Me kërkesën tuaj!
7. Gjeni më të voglin periudhë pozitive funksionet: y=2cos(0.2x+1).
Le të zbatojmë rregullin: nëse funksioni f është periodik dhe ka një periudhë T, atëherë funksioni y=Af(kx+b) ku A, k dhe b janë konstante, dhe k≠0, është gjithashtu periodik, për më tepër, periudha e tij T o = T: |k|. Ne kemi T \u003d 2π - kjo është periudha më e vogël pozitive e funksionit të kosinusit, k \u003d 0.2. Gjejmë T o = 2π:0,2=20π:2=10π.
9. Distanca nga një pikë e barabartë nga kulmet e katrorit në rrafshin e tij është 9 dm. Gjeni distancën nga kjo pikë në anët e katrorit nëse brinja e katrorit është 8 inç.
10. Zgjidheni ekuacionin: 10=|5x+5x 2 |.
Meqenëse |10|=10 dhe |-10|=10, janë të mundshme 2 raste: 1) 5x 2 +5x=10 dhe 2) 5x 2 +5x=-10. Ndani secilën nga barazitë me 5 dhe zgjidhni ekuacionet kuadratike që rezultojnë:
1) x 2 +x-2=0, rrënjët sipas teoremës Vieta x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1. 2) x2 +x+2=0. Diskriminuesi është negativ - nuk ka rrënjë.
11. Zgjidhe ekuacionin:
Ne aplikojmë identitetin logaritmik bazë në anën e djathtë të barazisë:
Ne marrim barazinë:
Ne vendosim ekuacioni kuadratik x 2 -3x-4=0 dhe gjeni rrënjët: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 4.
13. Zgjidheni ekuacionin dhe gjeni shumën e rrënjëve të tij në intervalin e caktuar.
22. Zgjidh pabarazinë:
Atëherë pabarazia merr formën: tgt< 2. Построим графики уравнений: y=tgt и y=2. Выберем промежуток значений переменной t, при которых график y=tgt лежит ниже прямой у=2.
24. Drejtëza y= a x+b është pingul me drejtëzën y=2x+3 dhe kalon në pikën C(4; 5). Shkruani ekuacionin e saj. Direkty=k 1 x+b 1 dhe y=k 2 x+b 2 janë reciproke pingul nëse plotësohet kushti k 1 ∙k 2 =-1. Prandaj rrjedh se a 2=-1. Vija e dëshiruar do të duket kështu: y=(-1/2) x+b. Ne do të gjejmë vlerën e b nëse në ekuacionin e drejtëzës sonë në vend të X dhe në Zëvendësoni koordinatat e pikës C.
5=(-1/2) 4+b ⇒ 5=-2+b ⇒ b=7. Pastaj marrim ekuacionin: y \u003d (-1/2) x + 7.
25. Katër peshkatarë A, B, C dhe D mburreshin për kapjen e tyre:
1. D kapur më shumë C;
2. Shuma e kapjeve të A dhe B është e barabartë me shumën e kapjeve të C dhe D;
3. A dhe D së bashku kapën më pak se B dhe C së bashku. Regjistroni kapjen e peshkatarëve në rend zbritës.
Ne kemi: 1)
D>C; 2)
A+B=C+D; 3)
A+D Udhëzim Ju lutemi vini re se periudhë ic nuk ka gjithmonë pozitivin më të vogël periudhë. Kështu, për shembull, si periudhë por konstante funksione mund të jetë absolutisht çdo numër, dhe , mund të mos ketë pozitivin më të vogël periudhë a. Ka edhe të paqëndrueshme periudhë ical funksione, të cilat nuk kanë pozitivin më të vogël periudhë a. Megjithatë, në shumicën e rasteve më e vogla pozitive periudhë në periudhë ic është ende aty. Më së paku periudhë sinusi është 2?. Konsideroni këtë me një shembull funksione y=sin(x). Le të jetë T arbitrare periudhë ohm i sinusit, në këtë rast sin(a+T)=sin(a) për çdo vlerë të a. Nëse a=?/2, rezulton se sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. Megjithatë, sin(x)=1 vetëm nëse x=?/2+2?n, ku n është një numër i plotë. Nga kjo rrjedh se T=2?n, dhe si rrjedhim vlera më e vogël pozitive 2?n 2?. Më pak pozitive periudhë kosinusi është gjithashtu i barabartë me 2?. Konsideroni vërtetimin e kësaj me një shembull funksione y=cos(x). Nëse T është arbitrare periudhë kosinus, pastaj cos(a+T)=cos(a). Në rast se a=0, cos(T)=cos(0)=1. Duke pasur parasysh këtë, vlera më e vogël pozitive e T, në të cilën cos(x)=1, është 2?. Nisur nga fakti se 2? - periudhë sinus dhe kosinus, do të jetë njësoj periudhë om i kotangjentes, si dhe tangjentja, por jo minimumi, pasi, si , pozitivi më i vogël periudhë tangjente dhe kotangjente është e barabartë?. Ju mund ta verifikoni këtë duke marrë parasysh sa vijon: pikat që korrespondojnë me (x) dhe (x +?) në një rreth trigonometrik kanë një vendndodhje diametralisht të kundërt. Distanca nga pika (x) në pikën (x + 2?) korrespondon me gjysmën e rrethit. Sipas përkufizimit të tangjentës dhe kotangjentës, tg(x+?)=tgx dhe ctg(x+?)=ctgx, që do të thotë se më pak pozitive periudhë kotangjent dhe ?. shënim Mos i ngatërroni funksionet y=cos(x) dhe y=sin(x) - duke pasur të njëjtën periudhë, këto funksione shfaqen ndryshe. Këshilla të dobishme Për qartësi më të madhe, vizatoni një funksion trigonometrik për të cilin llogaritet periudha më e vogël pozitive. Burimet: Një funksion periodik është një funksion që përsërit vlerat e tij pas një periudhe jo zero. Periudha e një funksioni është një numër, shtimi i të cilit në argumentin e funksionit nuk e ndryshon vlerën e funksionit. Do t'ju duhet Udhëzim Video të ngjashme shënim Të gjitha funksionet trigonometrike janë periodike dhe të gjitha funksionet polinomiale me shkallë më të madhe se 2 janë aperiodike. Këshilla të dobishme Periudha e një funksioni të përbërë nga dy funksione periodike është shumëfishi më i vogël i përbashkët i periodave të këtyre funksioneve. Nëse marrim parasysh pikat në një rreth, atëherë pikat x, x + 2π, x + 4π, etj. përputhen me njëri-tjetrin. Pra trigonometrike funksione në një vijë të drejtë periodikisht përsërisin kuptimin e tyre. Nëse dihet periudha funksione, mund të ndërtoni një funksion në këtë periudhë dhe ta përsërisni atë në të tjerat. Udhëzim Le të jetë dhënë funksioni f(x) = sin^2(10x). Konsideroni sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Përdorni formulën e reduktimit: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Pastaj merrni 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) ose cos 20x = cos (20x+20T). Duke ditur se periudha e kosinusit është 2π, 20T = 2π. Prandaj, T = π/10. T është periudha më e vogël, dhe funksioni do të përsëritet përmes 2T, dhe përmes 3T, dhe në anën përgjatë boshtit: -T, -2T, etj. Këshilla të dobishme Përdorni formula për të ulur shkallën e një funksioni. Nëse tashmë i dini periudhat e ndonjë funksioni, përpiquni të reduktoni funksionin ekzistues në ato të njohura. Thirret një funksion, vlerat e të cilit përsëriten pas një numri të caktuar periodike. Kjo do të thotë, pavarësisht se sa perioda i shtoni vlerës së x, funksioni do të jetë i barabartë me të njëjtin numër. Çdo studim i funksioneve periodike fillon me kërkimin e periudhës më të vogël për të mos bërë punë shtesë: mjafton të studiohen të gjitha vetitë në një segment të barabartë me periudhën. Udhëzim Si rezultat, ju do të merrni një identitet të caktuar, përpiquni të gjeni periudhën minimale prej tij. Për shembull, nëse merrni mëkatin e barazisë (2T) = 0,5, pra, 2T = P / 6, domethënë T = P / 12. Nëse barazia rezulton e vërtetë vetëm në T = 0 ose parametri T varet nga x (për shembull, barazia 2T = x doli), sigurohuni që funksioni të mos jetë periodik. Për të gjetur periudhën më të shkurtër funksione që përmban vetëm një shprehje trigonometrike, përdorni . Nëse shprehja përmban sin ose cos, periudha për funksione do të jetë 2P, dhe për funksionet tg, ctg vendos periudhën më të vogël P. Ju lutemi vini re se funksioni nuk duhet të ngrihet në asnjë fuqi dhe ndryshorja nën shenjën funksione nuk duhet të shumëzohet me një numër të ndryshëm nga 1. Nëse cos ose mëkat brenda funksione ngritur në një fuqi të barabartë, përgjysmoni periudhën prej 2P. Grafikisht, ju mund ta shihni atë si kjo: funksione, nën boshtin x, do të reflektohet në mënyrë simetrike lart, kështu që funksioni do të përsëritet dy herë më shpesh. Për të gjetur periudhën më të vogël funksione duke qenë se këndi x është shumëzuar me ndonjë numër, veprohet si më poshtë: caktoni periudhën standarde të kësaj funksione(për shembull, për cos është 2P). Më pas ndajeni atë përpara ndryshores. Kjo do të jetë periudha minimale e kërkuar. Ulja e periudhës është qartë e dukshme në grafik: është saktësisht aq herë sa shumëzohet këndi nën shenjën trigonometrike. funksione. Nëse shprehja juaj ka dy periodike funksione shumëzuar me njëra-tjetrën, gjeni periudhën më të vogël për secilën veç e veç. Pastaj përcaktoni faktorin më pak të zakonshëm për ta. Për shembull, për periudhat P dhe 2/3P, faktori më i vogël i përbashkët do të jetë 3P (është pa mbetje si në P ashtu edhe në 2/3P). Llogaritja e pagës mesatare të punonjësve është e nevojshme për llogaritjen e përfitimeve për paaftësi të përkohshme, pagesa për udhëtime pune. Paga mesatare e specialistëve llogaritet në bazë të orëve aktuale të punës dhe varet nga paga, shtesat, shpërblimet e treguara në tabelën e personelit. Qëllimi: të përgjithësojë dhe sistemojë njohuritë e nxënësve për temën "Periodiciteti i funksioneve"; për të formuar aftësi në zbatimin e vetive të një funksioni periodik, gjetjen e periudhës më të vogël pozitive të një funksioni, vizatimin e funksioneve periodike; nxisin interesin për studimin e matematikës; kultivojnë vëzhgimin, saktësinë. Pajisjet: kompjuter, projektor multimedial, karta detyrash, rrëshqitje, orë, tavolina stoli, elemente artizanale popullore "Matematika është ajo që njerëzit përdorin për të kontrolluar natyrën dhe veten" Gjatë orëve të mësimit I. Faza organizative. Kontrollimi i gatishmërisë së nxënësve për mësimin. Prezantimi i temës dhe objektivave të orës së mësimit. II. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë. Ne kontrollojmë detyrat e shtëpisë sipas mostrave, diskutojmë pikat më të vështira. III. Përgjithësimi dhe sistematizimi i njohurive. 1. Punë ballore gojore. Pyetje teorike. 1) Formoni përkufizimin e periudhës së funksionit y=sin(x) = sin(x+360º) tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z sin(x+2π n)=sinx, n ∈ Z 5) Si të vizatoni një funksion periodik? ushtrime me gojë. 1) Provoni marrëdhëniet e mëposhtme a) mëkat (740º) = mëkat (20º) 2. Vërtetoni se këndi 540º është një nga periodat e funksionit y= cos(2x) 3. Vërtetoni se këndi 360º është një nga periodat e funksionit y=tg(x) 4. Shndërrojini këto shprehje në mënyrë që këndet e përfshira në to të mos kalojnë 90º në vlerë absolute. a) tg375º 5. Ku jeni takuar me fjalët PERIUDHË, PERIODICITET? Përgjigjet e nxënësve: Një periudhë në muzikë është një ndërtim në të cilin shprehet një mendim muzikor pak a shumë i plotë. Periudha gjeologjike është pjesë e një epoke dhe ndahet në epoka me një periudhë prej 35 deri në 90 milionë vjet. Gjysma e jetës së një lënde radioaktive. Thyesë periodike. Revista periodike janë botime të shtypura që shfaqen në data të përcaktuara rreptësisht. Sistemi periodik i Mendelejevit. 6. Në figura janë paraqitur pjesë të grafikëve të funksioneve periodike. Përcaktoni periudhën e funksionit. Përcaktoni periudhën e funksionit. Përgjigju: T=2; T=2; T=4; T=8. 7. Ku në jetën tuaj jeni takuar me ndërtimin e elementeve përsëritëse? Nxënësit përgjigjen: Elemente stoli, art popullor. IV. Zgjidhja kolektive e problemeve. (Zgjidhja e problemit në sllajde.) Le të shqyrtojmë një nga mënyrat për të studiuar një funksion për periodicitet. Kjo metodë anashkalon vështirësitë që lidhen me vërtetimin se një ose një periudhë tjetër është më e vogla, dhe gjithashtu nuk ka nevojë të prekni pyetje në lidhje me veprimet aritmetike mbi funksionet periodike dhe për periodicitetin e një funksioni kompleks. Arsyetimi bazohet vetëm në përcaktimin e një funksioni periodik dhe në faktin vijues: nëse T është periudha e funksionit, atëherë nT(n? 0) është periudha e tij. Detyra 1. Gjeni periodën më të vogël pozitive të funksionit f(x)=1+3(x+q>5) Zgjidhje: Le të supozojmë se periudha T e këtij funksioni. Atëherë f(x+T)=f(x) për të gjitha x ∈ D(f), d.m.th. 1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25) Le të marrim x=-0,25 (T)=0<=>T=n, n ∈ Z Ne kemi marrë se të gjitha periudhat e funksionit të konsideruar (nëse ekzistojnë) janë midis numrave të plotë. Zgjidhni midis këtyre numrave numrin më të vogël pozitiv. Kjo është 1
. Le të kontrollojmë nëse është në të vërtetë një periudhë 1
. f(x+1)=3(x+1+0.25)+1 Meqenëse (T+1)=(T) për çdo T, atëherë f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x), d.m.th. 1 - periudha f. Meqenëse 1 është më i vogli nga të gjithë numrat e plotë pozitiv, atëherë T=1. Detyra 2. Tregoni se funksioni f(x)=cos 2 (x) është periodik dhe gjeni periodën e tij kryesore. Detyra 3. Gjeni periudhën kryesore të funksionit f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x) Supozoni periudhën T të funksionit, pastaj për cilindo X raporti sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x) Nëse x=0 atëherë sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0 sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 Nëse x=-T, atëherë sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T) 5= - sin (1,5T)+5cos(0,75T) – sin(1.5Т)+5cos(0.75Т)=5 Duke shtuar, marrim: 10cos(0.75T)=10 2π
n, n € Z Le të zgjedhim nga të gjithë numrat "të dyshimtë" për periudhën pozitivin më të vogël dhe të kontrollojmë nëse është një pikë për f. Ky numër f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x) Pra, është periudha kryesore e funksionit f. Detyra 4. Kontrolloni nëse funksioni f(x)=sin(x) është periodik Le të jetë T periudha e funksionit f. Pastaj për çdo x mëkat|x+T|=mëkat|x| Nëse x=0, atëherë sin|T|=sin0, mëkat|T|=0 T=π n, n ∈ Z. Supozoni. Që për disa n numri π n është një pikë konsiderohet funksioni π n>0. Pastaj sin|π n+x|=sin|x| Kjo nënkupton që n duhet të jetë edhe çift edhe tek në të njëjtën kohë, gjë që është e pamundur. Prandaj, ky funksion nuk është periodik. Detyra 5. Kontrolloni nëse funksioni është periodik f(x)= Le të jetë T periudha f, atëherë Meqenëse numëruesit janë të barabartë, edhe emëruesit e tyre janë të barabartë, pra Prandaj, funksioni f nuk është periodik. Punë në grup. Detyrat për grupin 1. Detyrat për grupin 2. Kontrolloni nëse funksioni f është periodik dhe gjeni periodën e tij kryesore (nëse ekziston). f(x)=cos(2x)+2sin(2x) Detyrat për grupin 3. Në fund të punës grupet prezantojnë zgjidhjet e tyre. VI. Duke përmbledhur mësimin. Reflektimi. Mësuesi u jep studentëve karta me vizatime dhe u ofron të pikturojnë një pjesë të vizatimit të parë në përputhje me masën në të cilën, siç u duket atyre, ata kanë zotëruar metodat e studimit të funksionit për periodicitet, dhe në një pjesë të vizatimit të dytë. , në përputhje me kontributin e tyre në punën në mësim. VII. Detyre shtepie një). Kontrolloni nëse funksioni f është periodik dhe gjeni periodën e tij kryesore (nëse ekziston) b). f(x)=x 2 -2x+4 c). f(x)=2tg (3x+5) 2). Funksioni y=f(x) ka një periudhë T=2 dhe f(x)=x 2 +2x për x € [-2; 0]. Gjeni vlerën e shprehjes -2f(-3)-4f(3,5) letërsi/ Minimumi pozitiv periudhë funksione në trigonometri e shënuar me f. Karakterizohet nga vlera më e vogël e një numri pozitiv T, domethënë vlera e tij më e vogël T nuk do të jetë më periudhë ohm funksione . Do t'ju duhet 1.
Ju lutemi vini re se periudhë funksioni ical nuk ka gjithmonë një minimum të saktë periudhë. Kështu, për shembull, si periudhë por e vazhdueshme funksione mund të jetë pa kushte çdo numër, që do të thotë se mund të mos ketë pozitivin më të vogël periudhë a. Ka edhe të paqëndrueshme periudhë ical funksione, të cilat nuk kanë të rregulltin më të vogël periudhë a. Megjithatë, në shumicën e rasteve, minimumi është i saktë periudhë në periudhë funksionet ical janë ende atje. 2.
Minimumi periudhë sinusi është 2?. Shihni këtë shembull për konfirmim. funksione y=sin(x). Le të jetë T arbitrare periudhë ohm i sinusit, në këtë rast sin(a+T)=sin(a) për çdo vlerë të a. Nëse a=?/2, rezulton se sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. Megjithatë, sin(x)=1 vetëm nëse x=?/2+2?n, ku n është një numër i plotë. Nga këtu del se T=2?n, që do të thotë se vlera më e vogël pozitive e 2?n është 2?. 3.
Minimumi i saktë periudhë kosinusi është gjithashtu i barabartë me 2?. Shihni këtë shembull për konfirmim. funksione y=cos(x). Nëse T është arbitrare periudhë kosinus, pastaj cos(a+T)=cos(a). Në rast se a=0, cos(T)=cos(0)=1. Duke pasur parasysh këtë, vlera më e vogël pozitive e T për të cilën cos(x)=1 është 2?. 4.
Duke marrë parasysh faktin se 2? - periudhë sinus dhe kosinus, do të jetë e njëjta vlerë periudhë ohm i kotangjentes, si dhe tangjentja, por jo minimale, nga fakti se, siç dihet, minimumi është i saktë. periudhë tangjente dhe kotangjente është e barabartë?. Ju mund ta verifikoni këtë duke parë shembullin e mëposhtëm: pikat që u korrespondojnë numrave (x) dhe (x +?) në rrethin trigonometrik kanë një vendndodhje diametralisht të kundërt. Distanca nga pika (x) në pikën (x + 2?) korrespondon me gjysmën e rrethit. Sipas përcaktimit të tangjentës dhe kotangjentës, tg(x+?)=tgx dhe ctg(x+?)=ctgx, që do të thotë se minimumi është i saktë periudhë kotangjente dhe tangjente është e barabartë?. Një funksion periodik është një funksion që përsërit vlerat e tij pas një periudhe jo zero. Periudha e një funksioni është një numër, shtimi i të cilit në argumentin e funksionit nuk e ndryshon vlerën e funksionit. Do t'ju duhet 1.
Le të shënojmë periudhën e funksionit f(x) me numrin K. Detyra jonë është të gjejmë këtë vlerë të K. Për ta bërë këtë, imagjinoni që funksioni f(x), duke përdorur përkufizimin e një funksioni periodik, të barazojë f. (x+K)=f(x). 2.
E zgjidhim ekuacionin që rezulton për K-në e panjohur, sikur x të jetë një konstante. Në varësi të vlerës së K, do të ketë disa opsione. 3.
Nëse K>0, atëherë kjo është periudha e funksionit tuaj.Nëse K=0, atëherë funksioni f(x) nuk është periodik.Nëse zgjidhja e ekuacionit f(x+K)=f(x) nuk ekziston për çdo K jo të barabartë me zero, atëherë një funksion i tillë quhet aperiodik dhe gjithashtu nuk ka periodë. Video të ngjashme Shënim! Këshilla të dobishme Nëse marrim parasysh pikat në një rreth, atëherë pikat x, x + 2π, x + 4π, etj. përputhen me njëri-tjetrin. Pra trigonometrike funksione në një vijë të drejtë periodikisht përsërisin kuptimin e tyre. Nëse periudha është e famshme funksione, lejohet të ndërtohet një funksion në këtë periudhë dhe të përsëritet tek të tjerat. 1.
Periudha është një numër T i tillë që f(x) = f(x+T). Për të gjetur periudhën, zgjidhni ekuacionin përkatës, duke zëvendësuar x dhe x + T si argument. Në këtë rast, përdoren periudha më të njohura për funksionet. Për funksionet e sinusit dhe kosinusit, perioda është 2π, dhe për tangjenten dhe kotangjenten, është π. 2.
Le të jetë dhënë funksioni f(x) = sin^2(10x). Konsideroni shprehjen sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Përdorni formulën për të zvogëluar shkallën: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Pastaj merrni 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) ose cos 20x = cos (20x+20T). Duke ditur se periudha e kosinusit është 2π, 20T = 2π. Prandaj, T = π/10. T është periudha minimale e saktë, dhe funksioni do të përsëritet pas 2T, dhe pas 3T, dhe në drejtimin tjetër përgjatë boshtit: -T, -2T, etj. Këshilla të dobishme Thirret një funksion, vlerat e të cilit përsëriten pas një numri të caktuar periodike. Kjo do të thotë, pavarësisht se sa perioda i shtoni vlerës së x, funksioni do të jetë i barabartë me të njëjtin numër. Çdo kërkim për funksionet periodike fillon me kërkimin e periudhës më të vogël, për të mos bërë punë të panevojshme: mjafton të hetohen të gjitha pronat në një segment të barabartë me periudhën. 1.
Përdorni përkufizimin periodike funksione. Të gjitha vlerat x në funksione zëvendësohet me (x+T), ku T është periudha minimale funksione. Zgjidheni ekuacionin që rezulton, duke e konsideruar T si një numër të panjohur. 2.
Si rezultat, do të merrni njëfarë identiteti, përpiquni të gjeni periudhën më të vogël prej saj. Le të themi, nëse fitohet mëkati i barazisë (2T) = 0,5, pra, 2T = P / 6, domethënë T = P / 12. 3.
Nëse barazia rezulton e saktë vetëm në T=0 ose parametri T varet nga x (të themi, barazia 2T=x doli), bëni përfundimin se funksioni nuk është periodik. 4.
Për të gjetur periudhën minimale funksione që përmban vetëm një shprehje trigonometrike, përdorni rregullin. Nëse shprehja përmban sin ose cos, periudha për funksione do të jetë 2P, dhe për funksionet tg, ctg caktoni periudhën minimale P. Ju lutemi vini re se funksioni nuk duhet të ngrihet në asnjë fuqi, por ndryshorja nën shenjën funksione nuk duhet të shumëzohet me një numër të mirë nga 1. 5.
Nëse cos ose mëkat brenda funksione ndërtuar në një fuqi të barabartë, zvogëloni periudhën 2P përgjysmë. Grafikisht, ju mund ta shihni atë si kjo: grafiku funksione, i vendosur poshtë boshtit x, do të pasqyrohet në mënyrë simetrike lart, për rrjedhojë funksioni do të përsëritet dy herë më shpesh. 6.
Për të gjetur periudhën minimale funksione përkundër faktit se këndi x shumëzohet me ndonjë numër, veproni si më poshtë: përcaktoni periudhën tipike të kësaj funksione(të themi, sepse është 2P). Më pas ndajeni me faktorin përpara ndryshores. Kjo do të jetë periudha minimale e dëshiruar. Ulja e periudhës është krejtësisht e dukshme në grafik: zvogëlohet saktësisht aq herë sa shumëzohet këndi nën shenjën trigonometrike. funksione . 7.
Ju lutemi vini re se nëse x paraprihet nga një numër thyesor më i vogël se 1, periudha rritet, domethënë, grafiku, përkundrazi, shtrihet. 8.
Nëse shprehja juaj ka dy periodike funksione shumëzuar me njëra-tjetrën, gjeni periudhën minimale për secilën veç e veç. Pas kësaj, përcaktoni shumëzuesin minimal të përgjithshëm për ta. Le të themi për periudhat P dhe 2/3P, faktori minimal i përbashkët do të jetë 3P (ai ndahet pa mbetje me P dhe 2/3P). Llogaritja e pagës mesatare të punonjësve është e nevojshme për të llogaritur përfitimet e përkohshme të paaftësisë, pagesa për udhëtime pune. Paga mesatare e ekspertëve llogaritet në bazë të orëve reale të punës dhe varet nga paga, shtesat dhe shpërblimet e përcaktuara në tabelën e personelit. Do t'ju duhet 1.
Për të llogaritur pagën mesatare të një punonjësi, së pari përcaktoni periudhën për të cilën duhet ta llogaritni atë. Si zakonisht, kjo periudhë është 12 muaj kalendarik. Por nëse një punonjës punon në ndërmarrje për më pak se një vit, për shembull, 10 muaj, atëherë duhet të gjeni fitimet mesatare për kohën që eksperti kryen funksionin e tij të punës. 2.
Tani përcaktoni shumën e pagave që i janë grumbulluar në të vërtetë për periudhën e faturimit. Për ta bërë këtë, përdorni listën e pagave, sipas së cilës punonjësit iu dhanë të gjitha pagesat që i detyroheshin. Nëse është e paimagjinueshme të përdoren këto dokumente, atëherë shumëzoni pagën mujore, shpërblimet, shtesat me 12 (ose numrin e muajve që punonjësi punon në ndërmarrje nëse është i regjistruar në kompani për më pak se një vit). 3.
Llogaritni të ardhurat tuaja mesatare ditore. Për ta bërë këtë, ndani shumën e pagave për periudhën e faturimit me numrin mesatar të ditëve në një muaj (aktualisht është 29.4). Pjestoni totalin që rezulton me 12. 4.
Pas kësaj, përcaktoni numrin e orëve aktuale të punës. Për ta bërë këtë, përdorni fletën e kohës. Ky dokument duhet të plotësohet nga një kohëmatës, oficer personeli ose punonjës tjetër që e ka të përcaktuar këtë në përgjegjësitë e tyre të punës. 5.
Shumëzoni numrin e orëve të punuara me të ardhurat mesatare ditore. Shuma e marrë është paga mesatare e një eksperti për vitin. Pjestoni rezultatin me 12. Këto do të jenë të ardhurat mesatare mujore. Kjo llogaritje përdoret për punonjësit, lista e pagave të të cilëve varet nga orët aktuale të punës. 6.
Kur punonjësit i jepen pagat e punës, atëherë shumëzoni normën e tarifës (të treguar në tabelën e personelit dhe të përcaktuar nga kontrata e punës) me numrin e produkteve të prodhuara (përdorni aktin e punës së kryer ose një dokument tjetër në të cilin është regjistruar). Shënim! Këshilla të dobishme 
A.N. Kolmogorov
2) Cila është periudha më e vogël pozitive e funksioneve y=sin(x), y=cos(x)
3). Cila është periudha më e vogël pozitive e funksioneve y=tg(x), y=ctg(x)
4) Përdorni rrethin për të vërtetuar korrektësinë e marrëdhënieve:
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z
b) cos(54º ) = cos(-1026º)
c) sin (-1000º) = mëkat (80º )
b) ctg530º
c) mëkat1268º
d) cos(-7363º)
(x+T+0.25)=(x+0.25)
sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5
, pra sinT=0, T=π n, n € Z. Le të supozojmë se për disa n numri π n është me të vërtetë perioda e funksionit të dhënë. Atëherë numri 2π n do të jetë gjithashtu një pikë
Udhëzim
Udhëzim
Të gjitha funksionet trigonometrike janë periodike dhe të gjitha funksionet polinomiale me shkallë më të madhe se 2 janë aperiodike.
Periudha e një funksioni të përbërë nga 2 funksione periodike është shumëfishi më i vogël i përbashkët i periodave të këtyre funksioneve.Udhëzim
Përdorni formula për të ulur shkallën e një funksioni. Nëse jeni më të njohur me periudhat e disa funksioneve, përpiquni ta reduktoni funksionin ekzistues në ato të famshmet.Udhëzim
Udhëzim
Mos i ngatërroni funksionet y=cos(x) dhe y=sin(x) - duke pasur një periudhë identike, këto funksione shfaqen ndryshe.
Për qartësi më të madhe, vizatoni një funksion trigonometrik për të cilin llogaritet periudha minimale e saktë.
