Pripomeňme si kurz školskej matematiky a porozprávame sa o tom, čo je to tangens a ako nájsť tangens uhla. Najprv definujme, čo sa nazýva tangenta. AT správny trojuholník dotyčnica ostrý uhol je pomer protiľahlej nohy k susednej. Susedná noha je tá, ktorá sa podieľa na vytváraní uhla, opačná je tá, ktorá sa nachádza oproti uhlu.

Tangenta ostrého uhla je tiež pomer sínusu tohto uhla k jeho kosínusu. Pre pochopenie si pripomenieme, čo je sínus a kosínus uhla. Sínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k prepone, kosínus je pomer priľahlej vetvy k prepone.

Existuje aj kotangens, je opakom tangenty. Kotangens je pomer susednej vetvy k opačnej a teda pomer kosínusu uhla k jeho sínusu.

Sínus, kosínus, tangens a kotangens sú trigonometrické funkcie uhla, zobrazujú vzťah medzi uhlami a stranami trojuholníka, pomáhajú vypočítať strany trojuholníka.

Vypočítajte tangens ostrého uhla

Ako nájsť dotyčnicu v trojuholníku? Aby ste nestrácali čas hľadaním dotyčnice, môžete nájsť špeciálne tabuľky, v ktorých sú uvedené trigonometrické funkcie mnohých uhlov. V školských hádankách v geometrii sú určité uhly veľmi bežné a učitelia sú požiadaní, aby si zapamätali hodnoty svojich sínusov, kosínusov, tangentov a kotangens. Ponúkame vám malý tanierik s požadovanými hodnotami pre tieto uhly.

Ak uhol, ktorého dotyčnicu je potrebné nájsť, nie je uvedený v tejto tabuľke, potom môžete použiť dva vzorce, ktoré sme uviedli vyššie vo verbálnej forme.

Prvým spôsobom, ako vypočítať tangens uhla, je vydeliť dĺžku protiľahlej nohy dĺžkou susednej. Povedzme, že opačná vetva je 4 a susedná vetva je 8. Ak chcete nájsť dotyčnicu, potrebujete 4:8. Tangenta uhla bude ½ alebo 0,5.

Druhý spôsob výpočtu tangensu je vydeliť hodnotu sínusu daného uhla hodnotou jeho kosínusu. Napríklad máme uhol 45 stupňov. Jeho hriech = druhá odmocnina z dvoch delená dvoma; jeho cos je rovnaké číslo. Teraz vydelíme sínus kosínusom a dostaneme dotyčnicu rovnú jednej.

Stáva sa, že musíte použiť tento konkrétny vzorec, ale je známy iba jeden prvok - buď sínus alebo kosínus. V tomto prípade bude užitočné pripomenúť si vzorec

sin2 α + cos2 α = 1. Toto je základná trigonometrická identita. Vyjadrením neznámeho prvku v pojmoch známeho sa dá zistiť jeho význam. A keď poznáme sínus a kosínus, nie je ťažké nájsť dotyčnicu.

A ak geometria zjavne nie je vašou úlohou, ale robiť domáca úloha ešte potrebujete, potom môžete použiť online kalkulačku na výpočet tangens uhla.

Povedali sme vám o jednoduché príklady ako nájsť dotyčnicu. Podmienky úloh sú však náročnejšie a nie vždy je možné rýchlo zistiť všetky potrebné údaje. V tomto prípade vám pomôže Pytagorova veta a rôzne goniometrické funkcie.

Trigonometria je časť matematiky, ktorá študuje goniometrické funkcie a ich využitie v geometrii. Vývoj trigonometrie sa začal v časoch starovekého Grécka. Počas stredoveku vedci z Blízkeho východu a Indie významne prispeli k rozvoju tejto vedy.

Tento článok je venovaný základným pojmom a definíciám trigonometrie. Rozoberá definície hlavných goniometrických funkcií: sínus, kosínus, tangens a kotangens. Je vysvetlený a znázornený ich význam v kontexte geometrie.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pôvodne boli definície goniometrických funkcií, ktorých argumentom je uhol, vyjadrené pomerom strán pravouhlého trojuholníka.

Definície goniometrických funkcií

Sínus uhla (sin α) je pomer nohy oproti tomuto uhlu k prepone.

Kosínus uhla (cos α) je pomer priľahlého ramena k prepone.

Tangenta uhla (t g α) je pomer protiľahlého ramena k susednému.

Kotangens uhla (c t g α) je pomer priľahlého ramena k protiľahlému ramenu.

Tieto definície sú uvedené pre ostrý uhol pravouhlého trojuholníka!

Uveďme ilustráciu.

V trojuholníku ABC s pravým uhlom C sa sínus uhla A rovná pomeru ramena BC k prepone AB.

Definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu umožňujú vypočítať hodnoty týchto funkcií zo známych dĺžok strán trojuholníka.

Dôležité mať na pamäti!

Rozsah hodnôt sínus a kosínus: od -1 do 1. Inými slovami, sínus a kosínus nadobúdajú hodnoty od -1 do 1. Rozsah hodnôt dotyčnice a kotangens je celá číselná os, teda tieto funkcie môžu mať akúkoľvek hodnotu.

Vyššie uvedené definície sa vzťahujú na ostré uhly. V trigonometrii sa zavádza pojem uhla natočenia, ktorého hodnota na rozdiel od ostrého uhla nie je obmedzená rámcami od 0 do 90 stupňov.Uhol natočenia v stupňoch alebo radiánoch je vyjadrený ľubovoľným reálnym číslom od - ∞ až + ∞.

V tomto kontexte je možné definovať sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla ľubovoľnej veľkosti. Predstavte si jednotkový kruh so stredom v počiatku karteziánskeho súradnicového systému.

Počiatočný bod A so súradnicami (1 , 0) sa otáča okolo stredu jednotkovej kružnice o určitý uhol α a smeruje do bodu A 1 . Definícia je daná prostredníctvom súradníc bodu A 1 (x, y).

Sínus (sin) uhla natočenia

Sínus uhla natočenia α je ordináta bodu A 1 (x, y). sinα = y

Kosínus (cos) uhla natočenia

Kosínus uhla natočenia α je úsečka bodu A 1 (x, y). cos α = x

Tangenta (tg) uhla natočenia

Tangenta uhla natočenia α je pomerom ordináty bodu A 1 (x, y) k jeho os. t g α = y x

Kotangens (ctg) uhla natočenia

Kotangens uhla natočenia α je pomer úsečky bodu A 1 (x, y) k jeho ordinate. c t g α = x y

Sínus a kosínus sú definované pre akýkoľvek uhol natočenia. Je to logické, pretože úsečka a ordináta bodu po otočení sa dajú určiť pod ľubovoľným uhlom. Iná situácia je pri tangente a kotangens. Dotyčnica nie je definovaná, keď bod po otočení ide do bodu s nulovou úsečkou (0 , 1) a (0 , - 1). V takýchto prípadoch výraz pre dotyčnicu t g α = y x jednoducho nedáva zmysel, pretože obsahuje delenie nulou. Podobná situácia je aj s kotangensom. Rozdiel je v tom, že kotangens nie je definovaný v prípadoch, keď ordináta bodu zmizne.

Dôležité mať na pamäti!

Sínus a kosínus sú definované pre ľubovoľné uhly α.

Dotyčnica je definovaná pre všetky uhly okrem α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangens je definovaný pre všetky uhly okrem α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Pri rozhodovaní praktické príklady nehovorte "sínus uhla natočenia α". Slová „uhol natočenia“ sú jednoducho vynechané, čo naznačuje, že z kontextu je už jasné, o čo ide.

čísla

A čo definícia sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla a nie uhla natočenia?

Sínus, kosínus, tangens, kotangens čísla

Sínus, kosínus, tangens a kotangens čísla t volá sa číslo, ktoré sa rovná sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu v t radián.

Napríklad sínus 10 π rovný sínusu uhol natočenia 10 π rad.

Existuje iný prístup k definícii sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla. Pozrime sa na to podrobnejšie.

Akékoľvek skutočné číslo t bod na jednotkovej kružnici je v súlade so stredom v počiatku pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému. Sínus, kosínus, dotyčnica a kotangens sú definované z hľadiska súradníc tohto bodu.

Počiatočný bod na kružnici je bod A so súradnicami (1 , 0).

kladné číslo t

Záporné číslo t zodpovedá bodu, do ktorého sa posunie začiatočný bod, ak sa bude pohybovať proti smeru hodinových ručičiek okolo kruhu a prejde dráhu t .

Teraz, keď sme vytvorili spojenie medzi číslom a bodom na kružnici, pristúpime k definícii sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu.

Sínus (hriech) čísla t

Sínus čísla t- ordináta bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t. hriech t = y

Kosínus (cos) t

Kosínus čísla t- súradnica bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t. cos t = x

Tangenta (tg) t

Tangenta čísla t- pomer zvislej osi k osovej osi bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t. t g t = y x = sin t cos t

Posledné uvedené definície sú v súlade s definíciou uvedenou na začiatku tejto časti a nie sú v rozpore s ňou. Ukážte na kruh zodpovedajúci číslu t, sa zhoduje s bodom, do ktorého prechádza počiatočný bod po otočení cez uhol t radián.

Goniometrické funkcie uhlového a numerického argumentu

Každá hodnota uhla α zodpovedá určitej hodnote sínusu a kosínusu tohto uhla. Rovnako ako všetky uhly α iné ako α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) zodpovedá určitej hodnote dotyčnice. Kotangens, ako je uvedené vyššie, je definovaný pre všetky α, okrem α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Môžeme povedať, že sin α , cos α , t g α , c t g α sú funkcie uhla alfa alebo funkcie uhlového argumentu.

Podobne možno hovoriť o sínusoch, kosínusoch, tangentoch a kotangens ako o funkciách číselného argumentu. Každé skutočné číslo t zodpovedá konkrétnej hodnote sínusu alebo kosínusu čísla t. Všetky čísla iné ako π 2 + π · k , k ∈ Z zodpovedajú hodnote dotyčnice. Kotangens je podobne definovaný pre všetky čísla okrem π · k , k ∈ Z.

Základné funkcie trigonometrie

Sínus, kosínus, tangens a kotangens sú základné goniometrické funkcie.

Z kontextu je zvyčajne jasné, s ktorým argumentom goniometrickej funkcie (uhlovým argumentom alebo číselným argumentom) máme do činenia.

Vráťme sa k údajom na samom začiatku definícií a uhlu alfa, ktorý leží v rozmedzí od 0 do 90 stupňov. Trigonometrické definície sínus, kosínus, tangens a kotangens sú v úplnom súlade s geometrickými definíciami danými pomermi strán pravouhlého trojuholníka. Ukážme to.

Vezmite jednotkový kruh so stredom v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme. Obráťme sa štartovací bod A (1, 0) pod uhlom do 90 stupňov a nakreslite z výsledného bodu A 1 (x, y) kolmo na os x. Vo výslednom pravouhlom trojuholníku sa uhol A 1 O H rovná uhlu natočenia α, dĺžka ramena O H sa rovná osovej osi bodu A 1 (x, y) . Dĺžka ramena oproti rohu sa rovná ordinate bodu A 1 (x, y) a dĺžka prepony sa rovná jednej, pretože je to polomer jednotkovej kružnice.

V súlade s definíciou z geometrie sa sínus uhla α rovná pomeru protiľahlej vetvy k prepone.

hriech α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

To znamená, že definícia sínusu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku cez pomer strán je ekvivalentná definícii sínusu uhla natočenia α, pričom alfa leží v rozsahu od 0 do 90 stupňov.

Podobne je možné ukázať zhodu definícií pre kosínus, tangens a kotangens.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Pomer opačnej nohy k prepone sa nazýva sínus ostrého uhla správny trojuholník.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Kosínus ostrého uhla pravouhlého trojuholníka

Pomer najbližšej nohy k prepone sa nazýva kosínus ostrého uhla správny trojuholník.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangenta ostrého uhla pravouhlého trojuholníka

Pomer protiľahlej nohy k susednej sa nazýva tangens ostrého uhla správny trojuholník.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Kotangens ostrého uhla pravouhlého trojuholníka

Pomer susednej nohy k opačnej sa nazýva kotangens ostrého uhla správny trojuholník.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sínus ľubovoľného uhla

Nazýva sa ordináta bodu na jednotkovej kružnici, ktorej zodpovedá uhol \alpha sínus ľubovoľného uhla rotácia \alpha .

\sin \alpha=y

Kosínus ľubovoľného uhla

Nazýva sa úsečka bodu na jednotkovej kružnici, ktorej zodpovedá uhol \alpha kosínus ľubovoľného uhla rotácia \alpha .

\cos \alpha=x

Tangenta ľubovoľného uhla

Pomer sínusu ľubovoľného uhla natočenia \alfa k jeho kosínusu sa nazýva dotyčnica ľubovoľného uhla rotácia \alpha .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Kotangens ľubovoľného uhla

Pomer kosínusu ľubovoľného uhla natočenia \alfa k jeho sínusu sa nazýva kotangens ľubovoľného uhla rotácia \alpha .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Príklad nájdenia ľubovoľného uhla

Ak \alpha je nejaký uhol AOM , kde M je bod na jednotkovej kružnici, potom

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Napríklad ak \uhol AOM = -\frac(\pi)(4), potom: ordináta bodu M je -\frac(\sqrt(2))(2), úsečka je \frac(\sqrt(2))(2) a preto

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Tabuľka hodnôt sínusov kosínusov dotyčníc kotangens

Hodnoty hlavných často sa vyskytujúcich uhlov sú uvedené v tabuľke:

Štúdium trigonometrie začíname pravouhlým trojuholníkom. Definujme, čo je sínus a kosínus, ako aj tangens a kotangens ostrého uhla. Toto sú základy trigonometrie.

Pripomeň si to pravý uhol je uhol rovný 90 stupňom. Inými slovami, polovica rozvinutého rohu.

Ostrý roh- menej ako 90 stupňov.

Tupý uhol- väčší ako 90 stupňov. Vo vzťahu k takémuto uhla nie je "tupé" urážkou, ale matematickým výrazom :-)

Nakreslíme pravouhlý trojuholník. Zvyčajne sa označuje pravý uhol. Všimnite si, že strana oproti rohu je označená rovnakým písmenom, len malým. Takže je označená strana ležiaca oproti uhlu A.

Uhol je označený zodpovedajúcim Grécke písmeno.

Hypotenzia pravý trojuholník je opačná strana pravý uhol.

Nohy- strany oproti ostrým rohom.

Noha oproti rohu sa nazýva opak(vzhľadom na uhol). Druhá noha, ktorá leží na jednej strane rohu, sa nazýva priľahlé.

Sinus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej vetvy k prepone:

Kosínus ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer priľahlej nohy k prepone:

Tangenta ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer protiľahlej nohy k susednej:

Iná (ekvivalentná) definícia: tangens ostrého uhla je pomer sínusu uhla k jeho kosínu:

Kotangens ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku - pomer susednej vetvy k opačnej (alebo ekvivalentne pomer kosínusu k sínusu):

Venujte pozornosť základným pomerom pre sínus, kosínus, tangens a kotangens, ktoré sú uvedené nižšie. Budú nám užitočné pri riešení problémov.

Dokážme niektoré z nich.

Dobre, dali sme definície a napísané vzorce. Prečo však potrebujeme sínus, kosínus, tangens a kotangens?

My to vieme súčet uhlov ľubovoľného trojuholníka je.

Poznáme vzťah medzi strany správny trojuholník. Toto je Pytagorova veta: .

Ukazuje sa, že keď poznáte dva uhly v trojuholníku, môžete nájsť tretí. Keď poznáte dve strany v pravouhlom trojuholníku, môžete nájsť tretiu. Takže pre uhly - ich pomer, pre strany - ich vlastné. Čo však robiť, ak v pravouhlom trojuholníku je známy jeden uhol (okrem pravého) a jedna strana, no potrebujete nájsť ďalšie strany?

Tomu čelili ľudia v minulosti, keď robili mapy oblasti a hviezdnej oblohy. Koniec koncov, nie je vždy možné priamo zmerať všetky strany trojuholníka.

Sínus, kosínus a tangenta - nazývajú sa tiež goniometrické funkcie uhla- uveďte pomer medzi strany a rohy trojuholník. Keď poznáte uhol, môžete nájsť všetky jeho trigonometrické funkcie pomocou špeciálnych tabuliek. A keď poznáte sínusy, kosínusy a dotyčnice uhlov trojuholníka a jednej z jeho strán, môžete nájsť zvyšok.

Nakreslíme tiež tabuľku hodnôt sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu pre „dobré“ uhly od do.

Všimnite si dve červené čiarky v tabuľke. Pre zodpovedajúce hodnoty uhlov tangens a kotangens neexistujú.

Poďme analyzovať niekoľko problémov v trigonometrii z úloh Bank of FIPI.

1. V trojuholníku je uhol , . Nájsť .

Problém je vyriešený do štyroch sekúnd.

Pokiaľ ide o ,.

2. V trojuholníku je uhol , , . Nájsť .

Hľadajme podľa Pytagorovej vety.

Problém je vyriešený.

Často sú v problémoch trojuholníky s uhlami a alebo s uhlami a . Zapamätajte si pre nich základné pomery naspamäť!

Pre trojuholník s uhlami a protiľahlou nohou je uhol v rovný polovica prepony.

Trojuholník s uhlami a je rovnoramenný. V ňom je prepona krát väčšia ako noha.

Zvažovali sme úlohy na riešenie pravouhlých trojuholníkov – teda na hľadanie neznámych strán alebo uhlov. To však nie je všetko! Vo variantoch skúšky z matematiky je veľa úloh, kde sa objavuje sínus, kosínus, tangens alebo kotangens vonkajšieho uhla trojuholníka. Viac o tom v ďalšom článku.

Stredná úroveň

Správny trojuholník. Kompletný ilustrovaný sprievodca (2019)

SPRÁVNY TROJUHOLNÍK. PRVÁ ÚROVEŇ.

V problémoch nie je vôbec potrebný pravý uhol - ľavý dolný, takže sa musíte naučiť rozpoznať pravouhlý trojuholník v tejto forme,

a v takých

a v takých

Čo je dobré na pravouhlom trojuholníku? No... v prvom rade sú tu špeciálne krásne mená pre jeho strany.

Pozor na kresbu!

Pamätajte a nezamieňajte: nohy - dve a prepona - iba jedna(jediný, jedinečný a najdlhší)!

No, diskutovali sme o menách, teraz to najdôležitejšie: Pytagorova veta.

Pytagorova veta.

Táto veta je kľúčom k riešeniu mnohých problémov týkajúcich sa pravouhlého trojuholníka. Dokázal to už Pytagoras v úplne nepamätných časoch a odvtedy to tým, ktorí to poznajú, prináša množstvo výhod. A najlepšie na nej je, že je jednoduchá.

takze Pytagorova veta:

Pamätáte si na vtip: „Pytagorove nohavice sú si na všetkých stranách rovné!“?

Poďme si nakresliť tieto veľmi pythagorejské nohavice a pozrieť sa na ne.

Naozaj to vyzerá ako šortky? No a na ktorých stranách a kde sú si rovní? Prečo a kde sa vzal vtip? A tento vtip súvisí práve s Pytagorovou vetou, presnejšie s tým, ako svoju vetu sformuloval sám Pytagoras. A sformuloval to takto:

„Suma plocha štvorcov, postavená na nohách, sa rovná štvorcová plocha postavený na prepone.

Neznie to trochu inak, však? A tak, keď Pytagoras nakreslil výrok svojej vety, vznikol práve takýto obrázok.

Na tomto obrázku sa súčet plôch malých štvorcov rovná ploche veľkého štvorca. A aby si deti lepšie zapamätali, že súčet štvorcov nôh sa rovná druhej mocnine prepony, niekto vtipný vymyslel tento vtip o pytagorových nohaviciach.

Prečo teraz formulujeme Pytagorovu vetu

Trpel Pytagoras a hovoril o štvorcoch?

Vidíte, v staroveku neexistovala žiadna ... algebra! Neboli tam žiadne známky a podobne. Neboli tam žiadne nápisy. Viete si predstaviť, aké hrozné to bolo pre úbohých starovekých študentov naučiť sa všetko naspamäť slovami??! A môžeme byť radi, že máme jednoduchú formuláciu Pytagorovej vety. Pre lepšie zapamätanie si to zopakujeme:

Teraz by to malo byť jednoduché:

Diskutovalo sa o najdôležitejšej vete o pravouhlom trojuholníku. Ak vás zaujíma, ako sa to dokazuje, prečítajte si ďalšie úrovne teórie a teraz poďme ďalej ... do temného lesa ... trigonometrie! K strašným slovám sínus, kosínus, tangens a kotangens.

Sínus, kosínus, dotyčnica, kotangens v pravouhlom trojuholníku.

V skutočnosti nie je všetko také strašidelné. Samozrejme, v článku sa treba pozrieť na „skutočnú“ definíciu sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu. Ale to naozaj nechceš, však? Môžeme sa tešiť: na vyriešenie problémov s pravouhlým trojuholníkom stačí vyplniť nasledujúce jednoduché veci:

Prečo je to všetko o rohu? kde je roh? Aby ste tomu porozumeli, musíte vedieť, ako sa slová 1 - 4 píšu. Pozrite sa, pochopte a pamätajte!

1.
V skutočnosti to znie takto:

A čo uhol? Existuje noha, ktorá je oproti rohu, teda opačná noha (pre roh)? Samozrejme, že mám! Toto je katéter!

Ale čo ten uhol? Pozri sa bližšie. Ktorá noha susedí s rohom? Samozrejme, mačka. Takže pre uhol je noha priľahlá a

A teraz, pozor! Pozrite sa, čo sme dostali:

Pozrite sa, aké je to skvelé:

Teraz prejdime k dotyčnici a kotangensu.

Ako to teraz vyjadriť slovami? Aká je noha vo vzťahu k rohu? Samozrejme, že naopak – „leží“ oproti rohu. A katéter? Susedí s rohom. Čo sme teda dostali?

Vidíte, ako sa čitateľ a menovateľ obrátia?

A teraz znova rohy a urobili výmenu:

Zhrnutie

Stručne si napíšme, čo sme sa naučili.

Pytagorova veta:

Hlavná veta o pravouhlom trojuholníku je Pytagorova veta.

Pytagorova veta

Mimochodom, pamätáte si dobre, čo sú nohy a prepona? Ak nie, pozrite sa na obrázok - obnovte svoje vedomosti

Je možné, že ste už Pytagorovu vetu použili mnohokrát, ale napadlo vás niekedy, prečo je takáto veta pravdivá. Ako by ste to dokázali? Urobme to ako starí Gréci. Nakreslíme štvorec so stranou.

Vidíte, ako prefíkane sme rozdelili jeho strany na segmenty dĺžok a!

Teraz spojme označené body

Tu sme si však všimli niečo iné, ale vy sami sa pozrite na obrázok a zamyslite sa nad tým, prečo.

Aká je plocha väčšieho námestia? Správne, . A čo menšia plocha? Určite,. Celková plocha štyroch rohov zostáva. Predstavte si, že sme ich zobrali dve a opreli sa o seba s preponami. Čo sa stalo? Dva obdĺžniky. Oblasť „odrezkov“ je teda rovnaká.

Poďme si to teraz dať dokopy.

Poďme sa transformovať:

Navštívili sme teda Pytagora – jeho vetu sme dokázali starovekým spôsobom.

Pravý trojuholník a trigonometria

Pre pravouhlý trojuholník platia tieto vzťahy:

Sínus ostrého uhla sa rovná pomeru opačnej nohy k prepone

Kosínus ostrého uhla sa rovná pomeru priľahlej nohy k prepone.

Tangenta ostrého uhla sa rovná pomeru protiľahlého ramena k susednému ramenu.

Kotangens ostrého uhla sa rovná pomeru susednej vetvy k opačnej vetve.

A ešte raz, to všetko vo forme taniera:

Je to veľmi pohodlné!

Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov

I. Na dvoch nohách

II. Nohou a preponou

III. Podľa prepony a ostrého uhla

IV. Pozdĺž nohy a ostrého uhla

a)

b)

Pozor! Tu je veľmi dôležité, aby nohy „zodpovedali“. Napríklad, ak to dopadne takto:

TOTO TROJUHOLNÍKY NIE SÚ ROVNÉ, napriek tomu, že majú jeden rovnaký ostrý uhol.

Potrebovať v oboch trojuholníkoch bola noha priľahlá, alebo v oboch - opačná.

Všimli ste si, ako sa znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov líšia od bežných znakov rovnosti trojuholníkov? Pozrite sa na tému „a venujte pozornosť tomu, že na rovnosť „obyčajných“ trojuholníkov potrebujete rovnosť ich troch prvkov: dvoch strán a uhla medzi nimi, dvoch uhlov a jednej strany medzi nimi alebo troch strán. Ale pre rovnosť pravouhlých trojuholníkov stačia iba dva zodpovedajúce prvky. Je to skvelé, však?

Približne rovnaká situácia so znakmi podobnosti pravouhlých trojuholníkov.

Znaky podobnosti pravouhlých trojuholníkov

I. Akútny kútik

II. Na dvoch nohách

III. Nohou a preponou

Medián v pravouhlom trojuholníku

prečo je to tak?

Zvážte celý obdĺžnik namiesto pravouhlého trojuholníka.

Nakreslíme uhlopriečku a uvažujme bod - priesečník uhlopriečok. Čo viete o uhlopriečkach obdĺžnika?

A čo z toho vyplýva?

Tak sa aj stalo

1. - medián:

Pamätajte na túto skutočnosť! Veľa pomáha!

O to prekvapujúcejšie je, že opak je pravdou.

Čo je dobré získať zo skutočnosti, že medián prepony sa rovná polovici prepony? Pozrime sa na obrázok

Pozri sa bližšie. Máme: , to znamená, že vzdialenosti od bodu k všetkým trom vrcholom trojuholníka sa ukázali ako rovnaké. Ale v trojuholníku je len jeden bod, vzdialenosti od ktorého sú približne všetky tri vrcholy trojuholníka rovnaké, a to je STRED OPISOVANÉHO OKRUHU. Takže, čo sa stalo?

Začnime teda týmto „okrem...“.

Pozrime sa na i.

Ale v podobných trojuholníkoch sú všetky uhly rovnaké!

To isté možno povedať o a

Teraz to nakreslíme spolu:

Aký úžitok môže byť z tejto „trojitej“ podobnosti.

No napríklad - dva vzorce pre výšku pravouhlého trojuholníka.

Píšeme vzťahy zodpovedajúcich strán:

Aby sme našli výšku, riešime pomer a dostaneme prvý vzorec "Výška v pravouhlom trojuholníku":

Aplikujme teda podobnosť: .

čo sa teraz stane?

Opäť riešime pomer a dostaneme druhý vzorec:

Oba tieto vzorce si treba veľmi dobre zapamätať a ten, ktorý je pohodlnejšie aplikovať. Zapíšme si ich ešte raz.

Pytagorova veta:

V pravouhlom trojuholníku sa štvorec prepony rovná súčtu štvorcov nôh:.

Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov:

• na dvoch nohách:
• pozdĺž nohy a prepony: príp
• pozdĺž nohy a priľahlého ostrého uhla: alebo
• pozdĺž nohy a opačný ostrý uhol: alebo
• podľa prepony a ostrého uhla: príp.

Znaky podobnosti pravouhlých trojuholníkov:

• jeden ostrý roh: alebo
• z proporcionality dvoch nôh:
• z proporcionality nohy a prepony: príp.

Sínus, kosínus, dotyčnica, kotangens v pravouhlom trojuholníku

• Sínus ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer protiľahlej vetvy k prepone:
• Kosínus ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer priľahlého ramena k prepone:
• Tangenta ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer protiľahlej vetvy k susednej vetve:
• Kotangens ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer priľahlého ramena k opačnému:.

Výška pravouhlého trojuholníka: alebo.

V pravouhlom trojuholníku sa medián vytiahnutý z vrcholu pravého uhla rovná polovici prepony: .

Plocha pravouhlého trojuholníka:

• cez katétre: