Nájdenie dĺžky medzi dvoma bodmi. Vzdialenosť od bodu k bodu: vzorce, príklady, riešenia

Vzdialenosť od bodu k bodu je dĺžka segmentu spájajúceho tieto body v danej mierke. Preto, pokiaľ ide o meranie vzdialenosti, je potrebné poznať mierku (jednotku dĺžky), v ktorej sa budú merania vykonávať. Preto sa problém nájdenia vzdialenosti od bodu k bodu zvyčajne zvažuje buď na súradnicovej čiare alebo v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme v rovine alebo v trojrozmernom priestore. Inými slovami, najčastejšie musíte vypočítať vzdialenosť medzi bodmi podľa ich súradníc.

V tomto článku si najprv pripomenieme, ako sa určuje vzdialenosť od bodu k bodu na súradnicovej čiare. Ďalej získame vzorce na výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi roviny alebo priestoru podľa zadaných súradníc. Nakoniec sa pozrime bližšie na riešenia charakteristické príklady a úlohy.

Navigácia na stránke.

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi na súradnicovej čiare.

Najprv definujme notáciu. Vzdialenosť z bodu A do bodu B bude označená ako .

Z toho môžeme vyvodiť záver vzdialenosť od bodu A so súradnicou k bodu B so súradnicou sa rovná modulu rozdielu súradníc, t.j. pre akékoľvek usporiadanie bodov na súradnicovej čiare.

Vzdialenosť od bodu k bodu na rovine, vzorec.

Zoberme si vzorec na výpočet vzdialenosti medzi bodmi a daný v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme v rovine.

V závislosti od umiestnenia bodov A a B sú možné nasledujúce možnosti.

Ak sa body A a B zhodujú, vzdialenosť medzi nimi je nula.

Ak body A a B ležia na priamke kolmej na os x, potom sa body a body zhodujú a vzdialenosť sa rovná vzdialenosti. V predchádzajúcom odseku sme zistili, že vzdialenosť medzi dvoma bodmi na súradnicovej čiare sa rovná modulu rozdielu medzi ich súradnicami, teda . Preto, .

Podobne, ak body A a B ležia na priamke kolmej na os y, potom vzdialenosť z bodu A do bodu B sa zistí ako .

V tomto prípade má trojuholník ABC obdĺžnikovú konštrukciu a a . Autor: Pytagorova veta môžeme napísať rovnosť , odkiaľ .

Zhrňme si všetky výsledky: vzdialenosť od bodu k bodu v rovine sa zistí pomocou súradníc bodov podľa vzorca .

Výsledný vzorec na zistenie vzdialenosti medzi bodmi možno použiť, keď sa body A a B zhodujú alebo ležia na priamke kolmej na jednu zo súradnicových osí. Ak sú A a B rovnaké, potom . Ak body A a B ležia na priamke kolmej na os Ox, potom . Ak A a B ležia na priamke kolmej na os Oy, potom .

Vzdialenosť medzi bodmi v priestore, vzorec.

Predstavme si pravouhlý súradnicový systém Оxyz v priestore. Získajte vzorec na nájdenie vzdialenosti od bodu k veci .

Vo všeobecnosti body A a B neležia v rovine rovnobežnej s jednou zo súradnicových rovín. Nakreslíme body A a B v rovine kolmej na súradnicové osi Ox, Oy a Oz. Priesečníky týchto rovín so súradnicovými osami nám poskytnú priemety bodov A a B na tieto osi. Označte projekcie .

Požadovaná vzdialenosť medzi bodmi A a B je uhlopriečka kváder znázornené na obrázku. Podľa konštrukcie sú rozmery tohto rovnobežnostena a . V kurze geometrie stredná škola bolo dokázané, že štvorec uhlopriečky pravouhlého rovnobežnostena sa rovná súčtu štvorcov jeho troch rozmerov, teda . Na základe informácií z prvej časti tohto článku môžeme napísať nasledujúce rovnosti, preto

kam sa dostaneme vzorec na zistenie vzdialenosti medzi bodmi v priestore .

Tento vzorec platí aj vtedy, ak body A a B

zápas;
patrí k jednej zo súradnicových osí alebo k priamke rovnobežnej s jednou zo súradnicových osí;
patria do jednej zo súradnicových rovín alebo roviny rovnobežnej s jednou zo súradnicových rovín.

Hľadanie vzdialenosti od bodu k bodu, príklady a riešenia.

Takže sme dostali vzorce na nájdenie vzdialenosti medzi dvoma bodmi súradnicovej čiary, roviny a trojrozmerného priestoru. Je čas zvážiť riešenia typických príkladov.

Množstvo úloh, v ktorých je posledným krokom nájsť vzdialenosť medzi dvoma bodmi podľa ich súradníc, je skutočne obrovské. Úplná recenzia takéto príklady presahujú rámec tohto článku. Tu sa obmedzíme na príklady, v ktorých sú známe súradnice dvoch bodov a je potrebné vypočítať vzdialenosť medzi nimi.

Nech je daný pravouhlý súradnicový systém.

Veta 1.1. Pre ľubovoľné dva body M 1 (x 1; y 1) a M 2 (x 2; y 2) roviny je vzdialenosť d medzi nimi vyjadrená vzorcom

Dôkaz. Pustime z bodov M 1 a M 2 kolmice M 1 B a M 2 A, resp.

na osiach Oy a Ox a označíme K priesečník priamok M 1 B a M 2 A (obr. 1.4). Možné sú tieto prípady:

1) Body M 1, M 2 a K sú rôzne. Je zrejmé, že bod K má súradnice (x 2; y 1). Je ľahké vidieť, že M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôy 2 – y 1 ô. Pretože ∆M 1 KM 2 je pravouhlý, potom podľa Pytagorovej vety d = M 1 M 2 = = .

2) Bod K sa zhoduje s bodom M 2, ale je odlišný od bodu M 1 (obr. 1.5). V tomto prípade y2 = y1

a d \u003d M 1 M 2 \u003d M 1 K \u003d ôx 2 - x 1 ô \u003d =

3) Bod K sa zhoduje s bodom M 1, ale je odlišný od bodu M 2. V tomto prípade x 2 = x 1 a d =

M 1 M 2 \u003d KM 2 \u003d ôy 2 - r 1 ô \u003d = .

4) Bod M 2 sa zhoduje s bodom M 1. Potom x 1 \u003d x 2, y 1 \u003d y 2 a

d \u003d M 1 M 2 \u003d O \u003d.

Rozdelenie segmentu v tomto smere.

Nech je na rovine daná ľubovoľná úsečka M 1 M 2 a nech M je ľubovoľný jej bod

segment iný ako bod M 2 (obr. 1.6). Číslo l definované rovnosťou l = , sa volá postoj, v ktorom bod M rozdeľuje úsečku M 1 M 2.

Veta 1.2. Ak bod M (x; y) rozdeľuje úsečku M 1 M 2 vo vzťahu k l, potom sú jeho súradnice určené vzorcami

x = , y = , (4)

kde (x 1; y 1) sú súradnice bodu M 1, (x 2; y 2) sú súradnice bodu M 2.

Dôkaz. Dokážme prvý zo vzorcov (4). Druhý vzorec je dokázaný podobne. Možné sú dva prípady.

x = x 1 = = = .

2) Priamka M 1 M 2 nie je kolmá na os Ox (obr. 1.6). Pustime kolmice z bodov M 1 , M, M 2 na os Ox a označme body ich priesečníkov s osou Ox, respektíve P 1 , P, P 2 . Podľa vety o proporcionálnych segmentoch =l.

Pretože P 1 P \u003d ôx - x 1 ô, PP 2 \u003d ôx 2 - xô a čísla (x - x 1) a (x 2 - x) majú rovnaké znamienko (pre x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 sú záporné), potom

l == ,

x - x 1 \u003d l (x 2 - x), x + lx \u003d x 1 + lx 2,

x = .

Dôsledok 1.2.1. Ak M 1 (x 1; y 1) a M 2 (x 2; y 2) sú dva ľubovoľné body a bod M (x; y) je stredom úsečky M 1 M 2, potom

x = , y = (5)

Dôkaz. Keďže M 1 M = M 2 M, potom l = 1 a podľa vzorcov (4) získame vzorce (5).

Oblasť trojuholníka.

Veta 1.3. Pre všetky body A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) a C (x 3; y 3), ktoré neležia na tom istom

priamka, obsah S trojuholníka ABC je vyjadrený vzorcom

S \u003d ô (x 2 - x 1) (y 3 - y 1) - (x 3 - x 1) (y 2 - y 1) ô (6)

Dôkaz. Oblasť ∆ ABC znázornená na obr. 1.7 vypočítame nasledovne

S ABC \u003d S ADEC + S BCEF - S ABFD.

Vypočítajte plochu lichobežníka:

S-ADEC=
,

SBCEF=

S ABFD =

Teraz máme

S ABC \u003d ((x 3 - x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 - x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 - -x 1) (y 1 + y 2) ) \u003d (x 3 y 3 - x 1 y 3 + x 3 y 1 - x 1 y 1 + + x 2 y 3 - -x 3 y 3 + x 2 y 2 - x 3 y 2 - x 2 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 2 + x 1 y 2) \u003d (x 3 y 1 - x 3 y 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 -

X 1 y 3) \u003d (x 3 (y 1 - y 2) + x 1 y 2 - x 1 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 1 + y 3 (x 2 - x 1)) \u003d (x 1 (y 2 - y 1) - x 3 (y 2 - y 1) + + y 1 (x 1 - x 2) - y 3 (x 1 - x 2)) \u003d ((x 1 - x 3) (y 2 - y 1) + (x 1 - x 2) (y 1 - y 3)) \u003d ((x 2 - x 1) (y 3 - y 1) -

- (x 3 - x 1) (y 2 - y 1)).

Pre ďalšie miesto ∆ ABC je vzorec (6) dokázaný podobne, ale možno ho získať so znamienkom „-“. Preto do vzorca (6) zadajte znamienko modulu.

Prednáška 2

Rovnica priamky v rovine: priamka rovnica s hlavným koeficientom, všeobecná rovnica priamky, rovnica priamky v segmentoch, rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi. Uhol medzi priamkami, podmienky rovnobežnosti a kolmosti priamok na rovine.

2.1. Nech je v rovine daný pravouhlý súradnicový systém a nejaká priamka L.

Definícia 2.1. Nazýva sa rovnica tvaru F(x;y) = 0 týkajúca sa premenných x a y priamková rovnica L(v danom súradnicovom systéme), ak tejto rovnici vyhovujú súradnice ktoréhokoľvek bodu ležiaceho na priamke L, a nie súradnice žiadneho bodu, ktorý na tejto priamke neleží.

Príklady rovníc priamok v rovine.

1) Uvažujme priamku rovnobežnú s osou Oy pravouhlého súradnicového systému (obr. 2.1). Označme písmenom A priesečník tejto priamky s osou Ox, (a; o) ─ jej or-

dinats. Rovnica x = a je rovnica danej priamky. Táto rovnica je skutočne splnená súradnicami ľubovoľného bodu M(a; y) tejto priamky a nie súradnicami žiadneho bodu, ktorý na priamke neleží. Ak a = 0, potom sa čiara zhoduje s osou Oy, ktorá má rovnicu x = 0.

2) Rovnica x - y \u003d 0 definuje množinu bodov v rovine, ktoré tvoria osy súradnicových uhlov I a III.

3) Rovnica x 2 - y 2 \u003d 0 je rovnica dvoch osi súradnicových uhlov.

4) Rovnica x 2 + y 2 = 0 definuje jediný bod O(0;0) v rovine.

5) Rovnica x 2 + y 2 \u003d 25 je rovnica kruhu s polomerom 5 so stredom v počiatku.

V tomto článku zvážime spôsoby, ako určiť vzdialenosť z bodu do bodu teoreticky a na príklade konkrétnych úloh. Začnime niekoľkými definíciami.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definícia 1

Vzdialenosť medzi bodmi- toto je dĺžka segmentu, ktorý ich spája, v existujúcej mierke. Je potrebné nastaviť mierku, aby ste mali jednotku dĺžky na meranie. Preto sa v podstate problém zisťovania vzdialenosti medzi bodmi rieši pomocou ich súradníc na súradnicovej čiare, v súradnicovej rovine alebo v trojrozmernom priestore.

Počiatočné údaje: súradnicová priamka O x a na nej ležiaci ľubovoľný bod A. Každému bodu priamky je vlastné jedno reálne číslo: nech je to isté číslo pre bod A xA, je to súradnica bodu A.

Vo všeobecnosti môžeme povedať, že k odhadu dĺžky určitého segmentu dochádza v porovnaní s segmentom braným ako jednotka dĺžky v danej mierke.

Ak bod A zodpovedá celočíselnému reálnemu číslu, pričom sa postupne z bodu O do bodu pozdĺž priamky O A vyčleňujú segmenty O A - jednotky dĺžky, dĺžku segmentu O A môžeme určiť podľa celkového počtu čakajúcich jednotlivých segmentov.

Napríklad bod A zodpovedá číslu 3 - aby ste sa k nemu dostali z bodu O, bude potrebné vyčleniť tri jednotkové segmenty. Ak má bod A súradnicu -4, jednotlivé segmenty sa vykreslia podobným spôsobom, ale v inom negatívnom smere. V prvom prípade je teda vzdialenosť O A 3; v druhom prípade O A \u003d 4.

Ak má bod A súradnicu racionálne číslo, potom z počiatku (bod O) vyčleníme celý počet segmentov jednotky a potom jeho nevyhnutnú časť. Ale geometricky nie je vždy možné vykonať meranie. Napríklad sa zdá ťažké odložiť súradnicový priamy zlomok 4 111 .

Vyššie uvedeným spôsobom odložte na priamku iracionálne číslo a úplne nemožné. Napríklad, keď súradnica bodu A je 11 . V tomto prípade je možné prejsť na abstrakciu: ak je daná súradnica bodu A väčšia ako nula, potom O A \u003d x A (číslo sa berie ako vzdialenosť); ak súradnica menej ako nula, potom O A = - x A . Vo všeobecnosti tieto tvrdenia platia pre akékoľvek reálne číslo x A .

Zhrnutie: vzdialenosť od začiatku k bodu, ktorá zodpovedá skutočnému číslu na súradnicovej čiare, sa rovná:

0, ak je bod rovnaký ako počiatok;

x A ak x A > 0;

- x A, ak x A< 0 .

V tomto prípade je zrejmé, že dĺžka samotného segmentu nemôže byť záporná, preto pomocou znamienka modulu zapíšeme vzdialenosť od bodu O do bodu A so súradnicou x A: O A = x A

Správne tvrdenie by bolo: vzdialenosť od jedného bodu k druhému sa bude rovnať modulu rozdielu súradníc. Tie. pre body A a B ležiace na tej istej súradnicovej čiare v akomkoľvek mieste a majúce súradnice x A a x B: A B = x B - x A.

Počiatočné údaje: body A a B ležiace v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme O x y s dané súradnice: A (x A, yA) a B (xB, yB).

Nakreslime kolmice na súradnicové osi O x a O y cez body A a B a získajme body premietania: A x , A y , B x , B y . Na základe polohy bodov A a B sú možné ďalšie možnosti:

Ak sa body A a B zhodujú, potom je vzdialenosť medzi nimi nulová;

Ak body A a B ležia na priamke kolmej na os O x (os x), potom sa body a zhodujú a | A B | = | A y B y | . Pretože vzdialenosť medzi bodmi sa rovná modulu rozdielu medzi ich súradnicami, potom A y B y = y B - y A , a teda A B = A y B y = y B - y A .

Ak body A a B ležia na priamke kolmej na os y (os y) - analogicky s predchádzajúcim odsekom: A B = A x B x = x B - x A

Ak body A a B neležia na priamke kolmej na jednu zo súradnicových osí, zistíme vzdialenosť medzi nimi odvodením výpočtového vzorca:

Vidíme, že trojuholník A B C je konštrukciou pravouhlý. V tomto prípade AC = A x B x a B C = A y By. Pomocou Pytagorovej vety zložíme rovnosť: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 a potom ju transformujeme: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Zo získaného výsledku urobme záver: vzdialenosť z bodu A do bodu B v rovine je určená výpočtom pomocou vzorca pomocou súradníc týchto bodov

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Výsledný vzorec tiež potvrdzuje skôr vytvorené tvrdenia pre prípady zhody bodov alebo situácie, keď body ležia na priamkach kolmých na osi. Takže pre prípad zhody bodov A a B bude platiť rovnosť: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Pre situáciu, keď body A a B ležia na priamke kolmej na os x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Pre prípad, keď body A a B ležia na priamke kolmej na os y:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Počiatočné údaje: pravouhlý súradnicový systém O x y z s ľubovoľnými bodmi ležiacimi na ňom s danými súradnicami A (x A , y A , z A) a B (x B , y B , z B) . Je potrebné určiť vzdialenosť medzi týmito bodmi.

Zoberme si všeobecný prípad, keď body A a B neležia v rovine rovnobežnej s jednou zo súradnicových rovín. Nakreslite cez body A a B roviny kolmé na súradnicové osi a získajte zodpovedajúce projekčné body: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Vzdialenosť medzi bodmi A a B je uhlopriečka výsledného boxu. Podľa konštrukcie merania tohto boxu: A x B x , A y B y a A z B z

Z priebehu geometrie je známe, že druhá mocnina uhlopriečky rovnobežnostena sa rovná súčtu štvorcov jeho rozmerov. Na základe tohto tvrdenia získame rovnosť: A B 2 \u003d A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Na základe vyššie získaných záverov píšeme nasledovné:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Transformujme výraz:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Konečné vzorec na určenie vzdialenosti medzi bodmi v priestore bude vyzerať takto:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Výsledný vzorec platí aj pre prípady, keď:

Bodky sa zhodujú;

Na jednom ležia súradnicová os alebo priamka rovnobežná s jednou zo súradnicových osí.

Príklady riešenia úloh na zistenie vzdialenosti medzi bodmi

Príklad 1

Počiatočné údaje: je uvedená súradnicová čiara a na nej ležiace body s danými súradnicami A (1 - 2) a B (11 + 2). Je potrebné nájsť vzdialenosť od referenčného bodu O k bodu A a medzi bodmi A a B.

rozhodnutie

Vzdialenosť od referenčného bodu k bodu sa rovná modulu súradnice tohto bodu, respektíve O A \u003d 1 - 2 \u003d 2 - 1
Vzdialenosť medzi bodmi A a B je definovaná ako modul rozdielu medzi súradnicami týchto bodov: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Odpoveď: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Príklad 2

Počiatočné údaje: daný pravouhlý súradnicový systém a dva body na ňom ležiace A (1, - 1) a B (λ + 1, 3) . λ je nejaké reálne číslo. Je potrebné nájsť všetky hodnoty tohto čísla, pre ktoré bude vzdialenosť A B rovná 5.

rozhodnutie

Ak chcete nájsť vzdialenosť medzi bodmi A a B, musíte použiť vzorec A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Nahradením skutočných hodnôt súradníc dostaneme: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

A tiež použijeme existujúcu podmienku, že A B = 5 a potom bude platiť rovnosť:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Odpoveď: A B \u003d 5, ak λ \u003d ± 3.

Príklad 3

Počiatočné údaje: uvedené trojrozmerný priestor v pravouhlom súradnicovom systéme O x y z a v ňom ležiace body A (1, 2, 3) a B - 7, - 2, 4.

rozhodnutie

Na vyriešenie úlohy použijeme vzorec A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Dosadením reálnych hodnôt dostaneme: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Odpoveď: | A B | = 9

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Dané dva body na rovine so súradnicami A (X 1 , r 1) a B (X 2 , r 2).

r 2 B

r 1 A C

0 X 1 X 2 X

Z trojuholníka ABC:

,
- vzorce na zistenie súradníc stredu segmentu.

2.2.3. Všeobecná rovnica priamky

Veta 1 . Akákoľvek nedegenerovaná rovnica prvého stupňa v dvoch premenných definuje nejakú priamku v rovine a naopak.

ALE X + AT r + S =0 - všeobecná rovnica priamky,

- stav nedegenerácie.

Uvažujme o rôznych prípadoch umiestnenia priamky v rovine v závislosti od koeficientov všeobecnej rovnice.

1) S = 0, Ax + Autor:= 0 - čiara prechádza počiatkom;

ALE= 0,Autor:+C= 0 - čiara prebieha rovnobežne s osou OH;

AT= 0,Ax+C= 0 - čiara prebieha rovnobežne s osou OU;

2) A = C= 0,Autor:= 0 - čiara sa zhoduje s osou OH;

B = C = 0,Ax= 0 - čiara sa zhoduje s osou OU.

Vzdialenosť od boduM 0 (X 0 , r 0 ) na priamku daný všeobecnou rovnicou Ax + Autor: + C= 0, sa zistí podľa vzorca

2.2.4. Čiarová rovnica so sklonom

Predpokladajme, že čiara je pod uhlom j do osi OH a odrezať od osi OU segmentovať sa b Jednotky. Napíšme rovnicu pre tento riadok.

Vezmite svojvoľný bod M (X, r), ležiac na tejto priamke, nájdeme rovnicu týkajúcu sa premenných X a r. Je to vidieť z obrázku: AM = AN + NM, kde AM = r, AN = b. Z trojuholníka BMN: MN = BN tg j. Označte tg j = k a nazývame to sklonom čiary. MN = k · X. Nahrádzanie do rovnosti AM = AN + NM segmentové výrazy AM = r,AN = b,MN = k · X; dostaneme r = k · X + b - rovnica priamky so sklonom.

2.2.5. Rovnica prechádzajúcej priamky

cez daný bod v danom smere

Predpokladajme, že čiara prechádza bodom M 1 (X 1 ,r 1) a tvorí s osou VÔL

injekciou j. Napíšme rovnicu pre tento riadok.

r M(X, r)

pri 1 M 1 (X 1 ,r 1)N

0 x 1 x X

Budeme hľadať rovnicu priamky vo forme rovnice so sklonom: r = k · X + b. Sklon priamky možno nájsť poznaním uhla sklonu k =tg j. Vezmite svojvoľný bod M (X, r) ležiaci na tejto priamke a nájdite rovnicu týkajúcu sa premenných X a r. Od bodov M a M 1 ležia na priamke, potom ich súradnice spĺňajú rovnicu priamky: r = k · X + b, r 1 = k · X 1 + b. Odčítaním týchto rovnosti dostaneme: