
İstədiyiniz hündürlük tənliyi: Ax + By + C = 0 və ya y = kx + b.
k=. Sonra y =. Çünki hündürlük C nöqtəsindən keçir, onda onun koordinatları bu tənliyi təmin edir: haradan b \u003d 17. Cəmi: .
Cavab: 3x + 2y - 34 = 0.
Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə, nöqtədən xəttə düşən perpendikulyarın uzunluğu ilə müəyyən edilir.
Xətt proyeksiya müstəvisinə paralel olarsa (h | | S 1), sonra nöqtədən məsafəni təyin etmək üçün AMMA düzə h nöqtədən perpendikulyar düşmək lazımdır AMMAüfüqi istiqamətə h.
Daha çox düşünün mürəkkəb nümunə xətt tutduqda ümumi mövqe. Nöqtədən məsafəni müəyyən etmək lazım gəlsin M düzə aümumi mövqe.
Tərif tapşırığı paralel xətlər arasındakı məsafələrəvvəlki kimi həll olunur. Bir xətt üzərində nöqtə götürülür və ondan digər xəttə perpendikulyar çəkilir. Perpendikulyarın uzunluğu paralel xətlər arasındakı məsafəyə bərabərdir.
İkinci dərəcəli əyri cari Dekart koordinatlarına nisbətən ikinci dərəcəli tənliklə müəyyən edilmiş xəttdir. Ümumi vəziyyətdə, Axe 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,
burada A, B, C, D, E, F həqiqi ədədlərdir və A 2 + B 2 + C 2 ≠0 ədədlərindən ən azı biri.
Dairə
Dairə mərkəzi- bu, C (a, b) müstəvisinin nöqtəsindən bərabər məsafədə olan müstəvidə nöqtələrin yeridir.
Dairə aşağıdakı tənliklə verilir:
Burada x, y dairənin ixtiyari nöqtəsinin koordinatlarıdır, R isə çevrənin radiusudur.
Dairə tənliyinin işarəsi
1. X, y ilə heç bir termin yoxdur
2. x 2 və y 2-də əmsallar bərabərdir
Ellips
Ellips müstəvidə nöqtələrin yeri adlanır, hər birinin bu müstəvinin verilmiş iki nöqtəsindən məsafələrinin cəminə fokuslar (sabit qiymət) deyilir.
Ellipsin kanonik tənliyi:
X və y bir ellipsə aiddir.
a ellipsin əsas yarımoxudur
b ellipsin kiçik yarımoxudur
Ellipsin 2 simmetriya oxu OX və OY var. Ellipsin simmetriya oxları onun oxlarıdır, onların kəsişmə nöqtəsi ellipsin mərkəzidir. Fokusların yerləşdiyi ox deyilir fokus ox. Ellipsin oxlarla kəsişmə nöqtəsi ellipsin təpə nöqtəsidir.
Sıxılma (uzanma) nisbəti: ε = c/a- ekssentriklik (ellipsin formasını xarakterizə edir), nə qədər kiçik olarsa, ellips fokus oxu boyunca bir o qədər az uzanır.
Ellipsin mərkəzləri mərkəzdə deyilsə, С(α, β)
Hiperbola
Hiperbola müstəvidə nöqtələrin yeri adlanan məsafələr fərqinin mütləq qiyməti, hər biri bu müstəvinin iki verilmiş nöqtəsindən ocaq adlanan sıfırdan fərqli sabit qiymətdir.
Hiperbolanın kanonik tənliyi
Hiperbolanın 2 simmetriya oxu var:
a - simmetriyanın həqiqi yarımoxu
b - simmetriyanın xəyali yarımoxu
Hiperbolanın asimptotları:
Parabola
parabola fokus adlanan verilmiş F nöqtəsindən və direktris adlanan verilmiş xəttdən bərabər məsafədə olan müstəvidə nöqtələrin yeridir.
Kanonik parabola tənliyi:
Y 2 \u003d 2px, burada p fokusdan direktrisə qədər olan məsafədir (parabola parametri)
Parabolanın təpəsi C (α, β) olarsa, parabolanın tənliyi (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)
Fokus oxu y oxu kimi götürülərsə, parabola tənliyi aşağıdakı formanı alacaq: x 2 \u003d 2qy
Bu məqalədə müstəvidə yerləşən düzbucaqlı koordinat sistemində verilmiş iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyinin törəməsi açıqlanır. Düzbucaqlı koordinat sistemində verilmiş iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini alırıq. Əhatə olunan materialla bağlı bir neçə nümunəni vizual olaraq göstərəcəyik və həll edəcəyik.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Verilmiş iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini əldə etməzdən əvvəl bəzi faktlara diqqət yetirmək lazımdır. Bir müstəvidə üst-üstə düşməyən iki nöqtə vasitəsilə düz xətt çəkmək olar və yalnız bir aksioma var. Başqa sözlə, müstəvinin iki verilmiş nöqtəsi bu nöqtələrdən keçən düz xətt ilə müəyyən edilir.
Təyyarə düzbucaqlı Oxy koordinat sistemi ilə verilirsə, onda təsvir olunan hər hansı bir düz xətt müstəvidəki düz xəttin tənliyinə uyğun olacaq. Düz xəttin istiqamət vektoru ilə də əlaqə var.Bu məlumatlar verilmiş iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini tərtib etmək üçün kifayətdir.
Bənzər bir problemin həlli üçün bir nümunə nəzərdən keçirin. Dekart koordinat sistemində yerləşən M 1 (x 1, y 1) və M 2 (x 2, y 2) uyğun olmayan iki nöqtədən keçən a düz xəttinin tənliyini tərtib etmək lazımdır.
X - x 1 a x \u003d y - y 1 a y formasına malik olan müstəvidəki düz xəttin kanonik tənliyində düzbucaqlı koordinat sistemi O x y, M koordinatları olan bir nöqtədə onunla kəsişən düz xətt ilə təyin olunur. 1 (x 1, y 1) a → = (a x , a y) istiqamətləndirici vektoru ilə.
M 1 (x 1, y 1) və M 2 (x 2, y 2) koordinatları olan iki nöqtədən keçəcək a düz xəttinin kanonik tənliyini tərtib etmək lazımdır.
a düz xətti M 1 və M 2 nöqtələrini kəsdiyi üçün koordinatları (x 2 - x 1, y 2 - y 1) olan M 1 M 2 → istiqamətləndirici vektoruna malikdir. M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) istiqamət vektorunun koordinatları və onların üzərində yerləşən M 1 nöqtələrinin koordinatları ilə kanonik tənliyi çevirmək üçün lazımi məlumatları əldə etdik. (x 1, y 1) və M 2 (x 2, y 2) . x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 və ya x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 formasının tənliyini alırıq.
Aşağıdakı rəqəmi nəzərdən keçirin.
Hesablamalardan sonra koordinatları M 1 (x 1, y 1) və M 2 (x 2, y 2) olan iki nöqtədən keçən müstəvidə düz xəttin parametrik tənliklərini yazırıq. X \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ və ya x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ şəklində bir tənlik alırıq. y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.
Gəlin bir neçə nümunəyə daha yaxından nəzər salaq.
Misal 1
Koordinatları M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 olan verilmiş 2 nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini yazın.
Qərar
Kanonik tənlik x 1 , y 1 və x 2 koordinatları ilə iki nöqtədə kəsişən düz xətt üçün y 2 x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 formasını alır. Problemin vəziyyətinə görə, bizdə x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6 var. x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 tənliyində ədədi dəyərləri əvəz etmək lazımdır. Buradan əldə edirik ki, kanonik tənlik x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 formasını alacaq.
Cavab: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .
Fərqli bir tənlik növü ilə bir problemi həll etmək lazımdırsa, onda başlanğıc üçün kanonik birinə keçə bilərsiniz, çünki ondan hər hansı digərinə gəlmək daha asandır.
Misal 2
O x y koordinat sistemində koordinatları M 1 (1, 1) və M 2 (4, 2) olan nöqtələrdən keçən düz xəttin ümumi tənliyini qurun.
Qərar
Əvvəlcə verilmiş iki nöqtədən keçən verilmiş xəttin kanonik tənliyini yazmalısınız. x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 formasının tənliyini alırıq.
Kanonik tənliyi istədiyiniz formaya gətiririk, sonra əldə edirik:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Cavab: x - 3 y + 2 = 0 .
Belə tapşırıqların nümunələri cəbr dərslərində məktəb dərsliklərində nəzərdən keçirilmişdir. Məktəb tapşırıqları y \u003d k x + b şəklində olan yamac əmsalı olan düz xəttin tənliyinin məlum olması ilə fərqlənirdi. y \u003d k x + b tənliyinin O x y sistemində M 1 (x 1, y 1) və M nöqtələrindən keçən xətti təyin etdiyi k yamacının dəyərini və b ədədini tapmaq lazımdırsa 2 (x 2, y 2) , burada x 1 ≠ x 2 . x 1 = x 2 olduqda , onda yamac sonsuzluq qiymətini alır və M 1 M 2 düz xətti x - x 1 = 0 formasının ümumi natamam tənliyi ilə müəyyən edilir. .
Çünki nöqtələr M 1 və M 2 düz xətt üzərindədirlər, onda onların koordinatları y 1 = k x 1 + b və y 2 = k x 2 + b tənliyini ödəyir. y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b tənliklər sistemini k və b-yə görə həll etmək lazımdır.
Bunu etmək üçün k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 və ya k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x tapırıq. 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
Belə k və b qiymətləri ilə verilmiş iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi alınır növbəti görünüş y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 və ya y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Bir anda belə çox sayda düstur əzbərləmək işləməyəcək. Bunun üçün problemlərin həllində təkrarların sayını artırmaq lazımdır.
Misal 3
M 2 (2, 1) və y = k x + b koordinatları olan nöqtələrdən keçən yamaclı düz xəttin tənliyini yazın.
Qərar
Problemi həll etmək üçün y \u003d k x + b şəklində olan bir yamaclı bir düsturdan istifadə edirik. K və b əmsalları elə qiymət almalıdır ki, bu tənlik M 1 (- 7 , - 5) və M 2 (2 , 1) koordinatları olan iki nöqtədən keçən düz xəttə uyğun olsun.
xal M 1 və M 2 düz xətt üzərində yerləşir, onda onların koordinatları y = k x + b tənliyini düzgün bərabərliyə çevirməlidir. Buradan alırıq ki - 5 = k · (- 7) + b və 1 = k · 2 + b. Tənliyi sistemə birləşdirək - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b və həll edək.
Əvəz etdikdən sonra bunu əldə edirik
5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
İndi k = 2 3 və b = - 1 3 qiymətləri y = k x + b tənliyində əvəz olunur. Alırıq ki, verilmiş nöqtələrdən keçən istənilən tənlik y = 2 3 x - 1 3 formasına malik tənlik olacaqdır.
Bu həll yolu xərcləri əvvəlcədən müəyyənləşdirir böyük rəqəm vaxt. Tapşırığın hərfi mənada iki addımda həll olunduğu bir yol var.
M 2 (2, 1) və M 1 (- 7, - 5) -dən keçən, x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) formasına malik düz xəttin kanonik tənliyini yazırıq. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
İndi isə yamac tənliyinə keçək. Bunu alırıq: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .
Cavab: y = 2 3 x - 1 3 .
Əgər üçölçülü fəzada M 1 (x 1, y 1, z 1) və M 2 (x 2, y 2, z 2) koordinatları olan iki verilmiş üst-üstə düşməyən nöqtəsi olan O x y z düzbucaqlı koordinat sistemi varsa, onlardan 1 M 2 keçən M düz xətti bu xəttin tənliyini almaq lazımdır.
Bizdə x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z formalı kanonik tənliklər və x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + formalı parametrik tənliklər var. a z λ a → = (a x, a y, a z) yönləndirici vektoru olan (x 1, y 1, z 1) koordinatları olan nöqtələrdən keçən O x y z koordinat sistemində xətt təyin edə bilir.
Düz M 1 M 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) formasında istiqamət vektoruna malikdir, burada xəttin M 1 (x 1 , y 1 , z) nöqtəsindən keçdiyi 1) və M 2 (x 2, y 2, z 2), deməli, kanonik tənlik x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z şəklində ola bilər. 2 - z 1 və ya x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, öz növbəsində, parametrik x \u003d x 1 + (x 2) - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ və ya x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.
Məkanda verilmiş 2 nöqtəni və düz xəttin tənliyini göstərən fiquru nəzərdən keçirək.
Misal 4
Koordinatları M 1 (2, - 3, 0) və M 2 (1, - 3, - 5) olan verilmiş iki nöqtədən keçən üçölçülü fəzanın O x y z düzbucaqlı koordinat sistemində müəyyən edilmiş düz xəttin tənliyini yazın. ).
Qərar
Kanonik tənliyi tapmalıyıq. Söhbət üçölçülü fəzadan getdiyindən, bu o deməkdir ki, verilmiş nöqtələrdən düz xətt keçəndə istənilən kanonik tənlik x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = formasını alacaq. z - z 1 z 2 - z 1 .
Şərtə görə, x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5 olduğunu əldə edirik. Buradan belə çıxır ki, lazımi tənliklər aşağıdakı kimi yazıla bilər:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Cavab: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın
İki xal verilsin M(X 1 ,At 1) və N(X 2,y 2). Bu nöqtələrdən keçən düz xəttin tənliyini tapaq.
Çünki bu xətt nöqtədən keçir M, onda (1.13) düsturuna görə onun tənliyi formaya malikdir
At – Y 1 = K(X-x 1),
Harada K naməlum yamacdır.
Bu əmsalın qiyməti istənilən düz xəttin nöqtədən keçməsi şərtindən müəyyən edilir N, bu o deməkdir ki, onun koordinatları (1.13) tənliyini təmin edir.
Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),
Buradan bu xəttin yamacını tapa bilərsiniz:
,
Və ya çevrildikdən sonra
(1.14)
Formula (1.14) müəyyən edir İki nöqtədən keçən xəttin tənliyi M(X 1, Y 1) və N(X 2, Y 2).
Xüsusi halda xallar M(A, 0), N(0, B), AMMA ¹ 0, B¹ 0, koordinat oxları üzərində yerləşir, tənlik (1.14) daha sadə forma alır
Tənlik (1.15)çağırdı Seqmentlərdə düz xəttin tənliyi, burada AMMA və B oxlar üzərində düz xətt ilə kəsilmiş seqmentləri qeyd edin (Şəkil 1.6).
Şəkil 1.6
Misal 1.10. Nöqtələrdən keçən düz xəttin tənliyini yazın M(1, 2) və B(3, –1).
. (1.14)-ə əsasən, istənilən düz xəttin tənliyi formaya malikdir
2(Y – 2) = -3(X – 1).
Bütün şərtləri sol tərəfə köçürərək nəhayət istədiyiniz tənliyi əldə edirik
3X + 2Y – 7 = 0.
Misal 1.11. Nöqtədən keçən xətt üçün tənlik yazın M(2, 1) və xətlərin kəsişmə nöqtəsi X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.
. Bu tənlikləri birlikdə həll etməklə xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını tapırıq
Bu tənlikləri həd-həd əlavə etsək, 2-ni alırıq X+ 1 = 0, haradandır. Tapılan dəyəri istənilən tənliyə əvəz edərək, ordinatın qiymətini tapırıq At:
İndi (2, 1) və nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyini yazaq:
və ya .
Beləliklə və ya -5( Y – 1) = X – 2.
Nəhayət, formada istədiyiniz düz xəttin tənliyini əldə edirik X + 5Y – 7 = 0.
Misal 1.12. Nöqtələrdən keçən düz xəttin tənliyini tapın M(2.1) və N(2,3).
(1.14) düsturundan istifadə edərək tənliyi əldə edirik
Bunun mənası yoxdur, çünki ikinci məxrəc sıfırdır. Məsələnin şərtindən görünür ki, hər iki nöqtənin absisləri eyni qiymətə malikdir. Beləliklə, tələb olunan xətt oxa paraleldir OY və onun tənliyi belədir: x = 2.
Şərh . Əgər düz xəttin tənliyini (1.14) düsturuna görə yazarkən məxrəclərdən biri sıfıra bərabər olarsa, onda müvafiq payı sıfıra bərabərləşdirməklə istənilən tənliyi əldə etmək olar.
Müstəvidə düz xəttin qurulmasının başqa yollarını nəzərdən keçirək.
1. Sıfırdan fərqli vektor verilmiş xəttə perpendikulyar olsun L, və nöqtə M 0(X 0, Y 0) bu xətt üzərində yerləşir (Şəkil 1.7).
Şəkil 1.7
İşarə et M(X, Y) xəttin ixtiyari nöqtəsi L. Vektorlar və 
Ortoqonal. Bu vektorlar üçün ortoqonallıq şərtlərindən istifadə edərək və ya əldə edirik AMMA(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.
Bir nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini əldə etdik M 0 vektora perpendikulyardır. Bu vektor deyilir Normal vektor düz xəttə L. Nəticə tənliyi kimi yenidən yazmaq olar
Oh + Wu + ilə= 0, harada ilə = –(AMMAX 0 + By 0), (1.16),
Harada AMMA və AT normal vektorun koordinatlarıdır.
Düz xəttin ümumi tənliyini parametrik formada alırıq.
2. Müstəvidəki xətti aşağıdakı kimi təyin etmək olar: sıfırdan fərqli vektor verilmiş xəttə paralel olsun. L və nöqtə M 0(X 0, Y 0) bu xətt üzərində yerləşir. Yenə də ixtiyari bir nöqtəni götürün M(X, y) düz xətt üzərində (Şəkil 1.8).
Şəkil 1.8
Vektorlar və 
kollinear.
Bu vektorların kollinearlıq şərtini yazaq: , harada T parametr adlanan ixtiyari ədəddir. Bu bərabərliyi koordinatlarda yazaq:
Bu tənliklər adlanır Parametrik tənliklər Düz. Bu tənliklərdən parametri xaric edək T:
Bu tənliklər formada yazıla bilər
. (1.18)
Nəticədə yaranan tənlik deyilir Düz xəttin kanonik tənliyi. Vektor zəngi İstiqamət vektoru düz .
Şərh . Xəttin normal vektorunun if olduğunu görmək asandır L, onda onun istiqamət vektoru vektor ola bilər, çünki , yəni .
Misal 1.13. Nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini yazın M 0(1, 1) 3-cü sətirə paralel X + 2At– 8 = 0.
Qərar . Vektor verilmiş və istənilən xətlərin normal vektorudur. Nöqtədən keçən düz xəttin tənliyindən istifadə edək M 0 verilmiş normal vektor 3( X –1) + 2(At– 1) = 0 və ya 3 X + 2y- 5 \u003d 0. İstədiyiniz düz xəttin tənliyini əldə etdik.
Evklid həndəsəsində düz xəttin xassələri.
İstənilən nöqtədən çəkilə bilən sonsuz sayda xətlər var.
İstənilən iki üst-üstə düşməyən nöqtədən yalnız bir düz xətt var.
Müstəvidə üst-üstə düşməyən iki xətt ya bir nöqtədə kəsişir, ya da olur
paralel (əvvəlkidən sonra).
AT üçölçülü məkanİki xəttin nisbi mövqeyi üçün üç seçim var:
- xətlər kəsişir;
- düz xətlər paraleldir;
- düz xətlər kəsişir.
Düz xətt- birinci dərəcəli cəbr əyrisi: Dekart koordinat sistemində düz xətt
müstəvidə birinci dərəcəli tənlik (xətti tənlik) ilə verilir.
Düz xəttin ümumi tənliyi.
Tərif. Müstəvidəki hər hansı bir xətt birinci dərəcəli tənliklə verilə bilər
Ah + Wu + C = 0,
və daimi A, B eyni zamanda sıfıra bərabər deyil. Bu birinci dərəcəli tənlik adlanır general
düz xətt tənliyi. Sabitlərin dəyərlərindən asılı olaraq A, B və ilə Aşağıdakı xüsusi hallar mümkündür:
. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- xətt mənbədən keçir
. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- oxa paralel düz xətt Oh
. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- oxa paralel düz xətt OU
. B = C = 0, A ≠ 0- xətt oxla üst-üstə düşür OU
. A = C = 0, B ≠ 0- xətt oxla üst-üstə düşür Oh
Düz xəttin tənliyi ilə təmsil oluna bilər müxtəlif formalar hər hansı bir veriləndən asılı olaraq
ilkin şərtlər.
Düz xəttin nöqtə və normal vektorla tənliyi.
Tərif. Kartezyen düzbucaqlı koordinat sistemində komponentləri olan vektor (A, B)
tənliklə verilən xəttə perpendikulyardır
Ah + Wu + C = 0.
Misal. Nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini tapın A(1, 2) vektora perpendikulyar (3, -1).
Qərar. A \u003d 3 və B \u003d -1-də düz xəttin tənliyini tərtib edək: 3x - y + C \u003d 0. C əmsalını tapmaq üçün
alınan ifadədə verilmiş A nöqtəsinin koordinatlarını əvəz edirik: 3 - 2 + C = 0, buna görə də alırıq.
C = -1. Cəmi: istədiyiniz tənlik: 3x - y - 1 \u003d 0.
İki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi.
Kosmosda iki nöqtə verilsin M 1 (x 1 , y 1 , z 1) və M2 (x 2, y 2, z 2), sonra düz xətt tənliyi,
bu nöqtələrdən keçərək:
Məxrəclərdən hər hansı biri sıfıra bərabərdirsə, müvafiq pay sıfıra bərabər təyin edilməlidir. Üstündə
müstəvidə yuxarıda yazılmış düz xəttin tənliyi sadələşdirilmişdir:
əgər x 1 ≠ x 2 və x = x 1, əgər x 1 = x 2 .
Fraksiya = kçağırdı yamac faktoru düz.
Misal. A(1, 2) və B(3, 4) nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyini tapın.
Qərar. Yuxarıdakı düsturdan istifadə edərək əldə edirik:
Bir nöqtə və yamac ilə düz xəttin tənliyi.
Əgər düz xəttin ümumi tənliyi Ah + Wu + C = 0 formaya gətirin:
və təyin edin 
, onda yaranan tənlik çağırılır
yamacı k olan düz xəttin tənliyi.
Bir nöqtədə düz xəttin tənliyi və istiqamətləndirici vektor.
Normal vektordan keçən düz xəttin tənliyini nəzərə alan nöqtəyə bənzətməklə, tapşırığı daxil edə bilərsiniz
nöqtədən keçən düz xətt və düz xəttin istiqamət vektoru.
Tərif. Sıfırdan fərqli hər bir vektor (α 1 , α 2), onun komponentləri şərti ödəyir
Aα 1 + Bα 2 = 0çağırdı düz xəttin istiqamət vektoru.
Ah + Wu + C = 0.
Misal. İstiqamət vektoru (1, -1) olan və A(1, 2) nöqtəsindən keçən düz xəttin tənliyini tapın.
Qərar. İstədiyiniz düz xəttin tənliyini aşağıdakı formada axtaracağıq: Ax + By + C = 0. Tərifə görə,
əmsallar şərtlərə cavab verməlidir:
1 * A + (-1) * B = 0, yəni. A = B.
Onda düz xəttin tənliyi formaya malikdir: Ax + Ay + C = 0, və ya x + y + C / A = 0.
saat x=1, y=2 alırıq C/ A = -3, yəni. İstənilən tənlik:
x + y - 3 = 0
Seqmentlərdə düz xəttin tənliyi.
Əgər düz xəttin ümumi tənliyində Ah + Wu + C = 0 C≠0 olarsa, onda -C-yə bölünsək, alırıq:
və ya , harada
Əmsalların həndəsi mənası ondan ibarətdir ki, a əmsalı kəsişmə nöqtəsinin koordinatıdır
ox ilə düz Oh, a b- xəttin oxla kəsişmə nöqtəsinin koordinatı OU.
Misal. Düz xəttin ümumi tənliyi verilmişdir x - y + 1 = 0. Bu düz xəttin seqmentlərdə tənliyini tapın.
C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.
Düz xəttin normal tənliyi.
Tənliyin hər iki tərəfi varsa Ah + Wu + C = 0ədədə bölün 
, adlanır
normallaşdıran amildir, onda alırıq
xcosφ + ysinφ - p = 0 -düz xəttin normal tənliyi.
Normallaşdırıcı əmsalın ± işarəsi elə seçilməlidir ki μ * C< 0.
R- başlanğıcdan xəttə düşən perpendikulyarın uzunluğu,
a φ - bu perpendikulyarın oxun müsbət istiqaməti ilə yaratdığı bucaq Oh.
Misal. Düz xəttin ümumi tənliyi verilmişdir 12x - 5y - 65 = 0. Yazmaq tələb olunur Müxtəlif növlər tənliklər
bu düz xətt.
Bu düz xəttin seqmentlərdə tənliyi:
Bu xəttin yamacla tənliyi: (5-ə bölün)
Düz xəttin tənliyi:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.
Qeyd etmək lazımdır ki, hər düz xətt seqmentlərdə tənlik ilə təmsil oluna bilməz, məsələn, düz xətlər,
oxlara paralel və ya başlanğıcdan keçən.
Təyyarədə xətlər arasındakı bucaq.
Tərif. Əgər iki sətir verilirsə y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, sonra kəskin künc bu xətlər arasında
kimi müəyyən ediləcək
Əgər iki xətt paraleldirsə k 1 = k 2. İki xətt perpendikulyardır
əgər k 1 \u003d -1 / k 2 .
teorem.
Birbaşa Ah + Wu + C = 0 və A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0əmsallar mütənasib olduqda paralel olur
A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Əgər də С 1 \u003d λС, sonra xətlər üst-üstə düşür. İki xəttin kəsişmə nöqtəsinin koordinatları
bu xətlərin tənliklər sisteminin həlli kimi tapılır.
Verilmiş nöqtədən keçən xəttin tənliyi verilmiş xəttə perpendikulyardır.
Tərif. Bir nöqtədən keçən xətt M 1 (x 1, y 1) və xəttə perpendikulyar y = kx + b
tənlik ilə təmsil olunur:
Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə.
teorem. Bir xal verilirsə M(x 0, y 0), sonra xəttə qədər olan məsafə Ah + Wu + C = 0 kimi müəyyən edilir:
Sübut. Qoy nöqtə olsun M 1 (x 1, y 1)- nöqtədən düşmüş perpendikulyarın əsası M verilmiş üçün
birbaşa. Sonra nöqtələr arasındakı məsafə M və M 1:
(1)
Koordinatlar x 1 və 1 tənliklər sisteminin həlli kimi tapıla bilər:
Sistemin ikinci tənliyi verilmiş M 0 nöqtəsindən perpendikulyar keçən düz xəttin tənliyidir.
verilmiş xətt. Sistemin birinci tənliyini formaya çevirsək:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
sonra həll edərək əldə edirik:
Bu ifadələri (1) tənliyində əvəz edərək tapırıq:
Teorem sübut edilmişdir.
Düz xətt M 1 (x 1; y 1) və M 2 (x 2; y 2) nöqtələrindən keçsin. M 1 nöqtəsindən keçən düz xəttin tənliyi y- y 1 \u003d formasına malikdir. k (x - x 1), (10.6)
harada k - hələ məlum olmayan əmsal.
Düz xətt M 2 (x 2 y 2) nöqtəsindən keçdiyi üçün bu nöqtənin koordinatları (10.6) tənliyinə cavab verməlidir: y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).
Buradan tapılan dəyərin dəyişdirilməsini tapırıq k
(10.6) tənliyinə daxil olaraq, M 1 və M 2 nöqtələrindən keçən düz xəttin tənliyini alırıq: 
Güman edilir ki, bu tənlikdə x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Əgər x 1 \u003d x 2 olarsa, M 1 (x 1, y I) və M 2 (x 2, y 2) nöqtələrindən keçən düz xətt y oxuna paraleldir. Onun tənliyi x = x 1 .
Əgər y 2 \u003d y I, onda düz xəttin tənliyi y \u003d y 1 kimi yazıla bilər, M 1 M 2 düz xətti x oxuna paraleldir.
Seqmentlərdə düz xəttin tənliyi
Düz xətt Ox oxunu M 1 (a; 0) nöqtəsində, Oy oxu isə M 2 (0; b) nöqtəsində kəssin. Tənlik aşağıdakı formanı alacaq: 
olanlar. 
. Bu tənlik adlanır seqmentlərdə düz xəttin tənliyi, çünki a və b rəqəmləri koordinat oxlarında düz xəttin hansı seqmentləri kəsdiyini göstərir.
Verilmiş vektora perpendikulyar verilmiş nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi
Verilmiş sıfırdan fərqli n = (A; B) vektoruna perpendikulyar Mo (x O; y o) nöqtəsindən keçən düz xəttin tənliyini tapaq.
Düz xəttin ixtiyari M(x; y) nöqtəsini götürün və M 0 M (x - x 0; y - y o) vektorunu nəzərdən keçirin (şək. 1-ə baxın). n və M o M vektorları perpendikulyar olduğundan, onların skalyar hasili sıfıra bərabərdir: yəni,
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
(10.8) tənliyi çağırılır verilmiş vektora perpendikulyar verilmiş nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi .
Xəttə perpendikulyar olan n = (A; B) vektoru normal adlanır bu xəttin normal vektoru .
(10.8) tənliyi kimi yenidən yazıla bilər Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
burada A və B normal vektorun koordinatlarıdır, C \u003d -Ax o - Vu o - pulsuz üzv. Tənlik (10.9) düz xəttin ümumi tənliyidir(Şəkil 2-ə baxın).
Şəkil 1 Şəkil 2
Düz xəttin kanonik tənlikləri
,
Harada 
xəttin keçdiyi nöqtənin koordinatlarıdır və 
- istiqamət vektoru.
İkinci dərəcəli Dairənin əyriləri
Dairə müstəvidə mərkəz adlanan verilmiş nöqtədən bərabər məsafədə olan bütün nöqtələrin çoxluğudur.
Radiuslu çevrənin kanonik tənliyi
R nöqtə üzərində mərkəzləşmişdir 
:
Xüsusilə, payın mərkəzi mənşəyi ilə üst-üstə düşürsə, tənlik belə görünəcəkdir: 
Ellips
Ellips müstəvidəki nöqtələr toplusudur, onların hər birindən verilmiş iki nöqtəyə qədər olan məsafələrin cəmidir.
və 
fokuslar adlanan , sabit qiymətdir 
, fokuslar arasındakı məsafədən böyükdür 
.
Fokusları Ox oxunda olan və mənşəyi fokuslar arasında ortada olan ellipsin kanonik tənliyi formaya malikdir. 
G 
de a əsas yarımoxun uzunluğu; b kiçik yarımoxun uzunluğudur (şək. 2).
