Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi. V článku" " Sľúbil som vám, že analyzujete druhý spôsob riešenia uvedených problémov na nájdenie derivácie s grafom danej funkcie a dotyčnicou k tomuto grafu. Túto metódu preskúmame v , Nenechajte si ujsť! Prečo?Ďalšie?
Faktom je, že sa tam použije vzorec rovnice priamky. Samozrejme, jeden by mohol jednoducho ukázať tento vzorec a poradiť vám, aby ste sa ho naučili. Ale je lepšie vysvetliť, odkiaľ pochádza (ako je odvodený). Je to nevyhnutné! Ak ho zabudnete, rýchlo ho obnovtenebude ťažké. Všetko je podrobne uvedené nižšie. Takže máme dva body A na rovine súradníc(x 1; y 1) a B (x 2; y 2) je nakreslená priamka cez uvedené body: 
Tu je priamy vzorec:
*To znamená, že pri dosadení konkrétnych súradníc bodov dostaneme rovnicu v tvare y=kx+b.
** Ak je tento vzorec jednoducho „zapamätaný“, potom je vysoká pravdepodobnosť, že sa zameníte s indexmi X. Okrem toho môžu byť indexy označené rôznymi spôsobmi, napríklad:
Preto je dôležité pochopiť význam.
Teraz odvodenie tohto vzorca. Všetko je veľmi jednoduché!
Trojuholníky ABE a ACF sú podobné ostrý roh(prvý znak podobnosti pravouhlé trojuholníky). Z toho vyplýva, že pomery zodpovedajúcich prvkov sú rovnaké, to znamená:
Teraz jednoducho vyjadríme tieto segmenty z hľadiska rozdielu v súradniciach bodov:
Samozrejme, nedôjde k chybe, ak napíšete vzťahy prvkov v inom poradí (hlavná vec je zachovať korešpondenciu):
Výsledkom je rovnaká rovnica priamky. To je všetko!
To znamená, že bez ohľadu na to, ako sú označené samotné body (a ich súradnice), po pochopení tohto vzorca vždy nájdete rovnicu priamky.
Vzorec možno odvodiť pomocou vlastností vektorov, ale princíp odvodenia bude rovnaký, keďže budeme hovoriť o proporcionalite ich súradníc. V tomto prípade funguje rovnaká podobnosť pravouhlých trojuholníkov. Podľa môjho názoru je vyššie popísaný záver zrozumiteľnejší)).
Zobraziť výstup cez vektorové súradnice >>>
Nech je zostrojená priamka na súradnicovej rovine prechádzajúcej cez dva dané body A (x 1; y 1) a B (x 2; y 2). Označme ľubovoľný bod C na priamke so súradnicami ( X; r). Označujeme tiež dva vektory:
Je známe, že pre vektory ležiace na rovnobežných čiarach (alebo na jednej čiare) sú ich zodpovedajúce súradnice proporcionálne, to znamená:
- zapíšeme rovnosť pomerov zodpovedajúcich súradníc:
Zvážte príklad:
Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej cez dva body so súradnicami (2;5) a (7:3).
Nemôžete dokonca postaviť samotnú linku. Aplikujeme vzorec:
Je dôležité, aby ste pri zostavovaní pomeru zachytili korešpondenciu. Nemôžeš sa pokaziť, ak napíšeš:
Odpoveď: y=-2/5x+29/5 pokračujte y=-0,4x+5,8
Aby ste sa uistili, že výsledná rovnica je nájdená správne, nezabudnite ju skontrolovať - dosaďte do nej súradnice údajov v stave bodov. Mali by ste získať správnu rovnosť.
To je všetko. Dúfam, že materiál bol pre vás užitočný.
S pozdravom Alexander.
P.S: Bol by som vďačný, keby ste o stránke povedali na sociálnych sieťach.
Dajme dva body M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2). Rovnicu priamky zapíšeme v tvare (5), kde k zatiaľ neznámy koeficient:
Od veci M 2 patrí k danej čiare, potom jej súradnice spĺňajú rovnicu (5): 
. Vyjadrením odtiaľto a dosadením do rovnice (5) dostaneme požadovanú rovnicu:
Ak 
Táto rovnica môže byť prepísaná do formy, ktorá je ľahšie zapamätateľná:
(6)
Príklad. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi M 1 (1.2) a M 2 (-2.3)
rozhodnutie. 
. Použitím vlastnosti proporcie a vykonaním potrebných transformácií získame všeobecnú rovnicu priamky:
Uhol medzi dvoma čiarami
Zvážte dva riadky l 1 a l 2:
l 1: , , a
l 2: , ,
φ je uhol medzi nimi (). Obrázok 4 zobrazuje: .
 |
Odtiaľ 
, alebo
Pomocou vzorca (7) možno určiť jeden z uhlov medzi čiarami. Druhý uhol je .
Príklad. Dve priamky sú dané rovnicami y=2x+3 a y=-3x+2. nájdite uhol medzi týmito čiarami.
rozhodnutie. Z rovníc je zrejmé, že k 1 \u003d 2 a k 2 \u003d-3. dosadením týchto hodnôt do vzorca (7) nájdeme
. Takže uhol medzi týmito čiarami je .
Podmienky pre rovnobežnosť a kolmosť dvoch priamok
Ak je rovný l 1 a l 2 sú teda paralelné φ=0 a tgφ=0. zo vzorca (7) vyplýva, že , odkiaľ k 2 \u003d k 1. Podmienkou rovnobežnosti dvoch priamok je teda rovnosť ich sklonov.
Ak je rovný l 1 a l 2 kolmo teda φ=π/2, a2 = π/2+ ai. 
. Podmienkou toho, aby dve priame čiary boli kolmé, je teda to, že ich sklony sú vzájomné čo do veľkosti a opačného znamienka.
Vzdialenosť od bodu k čiare
Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom je vzdialenosť k priamke Ax + Vy + C \u003d 0 definovaná ako
Dôkaz. Nech je bod M 1 (x 1, y 1) základňou kolmice spadnutej z bodu M na danú priamku. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:
Súradnice x 1 a y 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:
Druhá rovnica systému je rovnica priamky prechádzajúcej cez pozadu daný bod M 0 je kolmá na danú priamku.
Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
potom po vyriešení dostaneme:
Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:
Veta bola dokázaná.
Príklad. Určte uhol medzi čiarami: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k 1 \u003d -3; k2 = 2tgj=; j = p/4.
Príklad. Ukážte, že čiary 3x - 5y + 7 = 0 a 10x + 6y - 3 = 0 sú kolmé.
Nájdeme: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, preto sú čiary kolmé.
Príklad. Uvedené sú vrcholy trojuholníka A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Nájdite rovnicu pre výšku nakreslenú z vrcholu C.
Nájdeme rovnicu strany AB: ; 4x = 6r - 6;
2x - 3y + 3 = 0;
Požadovaná výšková rovnica je: Ax + By + C = 0 alebo y = kx + b.
k= . Potom y =. Pretože výška prechádza bodom C, potom jej súradnice spĺňajú túto rovnicu: odkiaľ b \u003d 17. Celkom: .
Odpoveď: 3x + 2 roky - 34 = 0.
Vzdialenosť od bodu k priamke je určená dĺžkou kolmice spadnutej od bodu k priamke.
Ak je priamka rovnobežná s rovinou premietania (h | | P 1), potom na určenie vzdialenosti od bodu ALE do rovnej h je potrebné vypustiť kolmicu z bodu ALE do horizontály h.
Zvážte viac komplexný príklad keď linka zaberá všeobecné postavenie. Nech je potrebné určiť vzdialenosť od bodu M do rovnej a všeobecné postavenie.
Úloha definície vzdialenosti medzi rovnobežnými čiarami riešený podobne ako predchádzajúci. Na jednej priamke sa vezme bod a z nej sa nakreslí kolmica na ďalšiu priamku. Dĺžka kolmice sa rovná vzdialenosti medzi rovnobežnými čiarami.
Krivka druhého rádu je priamka definovaná rovnicou druhého stupňa vzhľadom na aktuálne karteziánske súradnice. Vo všeobecnom prípade Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,
kde A, B, C, D, E, F sú reálne čísla a aspoň jedno z čísel A 2 + B 2 + C 2 ≠0.
Kruh
Stred kruhu- to je ťažisko bodov v rovine rovnako vzdialených od bodu roviny C (a, b).
Kruh je daný nasledujúcou rovnicou:
Kde x, y sú súradnice ľubovoľného bodu na kružnici, R je polomer kružnice.
Znak kruhovej rovnice
1. Neexistuje žiadny člen s x, y
2. Koeficienty pri x 2 a y 2 sú rovnaké
Elipsa
Elipsa sa nazýva ťažisko bodov v rovine, pričom súčet vzdialeností každého z nich od dvoch daných bodov tejto roviny sa nazýva ohniská (konštantná hodnota).
Kanonická rovnica elipsy:
X a y patria do elipsy.
a je hlavná poloos elipsy
b je vedľajšia poloos elipsy
Elipsa má 2 osi symetrie OX a OY. Osami súmernosti elipsy sú jej osi, ich priesečník je stredom elipsy. Os, na ktorej sa nachádzajú ohniská, sa nazýva ohnisková os. Priesečník elipsy s osami je vrcholom elipsy.
Pomer kompresie (natiahnutia): ε = c/a- excentricita (charakterizuje tvar elipsy), čím je menšia, tým je elipsa menej predĺžená pozdĺž ohniskovej osi.
Ak stredy elipsy nie sú v strede С(α, β)
Hyperbola
Hyperbola nazývané lokusy bodov v rovine, absolútna hodnota rozdielu vzdialeností, z ktorých každý z dvoch daných bodov tejto roviny, nazývaných ohniská, je konštantná hodnota odlišná od nuly.
Kanonická rovnica hyperboly
Hyperbola má 2 osi symetrie:
a - skutočná poloos symetrie
b - pomyselná poloos symetrie
Asymptoty hyperboly:
Parabola
parabola je ťažisko bodov v rovine rovnako vzdialené od daného bodu F, nazývaného ohnisko, a danej priamky, nazývanej priamka.
Rovnica kanonickej paraboly:
Y 2 \u003d 2px, kde p je vzdialenosť od ohniska po smerovú čiaru (parabola paraboly)
Ak je vrchol paraboly C (α, β), potom rovnica paraboly (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)
Ak sa ohnisková os berie ako os y, rovnica paraboly bude mať tvar: x 2 \u003d 2qy
Nechajte priamku prechádzať bodmi M 1 (x 1; y 1) a M 2 (x 2; y 2). Rovnica priamky prechádzajúcej bodom M 1 má tvar y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)
kde k - zatiaľ neznámy koeficient.
Pretože priamka prechádza bodom M 2 (x 2 y 2), súradnice tohto bodu musia spĺňať rovnicu (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2-x 1).
Odtiaľ nájdeme Nahradenie nájdenej hodnoty k
do rovnice (10.6) dostaneme rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi M 1 a M 2: 
Predpokladá sa, že v tejto rovnici x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Ak x 1 \u003d x 2, potom priamka prechádzajúca bodmi M 1 (x 1, y I) a M 2 (x 2, y 2) je rovnobežná s osou y. Jeho rovnica je x = x 1 .
Ak y 2 \u003d y I, potom rovnicu priamky možno napísať ako y \u003d y 1, priamka M 1 M 2 je rovnobežná s osou x.
Rovnica priamky v segmentoch
Nech priamka pretína os Ox v bode M 1 (a; 0) a os Oy - v bode M 2 (0; b). Rovnica bude mať tvar: 
tie. 
. Táto rovnica sa nazýva rovnica priamky v segmentoch, pretože čísla aab označujú, ktoré segmenty priamka oddeľuje na súradnicových osiach.
Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmo na daný vektor
Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej daným bodom Mo (x O; y o) kolmou na daný nenulový vektor n = (A; B).
Zoberme si ľubovoľný bod M(x; y) na priamke a uvažujme vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (pozri obr. 1). Pretože vektory n a M o M sú kolmé, ich skalárny súčin sa rovná nule: tj.
A(x - xo) + B (y - yo) = 0. (10.8)
Volá sa rovnica (10.8). rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmým na daný vektor .
Vektor n = (A; B) kolmý na priamku sa nazýva normálový normálny vektor tejto čiary .
Rovnicu (10.8) je možné prepísať ako Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
kde A a B sú súradnice normálneho vektora, C \u003d -Ax o - Vu o - voľný člen. rovnica (10.9) je všeobecná rovnica priamky(pozri obr.2).
Obr.1 Obr.2
Kanonické rovnice priamky
,
Kde 
sú súradnice bodu, ktorým čiara prechádza, a 
- smerový vektor.
Krivky kruhu druhého rádu
Kruh je množina všetkých bodov roviny rovnako vzdialených od daného bodu, ktorý sa nazýva stred.
Kanonická rovnica kružnice s polomerom
R sústredený na bod 
:
Najmä, ak sa stred kolíka zhoduje s počiatkom, rovnica bude vyzerať takto: 
Elipsa
Elipsa je množina bodov v rovine, súčet vzdialeností od každého z nich k dvom daným bodom
a 
, ktoré sa nazývajú ohniská, je konštantná hodnota 
, väčšia ako vzdialenosť medzi ohniskami 
.
Kanonická rovnica elipsy, ktorej ohniská ležia na osi Ox a ktorej počiatok je v strede medzi ohniskami, má tvar 
G 
de a dĺžka hlavnej poloosi; b je dĺžka vedľajšej poloosi (obr. 2).
Dajme dva body M(X 1 ,o 1) a N(X 2,r 2). Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej týmito bodmi.
Keďže táto čiara prechádza bodom M, potom podľa vzorca (1.13) má jeho rovnica tvar
o – Y 1 = K(X-x 1),
Kde K je neznámy svah.
Hodnota tohto koeficientu sa určí z podmienky, že bodom prechádza požadovaná priamka N, čo znamená, že jeho súradnice spĺňajú rovnicu (1.13)
Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),
Odtiaľ môžete nájsť sklon tejto čiary:
,
Alebo po konverzii
(1.14)
Vzorec (1.14) definuje Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi M(X 1, Y 1) a N(X 2, Y 2).
V konkrétnom prípade, keď body M(A, 0), N(0, B), ALE ¹ 0, B¹ 0, leží na súradnicových osiach, rovnica (1.14) má jednoduchší tvar
rovnica (1,15) volal Rovnica priamky v segmentoch, tu ALE a B označujú segmenty odrezané priamkou na osiach (obrázok 1.6).
Obrázok 1.6
Príklad 1.10. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi M(1, 2) a B(3, –1).
. Podľa (1.14) má rovnica požadovanej priamky tvar
2(Y – 2) = -3(X – 1).
Prenesením všetkých členov na ľavú stranu nakoniec získame požadovanú rovnicu
3X + 2Y – 7 = 0.
Príklad 1.11. Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom M(2, 1) a priesečník čiar X+ Y- 1 = 0, X - r+ 2 = 0.
. Súradnice priesečníka priamok nájdeme spoločným riešením týchto rovníc
Ak tieto rovnice sčítame po členoch, dostaneme 2 X+ 1 = 0, odkiaľ . Dosadením zistenej hodnoty do ľubovoľnej rovnice nájdeme hodnotu ordináty o:
Teraz napíšme rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi (2, 1) a :
alebo .
Preto alebo -5( Y – 1) = X – 2.
Nakoniec získame rovnicu požadovanej priamky vo forme X + 5Y – 7 = 0.
Príklad 1.12. Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi M(2.1) a N(2,3).
Pomocou vzorca (1.14) získame rovnicu
Nedáva to zmysel, pretože druhý menovateľ je nula. Z podmienky úlohy je vidieť, že úsečky oboch bodov majú rovnakú hodnotu. Požadovaná čiara je teda rovnobežná s osou OY a jeho rovnica je: X = 2.
Komentujte . Ak sa pri písaní rovnice priamky podľa vzorca (1.14) ukáže, že jeden z menovateľov sa rovná nule, potom je možné požadovanú rovnicu získať prirovnaním zodpovedajúceho čitateľa k nule.
Uvažujme o iných spôsoboch nastavenia priamky v rovine.
1. Nech je nenulový vektor kolmý na danú priamku L a pointa M 0(X 0, Y 0) leží na tejto čiare (obrázok 1.7).
Obrázok 1.7
Označiť M(X, Y) ľubovoľný bod na priamke L. Vektory a 
Ortogonálne. Pomocou podmienok ortogonality pre tieto vektory získame resp ALE(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.
Získali sme rovnicu priamky prechádzajúcej bodom M 0 je kolmá na vektor. Tento vektor sa nazýva Normálny vektor na priamku L. Výslednú rovnicu je možné prepísať ako
Oh + Wu + S= 0, kde S = –(ALEX 0 + Autor: 0), (1.16),
Kde ALE a AT sú súradnice normálového vektora.
Získame všeobecnú rovnicu priamky v parametrickom tvare.
2. Priamku v rovine možno definovať takto: nech je nenulový vektor rovnobežný s danou priamkou L a bodka M 0(X 0, Y 0) leží na tejto čiare. Opäť vezmite svojvoľný bod M(X, y) na priamke (obrázok 1.8).
Obrázok 1.8
Vektory a 
kolineárne.
Zapíšme si podmienku kolinearity týchto vektorov: , kde T je ľubovoľné číslo nazývané parameter. Zapíšme túto rovnosť v súradniciach:
Tieto rovnice sa nazývajú Parametrické rovnice Rovno. Vylúčme z týchto rovníc parameter T:
Tieto rovnice je možné zapísať vo forme
. (1.18)
Výsledná rovnica sa nazýva Kanonická rovnica rovno. Vektorové volanie Smer vektor rovno .
Komentujte . Je ľahké vidieť, že ak je normálny vektor k čiare L, potom jeho smerovým vektorom môže byť vektor , keďže , t.j.
Príklad 1.13. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom M 0(1, 1) rovnobežne s čiarou 3 X + 2o– 8 = 0.
rozhodnutie . Vektor je normálny vektor k daným a požadovaným čiaram. Využime rovnicu priamky prechádzajúcej bodom M 0 s daným normálnym vektorom 3( X –1) + 2(o– 1) = 0 alebo 3 X + 2r- 5 \u003d 0. Dostali sme rovnicu požadovanej priamky.
