Kəsr bütövün bir və ya bir neçə hissəsidir, adətən vahid (1) kimi qəbul edilir. Natural ədədlərdə olduğu kimi, kəsrlərlə (toplama, çıxma, bölmə, vurma) bütün əsas hesab əməliyyatlarını yerinə yetirə bilərsiniz, bunun üçün kəsrlərlə işləməyin xüsusiyyətlərini bilmək və onların növlərini ayırd etmək lazımdır. Kəsrin bir neçə növü var: onluq və adi və ya sadə. Hər bir fraksiya növünün özünəməxsus xüsusiyyətləri var, lakin bir dəfə onlarla necə davranacağınızı hərtərəfli başa düşdükdən sonra, kəsrlərlə arifmetik hesablamaların aparılmasının əsas prinsiplərini bildiyiniz üçün kəsrlərlə istənilən nümunələri həll edə biləcəksiniz. İstifadə edərək kəsri tam ədədə bölmək nümunələrinə baxaq fərqli növlər fraksiyalar.
Sadə kəsri necə bölmək olar natural ədəd?Adi və ya sadə kəsrlərə, hissənin yuxarı hissəsində dividend (sayı) və fraksiyanın bölən (məxrəc) göstərildiyi ədədlərin belə bir nisbəti kimi yazılmış kəsrlər deyilir. Belə bir kəsri tam ədədə necə bölmək olar? Bir nümunəyə baxaq! Tutaq ki, 8/12-ni 2-yə bölmək lazımdır.
Bunu etmək üçün bir sıra hərəkətləri yerinə yetirməliyik:
Beləliklə, bir kəsri tam ədədə bölmək vəzifəsi ilə qarşılaşsaq, həll sxemi belə görünəcəkdir: 
Eynilə, istənilən adi (sadə) kəsri tam ədədə bölmək olar.
Onluğu tam ədədə necə bölmək olar?
Onluq kəsr vahidi on, min və s. hissələrə bölmək yolu ilə əldə edilən kəsrdir. Arifmetik əməliyyatlar onluq kəsrlərlə olduqca sadədir.
Kəsri tam ədədə bölmək nümunəsini nəzərdən keçirək. Tutaq ki, 0,925 onluq kəsri 5 natural ədədinə bölmək lazımdır.
Xülasə edərək, ondalık kəsrlərin tam ədədə bölünməsi əməliyyatını yerinə yetirərkən vacib olan iki əsas məqama diqqət yetirəcəyik: - onluq kəsri natural ədədə bölmək üçün sütuna bölmədən istifadə olunur;
- dividendlərin tam hissəsinin bölünməsi başa çatdıqda şəxsi yerə vergül qoyulur.
§ 87. Kəsrlərin toplanması.
Kəsrlərin əlavə edilməsi tam ədədlərin əlavə edilməsi ilə bir çox oxşarlıqlara malikdir. Kəsrlərin toplanması, bir neçə verilmiş ədədin (hədmin) bütün vahidləri və vahidlərinin kəsrlərini ehtiva edən bir ədədə (cəm) birləşdirilməsindən ibarət olan hərəkətdir.
Üç halı növbə ilə nəzərdən keçirəcəyik:
1. Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin toplanması.
2. İlə kəsrlərin əlavə edilməsi müxtəlif məxrəclər.
3. Qarışıq ədədlərin toplanması.
1. Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin toplanması.
Bir nümunə nəzərdən keçirin: 1 / 5 + 2 / 5 .
AB seqmentini götürün (şəkil 17), onu vahid kimi götürün və 5 bərabər hissəyə bölün, onda bu seqmentin AC hissəsi AB seqmentinin 1/5 hissəsinə və eyni CD seqmentinin hissəsinə bərabər olacaqdır. 2/5 AB-ə bərabər olacaq.
Rəsmdən görünür ki, AD seqmentini götürsək, onda 3/5 AB-ə bərabər olacaq; lakin AD seqmenti AC və CD seqmentlərinin cəmidir. Beləliklə, yaza bilərik:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Bu şərtləri və yaranan məbləği nəzərə alsaq görərik ki, cəminin payı şərtlərin paylarını toplamaqla alınmış, məxrəc isə dəyişməz qalmışdır.
Buradan alırıq növbəti qayda: Eyni məxrəcləri olan kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını əlavə etməli və eyni məxrəci tərk etməlisiniz.
Məsələni nəzərdən keçirək:
2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin toplanması.
Kesrləri əlavə edək: 3/4 + 3/8 Əvvəlcə onları ən aşağı ortaq məxrəcə endirmək lazımdır:
Ara keçid 6/8 + 3/8 yazıla bilməzdi; daha aydınlıq üçün burada yazdıq.
Beləliklə, müxtəlif məxrəcli kəsrləri toplamaq üçün əvvəlcə onları ən aşağı ortaq məxrəcə çatdırmalı, onların saylarını əlavə etməli və ortaq məxrəcə imza atmalısınız.
Bir nümunə nəzərdən keçirin (uyğun fraksiyalar üzərində əlavə amillər yazacağıq):
3. Qarışıq ədədlərin toplanması.
Rəqəmləri əlavə edək: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
Əvvəlcə ədədlərimizin kəsr hissələrini ortaq məxrəcə gətirək və onları yenidən yazaq:
İndi ardıcıl olaraq tam və kəsr hissələri əlavə edin:
§ 88. Kəsrlərin çıxılması.
Kəsrlərin çıxılması tam ədədlərin çıxılması ilə eyni şəkildə müəyyən edilir. Bu, iki terminin və onlardan birinin cəmini nəzərə alaraq başqa bir terminin tapıldığı bir hərəkətdir. Üç halı növbə ilə nəzərdən keçirək:
1. Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin çıxılması.
2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin çıxılması.
3. Qarışıq ədədlərin çıxılması.
1. Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin çıxılması.
Məsələni nəzərdən keçirək:
13 / 15 - 4 / 15
AB seqmentini götürək (şəkil 18), onu vahid kimi götürək və 15 bərabər hissəyə bölək; onda bu seqmentin AC hissəsi AB-nin 1/15 hissəsi, eyni seqmentin AD hissəsi isə 13/15 AB-yə uyğun olacaq. 4/15 AB-yə bərabər olan başqa bir ED seqmentini kənara qoyaq.
13/15-dən 4/15-i çıxarmalıyıq. Rəsmdə bu o deməkdir ki, ED seqmenti AD seqmentindən çıxılmalıdır. Nəticədə, AB seqmentinin 9/15 hissəsi olan AE seqmenti qalacaq. Beləliklə, yaza bilərik:
Verdiyimiz misal göstərir ki, fərqin payı sayları çıxmaqla alınmış, məxrəc isə dəyişməz qalmışdır.
Buna görə də, eyni məxrəcli kəsrləri çıxmaq üçün, çıxılanın payını minuendin payından çıxarmaq və eyni məxrəci tərk etmək lazımdır.
2. Məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlərin çıxılması.
Misal. 3/4 - 5/8
Əvvəlcə bu kəsrləri ən kiçik ortaq məxrəcə endirək:
Aralıq keçid 6/8 - 5/8 burada aydınlıq üçün yazılmışdır, lakin gələcəkdə onu atlaya bilərsiniz.
Beləliklə, kəsrdən kəsri çıxarmaq üçün əvvəlcə onları ən kiçik ortaq məxrəcə gətirməli, daha sonra azalanın payını kəsirdən çıxarmalı və onların fərqinin altındakı ümumi məxrəcə imza atmalısınız.
Məsələni nəzərdən keçirək:
3. Qarışıq ədədlərin çıxılması.
Misal. 10 3/4 - 7 2/3.
Minuend və çıxarmanın kəsr hissələrini ən aşağı ortaq məxrəcə gətirək:
Tamdan tamı, kəsirdən isə kəsri çıxardıq. Amma elə hallar olur ki, çıxarmanın kəsr hissəsi minuendin kəsir hissəsindən böyük olur. Belə hallarda, azaldılmışın tam hissəsindən bir vahid götürməli, onu kəsr hissəsinin ifadə olunduğu hissələrə bölməli və azaldılmışın kəsr hissəsinə əlavə etməlisiniz. Və sonra çıxma əvvəlki nümunədə olduğu kimi həyata keçiriləcək:
§ 89. Kəsrlərin vurulması.
Kəsrlərin vurulmasını öyrənərkən aşağıdakı sualları nəzərdən keçirəcəyik:
1. Kəsirin tam ədədə vurulması.
2. Verilmiş ədədin kəsirinin tapılması.
3. Tam ədədin kəsrə vurulması.
4. Kəsirin kəsrə vurulması.
5. Qarışıq ədədlərin vurulması.
6. Maraq anlayışı.
7. Verilmiş ədədin faizlərinin tapılması. Onları ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək.
1. Kəsirin tam ədədə vurulması.
Kəsri tam ədədə vurmaq tam ədədi tam ədədə vurmaqla eyni məna daşıyır. Kəsri (çoxluğu) tam ədədə (çoxalmaya) vurmaq hər bir həddi çarpana, hədlərin sayı isə çarpana bərabər olan eyni şərtlərin cəmini tərtib etmək deməkdir.
Beləliklə, 1/9-u 7-yə vurmaq lazımdırsa, bu belə edilə bilər:
Nəticəni asanlıqla əldə etdik, çünki hərəkət eyni məxrəcləri olan kəsrlərin əlavə edilməsinə qədər azaldıldı. Beləliklə,
Bu hərəkətin nəzərdən keçirilməsi göstərir ki, kəsri tam ədədə vurmaq bu kəsiri tam ədəddə vahidlərin sayı qədər artırmağa bərabərdir. Və kəsrin artması ya onun payını artırmaqla əldə edildiyi üçün
və ya onun məxrəcini azaltmaqla 
, onda biz ya payı tam ədədə vura bilərik, ya da məxrəci ona bölə bilərik, əgər belə bir bölmə mümkündürsə.
Buradan qaydanı alırıq:
Kəsiri tam ədədə vurmaq üçün payı bu tam ədədə vurmaq və eyni məxrəci tərk etmək və ya mümkünsə, məxrəci bu ədədə bölmək, payı dəyişməz qoymaq lazımdır.
Çoxaldıqda, qısaltmalar mümkündür, məsələn:
2. Verilmiş ədədin kəsirinin tapılması. Verilmiş ədədin bir hissəsini tapmalı və ya hesablamalı olduğunuz bir çox problem var. Bu tapşırıqların digərlərindən fərqi ondadır ki, onlar bəzi obyektlərin və ya ölçü vahidlərinin sayını verirlər və bu ədədin bir hissəsini tapmaq lazımdır ki, bu da burada müəyyən fraksiya ilə göstərilir. Anlamağı asanlaşdırmaq üçün əvvəlcə bu cür problemlərə nümunələr verəcəyik, sonra onların həlli üsulunu təqdim edəcəyik.
Tapşırıq 1. 60 rublum var idi; Bu pulun 1/3-ni kitab almağa xərcləmişəm. Kitabların qiyməti nə qədərdi?
Tapşırıq 2. Qatar A və B şəhərləri arasında 300 km-ə bərabər olan məsafəni qət etməlidir. O, artıq həmin məsafənin 2/3-ni qət edib. Bu neçə kilometrdir?
Tapşırıq 3. Kənddə 400 ev var, onun 3/4 hissəsi kərpic, qalanı taxtadır. Nə qədər kərpic evlər?
Verilmiş ədədin bir hissəsini tapmaq üçün həll etməli olduğumuz bir çox problemdən bəziləri bunlardır. Onlara adətən verilmiş ədədin kəsirini tapmaq üçün problemlər deyilir.
Problemin həlli 1. 60 rubldan. Kitablara 1/3 sərf etdim; Beləliklə, kitabların qiymətini tapmaq üçün 60 rəqəmini 3-ə bölmək lazımdır:
Problem 2 həlli. Problemin mənası odur ki, 300 km-dən 2/3-ni tapmaq lazımdır. 300-ün ilk 1/3 hissəsini hesablayın; buna 300 km-i 3-ə bölməklə nail olunur:
300: 3 = 100 (bu 300-dən 1/3-ə bərabərdir).
300-ün üçdə ikisini tapmaq üçün nəticədə alınan nisbəti ikiqat artırmalı, yəni 2-yə vurmalısınız:
100 x 2 = 200 (300-dən 2/3-ə bərabərdir).
Problemin həlli 3. Burada 400-dən 3/4-ə bərabər olan kərpic evlərin sayını təyin etmək lazımdır. Gəlin əvvəlcə 400-ün 1/4 hissəsini tapaq,
400: 4 = 100 (bu 400-dən 1/4-ə bərabərdir).
400-ün dörddə üçünü hesablamaq üçün nəticədə əmsal üçqat, yəni 3-ə vurulmalıdır:
100 x 3 = 300 (bu 400-dən 3/4-ə bərabərdir).
Bu problemlərin həllinə əsaslanaraq aşağıdakı qaydanı əldə edə bilərik:
Verilmiş ədədin kəsirinin qiymətini tapmaq üçün bu ədədi kəsrin məxrəcinə bölmək və nəticədə əldə olunan hissəni onun payına vurmaq lazımdır.
3. Tam ədədin kəsrə vurulması.
Əvvəllər (§ 26) müəyyən edilmişdir ki, tam ədədlərin vurulması eyni şərtlərin əlavə edilməsi kimi başa düşülməlidir (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Bu bənddə (1-ci bənd) müəyyən edilmişdir ki, kəsri tam ədədə vurmaq bu kəsrə bərabər olan eyni hədlərin cəmini tapmaq deməkdir.
Hər iki halda vurma eyni şərtlərin cəminin tapılmasından ibarət idi.
İndi tam ədədi kəsrə vurmağa davam edirik. Burada, məsələn, vurma ilə görüşəcəyik: 9 2 / 3. Tamamilə aydındır ki, vurmanın əvvəlki tərifi bu işə aid deyil. Bu, belə vurmanı bərabər ədədləri toplamaqla əvəz edə bilməyəcəyimizdən aydın olur.
Bu səbəbdən biz vurmanın yeni tərifini verməli olacağıq, yəni kəsrə vurmaqla nə başa düşülməlidir, bu hərəkət necə başa düşülməlidir sualına cavab verməliyik.
Tam ədədi kəsrə vurmağın mənası aşağıdakı tərifdən aydın olur: tam ədədi (çarpan) kəsrə (çoxalmaya) vurmaq, çarpanın bu hissəsini tapmaq deməkdir.
Yəni, 9-u 2/3-ə vurmaq doqquz vahidin 2/3 hissəsini tapmaq deməkdir. Əvvəlki paraqrafda belə problemlər həll edildi; ona görə də başa düşmək asandır ki, biz 6-ya çatırıq.
Ancaq indi maraqlı və vacib bir sual yaranır: niyə ilk baxışdan belə müxtəlif fəaliyyətlər cəmini necə tapmaq olar bərabər ədədlər və arifmetikada ədədin kəsrini tapmaq eyni sözü "vurma" adlanır?
Bu ona görə baş verir ki, əvvəlki hərəkət (şərtlərlə ədədi bir neçə dəfə təkrarlamaq) və yeni hərəkət (ədədin kəsirini tapmaq) bircins suallara cavab verir. Bu o deməkdir ki, biz burada homojen sualların və ya tapşırıqların bir və eyni hərəkətlə həll olunduğu mülahizələrindən çıxış edirik.
Bunu başa düşmək üçün aşağıdakı problemi nəzərdən keçirək: “1 m parça 50 rubla başa gəlir. Belə bir parçanın 4 m-i nə qədər olacaq?
Bu problem rublun sayını (50) sayğacların sayına (4), yəni 50 x 4 = 200 (rubl) vurmaqla həll edilir.
Eyni məsələni götürək, amma onda parça miqdarı kəsr rəqəmi ilə ifadə olunacaq: “1 m parça 50 rubla başa gəlir. Belə bir parçanın 3/4 m-i nə qədər olacaq?
Bu problemi də rublun sayını (50) sayğacların sayına (3/4) vurmaqla həll etmək lazımdır.
Problemin mənasını dəyişmədən də içindəki rəqəmləri bir neçə dəfə dəyişə bilərsiniz, məsələn, 9/10 m və ya 2 3/10 m və s.
Bu məsələlər eyni məzmuna malik olduğundan və yalnız ədədlərlə fərqləndiyindən onların həllində istifadə olunan hərəkətləri eyni söz - vurma adlandırırıq.
Tam ədədi kəsrə necə vurmaq olar?
Son problemdə rast gəlinən rəqəmləri götürək:
Tərifə görə 50-dən 3/4-ü tapmalıyıq.Əvvəl 50-nin 1/4-ünü, sonra isə 3/4-ü tapırıq.
50-nin 1/4-ü 50/4-dür;
50-nin 3/4 hissəsidir.
Beləliklə.
Başqa bir misala nəzər salaq: 12 5/8 = ?
12-dən 1/8-i 12/8-dir,
12 rəqəminin 5/8 hissəsidir.
Beləliklə,
Buradan qaydanı alırıq:
Tam ədədi kəsrə vurmaq üçün tam ədədi kəsrin payına vurmaq və bu hasili ədədə çevirmək və verilmiş kəsrin məxrəcini məxrəc kimi imzalamaq lazımdır.
Bu qaydanı hərflərdən istifadə edərək yazırıq:
Bu qaydanı mükəmməl şəkildə aydınlaşdırmaq üçün bir kəsirin bir hissə kimi qəbul edilə biləcəyini xatırlamaq lazımdır. Buna görə də, tapılmış qaydanı § 38-də göstərilən ədədi bölməyə vurma qaydası ilə müqayisə etmək faydalıdır.
Yadda saxlamaq lazımdır ki, vurma etməzdən əvvəl (mümkünsə) etməlisiniz. kəsiklər, Misal üçün:
4. Kəsirin kəsrə vurulması. Kəsri kəsrə vurmaq tam ədədi kəsrə vurmaqla eyni məna daşıyır, yəni kəsri kəsrə vurarkən birinci kəsrdən (vurğacı) çarpandakı kəsri tapmaq lazımdır.
Yəni 3/4-ü 1/2-yə (yarım) vurmaq 3/4-ün yarısını tapmaq deməkdir.
Kəsiri kəsrə necə vurmaq olar?
Bir misal götürək: 3/4 çarpı 5/7. Bu o deməkdir ki, 3/4-dən 5/7-ni tapmaq lazımdır. Əvvəlcə 3/4-ün 1/7 hissəsini, sonra isə 5/7-ni tapın
3/4-ün 1/7 hissəsi belə ifadə olunacaq:
5/7 rəqəmləri 3/4 aşağıdakı kimi ifadə olunacaq:
Beləliklə,
Başqa bir misal: 5/8 dəfə 4/9.
5/8-in 1/9-u ,
4/9 rəqəmləri 5/8-dir.
Beləliklə, 
Bu nümunələrdən aşağıdakı qaydanı çıxarmaq olar:
Kəsiri kəsrə vurmaq üçün payı paya, məxrəci isə məxrəcə vurub birinci hasili hasil, ikinci hasilini isə hasilin məxrəci etmək lazımdır.
Bu qaydada var ümumi görünüş belə yazmaq olar:
Çoxaldıqda (mümkünsə) azalmalar etmək lazımdır. Nümunələri nəzərdən keçirin:
5. Qarışıq ədədlərin vurulması. Qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərlə asanlıqla əvəz etmək mümkün olduğundan, bu hal adətən qarışıq ədədləri vurarkən istifadə olunur. Bu o deməkdir ki, çarpan və ya çarpan və ya hər iki amil qarışıq ədədlər kimi ifadə edildikdə, onlar düzgün olmayan kəsrlərlə əvəz olunur. Məsələn, qarışıq ədədləri çarpın: 2 1/2 və 3 1/5. Gəlin onların hər birini çevirək düzgün fraksiya və sonra yaranan kəsrləri kəsri kəsrə vurma qaydasına uyğun olaraq çoxaldacağıq:
Qayda. Qarışıq ədədləri çoxaltmaq üçün əvvəlcə onları çevirməlisiniz düzgün olmayan fraksiyalar sonra kəsri kəsrə vurma qaydası ilə vur.
Qeyd.Əgər amillərdən biri tam ədəddirsə, onda vurma paylanma qanununa əsasən aşağıdakı kimi həyata keçirilə bilər:
6. Maraq anlayışı. Məsələləri həll edərkən və müxtəlif praktiki hesablamalar apararkən hər növ kəsrlərdən istifadə edirik. Ancaq yadda saxlamaq lazımdır ki, bir çox kəmiyyət onlar üçün hər hansı bir deyil, təbii bölmələri qəbul edir. Məsələn, rublun yüzdə birini (1/100) götürə bilərsiniz, bir qəpik olacaq, iki yüzdə biri 2 qəpik, üç yüzdə biri 3 qəpikdir. Rublun 1/10 hissəsini götürə bilərsiniz, bu "10 qəpik, ya da qəpik olacaq. Rublun dörddə birini, yəni 25 qəpik, yarım rubl, yəni 50 qəpik (əlli qəpik) götürə bilərsiniz. Amma praktiki olaraq vermirlər. Məsələn, 2/7 rubl götürməyin, çünki rubl yeddiyə bölünmür.
Çəki üçün ölçü vahidi, yəni kiloqram, ilk növbədə, onluq bölmələrə imkan verir, məsələn, 1/10 kq və ya 100 q. Və kiloqramın 1/6, 1/11, 1/ kimi fraksiyaları 13 nadirdir.
Ümumiyyətlə, bizim (metrik) ölçülərimiz ondalıkdır və onluq bölmələrə imkan verir.
Bununla belə, qeyd etmək lazımdır ki, kəmiyyətləri bölmək üçün eyni (vahid) üsuldan istifadə etmək çox müxtəlif hallarda son dərəcə faydalı və rahatdır. Çoxillik təcrübə göstərdi ki, belə əsaslandırılmış bölgü “yüzlüklər” bölgüsüdür. İnsan təcrübəsinin ən müxtəlif sahələrinə aid bir neçə nümunəni nəzərdən keçirək.
1. Kitabların qiyməti əvvəlki qiymətdən 12/100 ucuzlaşıb.
Misal. Kitabın əvvəlki qiyməti 10 rubl təşkil edir. O, 1 rubl aşağı düşdü. 20 qəpik.
2. Əmanət kassaları il ərzində əmanətlərə qoyulan məbləğin 2/100 hissəsini əmanətçilərə ödəyir.
Misal. Kassaya 500 rubl qoyulur, il ərzində bu məbləğdən gəlir 10 rubl təşkil edir.
3. Bir məktəbin məzunlarının sayı ümumi şagirdlərin 5/100-ünü təşkil edirdi.
NÜMUNƏ Məktəbdə cəmi 1200 şagird oxuyub, onlardan 60-ı məktəbi bitirib.
Ədədin yüzdə biri faiz adlanır..
"Faiz" sözü ondan götürülüb latın kökü isə “cent” yüz deməkdir. Ön söz (pro centum) ilə birlikdə bu söz "yüz üçün" mənasını verir. Bu ifadənin mənası ondan irəli gəlir ki, əvvəlcə in qədim roma faiz borclunun borc verənə "hər yüz üçün" ödədiyi pul idi. “Sent” sözü belə tanış sözlərdə eşidilir: sentner (yüz kiloqram), santimetr (santimetr deyirlər).
Məsələn, zavodun son bir ayda istehsal etdiyi bütün məhsulların 1/100-ni istehsal etdiyini söyləmək əvəzinə, belə deyəcəyik: zavod son bir ayda tullantıların bir faizini istehsal edib. Zavod müəyyən edilmiş plandan 4/100 çox məhsul istehsal etmək əvəzinə, deyəcəyik: zavod planı 4 faiz artıqlaması ilə yerinə yetirmişdir.
Yuxarıdakı nümunələr fərqli şəkildə ifadə edilə bilər:
1. Kitabların qiyməti əvvəlki qiymətdən 12 faiz ucuzlaşıb.
2. Əmanət kassaları əmanətçilərə əmanətə qoyulan məbləğin hər il 2 faizi həcmində vəsait ödəyir.
3. Bir məktəbin məzunlarının sayı məktəbdəki bütün şagirdlərin sayının 5 faizini təşkil edirdi.
Hərfi qısaltmaq üçün “faiz” sözünün yerinə % işarəsini yazmaq adətdir.
Bununla belə, yadda saxlamaq lazımdır ki, % işarəsi adətən hesablamalarda yazılmır, o, problemin ifadəsində və yekun nəticədə yazıla bilər. Hesablamalar apararkən, bu işarə ilə tam ədəd əvəzinə məxrəci 100 olan kəsr yazmaq lazımdır.
Göstərilən işarəli tam ədədi məxrəci 100 olan kəsrlə əvəz edə bilməlisiniz:
Əksinə, məxrəci 100 olan kəsrin əvəzinə göstərilən işarə ilə tam ədəd yazmağa alışmalısınız:
7. Verilmiş ədədin faizlərinin tapılması.
Tapşırıq 1. Məktəbə 200 kubmetr qaz verilib. m odun, ağcaqayın odunu 30% təşkil edir. Orada nə qədər ağcaqayın ağacı var idi?
Bu problemin mənası ondan ibarətdir ki, ağcaqayın odunları məktəbə gətirilən odunların yalnız bir hissəsi idi və bu hissə 30/100 nisbətində ifadə edilir. Beləliklə, biz ədədin kəsirini tapmaq vəzifəsi ilə qarşılaşırıq. Onu həll etmək üçün 200-ü 30/100-ə vurmalıyıq (ədədin kəsirini tapmaq üçün tapşırıqlar ədədi kəsrə vurmaqla həll edilir.).
Beləliklə, 200-ün 30% -i 60-a bərabərdir.
Bu problemdə rast gəlinən 30/100 fraksiyasını 10-a endirmək olar. Bu azalmanı əvvəldən həyata keçirmək mümkün olardı; problemin həlli dəyişməzdi.
Tapşırıq 2. Düşərgədə müxtəlif yaşlarda olan 300 uşaq var idi. 11 yaşlı uşaqlar 21%, 12 yaşlı uşaqlar 61% və nəhayət 13 yaşlı uşaqlar 18% idi. Düşərgədə hər yaşda neçə uşaq var idi?
Bu problemdə üç hesablama aparmaq lazımdır, yəni ardıcıl olaraq 11 yaşında, sonra 12 yaşında və nəhayət 13 yaşında olan uşaqların sayını tapmaq lazımdır.
Beləliklə, burada üç dəfə ədədin kəsirini tapmaq lazım gələcək. Gəl edək:
1) 11 yaşında neçə uşaq var idi?
2) 12 yaşında neçə uşaq var idi?
3) 13 yaşında neçə uşaq var idi?
Problemi həll etdikdən sonra tapılan nömrələri əlavə etmək faydalıdır; onların cəmi 300 olmalıdır:
63 + 183 + 54 = 300
Məsələnin şərtində verilən faizlərin cəminin 100 olmasına da diqqət yetirməlisiniz:
21% + 61% + 18% = 100%
Bu onu deməyə əsas verir ümumi sayı düşərgədə olan uşaqlar 100% qəbul edildi.
3 a da cha 3.İşçi ayda 1200 rubl alırdı. Bunun 65 faizini yeməyə, 6 faizini mənzilə və istiliyə, 4 faizini qaz, işıq və radioya, 10 faizini mədəni ehtiyaclara, 15 faizini isə qənaət edib. Tapşırıqda göstərilən ehtiyaclara nə qədər pul xərclənib?
Bu məsələni həll etmək üçün 1200 ədədinin kəsirini 5 dəfə tapmaq lazımdır.Gəlin bunu edək.
1) Yemək üçün nə qədər pul xərclənir? Tapşırıqda deyilir ki, bu xərc bütün qazancların 65%-ni, yəni 1200 rəqəminin 65/100-ünü təşkil edir. Gəlin hesablama aparaq:
2) İstilikli mənzilə nə qədər pul ödənilib? Əvvəlki kimi mübahisə edərək, aşağıdakı hesablamaya gəlirik:
3) Qaz, işıq və radio üçün nə qədər pul ödəmisiniz?
4) Mədəni ehtiyaclara nə qədər pul xərclənir?
5) İşçi nə qədər pul yığdı?
Doğrulama üçün bu 5 sualda olan nömrələri əlavə etmək faydalıdır. Məbləğ 1200 rubl olmalıdır. Bütün qazanclar 100% kimi qəbul edilir, problem bəyanatında verilən faizləri əlavə etməklə yoxlamaq asandır.
Üç problemi həll etdik. Baxmayaraq ki, bu tapşırıqlar müxtəlif məsələlərlə (məktəb üçün odun tədarükü, müxtəlif yaşlarda olan uşaqların sayı, fəhlənin xərcləri) nəzərdə tutulurdu. Bu, bütün tapşırıqlarda verilən nömrələrin bir neçə faizini tapmaq lazım olduğu üçün baş verdi.
§ 90. Kəsrlərin bölünməsi.
Kəsrlərin bölünməsini öyrənərkən aşağıdakı sualları nəzərdən keçirəcəyik:
1. Tam ədədi tam ədədə bölün.
2. Kəsrin tam ədədə bölünməsi
3. Tam ədədin kəsrə bölünməsi.
4. Kəsirin kəsrə bölünməsi.
5. Qarışıq ədədlərin bölünməsi.
6. Kəsi verilmiş ədədin tapılması.
7. Ədədin faizinə görə tapılması.
Onları ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək.
1. Tam ədədi tam ədədə bölün.
Tam ədədlər bölməsində qeyd edildiyi kimi, bölmə iki amilin (dividend) hasilini (dividend) və bu amillərdən birinin (bölən) hasilini nəzərə alaraq, başqa bir amilin tapılmasından ibarət olan hərəkətdir.
Tam ədədin tam ədədə bölünməsini tam ədədlər bölməsində nəzərdən keçirdik. Biz orada iki bölmə halına rast gəldik: qalıqsız bölmə və ya "bütünlüklə" (150: 10 = 15) və qalıq ilə bölmə (100: 9 = 11 və qalıqda 1). Buna görə deyə bilərik ki, tam ədədlər sahəsində dəqiq bölmə həmişə mümkün olmur, çünki dividend həmişə bölən və tam ədədin məhsulu olmur. Kəsrə vurma tətbiq edildikdən sonra tam ədədlərin bölünməsinin hər hansı bir halını mümkün hesab edə bilərik (yalnız sıfıra bölmə istisna olunur).
Məsələn, 7-nin 12-yə bölünməsi hasilinin 12-nin 7-yə bərabər olacağı bir ədədi tapmaq deməkdir. Bu ədəd 7/12 kəsirdir, çünki 7/12 12 = 7. Başqa bir misal: 14: 25 = 14/25, çünki 14/25 25 = 14.
Beləliklə, tam ədədi tam ədədə bölmək üçün payı dividendlə bərabər, məxrəci isə bölən olan kəsr etmək lazımdır.
2. Kəsrin tam ədədə bölünməsi.
6/7 kəsrini 3-ə bölün. Yuxarıda verilmiş bölmənin tərifinə əsasən, burada hasil (6/7) və amillərdən biri (3) var; elə ikinci amil tapmaq tələb olunur ki, onu 3-ə vuranda verilmiş məhsul 6/7 versin. Aydındır ki, bu məhsuldan üç dəfə kiçik olmalıdır. Bu o deməkdir ki, qarşımızda duran vəzifə 6/7 fraksiyasını 3 dəfə azaltmaq idi.
Biz artıq bilirik ki, kəsrin kiçilməsi ya onun payını azaltmaqla, ya da məxrəci artırmaqla edilə bilər. Buna görə yaza bilərsiniz:
Bu halda, 6 ədədi 3-ə bölünür, ona görə də pay 3 dəfə azaldılmalıdır.
Başqa bir misal götürək: 5/8 2-yə bölünür. Burada 5 ədədi 2-yə bölünmür, yəni məxrəci bu ədədə vurmaq lazım gələcək:
Buna əsaslanaraq qaydanı qeyd edə bilərik: Kəsiri tam ədədə bölmək üçün kəsrin payını həmin tam ədədə bölmək lazımdır.(Əgər mümkünsə), eyni məxrəci tərk etmək və ya kəsrin məxrəcini bu ədədə vuraraq eyni payı tərk etmək.
3. Tam ədədin kəsrə bölünməsi.
5-i 1/2-ə bölmək tələb olunsun, yəni 1/2-yə vurduqdan sonra hasili 5 verəcək ədəd tapılsın. Aydındır ki, bu rəqəm 5-dən çox olmalıdır, çünki 1/2 düzgün kəsrdir, və ədədi uyğun kəsrə vurarkən hasil çarpandan kiçik olmalıdır. Daha aydın olması üçün hərəkətlərimizi belə yazaq: 5: 1/2 = X , belə ki, x 1/2 \u003d 5.
Belə bir rəqəm tapmalıyıq X , bu, 1/2 ilə vurulduqda, 5 verəcəkdir. Müəyyən bir ədədi 1/2-yə vurmaq bu ədədin 1/2 hissəsini tapmaq deməkdir, deməli, 1/2 naməlum tarix X 5 və tam ədəddir X iki dəfə çox, yəni 5 2 \u003d 10.
Beləliklə, 5: 1/2 = 5 2 = 10
yoxlayaq: 
Daha bir misalı nəzərdən keçirək. 6-nı 2/3-ə bölmək tələb olunsun. Əvvəlcə rəsmdən istifadə edərək istədiyiniz nəticəni tapmağa çalışaq (şək. 19).
Şəkil 19
Bəzi vahidlərin 6-sına bərabər olan AB seqmenti çəkin və hər bir vahidi 3 bərabər hissəyə bölün. Hər bir vahiddə, bütün AB seqmentində üçdə üçü (3/3) 6 dəfə böyükdür, yəni. e. 18/3. Kiçik mötərizələrin köməyi ilə 18 əldə edilən 2 seqmenti birləşdiririk; Cəmi 9 seqment olacaq. Bu o deməkdir ki, 2/3 kəsr b vahidində 9 dəfə olur və ya başqa sözlə, 2/3 kəsir 6 tam vahiddən 9 dəfə azdır. Beləliklə,
Yalnız hesablamalardan istifadə edərək rəsm çəkmədən bu nəticəni necə əldə etmək olar? Aşağıdakı kimi mübahisə edəcəyik: 6-nı 2/3-ə bölmək tələb olunur, yəni 6-da 2/3-ün neçə dəfə olduğu sualına cavab vermək tələb olunur. Əvvəlcə öyrənək: 1/3 neçə dəfədir 6-da var? Tam vahiddə - üçdə 3, 6 vahiddə - 6 dəfə çox, yəni 18 üçdə; bu rəqəmi tapmaq üçün 6-nı 3-ə vurmalıyıq. Deməli, 1/3 b vahidlərində 18 dəfə, 2/3 isə b vahidlərində 18 dəfə deyil, yarısı qədərdir, yəni 18: 2 = 9 Buna görə də 6-nı 2/3-ə bölərkən aşağıdakıları etdik:
Buradan tam ədədi kəsrə bölmə qaydasını alırıq. Tam ədədi kəsrə bölmək üçün bu tam ədədi verilmiş kəsrin məxrəcinə vurmalı və bu hasili saya çevirərək, onu verilmiş kəsrin payına bölmək lazımdır.
Hərflərdən istifadə edərək qaydanı yazırıq:
Bu qaydanı mükəmməl şəkildə aydınlaşdırmaq üçün bir kəsirin bir hissə kimi qəbul edilə biləcəyini xatırlamaq lazımdır. Buna görə də, tapılmış qaydanı § 38-də göstərilən ədədi bölməyə bölmək qaydası ilə müqayisə etmək faydalıdır. Qeyd edək ki, orada da eyni düstur alınıb.
Bölmə zamanı ixtisarlar mümkündür, məsələn:
4. Kəsirin kəsrə bölünməsi.
3/4-ü 3/8-ə bölmək tələb olunsun. Bölmə nəticəsində əldə ediləcək ədədi nə ifadə edəcək? 3/8 kəsirinin 3/4 kəsrində neçə dəfə olduğu sualına cavab verəcəkdir. Bu məsələni başa düşmək üçün bir rəsm çəkək (şək. 20).
AB seqmentini götürün, vahid kimi götürün, 4 bərabər hissəyə bölün və 3 belə hissəni qeyd edin. AC seqmenti AB seqmentinin 3/4 hissəsinə bərabər olacaq. İndi dörd ilkin seqmentin hər birini yarıya bölək, onda AB seqmenti 8 bərabər hissəyə bölünəcək və hər belə hissə AB seqmentinin 1/8 hissəsinə bərabər olacaqdır. 3 belə seqmenti qövslərlə birləşdiririk, onda AD və DC seqmentlərinin hər biri AB seqmentinin 3/8 hissəsinə bərabər olacaqdır. Rəsm göstərir ki, 3/8-ə bərabər olan seqment 3/4-ə bərabər olan seqmentdə tam olaraq 2 dəfə yer alır; Beləliklə, bölmənin nəticəsi belə yazıla bilər:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Daha bir misalı nəzərdən keçirək. 15/16-nı 3/32-ə bölmək tələb olunsun:
Bunu belə əsaslandıra bilərik: 3/32-yə vurulduqdan sonra 15/16-ya bərabər bir məhsul verəcək bir rəqəm tapmalıyıq. Hesablamaları belə yazaq:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 naməlum nömrə X 15/16 təşkil edin
1/32 naməlum nömrə X ,
32/32 ədəd X makiyaj etmək.
Beləliklə,
Beləliklə, kəsri kəsrə bölmək üçün birinci kəsrin payını ikincinin məxrəcinə, birinci kəsrin məxrəcini ikincinin payına vurmalı və birinci hasilini pay və kəsrə çevirməlisən. ikinci məxrəc.
Hərflərdən istifadə edərək qaydanı yazaq:
Bölmə zamanı ixtisarlar mümkündür, məsələn:
5. Qarışıq ədədlərin bölünməsi.
Qarışıq ədədləri bölərkən əvvəlcə onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirmək, sonra isə yaranan kəsrləri kəsr ədədlərinin bölmə qaydalarına uyğun olaraq bölmək lazımdır. Məsələni nəzərdən keçirək:
Qarışıq ədədləri düzgün olmayan kəsrlərə çevirin:
İndi bölünək:
Beləliklə, qarışıq ədədləri bölmək üçün onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirmək və sonra kəsrlərin bölünməsi qaydasına uyğun olaraq bölmək lazımdır.
6. Kəsi verilmiş ədədin tapılması.
arasında müxtəlif vəzifələr kəsrlərdə bəzən elələri olur ki, orada naməlum ədədin hansısa kəsrinin qiyməti verilir və bu ədədi tapmaq tələb olunur. Bu tip məsələ verilmiş ədədin kəsirinin tapılması məsələsinə tərs olacaq; orada bir ədəd verilmişdir və bu ədədin bir hissəsini tapmaq tələb olunurdu, burada ədədin bir hissəsi verilir və bu ədədin özünü tapmaq tələb olunur. Bu tip problemlərin həllinə müraciət etsək, bu fikir daha da aydınlaşacaq.
Tapşırıq 1.İlk gün şüşəçilər 50 pəncərəni şüşələyiblər ki, bu da tikilmiş evin bütün pəncərələrinin 1/3 hissəsini təşkil edir. Bu evdə neçə pəncərə var?
Qərar. Problem deyir ki, 50 şüşəli pəncərə evin bütün pəncərələrinin 1/3-ni təşkil edir, yəni cəmi 3 dəfə daha çox pəncərə var, yəni.
Evin 150 pəncərəsi var idi.
Tapşırıq 2. Mağazada 1500 kq un satılıb ki, bu da sexdəki ümumi un ehtiyatının 3/8-ni təşkil edir. Mağazanın ilkin un ehtiyatı nə qədər idi?
Qərar. Problemin vəziyyətindən də görünür ki, satılan 1500 kq un ümumi ehtiyatın 3/8-ni təşkil edir; bu o deməkdir ki, bu səhmin 1/8 hissəsi 3 dəfə az olacaq, yəni onu hesablamaq üçün 1500-ü 3 dəfə azaltmaq lazımdır:
1500: 3 = 500 (bu, səhmin 1/8 hissəsidir).
Aydındır ki, bütün ehtiyat 8 dəfə çox olacaq. Beləliklə,
500 8 \u003d 4000 (kq).
Mağazada unun ilkin tədarükü 4000 kq olub.
Bu problemi nəzərdən keçirərək aşağıdakı qaydanı çıxarmaq olar.
Ədədi kəsrinin verilmiş qiyməti ilə tapmaq üçün bu dəyəri kəsrin payına bölmək və nəticəni kəsrin məxrəcinə vurmaq kifayətdir.
Kəsri verilmiş ədədin tapılması ilə bağlı iki məsələni həll etdik. Belə məsələlər, xüsusilə sonuncudan yaxşı göründüyü kimi, iki hərəkətlə həll olunur: bölmə (bir hissə tapıldıqda) və vurma (tam ədəd tapıldıqda).
Bununla belə, kəsrlərin bölünməsini öyrəndikdən sonra yuxarıda göstərilən problemləri bir hərəkətlə həll etmək olar, yəni: kəsrə bölmə.
Məsələn, sonuncu vəzifəni belə bir hərəkətlə həll etmək olar:
Gələcəkdə biz bir hərəkətdə - bölmədə bir ədədi kəsrinə görə tapmaq məsələsini həll edəcəyik.
7. Ədədin faizinə görə tapılması.
Bu tapşırıqlarda siz bu rəqəmin bir neçə faizini bilməklə bir nömrə tapmalısınız.
Tapşırıq 1. Bu ilin əvvəlində əmanət kassasından 60 rubl aldım. bir il əvvəl əmanətə qoyduğum məbləğdən gəlir. Əmanət kassasına nə qədər pul qoymuşdum? (Kassalar əmanətçilərə ildə 2% gəlir verir.)
Problemin mənası odur ki, müəyyən məbləğdə pul mənim tərəfimdən əmanət kassasına qoyulub və bir il orada yatıb. Bir ildən sonra mən ondan 60 rubl aldım. gəlir, bu da qoyduğum pulun 2/100 hissəsidir. Mən nə qədər pul qoymuşam?
Buna görə də, bu pulun iki şəkildə (rubl və fraksiya ilə) ifadə olunan hissəsini bilməklə, biz hələ məlum olmayan bütün məbləği tapmalıyıq. Bu, kəsri verilmiş ədədi tapmaq üçün adi bir problemdir. Bölmə yolu ilə aşağıdakı vəzifələr həll olunur:
Beləliklə, əmanət kassasına 3000 rubl qoyuldu.
Tapşırıq 2. Balıqçılar iki həftədə 512 ton balıq hazırlayaraq aylıq planı 64 faiz yerinə yetirmişlər. Onların planı nə idi?
Problemin vəziyyətindən məlum olur ki, balıqçılar planın bir hissəsini yerinə yetiriblər. Bu hissə 512 tona bərabərdir ki, bu da planın 64 faizini təşkil edir. Plana görə neçə ton balıq yığmaq lazımdır, onu da bilmirik. Problemin həlli bu rəqəmi tapmaqdan ibarət olacaq.
Bu cür vəzifələr bölmək yolu ilə həll olunur:
Belə ki, plana əsasən, 800 ton balıq hazırlamaq lazımdır.
Tapşırıq 3. Qatar Riqadan Moskvaya gedib. 276-cı kilometri keçəndə sərnişinlərdən biri yoldan keçən konduktordan artıq nə qədər yol getdiklərini soruşdu. Buna dirijor cavab verdi: "Biz artıq bütün səyahətin 30%-ni keçdik." Riqa şəhəri Moskva şəhərindən hansı məsafədə yerləşir?
Problemin vəziyyətindən də görünür ki, Riqadan Moskvaya gedən yolun 30%-i 276 km-dir. Bu şəhərlər arasındakı bütün məsafəni tapmalıyıq, yəni bu hissə üçün tamı tapmalıyıq:
§ 91. Qarşılıqlı ədədlər. Bölməni vurma ilə əvəz etmək.
2/3 kəsri götürün və payı məxrəcin yerinə uyğunlaşdırın, 3/2 alırıq. Bizdə bunun əksi olan bir kəsr var.
Verilmiş bir kəsrin əksini almaq üçün onun payını məxrəc yerinə, məxrəci isə pay yerinə qoymaq lazımdır. Bu yolla hər hansı bir kəsrin əksi olan kəsr əldə edə bilərik. Misal üçün:
3/4, tərs 4/3; 5/6 , tərs 6/5
Birincinin payının ikincinin məxrəci və birincinin məxrəcinin ikincinin payı olması xüsusiyyətinə malik iki kəsr adlanır. qarşılıqlı tərs.
İndi fikirləşək ki, 1/2-nin əksi hansı kəsr olacaq. Aydındır ki, 2/1 və ya sadəcə 2 olacaq. Bunun əksini axtarsaq, tam ədəd əldə etdik. Və bu iş tək deyil; əksinə, sayı 1 (bir) olan bütün kəsrlər üçün əkslər tam ədədlər olacaq, məsələn:
1/3, tərs 3; 1/5, tərs 5
Qarşılıqlıları taparkən tam ədədlərlə də qarşılaşdığımız üçün gələcəkdə qarşılıqlılardan deyil, haqqında danışacağıq. qarşılıqlı.
Tam ədədin əksini necə yazacağımızı anlayaq. Kəsrlər üçün bu, sadəcə olaraq həll olunur: məxrəci payın yerinə qoymaq lazımdır. Eyni şəkildə, siz tam ədədin əksini əldə edə bilərsiniz, çünki hər hansı bir tam ədədin məxrəci 1 ola bilər. Buna görə də, 7-nin əksi 1/7 olacaq, çünki 7 \u003d 7/1; 10 nömrəsi üçün əksi 1/10-dur, çünki 10 = 10/1
Bu fikri başqa cür də ifadə etmək olar: verilmiş ədədin əksi birini verilmiş ədədə bölmək yolu ilə alınır. Bu ifadə təkcə tam ədədlər üçün deyil, həm də kəsrlər üçün də doğrudur. Həqiqətən, əgər nömrə yazmaq istəyirsinizsə, tərs kəsr 5/9, onda biz 1 götürüb 5/9-a bölmək olar, yəni.
İndi birini qeyd edək əmlak bizim üçün faydalı olacaq qarşılıqlı nömrələr: qarşılıqlı qarşılıqlı ədədlərin hasili birə bərabərdir. Həqiqətən:
Bu xassədən istifadə edərək, aşağıdakı şəkildə qarşılıqları tapa bilərik. 8-in əksini tapaq.
Hərflə işarə edək X , sonra 8 X = 1, deməli X = 1/8. Başqa bir ədəd tapaq, 7/12-nin tərsi, onu hərflə işarə edək X , sonra 7/12 X = 1, deməli X = 1:7 / 12 və ya X = 12 / 7 .
Biz burada kəsrlərin bölünməsi ilə bağlı məlumatları bir az əlavə etmək üçün qarşılıqlı ədədlər anlayışını təqdim etdik.
6 ədədini 3/5-ə böldükdə aşağıdakıları edirik:
Ödəmək Xüsusi diqqət ifadəsinə və verilmiş ifadə ilə müqayisə edin: .
İfadəni əvvəlki ilə əlaqəsi olmadan ayrıca götürsək, onun haradan gəldiyi sualını həll etmək mümkün deyil: 6-nı 3/5-ə bölməkdən və ya 6-nı 5/3-ə vurmaqla. Hər iki halda nəticə eynidir. Beləliklə, deyə bilərik ki, bir ədədi digərinə bölmək dividentləri bölənin əksinə vurmaqla əvəz edilə bilər.
Aşağıda verdiyimiz misallar bu qənaəti tam təsdiq edir.
Bölmədir. Bu yazıda biz danışacağıq bölmə adi fraksiyalar . Əvvəlcə adi kəsrlərin bölünməsi qaydasını verəcəyik və kəsrlərin bölünməsi nümunələrinə baxacağıq. Sonra, adi kəsri natural ədədə, ədədi isə kəsrə bölməyə diqqət yetirəcəyik. Nəhayət, adi kəsrin bölünməsinin necə həyata keçirildiyini nəzərdən keçirin qarışıq nömrə.
Səhifə naviqasiyası.
Adi kəsrin adi kəsrə bölünməsi
Məlumdur ki, bölmə vurmanın tərsidir (bax: bölmə ilə vurma arasındakı əlaqə). Yəni bölgü tapmağı ehtiva edir naməlum çarpan məhsul və digər amil məlum olduqda. Adi kəsrləri bölərkən eyni bölmə hissi qorunur.
Adi kəsrlərin bölünməsinə dair nümunələrə nəzər salın.
Qeyd edək ki, kəsrlərin azaldılması və düzgün olmayan kəsrdən tam hissənin seçilməsi haqqında unutmamalıyıq.
Adi kəsrin natural ədədə bölünməsi
Dərhal verəcəyik kəsri natural ədədə bölmə qaydası: a / b kəsrini natural n ədədinə bölmək üçün payı eyni qoyub, məxrəci n-ə vurmaq lazımdır, yəni .
Bu bölmə qaydası bilavasitə adi kəsrlər üçün bölmə qaydasından irəli gəlir. Həqiqətən də natural ədədin kəsr kimi təqdim edilməsi aşağıdakı bərabərliklərə gətirib çıxarır 
.
Kəsiri ədədə bölmək nümunəsini nəzərdən keçirək.
Misal.
16/45 kəsrini 12 natural ədədinə bölün.
Qərar.
Kəsiri ədədə bölmə qaydası ilə bizdə var 
. Gəlin azalma edək: . Bu bölmə tamamlandı.
Cavab:
.
Natural ədədin adi kəsrə bölünməsi
Kəsrlərin bölünməsi qaydası oxşardır natural ədədin ümumi kəsrə bölünməsi qaydası: natural n ədədini adi a/b kəsrə bölmək üçün n ədədini a/b kəsrinin əksinə vurmaq lazımdır.
Səsli qaydaya görə, , və natural ədədi adi kəsrə vurma qaydası onu yenidən formada yazmağa imkan verir.
Məsələni nəzərdən keçirək.
Misal.
25 natural ədədini 15/28 kəsrinə bölün.
Qərar.
Bölmədən vurmağa keçək, bizdə var 
. Tam hissənin kiçilməsi və seçilməsindən sonra alırıq.
Cavab:
.
Adi kəsrin qarışıq ədədə bölünməsi
Adi kəsrin qarışıq ədədə bölünməsi adi fraksiyaların bölünməsinə asanlıqla endirilir. Bunu etmək üçün kifayətdir
T sinif növü: ONZ (yeni biliklərin kəşfi - tədrisin fəaliyyət metodu texnologiyasına uyğun olaraq).
Əsas məqsədlər:
- Kəsirin natural ədədə bölünməsi üsullarını çıxarmaq;
- Kəsirin natural ədədə bölünməsini yerinə yetirmək bacarığını formalaşdırmaq;
- Kəsrlərin bölünməsini təkrarlayın və birləşdirin;
- Kəsrləri azaltmaq, təhlil etmək və problemləri həll etmək bacarığını öyrədin.
Avadanlığın demo materialı:
1. Biliklərin yenilənməsi üçün tapşırıqlar:
İfadələri müqayisə edin:
İstinad:
2. Sınaq (fərdi) tapşırığı.
1. Bölməni yerinə yetirin:
2. Bütün hesablamalar zəncirini yerinə yetirmədən bölməni yerinə yetirin: .
İstinadlar:
- Kəsri natural ədədə bölərkən məxrəci bu ədədə vura bilərsiniz və payı eyni şəkildə qoya bilərsiniz.
- Əgər pay natural ədədə bölünürsə, onda kəsri bu ədədə bölərkən, payı ədədə bölmək, məxrəci isə olduğu kimi qoymaq olar.
Dərslər zamanı
I. Motivasiya (öz müqəddəratını təyinetmə). öyrənmə fəaliyyətləri.
Səhnənin məqsədi:
- Tədris fəaliyyəti çərçivəsində tələbəyə olan tələblərin aktuallaşdırılmasını təşkil etmək ("məcburi");
- Tematik çərçivə yaratmaq üçün tələbələrin fəaliyyətini təşkil etmək (“Mən bacarıram”);
- Tələbənin təhsil fəaliyyətinə daxil olmaq üçün daxili ehtiyacının olması üçün şərait yaradın (“Mən istəyirəm”).
Təşkilat təhsil prosesi I mərhələdə.
Salam! Hamınızı riyaziyyat dərsində görməyə şadam. Ümid edirəm ki, qarşılıqlıdır.
Uşaqlar, keçən dərsdə hansı yeni bilikləri əldə etdiniz? (Kəsrləri bölün).
Sağ. Kəsrləri bölməyə nə kömək edir? (Qayda, xüsusiyyətlər).
Bu bilik bizə hara lazımdır? (Nümunələrdə, tənliklərdə, tapşırıqlarda).
Əla! Son dərsdə yaxşı çıxış etdin. Bu gün özünüz yeni biliklər kəşf etmək istərdinizmi? (Bəli).
Sonra getmək! Dərsin şüarı isə “Riyaziyyatı qonşunun bunu necə etdiyini izləməklə öyrənmək olmaz!” ifadəsidir.
II. Biliyin aktuallaşdırılması və sınaq fəaliyyətində fərdi çətinliyin müəyyən edilməsi.
Səhnənin məqsədi:
- Öyrənilən fəaliyyət metodlarının aktuallaşdırılmasını təşkil etmək, yeni biliklər yaratmaq üçün kifayətdir. Bu üsulları şifahi (nitqdə) və simvolik olaraq (standart) düzəldin və ümumiləşdirin;
- Yeni biliklərin qurulması üçün kifayət qədər zehni əməliyyatların və idrak proseslərinin aktuallaşdırılmasını təşkil etmək;
- Sınaq prosesini və onun müstəqil həyata keçirilməsini və əsaslandırılmasını təşviq etmək;
- İndiki fərdi tapşırıq yeni təlim məzmununu müəyyən etmək üçün sınaq hərəkəti və onu təhlil etmək;
- Tədris məqsədinin və dərsin mövzusunun təsbitini təşkil etmək;
- Sınaq tədbirinin həyata keçirilməsini və çətinliyin aradan qaldırılmasını təşkil etmək;
- Alınan cavabların təhlilini təşkil edin və sınaq hərəkətini yerinə yetirməkdə və ya onu əsaslandırmaqda fərdi çətinlikləri qeyd edin.
II mərhələdə tədris prosesinin təşkili.
Ön tərəfdən, tabletlərdən (fərdi lövhələr) istifadə etməklə.
1. İfadələri müqayisə edin:
(Bu ifadələr bərabərdir)
Hansı maraqlı şeyləri müşahidə etdiniz? (Hər bir ifadədə dividentin payı və məxrəci, bölənin payı və məxrəci eyni sayda artmışdır. Beləliklə, ifadələrdəki dividendlər və bölənlər bir-birinə bərabər kəsrlərlə təmsil olunur).
İfadənin mənasını tapın və planşetə yazın. (2)
Bu ədədi kəsr kimi necə yazmaq olar?
Bölmə əməliyyatını necə yerinə yetirdiniz? (Uşaqlar qaydanı tələffüz edir, müəllim lövhədə asılır hərf təyinatları)
2. Yalnız nəticələri hesablayın və qeyd edin:
3. Nəticələrinizi əlavə edin və cavabınızı yazın. (2)
3-cü tapşırıqda alınan ədədin adı nədir? (təbii)
Sizcə kəsri natural ədədə bölmək olar? (Bəli, çalışacağıq)
Bunu cəhd edin.
4. Fərdi (sınaq) tapşırıq.
Bölməni edin: (yalnız a misal)
Bölmək üçün hansı qaydadan istifadə etdiniz? (Kəsirin kəsrə bölünməsi qaydasına görə)
İndi kəsri natural ədədə bölün sadə şəkildə, bütün hesablamalar zəncirini yerinə yetirmədən: (misal b). Bunun üçün sizə 3 saniyə vaxt verirəm.
Kim tapşırığı 3 saniyə ərzində yerinə yetirə bilmədi?
Kim etdi? (Belə yoxdur)
Niyə? (Yolu bilmirik)
Nə aldınız? (Çətinlik)
Sizcə sinifdə nə edəcəyik? (Kəsrləri natural ədədlərə bölün)
Düzdü, dəftərlərinizi açın və “Kəsirin natural ədədə bölünməsi” dərsinin mövzusunu yazın.
Siz fraksiyaları necə bölməyi bildiyiniz halda bu mövzu niyə yeni səslənir? (Yeni bir yol lazımdır)
Sağ. Bu gün biz kəsrin natural ədədə bölünməsini asanlaşdıran bir texnika quracağıq.
III. Çətinliyin yerinin və səbəbinin müəyyən edilməsi.
Səhnənin məqsədi:
- Görülən əməliyyatların bərpasını təşkil etmək və çətinliyin yarandığı yeri - addımı, əməliyyatı (şifahi və simvolik) düzəltmək;
- Tələbələrin hərəkətlərinin istifadə olunan metod (alqoritm) ilə əlaqəsini təşkil etmək və xarici nitqdə çətinliyin səbəbini - bu tip ilkin problemi həll etmək üçün kifayət etməyən xüsusi bilik, bacarıq və ya bacarıqları təyin etmək.
III mərhələdə tədris prosesinin təşkili.
Hansı tapşırığı yerinə yetirməli idin? (Bütün hesablamalar zəncirini etmədən kəsri natural ədədə bölün)
Sizə nə çətinlik yaratdı? (Qısa müddətdə sürətli şəkildə həll edə bilmədim)
Dərsimizin məqsədi nədir? (Kəsiri natural ədədə bölməyin sürətli yolunu tapın)
Sizə nə kömək edəcək? (Kəsrlərin bölünməsi üçün artıq məlum qayda)
IV. Çətinlikdən çıxış layihəsinin tikintisi.
Səhnənin məqsədi:
- Layihənin məqsədinin aydınlaşdırılması;
- Metod seçimi (aydınlaşdırma);
- Vəsaitlərin tərifi (alqoritm);
- Məqsədə çatmaq üçün plan qurmaq.
IV mərhələdə tədris prosesinin təşkili.
Sınaq məsələsinə qayıdaq. Kəsrlərin bölünməsi qaydası ilə bölündüyünü söylədiniz? (Bəli)
Bunun üçün natural ədədi kəsrlə əvəz etmək lazımdır? (Bəli)
Sizcə, hansı addımları atlaya bilərsiniz?
(Həll zənciri lövhədə açıqdır: 
Təhlil edin və nəticə çıxarın. (Addım 1)
Cavab yoxdursa, sualları ümumiləşdiririk:
Təbii bölən hara getdi? (məxrəcə)
Numerator dəyişdi? (yox)
Beləliklə, hansı addımı "buraxmaq" olar? (Addım 1)
Hərəkət planı:
- Kəsrin məxrəcini natural ədədə vurun.
- Numerator dəyişmir.
- Yeni bir kəsr alırıq.
V. Quraşdırılmış layihənin həyata keçirilməsi.
Səhnənin məqsədi:
- Çatışmayan biliklərin əldə edilməsinə yönəlmiş qurulmuş layihəni həyata keçirmək üçün kommunikativ qarşılıqlı əlaqəni təşkil etmək;
- Qurulmuş hərəkət metodunun nitqdə və işarələrdə təsbitini təşkil etmək (standartın köməyi ilə);
- İlkin problemin həllini təşkil edin və çətinliyin aradan qaldırılmasını qeyd edin;
- Yeni biliyin ümumi mahiyyətinin aydınlaşdırılmasını təşkil edin.
V mərhələdə təhsil prosesinin təşkili.
İndi test işini tez bir zamanda yeni şəkildə idarə edin.
İndi tapşırığı tez yerinə yetirə bilirsinizmi? (Bəli)
Bunu necə etdiyinizi izah edin? (Uşaqlar danışır)
Bu o deməkdir ki, biz yeni bilik əldə etmişik: kəsri natural ədədə bölmə qaydası.
Əla! Bunu cüt-cüt deyin.
Sonra bir şagird siniflə danışır. Qayda-alqoritmi şifahi şəkildə və lövhədə standart şəklində düzəldirik.
İndi hərf təyinatlarını daxil edin və qaydamızın düsturunu yazın.
Şagird qaydanı tələffüz edərək lövhəyə yazır: kəsri natural ədədə bölərkən məxrəci bu ədədə vura bilərsiniz və payı eyni şəkildə qoya bilərsiniz.
(Hamı düsturu dəftərlərinə yazır).
İndi cavaba xüsusi diqqət yetirərək sınaq tapşırığının həlli zəncirini bir daha təhlil edin. Onlar nə etdilər? (15 kəsrinin payı 3 rəqəminə bölündü (kiçildildi))
Bu rəqəm nədir? (təbii, bölən)
Beləliklə, kəsri natural ədədə başqa necə bölmək olar? (Yoxlayın: kəsrin payı bu natural ədədə bölünürsə, onda siz payı bu ədədə bölmək, nəticəni yeni kəsrin payına yazmaq və məxrəci eyni şəkildə qoymaq olar)
Bu üsulu düstur şəklində yazın. (Şagird qaydanı lövhəyə yazır. Hər kəs düsturu dəftərlərinə yazır).
Birinci üsula qayıdaq. Əgər a:n istifadə oluna bilər? (Bəli bu ümumi yol)
İkinci üsul nə vaxt istifadə etmək üçün əlverişlidir? (Kəsirin payı qalıqsız natural ədədə bölünəndə)
VI. Xarici nitqdə tələffüzlə ilkin konsolidasiya.
Səhnənin məqsədi:
- Xarici nitqdə tələffüzü ilə bağlı tipik problemləri həll edərkən uşaqların yeni fəaliyyət metodunun mənimsənilməsini təşkil etmək (cəbbədən, cüt və ya qruplarda).
VI mərhələdə tədris prosesinin təşkili.
Yeni üsulla hesablayın:
- № 363 (a; d) - qaydanı tələffüz edərək lövhədə çıxış edin.
- № 363 (d; f) - nümunə üzərində çeklə cüt-cüt.
VII. Standarta uyğun olaraq özünü sınamaqla müstəqil iş.
Səhnənin məqsədi:
- Təşkil et müstəqil icra yeni fəaliyyət rejimi üçün tələbələrə tapşırıqlar;
- Standartla müqayisə əsasında özünü sınağı təşkil etmək;
- İcranın nəticələrinə görə müstəqil iş yeni fəaliyyət tərzinin mənimsənilməsinin əksini təşkil edir.
VII mərhələdə tədris prosesinin təşkili.
Yeni üsulla hesablayın:
- № 363 (b; c)
Şagirdlər standartı yoxlayır, performansın düzgünlüyünü qeyd edirlər. Səhvlərin səbəbləri təhlil edilir və səhvlər düzəldilir.
Müəllim səhv edən şagirdlərdən soruşur ki, bunun səbəbi nədir?
Bu mərhələdə hər bir tələbənin öz işini müstəqil şəkildə yoxlaması vacibdir.
VIII. Bilik və təkrarlama sisteminə daxil edilməsi.
Səhnənin məqsədi:
- Yeni biliklərin tətbiqi sərhədlərinin müəyyən edilməsini təşkil etmək;
- Mənalı davamlılığı təmin etmək üçün zəruri olan təhsil məzmununun təkrarını təşkil edin.
VIII mərhələdə tədris prosesinin təşkili.
IX mərhələdə tədris prosesinin təşkili.
1. Dialoq:
Uşaqlar, bu gün hansı yeni bilikləri kəşf etdiniz? (Biz sadə şəkildə kəsri natural ədədə bölməyi öyrəndik)
Ümumi bir yol formalaşdırın. (Deyirlər)
Hansı şəkildə və hansı hallarda hələ də istifadə edə bilərsiniz? (Deyirlər)
Yeni metodun üstünlüyü nədir?
Dərsdə məqsədimizə çatdıqmı? (Bəli)
Məqsədinizə çatmaq üçün hansı biliklərdən istifadə etdiniz? (Deyirlər)
Uğur qazandınız?
Çətinliklər nə idi?
2. Ev tapşırığı: 3.2.4-cü bənd; № 365 (l, n, o, p); № 370.
3. Müəllim: Sevinirəm ki, bu gün hamı fəal idi, çətinlikdən çıxış yolu tapmağı bacardı. Ən əsası isə yenisi açılıb birləşəndə qonşu deyildilər. Dərs üçün təşəkkürlər uşaqlar!
