V geometrii je uhol obrazec tvorený dvoma lúčmi vychádzajúcimi z jedného bodu (vrcholu uhla). Najčastejšie sa uhly merajú v stupňoch. plný uhol, alebo otáčky, sa rovná 360 stupňom. Môžete vypočítať uhol mnohouholníka, ak poznáte typ mnohouholníka a veľkosť jeho ostatných uhlov, alebo v prípade správny trojuholník, dĺžka dvoch jeho strán.
Kroky
Výpočet rohov mnohouholníka
- Súčet uhlov trojuholníka (trojstranného mnohouholníka) je 180 stupňov.
- Súčet uhlov štvoruholníka (štvorstranného mnohouholníka) je 360 stupňov.
- Súčet uhlov päťuholníka (päťstranného mnohouholníka) je 540 stupňov.
- Súčet uhlov šesťuholníka (šesťstranného mnohouholníka) je 720 stupňov.
- Súčet uhlov osemuholníka (osemhranného mnohouholníka) je 1080 stupňov.
-
Zistite, či je mnohouholník pravidelný. Pravidelný mnohouholník je taký, v ktorom sú všetky strany a všetky uhly rovnaké. Príklady pravidelné polygóny môže slúžiť ako rovnostranný trojuholník a štvorec, zatiaľ čo budova Pentagonu vo Washingtone bola postavená v tvare pravidelného päťuholníka a dopravná značka„stop“ má tvar pravidelného osemuholníka.
Spočítajte známe uhly mnohouholníka a potom odčítajte tento súčet celková suma všetky jeho rohy. Väčšina geometrických problémov tohto druhu sa týka trojuholníkov alebo štvoruholníkov, pretože vyžadujú menej vstupov, takže urobíme to isté.
- Ak sú dva uhly trojuholníka 60 stupňov a 80 stupňov, pridajte tieto čísla. Získajte 140 stupňov. Potom tento súčet odpočítajte od celkového súčtu všetkých uhlov trojuholníka, teda od 180 stupňov: 180 - 140 = 40 stupňov. (Trojuholník, ktorého všetky uhly sú navzájom nerovnaké, sa nazýva nerovnostranný.)
- Toto riešenie môžete zapísať ako a = 180 - (b + c), kde a je uhol, ktorý chcete nájsť, b a c sú známe uhly. Pre mnohouholníky s viac ako tromi stranami nahraďte 180 súčtom uhlov daného typu mnohouholníka a pre každý známy uhol pridajte k súčtu v zátvorke jeden výraz.
- Niektoré polygóny majú svoje vlastné „triky“, ktoré vám pomôžu vypočítať neznámy uhol. Napríklad rovnoramenný trojuholník je trojuholník s dvoma rovnaké strany a dva rovnaké uhly. Rovnobežník je štvoruholník protiľahlé strany a ktorých opačné uhly sú rovnaké.
Výpočet uhlov pravouhlého trojuholníka
-
Zistite, aké údaje poznáte. Pravý trojuholník sa nazýva preto, že jeden z jeho uhlov je pravý. Hodnotu jedného z dvoch zostávajúcich uhlov môžete nájsť, ak poznáte jednu z nasledujúcich hodnôt:
Určite, ktorú goniometrickú funkciu použiť. Goniometrické funkcie vyjadrujú pomery dvoch z troch strán trojuholníka. Existuje šesť goniometrických funkcií, ale tieto sú najčastejšie používané:
Spočítajte počet rohov v polygóne.
Nájdite súčet všetkých uhlov mnohouholníka. Vzorec na nájdenie súčtu všetkých vnútorné rohy Mnohouholník vyzerá ako (n - 2) x 180, kde n je počet strán a rohov mnohouholníka. Tu sú súčty uhlov niektorých bežných polygónov:
Prvým sú segmenty, ktoré susedia s pravým uhlom, a prepona je najdlhšou časťou obrázku a je oproti 90 stupňovému uhlu. Pytagorovský trojuholník je taký, ktorého strany sú rovnaké prirodzené čísla; ich dĺžky sa v tomto prípade nazývajú „pytagorejská trojka“.
egyptský trojuholník
Aby sa súčasná generácia naučila geometriu v podobe, v akej sa vyučuje na škole teraz, vyvíja sa už niekoľko storočí. Základným bodom je Pytagorova veta. Strany obdĺžnika sú známe celému svetu) sú 3, 4, 5.
Len málokomu nie je známa veta „Pytagorove nohavice sú si vo všetkých smeroch rovné“. V skutočnosti však veta znie takto: c 2 (druhá mocnina prepony) \u003d a 2 + b 2 (súčet štvorcov nôh).
Medzi matematikmi sa trojuholník so stranami 3, 4, 5 (cm, m atď.) nazýva „egyptský“. Je zaujímavé, že to, čo je na obrázku vpísané, sa rovná jednej. Názov vznikol okolo 5. storočia pred Kristom, keď grécki filozofi cestovali do Egypta.
Pri stavbe pyramíd použili architekti a geodeti pomer 3:4:5. Takéto štruktúry sa ukázali ako proporcionálne, príjemné na pohľad a priestranné a tiež sa zriedka zrútili.
Na zostrojenie pravého uhla použili stavitelia lano, na ktorom bolo uviazaných 12 uzlov. V tomto prípade sa pravdepodobnosť zostrojenia pravouhlého trojuholníka zvýšila na 95 %.
Znaky rovnosti čísel
- Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku a veľká strana, ktoré sa rovnajú rovnakým prvkom v druhom trojuholníku, sú nesporným znakom rovnosti čísel. Ak vezmeme do úvahy súčet uhlov, je ľahké dokázať, že aj druhé ostré uhly sú rovnaké. V druhom kritériu sú teda trojuholníky identické.
- Keď sú dve figúry na seba navrstvené, otáčame ich tak, že po spojení z nich vznikne jeden rovnoramenný trojuholník. Podľa jeho vlastnosti sú strany, alebo skôr prepony, rovnaké, ako aj uhly na základni, čo znamená, že tieto čísla sú rovnaké.
Prvým znakom je veľmi ľahké dokázať, že trojuholníky sú skutočne rovnaké, hlavné je, že dve menšie strany (t. j. nohy) sú si navzájom rovné.
Trojuholníky budú rovnaké podľa znaku II, ktorého podstatou je rovnosť nohy a ostrý uhol.
Vlastnosti pravouhlého trojuholníka
Výška znížená z pravý uhol, rozdelí postavu na dve rovnaké časti.
Strany pravouhlého trojuholníka a jeho stred sa dajú ľahko rozpoznať podľa pravidla: stredná hodnota, ktorá je znížená k prepone, sa rovná jej polovici. možno nájsť ako podľa Heronovho vzorca, tak aj z tvrdenia, že sa rovná polovici súčinu nôh.
V pravouhlom trojuholníku platia vlastnosti uhlov 30 o, 45 o a 60 o.
- Pri uhle 30 ° by sa malo pamätať na to, že opačná noha sa bude rovnať 1/2 najväčšej strany.
- Ak je uhol 45 o, potom druhý ostrý roh aj 45 o. To naznačuje, že trojuholník je rovnoramenný a jeho nohy sú rovnaké.
- Vlastnosťou uhla 60 stupňov je, že tretí uhol má mieru 30 stupňov.
Oblasť sa dá ľahko nájsť jedným z troch vzorcov:
- cez výšku a stranu, na ktorej klesá;
- podľa Heronovho vzorca;
- po stranách a uhol medzi nimi.
Strany pravouhlého trojuholníka, alebo skôr nohy, sa zbiehajú s dvoma výškami. Aby bolo možné nájsť tretí, je potrebné zvážiť výsledný trojuholník a potom pomocou Pytagorovej vety vypočítať požadovanú dĺžku. Okrem tohto vzorca existuje aj pomer dvojnásobku plochy a dĺžky prepony. Najbežnejší výraz medzi študentmi je prvý, pretože vyžaduje menej výpočtov.
Vety, ktoré platia pre pravouhlý trojuholník
Geometria pravouhlého trojuholníka zahŕňa použitie viet, ako sú:
Kruh v ňom vpísaný (r). Ak to chcete urobiť, zvýšte ju šesťkrát a vydeľte Odmocnina z troch: A \u003d r * 6 / √3.
Ak poznáte polomer (R), môžete vypočítať aj dĺžku strany(A) správne trojuholník. Tento polomer je dvojnásobkom polomeru použitého v predchádzajúcom vzorci, preto ho strojnásobte a tiež vydeľte druhou odmocninou z troch: A = R*3/√3.
Podľa (P) rovnostranného trojuholník vypočítajte jeho dĺžku strany(A) je ešte jednoduchšie, pretože dĺžky strán na tomto obrázku sú rovnaké. Stačí rozdeliť obvod na tri: A = P / 3.
AT rovnoramenný trojuholník výpočet dĺžky strany po známom obvode je to trochu komplikovanejšie - potrebujete poznať aj dĺžku aspoň jednej zo strán. Ak je známa dĺžka strany A ležiac na základni obrázku nájdite dĺžku ktorejkoľvek zo strán (B) v polovici rozdielu medzi obvodom (P) a veľkosťou základne: B \u003d (P-A) / 2. A ak je známa bočná strana, určte dĺžku základne odčítaním dvojnásobnej dĺžky bočnej strany od obvodu: A \u003d P-2 * B.
Poznanie plochy (S), ktorú v rovine zaberá pravidelný trojuholník, postačuje aj na zistenie jeho dĺžky strany(ALE). Vezmite druhú odmocninu pomeru plochy a odmocniny trojitého a zdvojnásobte výsledok: A \u003d 2 * √ (S / √ 3).
V , in od akejkoľvek inej, na výpočet dĺžky jednej zo strán stačí poznať dĺžky ostatných dvoch. Ak je požadovaná strana (C), nájdite druhú odmocninu dĺžok známych strán (A a B) na druhú: C \u003d √ (A² + B²). A ak potrebujete vypočítať dĺžku jednej z nôh, druhá odmocnina by sa mala vziať z dĺžok prepony a druhej vetvy: A \u003d √ (C²-B²).
Zdroje:
- ako vypočítať stranu rovnostranného trojuholníka
Vo všeobecnom prípade, t.j. keď neexistujú žiadne údaje o tom, či je trojuholník rovnostranný, rovnoramenný, pravouhlý, treba na výpočet dĺžok jeho strán použiť trigonometrické funkcie. Pravidlá ich aplikácie určujú teorémy, ktoré sa tak nazývajú - veta o sínusoch, kosínusoch a dotyčniciach.
Poučenie
Jeden spôsob, ako vypočítať dĺžky strán ľubovoľného trojuholník predpokladá sínusovú vetu. Podľa nej pomer dĺžok strán protiľahlých uhlov trojuholník sú si rovní. To nám umožňuje odvodiť vzorec pre dĺžku strany pre tie prípady, keď je z podmienok úlohy známa aspoň jedna strana a dva uhly vo vrcholoch obrazca. Ak žiadny z týchto dvoch uhlov (α a β) neleží medzi nimi známa strana A a vypočítané B, potom vynásobte dĺžku známej strany sínusom známeho uhla β susediaceho s ňou a vydeľte sínusom iného známeho uhla a: B \u003d A * sin (β) / sin (α).
Ak je vytvorený jeden (γ) z dvoch (α a γ) známych uhlov, dĺžka jedného z nich (A) je uvedená v , a druhého (B) je potrebné vypočítať, potom použite rovnakú vetu. Riešenie môžeme zredukovať na vzorec získaný v predchádzajúcom kroku, ak si pripomenieme aj vetu o súčte uhlov v trojuholníku – táto hodnota je vždy 180°. Vo vzorci je neznámy uhol β, ktorý sa podľa tejto vety dá vypočítať, ak od 180° odčítame hodnoty dvoch známych uhlov. Nahraďte túto hodnotu rovnosťou a získate vzorec B \u003d A * sin (180 ° - α - γ) / sin (α).
V geometrii sa často vyskytujú problémy súvisiace so stranami trojuholníkov. Napríklad je často potrebné nájsť stranu trojuholníka, ak sú známe ďalšie dve.
Trojuholníky sú rovnoramenné, rovnostranné a rovnostranné. Zo všetkých odrôd si pre prvý príklad vyberieme obdĺžnikový (v takomto trojuholníku je jeden z uhlov 90 °, strany priľahlé k nemu sa nazývajú nohy a tretí je prepona).
Rýchla navigácia v článku
Dĺžka strán pravouhlého trojuholníka
Riešenie úlohy vyplýva z vety veľkého matematika Pytagorasa. Hovorí, že súčet druhých mocnín nôh pravouhlého trojuholníka sa rovná druhej mocnine jeho prepony: a²+b²=c²
- Nájdite druhú mocninu dĺžky nohy a;
- Nájdite štvorec nohy b;
- Dali sme ich dohromady;
- Z získaného výsledku extrahujeme koreň druhého stupňa.
Príklad: a=4, b=3, c=?
- a²=4²=16;
- b²=3²=9;
- 16+9=25;
- √25=5. To znamená, že dĺžka prepony tohto trojuholníka je 5.
Ak trojuholník nemá pravý uhol, potom dĺžky dvoch strán nestačia. Vyžaduje si to tretí parameter: môže to byť uhol, výška, plocha trojuholníka, polomer kruhu, ktorý je v ňom vpísaný atď.
Ak je známy obvod
V tomto prípade je úloha ešte jednoduchšia. Obvod (P) je súčtom všetkých strán trojuholníka: P=a+b+c. Vyriešením jednoduchej matematickej rovnice teda dostaneme výsledok.
Príklad: P=18, a=7, b=6, c=?
1) Vyriešime rovnicu, pričom všetky známe parametre prenesieme na jednu stranu znamienka rovnosti:
2) Namiesto nich nahraďte hodnoty a vypočítajte tretiu stranu:
c=18-7-6=5, celkom: tretia strana trojuholníka je 5.
Ak je známy uhol
Na výpočet tretej strany trojuholníka s daným uhlom a ďalšími dvoma stranami sa riešenie redukuje na výpočet goniometrickej rovnice. Keď poznáme vzťah medzi stranami trojuholníka a sínusom uhla, je ľahké vypočítať tretiu stranu. Aby ste to dosiahli, musíte obe strany umocniť a sčítať ich výsledky. Potom od výsledného súčinu strán odčítajte, vynásobený kosínusom uhla: C=√(a²+b²-a*b*cosα)
Ak je oblasť známa
V tomto prípade jeden vzorec nestačí.
1) Najprv vypočítame sin γ vyjadrením zo vzorca pre oblasť trojuholníka:
sin γ= 2S/(a*b)
2) Pomocou nasledujúceho vzorca vypočítame kosínus rovnakého uhla:
sin² α + cos² α=1
cos α=√(1 - sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)
3) A opäť použijeme sínusovú vetu:
C=√((a²+b²)-a*b*cosα)
C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))
Nahradením hodnôt premenných do tejto rovnice dostaneme odpoveď na problém.
Trojuholník je primitívny mnohouholník ohraničený v rovine tromi bodmi a tromi úsečkami spájajúcimi tieto body v pároch. Uhly v trojuholníku sú ostré, tupé a pravé. Súčet uhlov v trojuholníku je súvislý a rovná sa 180 stupňom.
Budete potrebovať
- Základné znalosti z geometrie a trigonometrie.
Poučenie
1. Označme dĺžky strán trojuholníka a=2, b=3, c=4 a jeho uhly u, v, w, z ktorých každý leží na opačnej strane jednej strany. Podľa kosínusového zákona sa druhá mocnina dĺžky strany trojuholníka rovná súčtu druhých mocnín dĺžok 2 ďalších strán mínus dvojnásobok súčinu týchto strán o kosínus uhla medzi nimi. To znamená, že a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(u). Do tohto výrazu dosadíme dĺžky strán a dostaneme: 4 \u003d 9 + 16 - 24cos (u).
2. Vyjadrime cos(u) zo získanej rovnosti. Dostaneme nasledovné: cos(u) = 7/8. Ďalej nájdeme skutočný uhol u. Na tento účel vypočítame arccos(7/8). To znamená, že uhol u = arccos(7/8).
3. Podobne, vyjadrením ostatných strán v zmysle zvyšku, nájdeme zostávajúce uhly.
Poznámka!
Hodnota jedného uhla nesmie presiahnuť 180 stupňov. Znak arccos() nemôže obsahovať číslo väčšie ako 1 a menšie ako -1.
Užitočné rady
Aby bolo možné zistiť všetky tri uhly, nie je potrebné vyjadriť všetky tri strany, je povolené zistiť iba 2 uhly a tretí je možné získať odčítaním hodnôt zvyšných 2 od 180 stupňov. Vyplýva to zo skutočnosti, že súčet všetkých uhlov trojuholníka je spojitý a rovná sa 180 stupňom.
