Otvárame zátvorky správneho výrazu. Ako otvárať zátvorky vo výrazoch a rovniciach. Pravidlá matematiky

Hlavnou funkciou zátvoriek je zmeniť poradie akcií pri výpočte hodnôt. napríklad, v číselnom vyjadrení \(5 3+7\) sa najskôr vypočíta násobenie a potom sčítanie: \(5 3+7 =15+7=22\). Ale vo výraze \(5·(3+7)\) sa najskôr vypočíta sčítanie v zátvorkách a až potom násobenie: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Príklad. Rozbaľte zátvorku: \(-(4m+3)\).
rozhodnutie : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Príklad. Rozbaľte zátvorku a zadajte podobné výrazy \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
rozhodnutie : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Príklad. Rozbaľte zátvorky \(5(3-x)\).
rozhodnutie : V zátvorke máme \(3\) a \(-x\) a pred zátvorkou päť. To znamená, že každý člen zátvorky sa vynásobí \ (5 \) - to vám pripomínam znak násobenia medzi číslom a zátvorkou sa v matematike nepíše, aby sa zmenšila veľkosť záznamov.

Príklad. Rozbaľte zátvorky \(-2(-3x+5)\).
rozhodnutie : Rovnako ako v predchádzajúcom príklade sú \(-3x\) a \(5\) v zátvorkách vynásobené \(-2\).

Príklad. Zjednodušte výraz: \(5(x+y)-2(x-y)\).
rozhodnutie : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Zostáva zvážiť poslednú situáciu.

Pri násobení zátvoriek zátvorkami sa každý člen prvej zátvorky vynásobí každým členom druhého:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

Príklad. Rozbaľte zátvorky \((2-x)(3x-1)\).
rozhodnutie : Máme produkt zátvoriek a je možné ho okamžite otvoriť pomocou vyššie uvedeného vzorca. Ale aby sme sa nezmýlili, urobme všetko krok za krokom.
Krok 1. Odstráňte prvú zátvorku - každý z jej členov sa vynásobí druhou zátvorkou:

Krok 2. Rozšírte produkty zátvorky o faktor, ako je popísané vyššie:
- prvý prvý...

Potom druhý.

Krok 3. Teraz vynásobíme a prinesieme podobné výrazy:

Nie je potrebné podrobne maľovať všetky premeny, môžete okamžite množiť. Ale ak sa práve učíte otvárať zátvorky - píšte podrobne, bude menšia šanca, že urobíte chybu.

Poznámka k celej sekcii. V skutočnosti si nemusíte pamätať všetky štyri pravidlá, stačí si zapamätať jedno, toto: \(c(a-b)=ca-cb\) . prečo? Pretože ak namiesto c dosadíme jednotku, dostaneme pravidlo \((a-b)=a-b\) . A ak dosadíme mínus jedna, dostaneme pravidlo \(-(a-b)=-a+b\) . No, ak nahradíte inú zátvorku namiesto c, môžete získať posledné pravidlo.

zátvorka v zátvorke

Niekedy sa v praxi vyskytujú problémy so zátvorkami vnorenými do iných zátvoriek. Tu je príklad takejto úlohy: zjednodušiť výraz \(7x+2(5-(3x+y))\).

Aby ste boli úspešní v týchto úlohách, musíte:
- pozorne porozumieť vnoreniu zátvoriek - ktorá je v ktorej;
- zátvorky otvárajte postupne, začnite napríklad najvnútornejším.

Je to dôležité pri otváraní jednej zo zátvoriek nedotýkajte sa zvyšku výrazu, len to prepíšem tak, ako je.
Zoberme si úlohu vyššie ako príklad.

Príklad. Otvorte zátvorky a zadajte podobné výrazy \(7x+2(5-(3x+y))\).
rozhodnutie:

Príklad. Rozbaľte zátvorky a zadajte podobné výrazy \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
rozhodnutie :

Otváranie zátvoriek je základná zručnosť v matematike. Bez tejto zručnosti nie je možné mať známku nad tri v 8. a 9. ročníku. Preto odporúčam dobré pochopenie tejto témy.

Zátvorky sa používajú na označenie poradia, v ktorom sa akcie vykonávajú v číselných a abecedných výrazoch, ako aj vo výrazoch s premennými. Je vhodné prejsť od výrazu so zátvorkami k výrazu identicky rovnaký výraz bez zátvoriek. Táto technika sa nazýva otvorenie zátvoriek.

Rozbaliť zátvorky znamená zbaviť výraz týchto zátvoriek.

Osobitnú pozornosť si zasluhuje ďalší bod, ktorý sa týka zvláštností riešení písania pri otváraní zátvoriek. Počiatočný výraz so zátvorkami a výsledok získaný po otvorení zátvoriek môžeme zapísať ako rovnosť. Napríklad po otvorení zátvoriek namiesto výrazu
3−(5−7) dostaneme výraz 3−5+7. Oba tieto výrazy môžeme zapísať ako rovnosť 3−(5−7)=3−5+7.

A ešte jeden dôležitý bod. V matematike je na redukciu zápisov zvykom nepísať znamienko plus, ak je prvé vo výraze alebo v zátvorkách. Napríklad, ak pridáme dve kladné čísla, napríklad sedem a tri, potom nepíšeme +7 + 3, ale jednoducho 7 + 3, napriek tomu, že sedem je tiež kladné číslo. Podobne, ak vidíte napríklad výraz (5 + x) - vedzte, že pred zátvorkou je plus, ktoré sa nepíše, a pred zátvorkou je plus + (+5 + x) päť.

Pravidlo rozšírenia zátvoriek na pridanie

Pri otváraní zátvoriek, ak je pred zátvorkami plus, potom sa toto plus vynecháva spolu so zátvorkami.

Príklad. Otvorte zátvorky vo výraze 2 + (7 + 3) Pred zátvorkami plus sa potom znaky pred číslami v zátvorkách nemenia.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Pravidlo pre rozširovanie zátvoriek pri odčítaní

Ak je pred zátvorkami mínus, potom sa toto mínus vynechá spolu so zátvorkami, ale výrazy, ktoré boli v zátvorkách, zmenia svoje znamienko na opačné. Neprítomnosť znamienka pred prvým výrazom v zátvorke znamená znamienko +.

Príklad. Otvorené zátvorky vo výraze 2 − (7 + 3)

Pred zátvorkami je mínus, takže musíte zmeniť znamienka pred číslami zo zátvoriek. Pred číslom 7 nie je v zátvorke žiadne znamienko, čo znamená, že sedmička je kladná, predpokladá sa, že znamienko + je pred ňou.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Pri otváraní zátvoriek odstránime z príkladu mínus, ktorý bol pred zátvorkami, a samotné zátvorky 2 − (+ 7 + 3) a zmeníme znamienka, ktoré boli v zátvorkách, na opačné.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Rozširujúce zátvorky pri násobení

Ak je pred zátvorkami znak násobenia, potom sa každé číslo v zátvorkách vynásobí koeficientom pred zátvorkami. Zároveň vynásobením mínus mínusom získate plus a vynásobením mínus plusom, ako keď vynásobíte plus mínusom, mínus.

Zátvorky v produktoch sa teda rozširujú v súlade s distribučnou vlastnosťou násobenia.

Príklad. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Pri násobení zátvorky zátvorkou sa každý člen prvej zátvorky násobí každým členom druhej zátvorky.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

V skutočnosti si netreba pamätať všetky pravidlá, stačí si zapamätať len jedno, toto: c(a−b)=ca−cb. prečo? Pretože ak namiesto c dosadíme jednotku, dostaneme pravidlo (a−b)=a−b. A ak dosadíme mínus jedna, dostaneme pravidlo −(a−b)=−a+b. No, ak nahradíte inú zátvorku namiesto c, môžete získať posledné pravidlo.

Pri delení rozbaľte zátvorky

Ak je za zátvorkou znamienko delenia, tak každé číslo v zátvorke je deliteľné deliteľom za zátvorkou a naopak.

Príklad. (9 + 6) : 3 = 9 : 3 + 6 : 3

Ako rozšíriť vnorené zátvorky

Ak výraz obsahuje vnorené zátvorky, potom sa rozbalia v poradí, počnúc externými alebo internými.

Zároveň pri otváraní jednej zo zátvoriek je dôležité nedotýkať sa ostatných zátvoriek, len ich prepísať tak, ako sú.

Príklad. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

V tomto článku sa bližšie pozrieme na základné pravidlá takýchto dôležitá téma kurz matematiky, ako otvorenie zátvoriek. Aby ste správne vyriešili rovnice, v ktorých sa používajú, musíte poznať pravidlá pre rozširovanie zátvoriek.

Ako správne otvárať zátvorky pri pridávaní

Rozbaľte zátvorky, pred ktorými je znak „+“.

Toto je najjednoduchší prípad, pretože ak je pred zátvorkami znak sčítania, pri otvorení zátvoriek sa znaky v nich nezmenia. Príklad:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Ako otvoriť zátvorky, pred ktorými je znak "-".

V tomto prípade musíte prepísať všetky výrazy bez zátvoriek, ale zároveň zmeniť všetky znamienka v nich na opačné. Značky sa menia iba pre výrazy z tých zátvoriek, pred ktorými bol znak „-“. Príklad:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Ako otvárať zátvorky pri násobení

Pred zátvorkami je uvedený násobiteľ

V tomto prípade musíte vynásobiť každý výraz koeficientom a otvoriť zátvorky bez zmeny znamienka. Ak má násobiteľ znamienko „-“, pri násobení sa znamienka pojmov obrátia. Príklad:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Ako otvoriť dve zátvorky so znamienkom násobenia medzi nimi

V tomto prípade musíte vynásobiť každý výraz z prvých zátvoriek každým výrazom z druhých zátvoriek a potom pridať výsledky. Príklad:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Ako otvoriť zátvorky v štvorci

Ak je súčet alebo rozdiel dvoch členov umocnený na druhú, zátvorky by sa mali rozšíriť podľa nasledujúceho vzorca:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

V prípade mínus v zátvorkách sa vzorec nemení. Príklad:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Ako otvárať zátvorky v inej miere

Ak sa súčet alebo rozdiel výrazov zvýši napríklad na 3. alebo 4. mocninu, potom stačí rozdeliť stupeň zátvorky na „štvorce“. Sčítajú sa mocniny rovnakých faktorov a pri delení sa od stupňa deliteľa odpočítava stupeň deliteľa. Príklad:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Ako otvoriť 3 zátvorky

Existujú rovnice, v ktorých sú 3 zátvorky vynásobené naraz. V tomto prípade musíte najskôr vynásobiť členy prvých dvoch zátvoriek medzi sebou a potom vynásobiť súčet tohto násobenia členmi tretej zátvorky. Príklad:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Tieto pravidlá otvárania zátvoriek platia rovnako pre lineárne aj trigonometrické rovnice.

V tejto lekcii sa naučíte, ako transformovať výraz, ktorý obsahuje zátvorky, na výraz, ktorý zátvorky neobsahuje. Naučíte sa otvárať zátvorky, pred ktorými je znamienko plus a znamienko mínus. Spomenieme si, ako otvárať zátvorky pomocou distributívneho zákona násobenia. Uvažované príklady umožnia prepojenie nového a predtým študovaného materiálu do jedného celku.

Téma: Riešenie rovnice

Lekcia: Rozšírenie zátvoriek

Ako otvoriť zátvorky, pred ktorými je znak „+“. Použitie asociatívneho zákona sčítania.

Ak potrebujete k číslu pridať súčet dvoch čísel, môžete k tomuto číslu pridať prvý výraz a potom druhý.

Naľavo od znamienka rovnosti je výraz so zátvorkami a napravo výraz bez zátvoriek. To znamená, že pri prechode z ľavej strany rovnosti na pravú stranu došlo k otvoreniu zátvoriek.

Zvážte príklady.

Príklad 1

Rozšírením zátvoriek sme zmenili poradie operácií. Počítanie sa stalo pohodlnejším.

Príklad 2

Príklad 3

Všimnite si, že vo všetkých troch príkladoch sme jednoducho odstránili zátvorky. Formulujme pravidlo:

Komentujte.

Ak je prvý výraz v zátvorkách bez znamienka, musí byť napísaný so znamienkom plus.

Môžete postupovať podľa príkladu krok za krokom. Najprv pridajte 445 k 889. Túto mentálnu akciu je možné vykonať, ale nie je to veľmi jednoduché. Otvorme zátvorky a uvidíme, že zmenené poradie operácií výrazne zjednoduší výpočty.

Ak dodržíte uvedené poradie akcií, musíte najskôr odpočítať 345 od 512 a potom k výsledku pridať 1345. Rozbalením zátvoriek zmeníme poradie akcií a výrazne zjednodušíme výpočty.

Názorný príklad a pravidlo.

Zvážte príklad: . Hodnotu výrazu zistíte tak, že sčítate 2 a 5 a potom zoberiete výsledné číslo s opačným znamienkom. Dostávame -7.

Na druhej strane, rovnaký výsledok možno získať sčítaním opačných čísel.

Formulujme pravidlo:

Príklad 1

Príklad 2

Pravidlo sa nemení, ak v zátvorkách nie sú dva, ale tri alebo viac výrazov.

Príklad 3

Komentujte. Znamienka sú obrátené iba pred pojmami.

Aby sme otvorili zátvorky, v tomto prípade si musíme pripomenúť distributívnu vlastnosť.

Najprv vynásobte prvú zátvorku 2 a druhú 3.

Pred prvou zátvorkou je znamienko „+“, čo znamená, že znamienka musia zostať nezmenené. Pred druhým je znak „-“, preto musia byť všetky znaky obrátené

Bibliografia

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. ročník. - Gymnázium, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stránkami učebnice matematiky. - Osvietenstvo, 1989.
4. Rurukin A.N., Čajkovskij I.V. Úlohy pre kurz matematiky ročník 5-6 - ZSH MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovskij K.G. Matematika 5-6. Príručka pre žiakov 6. ročníka korešpondenčnej školy MEPhI. - ZSH MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Rozhovorová učebnica pre 5.-6 stredná škola. Knižnica učiteľa matematiky. - Osvietenstvo, 1989.

1. Online testy z matematiky ().
2. Môžete si stiahnuť tie, ktoré sú uvedené v článku 1.2. knihy ().

Domáca úloha

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika 6. - M .: Mnemosyne, 2012. (pozri odkaz 1.2)
2. Domáca úloha: č. 1254, č. 1255, č. 1256 (b, d)
3. Ďalšie úlohy: č. 1258(c), č. 1248

Rozšírenie zátvoriek je typ transformácie výrazu. V tejto časti popíšeme pravidlá pre rozširovanie zátvoriek a zvážime najbežnejšie príklady úloh.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Čo je rozšírenie zátvoriek?

Zátvorky sa používajú na označenie poradia, v ktorom sa akcie vykonávajú v číselných a abecedných výrazoch, ako aj vo výrazoch s premennými. Je vhodné prejsť z výrazu so zátvorkami na identicky rovnaký výraz bez zátvoriek. Napríklad nahraďte výraz 2 (3 + 4) výrazom ako 2 3 + 2 4 bez zátvoriek. Táto technika sa nazýva otvorenie zátvoriek.

Definícia 1

Pod otváraním zátvoriek máme na mysli metódy, ako sa zbaviť zátvoriek a zvyčajne sa zvažujú vo vzťahu k výrazom, ktoré môžu obsahovať:

• znaky "+" alebo "-" pred zátvorkami, ktoré obsahujú súčty alebo rozdiely;
• súčin čísla, písmena alebo viacerých písmen a súčet alebo rozdiel, ktorý je uvedený v zátvorkách.

Takto sme uvažovali o procese otvárania zátvoriek v rámci školských osnov. Nikto nám však nebráni pozrieť sa na túto akciu širšie. Rozširovaním zátvoriek môžeme nazvať prechod od výrazu, ktorý obsahuje záporné čísla v zátvorkách, k výrazu, ktorý zátvorky nemá. Napríklad môžeme prejsť z 5 + (− 3) − (− 7) na 5 − 3 + 7 . V skutočnosti je to tiež rozšírenie zátvoriek.

Rovnakým spôsobom môžeme súčin výrazov v zátvorkách tvaru (a + b) · (c + d) nahradiť súčtom a · c + a · d + b · c + b · d . Táto technika tiež nie je v rozpore s významom rozšírenia zátvoriek.

Tu je ďalší príklad. Môžeme predpokladať, že vo výrazoch možno namiesto čísel a premenných použiť ľubovoľné výrazy. Napríklad výraz x 2 1 a - x + sin (b) bude zodpovedať výrazu bez zátvoriek v tvare x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b) .

Osobitnú pozornosť si zaslúži ešte jeden bod, ktorý sa týka zvláštností riešení písania pri otváraní zátvoriek. Počiatočný výraz so zátvorkami a výsledok získaný po otvorení zátvoriek môžeme zapísať ako rovnosť. Napríklad po otvorení zátvoriek namiesto výrazu 3 − (5 − 7) dostaneme výraz 3 − 5 + 7 . Oba tieto výrazy môžeme zapísať ako rovnosť 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .

Vykonávanie akcií s ťažkopádnymi výrazmi môže vyžadovať zaznamenávanie medzivýsledkov. Potom bude mať riešenie podobu reťazca rovnosti. Napríklad, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 alebo 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Pravidlá otvárania zátvoriek, príklady

Začnime s pravidlami otvárania zátvoriek.

Jednotlivé čísla v zátvorkách

Vo výrazoch sa často vyskytujú záporné čísla v zátvorkách. Napríklad (− 4) a 3 + (− 4) . Uvádzajú sa aj kladné čísla v zátvorkách.

Sformulujme pravidlo pre otváranie zátvoriek, ktoré obsahujú jednotlivé kladné čísla. Predpokladajme, že a je akékoľvek kladné číslo. Potom môžeme nahradiť (a) za a, + (a) za + a, - (a) za - a. Ak namiesto a vezmeme konkrétne číslo, potom sa podľa pravidla: číslo (5) zapíše ako 5 , výraz 3 + (5) bez zátvoriek bude mať tvar 3 + 5 , keďže + (5) je nahradené + 5 a výraz 3 + (− 5) je ekvivalentný výrazu 3 − 5 , as + (− 5) sa nahrádza − 5 .

Kladné čísla sa zvyčajne píšu bez použitia zátvoriek, pretože zátvorky sú v tomto prípade nadbytočné.

Teraz zvážte pravidlo pre otváranie zátvoriek, ktoré obsahujú singel záporné číslo. + (-a) nahrádzame s − a, − (− a) sa nahrádza znakom + a . Ak výraz začína záporným číslom (-a), ktorý sa píše v zátvorkách, potom sa zátvorky vynechávajú a namiesto (-a) zvyšky − a.

Tu je niekoľko príkladov: (− 5) možno zapísať ako − 5 , (− 3) + 0 , 5 sa stáva − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) 4 − 3 , a − (− 4) − (− 3) po otvorení zátvoriek nadobúda tvar 4 + 3 , keďže − (− 4) a − (− 3) sa nahrádza + 4 a + 3 .

Malo by byť zrejmé, že výraz 3 · (− 5) nemožno napísať ako 3 · − 5. O tom sa bude diskutovať v nasledujúcich odsekoch.

Pozrime sa, na čom sú založené pravidlá rozšírenia zátvoriek.

Podľa pravidla sa rozdiel a − b rovná a + (− b) . Na základe vlastností akcií s číslami môžeme vytvoriť reťazec rovnosti (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = ačo bude spravodlivé. Tento reťazec rovnosti na základe významu odčítania dokazuje, že výraz a + (− b) je rozdiel a-b.

Na základe vlastností opačné čísla a pravidlách pre odčítanie záporných čísel môžeme konštatovať, že − (− a) = a , a − (− b) = a + b .

Existujú výrazy, ktoré sa skladajú z čísla, znamienka mínus a niekoľkých párov zátvoriek. Použitie vyššie uvedených pravidiel vám umožňuje postupne sa zbaviť zátvoriek, presúvať sa z vnútorných zátvoriek na vonkajšie alebo naopak. Príkladom takéhoto výrazu môže byť − (− ((− (5)))) . Otvorme zátvorky a presuňte sa zvnútra von: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Tento príklad možno analyzovať aj opačne: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Pod a a b možno chápať nielen ako čísla, ale aj ako ľubovoľné číselné alebo doslovné výrazy s „+“ na začiatku, ktoré nie sú súčtom alebo rozdielom. Vo všetkých týchto prípadoch môžete použiť pravidlá rovnakým spôsobom ako my s jednoduchými číslami v zátvorkách.

Napríklad po otvorení zátvoriek výraz − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) má tvar 2 x − x 2 − 1 x − 2 x y 2: z . ako sa nám to podarilo? Vieme, že − (− 2 x) je + 2 x , a keďže tento výraz je na prvom mieste, potom + 2 x môžeme zapísať ako 2 x , - (x 2) = - x 2, + (− 1 x) = − 1 x a − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

V súčinoch dvoch čísel

Začnime pravidlom pre rozšírenie zátvoriek v súčine dvoch čísel.

Predstierajme to a a b sú dve kladné čísla. V tomto prípade súčin dvoch záporných čísel − a a − b v tvare (− a) (− b) možno nahradiť písmenom (a b) a súčin dvoch čísel s opačné znamenia v tvare (− a) b a a (− b) sa nahrádzajú slovami (- a b). Vynásobením mínus mínusom dostanete plus a vynásobením mínus plusom, ako keď vynásobíte plus mínusom, dostanete mínus.

Správnosť prvej časti písomného pravidla potvrdzuje pravidlo pre násobenie záporných čísel. Na potvrdenie druhej časti pravidla môžeme použiť pravidlá pre násobenie čísel s rôzne znamenia.

Pozrime sa na pár príkladov.

Príklad 1

Zvážte algoritmus na otváranie zátvoriek v súčine dvoch záporných čísel - 4 3 5 a - 2 , v tvare (- 2) · - 4 3 5 . Aby sme to dosiahli, nahradíme pôvodný výraz 2 · 4 3 5 . Rozšírime zátvorky a získame 2 · 4 3 5 .

A ak vezmeme podiel záporných čísel (− 4) : (− 2) , tak záznam po otvorení zátvoriek bude vyzerať ako 4: 2

Namiesto záporných čísel − a a − b môže byť ľubovoľný výraz so znamienkom mínus na začiatku, ktorý nie je súčtom alebo rozdielom. Môžu to byť napríklad súčiny, časti, zlomky, stupne, odmocniny, logaritmy, goniometrické funkcie atď.

Otvorme zátvorky vo výraze - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Podľa pravidla môžeme urobiť nasledovné transformácie: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5 .

Výraz (− 3) 2 možno previesť na výraz (− 3 2) . Potom môžete otvoriť zátvorky: − 3 2.

2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5

Rozdelenie čísel s rôznymi znakmi môže tiež vyžadovať predbežné rozšírenie zátvoriek: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 a 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4 : 3, 5 = - 2 3 4 : 3, 5.

Pravidlo možno použiť na násobenie a delenie výrazov s rôznymi znakmi. Uveďme dva príklady.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

hriech (x) (- x 2) \u003d (- hriech (x) x 2) \u003d - hriech (x) x 2

V súčinoch troch alebo viacerých čísel

Prejdime k súčinu a kvocientom, ktoré obsahujú veľká kvantitačísla. Ak chcete rozšíriť zátvorky, tu bude konať ďalšie pravidlo. o párne číslo záporné čísla, môžete vynechať zátvorky a nahradiť čísla ich opakmi. Potom musíte výsledný výraz uzavrieť do nových zátvoriek. V prípade nepárneho počtu záporných čísel, vynechajte zátvorky, nahraďte čísla ich opakmi. Potom je potrebné výsledný výraz vložiť do nových zátvoriek a umiestniť pred neho znamienko mínus.

Príklad 2

Vezmime si napríklad výraz 5 · (− 3) · (− 2) , ktorý je súčinom troch čísel. Existujú dve záporné čísla, takže výraz môžeme napísať ako (5 3 2) a potom konečne otvorte zátvorky, čím získate výraz 5 3 2 .

V súčine (− 2 , 5) (− 3): (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) je päť čísel záporných. takže (− 2, 5) (− 3): (− 2) 4: (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 3: 2 4: 1, 25: 1) . Nakoniec otvorením zátvoriek dostaneme −2,5 3:2 4:1,25:1.

Vyššie uvedené pravidlo možno zdôvodniť nasledovne. Po prvé, môžeme takéto výrazy prepísať ako súčin a nahradiť ich násobením recipročné číslo divízie. Každé záporné číslo predstavujeme ako súčin násobiteľa a nahradíme -1 alebo -1 (− 1) a.

Pomocou komutatívnej vlastnosti násobenia vymeníme faktory a prenesieme všetky faktory rovné − 1 , na začiatok výrazu. Súčin párneho čísla mínus jedničky sa rovná 1 a nepárneho čísla sa rovná − 1 , čo nám umožňuje používať znamienko mínus.

Ak by sme pravidlo nepoužili, reťazec akcií na otváranie zátvoriek vo výraze - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 by vyzeral takto:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

Vyššie uvedené pravidlo možno použiť pri rozširovaní zátvoriek vo výrazoch, ktoré sú súčinmi a podielmi so znamienkom mínus, ktoré nie sú súčtom alebo rozdielom. Vezmite si napríklad výraz

x 2 (- x): (- 1 x) x - 3: 2.

Dá sa zredukovať na výraz bez zátvoriek x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 .

Otváracie zátvorky, pred ktorými je znak +

Zvážte pravidlo, ktoré možno použiť na rozšírenie zátvoriek, pred ktorými je znamienko plus a „obsah“ týchto zátvoriek nie je vynásobený ani delený žiadnym číslom alebo výrazom.

Podľa pravidla sa zátvorky spolu so znamienkom pred nimi vynechávajú, pričom znamienka všetkých pojmov v zátvorkách ostávajú zachované. Ak pred prvým výrazom v zátvorkách nie je žiadne znamienko, musíte vložiť znamienko plus.

Príklad 3

Napríklad dáme výraz (12 − 3 , 5) − 7 . Vynechaním zátvoriek ponecháme znamienka výrazov v zátvorkách a pred prvý výraz umiestnime znamienko plus. Záznam bude vyzerať takto (12 − ​​​​3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . Vo vyššie uvedenom príklade nie je potrebné uvádzať znak pred prvým výrazom, pretože + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.

Príklad 4

Uvažujme ešte o jednom príklade. Vezmite výraz x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x a vykonajte s ním akcie x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Tu je ďalší príklad rozširujúcich zátvoriek:

Príklad 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2

Ako rozbaliť zátvorky, pred ktorými je znamienko mínus

Zvážte prípady, keď je pred zátvorkami znamienko mínus a ktoré nie sú vynásobené (ani delené) žiadnym číslom alebo výrazom. Podľa pravidla pre rozširovanie zátvoriek, pred ktorými je znak „-“, sú zátvorky so znakom „-“ vynechané, zatiaľ čo znamienka všetkých výrazov v zátvorkách sú obrátené.

Príklad 6

Napríklad:

1 2 \u003d 1 2, - 1 x + 1 \u003d - 1 x + 1, - (- x 2) \u003d x 2

Premenné výrazy možno previesť pomocou rovnakého pravidla:

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

dostaneme x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2 .

Otváranie zátvoriek pri násobení čísla zátvorkou, výrazy zátvorkou

Tu zvážime prípady, keď je potrebné otvoriť zátvorky, ktoré sú vynásobené alebo delené ľubovoľným číslom alebo výrazom. Tu vzorce tvaru (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) resp. b (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ± … ± b a n), kde a 1 , a 2 , ... , a n a b sú nejaké čísla alebo výrazy.

Príklad 7

Rozviňme napríklad zátvorky vo výraze (3 − 7) 2. Podľa pravidla môžeme urobiť nasledovné transformácie: (3 − 7) 2 = (3 2 − 7 2) . Dostaneme 3 · 2 − 7 · 2 .

Rozbalením zátvoriek vo výraze 3 x 2 1 - x + 1 x + 2 dostaneme 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

Vynásobte zátvorku zátvorkou

Uvažujme súčin dvoch zátvoriek tvaru (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . To nám pomôže získať pravidlo pre rozširovanie zátvoriek pri násobení zátvorky zátvorkou.

Aby sme vyriešili vyššie uvedený príklad, označíme výraz (b 1 + b 2) ako b. To nám umožní použiť pravidlo násobenia zátvoriek a výrazov. Dostaneme (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b . Vykonaním spätnej substitúcie b na (b 1 + b 2), opäť použite pravidlo pre násobenie výrazu zátvorkou: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

Vďaka množstvu jednoduchých trikov sa dostaneme k súčtu súčinov každého z pojmov z prvej zátvorky a každého z pojmov z druhej zátvorky. Pravidlo možno rozšíriť na ľubovoľný počet výrazov v zátvorkách.

Sformulujme si pravidlá pre násobenie zátvoriek zátvorkami: na vynásobenie dvoch súčtov medzi sebou je potrebné vynásobiť každý člen prvého súčtu každým členom druhého súčtu a výsledky sčítať.

Vzorec bude vyzerať takto:

(a 1 + a 2 + ... + a m) (b 1 + b 2 + ... + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 +. . . + a 2 b n + +. . . ++ a m b 1 + a m b 1 +. . . a m b n

Rozviňme zátvorky vo výraze (1 + x) · (x 2 + x + 6) Je to súčin dvoch súčtov. Napíšme riešenie: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

Samostatne stojí za to venovať sa prípadom, keď je v zátvorkách znamienko mínus spolu so znamienkami plus. Vezmime si napríklad výraz (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Najprv predstavíme výrazy v zátvorkách ako súčty: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)). Teraz môžeme použiť pravidlo: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x y 3) + (− x) 3 x y + ( − x) (− 2 x y 3))

Rozvinieme zátvorky: 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 .

Rozšírenie zátvoriek v súčinoch viacerých zátvoriek a výrazov

Ak sú vo výraze tri alebo viac výrazov v zátvorkách, je potrebné zátvorky postupne rozširovať. Transformáciu je potrebné začať s tým, že prvé dva faktory sú uvedené v zátvorkách. Vo vnútri týchto zátvoriek môžeme vykonávať transformácie podľa vyššie uvedených pravidiel. Napríklad zátvorky vo výraze (2 + 4) 3 (5 + 7 8) .

Výraz obsahuje tri faktory naraz (2 + 4) , 3 a (5 + 78). Zátvorky budeme postupne rozširovať. Prvé dva faktory uzatvárame ešte do jednej zátvorky, ktorú pre prehľadnosť označíme červenou: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

V súlade s pravidlom násobenia zátvorky číslom môžeme vykonať nasledujúce akcie: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) .

Vynásobte zátvorku zátvorkou: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

Zátvorky v naturáliách

Mocniny, ktorých základom sú niektoré výrazy písané v zátvorkách, s prirodzené ukazovatele možno považovať za produkt niekoľkých zátvoriek. Navyše, podľa pravidiel z predchádzajúcich dvoch odsekov sa môžu písať bez týchto zátvoriek.

Zvážte proces transformácie výrazu (a + b + c) 2. Môže byť napísaný ako súčin dvoch zátvoriek (a + b + c) (a + b + c). Zátvorku vynásobíme zátvorkou a dostaneme a a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c .

Zoberme si ďalší príklad:

Príklad 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2

Delenie zátvorky číslom a zátvorky zátvorkou

Delenie zátvorky číslom znamená, že musíte vydeliť číslom všetky výrazy v zátvorkách. Napríklad (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .

Delenie môže byť predtým nahradené násobením, po ktorom môžete použiť vhodné pravidlo otváranie zátvoriek v diele. Rovnaké pravidlo platí aj pri delení zátvorky zátvorkou.

Napríklad potrebujeme otvoriť zátvorky vo výraze (x + 2): 2 3 . Ak to chcete urobiť, najskôr nahraďte delenie vynásobením prevrátenou hodnotou (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Zátvorku vynásobte číslom (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 .

Tu je ďalší príklad delenia zátvoriek:

Príklad 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

Delenie nahradíme násobením: 1 x + x + 1 1 x + 2 .

Urobme násobenie: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2 .

Poradie rozšírenia zátvoriek

Teraz zvážte poradie aplikácie pravidiel diskutovaných vyššie vo výrazoch všeobecný pohľad, t.j. vo výrazoch, ktoré obsahujú súčty s rozdielmi, súčin s podielmi, zátvorky v naturáliách.

Poradie akcií:

• prvým krokom je zdvihnutie zátvoriek na prirodzenú mocnosť;
• v druhej fáze sa otvárajú zátvorky v pracovných a súkromných;
• posledným krokom je otvorenie zátvoriek v súčtoch a rozdieloch.

Uvažujme o poradí akcií na príklade výrazu (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Transformujme z výrazov 3 (− 2) : (− 4) a 6 (− 7) , ktoré by mali mať tvar (3 2:4) a (− 6 7) . Dosadením získaných výsledkov do pôvodného výrazu dostaneme: (− 5) + 3 (− 2) : (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2: 4) − (− 6 7 ). Rozbaľte zátvorky: − 5 + 3 2: 4 + 6 7 .

Pri práci s výrazmi, ktoré obsahujú zátvorky v zátvorkách, je vhodné vykonávať transformácie zvnútra von.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter