Məktəbin riyaziyyat kursunu xatırlayaq və tangensin nə olduğunu və bucağın tangensini necə tapmaq barədə danışaq. Əvvəlcə tangens adlanan şeyi müəyyən edək. AT düz üçbucaq tangens kəskin bucaqəks ayağın bitişik birinə nisbətidir. Qonşu ayaq bucağın formalaşmasında iştirak edən ayaqdır, əksi isə bucağın qarşısında yerləşən ayaqdır.

Həmçinin, kəskin bucağın tangensi bu bucağın sinusunun onun kosinusuna nisbətidir. Anlamaq üçün bucağın sinusunun və kosinusunun nə olduğunu xatırlayırıq. Düzbucaqlı üçbucaqda kəskin bucağın sinusu əks ayağın hipotenuzaya nisbətidir, kosinus bitişik ayağın hipotenuzaya nisbətidir.

Kotangens də var, o, tangensin əksidir. Kotangent, bitişik ayağın əks ayağına nisbəti və müvafiq olaraq bucağın kosinusunun sinusuna nisbətidir.

Sinus, kosinus, tangens və kotangens bucağın triqonometrik funksiyalarıdır, üçbucağın bucaqları və tərəfləri arasındakı əlaqəni göstərir, üçbucağın tərəflərini hesablamağa kömək edir.

Kəskin bucağın tangensini hesablayın

Üçbucaqda tangensi necə tapmaq olar? Tangensi axtarmağa vaxt itirməmək üçün bir çox bucaqların triqonometrik funksiyalarının göstərildiyi xüsusi cədvəllər tapa bilərsiniz. Məktəbdə həndəsə tapmacalarında müəyyən bucaqlar çox yaygındır və müəllimlərdən sinusların, kosinusların, tangenslərin və kotangentlərin dəyərlərini yadda saxlamaları xahiş olunur. Sizə bu açılar üçün istədiyiniz dəyərlərə malik kiçik bir boşqab təklif edirik.

Tangensi tapılmalı olan bucaq bu cədvəldə göstərilməyibsə, yuxarıda təqdim etdiyimiz iki düsturdan şifahi formada istifadə edə bilərsiniz.

Bucağın tangensini hesablamağın ilk yolu, əks ayağın uzunluğunu qonşu ayağın uzunluğuna bölməkdir. Tutaq ki, əks ayaq 4, bitişik ayaq isə 8-dir. Tangensi tapmaq üçün 4:8 lazımdır. Bucağın tangensi ½ və ya 0,5 olacaqdır.

Tangensi hesablamağın ikinci yolu verilmiş bucağın sinusunun qiymətini onun kosinusunun qiymətinə bölməkdir. Məsələn, bizə 45 dərəcə bucaq verilir. Onun günahı = ikiyə bölünən ikinin kvadrat kökü; onun cos eyni ədəddir. İndi sinusu kosinusa bölürük və tangensi birə bərabər alırıq.

Belə olur ki, bu xüsusi düsturdan istifadə etməlisiniz, ancaq yalnız bir element məlumdur - ya sinus, ya da kosinus. Bu halda düsturu xatırlatmaq faydalı olar

sin2 α + cos2 α = 1. Bu, əsas triqonometrik eynilikdir. Naməlum elementi məlum olan baxımından ifadə etməklə onun mənasını öyrənmək olar. Sinus və kosinusu bilməklə tangensi tapmaq çətin deyil.

Və əgər həndəsə aydın sizin çağırışınız deyil, etməkdir ev tapşırığı hələ də lazımdır, onda siz bucağın tangensini hesablamaq üçün onlayn kalkulyatordan istifadə edə bilərsiniz.

haqqında sizə məlumat verdik sadə nümunələr tangensi necə tapmaq olar. Bununla belə, tapşırıqların şərtləri daha çətindir və bütün lazımi məlumatları tez tapmaq həmişə mümkün deyil. Bu zaman sizə Pifaqor teoremi və müxtəlif triqonometrik funksiyalar kömək edəcək.

Triqonometriya triqonometrik funksiyaları və onların həndəsədə istifadəsini öyrənən riyaziyyatın bir sahəsidir. Triqonometriyanın inkişafı qədim Yunanıstan dövründə başlamışdır. Orta əsrlərdə Yaxın Şərq və Hindistan alimləri bu elmin inkişafına mühüm töhfə vermişlər.

Bu məqalə triqonometriyanın əsas anlayışlarına və təriflərinə həsr edilmişdir. Əsas triqonometrik funksiyaların təriflərini müzakirə edir: sinus, kosinus, tangens və kotangens. Onların həndəsə kontekstindəki mənası izah edilir və təsvir edilir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Əvvəlcə arqumenti bucaq olan triqonometrik funksiyaların tərifləri düzbucaqlı üçbucağın tərəflərinin nisbəti ilə ifadə edilirdi.

Triqonometrik funksiyaların tərifləri

Bucağın sinusu (sin α) bu bucağa qarşı olan ayağın hipotenuzaya nisbətidir.

Bucağın kosinusu (cos α) bitişik ayağın hipotenuzaya nisbətidir.

Bucağın tangensi (t g α) əks ayağın bitişik birinə nisbətidir.

Bucağın kotangensi (c t g α) bitişik ayağın əks tərəfə nisbətidir.

Bu təriflər düz üçbucağın iti bucağı üçün verilmişdir!

Bir illüstrasiya verək.

Düzbucaqlı C bucağı olan ABC üçbucağında A bucağının sinusu BC ayağının AB hipotenuzasına nisbətinə bərabərdir.

Sinus, kosinus, tangens və kotangensin tərifləri bu funksiyaların qiymətlərini üçbucağın tərəflərinin məlum uzunluqlarından hesablamağa imkan verir.

Xatırlamaq vacibdir!

Sinus və kotangens dəyərlərinin diapazonu: -1-dən 1-ə qədər. Başqa sözlə, sinus və kosinus -1-dən 1-ə qədər dəyərlər qəbul edir. Tangens və kotangens dəyərlərinin diapazonu bütün ədəd xəttidir, yəni bunlar funksiyalar istənilən qiymət ala bilər.

Yuxarıda verilmiş təriflər kəskin bucaqlara aiddir. Triqonometriyada fırlanma bucağı anlayışı təqdim edilir, onun dəyəri kəskin bucaqdan fərqli olaraq 0-dan 90 dərəcəyə qədər olan çərçivələrlə məhdudlaşmır.Fırlanma bucağı dərəcə və ya radyanla hər hansı bir real ədədlə ifadə edilir - ∞ - + ∞.

Bu kontekstdə ixtiyari böyüklükdə bir bucağın sinusunu, kosinusunu, tangensini və kotangensini təyin etmək olar. Dekart koordinat sisteminin mənşəyində mərkəzləşmiş vahid dairəni təsəvvür edin.

Koordinatları (1 , 0) olan A başlanğıc nöqtəsi vahid dairənin mərkəzi ətrafında müəyyən α bucağı ilə fırlanır və A 1 nöqtəsinə keçir. Tərif A 1 (x, y) nöqtəsinin koordinatları vasitəsilə verilir.

Fırlanma bucağının sinüsü (günahı).

α fırlanma bucağının sinusu A 1 (x, y) nöqtəsinin ordinatıdır. sinα = y

Fırlanma bucağının kosinusu (cos).

α fırlanma bucağının kosinusu A 1 (x, y) nöqtəsinin absisidir. cos α = x

Fırlanma bucağının tangensi (tg).

Fırlanma bucağının tangensi α A 1 (x, y) nöqtəsinin ordinatının onun absissinə nisbətidir. t g α = y x

Fırlanma bucağının kotangenti (ctg).

α fırlanma bucağının kotangensi A 1 (x, y) nöqtəsinin absissinin onun ordinatına nisbətidir. c t g α = x y

Sinus və kosinus istənilən fırlanma bucağı üçün müəyyən edilir. Bu məntiqlidir, çünki fırlanmadan sonra nöqtənin absisi və ordinatını istənilən bucaqda təyin etmək olar. Tangens və kotangens ilə vəziyyət fərqlidir. Fırlanmadan sonrakı nöqtə sıfır absis (0 , 1) və (0 , - 1) olan nöqtəyə getdikdə tangens müəyyən edilmir. Belə hallarda t g α = y x tangensi ifadəsinin sadəcə mənası yoxdur, çünki o, sıfıra bölməni ehtiva edir. Vəziyyət kotangentlə oxşardır. Fərq ondadır ki, nöqtənin ordinatının itdiyi hallarda kotangens müəyyən edilmir.

Xatırlamaq vacibdir!

Sinus və kosinus istənilən α bucaqları üçün müəyyən edilir.

Tangens α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z) istisna olmaqla bütün bucaqlar üçün müəyyən edilmişdir.

Kotangens α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) istisna olmaqla, bütün bucaqlar üçün müəyyən edilmişdir.

Qərar verərkən praktik nümunələr"fırlanma bucağının sinüsü α" deməyin. “Fırlanma bucağı” sözləri sadəcə olaraq çıxarılıb, o deməkdir ki, kontekstdən təhlükənin nə olduğu artıq aydındır.

Nömrələri

Bəs ədədin fırlanma bucağının deyil, sinusunun, kosinusunun, tangens və kotangensinin tərifi necədir?

Ədədin sinusu, kosinusu, tangensi, kotangensi

Ədədin sinusu, kosinusu, tangensi və kotangensi t müvafiq olaraq sinus, kosinus, tangens və kotangensə bərabər olan ədəd çağırılır t radian.

Məsələn, 10 π-nin sinüsü sinusuna bərabərdir fırlanma bucağı 10 π rad.

Ədədin sinusunu, kosinusunu, tangensini və kotangensini təyin etmək üçün başqa bir yanaşma var. Bunu daha ətraflı nəzərdən keçirək.

İstənilən real rəqəm t düzbucaqlı Dekart koordinat sisteminin başlanğıcındakı mərkəzlə vahid çevrənin üzərindəki nöqtə uyğun gəlir. Bu nöqtənin koordinatları baxımından sinus, kosinus, tangens və kotangens müəyyən edilir.

Dairənin başlanğıc nöqtəsi koordinatları (1 , 0) olan A nöqtəsidir.

müsbət rəqəm t

Mənfi nömrə t dairənin ətrafında saat əqrəbinin əksinə hərəkət edərsə və yolu keçərsə, başlanğıc nöqtəsinin hərəkət edəcəyi nöqtəyə uyğun gəlir t .

Dairənin üzərindəki ədədlə nöqtə arasında əlaqə qurulduğuna görə, indi sinus, kosinus, tangens və kotangensin tərifinə keçirik.

t sayının sinüsü (günahı).

Bir ədədin sinusu t- ədədə uyğun vahid dairənin nöqtəsinin ordinatı t. sin t = y

t-nin kosinusu (cos).

Ədədin kosinusu t- ədədə uyğun vahid dairənin nöqtəsinin absisi t. cos t = x

t-nin tangensi (tg).

Ədədin tangensi t- ədədə uyğun olan vahid dairənin nöqtəsinin absisinə ordinatın nisbəti t. t g t = y x = sin t cos t

Sonuncu təriflər bu bölmənin əvvəlində verilmiş tərifə uyğundur və onunla ziddiyyət təşkil etmir. Rəqəmə uyğun olan dairəni göstərin t, bucaqdan keçdikdən sonra başlanğıc nöqtəsinin keçdiyi nöqtə ilə üst-üstə düşür t radian.

Bucaq və ədədi arqumentin triqonometrik funksiyaları

α bucağının hər bir qiyməti bu bucağın sinusunun və kosinusunun müəyyən dəyərinə uyğundur. α = 90 ° + 180 ° · k -dən başqa bütün α bucaqları kimi, k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) tangensin müəyyən dəyərinə uyğundur. Kotangens, yuxarıda qeyd edildiyi kimi, α ​​= 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) istisna olmaqla, bütün α üçün müəyyən edilir.

Deyə bilərik ki, sin α , cos α , t g α , c t g α alfa bucağının funksiyaları və ya bucaq arqumentinin funksiyalarıdır.

Eynilə, ədədi arqumentin funksiyaları kimi sinus, kosinus, tangens və kotangensdən danışmaq olar. Hər real rəqəm tədədin sinusunun və ya kosinusunun xüsusi dəyərinə uyğundur t. π 2 + π · k , k ∈ Z-dən başqa bütün ədədlər tangensin dəyərinə uyğundur. Kotangens π · k , k ∈ Z istisna olmaqla, bütün ədədlər üçün eyni şəkildə müəyyən edilir.

Triqonometriyanın əsas funksiyaları

Sinus, kosinus, tangens və kotangens əsas triqonometrik funksiyalardır.

Adətən kontekstdən triqonometrik funksiyanın hansı arqumenti ilə (bucaq arqumenti və ya ədədi arqument) məşğul olduğumuz aydın olur.

Təriflərin ən əvvəlindəki məlumatlara və 0-dan 90 dərəcəyə qədər olan alfa bucağına qayıdaq. Sinus, kosinus, tangens və kotangensin triqonometrik tərifləri düzbucaqlı üçbucağın tərəflərinin nisbətləri ilə verilən həndəsi təriflərlə tam uyğundur. Gəlin onu göstərək.

Düzbucaqlı Dekart koordinat sistemində mərkəzləşdirilmiş vahid dairəni götürün. Gəlin dönək başlanqıc nöqtəsi A (1, 0) 90 dərəcəyə qədər bucaq altında və nəticədə A 1 (x, y) nöqtəsindən x oxuna perpendikulyar çəkin. Yaranan düzbucaqlı üçbucaqda A 1 O H bucağı fırlanma bucağına α, ayağının O H uzunluğu A 1 nöqtəsinin absissinə bərabərdir (x, y) . Küncün qarşısındakı ayağın uzunluğu A 1 (x, y) nöqtəsinin ordinatına bərabərdir, hipotenuzanın uzunluğu isə vahid dairənin radiusu olduğu üçün birə bərabərdir.

Həndəsədən verilən tərifə uyğun olaraq, α bucağının sinusu əks ayağın hipotenuzaya nisbətinə bərabərdir.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Bu o deməkdir ki, düzbucaqlı üçbucaqda kəskin bucağın sinusunun aspekt nisbəti vasitəsilə tərifi alfa 0-dan 90 dərəcəyə qədər olan fırlanma bucağının sinusunun tərifinə ekvivalentdir.

Eynilə, təriflərin uyğunluğu kosinus, tangens və kotangens üçün göstərilə bilər.

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Qarşı ayağın hipotenuzaya nisbəti deyilir iti bucağın sinüsü düz üçbucaq.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Düzbucaqlı üçbucağın iti bucağının kosinusu

Ən yaxın ayağın hipotenuzaya nisbəti deyilir iti bucağın kosinusu düz üçbucaq.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Düzbucaqlı üçbucağın iti bucağının tangensi

Qarşı ayağın bitişik ayağına nisbəti deyilir iti bucaq tangensi düz üçbucaq.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Düzbucaqlı üçbucağın iti bucağının kotangensi

Bitişik ayağın əks ayağına nisbəti deyilir iti bucağın kotangensi düz üçbucaq.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

İxtiyari bucağın sinusu

Vahid dairədə \alfa bucağının uyğun gəldiyi nöqtənin ordinatı deyilir ixtiyari bucağın sinüsü fırlanma \alfa .

\sin \alpha=y

İxtiyari bucağın kosinusu

Vahid çevrədə \alfa bucağının uyğun gəldiyi nöqtənin absisi deyilir ixtiyari bucağın kosinusu fırlanma \alfa .

\cos \alpha=x

İxtiyari bucağın tangensi

İxtiyari fırlanma bucağının \alfa sinusunun onun kosinusuna nisbəti deyilir ixtiyari bucağın tangensi fırlanma \alfa .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

İxtiyari bucağın kotangensi

İxtiyari fırlanma bucağının \alfa kosinusunun onun sinusuna nisbəti deyilir ixtiyari bucağın kotangensi fırlanma \alfa .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

İxtiyari bucağı tapmaq nümunəsi

Əgər \alpha hansısa AOM bucağıdırsa, burada M vahid dairənin nöqtəsidir, onda

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Məsələn, əgər \bucaq AOM = -\frac(\pi)(4), onda: M nöqtəsinin ordinatı -\frac(\sqrt(2))(2), absisdir \frac(\sqrt(2))(2) və buna görə də

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \sağ)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \sağ)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \sol (-\frac(\pi)(4) \sağ)=-1.

Kotangentlərin tangenslərinin kosinuslarının sinuslarının qiymətləri cədvəli

Əsas tez-tez rast gəlinən bucaqların dəyərləri cədvəldə verilmişdir:

Triqonometriyanı öyrənməyə düzbucaqlı üçbucaqla başlayırıq. Sinus və kosinusun nə olduğunu, eləcə də iti bucağın tangensi və kotangensini təyin edək. Bunlar triqonometriyanın əsaslarıdır.

Bunu xatırlayın düz bucaq 90 dərəcəyə bərabər olan bucaqdır. Başqa sözlə, açılmış küncün yarısı.

Kəskin künc- 90 dərəcədən az.

Küt bucaq- 90 dərəcədən çox. Belə bir bucaqla əlaqədar olaraq, "küt" təhqir deyil, riyazi bir termindir :-)

Gəlin düzbucaqlı üçbucaq çəkək. Düz bucaq adətən işarələnir. Qeyd edək ki, küncün qarşısındakı tərəf eyni hərflə qeyd olunur, yalnız kiçikdir. Beləliklə, A bucağına qarşı olan tərəf işarələnir.

Bucaq müvafiq ilə göstərilir Yunan hərfi.

Hipotenuz düz üçbucaq əks tərəfdir düz bucaq.

Ayaqlar- kəskin künclərə qarşı tərəflər.

Küncün qarşısındakı ayaq deyilir əks(bucağa nisbətən). Küncün bir tərəfində yatan digər ayaq deyilir bitişik.

Sinus Düzbucaqlı üçbucaqda kəskin bucaq əks ayağın hipotenuzaya nisbətidir:

Kosinus düz üçbucaqda kəskin bucaq - bitişik ayağın hipotenuzaya nisbəti:

Tangens Düzbucaqlı üçbucaqda kəskin bucaq - əks ayağın qonşuya nisbəti:

Başqa (ekvivalent) tərif: kəskin bucağın tangensi bucağın sinusunun onun kosinusuna nisbətidir:

Kotangent düz üçbucaqda kəskin bucaq - bitişik ayağın əks tərəfə nisbəti (və ya ekvivalent olaraq kosinusun sinus nisbəti):

Aşağıda verilmiş sinus, kosinus, tangens və kotangens üçün əsas nisbətlərə diqqət yetirin. Problemlərin həllində bizə faydalı olacaqlar.

Onlardan bəzilərini sübut edək.

Yaxşı, təriflər və yazılı düsturlar verdik. Bəs niyə bizə sinus, kosinus, tangens və kotangens lazımdır?

Biz bunu bilirik hər hansı üçbucağın bucaqlarının cəmidir.

arasındakı əlaqəni bilirik partiyalar düz üçbucaq. Bu Pifaqor teoremidir: .

Belə çıxır ki, üçbucaqda iki bucağı bilməklə üçüncünü tapmaq olar. Düzbucaqlı üçbucağın iki tərəfini bilməklə üçüncünü tapa bilərsiniz. Beləliklə, bucaqlar üçün - onların nisbəti, tərəflər üçün - öz. Bəs düz üçbucaqda bir bucaq (sağdan başqa) və bir tərəfi məlumdursa, amma başqa tərəfləri tapmaq lazımdırsa nə etməli?

Bu, insanların keçmişdə ərazinin və ulduzlu səmanın xəritələrini hazırladıqları şeydir. Axı, bir üçbucağın bütün tərəflərini birbaşa ölçmək həmişə mümkün deyil.

Sinus, kosinus və tangens - bunlara da deyilir bucağın triqonometrik funksiyaları- arasındakı nisbəti verin partiyalar və künclərüçbucaq. Bucağı bilməklə, xüsusi cədvəllərdən istifadə edərək onun bütün triqonometrik funksiyalarını tapa bilərsiniz. Üçbucağın və onun tərəflərindən birinin bucaqlarının sinuslarını, kosinuslarını və tangenslərini bilməklə, qalanını tapa bilərsiniz.

Həm də "yaxşı" bucaqlar üçün sinus, kosinus, tangens və kotangent dəyərlər cədvəlini çəkəcəyik.

Cədvəldəki iki qırmızı tireyə diqqət yetirin. Bucaqların müvafiq dəyərləri üçün tangens və kotangens mövcud deyil.

Bank of FIPI tapşırıqlarından triqonometriyada bir neçə problemi təhlil edək.

1. Üçbucaqda bucaq , -dir. tap .

Problem dörd saniyə ərzində həll olunur.

Nə qədər ki , .

2. Üçbucaqda bucaq , , dir. tap .

Pifaqor teoremi ilə tapaq.

Problem həll edildi.

Çox vaxt məsələlərdə bucaqları olan və ya bucaqları olan üçbucaqlar və . Onlar üçün əsas nisbətləri əzbərləyin!

Bucaqları olan üçbucaq və bucağın əksinə olan ayaq üçün bərabərdir hipotenuzanın yarısı.

Bucaqları olan və ikitərəfli üçbucaq. Orada hipotenuz ayaqdan dəfələrlə böyükdür.

Düzgün üçbucaqların həlli üçün - yəni naməlum tərəfləri və ya bucaqları tapmaq üçün məsələləri nəzərdən keçirdik. Ancaq bu, hamısı deyil! Riyaziyyatdan imtahan variantlarında üçbucağın xarici bucağının sinus, kosinus, tangens və ya kotangens göründüyü bir çox tapşırıq var. Bu barədə daha ətraflı növbəti məqalədə.

Orta səviyyə

Sağ üçbucaq. Tam təsvirli bələdçi (2019)

SAĞ üçbucaq. BİRİNCİ SƏVİYYƏ.

Problemlərdə düzgün bucaq heç də lazım deyil - aşağı sol, buna görə də bu formada sağ üçbucağı necə tanıyacağınızı öyrənməlisiniz,

və belə

və belə

Düzbucaqlı üçbucağın nə yaxşıdır? Yaxşı... ilk növbədə, xüsusi var gözəl adlar onun tərəfləri üçün.

Rəsmə diqqət!

Unutmayın və çaşdırmayın: ayaqları - iki və hipotenuz - yalnız bir(yeganə, unikal və ən uzun)!

Yaxşı, adları müzakirə etdik, indi ən vacib şey: Pifaqor teoremi.

Pifaqor teoremi.

Bu teorem düzbucaqlı üçbucaqla bağlı bir çox məsələlərin həlli üçün açardır. Pifaqor tərəfindən tamamilə qədim dövrlərdə sübut edilmişdir və o vaxtdan bəri onu bilənlərə çoxlu faydalar gətirmişdir. Və onun ən yaxşı tərəfi sadə olmasıdır.

Belə ki, Pifaqor teoremi:

"Pifaqor şalvarları hər tərəfdən bərabərdir!" Zarafatını xatırlayırsınızmı?

Gəlin bu çox Pifaqor şalvarlarını çəkək və onlara baxaq.

Həqiqətən şort kimi görünür? Yaxşı, hansı tərəflərdə və harada bərabərdirlər? Zarafat niyə və haradan gəldi? Və bu zarafat məhz Pifaqor teoremi ilə, daha doğrusu Pifaqorun özünün teoremini tərtib etdiyi üsulla bağlıdır. Və bunu belə tərtib etdi:

"Cəmi kvadratların sahəsi, ayaqları üzərində qurulmuş, bərabərdir kvadrat sahə hipotenuza üzərində qurulur.

Bir az fərqli səslənmir, elə deyilmi? Beləliklə, Pifaqor teoreminin ifadəsini çəkəndə belə bir mənzərə ortaya çıxdı.

Bu şəkildə kiçik kvadratların sahələrinin cəmi böyük kvadratın sahəsinə bərabərdir. Uşaqlar ayaqların kvadratlarının cəminin hipotenuzanın kvadratına bərabər olduğunu daha yaxşı xatırlasınlar ki, hazırcavab kimsə Pifaqor şalvarları haqqında bu zarafat icad etdi.

Niyə indi Pifaqor teoremini formalaşdırırıq?

Pifaqor əziyyət çəkib kvadratlardan danışıb?

Görürsən ki, qədim zamanlarda ... cəbr yox idi! Heç bir əlamət yox idi və s. Yazılar yox idi. Təsəvvür edirsinizmi, yazıq qədim tələbələrin hər şeyi sözlə əzbərləmələri nə qədər dəhşətli idi??! Və biz sevinə bilərik ki, Pifaqor teoreminin sadə formuluna malikik. Daha yaxşı xatırlamaq üçün bir daha təkrarlayaq:

İndi asan olmalıdır:

Yaxşı, düzbucaqlı üçbucaq haqqında ən vacib teorem müzakirə edildi. Bunun necə sübut olunduğu ilə maraqlanırsınızsa, nəzəriyyənin növbəti səviyyələrini oxuyun və indi keçək ... qaranlıq meşəyə ... triqonometriya! Dəhşətli sözlərə sinus, kosinus, tangens və kotangens.

Düzbucaqlı üçbucaqda sinus, kosinus, tangens, kotangens.

Əslində hər şey o qədər də qorxulu deyil. Təbii ki, məqalədə sinus, kosinus, tangens və kotangensin "əsl" tərifinə baxmaq lazımdır. Amma həqiqətən istəmirsən, elə deyilmi? Sevinə bilərik: düzbucaqlı üçbucaqla bağlı problemləri həll etmək üçün aşağıdakı sadə şeyləri doldurmaq kifayətdir:

Niyə hər şey küncə aiddir? Künc haradadır? Bunu başa düşmək üçün 1 - 4 ifadələrinin sözlə necə yazıldığını bilmək lazımdır. Baxın, anlayın və xatırlayın!

1.
Əslində belə səslənir:

Bəs bucaq? Küncün əksinə olan bir ayaq, yəni əks ayaq (künc üçün) varmı? Əlbəttə var! Bu katetdir!

Bəs bucaq haqqında nə demək olar? Yaxından baxın. Hansı ayaq küncə bitişikdir? Əlbəttə, pişik. Beləliklə, bucaq üçün ayaq bitişikdir və

İndi, diqqət! Görün nə əldə etdik:

Görün nə qədər böyükdür:

İndi keçək tangens və kotangensə.

İndi bunu sözlə necə ifadə etmək olar? Künclə əlaqəli ayaq nədir? Əksinə, əlbəttə ki, küncün qarşısında "yatır". Bəs katet? Künclə bitişik. Bəs biz nə əldə etdik?

Baxın, say və məxrəc necə tərsinə çevrilir?

İndi yenidən künclər və mübadilə etdi:

Xülasə

Gəlin öyrəndiklərimizi qısaca yazaq.

Pifaqor teoremi:

Əsas düzbucaqlı üçbucaq teoremi Pifaqor teoremidir.

Pifaqor teoremi

Yeri gəlmişkən, ayaqların və hipotenuzun nə olduğunu yaxşı xatırlayırsınız? Əgər yoxsa, o zaman şəklə baxın - biliklərinizi təzələyin

Ola bilər ki, siz artıq Pifaqor teoremindən dəfələrlə istifadə etmisiniz, lakin belə bir teoremin niyə doğru olduğunu heç düşünmüsünüzmü? Bunu necə sübut edərdiniz? Qədim yunanlar kimi edək. Bir tərəfi olan bir kvadrat çəkək.

Görürsünüz, biz onun tərəflərini necə hiyləgərliklə uzunluqlu seqmentlərə böldük və!

İndi işarələnmiş nöqtələri birləşdirək

Burada biz başqa bir şeyi qeyd etdik, ancaq siz özünüz şəkilə baxıb bunun səbəbini düşünün.

Daha böyük kvadratın sahəsi nədir? Düzgün, . Bəs kiçik ərazi haqqında nə demək olar? Şübhəsiz ki, . Dörd küncün ümumi sahəsi qalır. Təsəvvür edin ki, biz onlardan ikisini götürüb hipotenuzlarla bir-birimizə söykəndik. Nə olub? İki düzbucaqlı. Beləliklə, "kəsiklərin" sahəsi bərabərdir.

İndi hamısını bir yerə qoyaq.

Gəlin çevirək:

Beləliklə, biz Pifaqora baş çəkdik - onun teoremini qədim üsulla sübut etdik.

Düzbucaqlı üçbucaq və triqonometriya

Düzbucaqlı üçbucaq üçün aşağıdakı əlaqələr yerinə yetirilir:

Kəskin bucağın sinusu əks ayağın hipotenuzaya nisbətinə bərabərdir

Kəskin bucağın kosinusu bitişik ayağın hipotenuzaya nisbətinə bərabərdir.

Kəskin bucağın tangensi qarşı ayağın bitişik ayağına nisbətinə bərabərdir.

Kəskin bucağın kotangensi bitişik ayağın əks ayağına nisbətinə bərabərdir.

Və bir daha bütün bunlar boşqab şəklində:

Çox rahatdır!

Düzbucaqlı üçbucaqların bərabərliyinin əlamətləri

I. İki ayaqda

II. Ayaq və hipotenuza görə

III. Hipotenuza və iti bucaqla

IV. Ayaq və kəskin bucaq boyunca

a)

b)

Diqqət! Burada ayaqların "müvafiq" olması çox vacibdir. Məsələn, belə olarsa:

O zaman üçbucaqlar BƏRABƏR DEYİL, onların bir eyni kəskin bucağa malik olmasına baxmayaraq.

Lazımdır hər iki üçbucaqda ayaq bitişik və ya hər ikisində - əks idi.

Düzbucaqlı üçbucaqların bərabərlik əlamətlərinin üçbucaqların adi bərabərlik əlamətlərindən nə ilə fərqləndiyini görmüsünüzmü? Mövzuya baxın “və “adi” üçbucaqların bərabərliyi üçün onların üç elementinin bərabərliyinə ehtiyacınız olduğuna diqqət yetirin: iki tərəf və aralarındakı bir bucaq, iki bucaq və aralarındakı bir tərəf və ya üç tərəf. Düzbucaqlı üçbucaqların bərabərliyi üçün yalnız iki uyğun element kifayətdir. Əladır, elə deyilmi?

Düzbucaqlı üçbucaqların oxşarlıq əlamətləri ilə təxminən eyni vəziyyət.

Düzbucaqlı üçbucaqların oxşarlıq əlamətləri

I. Kəskin künc

II. İki ayaqda

III. Ayaq və hipotenuza görə

Düzbucaqlı üçbucaqda median

Niyə belədir?

Düzbucaqlı üçbucaq yerinə tam düzbucaqlı düşünün.

Diaqonal çəkək və bir nöqtəni - diaqonalların kəsişmə nöqtəsini nəzərdən keçirək. Düzbucaqlının diaqonalları haqqında nə bilirsiniz?

Və bundan nə çıxır?

Beləliklə, belə oldu

1. - median:

Bu faktı xatırlayın! Çox kömək edir!

Daha da təəccüblü olan odur ki, bunun əksi də doğrudur.

Hipotenuzaya çəkilən medianın hipotenuzanın yarısına bərabər olmasının nə faydası ola bilər? Şəkilə baxaq

Yaxından baxın. Bizdə: , yəni nöqtədən üçbucağın hər üç təpəsinə qədər olan məsafələr bərabər oldu. Ancaq bir üçbucaqda yalnız bir nöqtə var, üçbucağın hər üç təpəsinin məsafələri bərabərdir və bu, təsvir edilən DƏRƏNİN MƏRKƏZİDİR. Bəs nə baş verdi?

Beləliklə, "bundan başqa ..." ilə başlayaq.

i-yə baxaq.

Ancaq oxşar üçbucaqlarda bütün bucaqlar bərabərdir!

Eyni şeyi və haqqında da demək olar

İndi gəlin birlikdə çəkək:

Bu “üçlü” oxşarlıqdan nə fayda əldə etmək olar.

Yaxşı, məsələn - düzbucaqlı üçbucağın hündürlüyü üçün iki düstur.

Müvafiq tərəflərin münasibətlərini yazırıq:

Hündürlüyü tapmaq üçün nisbəti həll edirik və alırıq ilk düstur "Düzbucaqlı üçbucaqda hündürlük":

Beləliklə, oxşarlığı tətbiq edək: .

İndi nə olacaq?

Yenə nisbəti həll edirik və ikinci düsturu alırıq:

Bu düsturların hər ikisi çox yaxşı yadda saxlanılmalıdır və tətbiq etmək daha əlverişlidir. Gəlin onları bir daha yazaq.

Pifaqor teoremi:

Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzanın kvadratı ayaqların kvadratlarının cəminə bərabərdir:.

Düzbucaqlı üçbucaqların bərabərliyinin əlamətləri:

• iki ayaqda:
• ayaq və hipotenuz boyunca: və ya
• ayaq və ona bitişik kəskin bucaq boyunca: və ya
• ayaq boyunca və əks kəskin bucaq: və ya
• hipotenuza və iti bucaqla: və ya.

Düzbucaqlı üçbucaqların oxşarlığının əlamətləri:

• bir iti künc: və ya
• iki ayağın mütənasibliyindən:
• ayağın və hipotenuzun mütənasibliyindən: və ya.

Düzbucaqlı üçbucaqda sinus, kosinus, tangens, kotangens

• Düzbucaqlı üçbucağın iti bucağının sinusu əks ayağın hipotenuzaya nisbətidir:
• Düzbucaqlı üçbucağın kəskin bucağının kosinusu bitişik ayağın hipotenuzaya nisbətidir:
• Düzbucaqlı üçbucağın iti bucağının tangensi əks ayağın bitişik ayağına nisbətidir:
• Düzbucaqlı üçbucağın iti bucağının kotangensi bitişik ayağın əks tərəfə nisbətidir:.

Düzbucaqlı üçbucağın hündürlüyü: və ya.

Düzbucaqlı üçbucaqda düz bucağın təpəsindən çəkilmiş median hipotenuzanın yarısına bərabərdir: .

Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi:

• kateterlər vasitəsilə: