Ümumiyə əlavə olaraq kəsrlər veririk. Kəsrlərin toplanması və çıxılması. Məxrəcləri müxtəlif olan adi kəsrlərin toplanması və çıxılması

Qeyd! Yekun cavabı yazmazdan əvvəl, aldığınız kəsri azalda bildiyinizə baxın.

Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin çıxılması nümunələr:

,

,

Birdən uyğun kəsri çıxmaq.

Vahiddən düzgün olan kəsri çıxmaq lazım gələrsə, vahid natamam kəsr formasına çevrilir, onun məxrəci çıxılan kəsrin məxrəcinə bərabərdir.

Birdən düzgün kəsri çıxarmağa misal:

Çıxarılacaq kəsrin məxrəci = 7 , yəni vahidi 7/7 düzgün olmayan kəsr kimi təqdim edirik və eyni məxrəcləri olan kəsrləri çıxarmaq qaydasına uyğun olaraq çıxırıq.

Tam ədəddən uyğun kəsri çıxmaq.

Kəsrləri çıxarmaq qaydaları - tam ədəddən düzgündür (təbii ədəd):

• Tərkibində tam hissə olan verilmiş kəsrləri düzgün olmayan kəsrlərə çeviririk. Normal şərtləri alırıq (onların olub-olmamasının fərqi yoxdur müxtəlif məxrəclər), yuxarıda verilmiş qaydalara əsasən hesab etdiyimiz;
• Sonra, aldığımız fraksiyaların fərqini hesablayırıq. Nəticədə, demək olar ki, cavabı tapacağıq;
• Biz tərs çevrilmə həyata keçiririk, yəni düzgün olmayan kəsrdən xilas oluruq - kəsrdə tam hissəni seçirik.

Tam ədəddən müvafiq kəsri çıxaraq: təqdim edirik natural ədəd qarışıq ədəd kimi. Bunlar. natural ədəddə vahid götürürük və onu düzgün olmayan kəsr formasına çeviririk, məxrəc çıxarılan kəsrinkinə bərabərdir.

Kəsirin çıxılmasına misal:

Nümunədə vahidi 7/7 düzgün olmayan kəsrlə əvəz etdik və 3 əvəzinə qarışıq bir ədəd yazdıq və kəsr hissəsindən kəsri çıxardıq.

Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılması.

Və ya başqa sözlə desək, müxtəlif kəsrlərin çıxılması.

Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılması qaydası. Fərqli məxrəcli kəsrləri çıxarmaq üçün, ilk növbədə, bu kəsrləri ən aşağı ortaq məxrəcə (LCD) çatdırmaq və yalnız bundan sonra eyni məxrəcli kəsrlərdə olduğu kimi çıxarmaq lazımdır.

Bir neçə kəsrin ortaq məxrəci belədir LCM (ən az ümumi çoxluq) verilmiş kəsrlərin məxrəci olan natural ədədlər.

Diqqət!Əgər daxil son fraksiya pay və məxrəcin ümumi amilləri var, onda kəsri azaltmaq lazımdır. Düzgün olmayan kəsr ən yaxşı şəkildə qarışıq kəsr kimi təqdim olunur. Mümkün olan yerlərdə kəsri azaltmadan çıxmanın nəticəsini tərk etmək, nümunənin tamamlanmamış həllidir!

Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılması qaydası.

• bütün məxrəclər üçün LCM-i tapın;
• bütün fraksiyalar üçün əlavə çarpanlar qoyun;
• bütün sayları əlavə bir əmsala vurmaq;
• bütün kəsrlərin altında ortaq məxrəci imzalayaraq, nəticədə hasilləri paylayıcıya yazırıq;
• fərqin altında ortaq məxrəcə imza ataraq kəsrlərin saylarını çıxarın.

Eyni şəkildə, kəsrlərin toplanması və çıxması paylayıcıda hərflərin iştirakı ilə həyata keçirilir.

Kəsrlərin çıxılması, nümunələr:

Qarışıq kəsrlərin çıxılması.

At çıxma qarışıq fraksiyalar(nömrələri) ayrıca, tam hissə tam hissədən, kəsr hissəsi isə kəsr hissədən çıxarılır.

Birinci seçim qarışıq fraksiyaları çıxarmaqdır.

Əgər fraksiya hissələri eyni minuendin kəsr hissəsinin məxrəcləri və payı (ondan çıxırıq) ≥ çıxmanın kəsr hissəsinin payı (çıxırıq).

Misal üçün:

İkinci seçim qarışıq fraksiyaları çıxarmaqdır.

Fraksiya hissələri olduqda müxtəlif məxrəclər. Başlamaq üçün kəsr hissələrini ortaq məxrəcə endiririk və sonra tam ədəddən tam hissəni, kəsrdən isə kəsri çıxarırıq.

Misal üçün:

Üçüncü seçim qarışıq fraksiyaları çıxarmaqdır.

Minuendin kəsr hissəsi çıxarmanın kəsr hissəsindən kiçikdir.

Misal:

Çünki kəsr hissələrin müxtəlif məxrəcləri var, bu o deməkdir ki, ikinci variantda olduğu kimi, biz əvvəlcə adi kəsrləri ortaq məxrəcə gətiririk.

Minuendin kəsr hissəsinin payı çıxarmanın kəsr hissəsinin payından kiçikdir.3 < 14. Beləliklə, tam hissədən vahid götürürük və bu vahidi eyni məxrəc və paylayıcı ilə düzgün olmayan kəsr formasına gətiririk. = 18.

Sağ tərəfdən gələn sayda biz sayların cəmini yazırıq, sonra sağ tərəfdən paylayıcıdakı mötərizələri açırıq, yəni hər şeyi çoxaldırıq və oxşarlarını veririk. Məxrəcdə mötərizələr açmırıq. Məhsulu məxrəclərdə buraxmaq adətdir. Biz əldə edirik:

Adi kəsrlərlə yerinə yetirilə biləcək növbəti hərəkət çıxmadır. Bu materialın bir hissəsi olaraq, eyni və fərqli məxrəcləri olan kəsrlər arasındakı fərqi necə düzgün hesablayacağımızı, təbii ədəddən kəsri necə çıxaracağımızı və əksinə nəzərdən keçirəcəyik. Bütün nümunələr tapşırıqlarla təsvir olunacaq. Əvvəlcədən aydınlaşdıraq ki, biz yalnız kəsrlərin fərqinin müsbət ədədlə nəticələndiyi halları təhlil edəcəyik.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Eyni məxrəcli kəsrlər arasındakı fərqi necə tapmaq olar

Gəlin dərhal başlayaq yaxşı nümunə: tutaq ki, səkkiz hissəyə bölünmüş almamız var. Beş hissəni boşqabda qoyub ikisini götürək. Bu hərəkəti belə yazmaq olar:

Biz 3 səkkizlə bitirik, çünki 5 - 2 = 3. Belə çıxır ki, 5 8 - 2 8 = 3 8 .

Bu sadə nümunə ilə biz çıxma qaydasının eyni məxrəcli kəsrlər üçün necə işlədiyini dəqiq gördük. Gəlin onu formalaşdıraq.

Tərif 1

Məxrəcləri eyni olan kəsrlər arasındakı fərqi tapmaq üçün birinin payını digərinin payından çıxarmaq, məxrəci isə eyni saxlamaq lazımdır. Bu qayda b - c b = a - c b kimi yazıla bilər.

Bu düsturdan aşağıda istifadə edəcəyik.

Konkret misallar götürək.

Misal 1

24 15 kəsrindən 17 15 sadə kəsri çıxarın.

Qərar

Bu kəsrlərin eyni məxrəclərə malik olduğunu görürük. Deməli, 24-dən 17-ni çıxarmaq kifayətdir. 7 alırıq və ona məxrəc əlavə edirik, 7 15 alırıq.

Hesablamalarımızı belə yazmaq olar: 24 15 - 17 15 \u003d 24 - 17 15 \u003d 7 15

Lazım gələrsə, qısalda bilərsiniz mürəkkəb fraksiya və ya saymağı daha rahat etmək üçün səhv hissədən bütün hissəni seçin.

Misal 2

37 12 - 15 12 fərqini tapın.

Qərar

Yuxarıda təsvir olunan düsturdan istifadə edək və hesablayaq: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

Saxlayıcı və məxrəcin 2-yə bölünə biləcəyini görmək asandır (bölünmə əlamətlərini təhlil edərkən bu barədə əvvəllər danışdıq). Cavabı azaltsaq, 11 6 alırıq. Bu, bütün hissəni seçəcəyimiz düzgün olmayan bir hissədir: 11 6 \u003d 1 5 6.

Fərqli məxrəcləri olan kəsrlər arasındakı fərqi necə tapmaq olar

Belə bir riyazi əməliyyat yuxarıda təsvir etdiyimizə qədər azaldıla bilər. Bunu etmək üçün sadəcə istədiyiniz fraksiyaları eyni məxrəcə gətirin. Tərifi tərtib edək:

Tərif 2

Fərqli məxrəclərə malik kəsrlər arasındakı fərqi tapmaq üçün onları eyni məxrəcə gətirmək və saylar arasındakı fərqi tapmaq lazımdır.

Bunun necə edildiyinə dair bir nümunəyə baxaq.

Misal 3

2 9-dan 1 15-i çıxarın.

Qərar

Məxrəclər müxtəlifdir və onları ən kiçiyə qədər azaltmaq lazımdır sağlam düşüncə. Bu vəziyyətdə LCM 45-dir. Birinci fraksiya üçün əlavə 5 əmsalı tələb olunur, ikincisi üçün isə 3.

Gəlin hesablayaq: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

Eyni məxrəcli iki fraksiya əldə etdik və indi əvvəllər təsvir olunan alqoritmdən istifadə edərək onların fərqini asanlıqla tapa bilərik: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

Həllin qısa qeydi belə görünür: 2 9 - 1 15 \u003d 10 45 - 3 45 \u003d 10 - 3 45 \u003d 7 45.

Lazım gələrsə, nəticənin azaldılmasını və ya ondan bütöv bir hissənin seçilməsini laqeyd yanaşmayın. AT bu misal bunu etməli deyilik.

Misal 4

19 9 - 7 36 fərqini tapın.

Qərar

Şərtdə göstərilən kəsrləri ən aşağı ortaq məxrəcə 36 gətiririk və müvafiq olaraq 76 9 və 7 36 alırıq.

Cavabı nəzərdən keçiririk: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36

Nəticə 23 12 almaq üçün 3 azaldıla bilər. Paylayıcı məxrəcdən böyükdür, yəni bütün hissəni çıxara bilərik. Son cavab 1 11 12-dir.

Bütün həllin xülasəsi 19 9 - 7 36 = 1 11 12-dir.

Adi kəsrdən natural ədədi necə çıxarmaq olar

Bu hərəkət də asanlıqla sadə bir çıxma əməliyyatına endirilə bilər adi fraksiyalar. Bunu natural ədədi kəsr kimi göstərməklə etmək olar. Bir misal göstərək.

Misal 5

83 21 - 3 fərqini tapın.

Qərar

3 3 1 ilə eynidir. Sonra belə hesablaya bilərsiniz: 83 21 - 3 \u003d 20 21.

Şərtdə düzgün olmayan kəsrdən tam ədədi çıxarmaq lazımdırsa, əvvəlcə ondan tam ədədi çıxarmaq, onu qarışıq ədəd kimi yazmaq daha rahatdır. Sonra əvvəlki nümunə fərqli şəkildə həll edilə bilər.

83 21 kəsirindən tam hissəni seçdiyiniz zaman 83 21 \u003d 3 20 21 alırsınız.

İndi ondan 3-ü çıxarın: 3 20 21 - 3 = 20 21 .

Natural ədəddən kəsri necə çıxarmaq olar

Bu hərəkət əvvəlki ilə eyni şəkildə edilir: biz natural ədədi kəsr kimi yenidən yazırıq, hər ikisini ortaq məxrəcə gətiririk və fərqi tapırıq. Bunu bir misalla izah edək.

Misal 6

Fərqi tapın: 7 - 5 3 .

Qərar

7-ni 7 1-i kəsr edək. Biz çıxma əməliyyatını edirik və ondan tam hissə çıxararaq yekun nəticəni çeviririk: 7 - 5 3 = 5 1 3 .

Hesablamalar aparmağın başqa bir yolu var. Məsələdəki kəsrlərin say və məxrəclərinin çox olduğu hallarda istifadə oluna bilən bəzi üstünlüklərə malikdir.

Tərif 3

Əgər çıxılacaq kəsr düzgündürsə, onda çıxdığımız natural ədəd biri 1-ə bərabər olan iki ədədin cəmi kimi göstərilməlidir. Bundan sonra, birlikdən istədiyiniz kəsri çıxarmaq və cavabı almaq lazımdır.

Misal 7

1 065 - 13 62 fərqini hesablayın.

Qərar

Çıxarılacaq kəsr düzgündür, çünki onun payı məxrəcdən kiçikdir. Buna görə də, 1065-dən birini çıxarmalı və ondan istədiyiniz kəsri çıxarmalıyıq: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62

İndi cavabı tapmaq lazımdır. Çıxarmanın xassələrindən istifadə edərək nəticədə ifadəni 1064 + 1 - 13 62 kimi yazmaq olar. Mötərizədə fərqi hesablayaq. Bunun üçün vahidi 1 1 kəsr kimi təqdim edirik.

Belə çıxır ki, 1 - 13 62 \u003d 1 1 - 13 62 \u003d 62 62 - 13 62 \u003d 49 62.

İndi 1064-ü xatırlayaq və cavabı formalaşdıraq: 1064 49 62 .

istifadə edirik köhnə yol daha az əlverişli olduğunu sübut etmək. Budur, əldə edəcəyimiz hesablamalar:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064

Cavab eynidir, lakin hesablamalar açıq-aydın daha çətin olur.

Düzgün kəsri çıxarmaq lazım olan vəziyyəti nəzərdən keçirdik. Səhvdirsə, onu əvəz edəcəyik. qarışıq nömrə və tanış qaydalara əsasən çıxma əməllərini yerinə yetirin.

Misal 8

644 - 73 5 fərqini hesablayın.

Qərar

İkinci fraksiya düzgün deyil və bütün hissə ondan ayrılmalıdır.

İndi əvvəlki nümunəyə bənzər şəkildə hesablayırıq: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Kəsrlərlə işləyərkən çıxma xüsusiyyətləri

Natural ədədlərin çıxılmasının malik olduğu xüsusiyyətlər adi kəsrlərin çıxılması hallarına da aiddir. Nümunələri həll edərkən onlardan necə istifadə edəcəyimizi görək.

Misal 9

24 4 - 3 2 - 5 6 fərqini tapın.

Qərar

Bir ədəddən cəmin çıxılmasını təhlil edərkən oxşar nümunələri artıq həll etdik, ona görə də artıq məlum olan alqoritmə uyğun hərəkət edirik. Əvvəlcə 25 4 - 3 2 fərqini hesablayırıq, sonra ondan sonuncu fraqmenti çıxarırıq:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

Ondan tam hissəni çıxararaq cavabı çevirək. Nəticə 3 11 12-dir.

Bütün həllin qısa xülasəsi:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

İfadə həm kəsrləri, həm də natural ədədləri ehtiva edirsə, hesablama zamanı onları növlərə görə qruplaşdırmaq tövsiyə olunur.

Misal 10

98 + 17 20 - 5 + 3 5 fərqini tapın.

Qərar

Çıxma və toplamanın əsas xassələrini bilərək, ədədləri aşağıdakı kimi qruplaşdıra bilərik: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

Hesablamaları tamamlayaq: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Bu dərs toplama və çıxma işlərini əhatə edəcək. cəbri kəsrlər müxtəlif məxrəclərlə. Biz artıq müxtəlif məxrəcləri olan ümumi kəsrləri necə toplamaq və çıxarmaq lazım olduğunu bilirik. Bunun üçün kəsrləri ortaq məxrəcə endirmək lazımdır. Məlum olur ki, cəbri kəsrlər eyni qaydalara əməl edirlər. Eyni zamanda, cəbri kəsrləri ortaq məxrəcə necə azaltmağı artıq bilirik. Fərqli məxrəcli kəsrlərin toplanması və çıxılması ən vacib və ən vaciblərdən biridir çətin mövzular 8-ci sinifdə. Üstəlik, bu mövzu gələcəkdə öyrənəcəyiniz cəbr kursunun bir çox mövzularında tapılacaqdır. Dərsin bir hissəsi olaraq biz müxtəlif məxrəcli cəbri kəsrlərin toplanması və çıxılması qaydalarını öyrənəcək, həmçinin bir sıra tipik nümunələri təhlil edəcəyik.

düşünün ən sadə misal adi fraksiyalar üçün.

Misal 1 Kəsrlər əlavə edin: .

Qərar:

Kəsrlərin əlavə edilməsi qaydasını xatırlayın. Başlamaq üçün kəsrləri ümumi məxrəcə endirmək lazımdır. Adi kəsrlərin ortaq məxrəci belədir ən az ümumi çoxluq(LCM) orijinal məxrəclərin.

Tərif

Həm ədədlərə, həm də rəqəmlərə bölünən ən kiçik natural ədəd.

LCM-i tapmaq üçün məxrəcləri genişləndirmək lazımdır əsas amillər, və sonra hər iki məxrəcin genişlənməsinə daxil olan bütün əsas amilləri seçin.

; . Onda ədədlərin LCM-inə iki 2 və iki 3 daxil edilməlidir: .

Ümumi məxrəci tapdıqdan sonra kəsrlərin hər biri üçün əlavə əmsal tapmaq lazımdır (əslində ümumi məxrəci müvafiq kəsrin məxrəcinə bölmək).

Sonra hər bir fraksiya yaranan əlavə əmsala vurulur. Əvvəlki dərslərdə toplama və çıxarmağı öyrəndiyimiz eyni məxrəcli kəsrləri alırıq.

Biz əldə edirik: .

Cavab:.

İndi müxtəlif məxrəcləri olan cəbri fraksiyaların əlavə edilməsini nəzərdən keçirək. Əvvəlcə məxrəcləri ədədlər olan kəsrləri nəzərdən keçirin.

Misal 2 Kəsrlər əlavə edin: .

Qərar:

Həll alqoritmi əvvəlki nümunəyə tamamilə bənzəyir. Bu kəsrlər üçün ortaq məxrəc tapmaq asandır: və onların hər biri üçün əlavə amillər.

.

Cavab:.

Beləliklə, formalaşdıraq müxtəlif məxrəcli cəbri kəsrlərin əlavə və çıxılması alqoritmi:

1. Kəsrin ən kiçik ortaq məxrəcini tapın.

2. Kəsirin hər biri üçün əlavə əmsalları tapın (ümumi məxrəci bu kəsrin məxrəcinə bölməklə).

3. Sayları müvafiq əlavə amillərlə çarpın.

4. Eyni məxrəcli kəsrlərin toplanması və çıxılması qaydalarından istifadə edərək kəsrləri əlavə və ya çıxın.

İndi məxrəcində hərfi ifadələr olan kəsrlərlə bir nümunəyə baxaq.

Misal 3 Kəsrlər əlavə edin: .

Qərar:

Hər iki məxrəcdə hərfi ifadələr eyni olduğundan, siz ədədlər üçün ortaq məxrəc tapmalısınız. Son ortaq məxrəc belə görünəcək: . Beləliklə, bu nümunənin həlli belədir:

Cavab:.

Misal 4 Kəsrləri çıxarın: .

Qərar:

Əgər ümumi məxrəci seçərkən “aldada” bilmirsinizsə (onu faktorlara ayıra və ya qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə edə bilməzsiniz), onda hər iki fraksın məxrəclərinin hasilini ortaq məxrəc kimi götürməlisiniz.

Cavab:.

Ümumiyyətlə, qərar verərkən oxşar nümunələr, ən çətin iş ortaq məxrəci tapmaqdır.

Daha mürəkkəb bir nümunəyə baxaq.

Misal 5 Sadələşdirin: .

Qərar:

Ortaq məxrəci taparkən əvvəlcə ilkin fraksiyaların məxrəclərini faktorlara ayırmağa çalışmaq lazımdır (ortaq məxrəci sadələşdirmək üçün).

Bu xüsusi halda:

Onda ortaq məxrəci müəyyən etmək asandır: .

Əlavə amilləri müəyyənləşdiririk və bu nümunəni həll edirik:

Cavab:.

İndi biz müxtəlif məxrəcləri olan kəsrlərin toplanması və çıxılması qaydalarını düzəldəcəyik.

Misal 6 Sadələşdirin: .

Qərar:

Cavab:.

Misal 7 Sadələşdirin: .

Qərar:

.

Cavab:.

İndi iki deyil, üç fraksiyanın əlavə olunduğu bir nümunəyə nəzər salın (hər şeydən sonra toplama və çıxma qaydaları daha çox kəsrlər eyni qalır).

Misal 8 Sadələşdirin: .

uşağınız gətirdi ev tapşırığı məktəbdən və siz bunu necə həll edəcəyinizi bilmirsiniz? O zaman bu mini dərslik sizin üçündür!

Onluqları necə əlavə etmək olar

Sütunda onluq kəsrlər əlavə etmək daha rahatdır. Əlavə etmək üçün onluq kəsrlər bir sadə qaydaya əməl etməlisiniz:

• Rəqəm rəqəmin altında, vergül isə vergül altında olmalıdır.

Nümunədə gördüyünüz kimi bütöv vahidlər bir-birinin altında, onda və yüzdə biri bir-birinin altındadır. İndi vergülü nəzərə almadan nömrələri əlavə edirik. Vergüllə nə etməli? Vergül tam ədədlərin boşalmasında dayandığı yerə köçürülür.

Məxrəcləri bərabər olan kəsrlərin əlavə edilməsi

Ümumi məxrəclə toplamanı yerinə yetirmək üçün məxrəci dəyişmədən saxlamaq, sayların cəmini tapmaq və ümumi məbləğ olacaq kəsr almaq lazımdır.

Ümumi çoxluğu tapmaqla müxtəlif məxrəcli kəsrlərin əlavə edilməsi

Diqqət edilməli olan ilk şey məxrəclərdir. Məxrəclər müxtəlifdir, bir-birinə bölünmürlər, elə deyilmi sadə ədədlər. Əvvəlcə bir ortaq məxrəcə gətirməlisiniz, bunun bir neçə yolu var:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, bu nümunəni həll etmək üçün 2 məxrəcə bölünəcək ən kiçik ümumi çoxluğu (LCM) tapmalıyıq. a və b-nin ən kiçik qatını işarələmək üçün - LCM (a; b). Bu misalda LCM (3;4)=12. Yoxlayın: 12:3=4; 12:4=3.
• Faktorları çoxaldırıq və nəticədə çıxan ədədləri əlavə edirik, 13/12 alırıq - düzgün olmayan fraksiya.

• Düzgün olmayan kəsri uyğun kəsrə çevirmək üçün payı məxrəcə bölürük, 1 tam ədədini, qalan 1 ədədi, 12 isə məxrəci alırıq.

Çarpaz vurmadan istifadə edərək kəsrlərin əlavə edilməsi

Fərqli məxrəcləri olan kəsrləri əlavə etmək üçün "çarpaz çarpaz" düsturuna görə başqa bir yol var. Bu, məxrəcləri bərabərləşdirmək üçün zəmanətli bir yoldur, bunun üçün sayları bir kəsrin məxrəci ilə və əksinə çoxaltmalısınız. Əgər yalnız varsa ilkin mərhələ kəsrləri öyrənmək, onda bu üsul ən asan və ən dəqiqdir, müxtəlif məxrəcləri olan kəsrləri əlavə edərkən düzgün nəticəni necə əldə etmək olar.

Tutaq ki, Axilles tısbağadan on dəfə tez qaçır və ondan min addım arxadadır. Axilles bu məsafəni qət etdiyi müddətdə tısbağa eyni istiqamətdə yüz addım sürünür. Axilles yüz addım qaçanda, tısbağa daha on addım sürünəcək və s. Proses sonsuza qədər davam edəcək, Axilles heç vaxt tısbağaya yetişməyəcək.

Bu mülahizə bütün sonrakı nəsillər üçün məntiqi sarsıntıya çevrildi. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Hamısı bu və ya digər şəkildə Zenon aporiyalarını hesab edirdilər. Sarsıntı o qədər güclü idi ki, " ... hazırda müzakirələr davam edir, elmi ictimaiyyət hələ də paradoksların mahiyyəti haqqında ortaq fikrə gələ bilməmişdir ... riyazi analiz, çoxluq nəzəriyyəsi, yeni fiziki və fəlsəfi yanaşmalar; onların heç biri problemin hamı tərəfindən qəbul edilmiş həlli olmadı..."[Vikipediya," Zenon's Aporias "]. Hər kəs aldandıqlarını başa düşür, amma aldatmağın nə olduğunu heç kim başa düşmür.

Riyaziyyat nöqteyi-nəzərindən Zenon öz aporiyasında dəyərdən qiymətə keçidi aydın şəkildə nümayiş etdirmişdir. Bu keçid sabitlərin yerinə tətbiq etməyi nəzərdə tutur. Mən başa düşdüyüm kimi, dəyişən ölçü vahidlərinin tətbiqi üçün riyazi aparat ya hələ işlənib hazırlanmayıb, ya da Zenon aporiyasına tətbiq edilməyib. Adi məntiqimizin tətbiqi bizi tələyə salır. Biz, təfəkkür ətaləti ilə, qarşılıqlı zamanın sabit vahidlərini tətbiq edirik. Fiziki nöqteyi-nəzərdən bu, Axillesin tısbağaya yetişdiyi anda tamamilə dayanana qədər zamanın yavaşlaması kimi görünür. Zaman dayansa, Axilles daha tısbağanı keçə bilməz.

Adət etdiyimiz məntiqi döndərsək, hər şey öz yerinə düşür. Axilles sabit sürətlə qaçır. Yolunun hər bir sonrakı seqmenti əvvəlkindən on dəfə qısadır. Müvafiq olaraq, onu aradan qaldırmaq üçün sərf olunan vaxt əvvəlkindən on dəfə azdır. Bu vəziyyətdə “sonsuzluq” anlayışını tətbiq etsək, o zaman “Axilles sonsuz sürətlə tısbağanı keçəcək” demək düzgün olardı.

Bu məntiqi tələdən necə qaçmaq olar? Sabit zaman vahidlərində qalın və qarşılıqlı dəyərlərə keçməyin. Zenon dili ilə desək, belə görünür:

Axillesə min addım qaçması lazım olan müddətdə, tısbağa eyni istiqamətdə yüz addım sürünür. Növbəti vaxt intervalında birinciyə bərabər olan Axilles daha min addım qaçacaq, tısbağa isə yüz addım sürünəcək. İndi Axilles tısbağadan səkkiz yüz addım qabaqdadır.

Bu yanaşma heç bir məntiqi paradoks olmadan reallığı adekvat şəkildə təsvir edir. Lakin bu problemin tam həlli deyil. Eynşteynin işıq sürətinin keçilməzliyi ilə bağlı dediyi Zenonun “Axilles və tısbağa” aporiyasına çox bənzəyir. Bu problemi hələ öyrənməli, yenidən düşünməli və həll etməliyik. Və həlli sonsuz sayda deyil, ölçü vahidlərində axtarmaq lazımdır.

Zenonun başqa bir maraqlı aporiyası da uçan oxdan bəhs edir:

Uçan ox hərəkətsizdir, çünki zamanın hər anında dincəlməkdədir və hər an istirahətdə olduğu üçün həmişə sükunətdədir.

Bu aporiyada məntiqi paradoks çox sadə şəkildə aradan qaldırılır - hər an uçan oxun kosmosun müxtəlif nöqtələrində sükunətdə olduğunu aydınlaşdırmaq kifayətdir ki, bu da əslində hərəkətdir. Burada başqa bir məqamı da qeyd etmək lazımdır. Yolda olan bir avtomobilin bir fotoşəkilindən onun nə hərəkət faktını, nə də ona olan məsafəni müəyyən etmək mümkün deyil. Avtomobilin hərəkət faktını müəyyən etmək üçün eyni nöqtədən müxtəlif vaxtlarda çəkilmiş iki fotoşəkil lazımdır, lakin məsafəni müəyyən etmək üçün istifadə edilə bilməz. Avtomobilə olan məsafəni müəyyən etmək üçün çəkilmiş iki fotoşəkil lazımdır fərqli nöqtələr zamanın bir nöqtəsində boşluq, lakin onlardan hərəkət faktını müəyyən etmək mümkün deyil (təbii ki, hesablamalar üçün əlavə məlumatlar hələ də lazımdır, triqonometriya sizə kömək edəcəkdir). Nəyə diqqət etmək istəyirəm Xüsusi diqqət, zamanın iki nöqtəsi və kosmosdakı iki nöqtənin fərqli şeylər olduğunu qarışdırmaq olmaz, çünki onlar kəşfiyyat üçün müxtəlif imkanlar verir.

Çərşənbə, 4 iyul 2018-ci il

Çox yaxşı dəst və multiset arasındakı fərqlər Vikipediyada təsvir edilmişdir. baxırıq.

Gördüyünüz kimi, "çoxluqda iki eyni element ola bilməz", lakin çoxluqda eyni elementlər varsa, belə çoxluğa "multiset" deyilir. Ağıllı varlıqlar heç vaxt bu cür absurd məntiqi başa düşməyəcəklər. Bu, danışan tutuquşuların və öyrədilmiş meymunların səviyyəsidir, burada ağıl "tamamilə" sözündən məhrumdur. Riyaziyyatçılar adi təlimçilər kimi çıxış edərək öz absurd fikirlərini bizə təbliğ edirlər.

Bir vaxtlar körpünü inşa edən mühəndislər körpünün sınaqları zamanı körpünün altında qayıqda olublar. Körpü dağılırsa, orta səviyyəli mühəndis yaratdığının dağıntıları altında ölür. Əgər körpü yükə tab gətirə bilsəydi, istedadlı mühəndis başqa körpülər də tikdi.

Riyaziyyatçılar “mənə fikir ver, mən evdəyəm”, daha doğrusu, “riyaziyyat mücərrəd anlayışları öyrənir” ifadəsinin arxasında nə qədər gizlənsələr də, onları reallıqla qırılmaz şəkildə bağlayan bir göbək bağı var. Bu göbək bağı puldur. Uyğundur riyazi nəzəriyyə riyaziyyatçıların özlərinə təyin edir.

Riyaziyyatı çox yaxşı oxumuşuq, indi də kassada oturub maaş veririk. Burada bir riyaziyyatçı pulu üçün bizə gəlir. Bütün məbləği ona hesablayırıq və masamıza eyni nominallı əskinaslar qoyduğumuz müxtəlif yığınlara qoyuruq. Sonra hər qalaqdan bir veksel götürüb riyaziyyatçıya onun “riyazi maaş dəstini” veririk. Biz riyaziyyatı izah edirik ki, o, yalnız eyni elementləri olmayan çoxluğun eyni elementli çoxluğa bərabər olmadığını sübut etdikdə qalıqları alacaq. Əyləncə burada başlayır.

İlk növbədə deputatların məntiqi işləyəcək: “siz bunu başqalarına tətbiq edə bilərsiniz, mənə yox!”. Bundan əlavə, eyni nominallı əskinasların üzərində müxtəlif əskinas nömrələrinin olması ilə bağlı təminatlar başlayacaq ki, bu da onların eyni elementlər sayıla bilməyəcəyi deməkdir. Yaxşı, maaşı sikkələrlə hesablayırıq - sikkələrdə rəqəmlər yoxdur. Burada riyaziyyatçı fizikanı konvulsiv şəkildə xatırlamağa başlayacaq: müxtəlif sikkələrdə var fərqli məbləğ Hər sikkənin çirki, kristal quruluşu və atom düzülüşü unikaldır...

İndi ən çox məndə var maraq Soruş: çoxlu çoxluğun elementlərinin çoxluğun elementlərinə və əksinə çevrildiyi sərhəd haradadır? Belə bir xətt yoxdur - hər şeyi şamanlar həll edir, burada elm yaxın deyil.

Bura baxın. Biz eyni sahəyə malik futbol stadionlarını seçirik. Sahələrin sahəsi eynidir, yəni bizim multisetimiz var. Amma eyni stadionların adlarını nəzərə alsaq, adları fərqli olduğu üçün çox şey əldə edirik. Gördüyünüz kimi, eyni elementlər dəsti eyni zamanda həm çoxluq, həm də multisetdir. Necə doğru? Və burada riyaziyyatçı-şaman-şuller qolundan bir kozır çıxarır və bizə ya dəst, ya da multiset haqqında danışmağa başlayır. Hər halda o, bizi haqlı olduğuna inandıracaq.

Müasir şamanların çoxluq nəzəriyyəsi ilə necə işlədiyini, onu reallığa bağladığını başa düşmək üçün bir suala cavab vermək kifayətdir: bir çoxluğun elementləri digər çoxluğun elementlərindən nə ilə fərqlənir? Mən sizə heç bir "tək bir bütöv olaraq düşünülə bilməz" və ya "tək bir bütöv olaraq düşünülə bilməz" olmadan göstərəcəyəm.

Bazar günü, 18 mart 2018-ci il

Ədədin rəqəmlərinin cəmi riyaziyyatla heç bir əlaqəsi olmayan şamanların qavalla rəqsidir. Bəli, riyaziyyat dərslərində bizə ədədin rəqəmlərinin cəmini tapıb ondan istifadə etməyi öyrədirlər, lakin onlar bunun üçün şamandırlar, öz nəslinə öz bacarıqlarını, hikmətlərini öyrətmək, əks halda şamanlar sadəcə olaraq öləcəklər.

Sizə sübut lazımdır? Vikipediyanı açın və "Rəqəmlərin cəmi" səhifəsini tapmağa çalışın. O, mövcud deyil. Riyaziyyatda hər hansı bir ədədin rəqəmlərinin cəmini tapa biləcəyiniz düstur yoxdur. Axı rəqəmlər rəqəmləri yazdığımız qrafik simvollardır və riyaziyyatın dilində tapşırıq belə səslənir: “İstənilən rəqəmi təmsil edən qrafik simvolların cəmini tapın”. Riyaziyyatçılar bu problemi həll edə bilməzlər, lakin şamanlar bunu elementar şəkildə edə bilərlər.

Verilmiş ədədin rəqəmlərinin cəmini tapmaq üçün nə və necə etdiyimizi anlayaq. Beləliklə, tutaq ki, bizdə 12345 rəqəmi var. Bu ədədin rəqəmlərinin cəmini tapmaq üçün nə etmək lazımdır? Bütün addımları ardıcıllıqla nəzərdən keçirək.

1. Nömrəni bir kağız parçasına yazın. Biz nə etmişik? Biz rəqəmi rəqəmin qrafik simvoluna çevirdik. Bu riyazi əməliyyat deyil.

2. Alınan bir şəkli ayrı-ayrı nömrələrdən ibarət bir neçə şəkilə kəsdik. Şəklin kəsilməsi riyazi əməliyyat deyil.

3. Fərdi qrafik simvolları rəqəmlərə çevirin. Bu riyazi əməliyyat deyil.

4. Yaranan ədədləri toplayın. İndi bu riyaziyyatdır.

12345 rəqəminin rəqəmlərinin cəmi 15-dir. Bunlar riyaziyyatçıların istifadə etdiyi şamanlardan olan “kəsmə və tikiş kursları”dır. Ancaq bu hamısı deyil.

Riyaziyyat nöqteyi-nəzərindən ədədi hansı say sistemində yazmağımızın fərqi yoxdur. Beləliklə, in müxtəlif sistemlər hesablasaq, eyni ədədin rəqəmlərinin cəmi fərqli olacaq. Riyaziyyatda say sistemi rəqəmin sağında alt işarə kimi göstərilir. ilə böyük rəqəm 12345 Başımı aldatmaq istəmirəm, məqalədəki 26 nömrəsini düşünün. Bu ədədi ikilik, səkkizlik, onluq və onaltılıq say sistemlərində yazaq. Biz hər bir addımı mikroskop altında nəzərdən keçirməyəcəyik, biz bunu artıq etmişik. Nəticəyə baxaq.

Göründüyü kimi müxtəlif say sistemlərində eyni ədədin rəqəmlərinin cəmi fərqli olur. Bu nəticənin riyaziyyatla heç bir əlaqəsi yoxdur. Sanki düzbucaqlının sahəsini metr və santimetrlə tapmaq sizə tamamilə fərqli nəticələr verəcəkdir.

Bütün say sistemlərində sıfır eyni görünür və rəqəmlərin cəmi yoxdur. Bu faktın lehinə başqa bir arqumentdir. Riyaziyyatçılara sual: ədəd olmayan riyaziyyatda necə işarələnir? Riyaziyyatçılar üçün rəqəmlərdən başqa heç nə yoxdur? Şamanlar üçün buna icazə verə bilərəm, elm adamları üçün isə yox. Reallıq təkcə rəqəmlərdən ibarət deyil.

Alınan nəticə say sistemlərinin ədədlərin ölçü vahidləri olduğuna sübut kimi qəbul edilməlidir. Axı biz ədədləri müxtəlif ölçü vahidləri ilə müqayisə edə bilmərik. Eyni kəmiyyətin müxtəlif ölçü vahidləri ilə eyni hərəkətlər gətirib çıxarırsa fərqli nəticələr onları müqayisə etdikdən sonra riyaziyyatla heç bir əlaqəsi yoxdur.

Əsl riyaziyyat nədir? Nəticə budur riyazi hərəkətədədin dəyərindən, istifadə olunan ölçü vahidindən və bu hərəkəti kimin yerinə yetirməsindən asılı deyil.

vay! Bura qadın tualeti deyilmi?
- Gənc qadın! Bu, göyə qalxarkən ruhların qeyri-müəyyən müqəddəsliyini öyrənmək üçün laboratoriyadır! Nimbus yuxarıda və yuxarı ox. Başqa hansı tualet?

Qadın... Üstündəki halo və aşağı ox kişidir.

Əgər gündə bir neçə dəfə gözünüzün önündə belə bir dizayn sənətiniz varsa,

Sonra birdən avtomobilinizdə qəribə bir simvol tapmağınız təəccüblü deyil:

Şəxsən mən öz üzərimdə çalışıram ki, nəcis edən adamda mənfi dörd dərəcə görüm (bir şəkil) (bir neçə şəklin tərkibi: mənfi işarə, dörd rəqəm, dərəcə təyinatı). Mən isə bu qızı fizika bilməyən axmaq hesab etmirəm. O, sadəcə olaraq qrafik təsvirlərin qavranılmasının qövs stereotipinə malikdir. Riyaziyyatçılar bunu bizə hər zaman öyrədirlər. Budur bir nümunə.

1A "mənfi dörd dərəcə" və ya "bir a" deyil. Bu, onaltılıq say sistemində "pooping man" və ya "iyirmi altı" rəqəmidir. Daim bu say sistemində işləyən insanlar avtomatik olaraq rəqəmi və hərfi bir qrafik simvol kimi qəbul edirlər.