Konceptet e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës janë kategoritë kryesore të trigonometrisë - një degë e matematikës dhe janë të lidhura pazgjidhshmërisht me përcaktimin e një këndi. Zotërimi i kësaj shkence matematikore kërkon memorizimin dhe kuptimin e formulave dhe teoremave, si dhe të menduarit e zhvilluar hapësinor. Kjo është arsyeja pse llogaritjet trigonometrike shpesh shkaktojnë vështirësi për nxënësit dhe studentët. Për t'i kapërcyer ato, duhet të njiheni më shumë me funksionet dhe formulat trigonometrike.
Konceptet në trigonometri
Për të kuptuar konceptet bazë të trigonometrisë, së pari duhet të vendosni se çfarë janë një trekëndësh kënddrejtë dhe një kënd në një rreth dhe pse të gjitha llogaritjet bazë trigonometrike lidhen me to. Një trekëndësh në të cilin një nga këndet është 90 gradë është një trekëndësh kënddrejtë. Historikisht, kjo figurë është përdorur shpesh nga njerëzit në arkitekturë, lundrim, art, astronomi. Prandaj, duke studiuar dhe analizuar vetitë e kësaj figure, njerëzit erdhën në llogaritjen e raporteve përkatëse të parametrave të saj.
Kategoritë kryesore që lidhen me trekëndëshat kënddrejtë janë hipotenuza dhe këmbët. Hipotenuza është ana e një trekëndëshi që është përballë këndit të drejtë. Këmbët, përkatësisht, janë dy anët e tjera. Shuma e këndeve të çdo trekëndëshi është gjithmonë 180 gradë.
Trigonometria sferike është një pjesë e trigonometrisë që nuk studiohet në shkollë, por në shkencat e aplikuara si astronomia dhe gjeodezia, shkencëtarët e përdorin atë. Një tipar i një trekëndëshi në trigonometrinë sferike është se ai gjithmonë ka një shumë këndesh më të mëdha se 180 gradë.
Këndet e një trekëndëshi
Në një trekëndësh kënddrejtë, sinusi i një këndi është raporti i këmbës përballë këndit të dëshiruar me hipotenuzën e trekëndëshit. Prandaj, kosinusi është raporti i këmbës ngjitur dhe hipotenuzës. Të dyja këto vlera kanë gjithmonë një vlerë më pak se një, pasi hipotenuza është gjithmonë më e gjatë se këmba.
Tangjenti i një këndi është një vlerë e barabartë me raportin e këmbës së kundërt me këmbën ngjitur të këndit të dëshiruar, ose sinusit me kosinusin. Kotangjenti, nga ana tjetër, është raporti i këmbës ngjitur të këndit të dëshiruar me kaktetin e kundërt. Kotangjentja e një këndi mund të merret edhe duke e pjesëtuar njësinë me vlerën e tangjentes.
rrethi njësi
Një rreth njësi në gjeometri është një rreth rrezja e të cilit është e barabartë me një. Një rreth i tillë ndërtohet në sistemin koordinativ kartezian, me qendrën e rrethit që përkon me pikën e origjinës, dhe pozicioni fillestar i vektorit të rrezes përcaktohet nga drejtimi pozitiv i boshtit X (boshti i abshisës). Çdo pikë e rrethit ka dy koordinata: XX dhe YY, domethënë koordinatat e abshisës dhe ordinatës. Duke zgjedhur çdo pikë të rrethit në rrafshin XX, dhe duke hedhur pingulen prej tij në boshtin e abshisës, marrim një trekëndësh kënddrejtë të formuar nga një rreze në pikën e zgjedhur (le ta shënojmë me shkronjën C), një pingul i tërhequr në boshti X (pika e kryqëzimit shënohet me shkronjën G), dhe një segment i boshtit të abshisës ndërmjet origjinës (pika shënohet me shkronjën A) dhe pikës së kryqëzimit G. Trekëndëshi që rezulton ACG është një trekëndësh kënddrejtë i gdhendur në një rreth, ku AG është hipotenuza, dhe AC dhe GC janë këmbët. Këndin ndërmjet rrezes së rrethit AC dhe segmentit të boshtit të abshisës me emërtimin AG, e përcaktojmë si α (alfa). Pra, cos α = AG/AC. Duke qenë se AC është rrezja e rrethit të njësisë dhe është e barabartë me një, rezulton se cos α=AG. Në mënyrë të ngjashme, sin α=CG.
Përveç kësaj, duke ditur këto të dhëna, mund të përcaktoni koordinatat e pikës C në rreth, pasi cos α \u003d AG, dhe sin α \u003d CG, që do të thotë se pika C ka koordinatat e dhëna(cos α;sin α). Duke ditur që tangjentja është e barabartë me raportin e sinusit me kosinusin, mund të përcaktojmë se tg α \u003d y / x, dhe ctg α \u003d x / y. Duke marrë parasysh këndet në një sistem koordinativ negativ, mund të llogaritet se vlerat e sinusit dhe kosinusit të disa këndeve mund të jenë negative.
Llogaritjet dhe formulat bazë
Vlerat e funksioneve trigonometrike
Duke marrë parasysh thelbin e funksioneve trigonometrike përmes rrethit të njësisë, mund të nxjerrim vlerat e këtyre funksioneve për disa kënde. Vlerat janë renditur në tabelën e mëposhtme.
Identitetet më të thjeshta trigonometrike
Ekuacionet në të cilat ka një vlerë të panjohur nën shenjën e funksionit trigonometrik quhen trigonometrike. Identitetet me vlerën sin x = α, k është çdo numër i plotë:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
- sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, nuk ka zgjidhje.
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * harksin α + πk.
Identitete me vlerën cos x = a, ku k është çdo numër i plotë:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, nuk ka zgjidhje.
- cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.
Identitete me vlerën tg x = a, ku k është çdo numër i plotë:
- tg x = 0, x = π/2 + πk.
- tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.
Identitete me vlerë ctg x = a, ku k është çdo numër i plotë:
- ctg x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.
Formulat e derdhjes
Kjo kategori formulash konstante tregon metoda me të cilat mund të kaloni nga funksionet trigonometrike të formës në funksionet e argumentit, domethënë të konvertoni sinusin, kosinusin, tangjentën dhe kotangjenten e një këndi të çdo vlere në treguesit përkatës të këndit të intervali nga 0 në 90 gradë për lehtësi më të madhe të llogaritjeve.
Formulat për reduktimin e funksioneve për sinusin e një këndi duken kështu:
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = mëkat α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = mëkat α.
Për kosinusin e një këndi:
- cos(900 - α) = mëkat α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Përdorimi i formulave të mësipërme është i mundur në varësi të dy rregullave. Së pari, nëse këndi mund të përfaqësohet si një vlerë (π/2 ± a) ose (3π/2 ± a), vlera e funksionit ndryshon:
- nga mëkati në cos;
- nga cos në mëkat;
- nga tg në ctg;
- nga ctg në tg.
Vlera e funksionit mbetet e pandryshuar nëse këndi mund të paraqitet si (π ± a) ose (2π ± a).
Së dyti, shenja e funksionit të reduktuar nuk ndryshon: nëse fillimisht ishte pozitive, ajo mbetet e tillë. E njëjta gjë vlen edhe për funksionet negative.
Formulat e shtimit
Këto formula shprehin vlerat e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së shumës dhe diferencës së dy këndeve të rrotullimit për sa i përket funksioneve të tyre trigonometrike. Këndet zakonisht shënohen si α dhe β.
Formulat duken kështu:
- sin(α ± β) = mëkat α * cos β ± cos α * mëkat.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Këto formula janë të vlefshme për çdo kënd α dhe β.
Formulat e këndit të dyfishtë dhe të trefishtë
Formulat trigonometrike për dyfishin dhe kënd i trefishtë janë formula që lidhin funksionet e këndeve 2α dhe 3α, përkatësisht, me funksionet trigonometrike të këndit α. Rrjedh nga formulat e shtimit:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2α.
- tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
- cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Kalimi nga shuma në produkt
Duke marrë parasysh se 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), duke thjeshtuar këtë formulë, marrim identitetin sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Në mënyrë të ngjashme, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α - β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Kalimi nga produkti në shumë
Këto formula rrjedhin nga identitetet për kalimin e shumës në produkt:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Formulat e reduktimit
Në këto identitete, sheshi dhe shkallë kub sinusi dhe kosinusi mund të shprehen në terma të sinusit dhe kosinusit të fuqisë së parë të një këndi të shumëfishtë:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Zëvendësimi universal
Formulat universale të zëvendësimit trigonometrik shprehin funksionet trigonometrike në terma të tangjentës së një gjysmë këndi.
- sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), ndërsa x \u003d π + 2πn;
- cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), ku x = π + 2πn;
- tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), ku x \u003d π + 2πn;
- ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), ndërsa x \u003d π + 2πn.
Raste të veçanta
Rastet e veçanta të ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike janë dhënë më poshtë (k është çdo numër i plotë).
Privat për sinus:
| sin x vlera | x vlera |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk ose 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk ose -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk ose 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk ose -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk ose 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk ose -2π/3 + 2πk |
Koeficientët e kosinusit:
| cos x vlera | x vlera |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2 πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Privat për tangjentë:
| tg x vlera | x vlera |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Koeficientët kotangjentë:
| ctg x vlera | x vlera |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Teorema
Teorema e sinusit
Ekzistojnë dy versione të teoremës - të thjeshta dhe të zgjeruara. Teorema e thjeshtë e sinusit: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Në këtë rast, a, b, c janë brinjët e trekëndëshit, dhe α, β, γ janë përkatësisht kënde të kundërta.
Teorema e sinusit të zgjeruar për një trekëndësh arbitrar: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Në këtë identitet, R tregon rrezen e rrethit në të cilin është brendashkruar trekëndëshi i dhënë.
Teorema e kosinusit
Identiteti shfaqet në këtë mënyrë: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Në formulë, a, b, c janë brinjët e trekëndëshit, dhe α është këndi përballë brinjës a.
Teorema tangjente
Formula shpreh marrëdhënien ndërmjet tangjentave të dy këndeve dhe gjatësisë së brinjëve përballë tyre. Brinjët emërtohen a, b, c dhe këndet përkatëse të kundërta janë α, β, γ. Formula e teoremës tangjente: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).
Teorema kotangjente
Lidh rrezen e një rrethi të gdhendur në një trekëndësh me gjatësinë e brinjëve të tij. Nëse a, b, c janë brinjët e një trekëndëshi, dhe A, B, C, përkatësisht, janë këndet e tyre të kundërta, r është rrezja e rrethit të brendashkruar dhe p është gjysma e perimetrit të trekëndëshit, identitetet e mëposhtme mbaj:
- ctg A/2 = (p-a)/r;
- ctg B/2 = (p-b)/r;
- ctg C/2 = (p-c)/r.
Aplikacionet
Trigonometria nuk është vetëm një shkencë teorike e lidhur me formulat matematikore. Vetitë, teoremat dhe rregullat e tij përdoren në praktikë nga industri të ndryshme veprimtaria njerëzore- astronomi, ajrore dhe lundrimi detar, teoria e muzikës, gjeodezia, kimia, akustika, optika, elektronika, arkitektura, ekonomia, inxhinieria mekanike, puna matëse, grafika kompjuterike, hartografia, oqeanografia dhe shumë të tjera.
Sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja janë konceptet bazë të trigonometrisë, me të cilat mund të shprehni matematikisht marrëdhëniet midis këndeve dhe gjatësive të brinjëve në një trekëndësh dhe të gjeni sasitë e dëshiruara përmes identiteteve, teoremave dhe rregullave.
Raporti i këmbës së kundërt me hipotenuzën quhet sinusit kënd akut trekëndësh kënddrejtë.
\sin \alfa = \frac(a)(c)
Kosinusi i një këndi akut të një trekëndëshi kënddrejtë
Raporti i këmbës më të afërt me hipotenuzën quhet kosinus i një këndi akut trekëndësh kënddrejtë.
\cos \alfa = \frac(b)(c)
Tangjenta e një këndi akut të një trekëndëshi kënddrejtë
Raporti i këmbës së kundërt me këmbën ngjitur quhet tangjente e këndit akut trekëndësh kënddrejtë.
tg \alfa = \frac(a)(b)
Kotangjentja e një këndi akut të një trekëndëshi kënddrejtë
Raporti i këmbës ngjitur me këmbën e kundërt quhet kotangjent i një këndi akut trekëndësh kënddrejtë.
ctg \alfa = \frac(b)(a)
Sinus i një këndi arbitrar
Quhet ordinata e pikës në rrethin njësi të cilës i përgjigjet këndi \alfa sinus i një këndi arbitrar rrotullim \alfa .
\sin \alfa=y
Kosinusi i një këndi arbitrar
Quhet abshisa e një pike në rrethin njësi të cilit i përgjigjet këndi \alfa kosinus i një këndi arbitrar rrotullim \alfa .
\cos \alfa=x
Tangjenta e një këndi arbitrar
Raporti i sinusit të një këndi të rrotullimit arbitrar \alfa me kosinusin e tij quhet tangjente e një këndi arbitrar rrotullim \alfa .
tg \alfa = y_(A)
tg \alfa = \frac(\sin \alfa)(\cos \alfa)
Kotangjente e një këndi arbitrar
Raporti i kosinusit të një këndi të rrotullimit arbitrar \alfa me sinusin e tij quhet kotangjent i një këndi arbitrar rrotullim \alfa .
ctg \alfa =x_(A)
ctg \alfa = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
Një shembull i gjetjes së një këndi arbitrar
Nëse \alfa është një kënd AOM , ku M është një pikë në rrethin e njësisë, atëherë
\sin \alfa=y_(M) , \cos \alfa=x_(M) , tg \alfa=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alfa=\frac(x_(M))(y_(M)).
Për shembull, nëse \kënd AOM = -\frac(\pi)(4), atëherë: ordinata e pikës M është -\frac(\sqrt(2))(2), abshisa është \frac(\sqrt(2))(2) dhe kjo është arsyeja pse
\sin \majtas (-\frac(\pi)(4) \djathtas)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \majtas (\frac(\pi)(4) \djathtas)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \majtas (-\frac(\pi)(4) \djathtas)=-1.
Tabela e vlerave të sinuseve të kosinuseve të tangjentëve të kotangjenteve
Vlerat e këndeve kryesore që hasen shpesh janë dhënë në tabelë:
| 0^(\rreth) (0) | 30^(\circ)\majtas(\frac(\pi)(6)\djathtas) | 45^(\circ)\majtas(\frac(\pi)(4)\djathtas) | 60^(\circ)\majtas(\frac(\pi)(3)\djathtas) | 90^(\circ)\majtas(\frac(\pi)(2)\djathtas) | 180^(\circ)\majtas(\pi\djathtas) | 270^(\circ)\majtas(\frac(3\pi)(2)\djathtas) | 360^(\circ)\majtas(2\pi\djathtas) | |
| \sin\alfa | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\alfa | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg\alfa | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg\alfa | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
Trigonometria është një degë e matematikës që studion funksionet trigonometrike dhe përdorimin e tyre në gjeometri. Zhvillimi i trigonometrisë filloi në atë kohë Greqia e lashte. Gjatë Mesjetës, shkencëtarët nga Lindja e Mesme dhe India dhanë një kontribut të rëndësishëm në zhvillimin e kësaj shkence.
Ky artikull i kushtohet koncepteve dhe përkufizimeve bazë të trigonometrisë. Ai diskuton përkufizimet e funksioneve kryesore trigonometrike: sinus, kosinus, tangjent dhe kotangjent. Shpjegohet dhe ilustrohet kuptimi i tyre në kontekstin e gjeometrisë.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Fillimisht, përkufizimet e funksioneve trigonometrike, argumenti i të cilëve është një kënd, u shprehën përmes raportit të brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë.
Përkufizime të funksioneve trigonometrike
Sinusi i një këndi (sin α) është raporti i këmbës përballë këtij këndi me hipotenuzën.
Kosinusi i këndit (cos α) është raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën.
Tangjentja e këndit (t g α) është raporti i këmbës së kundërt me atë ngjitur.
Kotangjentja e këndit (c t g α) është raporti i këmbës ngjitur me atë të kundërt.
Këto përkufizime janë dhënë për një kënd të mprehtë të një trekëndëshi kënddrejtë!
Le të japim një ilustrim.
Në trekëndëshin ABC me kënd të drejtë C, sinusi i këndit A është i barabartë me raportin e këmbës BC me hipotenuzën AB.
Përkufizimet e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës bëjnë të mundur llogaritjen e vlerave të këtyre funksioneve nga gjatësitë e njohura të brinjëve të një trekëndëshi.
E rëndësishme të mbani mend!
Gama e vlerave të sinusit dhe kosinusit: nga -1 në 1. Me fjalë të tjera, sinusi dhe kosinusi marrin vlera nga -1 në 1. Gama e vlerave tangjente dhe kotangjente është e gjithë linja numerike, domethënë këto funksionet mund të marrin çdo vlerë.
Përkufizimet e dhëna më sipër i referohen këndeve akute. Në trigonometri prezantohet koncepti i këndit të rrotullimit, vlera e të cilit, ndryshe nga këndi akut, nuk kufizohet me korniza nga 0 në 90 gradë. Këndi i rrotullimit në gradë ose radianë shprehet me çdo numër real nga - ∞ në + ∞.
Në këtë kontekst, mund të përkufizohet sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja e një këndi me madhësi arbitrare. Imagjinoni një rreth njësi të përqendruar në origjinën e sistemit të koordinatave karteziane.
Pika e fillimit A me koordinatat (1, 0) rrotullohet rreth qendrës së rrethit të njësisë me një kënd α dhe shkon në pikën A 1 . Përkufizimi jepet nëpërmjet koordinatave të pikës A 1 (x, y).
Sinusi (mëkati) i këndit të rrotullimit
Sinusi i këndit të rrotullimit α është ordinata e pikës A 1 (x, y). sinα = y
Kosinusi (cos) i këndit të rrotullimit
Kosinusi i këndit të rrotullimit α është abshisa e pikës A 1 (x, y). cos α = x
Tangjenta (tg) e këndit të rrotullimit
Tangjentja e këndit të rrotullimit α është raporti i ordinatës së pikës A 1 (x, y) me abshisën e saj. t g α = y x
Kotangjentja (ctg) e këndit të rrotullimit
Kotangjentja e këndit të rrotullimit α është raporti i abshisës së pikës A 1 (x, y) ndaj ordinatës së saj. c t g α = x y
Sinusi dhe kosinusi përcaktohen për çdo kënd rrotullimi. Kjo është logjike, sepse abshisa dhe ordinata e pikës pas rrotullimit mund të përcaktohen në çdo kënd. Situata është e ndryshme me tangjenten dhe kotangjenten. Tangjentja nuk përcaktohet kur pika pas rrotullimit shkon në pikën me abshisë zero (0 , 1) dhe (0 , - 1). Në raste të tilla, shprehja për tangjenten t g α = y x thjesht nuk ka kuptim, pasi përmban pjesëtim me zero. Situata është e ngjashme me kotangjentën. Ndryshimi është se kotangjentja nuk përcaktohet në rastet kur ordinata e pikës zhduket.
E rëndësishme të mbani mend!
Sinusi dhe kosinusi përcaktohen për çdo kënd α.
Tangjentja përcaktohet për të gjitha këndet përveç α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)
Kotangjentja përcaktohet për të gjitha këndet përveç α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Kur vendoset shembuj praktik mos thuaj "sinus i këndit të rrotullimit α". Fjalët "kënd rrotullimi" thjesht janë hequr, duke nënkuptuar se nga konteksti tashmë është e qartë se çfarë është në rrezik.
Numrat
Po përkufizimi i sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një numri, dhe jo këndit të rrotullimit?
Sinus, kosinus, tangent, kotangjent i një numri
Sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja e një numri t quhet një numër, i cili është përkatësisht i barabartë me sinusin, kosinusin, tangjentën dhe kotangjentin në t radian.
Për shembull, sinusi prej 10 π e barabartë me sinusin kënd rrotullimi prej 10 π rad.
Ekziston një qasje tjetër për përkufizimin e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një numri. Le ta shqyrtojmë më në detaje.
Çdo numër real t një pikë në rrethin e njësisë vihet në përputhje me qendrën në origjinën e sistemit të koordinatave karteziane drejtkëndëshe. Sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja përcaktohen në lidhje me koordinatat e kësaj pike.
Pika e fillimit në rreth është pika A me koordinata (1, 0).
numër pozitiv t
Numri negativ t i përgjigjet pikës në të cilën do të lëvizë pika e fillimit nëse ajo lëviz në drejtim të kundërt të akrepave të orës rreth rrethit dhe kalon shtegun t.
Tani që është vendosur lidhja midis numrit dhe pikës në rreth, ne vazhdojmë me përcaktimin e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës.
Sinusi (mëkati) i numrit t
Sinusi i një numri t- ordinata e pikës së rrethit njësi që i përgjigjet numrit t. sin t = y
Kosinusi (cos) i t
Kosinusi i një numri t- abshisa e pikës së rrethit njësi që i përgjigjet numrit t. cos t = x
Tangjenta (tg) e t
Tangjentja e një numri t- raporti i ordinatës me abshisën e pikës së rrethit njësi që i korrespondon numrit t. t g t = y x = sin t cos t
Përkufizimet e fundit janë në përputhje dhe nuk kundërshtojnë përkufizimin e dhënë në fillim të këtij seksioni. Tregoni në një rreth që i korrespondon një numri t, përkon me pikën në të cilën kalon pika e fillimit pas kthimit nëpër kënd t radian.
Funksionet trigonometrike të argumentit këndor dhe numerik
Çdo vlerë e këndit α korrespondon me një vlerë të caktuar të sinusit dhe kosinusit të këtij këndi. Ashtu si të gjithë këndet α përveç α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) i përgjigjet një vlere të caktuar të tangjentes. Kotangjentja, siç u përmend më lart, përcaktohet për të gjithë α, përveç α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).
Mund të themi se sin α , cos α , t g α , c t g α janë funksione të këndit alfa, ose funksione të argumentit këndor.
Në mënyrë të ngjashme, mund të flitet për sinus, kosinus, tangjentë dhe kotangjent si funksione të një argumenti numerik. Çdo numër real t korrespondon me një vlerë specifike të sinusit ose kosinusit të një numri t. Të gjithë numrat përveç π 2 + π · k , k ∈ Z, korrespondojnë me vlerën e tangjentes. Kotangjentja përcaktohet në mënyrë të ngjashme për të gjithë numrat përveç π · k , k ∈ Z.
Funksionet themelore të trigonometrisë
Sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja janë funksionet bazë trigonometrike.
Zakonisht nga konteksti del qartë se me cilin argument të funksionit trigonometrik (argument këndor apo argument numerik) kemi të bëjmë.
Le të kthehemi te të dhënat që në fillim të përkufizimeve dhe këndit alfa, i cili shtrihet në intervalin nga 0 në 90 gradë. Përkufizimet trigonometrike të sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës janë në përputhje të plotë me përkufizimet gjeometrike të dhëna nga raportet e brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë. Le ta tregojmë.
Merrni një rreth njësi të përqendruar në një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor. Le ta rrotullojmë pikën fillestare A (1, 0) me një kënd deri në 90 gradë dhe të tërheqim nga pika që rezulton A 1 (x, y) pingul me boshtin x. Në trekëndëshin kënddrejtë që rezulton, këndi A 1 O H është i barabartë me këndin e rrotullimit α, gjatësia e këmbës O H është e barabartë me abshisën e pikës A 1 (x, y) . Gjatësia e këmbës përballë këndit është e barabartë me ordinatën e pikës A 1 (x, y), dhe gjatësia e hipotenuzës është e barabartë me një, pasi është rrezja e rrethit njësi.
Në përputhje me përkufizimin nga gjeometria, sinusi i këndit α është i barabartë me raportin e këmbës së kundërt me hipotenuzën.
mëkat α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y
Kjo do të thotë që përkufizimi i sinusit të një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë përmes raportit të aspektit është i barabartë me përkufizimin e sinusit të këndit të rrotullimit α, me alfa që shtrihet në intervalin nga 0 në 90 gradë.
Në mënyrë të ngjashme, korrespondenca e përkufizimeve mund të tregohet për kosinusin, tangjentën dhe kotangjentën.
Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter
Fillimisht, sinusi dhe kosinusi u ngritën për shkak të nevojës për të llogaritur sasitë në trekëndëshat kënddrejtë. U vu re se nëse vlera e masës së shkallës së këndeve në një trekëndësh kënddrejtë nuk ndryshohet, atëherë raporti i pamjes, sado që këto brinjë të ndryshojnë në gjatësi, mbetet gjithmonë i njëjtë.
Kështu u prezantuan konceptet e sinusit dhe kosinusit. Sinusi i një këndi akut në një trekëndësh kënddrejtë është raporti i këmbës së kundërt me hipotenuzën, dhe kosinusi është raporti i këmbës ngjitur me hipotenuzën.
Teoremat e kosinuseve dhe sinuseve
Por kosinuset dhe sinuset mund të përdoren jo vetëm në trekëndëshat kënddrejtë. Për të gjetur vlerën e një këndi të mpirë ose të mprehtë, brinjës së çdo trekëndëshi, mjafton të zbatohet teorema e kosinusit dhe sinusit.
Teorema e kosinusit është mjaft e thjeshtë: "Katrori i brinjës së një trekëndëshi është i barabartë me shumën e katrorëve të dy brinjëve të tjera minus dyfishin e produktit të këtyre brinjëve nga kosinusi i këndit ndërmjet tyre."
Ekzistojnë dy interpretime të teoremës së sinusit: e vogël dhe e zgjeruar. Sipas të vogla: "Në një trekëndësh, këndet janë proporcionale me anët e kundërta." Kjo teoremë shpesh zgjerohet për shkak të vetive të rrethit të rrethuar rreth një trekëndëshi: "Në një trekëndësh, këndet janë proporcionale me brinjët e kundërta dhe raporti i tyre është i barabartë me diametrin e rrethit të rrethuar".
Derivatet
Një derivat është një mjet matematikor që tregon se sa shpejt ndryshon një funksion në lidhje me një ndryshim në argumentin e tij. Derivatet përdoren në gjeometri dhe në një sërë disiplinash teknike.
Kur zgjidhni problemet, duhet të dini vlerat tabelare të derivateve të funksioneve trigonometrike: sinus dhe kosinus. Derivati i sinusit është kosinusi, dhe derivati i kosinusit është sinusi, por me shenjë minus.
Aplikimi në matematikë
Sidomos shpesh, sinuset dhe kosinuset përdoren në zgjidhjen e trekëndëshave kënddrejtë dhe problemeve që lidhen me to.
Komoditeti i sinuseve dhe kosinuseve reflektohet edhe në teknologji. Këndet dhe brinjët ishin të lehta për t'u vlerësuar duke përdorur teoremat e kosinusit dhe sinusit, duke thyer forma dhe objekte komplekse në trekëndësha "të thjeshtë". Inxhinierët dhe, duke u marrë shpesh me llogaritjet e raportit të pamjes dhe matjeve të shkallës, shpenzuan shumë kohë dhe përpjekje për të llogaritur kosinuset dhe sinuset e këndeve jo të tabelës.
Më pas erdhën në ndihmë tabelat Bradis, që përmbanin mijëra vlera të sinuseve, kosinuseve, tangjentave dhe kotangjentave të këndeve të ndryshme. Në kohët sovjetike, disa mësues i detyruan repartet e tyre të mësonin përmendësh faqet e tabelave Bradis.
Radian - vlera këndore e harkut, përgjatë gjatësisë së barabartë me rreze ose 57,295779513 ° gradë.
Shkalla (në gjeometri) - 1/360 e një rrethi ose 1/90 e një këndi të drejtë.
π = 3,141592653589793238462… (vlera e përafërt e pi).
Tabela e kosinusit për këndet: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
| Këndi x (në gradë) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Këndi x (në radianë) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2 x π/3 | 3xπ/4 | 5xπ/6 | π | 7xπ/6 | 5xπ/4 | 4xπ/3 | 3xπ/2 | 5xπ/3 | 7xπ/4 | 11xπ/6 | 2xπ |
| cos x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |
Konceptet e sinusit (), kosinusit (), tangjentes (), kotangjentes () janë të lidhura pazgjidhshmërisht me konceptin e këndit. Për t'i kuptuar mirë këto koncepte komplekse në shikim të parë (që shkaktojnë një gjendje tmerri te shumë nxënës) dhe të sigurohemi që "djalli të mos jetë aq i frikshëm sa është pikturuar", le të fillojmë që në fillim dhe të kuptojmë. koncepti i një këndi.
Koncepti i këndit: radian, shkallë
Le të shohim foton. Vektori "u kthye" në lidhje me pikën me një sasi të caktuar. Pra, masa e këtij rrotullimi në lidhje me pozicionin fillestar do të jetë injeksion.
Çfarë tjetër duhet të dini për konceptin e këndit? Epo, njësitë e këndit, sigurisht!
Këndi, si në gjeometri ashtu edhe në trigonometri, mund të matet në gradë dhe radianë.
Këndi në (një shkallë) është këndi qendror në rreth, i bazuar në një hark rrethor të barabartë me pjesën e rrethit. Kështu, i gjithë rrethi përbëhet nga "copë" harqesh rrethore, ose këndi i përshkruar nga rrethi është i barabartë.
Kjo do të thotë, figura e mësipërme tregon një kënd që është i barabartë, domethënë, ky kënd bazohet në një hark rrethor me madhësinë e perimetrit.
Një kënd në radianë quhet këndi qendror në një rreth, i bazuar në një hark rrethor, gjatësia e të cilit është e barabartë me rrezen e rrethit. Epo, e kuptove? Nëse jo, atëherë le të shohim foton.
Pra, figura tregon një kënd të barabartë me një radian, domethënë, ky kënd bazohet në një hark rrethor, gjatësia e të cilit është e barabartë me rrezen e rrethit (gjatësia është e barabartë me gjatësinë ose rrezen e barabartë me gjatësinë harqe). Kështu, gjatësia e harkut llogaritet me formulën:
Ku është këndi qendror në radianë.
Epo, duke e ditur këtë, a mund të përgjigjeni se sa radianë përmban një kënd të përshkruar nga një rreth? Po, për këtë ju duhet të mbani mend formulën për perimetrin e një rrethi. Këtu është ajo:
Epo, tani le t'i lidhim këto dy formula dhe të marrim se këndi i përshkruar nga rrethi është i barabartë. Kjo do të thotë, duke korreluar vlerën në gradë dhe radianë, ne e marrim atë. Përkatësisht,. Siç mund ta shihni, ndryshe nga "gradat", fjala "radian" është lënë jashtë, pasi njësia e matjes zakonisht është e qartë nga konteksti.
Sa radianë janë? Kjo është e drejtë!
E kuptova? Pastaj fiksohu përpara:
Ndonjë vështirësi? Pastaj shikoni përgjigjet:
Trekëndëshi kënddrejtë: sinus, kosinus, tangjentë, kotangjent i një këndi
Pra, me konceptin e këndit të kuptuar. Por çfarë është sinusi, kosinusi, tangjentja, kotangjentja e një këndi? Le ta kuptojmë. Për këtë, një trekëndësh kënddrejtë do të na ndihmojë.
Si quhen brinjët e trekëndëshit kënddrejtë? Kjo është e drejtë, hipotenuza dhe këmbët: hipotenuza është ana që shtrihet përballë këndit të duhur (në shembullin tonë, kjo është ana); këmbët janë dy anët e mbetura dhe (ato ngjitur me kënd i drejtë), për më tepër, nëse i konsiderojmë këmbët në lidhje me këndin, atëherë këmba është këmba ngjitur, dhe këmba është e kundërta. Pra, tani le t'i përgjigjemi pyetjes: cilat janë sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja e një këndi?
Sinusi i një këndiështë raporti i këmbës së kundërt (larg) me hipotenuzën.
në trekëndëshin tonë.
Kosinusi i një këndi- ky është raporti i këmbës ngjitur (të afërt) me hipotenuzën.
në trekëndëshin tonë.
Tangjent këndi- ky është raporti i këmbës së kundërt (larg) me atë ngjitur (afër).
në trekëndëshin tonë.
Kotangjent i një këndi- ky është raporti i këmbës ngjitur (të afërt) me të kundërtën (larg).
në trekëndëshin tonë.
Këto përkufizime janë të nevojshme mbaj mend! Për ta bërë më të lehtë të mbani mend se cilën këmbë të ndani me çfarë, duhet ta kuptoni qartë këtë tangjente dhe kotangjente vetëm këmbët ulen, dhe hipotenuza shfaqet vetëm në sinusit dhe kosinusi. Dhe pastaj mund të dilni me një zinxhir shoqatash. Për shembull, ky:
kosinus→prek→prek→ ngjitur;
Kotangjent→prek→prek→ ngjitur.
Para së gjithash, është e nevojshme të mbani mend se sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja si raporte të brinjëve të një trekëndëshi nuk varen nga gjatësitë e këtyre brinjëve (në një kënd). Nuk e besoj? Pastaj sigurohuni duke parë foton:
Konsideroni, për shembull, kosinusin e një këndi. Sipas përkufizimit, nga një trekëndësh: , por mund të llogarisim kosinusin e një këndi nga një trekëndësh: . E shihni, gjatësitë e brinjëve janë të ndryshme, por vlera e kosinusit të një këndi është e njëjtë. Kështu, vlerat e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës varen vetëm nga madhësia e këndit.
Nëse i kuptoni përkufizimet, atëherë vazhdoni dhe rregulloni ato!
Për trekëndëshin e paraqitur në figurën më poshtë, gjejmë.
Epo, e kuptove? Pastaj provojeni vetë: llogarisni të njëjtën gjë për këndin.
Rrethi njësi (trigonometrik).
Duke kuptuar konceptet e shkallëve dhe radianeve, ne konsideruam një rreth me një rreze të barabartë me. Një rreth i tillë quhet beqare. Është shumë i dobishëm në studimin e trigonometrisë. Prandaj, ne ndalemi në të në pak më shumë detaje.
Siç mund ta shihni, ky rreth është ndërtuar në sistemin koordinativ kartezian. Rrezja e rrethit është e barabartë me një, ndërsa qendra e rrethit qëndron në origjinë, pozicioni fillestar i vektorit të rrezes është i fiksuar përgjatë drejtimit pozitiv të boshtit (në shembullin tonë, kjo është rrezja).
Çdo pikë e rrethit korrespondon me dy numra: koordinata përgjatë boshtit dhe koordinata përgjatë boshtit. Cilët janë këta numra koordinativ? Dhe në përgjithësi, çfarë lidhje kanë ato me temën në fjalë? Për ta bërë këtë, mbani mend për trekëndëshin e konsideruar kënddrejtë. Në figurën e mësipërme, mund të shihni dy trekëndësha të tërë kënddrejtë. Konsideroni një trekëndësh. Ai është drejtkëndor sepse është pingul me boshtin.
Çfarë është e barabartë me nga një trekëndësh? Kjo është e drejtë. Përveç kësaj, ne e dimë se është rrezja e rrethit të njësisë, dhe për këtë arsye, . Zëvendësoni këtë vlerë në formulën tonë të kosinusit. Ja çfarë ndodh:
Dhe çfarë është e barabartë me një trekëndësh? Mirë sigurisht, ! Zëvendësoni vlerën e rrezes në këtë formulë dhe merrni:
Pra, a mund të më thoni cilat janë koordinatat e një pike që i përket rrethit? Epo, në asnjë mënyrë? Dhe nëse e kuptoni këtë dhe jeni vetëm numra? Me çfarë koordinate korrespondon? Epo, sigurisht, koordinata! Me çfarë koordinate korrespondon? Është e drejtë, koordino! Kështu, pika.
Dhe çfarë atëherë janë të barabarta dhe? Është e drejtë, le të përdorim përkufizimet e duhura të tangjentes dhe kotangjentës dhe të marrim atë, a.
Po sikur këndi të jetë më i madh? Këtu, për shembull, si në këtë foto:
Çfarë ka ndryshuar në ky shembull? Le ta kuptojmë. Për ta bërë këtë, ne përsëri kthehemi në një trekëndësh me kënd të drejtë. Konsideroni një trekëndësh kënddrejtë: një kënd (si ngjitur me një kënd). Sa është vlera e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi? Kjo është e drejtë, ne i përmbahemi përkufizimeve përkatëse të funksioneve trigonometrike:
Epo, siç mund ta shihni, vlera e sinusit të këndit ende korrespondon me koordinatat; vlera e kosinusit të këndit - koordinata; dhe vlerat e tangjentes dhe kotangjentes me raportet përkatëse. Kështu, këto marrëdhënie janë të zbatueshme për çdo rrotullim të vektorit të rrezes.
Është përmendur tashmë se pozicioni fillestar i vektorit të rrezes është përgjatë drejtimit pozitiv të boshtit. Deri më tani ne e kemi rrotulluar këtë vektor në drejtim të kundërt të akrepave të orës, por çfarë ndodh nëse e rrotullojmë në drejtim të akrepave të orës? Asgjë e jashtëzakonshme, do të dalë në të njëjtin kënd një sasi të caktuar, por vetëm ajo do të jetë negative. Kështu, kur rrotullojmë vektorin e rrezes në drejtim të kundërt të akrepave të orës, marrim kënde pozitive, dhe kur rrotullohet në drejtim të akrepave të orës - negativ.
Pra, ne e dimë se një rrotullim i tërë i vektorit të rrezes rreth rrethit është ose. A është e mundur të rrotullohet vektori i rrezes me ose me? Epo, sigurisht që mundesh! Prandaj, në rastin e parë, vektori i rrezes do të bëjë një rrotullim të plotë dhe do të ndalet në pozicionin ose.
Në rastin e dytë, domethënë, vektori i rrezes do të bëjë tre rrotullime të plota dhe do të ndalet në pozicionin ose.
Kështu, nga shembujt e mësipërm, mund të konkludojmë se këndet që ndryshojnë nga ose (ku është ndonjë numër i plotë) korrespondojnë me të njëjtin pozicion të vektorit të rrezes.
Figura më poshtë tregon një kënd. I njëjti imazh korrespondon me këndin, e kështu me radhë. Kjo listë mund të vazhdojë pafundësisht. Të gjitha këto kënde mund të shkruhen me formulën e përgjithshme ose (ku është ndonjë numër i plotë)
Tani, duke ditur përkufizimet e funksioneve bazë trigonometrike dhe duke përdorur rrethin e njësisë, përpiquni të përgjigjeni se cilat vlera janë të barabarta me:
Këtu është një rreth njësi për t'ju ndihmuar:
Ndonjë vështirësi? Atëherë le ta kuptojmë. Pra, ne e dimë se:
Nga këtu, ne përcaktojmë koordinatat e pikave që korrespondojnë me masa të caktuara të këndit. Epo, le të fillojmë me radhë: këndi në korrespondon me një pikë me koordinata, prandaj:
Nuk ekziston;
Më tej, duke iu përmbajtur të njëjtës logjikë, zbulojmë se qoshet në korrespondojnë me pikat me koordinata, përkatësisht. Duke e ditur këtë, është e lehtë të përcaktohen vlerat e funksioneve trigonometrike në pikat përkatëse. Provojeni vetë fillimisht, pastaj kontrolloni përgjigjet.
Përgjigjet:
Nuk ekziston
Nuk ekziston
Nuk ekziston
Nuk ekziston
Kështu, mund të bëjmë tabelën e mëposhtme:
Nuk ka nevojë të mbani mend të gjitha këto vlera. Mjafton të mbani mend korrespondencën midis koordinatave të pikave në rrethin e njësisë dhe vlerave të funksioneve trigonometrike:
Por vlerat e funksioneve trigonometrike të këndeve në dhe, të dhëna në tabelën më poshtë, duhet mbajtur mend:
Mos kini frikë, tani do të tregojmë një nga shembujt memorizimi mjaft i thjeshtë i vlerave përkatëse:
Për të përdorur këtë metodë, është jetike të mbani mend vlerat e sinusit për të tre masat e këndit (), si dhe vlerën e tangjentës së këndit në. Duke ditur këto vlera, është mjaft e lehtë të rivendosni të gjithë tabelën - vlerat e kosinusit transferohen në përputhje me shigjetat, domethënë:
Duke e ditur këtë, ju mund të rivendosni vlerat për. Numëruesi " " do të përputhet dhe emëruesi " " do të përputhet. Vlerat kotangjente transferohen në përputhje me shigjetat e treguara në figurë. Nëse e kuptoni këtë dhe mbani mend diagramin me shigjeta, atëherë do të jetë e mjaftueshme të mbani mend të gjithë vlerën nga tabela.
Koordinatat e një pike në një rreth
A është e mundur të gjesh një pikë (koordinatat e saj) në një rreth, njohja e koordinatave të qendrës së rrethit, rrezes dhe këndit të rrotullimit të tij?
Epo, sigurisht që mundesh! Le të nxjerrim jashtë formula e përgjithshme për gjetjen e koordinatave të një pike.
Këtu, për shembull, kemi një rreth të tillë:
Na është dhënë se pika është qendra e rrethit. Rrezja e rrethit është e barabartë. Është e nevojshme të gjenden koordinatat e pikës së fituar duke e rrotulluar pikën me gradë.
Siç shihet nga figura, koordinata e pikës korrespondon me gjatësinë e segmentit. Gjatësia e segmentit korrespondon me koordinatat e qendrës së rrethit, domethënë është e barabartë me. Gjatësia e një segmenti mund të shprehet duke përdorur përkufizimin e kosinusit:
Pastaj kemi që për pikën koordinata.
Me të njëjtën logjikë, gjejmë vlerën e koordinatës y për pikën. Kështu,
Pra në pamje e përgjithshme Koordinatat e pikave përcaktohen nga formula:
Koordinatat e qendrës së rrethit,
rrezja e rrethit,
Këndi i rrotullimit të vektorit të rrezes.
Siç mund ta shihni, për rrethin e njësisë që po shqyrtojmë, këto formula janë zvogëluar ndjeshëm, pasi koordinatat e qendrës janë zero, dhe rrezja është e barabartë me një:
Epo, le t'i provojmë këto formula për një shije, duke praktikuar gjetjen e pikave në një rreth?
1. Gjeni koordinatat e një pike në një rreth njësi të fituar duke ndezur një pikë.
2. Gjeni koordinatat e një pike në një rreth njësi të përftuar duke rrotulluar një pikë.
3. Gjeni koordinatat e një pike në një rreth njësi të fituar duke ndezur një pikë.
4. Pika - qendra e rrethit. Rrezja e rrethit është e barabartë. Është e nevojshme të gjenden koordinatat e pikës së fituar duke rrotulluar vektorin e rrezes fillestare me.
5. Pika - qendra e rrethit. Rrezja e rrethit është e barabartë. Është e nevojshme të gjenden koordinatat e pikës së fituar duke rrotulluar vektorin e rrezes fillestare me.
Keni vështirësi në gjetjen e koordinatave të një pike në një rreth?
Zgjidhini këta pesë shembuj (ose kuptoni mirë zgjidhjen) dhe do të mësoni se si t'i gjeni!
1.
Mund të shihet se. Por ne e dimë se çfarë korrespondon me një kthesë të plotë pikënisje. Kështu, pika e dëshiruar do të jetë në të njëjtin pozicion si kur kthehet në. Duke e ditur këtë, gjejmë koordinatat e dëshiruara të pikës:
2. Rrethi është njësi me qendër në një pikë, që do të thotë se mund të përdorim formula të thjeshtuara:
Mund të shihet se. Ne e dimë se çfarë korrespondon me dy rrotullime të plota të pikës së fillimit. Kështu, pika e dëshiruar do të jetë në të njëjtin pozicion si kur kthehet në. Duke e ditur këtë, gjejmë koordinatat e dëshiruara të pikës:
Sinusi dhe kosinusi janë vlera tabelare. Ne kujtojmë vlerat e tyre dhe marrim:
Kështu, pika e dëshiruar ka koordinata.
3. Rrethi është njësi me qendër në një pikë, që do të thotë se mund të përdorim formula të thjeshtuara:
Mund të shihet se. Le të përshkruajmë shembullin e konsideruar në figurë:
Rrezja bën kënde me bosht të barabartë me dhe. Duke ditur që vlerat e tabelës së kosinusit dhe sinusit janë të barabarta, dhe duke përcaktuar se kosinusi këtu merr kuptim negativ, dhe sinusi është pozitiv, kemi:
Më shumë shembuj të ngjashëm kuptojnë gjatë studimit të formulave për reduktimin e funksioneve trigonometrike në temë.
Kështu, pika e dëshiruar ka koordinata.
4.
Këndi i rrotullimit të vektorit të rrezes (sipas kushteve)
Për të përcaktuar shenjat përkatëse të sinusit dhe kosinusit, ne ndërtojmë një rreth njësi dhe një kënd:
Siç mund ta shihni, vlera, domethënë është pozitive, dhe vlera, domethënë është negative. Duke ditur vlerat tabelare të funksioneve trigonometrike përkatëse, marrim se:
Le të zëvendësojmë vlerat e marra në formulën tonë dhe të gjejmë koordinatat:
Kështu, pika e dëshiruar ka koordinata.
5. Për të zgjidhur këtë problem, ne përdorim formula në formë të përgjithshme, ku
Koordinatat e qendrës së rrethit (në shembullin tonë,
Rrezja e rrethit (sipas gjendjes)
Këndi i rrotullimit të vektorit të rrezes (sipas gjendjes).
Zëvendësoni të gjitha vlerat në formulë dhe merrni:
dhe - vlerat e tabelës. Ne i mbajmë mend dhe i zëvendësojmë ato në formulën:
Kështu, pika e dëshiruar ka koordinata.
PËRMBLEDHJE DHE FORMULA THEMELORE
Sinusi i një këndi është raporti i këmbës së kundërt (të largët) me hipotenuzën.
Kosinusi i një këndi është raporti i këmbës ngjitur (të afërt) me hipotenuzën.
Tangjenti i një këndi është raporti i këmbës së kundërt (larg) me ngjitur (afër).
Kotangjentja e një këndi është raporti i këmbës ngjitur (të afërt) me të kundërtën (larg).
