prvočíslo je prirodzené (kladné celé číslo) číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné iba dvoma prirodzenými číslami: sebou samým a samo sebou. Inými slovami, prvočíslo má práve dvoch prirodzených deliteľov: a samotné číslo.
Podľa definície je množina všetkých deliteľov prvočísla dvojprvková, t.j. je súprava.
Množina všetkých prvočísel je označená symbolom . Na základe definície množiny prvočísel teda môžeme písať: .
Postupnosť prvočísel vyzerá takto:
Základná veta aritmetiky
Základná veta aritmetiky uvádza, že každé prirodzené číslo väčšie ako jedna môže byť reprezentované ako súčin prvočísel a jediná cesta až po poradie faktorov. teda základné čísla sú elementárne stavebné bloky» množiny prirodzených čísel.
Rozklad prirodzeného čísla title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;"> в произведение простых чисел называют !} kanonický:
kde je prvočíslo a . Napríklad kanonický rozvoj prirodzeného čísla vyzerá takto: .
Reprezentácia prirodzeného čísla ako súčinu prvočísel sa tiež nazýva rozklad čísel.
Vlastnosti prvočísel
Eratosthenove sito
Jedným z najznámejších algoritmov na vyhľadávanie a rozpoznávanie prvočísel je sito Eratosthenes. Tento algoritmus bol teda pomenovaný po gréckom matematikovi Eratosthenesovi z Kyrény, ktorý je považovaný za autora algoritmu.
Ak chcete nájsť všetky prvočísla menšie ako dané číslo, podľa metódy Eratosthenes musíte postupovať podľa týchto krokov:
Krok 1. Vypíšte všetko celé čísla od dvoch do t.j. .
Krok 2 Priraďte premennej hodnotu, teda hodnotu rovnajúcu sa najmenšiemu prvočíslu.
Krok 3 Vymažte zo zoznamu všetky čísla od do násobkov , teda čísla: .
Krok 4 Nájdite prvé nezačiarknuté číslo v zozname väčšie ako a priraďte hodnotu tohto čísla do premennej.
Krok 5 Opakujte kroky 3 a 4, kým nedosiahnete požadované číslo.
Proces aplikácie algoritmu bude vyzerať takto:
Všetky zostávajúce nezačiarknuté čísla v zozname na konci procesu aplikácie algoritmu budú množinou prvočísel od do .
Goldbachova hypotéza
Obal knihy „Strýko Petros a Goldbachova domnienka“
Napriek tomu, že prvočísla matematici skúmali už dlho, dnes mnohé súvisiace problémy zostávajú nevyriešené. Jedným z najznámejších nevyriešených problémov je Goldbachova domnienka, ktorý je formulovaný takto:
- Je pravda, že každé párne číslo väčšie ako dva možno znázorniť ako súčet dvoch prvočísel (Goldbachova binárna domnienka)?
- Je pravda, že každé nepárne číslo väčšie ako 5 môže byť vyjadrené ako súčet tri jednoduchéčísla (ternárny Goldbachov dohad)?
Treba povedať, že ternárna Goldbachova hypotéza je špeciálnym prípadom binárnej Goldbachovej hypotézy, alebo, ako hovoria matematici, ternárna Goldbachova hypotéza je slabšia ako binárna Goldbachova hypotéza.
Goldbachova domnienka sa stala široko známou mimo matematickej komunity v roku 2000 vďaka reklamnému marketingovému triku vydavateľských spoločností Bloomsbury USA (USA) a Faber and Faber (UK). Tieto vydavateľstvá, ktoré vydali knihu „Strýko Petros a Goldbachova domnienka“ („Dohad strýka Petrosa a Goldbacha“), sľúbili zaplatiť cenu 1 milión amerických dolárov do 2 rokov od dátumu vydania knihy tomu, kto dokazuje Goldbachov dohad. Niekedy sa spomínaná cena od vydavateľov zamieňa s cenami za vyriešenie problémov s cenou milénia. Nenechajte sa pomýliť, Goldbachova hypotéza nie je Clayovým inštitútom uvedená ako výzva milénia, hoci úzko súvisí s Riemannova hypotéza jedna z výziev tisícročia.
Kniha „Jednoduché čísla. Dlhá cesta do nekonečna
Obal knihy „Svet matematiky. Jednoduché čísla. Dlhá cesta do nekonečna
Okrem toho odporúčam prečítať si fascinujúcu populárno-náučnú knihu, ktorej anotácia hovorí: „Hľadanie prvočísel je jedným z najparadoxnejších problémov v matematike. Vedci sa to pokúšajú vyriešiť už niekoľko tisícročí, no po získaní nových verzií a hypotéz zostáva táto záhada stále nevyriešená. Vzhľad prvočísel nepodlieha žiadnemu systému: vznikajú spontánne v sérii prirodzených čísel, ignorujúc všetky pokusy matematikov identifikovať vzory v ich postupnosti. Táto kniha umožní čitateľovi sledovať vývoj vedeckých myšlienok od staroveku až po súčasnosť a predstaví najkurióznejšie teórie hľadania prvočísel.
Okrem toho odcitujem začiatok druhej kapitoly tejto knihy: „Prvočísla sú jednou z dôležitých tém, ktoré nás vracajú k úplným počiatkom matematiky, a potom nás cestou zvyšujúcej sa zložitosti privádzajú k sekaniu okraj matematiky. moderná veda. Bolo by teda veľmi užitočné vysledovať fascinujúcu a zložitú históriu teórie prvočísel: ako presne sa vyvíjala, ako presne sa zbierali fakty a pravdy, ktoré sa dnes považujú za všeobecne akceptované. V tejto kapitole uvidíme, ako generácie matematikov starostlivo študovali prirodzené čísla pri hľadaní pravidla, ktoré predpovedá výskyt prvočísel, pravidla, ktoré sa v priebehu hľadania stávalo čoraz viac nepolapiteľné. Bližšie sa pozrieme aj na historické súvislosti: v akých podmienkach matematici pracovali a do akej miery sa ich práca týkala mystických a polonáboženských praktík, ktoré sa vôbec nepodobajú vedeckým metódam používaným v našej dobe. Napriek tomu sa pomaly a ťažko pripravovala pôda pre nové názory, ktoré inšpirovali Fermata a Eulera v 17. a 18. storočí.“
Prvočísla sú jedným z najzaujímavejších matematických javov, ktorý už viac ako dve tisícročia púta pozornosť vedcov aj bežných občanov. Napriek tomu, že dnes žijeme v dobe počítačov a najmodernejších informačných programov, mnohé záhady prvočísel ešte nie sú vyriešené, dokonca sú aj také, ku ktorým vedci nevedia, ako sa priblížiť.
Prvočísla sú, ako je známe z kurzu elementárnej aritmetiky, tie, ktoré sú bezo zvyšku deliteľné iba jedným a sebou samým. Mimochodom, ak je prirodzené číslo deliteľné okrem vyššie uvedených aj iným číslom, potom sa nazýva zložené. Jedna z najznámejších teorém hovorí, že akékoľvek zložené číslo môže byť reprezentované ako jediný možný súčin prvočísel.
Pár zaujímavých faktov. Po prvé, jednotka je jedinečná v tom zmysle, že v skutočnosti nepatrí ani do prvočísel, ani do zložených čísel. Zároveň je vo vedeckej komunite stále zvykom priraďovať ho k prvej skupine, keďže formálne plne spĺňa jej požiadavky.
Po druhé, jediné párne číslo, ktoré sa vkradlo do skupiny „prvočísel“, je, samozrejme, dvojka. Iné párne číslo sa sem jednoducho nedostane, keďže podľa definície je okrem seba a jednotky deliteľné aj dvomi.
Prvočísla, ktorých zoznam, ako už bolo spomenuté vyššie, môže začínať jednotkou, sú nekonečným radom, rovnako nekonečným ako rad prirodzených čísel. Na základe základnej vety aritmetiky možno dospieť k záveru, že prvočísla nie sú nikdy prerušené a nikdy nekončia, pretože inak by bol rad prirodzených čísel nevyhnutne prerušený.
Prvočísla sa v prirodzenom rade nevyskytujú náhodne, ako by sa na prvý pohľad mohlo zdať. Po ich dôkladnej analýze si môžete okamžite všimnúť niekoľko funkcií, z ktorých najkurióznejšie sú spojené s takzvanými „dvojitými“ číslami. Nazývajú sa tak preto, že nejakým nepochopiteľným spôsobom skončili vedľa seba, oddelené len párnym oddeľovačom (päť a sedem, sedemnásť a devätnásť).
Ak sa na ne pozriete pozorne, všimnete si, že súčet týchto čísel je vždy násobkom troch. Navyše, pri delení trojkou ľavého kolegu zostáva zvyšok vždy dva a ten pravý - jeden. Okrem toho sa dá predpovedať samotná distribúcia týchto čísel pozdĺž prirodzeného radu, ak je celý tento rad reprezentovaný vo forme oscilačných sínusoidov, ktorých hlavné body sa tvoria, keď sú čísla delené tromi a dvoma.
Prvočísla nie sú len predmetom podrobného skúmania matematikov na celom svete, ale už dlho sa úspešne používajú pri zostavovaní rôznych radov čísel, čo je základ, a to aj pre šifrovanie. Zároveň treba uznať, že obrovské množstvo záhad spojených s týmito nádhernými prvkami ešte len čaká na vyriešenie, mnohé otázky majú nielen filozofický, ale aj praktický význam.
Všetky prirodzené čísla, okrem jedného, sa delia na prvočísla a zložené. Prvočíslo je prirodzené číslo, ktoré má iba dvoch deliteľov: jedného a samého seba.. Všetky ostatné sa nazývajú kompozitné. Štúdiom vlastností prvočísel sa zaoberá špeciálny oddiel matematiky – teória čísel. V teórii prstencov prvočísla súvisia s neredukovateľnými prvkami.
Tu je postupnosť prvočísel od 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ... atď.
Podľa základnej vety aritmetiky môže byť každé prirodzené číslo väčšie ako jedna reprezentované ako súčin prvočísel. Toto je však jediný spôsob, ako reprezentovať prirodzené čísla až do poradia faktorov. Na základe toho môžeme povedať, že prvočísla sú elementárne časti prirodzených čísel.
Takéto zobrazenie prirodzeného čísla sa nazýva rozklad prirodzeného čísla na prvočísla alebo rozklad čísla na rozklad.
Jeden z najstarších a efektívnymi spôsobmi počítanie prvočísel je „Erastothenovým sitom“.
Prax ukázala, že po výpočte prvočísel pomocou sita Erastofen je potrebné skontrolovať, či je dané číslo prvočíslo. Za týmto účelom vyvinuté špeciálne testy, takzvané testy primality. Algoritmus týchto testov je pravdepodobnostný. Najčastejšie sa používajú v kryptografii.
Mimochodom, pre niektoré triedy čísel existujú špecializované účinné testy prvočíselnosti. Napríklad na testovanie jednoduchosti Mersennových čísel sa používa Lucas-Lehmerov test a na testovanie jednoduchosti Fermatových čísel sa používa Pepinov test.
Všetci vieme, že čísel je nekonečne veľa. Oprávnene vyvstáva otázka: koľko je teda prvočísel? Existuje tiež nekonečné množstvo prvočísel. Najstarším dôkazom tohto rozsudku je dôkaz Euklida, ktorý je uvedený v Živloch. Euklidov dôkaz je nasledujúci:
Predstavte si, že počet prvočísel je konečný. Vynásobme ich a jednu pripočítame. Výsledné číslo nemožno deliť žiadnym z konečnej množiny prvočísel, pretože zvyšok po delení ktorýmkoľvek z nich dáva jednotku. Číslo teda musí byť deliteľné nejakým prvočíslom, ktoré nie je zahrnuté v tejto množine.
Veta o rozdelení prvočísel uvádza, že počet prvočísel menších ako n, označovaných π(n), rastie ako n / ln(n).
Počas tisícok rokov štúdia prvočísel sa zistilo, že najväčšie známe prvočíslo je 243112609 − 1. Toto číslo má 12 978 189 desatinných číslic a je to Mersennovo prvočíslo (M43112609). Tento objav bol urobený 23. augusta 2008 na matematickom oddelení univerzity uCLA ako súčasť distribuovaného hľadania Mersennových prvočísel pomocou GIMPS.
Domov charakteristický znak Mersennove čísla sú prítomnosťou vysoko účinného Luc-Lehmerovho testu primality. Mersennove prvočísla sú tak po dlhú dobu najväčšími známymi prvočíslami.
Na mnohé otázky o prvočíslach však dodnes nedostali presné odpovede. Edmund Landau na 5. medzinárodnom matematickom kongrese sformuloval hlavné problémy v oblasti prvočísel:
Goldbachov problém, alebo Landauov prvý problém, je dokázať alebo vyvrátiť, že každé párne číslo väčšie ako dva môže byť vyjadrené ako súčet dvoch prvočísel a každé nepárne číslo väčšie ako 5 môže byť vyjadrené ako súčet troch prvočísel.
Druhý Landauov problém si vyžaduje nájsť odpoveď na otázku: existuje nekonečná množina „jednoduchých dvojčiat“ – prvočísel, medzi ktorými je rozdiel rovný 2?
Legendreho dohad alebo Landauov tretí problém znie: je pravda, že medzi n2 a (n + 1)2 je vždy prvočíslo?
Štvrtý Landauov problém: Je množina prvočísel v tvare n2 + 1 nekonečná?
Okrem vyššie uvedených problémov existuje problém určenia nekonečného počtu prvočísel v mnohých celočíselných postupnostiach, ako je Fibonacciho číslo, Fermatovo číslo atď.
Zoznam deliteľov. Podľa definície číslo n je prvočíslo iba vtedy, ak nie je rovnomerne deliteľné 2 a akýmikoľvek celými číslami okrem 1 a sebou samým. Vyššie uvedený vzorec odstraňuje zbytočné kroky a šetrí čas: napríklad po kontrole, či je číslo deliteľné 3, nie je potrebné kontrolovať, či je deliteľné 9.
- Funkcia floor(x) zaokrúhli x na najbližšie celé číslo menšie alebo rovné x.
Získajte informácie o modulárnej aritmetike. Operácia "x mod y" (mod je skratka pre latinské slovo "modulo", čo znamená "modul") znamená "rozdeliť x y a nájsť zvyšok". Inými slovami, v modulárnej aritmetike, po dosiahnutí určité množstvo, ktorá sa volá modul, čísla sa "otočia" späť na nulu. Napríklad hodiny merajú čas v module 12: ukazujú 10, 11 a 12 hodín a potom sa vrátia na 1.
- Mnoho kalkulačiek má mod kľúč. Koniec tejto časti ukazuje, ako manuálne vypočítať túto funkciu pre veľké čísla.
Prečítajte si o úskaliach Fermatovej Malej vety. Všetky čísla, pre ktoré nie sú splnené podmienky testu, sú zložené, ale zostávajúce čísla sú len pravdepodobne sa považujú za jednoduché. Ak sa chcete vyhnúť nesprávnym výsledkom, hľadajte n v zozname „Carmichaelových čísel“ (zložené čísla, ktoré vyhovujú tomuto testu) a „pseudoprvočísla Fermat“ (tieto čísla spĺňajú podmienky testu len pre niektoré hodnoty a).
Ak je to vhodné, použite Miller-Rabinov test. Hoci túto metódu dosť ťažkopádne na manuálne výpočty, často sa používa v počítačové programy. Poskytuje prijateľnú rýchlosť a dáva menej chýb ako Fermatova metóda. Zložené číslo sa nebude považovať za jednoduché, ak sa výpočty vykonajú pre viac ako ¼ hodnôt a. Ak si náhodne vyberiete rôzne významy a a pre všetkých z nich test dá pozitívny výsledok, možno s vysokou mierou istoty predpokladať, že n je prvočíslo.
Pre veľké čísla použite modulárnu aritmetiku. Ak nemáte po ruke kalkulačku s funkciou mod alebo kalkulačka nie je určená na operácie s veľké čísla, použite výkonové vlastnosti a modulárnu aritmetiku na uľahčenie výpočtov. Nižšie je uvedený príklad pre 3 50 (\displaystyle 3^(50)) mod 50:
- Prepíšte výraz do vhodnejšej podoby: mod 50. Pri manuálnom výpočte môžu byť potrebné ďalšie zjednodušenia.
- (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Tu sme brali do úvahy vlastnosť modulárneho násobenia.
- 3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
- (3 25 (\displaystyle (3^(25)) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
- = 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
- = 49 (\displaystyle=49).
Prvočíslo je prirodzené číslo, ktoré je deliteľné iba samo sebou a jednotkou.
Zvyšné čísla sa nazývajú zložené.
Jednoduché prirodzené čísla
Ale nie všetky prirodzené čísla sú prvočísla.
Jednoduché prirodzené čísla sú len tie, ktoré sú deliteľné len sebou samým a jedným.
Príklady prvočísel:
2; 3; 5; 7; 11; 13;...
Jednoduché celé čísla
Z toho vyplýva, že prvočísla sú len prirodzené čísla.
To znamená, že prvočísla sú nevyhnutne prirodzené.
Ale všetky prirodzené čísla sú tiež celé čísla.
Všetky prvočísla sú teda celé čísla.
Príklady prvočísel:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...
Dokonca prvočísla
Existuje len jedno párne prvočíslo, a to dve.
Všetky ostatné prvočísla sú nepárne.
Prečo párne číslo väčšie ako dva nemôže byť prvočíslo?
Ale pretože každé párne číslo väčšie ako dva bude deliteľné samo o sebe, nie jedným, ale dvoma, teda také číslo bude mať vždy troch deliteľov a možno aj viac.
