Recordemos el curso de matemáticas de la escuela y hablemos sobre qué es una tangente y cómo encontrar la tangente de un ángulo. Primero, definamos lo que se llama una tangente. EN triángulo rectángulo tangente ángulo agudo es la razón del cateto opuesto al adyacente. El cateto adyacente es el que participa en la formación del ángulo, el opuesto es el que se ubica opuesto al ángulo.

Además, la tangente de un ángulo agudo es la razón del seno de este ángulo a su coseno. Para entender, recordamos qué es el seno y el coseno de un ángulo. El seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa, el coseno es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa.

También existe una cotangente, es lo contrario de la tangente. La cotangente es la razón del cateto adyacente al cateto opuesto y, en consecuencia, la razón del coseno de un ángulo a su seno.

Seno, coseno, tangente y cotangente son funciones trigonométricas de un ángulo, muestran la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo, ayudan a calcular los lados de un triángulo.

Calcular la tangente de un ángulo agudo

¿Cómo encontrar la tangente en un triángulo? Para no perder el tiempo buscando la tangente, puedes encontrar tablas especiales donde se indican las funciones trigonométricas de muchos ángulos. En los problemas escolares de geometría, ciertos ángulos son muy comunes, y se les pide a los maestros que recuerden los valores de sus senos, cosenos, tangentes y cotangentes. Le ofrecemos una pequeña placa con los valores deseados para estos ángulos.

Si el ángulo cuya tangente se necesita encontrar no se presenta en esta tabla, puede usar las dos fórmulas que presentamos anteriormente en forma verbal.

La primera forma de calcular la tangente de un ángulo es dividir la longitud del cateto opuesto por la longitud del cateto adyacente. Digamos que el cateto opuesto es 4 y el cateto adyacente es 8. Para encontrar la tangente, necesitas 4:8. La tangente del ángulo será ½ o 0,5.

La segunda forma de calcular la tangente es dividir el valor del seno de un ángulo dado por el valor de su coseno. Por ejemplo, se nos da un ángulo de 45 grados. Su pecado = raíz cuadrada de dos dividida por dos; su cos es el mismo número. Ahora dividimos el seno por el coseno y obtenemos la tangente igual a uno.

Sucede que necesita usar esta fórmula particular, pero solo se conoce un elemento, ya sea seno o coseno. En este caso, será útil recordar la fórmula

sen2 α + cos2 α = 1. Esta es la identidad trigonométrica básica. Al expresar un elemento desconocido en términos de uno conocido, uno puede averiguar su significado. Y conociendo el seno y el coseno, no es difícil encontrar la tangente.

Y si la geometría claramente no es tu vocación, sino hacer tarea todavía necesita, entonces puede usar la calculadora en línea para calcular la tangente de un ángulo.

Te contamos sobre ejemplos simples como hallar la tangente. Sin embargo, las condiciones de las tareas son más difíciles y no siempre es posible encontrar rápidamente todos los datos necesarios. En este caso, el teorema de Pitágoras y varias funciones trigonométricas te ayudarán.

La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las funciones trigonométricas y su uso en geometría. El desarrollo de la trigonometría comenzó en los días de la antigua Grecia. Durante la Edad Media, científicos de Medio Oriente e India hicieron una importante contribución al desarrollo de esta ciencia.

Este artículo está dedicado a los conceptos básicos y definiciones de trigonometría. Trata las definiciones de las principales funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente y cotangente. Se explica e ilustra su significado en el contexto de la geometría.

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Inicialmente, las definiciones de las funciones trigonométricas, cuyo argumento es un ángulo, se expresaban a través de la razón de los lados de un triángulo rectángulo.

Definiciones de funciones trigonométricas

El seno de un ángulo (sen α) es la relación entre el cateto opuesto a este ángulo y la hipotenusa.

El coseno del ángulo (cos α) es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

La tangente del ángulo (t g α) es la relación del cateto opuesto al adyacente.

La cotangente del ángulo (c t g α) es la razón del cateto adyacente al opuesto.

¡Estas definiciones se dan para un ángulo agudo de un triángulo rectángulo!

Demos una ilustración.

En el triángulo ABC de ángulo recto C, el seno del ángulo A es igual a la razón del cateto BC a la hipotenusa AB.

Las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente permiten calcular los valores de estas funciones a partir de las longitudes conocidas de los lados de un triángulo.

Importante recordar!

El rango de valores de seno y coseno: de -1 a 1. En otras palabras, el seno y el coseno toman valores de -1 a 1. El rango de valores de tangente y cotangente es toda la recta numérica, es decir, estos Las funciones pueden tomar cualquier valor.

Las definiciones dadas anteriormente se refieren a ángulos agudos. En trigonometría, se introduce el concepto de ángulo de rotación, cuyo valor, a diferencia de un ángulo agudo, no está limitado por marcos de grados 0 a 90. El ángulo de rotación en grados o radianes se expresa por cualquier número real de - ∞ a + ∞.

En este contexto, se puede definir el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo de magnitud arbitraria. Imagine un círculo unitario centrado en el origen del sistema de coordenadas cartesianas.

El punto inicial A con coordenadas (1, 0) gira alrededor del centro del círculo unitario un cierto ángulo α y va al punto A 1 . La definición viene dada por las coordenadas del punto A 1 (x, y).

Seno (sin) del ángulo de rotación

El seno del ángulo de rotación α es la ordenada del punto A 1 (x, y). seno = y

Coseno (cos) del ángulo de rotación

El coseno del ángulo de rotación α es la abscisa del punto A 1 (x, y). porque α = x

Tangente (tg) del ángulo de rotación

La tangente del ángulo de rotación α es la relación entre la ordenada del punto A 1 (x, y) y su abscisa. t gramo α = y x

Cotangente (ctg) del ángulo de rotación

La cotangente del ángulo de rotación α es la razón de la abscisa del punto A 1 (x, y) a su ordenada. c t gramo α = x y

El seno y el coseno se definen para cualquier ángulo de rotación. Esto es lógico, porque la abscisa y la ordenada del punto después de la rotación se pueden determinar en cualquier ángulo. La situación es diferente con tangente y cotangente. La tangente no está definida cuando el punto después de la rotación va al punto con abscisas cero (0 , 1) y (0 , - 1). En tales casos, la expresión de la tangente t g α = y x simplemente no tiene sentido, ya que contiene la división por cero. La situación es similar con la cotangente. La diferencia es que la cotangente no está definida en los casos en que la ordenada del punto se anula.

Importante recordar!

El seno y el coseno están definidos para cualquier ángulo α.

La tangente está definida para todos los ángulos excepto α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

La cotangente está definida para todos los ángulos excepto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Al decidir ejemplos prácticos no digas "seno del ángulo de rotación α". Las palabras "ángulo de rotación" simplemente se omiten, lo que implica que por el contexto ya está claro lo que está en juego.

Números

¿Qué pasa con la definición de seno, coseno, tangente y cotangente de un número, y no el ángulo de rotación?

Seno, coseno, tangente, cotangente de un número

Seno, coseno, tangente y cotangente de un número t se llama un número que es respectivamente igual al seno, coseno, tangente y cotangente en t radián.

Por ejemplo, el seno de 10 π igual al senoángulo de rotación de 10 π rad.

Hay otro enfoque para la definición del seno, coseno, tangente y cotangente de un número. Considerémoslo con más detalle.

Cualquier número real t un punto en el círculo unitario se pone en correspondencia con el centro en el origen del sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Seno, coseno, tangente y cotangente se definen en términos de las coordenadas de este punto.

El punto inicial del círculo es el punto A con coordenadas (1, 0).

numero positivo t

Numero negativo t corresponde al punto al que se moverá el punto de partida si se mueve en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del círculo y pasa por la trayectoria t .

Ahora que se ha establecido la conexión entre el número y el punto en el círculo, procedemos a la definición de seno, coseno, tangente y cotangente.

Seno (sin) del número t

seno de un numero t- ordenada del punto del círculo unitario correspondiente al número t. sen t = y

Coseno (cos) de t

coseno de un numero t- abscisa del punto del círculo unitario correspondiente al número t. porque t = x

Tangente (tg) de t

Tangente de un número t- la razón de la ordenada a la abscisa del punto del círculo unitario correspondiente al número t. t g t = y x = sen t cos t

Las últimas definiciones son consistentes y no contradicen la definición dada al comienzo de esta sección. Punto en un círculo correspondiente a un número t, coincide con el punto al que pasa el punto de partida después de girar el ángulo t radián.

Funciones trigonométricas de argumento angular y numérico

Cada valor del ángulo α corresponde a un cierto valor del seno y coseno de este ángulo. Al igual que todos los ángulos α distintos de α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) corresponde a un cierto valor de la tangente. La cotangente, como se mencionó anteriormente, está definida para todo α, excepto para α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Podemos decir que sen α , cos α , t g α , c t g α son funciones del ángulo alfa, o funciones del argumento angular.

De manera similar, se puede hablar de seno, coseno, tangente y cotangente como funciones de un argumento numérico. cada número real t corresponde a un valor específico del seno o coseno de un número t. Todos los números que no sean π 2 + π · k , k ∈ Z, corresponden al valor de la tangente. La cotangente se define de manera similar para todos los números excepto π · k , k ∈ Z.

Funciones básicas de la trigonometría

Seno, coseno, tangente y cotangente son las funciones trigonométricas básicas.

Por lo general, está claro por el contexto con qué argumento de la función trigonométrica (argumento angular o argumento numérico) estamos tratando.

Volvamos a los datos al principio de las definiciones y el ángulo alfa, que se encuentra en el rango de 0 a 90 grados. Las definiciones trigonométricas de seno, coseno, tangente y cotangente concuerdan plenamente con las definiciones geométricas dadas por las razones de los lados de un triángulo rectángulo. Mostrémoslo.

Tome un círculo unitario centrado en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Demos vuelta punto de partida A (1, 0) en un ángulo de hasta 90 grados y dibujar desde el punto resultante A 1 (x, y) perpendicular al eje x. En el triángulo rectángulo resultante, el ángulo A 1 O H es igual al ángulo de rotación α, la longitud del cateto O H es igual a la abscisa del punto A 1 (x, y) . La longitud del cateto opuesto a la esquina es igual a la ordenada del punto A 1 (x, y), y la longitud de la hipotenusa es igual a uno, ya que es el radio del círculo unitario.

De acuerdo con la definición de la geometría, el seno del ángulo α es igual a la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Esto significa que la definición del seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo a través de la relación de aspecto es equivalente a la definición del seno del ángulo de rotación α, con alfa en el rango de 0 a 90 grados.

De manera similar, se puede mostrar la correspondencia de definiciones para coseno, tangente y cotangente.

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La razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa se llama seno de un ángulo agudo triángulo rectángulo.

\sen \alpha = \frac(a)(c)

Coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo

La razón del cateto más cercano a la hipotenusa se llama coseno de un ángulo agudo triángulo rectángulo.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo

La razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente se llama tangente de ángulo agudo triángulo rectángulo.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo

La razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto se llama cotangente de un angulo agudo triángulo rectángulo.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Seno de un ángulo arbitrario

La ordenada del punto del círculo unitario al que corresponde el ángulo \alpha se llama seno de un ángulo arbitrario rotación \alpha .

\sin \alpha=y

Coseno de un ángulo arbitrario

La abscisa de un punto del círculo unitario al que corresponde el ángulo \alpha se llama coseno de un ángulo arbitrario rotación \alpha .

\cos \alpha=x

Tangente de un ángulo arbitrario

La relación entre el seno de un ángulo de rotación \alpha arbitrario y su coseno se llama tangente de un ángulo arbitrario rotación \alpha .

tg \alfa = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Cotangente de un ángulo arbitrario

La relación entre el coseno de un ángulo de rotación \alpha arbitrario y su seno se llama cotangente de un ángulo arbitrario rotación \alpha .

ctg \alfa =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Un ejemplo de encontrar un ángulo arbitrario

Si \alpha es un ángulo AOM , donde M es un punto en el círculo unitario, entonces

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Por ejemplo, si \ángulo AOM = -\frac(\pi)(4), entonces: la ordenada del punto M es -\frac(\raíz cuadrada(2))(2), la abscisa es \frac(\sqrt(2))(2) y es por eso

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \izquierda (-\frac(\pi)(4) \derecha)=-1.

Tabla de valores de senos de cosenos de tangentes de cotangentes

Los valores de los principales ángulos que se encuentran con frecuencia se dan en la tabla:

Comenzamos nuestro estudio de trigonometría con un triángulo rectángulo. Definamos qué son el seno y el coseno, así como la tangente y la cotangente de un ángulo agudo. Estos son los fundamentos de la trigonometría.

Recordar que ángulo recto es un ángulo igual a 90 grados. En otras palabras, la mitad de la esquina desplegada.

Esquina filosa- menos de 90 grados.

Ángulo obtuso- mayor de 90 grados. En relación con tal ángulo, "contundente" no es un insulto, sino un término matemático :-)

Dibujemos un triángulo rectángulo. Generalmente se denota un ángulo recto. Tenga en cuenta que el lado opuesto a la esquina se denota con la misma letra, solo que pequeña. Entonces, se denota el lado opuesto al ángulo A.

El ángulo está indicado por el correspondiente letra griega.

Hipotenusa triángulo rectángulo es el lado opuesto ángulo recto.

Piernas- lados opuestos esquinas agudas.

El cateto opuesto a la esquina se llama opuesto(relativo al ángulo). La otra pierna, que se encuentra a un lado de la esquina, se llama adyacente.

Seno El ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa:

Cosenoángulo agudo en un triángulo rectángulo - la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

Tangenteángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el cateto opuesto y el adyacente:

Otra definición (equivalente): la tangente de un ángulo agudo es la relación entre el seno de un ángulo y su coseno:

Cotangenteángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el cateto adyacente y el opuesto (o, de manera equivalente, la relación entre el coseno y el seno):

Preste atención a las proporciones básicas para seno, coseno, tangente y cotangente, que se dan a continuación. Nos serán útiles para resolver problemas.

Probemos algunos de ellos.

Bien, hemos dado definiciones y fórmulas escritas. Pero, ¿por qué necesitamos seno, coseno, tangente y cotangente?

Lo sabemos la suma de los angulos de cualquier triangulo es.

Conocemos la relación entre fiestas triángulo rectángulo. Este es el teorema de Pitágoras: .

Resulta que conociendo dos ángulos en un triángulo, puedes encontrar el tercero. Conociendo dos lados en un triángulo rectángulo, puedes encontrar el tercero. Entonces, para los ángulos, su proporción, para los lados, los suyos. Pero, ¿qué hacer si en un triángulo rectángulo se conocen un ángulo (excepto el recto) y un lado, pero necesita encontrar otros lados?

Esto es a lo que se enfrentaba la gente en el pasado, haciendo mapas de la zona y del cielo estrellado. Después de todo, no siempre es posible medir directamente todos los lados de un triángulo.

Seno, coseno y tangente - también se les llama funciones trigonométricas del ángulo- dar la razón entre fiestas y esquinas triángulo. Conociendo el ángulo, puedes encontrar todas sus funciones trigonométricas usando tablas especiales. Y sabiendo los senos, cosenos y tangentes de los ángulos de un triángulo y uno de sus lados, puedes encontrar el resto.

También dibujaremos una tabla de valores de seno, coseno, tangente y cotangente para ángulos "buenos" de a.

Observe los dos guiones rojos en la tabla. Para los valores correspondientes de los ángulos, la tangente y la cotangente no existen.

Analicemos varios problemas de trigonometría del Banco de tareas FIPI.

1. En un triángulo, el ángulo es , . Encontrar .

El problema se resuelve en cuatro segundos.

En la medida en , .

2. En un triángulo, el ángulo es , , . Encontrar .

Hallemos por el teorema de Pitágoras.

Problema resuelto.

A menudo, en los problemas hay triángulos con ángulos y o con ángulos y . ¡Memoriza las proporciones básicas para ellos de memoria!

Para un triángulo con ángulos y el cateto opuesto al ángulo en es igual a la mitad de la hipotenusa.

Un triángulo con ángulos y es isósceles. En él, la hipotenusa es veces más grande que el cateto.

Consideramos problemas para resolver triángulos rectángulos, es decir, para encontrar lados o ángulos desconocidos. ¡Pero eso no es todo! En las variantes del examen de matemáticas, existen muchas tareas donde aparece el seno, coseno, tangente o cotangente del ángulo exterior del triángulo. Más sobre esto en el siguiente artículo.

Nivel medio

Triángulo rectángulo. Guía ilustrada completa (2019)

TRIÁNGULO RECTÁNGULO. PRIMER NIVEL.

En los problemas, un ángulo recto no es necesario en absoluto: el inferior izquierdo, por lo que debe aprender a reconocer un triángulo rectángulo en esta forma,

y en tal

y en tal

¿Qué tiene de bueno un triángulo rectángulo? Bueno... antes que nada, hay especiales hermosos nombres por sus lados.

¡Atención al dibujo!

Recuerda y no confundas: piernas - dos, y la hipotenusa - solo una(el único, único y más largo)!

Bueno, ya se han discutido los nombres, ahora lo más importante: el teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras.

Este teorema es la clave para resolver muchos problemas relacionados con un triángulo rectángulo. Fue probado por Pitágoras en tiempos completamente inmemoriales, y desde entonces ha traído muchos beneficios a quienes lo conocen. Y lo mejor de ella es que es sencilla.

Asi que, Teorema de pitágoras:

¿Recuerdas el chiste: “¡Los pantalones pitagóricos son iguales en todos los lados!”?

Dibujemos estos pantalones muy pitagóricos y mirémoslos.

¿De verdad parece un pantalón corto? Bueno, ¿en qué lados y dónde son iguales? ¿Por qué y de dónde salió la broma? Y esta broma está conectada precisamente con el teorema de Pitágoras, más precisamente con la forma en que el mismo Pitágoras formuló su teorema. Y lo formuló así:

"Suma área de cuadrados, construido sobre las piernas, es igual a área cuadrada construida sobre la hipotenusa.

¿No suena un poco diferente, verdad? Y así, cuando Pitágoras dibujó el enunciado de su teorema, resultó tal imagen.

En esta imagen, la suma de las áreas de los cuadrados pequeños es igual al área del cuadrado grande. Y para que los niños recuerden mejor que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, alguien ingenioso inventó este chiste sobre los pantalones pitagóricos.

¿Por qué ahora estamos formulando el teorema de Pitágoras?

¿Pitágoras sufrió y habló de cuadrados?

Verás, en la antigüedad no había... ¡álgebra! No había señales y así sucesivamente. No había inscripciones. ¡¿Te imaginas lo terrible que era para los pobres estudiantes antiguos memorizar todo con palabras?! Y podemos estar contentos de tener una formulación simple del teorema de Pitágoras. Vamos a repetirlo de nuevo para recordar mejor:

Ahora debería ser fácil:

Bueno, se discutió el teorema más importante sobre un triángulo rectángulo. Si está interesado en cómo se demuestra, lea los siguientes niveles de teoría, y ahora avancemos... hacia el bosque oscuro... ¡de la trigonometría! A las terribles palabras seno, coseno, tangente y cotangente.

Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.

De hecho, todo no es tan aterrador en absoluto. Por supuesto, la definición "real" de seno, coseno, tangente y cotangente debe verse en el artículo. Pero realmente no quieres, ¿verdad? Podemos regocijarnos: para resolver problemas sobre un triángulo rectángulo, simplemente puede completar las siguientes cosas simples:

¿Por qué se trata de la esquina? ¿Dónde está la esquina? Para entender esto, necesita saber cómo se escriben las declaraciones 1 - 4 en palabras. ¡Mira, comprende y recuerda!

1.
En realidad suena así:

¿Qué pasa con el ángulo? ¿Hay una pata que está opuesta a la esquina, es decir, la pata opuesta (para la esquina)? ¡Por supuesto que sí! ¡Esto es un cateto!

Pero, ¿y el ángulo? Mirar de cerca. ¿Qué pierna está adyacente a la esquina? Por supuesto, el gato. Entonces, para el ángulo, el cateto es adyacente, y

Y ahora, ¡atención! Mira lo que tenemos:

Mira lo genial que es:

Ahora pasemos a tangente y cotangente.

¿Cómo ponerlo en palabras ahora? ¿Cuál es la pierna en relación con la esquina? Enfrente, por supuesto, "se encuentra" frente a la esquina. ¿Y el catéter? Contiguo a la esquina. Entonces que fue lo que recibimos?

¿Ves cómo se invierten el numerador y el denominador?

Y ahora de nuevo los córners e hizo el intercambio:

Resumen

Escribamos brevemente lo que hemos aprendido.

Teorema de pitágoras:

El principal teorema del triángulo rectángulo es el teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras

Por cierto, ¿recuerdas bien qué son los catetos y la hipotenusa? Si no, mire la imagen: actualice sus conocimientos

Es posible que ya hayas usado el teorema de Pitágoras muchas veces, pero ¿alguna vez te has preguntado por qué ese teorema es cierto? ¿Cómo lo probarías? Hagamos como los antiguos griegos. Dibujemos un cuadrado con un lado.

¡Ves con qué astucia dividimos sus lados en segmentos de longitudes y!

Ahora vamos a conectar los puntos marcados.

Aquí, sin embargo, notamos algo más, pero usted mismo mira la imagen y piensa por qué.

¿Cuál es el área del cuadrado más grande? Correctamente, . ¿Qué pasa con el área más pequeña? Ciertamente, . Queda el área total de las cuatro esquinas. Imagina que tomamos dos de ellos y los apoyamos uno contra el otro con hipotenusas. ¿Qué sucedió? Dos rectángulos. Entonces, el área de "esquejes" es igual.

Pongamos todo junto ahora.

Transformemos:

Entonces visitamos a Pitágoras, demostramos su teorema de una manera antigua.

Triángulo rectángulo y trigonometría

Para un triángulo rectángulo, se cumplen las siguientes relaciones:

El seno de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa

El coseno de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto adyacente a la hipotenusa.

La tangente de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto opuesto al cateto adyacente.

La cotangente de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto adyacente al cateto opuesto.

Y una vez más, todo esto en forma de plato:

¡Es muy cómodo!

Signos de igualdad de triángulos rectángulos

I. En dos piernas

II. Por cateto e hipotenusa

tercero Por hipotenusa y ángulo agudo

IV. A lo largo de la pierna y el ángulo agudo

un)

b)

¡Atención! Aquí es muy importante que las piernas sean "correspondientes". Por ejemplo, si va así:

ENTONCES LOS TRIANGULOS NO SON IGUALES, a pesar de que tienen un ángulo agudo idéntico.

Necesitar en ambos triángulos, el cateto era adyacente, o en ambos, opuestos.

¿Has notado cómo los signos de igualdad de los triángulos rectángulos difieren de los signos habituales de igualdad de los triángulos? Mira el tema “y presta atención al hecho de que para la igualdad de los triángulos “ordinarios”, necesitas la igualdad de sus tres elementos: dos lados y un ángulo entre ellos, dos ángulos y un lado entre ellos, o tres lados. Pero para la igualdad de los triángulos rectángulos, solo dos elementos correspondientes son suficientes. Es genial, ¿verdad?

Aproximadamente la misma situación con signos de semejanza de triángulos rectángulos.

Signos de semejanza de triángulos rectángulos

I. Esquina aguda

II. en dos piernas

tercero Por cateto e hipotenusa

Mediana en un triángulo rectángulo

¿Por que es esto entonces?

Considere un rectángulo completo en lugar de un triángulo rectángulo.

Dibujemos una diagonal y consideremos un punto: el punto de intersección de las diagonales. ¿Qué sabes sobre las diagonales de un rectángulo?

¿Y qué se sigue de esto?

Entonces sucedió que

1. - mediana:

¡Recuerda este hecho! ¡Ayuda mucho!

Lo que es aún más sorprendente es que lo contrario también es cierto.

¿Qué bien se puede obtener del hecho de que la mediana trazada hacia la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa? Miremos la imagen

Mirar de cerca. Tenemos: , es decir, las distancias desde el punto hasta los tres vértices del triángulo resultaron ser iguales. Pero en un triángulo hay sólo un punto, cuyas distancias alrededor de los tres vértices del triángulo son iguales, y este es el CENTRO DEL CÍRCULO descrito. ¿Entonces qué pasó?

Así que empecemos con este "además...".

Miremos yo.

¡Pero en triángulos semejantes todos los ángulos son iguales!

Lo mismo puede decirse de y

Ahora vamos a dibujarlo juntos:

¿Qué uso se puede sacar de esta "triple" similitud?

Bueno, por ejemplo - Dos fórmulas para la altura de un triángulo rectángulo.

Escribimos las relaciones de las partes correspondientes:

Para encontrar la altura, resolvemos la proporción y obtenemos primera fórmula "Altura en un triángulo rectángulo":

Entonces, apliquemos la similitud: .

¿Que pasará ahora?

Nuevamente resolvemos la proporción y obtenemos la segunda fórmula:

Ambas fórmulas hay que recordarlas muy bien y la que sea más cómoda de aplicar. Vamos a escribirlos de nuevo.

Teorema de pitágoras:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:.

Signos de igualdad de triángulos rectángulos:

• en dos piernas:
• a lo largo del cateto y la hipotenusa: o
• a lo largo del cateto y el ángulo agudo adyacente: o
• a lo largo del cateto y el ángulo agudo opuesto: o
• por hipotenusa y ángulo agudo: o.

Signos de semejanza de triángulos rectángulos:

• una esquina afilada: o
• de la proporcionalidad de los dos catetos:
• de la proporcionalidad del cateto y la hipotenusa: o.

Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo

• El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa:
• El coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa:
• La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto al contiguo:
• La cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente al opuesto:.

Altura de un triángulo rectángulo: o.

En un triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el vértice del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa: .

Área de un triángulo rectángulo:

• a través de los catéteres: