Ehtimal nəzəriyyəsi riyaziyyatın yalnız ali təhsil müəssisələrinin tələbələri tərəfindən öyrənilən xüsusi bir sahəsidir. Siz hesablamaları və düsturları sevirsiniz? Normal paylanma, ansambl entropiyası, riyazi gözlənti və diskret dispersiya ilə tanışlıq perspektivlərindən qorxmursunuz. təsadüfi dəyişən? O zaman bu mövzu sizin üçün çox maraqlı olacaq. Elmin bu bölməsinin ən mühüm əsas anlayışlarından bəziləri ilə tanış olaq.
Əsasları xatırlayaq
Ehtimal nəzəriyyəsinin ən sadə anlayışlarını xatırlasanız belə, məqalənin ilk bəndlərini nəzərdən qaçırmayın. Fakt budur ki, əsasları dəqiq başa düşmədən, aşağıda müzakirə olunan düsturlarla işləyə bilməyəcəksiniz.
Beləliklə, təsadüfi bir hadisə, bəzi təcrübə var. Görülən hərəkətlər nəticəsində bir neçə nəticə əldə edə bilərik - onlardan bəziləri daha çox yayılmışdır, digərləri isə daha azdır. Hadisənin baş vermə ehtimalı bir növdən faktiki alınan nəticələrin sayına nisbətidir ümumi sayı mümkündür. Yalnız bu anlayışın klassik tərifini bilməklə, fasiləsiz təsadüfi dəyişənlərin riyazi gözləntilərini və dispersiyasını öyrənməyə başlaya bilərsiniz.
Orta
Hələ məktəbdə, riyaziyyat dərslərində arifmetik orta ilə işləməyə başladın. Bu konsepsiya ehtimal nəzəriyyəsində geniş istifadə olunur və buna görə də onu nəzərdən qaçırmaq olmaz. Bizim üçün əsas olan Bu an təsadüfi dəyişənin riyazi gözlənti və dispersiya düsturlarında onunla qarşılaşacağımızdır.
Ədədlər ardıcıllığımız var və arifmetik ortanı tapmaq istəyirik. Bizdən tələb olunan hər şey mövcud olan hər şeyi cəmləmək və ardıcıllıqla elementlərin sayına bölməkdir. 1-dən 9-a kimi ədədlərimiz olsun.Elementlərin cəmi 45 olacaq və bu dəyəri 9-a böləcəyik.Cavab:- 5.
Dispersiya
danışır elmi dil, dispersiya əldə edilmiş xüsusiyyət qiymətlərinin arifmetik ortadan kənarlaşmalarının orta kvadratıdır. Biri böyük latın D hərfi ilə işarələnir. Onu hesablamaq üçün nə lazımdır? Ardıcıllığın hər bir elementi üçün mövcud ədədlə arifmetik orta arasındakı fərqi hesablayırıq və kvadratını çəkirik. Nəzərdən keçirdiyimiz hadisə üçün nəticələr ola biləcək qədər çox dəyər olacaq. Sonra, alınan hər şeyi ümumiləşdiririk və ardıcıllıqdakı elementlərin sayına bölürük. Əgər beş mümkün nəticəmiz varsa, onda beşə bölün.
Variasiya həmçinin problemləri həll edərkən tətbiq etmək üçün yadda saxlamalı olduğunuz xüsusiyyətlərə malikdir. Məsələn, təsadüfi dəyişən X dəfə artırsa, dispersiya kvadratdan X dəfə artır (yəni X*X). O, heç vaxt sıfırdan azdır və dəyərlərin bərabər dəyərlə yuxarı və ya aşağı yerdəyişməsindən asılı deyil. Həmçinin, müstəqil sınaqlar üçün cəmin dispersiyası dispersiyaların cəminə bərabərdir.
İndi biz mütləq diskret təsadüfi kəmiyyətin dispersiyasına və riyazi gözləntiyə dair nümunələri nəzərdən keçirməliyik.
Tutaq ki, biz 21 təcrübə keçirdik və 7 fərqli nəticə əldə etdik. Onların hər birini müvafiq olaraq 1,2,2,3,4,4 və 5 dəfə müşahidə etdik. Fərq nə olacaq?
Əvvəlcə arifmetik ortanı hesablayırıq: elementlərin cəmi, təbii ki, 21-dir. Biz onu 7-yə bölürük, 3-ü alırıq. İndi orijinal ardıcıllıqla hər nömrədən 3-ü çıxarırıq, hər bir dəyərin kvadratını alırıq və nəticələri birlikdə əlavə edirik. . Belə çıxır ki, 12. İndi bizə nömrəni elementlərin sayına bölmək qalır və deyəsən, hamısı budur. Ancaq bir tutma var! Gəlin bunu müzakirə edək.
Təcrübələrin sayından asılılıq
Belə çıxır ki, dispersiya hesablanarkən məxrəc iki ədəddən biri ola bilər: ya N, ya da N-1. Burada N yerinə yetirilən təcrübələrin sayı və ya ardıcıllıqdakı elementlərin sayıdır (bu, mahiyyətcə eyni şeydir). Bu nədən asılıdır?
Əgər testlərin sayı yüzlərlə ölçülürsə, o zaman məxrəcə N qoymalıyıq, vahidlərlədirsə, N-1. Alimlər sərhədi kifayət qədər simvolik şəkildə çəkmək qərarına gəldilər: bu gün o, 30 rəqəmi boyunca uzanır. Əgər biz 30-dan az təcrübə aparmışıqsa, onda məbləği N-1-ə, daha çox olarsa, N-ə böləcəyik.
Bir tapşırıq
Gəlin dispersiya və gözləmə probleminin həlli nümunəmizə qayıdaq. N və ya N-1-ə bölünməli olan 12 aralıq nömrəsini aldıq. 30-dan az olan 21 təcrübə apardığımız üçün ikinci variantı seçəcəyik. Cavab belədir: dispersiya 12/2 = 2-dir.
Gözlənilən dəyər
Bu məqalədə nəzərdən keçirməli olduğumuz ikinci konsepsiyaya keçək. Gözlənilən dəyər bütün mümkün nəticələrin müvafiq ehtimallara vurulan cəmidir. Nəticələrin sayının, eləcə də dispersiyanın hesablanmasının nəticəsinin nə qədər nəticəni nəzərə almasından asılı olmayaraq, bütün tapşırıq üçün yalnız bir dəfə alındığını başa düşmək vacibdir.
Riyazi gözlənti düsturu olduqca sadədir: biz nəticəni götürürük, onun ehtimalına vururuq, ikinci, üçüncü nəticə üçün eynisini əlavə edirik və s. Bu konsepsiya ilə bağlı hər şeyi hesablamaq asandır. Məsələn, riyazi gözləntilərin cəmi cəminin riyazi gözləntisinə bərabərdir. Eyni şey iş üçün də keçərlidir. Ehtimal nəzəriyyəsindəki hər kəmiyyət belə sadə əməliyyatları yerinə yetirməyə imkan vermir. Tapşırığı götürək və eyni anda öyrəndiyimiz iki anlayışın dəyərini hesablayaq. Bundan əlavə, biz nəzəriyyə ilə diqqətimizi yayındırırdıq - təcrübə etmək vaxtıdır.
Daha bir misal
Biz 50 sınaq keçirdik və müxtəlif faizlərdə görünən 10 növ nəticə əldə etdik - 0-dan 9-a qədər. Bunlar müvafiq olaraq: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Xatırladaq ki, ehtimalları əldə etmək üçün faiz dəyərlərini 100-ə bölmək lazımdır. Beləliklə, biz 0,02 alırıq; 0.1 və s. Təsadüfi kəmiyyətin dispersiyasına və riyazi gözləntiyə dair məsələnin həlli nümunəsini təqdim edək.
İbtidai məktəbdən xatırladığımız düsturdan istifadə edərək arifmetik orta hesablayırıq: 50/10 = 5.
İndi hesablamağı daha rahat etmək üçün ehtimalları nəticələrin sayına "parça şəklində" çevirək. 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 və 9 alırıq. Alınan hər bir dəyərdən arifmetik ortanı çıxarırıq, bundan sonra əldə edilən nəticələrin hər birinin kvadratını alırıq. Nümunə olaraq birinci elementlə bunu necə edəcəyinə baxın: 1 - 5 = (-4). Əlavə: (-4) * (-4) = 16. Digər dəyərlər üçün bu əməliyyatları özünüz edin. Hər şeyi düzgün etmisinizsə, hər şeyi əlavə etdikdən sonra 90 alırsınız.
90-ı N-ə bölməklə dispersiyanı və ortanı hesablamağa davam edək. Nə üçün biz N-1 deyil, N-ni seçirik? Düzdü, çünki aparılan təcrübələrin sayı 30-u keçir. Beləliklə: 90/10 = 9. Biz dispersiyanı əldə etdik. Fərqli bir nömrə alsanız, ümidsiz olmayın. Çox güman ki, hesablamalarda banal səhv etdiniz. Yazdıqlarınızı iki dəfə yoxlayın və əmin olun ki, hər şey öz yerinə düşəcək.
Nəhayət, riyazi gözləmə düsturunu xatırlayaq. Bütün hesablamaları verməyəcəyik, yalnız bütün tələb olunan prosedurları yerinə yetirdikdən sonra yoxlaya biləcəyiniz cavabı yazacağıq. Gözlənilən dəyər 5.48 olacaq. Biz yalnız ilk elementlərin nümunəsindən istifadə edərək əməliyyatların necə aparılacağını xatırlayırıq: 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... və s. Göründüyü kimi, biz sadəcə olaraq nəticənin dəyərini onun ehtimalına vururuq.
Sapma
Dispersiya və riyazi gözlənti ilə yaxından əlaqəli başqa bir anlayış standart kənarlaşmadır. O, ya latın hərfləri ilə sd, ya da yunanca kiçik "sigma" ilə işarələnir. Bu konsepsiya dəyərlərin mərkəzi xüsusiyyətdən orta hesabla necə kənara çıxdığını göstərir. Onun dəyərini tapmaq üçün hesablamaq lazımdır Kvadrat kök dispersiyadan.
Əgər siz normal paylanma planını tərtib edirsinizsə və kvadrat kənarı birbaşa onun üzərində görmək istəyirsinizsə, bu bir neçə addımda edilə bilər. Şəklin yarısını rejimin soluna və ya sağına çəkin (mərkəzi dəyər), üfüqi oxa perpendikulyar çəkin ki, yaranan fiqurların sahələri bərabər olsun. Paylanmanın ortası ilə üfüqi oxda yaranan proyeksiya arasındakı seqmentin dəyəri standart sapma olacaqdır.
Proqram təminatı
Düsturların təsvirindən və təqdim olunan nümunələrdən göründüyü kimi, dispersiya və riyazi gözləntilərin hesablamaları ən çox deyil. sadə prosedur arifmetik baxımdan. Vaxt itirməmək üçün daha yüksəklərdə istifadə olunan proqramı istifadə etmək məna kəsb edir təhsil müəssisələri- "R" adlanır. Statistika və ehtimal nəzəriyyəsindən bir çox anlayışlar üçün dəyərləri hesablamağa imkan verən funksiyalara malikdir.
Məsələn, siz dəyərlər vektorunu təyin edirsiniz. Bu aşağıdakı kimi edilir: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Nəhayət
Dispersiya və riyazi gözləntilər bunlar olmadan gələcəkdə nəyisə hesablamaq çətindir. Universitetlərdə mühazirələrin əsas kursunda onlar artıq mövzunun öyrənilməsinin ilk aylarında nəzərdən keçirilir. Məhz bu sadə məfhumları başa düşmədiklərinə və onları hesablaya bilməmələrinə görə bir çox tələbələr proqramdan dərhal geri qalmağa başlayır və sonradan sessiyada zəif qiymətlər alırlar ki, bu da onları təqaüddən məhrum edir.
Ən azı bir həftə gündə yarım saat məşq edin, bu məqalədə təqdim olunanlara bənzər tapşırıqları həll edin. Sonra, hər hansı bir ehtimal nəzəriyyəsi testində, kənar məsləhətlər və fırıldaq vərəqləri olmadan nümunələrin öhdəsindən gələcəksiniz.
Təsadüfi dəyişən hər bir test nəticəsində təsadüfi səbəblərdən asılı olaraq əvvəllər bilinməyən bir qiymət alan dəyişən adlanır. Təsadüfi dəyişənlər böyük Latın hərfləri ilə işarələnir: $X,\ Y,\ Z,\ \nöqtələr $ Növlərinə görə təsadüfi dəyişənlər ola bilər. diskret və davamlı.
Diskret təsadüfi dəyişən- bu belə bir təsadüfi dəyişəndir, onun dəyərləri hesablana biləndən çox ola bilməz, yəni sonlu və ya hesablana biləndir. Hesablanabilirlik təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin sadalana biləcəyini bildirir.
Misal 1 . Diskret təsadüfi dəyişənlərə misallar verək:
a) $n$ atışları ilə hədəfə vurulan vuruşların sayı, burada mümkün dəyərlər $0,\ 1,\\nöqtələr,\n$-dır.
b) sikkə atarkən düşmüş gerblərin sayı, burada mümkün dəyərlər $0,\ 1,\\nöqtələr,\n$-dır.
c) göyərtəyə çıxan gəmilərin sayı (hesablana bilən dəyərlər toplusu).
d) mübadilə məntəqəsinə gələn zənglərin sayı (hesablana bilən dəyərlər toplusu).
1. Diskret təsadüfi kəmiyyətin ehtimal paylanması qanunu.
Diskret təsadüfi dəyişən $X$ $x_1,\nöqtələr,\ x_n$ qiymətlərini $p\left(x_1\sağ),\ \nöqtələr,\ p\left(x_n\sağ)$ ehtimalları ilə qəbul edə bilər. Bu dəyərlər və onların ehtimalları arasındakı uyğunluq deyilir diskret təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu. Bir qayda olaraq, bu uyğunluq cədvəldən istifadə etməklə müəyyən edilir, onun birinci sətirində $x_1,\nöqtələr,\x_n$ dəyərləri, ikinci sətirdə isə bu dəyərlərə uyğun gələn ehtimallar $-dır. p_1,\nöqtələr,\ p_n$.
$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \nöqtələr & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \nöqtələr & p_n \\
\hline
\end(massiv)$
Misal 2 . $X$ təsadüfi dəyişəni zər atıldıqda atılan xalların sayı olsun. Belə təsadüfi dəyişən $X$ aşağıdakı dəyərləri qəbul edə bilər: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Bütün bu dəyərlərin ehtimalları $1/6$-a bərabərdir. Sonra $X$ təsadüfi dəyişəni üçün ehtimal paylanması qanunu:
$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\hline
\end(massiv)$
Şərh. $1,\ 2,\ \nöqtələr,\ 6$ hadisələri $X$ diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanununda hadisələrin tam qrupunu təşkil etdiyinə görə, ehtimalların cəmi birə bərabər olmalıdır, yəni $\sum( p_i)=1$.
2. Diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntiləri.
Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri onun "mərkəzi" dəyərini müəyyən edir. Diskret təsadüfi dəyişən üçün riyazi gözlənti $x_1,\nöqtələr,\ x_n$ qiymətlərinin və bu qiymətlərə uyğun gələn $p_1,\nöqtələr,\ p_n$ ehtimallarının məhsullarının cəmi kimi hesablanır, yəni: $M\sol(X\sağ)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. İngilis ədəbiyyatında başqa $E\left(X\right)$ qeydindən istifadə olunur.
Gözləmə xüsusiyyətləri$M\sol(X\sağ)$:
- $M\left(X\right)$ $X$ təsadüfi dəyişənin ən kiçik və ən böyük dəyərləri arasındadır.
- Sabitin riyazi gözləntisi sabitin özünə bərabərdir, yəni. $M\sol(C\sağ)=C$.
- Sabit amili gözləmə işarəsindən çıxarmaq olar: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
- Təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
- Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.
Misal 3 . $2$ misalından $X$ təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini tapaq.
$$M\sol(X\sağ)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\(6) üzərində)+2\cdot ((1)\(6) üzərində )+3\cdot ((1)\(6)-dan çox)+4\cdot ((1)\(6) üzərində)+5\cdot ((1)\(6) üzərində)+6\cdot ((1) )\ artıq (6))=3,5.$$
Görə bilərik ki, $M\left(X\right)$ $X$ təsadüfi dəyişənin ən kiçik ($1$) və ən böyük ($6$) qiymətləri arasındadır.
Misal 4 . Məlumdur ki, $X$ təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntisi $M\left(X\right)=2$-a bərabərdir. $3X+5$ təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini tapın.
Yuxarıdakı xassələrdən istifadə edərək $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ alırıq. cdot 2 +5=11$.
Misal 5 . Məlumdur ki, $X$ təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntisi $M\left(X\right)=4$-a bərabərdir. $2X-9$ təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini tapın.
Yuxarıdakı xassələrdən istifadə edərək $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ alırıq. cdot 4 -9=-1$.
3. Diskret təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası.
Bərabər riyazi gözləntilərə malik təsadüfi dəyişənlərin mümkün dəyərləri onların orta dəyərləri ətrafında fərqli şəkildə səpələnə bilər. Məsələn, iki tələbə qrupunda ehtimal nəzəriyyəsi üzrə imtahan üçün orta bal 4 oldu, lakin bir qrupda hamı yaxşı, digər qrupda isə yalnız C və əlaçılar çıxdı. Buna görə də, təsadüfi dəyişənin qiymətlərinin onun riyazi gözləntisi ətrafında yayılmasını göstərən bir təsadüfi dəyişənin belə bir ədədi xarakteristikasına ehtiyac var. Bu xüsusiyyət dispersiyadır.
Diskret təsadüfi dəyişənin dispersiyası$X$ belədir:
$$D\sol(X\sağ)=\sum^n_(i=1)(p_i(\sol(x_i-M\sol(X\sağ)\sağ))^2).\ $$
İngilis ədəbiyyatında $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ qeydindən istifadə olunur. Çox vaxt $D\left(X\right)$ dispersiya $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) düsturu ilə hesablanır. sol(X \sağ)\sağ))^2$.
Dispersiya xassələri$D\sol(X\sağ)$:
- Dispersiya həmişə sıfırdan böyük və ya sıfıra bərabərdir, yəni. $D\sol(X\sağ)\ge 0$.
- Sabitdən dispersiya sıfıra bərabərdir, yəni. $D\sol(C\sağ)=0$.
- Sabit amil dispersiya işarəsindən çıxarıla bilər, bu şərtlə ki, kvadrat şəklində olsun, yəni. $D\sol(CX\sağ)=C^2D\sol(X\sağ)$.
- Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin cəminin dispersiyası onların dispersiyalarının cəminə bərabərdir, yəni. $D\sol(X+Y\sağ)=D\sol(X\sağ)+D\sol(Y\sağ)$.
- Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin fərqinin dispersiyası onların dispersiyalarının cəminə bərabərdir, yəni. $D\sol(X-Y\sağ)=D\sol(X\sağ)+D\sol(Y\sağ)$.
Misal 6 . Gəlin $2$ misalından $X$ təsadüfi dəyişənin dispersiyasını hesablayaq.
$$D\sol(X\sağ)=\sum^n_(i=1)(p_i(\sol(x_i-M\sol(X\sağ)\sağ))^2)=((1)\over (6))\cdot (\sol(1-3,5\sağ))^2+((1)\(6) üzərində)\cdot (\sol(2-3,5\sağ))^2+ \nöqtələr +((1)\(6))\cdot (\sol(6-3,5\sağ))^2=((35)\(12))\təqribən 2,92.$$
Misal 7 . Məlumdur ki, $X$ təsadüfi kəmiyyətinin dispersiyası $D\left(X\right)=2$-a bərabərdir. $4X+1$ təsadüfi dəyişənin dispersiyasını tapın.
Yuxarıdakı xassələrdən istifadə edərək $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= tapırıq. 16D\ sol(X\sağ)=16\cdot 2=32$.
Misal 8 . Məlumdur ki, $X$ dispersiya $D\left(X\right)=3$-a bərabərdir. $3-2X$ təsadüfi dəyişənin dispersiyasını tapın.
Yuxarıdakı xassələrdən istifadə edərək $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= tapırıq. 4D\ sol(X\sağ)=4\cdot 3=12$.
4. Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası.
Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma seriyası şəklində təqdim edilməsi üsulu yeganə deyil və ən əsası o, universal deyil, çünki paylama seriyasından istifadə etməklə fasiləsiz təsadüfi kəmiyyət müəyyən edilə bilməz. Təsadüfi dəyişəni təmsil etməyin başqa bir yolu var - paylama funksiyası.
paylama funksiyası$X$ təsadüfi dəyişəni $F\left(x\right)$ funksiyasıdır ki, bu da $X$ təsadüfi dəyişənin bəzi sabit dəyərdən $x$, yəni $F\left(x\) dəyərindən kiçik bir dəyər qəbul etməsi ehtimalını müəyyən edir. sağ)$ )=P\sol(X< x\right)$
Paylanma funksiyasının xassələri:
- $0\le F\sol(x\sağ)\le 1$.
- $X$ təsadüfi dəyişənin $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ intervalından qiymətlər alma ehtimalı bu intervalın sonunda paylama funksiyasının dəyərləri arasındakı fərqə bərabərdir. : $P\sol(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
- $F\left(x\right)$ - azalmayan.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \sağ)=1\ )$.
Misal 9 . $2$ misalından $X$ diskret təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu üçün $F\left(x\right)$ paylama funksiyasını tapaq.
$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(massiv)$
Əgər $x\le 1$, onda açıq-aydın $F\left(x\right)=0$ (o cümlədən $x=1$ $F\left(1\sağ)=P\left(X)< 1\right)=0$).
Əgər 1 dollar< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.
Əgər 2 dollar< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.
Əgər 3 dollar< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.
Əgər 4 dollar< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.
Əgər 5 dollar< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.
Əgər $x > 6$, onda $F\sol(x\sağ)=P\sol(X=1\sağ)+P\sol(X=2\sağ)+P\sol(X=3\sağ) + P\sol(X=4\sağ)+P\sol(X=5\sağ)+P\sol(X=6\sağ)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.
Beləliklə, $F(x)=\sol\(\begin(matris)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, \ 1-də< x\le 2,\\
1/3, \ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, \ 3-də< x\le 4,\\
2/3, \ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ at \ 4< x\le 5,\\
1, \ x > 6 üçün.
\end(matris)\sağ.$
Artıq məlum olduğu kimi, paylanma qanunu təsadüfi dəyişəni tamamilə xarakterizə edir. Bununla belə, paylama qanunu çox vaxt məlum deyil və insan özünü daha az məlumatla məhdudlaşdırmalıdır. Bəzən cəmi bir təsadüfi dəyişəni təsvir edən nömrələrdən istifadə etmək daha sərfəlidir; belə nömrələr deyilir təsadüfi dəyişənin ədədi xüsusiyyətləri. Riyazi gözlənti mühüm ədədi xüsusiyyətlərdən biridir.
Riyazi gözlənti, aşağıda göstərildiyi kimi, təsadüfi dəyişənin orta dəyərinə təxminən bərabərdir. Bir çox məsələləri həll etmək üçün riyazi gözləntiləri bilmək kifayətdir. Məsələn, birinci atıcının topladığı xalların sayının riyazi gözləntisinin ikincininkindən çox olduğu məlumdursa, o zaman birinci atıcı orta hesabla ikincidən daha çox xal çıxarır və buna görə də atıcıdan daha yaxşı vurur. ikinci. Riyazi gözlənti təsadüfi dəyişən haqqında onun paylanması qanunundan daha az məlumat versə də, verilən və bir çox başqa məsələlərin həlli üçün riyazi gözlənti haqqında bilik kifayətdir.
§ 2. Diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntiləri
riyazi gözlənti diskret təsadüfi kəmiyyət onun bütün məhsullarının cəmi adlanır mümkün dəyərlər onların ehtimalı üzərində.
Qoy təsadüfi dəyişən X yalnız dəyərləri qəbul edə bilər X 1 , X 2 , ..., X P , ehtimalları müvafiq olaraq bərabərdir R 1 , R 2 , . . ., R P . Sonra riyazi gözlənti M(X) təsadüfi dəyişən X bərabərliyi ilə müəyyən edilir
M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x n səh n .
Diskret təsadüfi dəyişən olarsa X o zaman mümkün dəyərlərin sayıla bilən dəstini qəbul edir
M(X)=
üstəlik, bərabərliyin sağ tərəfindəki sıra mütləq birləşərsə, riyazi gözlənti mövcuddur.
Şərh. Tərifdən belə çıxır ki, diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntisi təsadüfi olmayan (sabit) dəyişəndir. Bu ifadəni xatırlamağınızı tövsiyə edirik, çünki o, sonradan təkrar istifadə olunur. Daha sonra göstəriləcək ki, fasiləsiz təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntisi də sabit qiymətdir.
Misal 1 Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini tapın X, onun paylanması qanununu bilmək:
Həll. İstənilən riyazi gözlənti təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərinin məhsullarının və onların ehtimallarının cəminə bərabərdir:
M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.
Misal 2 Hadisənin baş vermə sayının riyazi gözləntisini tapın AMMA bir sınaqda, əgər bir hadisənin baş vermə ehtimalı AMMA bərabərdir R.
Həll. Təsadüfi dəyər X - hadisənin baş vermə sayı AMMA bir testdə - yalnız iki dəyər qəbul edə bilər: X 1 = 1 (hadisə AMMA baş verdi) ehtimalı ilə R və X 2 = 0 (hadisə AMMA baş vermədi) ehtimalı ilə q= 1 -R.İstədiyiniz riyazi gözlənti
M(X)= 1* səh+ 0* q= səh
Belə ki, bir sınaqda hadisənin baş vermə sayının riyazi gözləntisi bu hadisənin baş vermə ehtimalına bərabərdir. Bu nəticə aşağıda istifadə olunacaq.
§ 3. Riyazi gözləmənin ehtimal mənası
İstehsal etsin P təsadüfi dəyişənin olduğu testlər X qəbul edildi t 1 dəfə dəyəri X 1 , t 2 dəfə dəyəri X 2 ,...,m k dəfə dəyəri x k , və t 1 + t 2 + …+t üçün = səh. Sonra alınan bütün dəyərlərin cəmi X, bərabərdir
X 1 t 1 + X 2 t 2 + ... + X üçün t üçün .
Arifmetik ortanı tapın 
təsadüfi dəyişən kimi qəbul edilən bütün dəyərlərdən, bunun üçün tapılan məbləği sınaqların ümumi sayına bölürük:
=
(X 1 t 1
+
X 2 t 2 +
... +
X üçün t üçün)/P,
=
X 1
(m 1 /
n)
+
X 2
(m 2 /
n)
+ ... +
X üçün
(t üçün /P).
(*)
Münasibətlərə diqqət yetirərək m 1 / n- nisbi tezlik W 1 dəyərlər X 1 , m 2 / n - nisbi tezlik W 2 dəyərlər X 2 və s., əlaqəni (*) aşağıdakı kimi yazırıq:
=X 1
W 1
+
x 2 W 2
+ ..
. + X üçün W k .
(**)
Fərz edək ki, sınaqların sayı kifayət qədər çoxdur. Onda nisbi tezlik təxminən hadisənin baş vermə ehtimalına bərabərdir (bu, IX Fəsil, § 6-da sübut olunacaq):
W 1
səh 1 ,
W 2
səh 2 ,
…,
W k
səh k .
(**) nisbətində nisbi tezlikləri müvafiq ehtimallarla əvəz edərək əldə edirik
x 1 səh 1
+
X 2 R 2
+ … +
X üçün R üçün .
Bu təxmini bərabərliyin sağ tərəfi M(X). Belə ki,
M(X).
Alınan nəticənin ehtimal mənası aşağıdakı kimidir: riyazi gözlənti təxminən bərabərdir(daha doğrusu daha çox nömrə testlər) təsadüfi dəyişənin müşahidə olunan qiymətlərinin arifmetik ortası.
Qeyd 1. Riyazi gözləntinin ən kiçikdən böyük və mümkün olan ən böyük qiymətlərdən kiçik olduğunu görmək asandır. Başqa sözlə, say oxunda mümkün dəyərlər gözlənilən dəyərin solunda və sağında yerləşir. Bu mənada gözlənti paylanma yerini xarakterizə edir və buna görə də tez-tez belə adlandırılır paylama mərkəzi.
Bu termin mexanikadan götürülmüşdür: əgər kütlələr R 1 , R 2 , ..., R P absislərlə nöqtələrdə yerləşir x 1 ,
X 2 ,
...,
X n, və 
sonra ağırlıq mərkəzinin absisi
x c =
.
Bunu nəzərə alaraq
=
M
(X)
və 
alırıq M(X)= x ilə .
Beləliklə, riyazi gözlənti, absisləri təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinə, kütlələri isə ehtimallarına bərabər olan maddi nöqtələr sisteminin ağırlıq mərkəzinin absisidir.
Qeyd 2. “Gözlənti” termininin mənşəyi ehtimal nəzəriyyəsinin yaranmasının ilkin dövrü (XVI-XVII əsrlər), onun əhatə dairəsinin qumar oyunları ilə məhdudlaşdığı dövrlə bağlıdır. Oyunçu gözlənilən qazancın orta dəyəri və ya başqa sözlə, qazancın riyazi gözləntisi ilə maraqlanırdı.
Hər bir fərdi dəyər tamamilə onun paylama funksiyası ilə müəyyən edilir. Həmçinin, praktiki məsələləri həll etmək üçün bir neçə ədədi xarakteristikaları bilmək kifayətdir ki, bunun sayəsində təsadüfi dəyişənin əsas xüsusiyyətlərini yığcam formada təqdim etmək mümkün olur.
Bu miqdarlar ilk növbədə gözlənilən dəyər və dispersiya .
Gözlənilən dəyər- ehtimal nəzəriyyəsində təsadüfi dəyişənin orta qiyməti. kimi təyin edilmişdir.
ən çox sadə şəkildə təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi X(w), kimi tapılır inteqralLebesq ehtimal ölçüsü ilə əlaqədar R ilkin ehtimal sahəsi
kimi bir dəyərin riyazi gözləntisini də tapa bilərsiniz Lebeq inteqralı-dan X ehtimal paylanması ilə R X miqdarlar X:
bütün mümkün dəyərlər çoxluğu haradadır X.
Təsadüfi dəyişəndən funksiyaların riyazi gözləntiləri X paylanması yolu ilə həyata keçirilir R X. Misal üçün, əgər X- və daxilində dəyərləri olan təsadüfi dəyişən f(x)- birmənalı Borelfunksiyası X , sonra:
Əgər a F(x)- paylama funksiyası X, onda riyazi gözlənti təmsil oluna bilər inteqralLebesgue - Stieltjes (və ya Riemann - Stieltjes):
inteqrasiya olunarkən X nə mənada ( * ) inteqralın sonluluğuna uyğundur
Xüsusi hallarda, əgər X ehtimal olunan qiymətlərlə diskret paylanmaya malikdir x k, k=1, 2, . , və ehtimallar, sonra
əgər X ehtimal sıxlığı ilə mütləq davamlı paylanmaya malikdir p(x), sonra
bu halda riyazi gözləntinin mövcudluğu müvafiq sıra və ya inteqralın mütləq yaxınlaşmasına bərabərdir.
Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisinin xassələri.
- Sabit bir dəyərin riyazi gözləntisi bu dəyərə bərabərdir:
C- Sabit;
- M=C.M[X]
- Təsadüfi olaraq alınan dəyərlərin cəminin riyazi gözləntisi onların riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir:
- Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin məhsulunun riyazi gözləntisi = onların riyazi gözləntilərinin hasili:
M=M[X]+M[Y]
əgər X və Y müstəqil.
sıra birləşərsə:
Riyazi gözləntilərin hesablanması alqoritmi.
Diskret təsadüfi dəyişənlərin xüsusiyyətləri: onların bütün dəyərləri yenidən nömrələnə bilər natural ədədlər; hər bir dəyəri sıfırdan fərqli ehtimalla bərabərləşdirin.
1. Cütləri növbə ilə çarpın: x iüstündə pi.
2. Hər bir cütün məhsulunu əlavə edin x i p i.
Misal üçün, üçün n = 4 :
Diskret təsadüfi kəmənin paylanma funksiyası addım-addım, ehtimalları müsbət işarəyə malik olan nöqtələrdə kəskin şəkildə artır.
Misal: Düsturla riyazi gözləntiləri tapın.
Riyazi gözlənti anlayışını zər atma nümunəsindən istifadə etməklə nəzərdən keçirmək olar. Hər atışda atılan xallar qeydə alınır. Onları ifadə etmək üçün 1 - 6 aralığında təbii dəyərlər istifadə olunur.
Müəyyən sayda atışdan sonra sadə hesablamaların köməyi ilə orta hesabla tapa bilərsiniz arifmetik dəyər xal itirdi.
Aralıq dəyərlərindən hər hansı birini atmaqla yanaşı, bu dəyər təsadüfi olacaq.
Və atışların sayını bir neçə dəfə artırsanız? At böyük miqdarda atdıqda, balların arifmetik orta dəyəri müəyyən bir ədədə yaxınlaşacaq, ehtimal nəzəriyyəsində riyazi gözlənti adlanır.
Beləliklə, riyazi gözlənti təsadüfi dəyişənin orta qiyməti kimi başa düşülür. Bu göstərici həm də ehtimal olunan dəyərlərin çəkili cəmi kimi təqdim edilə bilər.
Bu anlayışın bir neçə sinonimi var:
- demək;
- orta dəyər;
- mərkəzi trend göstəricisi;
- ilk an.
Başqa sözlə, bu, təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin ətrafında paylandığı bir nömrədən başqa bir şey deyil.
Müxtəlif sahələrdə insan fəaliyyəti riyazi gözləntiləri anlamaq üçün yanaşmalar bir qədər fərqli olacaq.
Buna aşağıdakı kimi baxmaq olar:
- qərarın qəbulundan alınan orta mənfəət, belə bir qərar böyük ədədlər nəzəriyyəsi baxımından nəzərdən keçirildikdə;
- mərclərin hər biri üçün orta hesabla hesablanmış uduş və ya uduzmanın mümkün məbləği (qumar nəzəriyyəsi). Arqonda onlar “oyunçu üstünlüyü” (oyunçu üçün müsbət) və ya “kazino üstünlüyü” (oyunçu üçün mənfi) kimi səslənir;
- uduşlardan əldə edilən mənfəətin faizi.
Riyazi gözlənti tamamilə bütün təsadüfi dəyişənlər üçün məcburi deyil. Müvafiq məbləğdə və ya inteqralda uyğunsuzluq olanlar üçün yoxdur.
Gözləmə xüsusiyyətləri
Hər hansı bir statistik parametr kimi, riyazi gözlənti də aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:
Riyazi gözləmə üçün əsas düsturlar
Riyazi gözləntinin hesablanması həm davamlılıq (formula A), həm də diskretlik (formula B) ilə xarakterizə olunan təsadüfi dəyişənlər üçün həyata keçirilə bilər:
- M(X)=∑i=1nxi⋅pi, burada xi təsadüfi dəyişənin qiymətləridir, pi isə ehtimallardır:
- M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, burada f(x) verilmiş ehtimal sıxlığıdır.
Riyazi gözləntilərin hesablanması nümunələri
Misal A.
Bilmək mümkündürmü ortalama hündürlük Snow White nağılındakı cırtdanlar. Məlumdur ki, 7 gnomun hər birinin müəyyən boyu var idi: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 və 0,81 m.
Hesablama alqoritmi olduqca sadədir:
- artım göstəricisinin bütün dəyərlərinin cəmini tapın (təsadüfi dəyişən):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31; - Nəticədə alınan məbləğ gnomların sayına bölünür:
6,31:7=0,90.
Belə ki, nağıldakı gnomların orta boyu 90 sm-dir.Yəni gnomların böyüməsinin riyazi gözləntisi budur.
İş düsturu - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6
Riyazi gözləmənin praktiki həyata keçirilməsi
Riyazi gözləmənin statistik göstəricisinin hesablanmasına praktik fəaliyyətin müxtəlif sahələrində müraciət edilir. Söhbət ilk növbədə kommersiya sahəsindən gedir. Axı Huygens tərəfindən bu göstəricinin tətbiqi hansısa hadisə üçün əlverişli və ya əksinə, əlverişsiz ola biləcək şansların müəyyən edilməsi ilə bağlıdır.
Bu parametr risklərin qiymətləndirilməsi üçün geniş istifadə olunur, xüsusən də maliyyə investisiyalarına gəldikdə.
Beləliklə, biznesdə riyazi gözləntilərin hesablanması qiymətlərin hesablanması zamanı riskin qiymətləndirilməsi üsulu kimi çıxış edir.
Həmçinin, bu göstərici müəyyən tədbirlərin, məsələn, əməyin mühafizəsi üzrə effektivliyini hesablayarkən istifadə edilə bilər. Onun sayəsində bir hadisənin baş vermə ehtimalını hesablaya bilərsiniz.
Bu parametrin başqa bir tətbiq sahəsi idarəetmədir. Məhsulun keyfiyyətinə nəzarət zamanı da hesablana bilər. Məsələn, mat istifadə edərək. gözləntiləri hesablamaq olar mümkün sayı qüsurlu hissələrin istehsalı.
Riyazi gözlənti də əldə edilən məlumatların statistik emalı zamanı zəruri olur. elmi araşdırma nəticələr. O, həmçinin məqsədə nail olmaq səviyyəsindən asılı olaraq eksperimentin və ya tədqiqatın istənilən və ya arzuolunmaz nəticəsinin olma ehtimalını hesablamağa imkan verir. Axı, onun nailiyyəti qazanc və mənfəətlə, əldə edilməməsi isə itki və ya itki ilə əlaqələndirilə bilər.
Forex-də Riyazi Gözləmədən istifadə
Bu statistik parametrin praktiki tətbiqi valyuta bazarında əməliyyatların aparılması zamanı mümkündür. Ticarət əməliyyatlarının müvəffəqiyyətini təhlil etmək üçün istifadə edilə bilər. Üstəlik, gözləntilərin dəyərinin artması onların uğurlarının artdığını göstərir.
Həm də yadda saxlamaq lazımdır ki, riyazi gözlənti treyderin fəaliyyətini təhlil etmək üçün istifadə olunan yeganə statistik parametr kimi qəbul edilməməlidir. Orta qiymətlə birlikdə bir neçə statistik parametrin istifadəsi təhlilin dəqiqliyini bəzən artırır.
Bu parametr ticarət hesablarının müşahidələrinin monitorinqində özünü yaxşı sübut etdi. Onun sayəsində depozit hesabı üzrə aparılan işlərin operativ qiymətləndirilməsi həyata keçirilir. Treyderin fəaliyyətinin uğurlu olduğu və itkilərdən qaçdığı hallarda yalnız riyazi gözləntilərin hesablanmasından istifadə etmək tövsiyə edilmir. Bu hallarda risklər nəzərə alınmır ki, bu da təhlilin effektivliyini azaldır.
Treyderlərin taktikasına dair aparılan tədqiqatlar göstərir ki:
- ən təsirli olanı təsadüfi girişə əsaslanan taktikalardır;
- ən az təsirli olanlar strukturlaşdırılmış girişlərə əsaslanan taktikalardır.
çatmaqda müsbət nəticələr az əhəmiyyətli deyil:
- pul idarəetmə taktikası;
- çıxış strategiyaları.
Riyazi gözlənti kimi bir göstəricidən istifadə edərək, 1 dollar investisiya edərkən mənfəət və ya zərərin nə olacağını güman edə bilərik. Məlumdur ki, kazinoda tətbiq olunan bütün oyunlar üçün hesablanan bu göstərici qurumun xeyrinədir. Bu sizə pul qazanmağa imkan verir. Uzun bir oyun seriyası vəziyyətində, müştəri tərəfindən pul itirmə ehtimalı əhəmiyyətli dərəcədə artır.
Peşəkar oyunçuların oyunları kiçik müddətlərlə məhdudlaşır, bu da qazanmaq şansını artırır və uduzma riskini azaldır. Eyni qanunauyğunluq investisiya əməliyyatlarının icrasında da müşahidə olunur.
İnvestor əhəmiyyətli bir məbləğ qazana bilər müsbət gözlənti və öhdəlik götürün böyük rəqəm qısa müddət ərzində əməliyyatlar.
Gözləmə, mənfəətin faizi (PW) ilə orta mənfəətin (AW) və zərər ehtimalının (PL) orta zərərin (AL) çarpımı arasındakı fərq kimi düşünülə bilər.
Nümunə olaraq aşağıdakıları nəzərdən keçirək: mövqe - 12,5 min dollar, portfel - 100 min dollar, əmanət üzrə risk - 1%. Əməliyyatların gəlirliliyi orta mənfəət 20% olan işlərin 40% -ni təşkil edir. Zərər halında orta itki 5% təşkil edir. Ticarət üçün riyazi gözləntilərin hesablanması $625 dəyər verir.
