Si todo número natural norte coincidir con un número real un , entonces dicen que dado secuencia numérica :
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , un , . . . .
Entonces, una secuencia numérica es una función de un argumento natural.
Número a 1 llamó el primer miembro de la secuencia , número a 2 — el segundo miembro de la secuencia , número a 3 — tercera y así. Número un llamó enésimo miembro de la secuencia , y el número natural norte — su número .
De dos miembros vecinos un y un +1 secuencias de miembros un +1 llamó subsecuente (hacia un ), a un — anterior (hacia un +1 ).
Para especificar una secuencia, debe especificar un método que le permita encontrar un miembro de secuencia con cualquier número.
A menudo, la secuencia se da con fórmulas de n-ésimo término , es decir, una fórmula que le permite determinar un miembro de secuencia por su número.
Por ejemplo,
una secuencia de números impares positivos puede ser dada por la fórmula
un= 2norte- 1,
y la secuencia de alternancia 1 y -1 - fórmula
b norte = (-1)norte +1 . ◄
La secuencia se puede determinar fórmula recurrente, es decir, una fórmula que expresa cualquier miembro de la secuencia, comenzando con algunos, hasta los miembros anteriores (uno o más).
Por ejemplo,
si a 1 = 1 , a un +1 = un + 5
a 1 = 1,
a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
si un un 1= 1, un 2 = 1, un +2 = un + un +1 , entonces los primeros siete miembros de la secuencia numérica se establecen de la siguiente manera:
un 1 = 1,
un 2 = 1,
un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2,
un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3,
un 5 = un 3 + un 4 = 2 + 3 = 5,
a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,
a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Las secuencias pueden ser final y sin fin .
La secuencia se llama último si tiene un número finito de miembros. La secuencia se llama sin fin si tiene infinitos miembros.
Por ejemplo,
secuencia de dos dígitos números naturales:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
final.
Secuencia de números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
sin fin. ◄
La secuencia se llama creciente , si cada uno de sus miembros, a partir del segundo, es mayor que el anterior.
La secuencia se llama menguante , si cada uno de sus miembros, a partir del segundo, es menor que el anterior.
Por ejemplo,
2, 4, 6, 8, . . . , 2norte, . . . es una secuencia ascendente;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /norte, . . . es una secuencia descendente. ◄
Una sucesión cuyos elementos no disminuyen al aumentar el número o, por el contrario, no aumentan, se llama secuencia monótona .
Las secuencias monótonas, en particular, son secuencias crecientes y secuencias decrecientes.
Progresión aritmética
Progresión aritmética se llama una sucesión, cada miembro de la cual, a partir del segundo, es igual al anterior, al que se suma el mismo número.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , un, . . .
es una progresión aritmética si para cualquier número natural norte se cumple la condición:
un +1 = un + d,
dónde d - algún número.
Por lo tanto, la diferencia entre el miembro siguiente y el anterior de una progresión aritmética dada es siempre constante:
un 2 - a 1 = un 3 - a 2 = . . . = un +1 - un = d.
Número d llamó la diferencia de una progresión aritmética.
Para establecer una progresión aritmética, basta con especificar su primer término y diferencia.
Por ejemplo,
si a 1 = 3, d = 4 , entonces los primeros cinco términos de la secuencia se encuentran de la siguiente manera:
un 1 =3,
un 2 = un 1 + d = 3 + 4 = 7,
un 3 = un 2 + d= 7 + 4 = 11,
un 4 = un 3 + d= 11 + 4 = 15,
a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
Para una progresión aritmética con el primer término a 1 y diferencia d su norte
un = un 1 + (norte- 1)d.
Por ejemplo,
hallar el trigésimo término de una progresión aritmética
1, 4, 7, 10, . . .
un 1 =1, d = 3,
un 30 = un 1 + (30 - 1)re= 1 + 29· 3 = 88. ◄
un n-1 = un 1 + (norte- 2)d,
un= un 1 + (norte- 1)d,
un +1 = a 1 + Dakota del Norte,
entonces obviamente
| un=
| un n-1 + un n+1
|
| 2
|
cada miembro de la progresión aritmética, a partir del segundo, es igual a la media aritmética de los miembros anterior y posterior.
los números a, b y c son miembros consecutivos de alguna progresión aritmética si y solo si uno de ellos es igual a la media aritmética de los otros dos.
Por ejemplo,
un = 2norte- 7 , es una progresión aritmética.
Usemos la afirmación anterior. Tenemos:
un = 2norte- 7,
un n-1 = 2(norte- 1) - 7 = 2norte- 9,
un n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2norte- 5.
Como consecuencia,
| un n+1 + un n-1
| =
| 2norte- 5 + 2norte- 9
| = 2norte- 7 = un,
|
| 2
| 2
|
◄
Tenga en cuenta que norte -th miembro de una progresión aritmética se puede encontrar no sólo a través de a 1 , pero también cualquier anterior un k
un = un k + (norte- k)d.
Por ejemplo,
por a 5 puede ser escrito
un 5 = un 1 + 4d,
un 5 = un 2 + 3d,
un 5 = un 3 + 2d,
un 5 = un 4 + d. ◄
un = un n-k + kd,
un = un negro + k - kd,
entonces obviamente
| un=
| a nk
+ un n+k
|
| 2
|
todo miembro de una progresión aritmética, a partir del segundo, es igual a la mitad de la suma de los miembros de esta progresión aritmética igualmente separados de él.
Además, para cualquier progresión aritmética, la igualdad es verdadera:
un metro + un norte = un k + un l,
metro + norte = k + l.
Por ejemplo,
en progresión aritmética
1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;
2) 28 = un 10 = un 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;
4) un 2 + un 12 = un 5 + un 9, porque
un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,
un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S norte= un 1 + un 2 + un 3 + . . .+ un,
primero norte miembros de una progresión aritmética es igual al producto de la mitad de la suma de los términos extremos por el número de términos:
De esto, en particular, se sigue que si es necesario sumar los términos
un k, un k +1 , . . . , un,
entonces la fórmula anterior conserva su estructura:
Por ejemplo,
en progresión aritmética 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Si se da una progresión aritmética, entonces las cantidades a 1 , un, d, norte yS norte unidas por dos fórmulas:
Por lo tanto, si Tres de estas cantidades, luego se determinan los valores correspondientes de las otras dos cantidades a partir de estas fórmulas combinadas en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Progresión aritmética es una sucesión monótona. Donde:
- si d > 0 , entonces es creciente;
- si d < 0 , entonces es decreciente;
- si d = 0 , entonces la secuencia será estacionaria.
Progresión geométrica
progresión geométrica se llama sucesión, cada término del cual, a partir del segundo, es igual al anterior, multiplicado por el mismo número.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , segundo norte, . . .
es una progresión geométrica si para cualquier número natural norte se cumple la condición:
segundo norte +1 = segundo norte · q,
dónde q ≠ 0 - algún número.
Así, la razón del siguiente término de esta progresión geométrica al anterior es un número constante:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = segundo norte +1 / segundo norte = q.
Número q llamó denominador de una progresión geométrica.
Para establecer una progresión geométrica, basta con especificar su primer término y denominador.
Por ejemplo,
si b 1 = 1, q = -3 , entonces los primeros cinco términos de la secuencia se encuentran de la siguiente manera:
segundo 1 = 1,
segundo 2 = segundo 1 · q = 1 · (-3) = -3,
segundo 3 = segundo 2 · q= -3 · (-3) = 9,
segundo 4 = segundo 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 y denominador q su norte -th término se puede encontrar por la fórmula:
segundo norte = b 1 · q norte -1 .
Por ejemplo,
encontrar el séptimo término de una progresión geométrica 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = segundo 1 · q norte -2 ,
segundo norte = segundo 1 · q norte -1 ,
segundo norte +1 = b 1 · q norte,
entonces obviamente
segundo norte 2 = segundo norte -1 · segundo norte +1 ,
cada miembro de la progresión geométrica, a partir del segundo, es igual a la media geométrica (proporcional) de los miembros anterior y posterior.
Dado que lo contrario también es cierto, se cumple la siguiente afirmación:
los números a, b y c son miembros consecutivos de alguna progresión geométrica si y sólo si el cuadrado de uno de ellos es igual al producto de los otros dos, es decir, uno de los números es la media geométrica de los otros dos.
Por ejemplo,
probemos que la sucesión dada por la fórmula segundo norte= -3 2 norte , es una progresión geométrica. Usemos la afirmación anterior. Tenemos:
segundo norte= -3 2 norte,
segundo norte -1 = -3 2 norte -1 ,
segundo norte +1 = -3 2 norte +1 .
Como consecuencia,
segundo norte 2 = (-3 2 norte) 2 = (-3 2 norte -1 ) (-3 2 norte +1 ) = segundo norte -1 · segundo norte +1 ,
lo que prueba la afirmación requerida. ◄
Tenga en cuenta que norte El término de una progresión geométrica se puede encontrar no solo a través de b 1 , pero también cualquier término anterior b k , para lo cual basta con utilizar la fórmula
segundo norte = b k · q norte - k.
Por ejemplo,
por b 5 puede ser escrito
segundo 5 = segundo 1 · q 4 ,
segundo 5 = segundo 2 · q 3,
segundo 5 = segundo 3 · q2,
segundo 5 = segundo 4 · q. ◄
segundo norte = b k · q norte - k,
segundo norte = segundo norte - k · qk,
entonces obviamente
segundo norte 2 = segundo norte - k· segundo norte + k
el cuadrado de cualquier miembro de una progresión geométrica, a partir del segundo, es igual al producto de los miembros de esta progresión equidistantes de él.
Además, para cualquier progresión geométrica, la igualdad es verdadera:
b m· segundo norte= b k· bl,
metro+ norte= k+ yo.
Por ejemplo,
exponencialmente
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , porque
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S norte= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + segundo norte
primero norte miembros de una progresión geométrica con denominador q ≠ 0 calculado por la fórmula:
Y cuando q = 1 - según la fórmula
S norte= nótese bien. 1
Note que si necesitamos sumar los términos
b k, b k +1 , . . . , segundo norte,
entonces se usa la fórmula:
| S norte- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + segundo norte = b k · | 1 - q norte -
k +1
| . |
| 1 - q
|
Por ejemplo,
exponencialmente 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Si se da una progresión geométrica, entonces las cantidades b 1 , segundo norte, q, norte y S norte unidas por dos fórmulas:
Por lo tanto, si se dan los valores de cualquiera de estas tres cantidades, entonces los valores correspondientes de las otras dos cantidades se determinan a partir de estas fórmulas combinadas en un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Para una progresión geométrica con el primer término b 1 y denominador q ocurre lo siguiente propiedades de monotonicidad :
- la progresión es creciente si se cumple una de las siguientes condiciones:
b 1 > 0 y q> 1;
b 1 < 0 y 0 < q< 1;
- Una progresión es decreciente si se cumple una de las siguientes condiciones:
b 1 > 0 y 0 < q< 1;
b 1 < 0 y q> 1.
si un q< 0 , entonces la progresión geométrica es de signos alternos: sus términos impares tienen el mismo signo que su primer término y los términos pares tienen el signo opuesto. Está claro que una progresión geométrica alterna no es monótona.
producto de la primera norte Los términos de una progresión geométrica se pueden calcular mediante la fórmula:
Pn= segundo 1 · segundo 2 · segundo 3 · . . . · segundo norte = (segundo 1 · segundo norte) norte / 2 .
Por ejemplo,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Progresión geométrica infinitamente decreciente
Progresión geométrica infinitamente decreciente se llama progresión geométrica infinita cuyo módulo del denominador es menor que 1 , eso es
|q| < 1 .
Tenga en cuenta que una progresión geométrica infinitamente decreciente puede no ser una secuencia decreciente. Esto encaja en el caso
1 < q< 0 .
Con tal denominador, la secuencia es de signo alternante. Por ejemplo,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
La suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente nombre el número al que se suma la primera norte términos de la progresión con un aumento ilimitado en el número norte . Este número siempre es finito y se expresa mediante la fórmula
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
Por ejemplo,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Relación entre progresiones aritméticas y geométricas
Las progresiones aritméticas y geométricas están estrechamente relacionadas. Consideremos sólo dos ejemplos.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , después
b un 1 , b un 2 , b un 3 , . . . bd .
Por ejemplo,
1, 3, 5, . . . — progresión aritmética con diferencia 2 y
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . es una progresión geométrica con denominador 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . es una progresión geométrica con denominador q , después
registro a b 1, registro a b 2, registro a b 3, . . . — progresión aritmética con diferencia registrar unq .
Por ejemplo,
2, 12, 72, . . . es una progresión geométrica con denominador 6 y
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — progresión aritmética con diferencia lg 6 . ◄
Primer nivel
Progresión aritmética. Teoría detallada con ejemplos (2019)
Secuencia numérica
Así que sentémonos y comencemos a escribir algunos números. Por ejemplo:
Puede escribir cualquier número, y puede haber tantos como desee (en nuestro caso, ellos). Por muchos números que escribamos, siempre podemos decir cuál de ellos es el primero, cuál el segundo, y así hasta el último, es decir, podemos numerarlos. Este es un ejemplo de una secuencia numérica:
Secuencia numérica
Por ejemplo, para nuestra sucesión:
El número asignado es específico de un solo número de secuencia. En otras palabras, no hay números de tres segundos en la secuencia. El segundo número (como el -ésimo número) es siempre el mismo.
El número con el número se llama el -ésimo miembro de la secuencia.
Por lo general, llamamos a toda la secuencia alguna letra (por ejemplo,), y cada miembro de esta secuencia, la misma letra con un índice igual al número de este miembro: .
En nuestro caso: 
Digamos que tenemos una secuencia numérica en la que la diferencia entre números adyacentes es la misma e igual.
Por ejemplo: 
etc.
Tal secuencia numérica se llama progresión aritmética.
El término "progresión" fue introducido por el autor romano Boecio ya en el siglo VI y se entendió en un sentido más amplio como una secuencia numérica sin fin. El nombre "aritmética" se transfirió de la teoría de las proporciones continuas, en la que se involucraron los antiguos griegos.
Esta es una secuencia numérica, cada miembro de la cual es igual al anterior, sumado con el mismo número. Este número se llama la diferencia de una progresión aritmética y se denota.
Intenta determinar qué secuencias de números son una progresión aritmética y cuáles no:
a)
b)
C)
d)
¿Entiendo? Compara nuestras respuestas:
Es progresión aritmética - b, c.
No es progresión aritmética - a, d.
Volvamos a la progresión dada () e intentemos encontrar el valor de su miembro. existe dos manera de encontrarlo.
1. Método
Podemos sumar al valor anterior del número de progresión hasta llegar al enésimo término de la progresión. Es bueno que no tengamos mucho que resumir, solo tres valores:
Entonces, el -ésimo miembro de la progresión aritmética descrita es igual a.
2. Método
¿Y si necesitáramos encontrar el valor del enésimo término de la progresión? La sumatoria nos hubiera llevado más de una hora, y no es un hecho que no nos hubiésemos equivocado al sumar los números.
Por supuesto, los matemáticos han ideado una forma en la que no es necesario sumar la diferencia de una progresión aritmética al valor anterior. Mire de cerca la imagen dibujada ... Seguramente ya ha notado cierto patrón, a saber:
Por ejemplo, veamos qué constituye el valor del -ésimo miembro de esta progresión aritmética: 
En otras palabras:
Intente encontrar de forma independiente el valor de un miembro de esta progresión aritmética.
¿Calculado? Compare sus entradas con la respuesta:
Fíjate que obtuviste exactamente el mismo número que en el método anterior, cuando sumamos sucesivamente los miembros de una progresión aritmética al valor anterior.
Intentemos "despersonalizar" esta fórmula: la llevamos a una forma general y obtenemos:
|
Ecuación de progresión aritmética. |
Las progresiones aritméticas son crecientes o decrecientes.
Creciente- progresiones en las que cada valor posterior de los términos es mayor que el anterior.
Por ejemplo:
Descendente- progresiones en las que cada valor posterior de los términos es menor que el anterior.
Por ejemplo:
La fórmula derivada se utiliza en el cálculo de términos tanto en términos crecientes como decrecientes de una progresión aritmética.
Vamos a comprobarlo en la práctica.
Nos dan una progresión aritmética que consta de los siguientes números:
Desde entonces:
Por lo tanto, estábamos convencidos de que la fórmula funciona tanto en progresión aritmética decreciente como creciente.
Intenta encontrar los miembros -ésimo y -ésimo de esta progresión aritmética por tu cuenta.
Comparemos los resultados:
Propiedad de progresión aritmética
Compliquemos la tarea: derivamos la propiedad de una progresión aritmética.
Supongamos que se nos da la siguiente condición:
- Progresión aritmética, encontrar el valor.
Es fácil, dices, y empiezas a contar según la fórmula que ya conoces:
Sea, a, entonces:
Absolutamente correcto. Resulta que primero encontramos, luego lo agregamos al primer número y obtenemos lo que estamos buscando. Si la progresión está representada por valores pequeños, entonces no tiene nada de complicado, pero ¿y si nos dan números en la condición? De acuerdo, existe la posibilidad de cometer errores en los cálculos.
Ahora piensa, ¿es posible resolver este problema en un solo paso usando alguna fórmula? Por supuesto que sí, e intentaremos sacarlo ahora.
Denotamos el término deseado de la progresión aritmética porque conocemos la fórmula para encontrarlo; esta es la misma fórmula que derivamos al principio:
, después:
- el miembro anterior de la progresión es:
- el siguiente término de la progresión es:
Vamos a sumar los miembros anteriores y siguientes de la progresión:
Resulta que la suma de los miembros anteriores y posteriores de la progresión es el doble del valor del miembro de la progresión ubicado entre ellos. En otras palabras, para encontrar el valor de un miembro de progresión con valores anteriores y sucesivos conocidos, es necesario sumarlos y dividirlos.
Así es, tenemos el mismo número. Arreglemos el material. Calcule usted mismo el valor de la progresión, porque no es nada difícil.
¡Bien hecho! ¡Sabes casi todo sobre la progresión! Queda por descubrir solo una fórmula, que, según la leyenda, uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, el "rey de los matemáticos" - Carl Gauss, dedujo fácilmente por sí mismo...
Cuando Carl Gauss tenía 9 años, el maestro, ocupado revisando el trabajo de los estudiantes de otras clases, pidió la siguiente tarea en la lección: "Calcula la suma de todos los números naturales desde hasta (según otras fuentes hasta) inclusive. " Cuál fue la sorpresa del maestro cuando uno de sus alumnos (era Karl Gauss) después de un minuto dio la respuesta correcta a la tarea, mientras que la mayoría de los compañeros de clase del temerario después de largos cálculos recibieron un resultado erróneo...
El joven Carl Gauss notó un patrón que puedes notar fácilmente.
Digamos que tenemos una progresión aritmética que consta de miembros -ti: Necesitamos encontrar la suma de los miembros dados de la progresión aritmética. Por supuesto, podemos sumar manualmente todos los valores, pero ¿qué pasa si necesitamos encontrar la suma de sus términos en la tarea, como estaba buscando Gauss?
Vamos a representar la progresión que se nos ha dado. Mire de cerca los números resaltados e intente realizar varias operaciones matemáticas con ellos. 
¿Intentó? ¿Qué notaste? ¡Correctamente! sus sumas son iguales
Ahora responde, ¿cuántos pares de estos habrá en la progresión que se nos ha dado? Por supuesto, exactamente la mitad de todos los números, eso es.
Partiendo del hecho de que la suma de dos miembros de una progresión aritmética es igual, y pares iguales semejantes, obtenemos que cantidad total es igual a:
.
Así, la fórmula para la suma de los primeros términos de cualquier progresión aritmética será:
En algunos problemas, no conocemos el término th, pero conocemos la diferencia de progresión. Trate de sustituir en la fórmula de la suma, la fórmula del miembro th.
¿Qué obtuviste?
¡Bien hecho! Ahora volvamos al problema que se le planteó a Carl Gauss: calcule usted mismo cuál es la suma de los números a partir del -ésimo y la suma de los números a partir del -ésimo.
¿Cuanto conseguiste?
Gauss resultó que la suma de los términos es igual, y la suma de los términos. ¿Así lo decidiste?
De hecho, la fórmula para la suma de los miembros de una progresión aritmética fue probada por el antiguo científico griego Diofanto en el siglo III, y durante todo este tiempo, las personas ingeniosas utilizaron las propiedades de una progresión aritmética con poder y fuerza.
Por ejemplo, imagina Antiguo Egipto y el sitio de construcción más grande de esa época: la construcción de una pirámide ... La figura muestra un lado. 
¿Dónde está la progresión aquí que dices? Mire cuidadosamente y encuentre un patrón en el número de bloques de arena en cada fila de la pared de la pirámide. 
¿Por qué no una progresión aritmética? Cuente cuántos bloques se necesitan para construir una pared si se colocan bloques de ladrillos en la base. Espero que no cuentes moviendo el dedo por el monitor, ¿recuerdas la última fórmula y todo lo que dijimos sobre la progresión aritmética?
A este caso la progresión se ve así:
Diferencia de progresión aritmética.
El número de miembros de una progresión aritmética.
Sustituyamos nuestros datos en las últimas fórmulas (contamos el número de bloques de 2 maneras).
Método 1.
Método 2.
Y ahora también puedes calcular en el monitor: compara los valores obtenidos con la cantidad de bloques que hay en nuestra pirámide. ¿Estuvo de acuerdo? Bien hecho, has dominado la suma de los términos de una progresión aritmética.
Por supuesto, no puedes construir una pirámide con los bloques en la base, pero ¿desde? Intente calcular cuántos ladrillos de arena se necesitan para construir una pared con esta condición.
¿Lograste?
La respuesta correcta es bloques:
Ejercicio
Tareas:
- Masha se está poniendo en forma para el verano. Cada día aumenta el número de sentadillas. ¿Cuántas veces se pondrá en cuclillas Masha en semanas si hizo sentadillas en el primer entrenamiento?
- ¿Cuál es la suma de todos los números impares contenidos en
- Al almacenar troncos, los leñadores los apilan de tal manera que cada uno capa superior contiene un registro menos que el anterior. ¿Cuántos troncos hay en una mampostería, si la base de la mampostería son troncos?
Respuestas:
- Definamos los parámetros de la progresión aritmética. En este caso
(semanas = días).Responder: En dos semanas, Masha debería ponerse en cuclillas una vez al día.
- Primer número impar, último número.
Diferencia de progresión aritmética.
El número de números impares por la mitad, sin embargo, verifique este hecho usando la fórmula para encontrar el -ésimo miembro de una progresión aritmética:Los números contienen números impares.
Sustituimos los datos disponibles en la fórmula:Responder: La suma de todos los números impares contenidos en es igual a.
- Recuerda el problema de las pirámides. Para nuestro caso, a , dado que cada capa superior se reduce en un registro, solo hay un montón de capas, es decir.
Sustituye los datos en la fórmula:Responder: Hay troncos en la mampostería.
Resumiendo
- - una secuencia numérica en la que la diferencia entre números adyacentes es la misma e igual. Es creciente y decreciente.
- Encontrar fórmula El miembro de una progresión aritmética se escribe mediante la fórmula - , donde es el número de números en la progresión.
- Propiedad de los miembros de una progresión aritmética- - donde - el número de números en la progresión.
- La suma de los miembros de una progresión aritmética. se puede encontrar de dos maneras:
, donde es el número de valores.
PROGRESIÓN ARITMÉTICA. NIVEL PROMEDIO
Secuencia numérica
Sentémonos y comencemos a escribir algunos números. Por ejemplo:
Puede escribir cualquier número y puede haber tantos como desee. Pero siempre se puede saber cuál de ellos es el primero, cuál es el segundo, y así sucesivamente, es decir, podemos numerarlos. Este es un ejemplo de una secuencia numérica.
Secuencia numérica es un conjunto de números, a cada uno de los cuales se le puede asignar un número único.
En otras palabras, cada número puede estar asociado con un cierto número natural, y solo con uno. Y no asignaremos este número a ningún otro número de este conjunto.
El número con el número se llama el -ésimo miembro de la secuencia.
Por lo general, llamamos a toda la secuencia alguna letra (por ejemplo,), y cada miembro de esta secuencia, la misma letra con un índice igual al número de este miembro: .
Es muy conveniente si el -ésimo miembro de la secuencia se puede dar mediante alguna fórmula. Por ejemplo, la fórmula
establece la secuencia:
Y la fórmula es la siguiente secuencia:
Por ejemplo, una progresión aritmética es una secuencia (el primer término aquí es igual y la diferencia). O (, diferencia).
fórmula del término n
Llamamos fórmula recurrente a una fórmula en la que, para encontrar el -ésimo término, necesita conocer el anterior o varios anteriores:
Para encontrar, por ejemplo, el enésimo término de la progresión usando tal fórmula, tenemos que calcular los nueve anteriores. Por ejemplo, deja. Después:
Bueno, ahora está claro cuál es la fórmula.
En cada línea, sumamos, multiplicamos por algún número. ¿Para qué? Muy simple: este es el número del miembro actual menos:
Mucho más cómodo ahora, ¿verdad? Verificamos:
Decide por ti mismo:
En una progresión aritmética, encuentre la fórmula para el término n y encuentre el término centésimo.
Solución:
El primer término es igual. ¿Y cual es la diferencia? Y esto es lo que:
(después de todo, se llama la diferencia porque es igual a la diferencia de los miembros sucesivos de la progresión).
Así que la fórmula es:
Entonces el centésimo término es:
¿Cuál es la suma de todos los números naturales de a?
Según la leyenda, el gran matemático Carl Gauss, siendo un niño de 9 años, calculó esta cantidad en pocos minutos. Observó que la suma del primer y el último número es igual, la suma del segundo y el penúltimo es la misma, la suma del tercero y el tercero desde el final es la misma, y así sucesivamente. ¿Cuántos pares de esos hay? Así es, exactamente la mitad del número de todos los números, eso es. Asi que,
La fórmula general para la suma de los primeros términos de cualquier progresión aritmética será:
Ejemplo:
Encuentra la suma de todos números de dos dígitos, múltiplos.
Solución:
El primero de esos números es este. Cada siguiente se obtiene sumando un número al anterior. Así, los números que nos interesan forman una progresión aritmética con el primer término y la diferencia.
La fórmula para el enésimo término de esta progresión es:
¿Cuántos términos hay en la progresión si todos deben tener dos dígitos?
Muy fácil: .
El último término de la progresión será igual. Entonces la suma:
Responder: .
Ahora decide por ti mismo:
- Cada día el atleta corre 1m más que el día anterior. ¿Cuántos kilómetros correrá en semanas si corrió km m el primer día?
- Un ciclista recorre más kilómetros cada día que el anterior. El primer día recorrió el km. ¿Cuántos días tiene que conducir para recorrer un kilómetro? ¿Cuántos kilómetros recorrerá el último día del viaje?
- El precio de un refrigerador en la tienda se reduce en la misma cantidad cada año. Determine cuánto disminuyó el precio de un refrigerador cada año si, puesto a la venta por rublos, seis años después se vendió por rublos.
Respuestas:
- Lo más importante aquí es reconocer la progresión aritmética y determinar sus parámetros. En este caso, (semanas = días). Necesitas determinar la suma de los primeros términos de esta progresión:
.
Responder: - Aquí es dado:, es necesario encontrar.
Obviamente, necesitas usar la misma fórmula de suma que en el problema anterior:
.
Sustituye los valores:La raíz obviamente no encaja, así que la respuesta.
Calculemos la distancia recorrida durante el último día usando la fórmula del -ésimo término:
(km).
Responder: - Dado: . Encontrar: .
No se vuelve más fácil:
(frotar).
Responder:
PROGRESIÓN ARITMÉTICA. BREVEMENTE SOBRE LOS PRINCIPALES
Esta es una secuencia numérica en la que la diferencia entre números adyacentes es la misma e igual.
La progresión aritmética es creciente () y decreciente ().
Por ejemplo:
La fórmula para encontrar el n-ésimo miembro de una progresión aritmética
se escribe como una fórmula, donde es el número de números en la progresión.
Propiedad de los miembros de una progresión aritmética
Hace que sea fácil encontrar un miembro de la progresión si se conocen los miembros vecinos: ¿dónde está el número de números en la progresión?
La suma de los miembros de una progresión aritmética.
Hay dos formas de encontrar la suma:
Donde está el número de valores.
Donde está el número de valores.
¡Atención!
Hay adicionales
material en la Sección Especial 555.
Para aquellos que fuertemente "no muy..."
Y para los que "mucho...")
Una progresión aritmética es una serie de números en los que cada número es mayor (o menor) que el anterior en la misma cantidad.
Este tema es a menudo difícil e incomprensible. índices de letras, enésimo miembro progresiones, la diferencia en la progresión: todo esto es algo confuso, sí ... Averigüemos el significado de la progresión aritmética y todo funcionará de inmediato).
El concepto de progresión aritmética.
La progresión aritmética es un concepto muy simple y claro. ¿Duda? En vano.) Compruébelo usted mismo.
Escribiré una serie inconclusa de números:
1, 2, 3, 4, 5, ...
¿Puedes extender esta línea? ¿Qué números irán a continuación, después del cinco? Todos... eh..., en fin, todos se darán cuenta de que los números 6, 7, 8, 9, etc. irán más allá.
Compliquemos la tarea. Doy una serie inconclusa de números:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Puede captar el patrón, extender la serie y nombrar séptimo¿numero de fila?
Si descubrió que este número es 20, ¡lo felicito! No solo sentiste puntos clave progresión aritmética,¡pero también los usó con éxito en los negocios! Si no entiendes, sigue leyendo.
Ahora, traduzcamos los puntos clave de las sensaciones a las matemáticas.)
Primer punto clave.
La progresión aritmética trata de series de números. Esto es confuso al principio. Estamos acostumbrados a resolver ecuaciones, construir gráficas y todo eso... Y luego extender la serie, encontrar el número de la serie...
Está bien. Es solo que las progresiones son el primer contacto con una nueva rama de las matemáticas. La sección se llama "Series" y trabaja con series de números y expresiones. Acostumbrarse a él.)
Segundo punto clave.
En una progresión aritmética, cualquier número difiere del anterior por la misma cantidad.
En el primer ejemplo, esta diferencia es uno. Cualquiera que sea el número que tomes, es uno más que el anterior. En el segundo - tres. Cualquier número es tres veces mayor que el anterior. En realidad, es este momento el que nos da la oportunidad de captar el patrón y calcular los números subsiguientes.
Tercer punto clave.
Este momento no es llamativo, sí... Pero muy, muy importante. Aquí está él: cada número de progresión se encuentra en su lugar. Está el primer número, está el séptimo, está el cuadragésimo quinto, y así sucesivamente. Si los confundes al azar, el patrón desaparecerá. La progresión aritmética también desaparecerá. Es solo una serie de números.
Ese es todo el punto.
por supuesto, en nuevo tema aparecen nuevos términos y notación. Necesitan saber. De lo contrario, no entenderás la tarea. Por ejemplo, tienes que decidir algo como:
Escribe los primeros seis términos de la progresión aritmética (a n) si a 2 = 5, d = -2.5.
¿Inspira?) Cartas, algunos índices... Y la tarea, por cierto, no puede ser más sencilla. Solo necesita comprender el significado de los términos y la notación. Ahora dominaremos este asunto y volveremos a la tarea.
Términos y designaciones.
Progresión aritmética es una serie de números en la que cada número es diferente del anterior por la misma cantidad.
Este valor se llama . Vamos a tratar este concepto con más detalle.
Diferencia de progresión aritmética.
Diferencia de progresión aritmética es la cantidad por la cual cualquier número de progresión más El anterior.
Una punto importante. Por favor, preste atención a la palabra "más". Matemáticamente, esto significa que cada número de progresión se obtiene agregando la diferencia de una progresión aritmética con el número anterior.
Para calcular digamos segundo números de la fila, es necesario primero número agregar esta misma diferencia de una progresión aritmética. Para cálculo quinto- la diferencia es necesaria agregar a cuatro bueno, etc
Diferencia de progresión aritmética quizás positivo entonces cada número de la serie resultará ser real más que el anterior. Esta progresión se llama creciente. Por ejemplo:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Aquí cada número es agregando numero positivo, +5 al anterior.
La diferencia puede ser negativo entonces cada número en la serie será menos que el anterior. Esta progresión se llama (¡no te lo vas a creer!) decreciente.
Por ejemplo:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Aquí también se obtiene cada número. agregando al número anterior, pero ya negativo, -5.
Por cierto, cuando se trabaja con una progresión, es muy útil determinar de inmediato su naturaleza, si es creciente o decreciente. Ayuda mucho orientarse en la decisión, detectar los errores y corregirlos antes de que sea demasiado tarde.
Diferencia de progresión aritmética generalmente denotado por la letra d.
Como encontrar d? Muy simple. Es necesario restar de cualquier número de la serie anterior número. Sustraer. Por cierto, el resultado de la resta se llama "diferencia").
Definamos, por ejemplo, d Para una progresión aritmética creciente:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Tomamos cualquier número de la fila que queramos, por ejemplo, 11. Restamos de él el numero anterior aquellos. ocho:
Esta es la respuesta correcta. Para esta progresión aritmética, la diferencia es tres.
solo puedes tomar cualquier número de progresiones, porque para una progresión específica d-siempre lo mismo. Al menos en algún lugar al comienzo de la fila, al menos en el medio, al menos en cualquier lugar. No puedes tomar solo el primer número. Sólo porque el primer número sin previo.)
Por cierto, sabiendo que re=3, encontrar el séptimo número de esta progresión es muy sencillo. Agregamos 3 al quinto número: obtenemos el sexto, será 17. Agregamos tres al sexto número, obtenemos el séptimo número: veinte.
definamos d para una progresión aritmética decreciente:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Les recuerdo que, independientemente de los signos, para determinar d necesario de cualquier número quitar el anterior. Elegimos cualquier número de progresión, por ejemplo -7. Su número anterior es -2. Después:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
La diferencia de una progresión aritmética puede ser cualquier número: entero, fraccionario, irracional, cualquiera.
Otros términos y denominaciones.
Cada número de la serie se llama miembro de una progresión aritmética.
Cada miembro de la progresión tiene su numero Los números están estrictamente en orden, sin trucos. Primero, segundo, tercero, cuarto, etc. Por ejemplo, en la progresión 2, 5, 8, 11, 14, ... dos es el primer miembro, cinco es el segundo, once es el cuarto, bueno, usted entiende ...) Por favor, comprenda claramente - los numeros mismos puede ser absolutamente cualquiera, entero, fraccionario, negativo, lo que sea, pero numeración- estrictamente en orden!
Cómo registrar una progresión en vista general? ¡No hay problema! Cada número de la serie se escribe como una letra. Para denotar una progresión aritmética, por regla general, se utiliza la letra a. El número de miembro está indicado por el índice en la parte inferior derecha. Los miembros se escriben separados por comas (o punto y coma), así:
un 1 , un 2 , un 3 , un 4 , un 5 , .....
un 1 es el primer numero un 3- tercero, etc Nada complicado. Puedes escribir esta serie brevemente así: (un).
hay progresiones finito e infinito.
Último la progresión tiene un número limitado de miembros. Cinco, treinta y ocho, lo que sea. Pero es un número finito.
Sin fin progresión: tiene un número infinito de miembros, como puede suponer).
quemar progresión final a través de una serie te puede gustar esto, todos los miembros y un punto al final:
un 1 , un 2 , un 3 , un 4 , un 5 .
O así, si hay muchos miembros:
un 1 , un 2 , ... un 14 , un 15 .
En una entrada breve, deberá indicar adicionalmente el número de miembros. Por ejemplo (para veinte miembros), así:
(un n), n = 20
Se puede reconocer una progresión infinita por los puntos suspensivos al final de la fila, como en los ejemplos de esta lección.
Ahora ya puedes resolver tareas. Las tareas son simples, puramente para comprender el significado de la progresión aritmética.
Ejemplos de tareas para la progresión aritmética.
Echemos un vistazo más de cerca a la tarea anterior:
1. Escribe los primeros seis miembros de la progresión aritmética (a n), si a 2 = 5, d = -2.5.
Traducimos la tarea a un lenguaje comprensible. Dada una progresión aritmética infinita. El segundo número de esta progresión es conocido: un 2 = 5. Diferencia de progresión conocida: d = -2,5. Necesitamos encontrar los miembros primero, tercero, cuarto, quinto y sexto de esta progresión.
Para mayor claridad, escribiré una serie de acuerdo con la condición del problema. Los primeros seis miembros, donde el segundo miembro es cinco:
un 1 , 5 , un 3 , un 4 , un 5 , un 6 ,....
un 3 = un 2 + d
Sustituimos en la expresión un 2 = 5 y d=-2,5. ¡No olvides el menos!
un 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
El tercer término es menor que el segundo. Todo es lógico. Si el número es mayor que el anterior negativo valor, por lo que el número en sí será menor que el anterior. La progresión es decreciente. Bien, tomémoslo en cuenta.) Consideramos al cuarto miembro de nuestra serie:
un 4 = un 3 + d
un 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
un 5 = un 4 + d
un 5=0+(-2,5)= - 2,5
un 6 = un 5 + d
un 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Entonces, se han calculado los términos del tercero al sexto. Esto resultó en una serie:
a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....
Queda por encontrar el primer termino un 1 según el conocido segundo. Este es un paso en la otra dirección, hacia la izquierda). Por lo tanto, la diferencia de la progresión aritmética d no se debe agregar a un 2, a quitar:
un 1 = un 2 - d
un 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Eso es todo al respecto. Respuesta de la tarea:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
De paso, noto que resolvimos esta tarea. recurrente camino. Esta terrible palabra significa, únicamente, la búsqueda de un miembro de la progresión. por el número anterior (adyacente). Más adelante se discutirán otras formas de trabajar con la progresión.
De esta sencilla tarea se puede extraer una conclusión importante.
Recuerda:
Si conocemos al menos un miembro y la diferencia de una progresión aritmética, podemos encontrar cualquier miembro de esta progresión.
¿Recuerda? Esta simple conclusión nos permite resolver la mayoría de los problemas del curso escolar sobre este tema. Todas las tareas giran en torno tres principales parámetros: miembro de una progresión aritmética, diferencia de una progresión, número de un miembro de una progresión. Todo.
Por supuesto, todo el álgebra anterior no se cancela.) Las desigualdades, ecuaciones y otras cosas se adjuntan a la progresión. Pero según la progresión- todo gira en torno a tres parámetros.
Por ejemplo, considere algunas tareas populares sobre este tema.
2. Escribe la progresión aritmética final como una serie si n=5, d=0.4 y a 1=3.6.
Todo es simple aquí. Ya está todo dado. Debe recordar cómo se calculan, cuentan y escriben los miembros de una progresión aritmética. Es recomendable no omitir las palabras en la condición de la tarea: "final" y " n=5". Para no contar hasta que esté completamente azul en la cara.) Solo hay 5 (cinco) miembros en esta progresión:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4
un 4 = un 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
un 5 = un 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Queda por escribir la respuesta:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Otra tarea:
3. Determinar si el número 7 será miembro de una progresión aritmética (a n) si un 1 \u003d 4.1; d = 1,2.
Mmm... ¿Quién sabe? ¿Cómo definir algo?
Cómo-cómo... ¡Sí, apunta la progresión en forma de serie y mira si sale un siete o no! Creemos:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5
un 4 = un 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Ahora se ve claramente que solo somos siete deslizado a través de entre 6,5 y 7,7! El siete no entró en nuestra serie de números y, por lo tanto, el siete no será miembro de la progresión dada.
Respuesta: no.
Y aquí hay un problema basado en versión real GIA:
4. Se escriben varios miembros consecutivos de la progresión aritmética:
...; quince; X; 9; 6; ...
He aquí una serie sin final ni principio. Sin números de miembro, no hay diferencia d. Está bien. Para resolver el problema, basta con comprender el significado de una progresión aritmética. A ver y ver que podemos saber de esta línea? ¿Cuáles son los parámetros de los tres principales?
números de miembros? Aquí no hay un solo número.
Pero hay tres números y - ¡atención! - palabra "consecutivo" en condicion. Esto significa que los números están estrictamente en orden, sin espacios. ¿Hay dos en esta fila? vecino números conocidos? ¡Sí hay! Estos son 9 y 6. ¡Entonces podemos calcular la diferencia de una progresión aritmética! restamos de los seis anterior número, es decir nueve:
Quedan espacios vacíos. ¿Qué número será el anterior para x? Quince. Por lo tanto, x se puede encontrar fácilmente mediante una simple suma. A 15 sumarle la diferencia de una progresión aritmética:
Eso es todo. Responder: x=12
Solucionamos los siguientes problemas nosotros mismos. Nota: estos acertijos no son para fórmulas. Puramente para entender el significado de una progresión aritmética. Simplemente escribimos una serie de números-letras, miramos y pensamos.
5. Encuentra el primer término positivo de la progresión aritmética si a 5 = -3; d = 1,1.
6. Se sabe que el número 5,5 es miembro de la progresión aritmética (a n), donde a 1 = 1,6; d = 1,3. Determine el número n de este término.
7. Se sabe que en una progresión aritmética a 2 = 4; un 5 \u003d 15.1. Encuentra un 3.
8. Se escriben varios miembros consecutivos de la progresión aritmética:
...; 15,6; X; 3,4; ...
Encuentre el término de la progresión, denotado por la letra x.
9. El tren comenzó a moverse desde la estación, aumentando gradualmente su velocidad en 30 metros por minuto. ¿Cuál será la velocidad del tren en cinco minutos? Da tu respuesta en km/h.
10. Se sabe que en una progresión aritmética a 2 = 5; un 6 = -5. encuentra un 1.
Respuestas (en desorden): 7.7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; cuatro
¿Todo salió bien? ¡Maravilloso! Puedes dominar la progresión aritmética para más nivel alto, en las próximas lecciones.
¿No salió todo bien? No hay problema. En la Sección Especial 555, todos estos problemas se desglosan en partes). Y, por supuesto, se describe una técnica práctica simple que resalta de inmediato la solución de tales tareas claramente, claramente, ¡como en la palma de su mano!
Por cierto, en el acertijo del tren hay dos problemas con los que la gente suele tropezar. Uno, puramente por progresión, y el segundo, común a cualquier tarea en matemáticas y física también. Esta es una traducción de dimensiones de una a otra. Muestra cómo se deben resolver estos problemas.
En esta lección, examinamos el significado elemental de una progresión aritmética y sus parámetros principales. Esto es suficiente para resolver casi todos los problemas sobre este tema. Agregar d a los números, escribe una serie, todo se decidirá.
La solución de dedo funciona bien para piezas muy cortas de la serie, como en los ejemplos de esta lección. Si la serie es más larga, los cálculos se vuelven más complicados. Por ejemplo, si en el problema 9 de la pregunta, reemplaza "cinco minutos" sobre el "treinta y cinco minutos" el problema será mucho peor.)
Y también hay tareas que son simples en esencia, pero completamente absurdas en términos de cálculos, por ejemplo:
Dada una progresión aritmética (a n). Encuentre un 121 si a 1 = 3 y d = 1/6.
¿Y qué, agregaremos 1/6 muchas, muchas veces? ¿¡Es posible suicidarse!?
Puede.) Si no conoce una fórmula simple mediante la cual puede resolver tales tareas en un minuto. Esta fórmula estará en la próxima lección. Y ahí se soluciona ese problema. En un minuto.)
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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)
puede familiarizarse con funciones y derivadas.
Calculadora online.
Solución de progresión aritmética.
Dado: a n , d, n
Encuentra: un 1
Este programa matemático encuentra \(a_1\) de una progresión aritmética basada en números especificados por el usuario \(a_n, d \) y \(n \).
Los números \(a_n\) y \(d \) se pueden especificar no solo como números enteros, sino también como fracciones. Además, se puede ingresar un número fraccionario en forma de fracción decimal (\ (2.5 \)) y en forma fracción común(\(-5\frac(2)(7) \)).
El programa no solo da la respuesta al problema, sino que también muestra el proceso de búsqueda de una solución.
Esta calculadora en línea puede ser útil para estudiantes de secundaria escuelas de educacion general En preparación para trabajo de control y exámenes, al probar el conocimiento antes del examen, los padres para controlar la solución de muchos problemas en matemáticas y álgebra. ¿O tal vez es demasiado caro para ti contratar a un tutor o comprar nuevos libros de texto? ¿O simplemente quieres hacerlo lo antes posible? tareas para el hogar¿matemáticas o álgebra? En este caso, también puede utilizar nuestros programas con una solución detallada.
De esta forma, podrás realizar tu propia formación y/o la formación de tus hermanos o hermanas menores, a la vez que se incrementa el nivel de formación en el campo de las tareas a resolver.
Si no está familiarizado con las reglas para ingresar números, le recomendamos que se familiarice con ellas.
Reglas para ingresar números
Los números \(a_n\) y \(d \) se pueden especificar no solo como números enteros, sino también como fracciones.
El número \(n\) solo puede ser un número entero positivo.
Reglas para ingresar fracciones decimales.
Las partes enteras y fraccionarias en fracciones decimales se pueden separar con un punto o una coma.
Por ejemplo, puede ingresar decimales tan 2.5 o tan 2.5
Reglas para ingresar fracciones ordinarias.
Solo un número entero puede actuar como numerador, denominador y parte entera de una fracción.
El denominador no puede ser negativo.
Cuando usted entre fracción numérica El numerador está separado del denominador por un signo de división: /
Aporte:
Resultado: \(-\frac(2)(3) \)
La parte entera está separada de la fracción por un ampersand: &
Aporte:
Resultado: \(-1\frac(2)(3) \)
Se descubrió que algunos scripts necesarios para resolver esta tarea no se cargaron y es posible que el programa no funcione.
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Porque Hay mucha gente que quiere solucionar el problema, tu petición está en cola.
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No lo olvide indicar que tarea tu decides que entrar en los campos.
Nuestros juegos, rompecabezas, emuladores:
Un poco de teoría.
Secuencia numérica
En la práctica cotidiana, se suele utilizar la numeración de varios objetos para indicar el orden en que se encuentran. Por ejemplo, las casas de cada calle están numeradas. En la biblioteca, las suscripciones de los lectores se numeran y luego se organizan en el orden de los números asignados en archivadores especiales.
En una caja de ahorros, por el número de cuenta personal del depositante, puede encontrar fácilmente esta cuenta y ver qué tipo de depósito tiene. Que haya un depósito de a1 rublos en la cuenta No. 1, un depósito de a2 rublos en la cuenta No. 2, etc. Resulta secuencia numérica
un 1 , un 2 , un 3 , ..., un N
donde N es el número de todas las cuentas. Aquí, a cada número natural n de 1 a N se le asigna un número a n .
Matemáticas también estudia secuencias de números infinitos:
un 1 , un 2 , un 3 , ..., un n , ... .
el numero 1 se llama el primer miembro de la secuencia, número a 2 - el segundo miembro de la secuencia, número a 3 - el tercer miembro de la secuencia etc.
El número a n se llama nth (nth) miembro de la secuencia, y el número natural n es su número.
Por ejemplo, en la secuencia de cuadrados de los números naturales 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... y 1 = 1 es el primer miembro de la secuencia; y n = n 2 es el n-ésimo miembro de la secuencia; a n+1 = (n + 1) 2 es el (n + 1)-ésimo (en más el primero) miembro de la secuencia. A menudo, una sucesión se puede especificar mediante la fórmula de su enésimo término. Por ejemplo, la fórmula \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) da la secuencia \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \puntos,\frac(1)(n) , \puntos \)
Progresión aritmética
La duración de un año es de aproximadamente 365 días. Más valor exacto es igual a \(365\frac(1)(4) \) días, por lo que cada cuatro años se acumula un error de un día.
Para dar cuenta de este error, se agrega un día cada cuatro años, y el año alargado se llama año bisiesto.
Por ejemplo, en el tercer milenio años bisiestos los años son 2004, 2008, 2012, 2016,... .
En esta sucesión, cada miembro, a partir del segundo, es igual al anterior, sumado con el mismo número 4. Tales sucesiones se denominan progresiones aritméticas.
Definición.
La sucesión numérica a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... se llama progresión aritmética, si para todo natural n la igualdad
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
donde d es un número.
De esta fórmula se sigue que a n+1 - a n = d. El numero d se llama diferencia progresión aritmética.
Por definición de una progresión aritmética, tenemos:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
dónde
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), donde \(n>1 \)
Así, cada miembro de la progresión aritmética, a partir del segundo, es igual a la media aritmética de los dos miembros adyacentes. Esto explica el nombre de progresión "aritmética".
Tenga en cuenta que si se dan a 1 y d, entonces los términos restantes de la progresión aritmética se pueden calcular usando la fórmula recursiva a n+1 = a n + d. De esta manera, no es difícil calcular los primeros términos de la progresión, sin embargo, por ejemplo, para un 100, ya se requerirán muchos cálculos. Por lo general, la fórmula del término n se usa para esto. Según la definición de una progresión aritmética
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
etc.
En general,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
ya que el n-ésimo miembro de una progresión aritmética se obtiene del primer miembro sumando (n-1) por el número d.
Esta fórmula se llama fórmula del enésimo miembro de una progresión aritmética.
La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética
Encontremos la suma de todos los números naturales del 1 al 100.
Escribimos esta suma de dos maneras:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Sumamos estas igualdades término a término:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Hay 100 términos en esta suma.
Por tanto, 2S = 101 * 100, de donde S = 101 * 50 = 5050.
Considere ahora una progresión aritmética arbitraria
un 1 , un 2 , un 3 , ..., un n , ...
Sea S n la suma de los primeros n términos de esta progresión:
S n \u003d un 1, un 2, un 3, ..., un n
Después la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética es
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Dado que \(a_n=a_1+(n-1)d \), reemplazando una n en esta fórmula, obtenemos otra fórmula para encontrar las sumas de los primeros n términos de una progresión aritmética:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
Por ejemplo, la secuencia \(2\); \(5\); \(ocho\); \(once\); \(14\)… es una progresión aritmética, porque cada siguiente elemento difiere del anterior en tres (se puede obtener del anterior sumando tres):
En esta progresión, la diferencia \(d\) es positiva (igual a \(3\)), y por tanto cada término siguiente es mayor que el anterior. Tales progresiones se llaman creciente.
Sin embargo, \(d\) también puede ser numero negativo. Por ejemplo, en progresión aritmética \(16\); \(diez\); \(cuatro\); \(-2\); \(-8\)… la diferencia de progresión \(d\) es igual a menos seis.
Y en este caso, cada elemento siguiente será menor que el anterior. Estas progresiones se llaman decreciente.
Notación de progresión aritmética
La progresión se denota con una letra latina minúscula.
Los números que forman una progresión se llaman así. miembros(o elementos).
Se denotan con la misma letra que la progresión aritmética, pero con un índice numérico igual al número del elemento en orden.
Por ejemplo, la progresión aritmética \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) consta de los elementos \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) y así sucesivamente.
En otras palabras, para la progresión \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Resolución de problemas de progresión aritmética
En principio, la información anterior ya es suficiente para resolver casi cualquier problema sobre una progresión aritmética (incluidos los que se ofrecen en la OGE).
Ejemplo (OGE).
La progresión aritmética viene dada por las condiciones \(b_1=7; d=4\). Encuentra \(b_5\).
Solución:
Responder: \(b_5=23\)
Ejemplo (OGE).
Se dan los tres primeros términos de una progresión aritmética: \(62; 49; 36…\) Halla el valor del primer término negativo de esta progresión..
Solución:
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Se nos dan los primeros elementos de la secuencia y sabemos que es una progresión aritmética. Es decir, cada elemento se diferencia del vecino por el mismo número. Averigua cuál restando el anterior del siguiente elemento: \(d=49-62=-13\). |
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Ahora podemos restaurar nuestra progresión al elemento deseado (primer negativo). |
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Listo. Puedes escribir una respuesta. |
Responder: \(-3\)
Ejemplo (OGE).
Se dan varios elementos sucesivos de una progresión aritmética: \(...5; x; 10; 12.5...\) Encuentra el valor del elemento denotado por la letra \(x\).
Solución:
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Para encontrar \(x\), necesitamos saber cuánto difiere el siguiente elemento del anterior, en otras palabras, la diferencia de progresión. Encontrémoslo a partir de dos elementos vecinos conocidos: \(d=12.5-10=2.5\). |
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Y ahora encontramos lo que buscamos sin ningún problema: \(x=5+2.5=7.5\). |
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Listo. Puedes escribir una respuesta. |
Responder: \(7,5\).
Ejemplo (OGE).
Progresión aritmética dada siguientes condiciones: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Encuentra la suma de los primeros seis términos de esta progresión.
Solución:
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Necesitamos encontrar la suma de los primeros seis términos de la progresión. Pero no conocemos sus significados, solo se nos da el primer elemento. Por lo tanto, primero calculamos los valores a su vez, utilizando lo que se nos ha dado: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
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\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Se ha encontrado la cantidad solicitada. |
Responder: \(S_6=9\).
Ejemplo (OGE).
En progresión aritmética \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Encuentra la diferencia de esta progresión.
Solución:
Responder: \(d=7\).
Fórmulas importantes de progresión aritmética
Como puede ver, muchos problemas de progresión aritmética se pueden resolver simplemente entendiendo lo principal: que una progresión aritmética es una cadena de números, y cada siguiente elemento en esta cadena se obtiene sumando el mismo número al anterior (la diferencia de la progresión).
Sin embargo, a veces hay situaciones en las que es muy inconveniente resolver "en la frente". Por ejemplo, imagine que en el primer ejemplo, necesitamos encontrar no el quinto elemento \(b_5\), sino el trescientos ochenta y seis \(b_(386)\). ¿Qué es, \ (385 \) veces para sumar cuatro? O imagine que en el penúltimo ejemplo, necesita encontrar la suma de los primeros setenta y tres elementos. Contar es confuso...
Por lo tanto, en tales casos, no resuelven "en la frente", sino que usan fórmulas especiales derivadas de la progresión aritmética. Y las principales son la fórmula del enésimo término de la progresión y la fórmula de la suma \(n\) de los primeros términos.
Fórmula para el miembro \(n\)th: \(a_n=a_1+(n-1)d\), donde \(a_1\) es el primer miembro de la progresión;
\(n\) – número del elemento requerido;
\(a_n\) es un miembro de la progresión con el número \(n\).
Esta fórmula nos permite encontrar rápidamente al menos el elemento trescientos, incluso el millonésimo, conociendo solo el primero y la diferencia de progresión.
Ejemplo.
La progresión aritmética viene dada por las condiciones: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Encuentra \(b_(246)\).
Solución:
Responder: \(b_(246)=1850\).
La fórmula para la suma de los primeros n términos es: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), donde
\(a_n\) es el último término sumado;
Ejemplo (OGE).
La progresión aritmética viene dada por las condiciones \(a_n=3.4n-0.6\). Encuentra la suma de los primeros \(25\) términos de esta progresión.
Solución:
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\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Para calcular la suma de los primeros veinticinco elementos, necesitamos saber el valor del primer y vigésimo quinto término. |
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\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\) |
Ahora encontremos el vigésimo quinto término sustituyendo veinticinco en lugar de \(n\). |
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\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\) |
Bueno, ahora calculamos la cantidad requerida sin ningún problema. |
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\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
La respuesta está lista. |
Responder: \(S_(25)=1090\).
Para la suma \(n\) de los primeros términos, puedes obtener otra fórmula: solo necesitas \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) en lugar de \(a_n\) sustituye la fórmula por \(a_n=a_1+(n-1)d\). Obtenemos:
La fórmula para la suma de los primeros n términos es: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), donde
\(S_n\) – la suma requerida \(n\) de los primeros elementos;
\(a_1\) es el primer término que se suma;
\(d\) – diferencia de progresión;
\(n\) - el número de elementos en la suma.
Ejemplo.
Encuentre la suma de los primeros \(33\)-ex términos de la progresión aritmética: \(17\); \(15,5\); \(catorce\)…
Solución:
Responder: \(S_(33)=-231\).
Problemas de progresión aritmética más complejos
Ahora tienes toda la información que necesitas para resolver casi cualquier problema de progresión aritmética. Terminemos el tema considerando problemas en los que no solo necesitas aplicar fórmulas, sino también pensar un poco (en matemáticas, esto puede ser útil ☺)
Ejemplo (OGE).
Encuentra la suma de todos los términos negativos de la progresión: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Solución:
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\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
La tarea es muy similar a la anterior. Empezamos a resolver de la misma manera: primero encontramos \(d\). |
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\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Ahora sustituiríamos \(d\) en la fórmula de la suma... y aquí aparece un pequeño matiz: no sabemos \(n\). En otras palabras, no sabemos cuántos términos se necesitarán agregar. ¿Cómo averiguarlo? Pensemos. Dejaremos de agregar elementos cuando lleguemos al primer elemento positivo. Es decir, debe averiguar el número de este elemento. ¿Cómo? Escribamos la fórmula para calcular cualquier elemento de una progresión aritmética: \(a_n=a_1+(n-1)d\) para nuestro caso. |
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\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
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\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\) |
Necesitamos que \(a_n\) sea mayor que cero. Averigüemos por qué \(n\) sucederá esto. |
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\(-19.3+(n-1) 0.3>0\) |
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\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
Dividimos ambos lados de la desigualdad por \(0,3\). |
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\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Transferimos menos uno, sin olvidar cambiar de signo. |
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\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Informática... |
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\(n>65,333…\) |
…y resulta que el primer elemento positivo tendrá el número \(66\). En consecuencia, el último negativo tiene \(n=65\). Por si acaso, vamos a comprobarlo. |
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\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) |
Por lo tanto, necesitamos agregar los primeros elementos \(65\). |
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\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
La respuesta está lista. |
Responder: \(S_(65)=-630.5\).
Ejemplo (OGE).
La progresión aritmética viene dada por las condiciones: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Encuentre la suma de \(26\)th a \(42\) elemento inclusive.
Solución:
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\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
En este problema, también necesitas encontrar la suma de los elementos, pero comenzando no desde el primero, sino desde el \(26\)ésimo. No tenemos una fórmula para esto. ¿Cómo decidir? |
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Para nuestra progresión \(a_1=-33\), y la diferencia \(d=4\) (después de todo, sumamos cuatro al elemento anterior para encontrar el siguiente). Sabiendo esto, encontramos la suma de los primeros \(42\)-uh elementos. |
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\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Ahora la suma de los primeros \(25\)-ésimos elementos. |
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\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Y finalmente, calculamos la respuesta. |
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\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Responder: \(S=1683\).
Para una progresión aritmética, existen varias fórmulas más que no hemos considerado en este artículo debido a su escasa utilidad práctica. Sin embargo, puedes encontrarlos fácilmente.
